De Transformatieformule voor Riemannintegralen Het bewijs volgt in grote lijnen Wade, An Introduction to Analysis, Ch. 12.4. Als voorbereiding hebben we een lemma nodig dat we integralen goed kunnen benaderen door Riemannsommen waaruit rechthoeken zijn weggelaten die slechts gedeeltelijk in het definitiegebied van de integrand liggen. Zij D ⊂ Rd een Jordanverzameling, f : D −→ R Riemann-integreerbaar, E ¯ ⊂ E. We definieren zoals gebruikelijk een rechthoek met D f (x) x ∈ D, F (x) := 0 x ∈ E \ D. Lemma 1 Onder de boven beschreven veronderstellingen is er voor elke ε > 0 een partitie R = {R1 , . . . RN } zodanig dat Z X mi Vol(Ri ) < ε, mi := inf f (x). f dx − x∈Ri D Ri ⊂int D
Bewijs: Zij ε > 0 willekeurig. Zij M := supx∈D |f (x)|. Omdat D een Jordanverzameling is is er een overdekking Z voor ∂D met rechthoeken Z1 , . . . , ZM zodanig dat X ε . Vol(Zi ) < 2M Zi ∈Z
Verder kunnen we zonder verlies van algemeenheid aannemen dat Zi ⊂ E. (Ga na!). Vanwege de Riemann-integreerbaarheid van f is er een partitie Q := {Q1 , . . . , QL } (met bijbehorende infima m ˜ i ) zodanig dat Z X ε f dx − m ˜ Vol(Q ) i i < . D 2 Qi ∈Q Zij R = {R1 , . . . RN } een verfijning van Q zodanig dat dat voor alle i = 1, . . . , N , j = 1, . . . M geldt Ri ⊂ Zj of int(Ri ∩ Zj ) = ∅. (Ga na hoe R geconstrueerd wordt!) Dan is Z ε X mi Vol(Ri ) < . f dx − D 2 Ri ∈R
Verder is X Ri ∈R
mi Vol(Ri ) =
X
mi Vol(Ri ) +
Ri ⊂int D
X Ri ∩∂D6=∅
1
mi Vol(Ri ),
want mi = 0 als Ri ⊂ int(E \ D). Dus Z X mi Vol(Ri ) f dx − D Ri ⊂int D Z X X ∆ mi Vol(Ri ) ≤ f dx − mi Vol(Ri ) + D Ri ∈R Ri ∩∂D6=∅ X X ε ε < +M Vol(Ri ) ≤ + M Vol(Zi ) < ε. 2 2 Zi ∈Z
Ri ∩∂D6=∅
We bewijzen nu de transformatieformule (TF) eerst onder de aanname dat ze waar is voor f ≡ 1 en gebieden die afgebeeld worden op rechthoeken. Lemma 2 Zij W ⊂ Rd open, Φ : W −→ Rd injectief en differentieerbaar, zij ook Φ−1 differentieerbaar. Veronderstel: Voor elk rechthoek R ⊂ Φ(W ) geldt Z Vol(R) = | det DΦ|. (RH) Φ−1 (R)
¯ ⊂ W , f integreerbaar op Φ(E), en Zij E ⊂ Rd een Jordanverzameling met E f ◦ Φ integreerbaar op E. Dan Z Z f= (f ◦ Φ) | det DΦ|. (TF) Φ(E)
E
Bewijs: Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat f ≥ 0. (Splits anders f = f + − f − met f ± := max{±f, 0} ≥ 0. Ga na dat als f integreerbaar is dat f ± ook zijn.) ˆ ⊂ Rd een rechthoek met Φ(E) ⊂ R ˆ en {R1 , . . . , RN } Zij ε > 0 gegeven. Zij R ˆ een partitie voor R die voldoende fijn is zodat (i) Z
X
f≥ Φ(E)
Mi Vol(Ri ) − ε,
Mi := sup f (x), x∈Ri
Ri ∩Φ(E)6=∅
(ii) als Ri ∩ Φ(E) 6= ∅ dan Ri ⊂ Φ(W ). Φ
Φ (E) E
W
Φ (W)
−1
Φ
Ri
−1
Φ (R i)
2
Definieer [
Ω1 :=
Φ−1 (Ri ).
Ri ∩Φ(E)6=∅
Dan E ⊂ Ω1 en dus Z (RH) f ≥ Φ(E)
Z
X
| det DΦ(x)| dx − ε
Mi Φ−1 (Ri )
Ri ∩Φ(E)6=∅
Z
X
≥
f (Φ(x))| det DΦ(x)| dx − ε Φ−1 (Ri )
Ri ∩Φ(E)6=∅
Z (f ◦ Φ) | det DΦ| − ε
= Ω1 f ≥0
Z
≥
(f ◦ Φ) | det DΦ| − ε.
(1)
E
ˆ zodanig dat Verder is er vanwege Lemma 1 een partitie {Q1 , . . . , QM } van R Z X f≤ mi Vol(Qi ) + ε, mi := inf f (x). Φ(E)
x∈Qi
Qi ⊂int Φ(E)
Definieer [
Ω2 :=
Φ−1 (Qi ).
Qi ⊂int Φ(E)
Dan Ω2 ⊂ E en analoog aan het bewijs van (1) (RH)
Z f
X
≤
Φ(E)
Z
X
≤
Qi ⊂int Φ(E)
| det DΦ(x)| dx + ε
mi Φ−1 (Qi )
Qi ⊂int Φ(E)
Z f (Φ(x))| det DΦ(x)| dx + ε Φ−1 (Qi )
Z (f ◦ Φ) | det DΦ| + ε
= Ω2 f ≥0
Z
≤
(f ◦ Φ) | det DΦ| + ε.
(2)
E
De bewering volgt nu uit (1) en (2). In plaats van (RH) bewijzen we in een tweede stap een locale versie (RHL) hiervan. Lemma 3 Zij V ⊂ Rd open, Φ : V −→ Rd differentieerbaar, a ∈ V , det DΦ(a) 6= 0. Dan is er een open rechthoek W ⊂ V zodanig dat a ∈ W en • Φ|W is injectief, en de inverse (Φ|W )−1 is differentieerbaar.
3
• Voor elk rechthoek R ⊂ Φ(W ) is Φ−1 (R) een Jordanverzameling, en Z Vol(R) = | det DΦ| (RHL) Φ−1 (R)
Φ
a
R
W
Φ(W) V
Φ(V)
Φ
−1
−1
Φ(a)
Φ(R)
Bewijs: Het eerste deel van de bewering volgt uit de impliciete functiestelling. Verder volgt uit de differentieerbaarheid van de inverse dat (Φ|W )−1 Lipschitz continu is en dus Φ−1 (R) een Jordanverzameling. (De details hiervan laten we achterwege.) Het bewijs voor (RHL) wordt nu gegeven via inductie over d. Zij d = 1. Dan is V een open interval, det DΦ(t) = Φ0 (t). Kies W ⊂ V zodanig dat Φ0 (t) 6= 0 voor alle t ∈ W . Φ(W ) is een interval. Kies R = [c, d] ⊂ Φ(W ). Dan is Vol(R) = d − c en volgens de substitutiestelling voor integralen in 1D Z Z Φ−1 (d) Z Φ−1 (d) Z d 0 0 | det DΦ| = ± |Φ (t)| dt = Φ (t) dt = du = d − c, Φ−1 (R)
Φ−1 (c)
Φ−1 (c)
c
waarbij het ”+”- teken correspondeert met φ stijgend en het ”−”- teken met φ dalend. In beide gevallen is (RHL) bewezen voor d = 1. Zij nu d > 1 en veronderstel dat (RHL) geldt in het geval van d − 1 dimensies. We laten (RHL) in dimensie d eerst voor het speciale geval zien dat Φ ´e´en component onveranderd laat. Zonder verlies van algemeenheid kiezen we hiervoor de laatste component. We schrijven z = (x, t) voor z ∈ V waarbij x ∈ Rd−1 en t ∈ R en analoog a = (a0 , b). We nemen dus aan Φ(x, t) = (Φ1 (x, t), . . . , Φd−1 (x, t), t),
(x, t) ∈ V.
Kies een open rechthoek W0 ⊂ Rd−1 rond a0 en een open interval I rond b zodanig dat W0 × I ⊂ V en | det DΦ(x, t) ≥ 21 | det DΦ(a)|
(x, t) ∈ W0 × I.
Definieer voor t ∈ I de afbeelding ψt : WO −→ Rd−1 door ψt (x) = (Φ1 (x, t), . . . , Φd−1 (x, t)). 4
Dan is
DΦ(x, t) =
Dψt (x) 0 ... 1
en dus det DΦ(x, t) = det Dψt (x). (Merk op dat DΦ(x, t) een matrix is met formaat d × d terwijl Dψt (x) een matrix is met formaat (d − 1) × (d − 1).) In het bijzonder is dus voor alle t ∈ I | det Dψt (a0 ))| ≥ 12 | det DΦ(a)|. Volgens de inductieaanname is er dus een open rechthoek W1 ⊂ W0 zodanig dat voor alle t ∈ I en alle rechthoeken Q ⊂ ψt (W1 ) geldt Z Vol(Q) = | det Dψt |. ψt−1 (Q)
(Ga na dat we W1 onafhankelijk van t ∈ I kunnen kiezen. Dit volgt uit de continuiteit van de parti¨ele afgeleiden van Φ.) S Definieer W := W1 × I. Dan is Φ(W ) = t∈I ψt (W1 ) × {t}. Zij R een rechthoek binnen Φ(W ). Dan is R = Q × J waarbij Q een rechthoek in Rd−1 is Q ⊂ ψ1 (W1 ) for all t ∈ I and J = [c, d] ⊂ I. Verder is Φ−1 (R) = S met −1 t∈J ψt (Q). Dus ! Z Z Vol(R) = (d − c) Vol(Q) = | det Dψt | dt ψt−1
J Fubini
Z
Z | det Dψt (x)| dxdt =
=
Φ−1 (R)
| det DΦt (x)|
(RHLS)
Φ−1 (R)
Daarmee is voor deze Φ en W voldaan aan de voorwaarde van Lemma 2. Uit dit lemma volgt dus Z Z g= g ◦ Φ | det DΦ| (TFLS) Φ(E)
E
¯ ⊂ W en integreerbare g. voor Jordanverzamelingen E met E Voor het algemene geval, schrijf Φ = σ ◦ τ met τ (x)
=
(Φ1 (x), . . . , Φd−1 (x), xd ),
σ(y)
=
(y1 , . . . , yd−1 Φd (τ −1 (y))),
Merk op dat τ injectief is in een omgeving van a en σ in een omgeving van τ (a). Beide afbeeldingen laten tenminste een component onveranderd, dus kunnen (RHLS) en (TFLS) toegepast worden. Voor een rechthoek R in een voldoende kleine omgeving van Φ(a) is dan volgens de kettingregel en de rekenregels voor determinanten Z Z (RHLS) (TFLS) Vol(R) = | det Dσ| = | det Dσ|| det Dτ | σ −1 (R) τ −1 σ −1 (R) Z Z = | det(DσDτ )| = | det DΦ| Φ−1 (R)
Φ−1 (R)
5
Uit Lemmas 2 en 3 krijgen we nu rechtstreeks: Lemma 4 Zij V ⊂ Rd open, Φ : V −→ R continu differentieerbaar, a ∈ V , det DΦ(a) 6= 0. Dan is er een open rechthoek W ⊂ V rond a zodanig dat voor ¯ ⊂ W en elke Riemann integreerbare functie elke Jordanverzameling E met E f : Φ(E) −→ R Z Z (f ◦ Φ) | det DΦ|
f= Φ(E)
(TFL)
E
Uiteindelijk kunnen we nu de transformatiestelling voor Riemannintegralen bewijzen: Stelling 5 Zij W ⊂ Rd open, Φ : W −→ Rd injectief en differentieerbaar, zij ook Φ−1 differentieerbaar. ¯ ⊂ W , f integreerbaar op Φ(E), Zij E ⊂ Rd een Jordanverzameling met E en f ◦ Φ integreerbaar op E. Dan Z Z f= (f ◦ Φ) | det DΦ|. (TF) Φ(E)
E
(Sommige voorwaarden zijn feitelijk overbodig maar we gaan hier niet in op deze details.) ¯ is er volgens Lemma 4 een open rechthoek Wa zodanig Bewijs: Voor elke a ∈ E ¯ compact is kan E ¯ overdekt dat de bewering van dit lemma geldt. Omdat E worden door een eindig aantal van deze rechthoeken: p [
¯⊂ E
Waj .
j=1
¯ ⊂ R en zij {R1 , . . . , Rn } een partitie van R met Zij R een rechthoek met E de eigenschap dat voor alle i = 1, . . . , n er een j ∈ {1, . . . , p} is zodanig dat ¯⊂W ¯ a . (Ga na dat dat kan!) Definieer Ei = E ∩ Ri , i = 1, . . . n. Deze Ri ∩ E j Ei zijn paarsgewijs disjunct en elke Ei ligt in een Waj . Dus, volgens Lemma 4, Z f= Φ(E)
n Z X i=1
Φ(Ei )
(TFL)
f= =
n Z X i=1
Z f ◦ Φ | det DΦ| =
Ei
6
f ◦ Φ | det DΦ|. E
