4. Kompleks Kojugate ( S e k a wa n ) 5. Bentuk Polar & E k s pon ens i al Bilangan Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo
6. Perkalian & Pembagian Bentuk E k s pon ens i al Bilangan Kompleks 7 . A r g u me n d a r i Perkalian dan Pembagian B i l a n gan Kompleks 8. Aka-Akar Bilangan Kompleks
Aswad©2015 Email:
[email protected]
4. KOMPLEKS KONJUGATE (SEKAWAN) Definisi 6. Diberikan bilangan kompleks z = x + iy, ∀ x, y ∈ ℝ. Konjuget (sekawan)
dari
suatu
bilangan
kompleks
z
didefinisikan
dengan z x iy x iy ■
Gambar 5. Bentuk konjugate bil. kompleks
Teorema 2. Diberikan z, z 1, dan z 2 ∈ ℂ. Operasi konjuget pada suatu bilangan kompleks adalah sebagai berikut:
Buktikan.
Contoh: Misalkan z 1 = 4 + 3i dan z 2 = 2 – 5i. Jelas bahwa
z1z2 4 3i 2 5i 23 14i 23 14i dan
z1 5i z1 5i 4 3i 5i 4 8i
5. BENTUK POLAR & EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS Definisi 3.
Gambar 6. Bentuk polar bil. kompleks
Misalkan r dan θ adalah kordinat polar
dari
titik
berkorespondensi
(x,
y)
yang
dengan
bilangan kompleks tak nol z = x + iy. Untuk x = r cos θ dan y = r sin
θ,
maka
bentuk
polar
dari
bilangan kompleks z = x + iy adalah z = r(cosθ + i sinθ). ■
Jika z = 0, koordinat θ jelas tidak terdefinisi. r = jarak/radius vektor z = modulus dari z, r = |z| =
x2 y2
θ = argument dari z = besar sudut antara sumbu x positif dengan vektor z.
y x
y x Principal value dari arg z dinotasikan dengan Arg z, dimana
tan
atau arc tan
–π < Arg z ≤ π
arg z = Arg z + 2kπ dengan k = 0, ±1, ±2, ...
Contoh: Tentukan Arg z dan arg z dari bilangan kompleks -1 – i. Penyelesaian: Perhatikan bahwa bilangan kompleks z = -1-i terletak pada kuadran ketiga. Sehingga: Arg (-1-i) = arc tan 1 + 90 o = 45 o + 90 o = 135 o = -3π/4. Ingat, –π < Arg z ≤ π, sehingga Arg (-1-i) ≠ 225 o atau 5π/4. Selanjutnya, arg (-1-i) = Arg (-1-i) + 2kπ = -3π/4 + 2kπ, dengan k = 0, ±1, ±2, ...
Definisi 4. Bentuk e iθ atau exp(iθ) didefinisikan sebagai: e iθ = cos θ + i sin θ Dengan θ dalam radian. ■
Berdasarkan Definisi 4, bentuk bilangan kompleks z sebagaimana yang dimaksud pada Definisi 3, dapat ditulis kembali menjadi: z = r(cosθ + i sinθ) = re iθ
Contoh: Misalkan diketahui bilangan kompleks z = -1 – i, tentukan bentuk eksponennya. Penyelesaian: Telah ditunjukkan bahwa θ = -3π/4, r = √2. sehingga bentuk eksponensialnya adalah:
3 z 2exp i 4
3 2exp i 4
2e
i
3 4
Atau
3 z 2exp i 2k 4
dengan k = 0, ±1, ±2, ...
Gambar 7. Bentuk polar bil. kompleks
Bentuk z = re iθ dengan r = 1 menunjukkan bahwa e iθ terletak pada lingkaran dengan jarak 1 satuan dari titik asal. Secara geometri terlihat bahwa e iπ = -1, e -iπ/2 =-i, dan e -i4π = 1.
Latihan 1. 1. Tunjukkan bahwa:
2. Misalkan z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2 . Buktikan bahwa
dan
3. Buktikan bahwa
untuk
4. Tentukan Arg z dan arg z dari
5. Tentukan bentuk eksponensial bilangan kompleks
6. PERKALIAN & PEMBAGIAN BENTUK EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS
Perkalian dan pembagian bentuk eksponensial bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut: Misalkan
maka:
a. a b. B
c. Untuk suatu
maka
7. ARGUMEN DARI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN KOMPLEKS
Misalkan
Maka
dan
8. AKAR-AKAR BILANGAN KOMPLEKS
Misalkan
diberikan
suatu
titik z = re iθ , terletak pada suatu lingkaran dengan jarijari r. Titik z = re iθ akan kembali jika
θ
ke
posisi
bertambah
semula ataupun
berkurang sebesar 2π. Gambar 8.
Definisi 5 Dua buah bilangan kompleks z1 = r1eiθ1 dan z2 = r2eiθ2 dikatakan sama jika dan hanya jika r1 = r2 dan θ1 = θ2 + 2kπ, dengan k = 0, ±1, ±2, ...
Teorema De Moivre Misakan suatu bilangan kompleks pangkat n adalah zn = rn(cos nθ + i sin nθ) dengan n = 0, 1, 2, ... Untuk |z| = r = 1, maka zn =
(cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ).
Misalkan bentuk akar n dari suatu bilangan kompleks z adalah w, ditulis sebagai berikut:
wn z Misalkan z = r (cos θ + i sin θ) dan w = R (cos Φ + i sin Φ), maka
w n z wn z Rn cos n i sin n r cos i sin Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, maka Rn = r →
R nr
nΦ = θ + 2kπ →
dan
2k n n
dengan k = 0, 1, ..., n-1, ..
Sehingga:
2k 2k w z r cos i sin n n n
n
Ke-n buah nilai tersebut terletak pada suatu lingkaran yang berjari-jari
n
r
dengan pusat lingkaran di titik asal
dan membentuk suatu polygon beraturan bersisi n.
Contoh: Tentukan akar ke-n dari bilangan kompleks 1.
Latihan 2. 1. Sederhanakan bentuk 2. Tentukan principal argument (Arg z) dari bentuk kompleks berikut:
3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan
4. Gunakan teorema de Moivre untuk membuktikan
rumus identitas trigonometri berikut:
SELESAI
NEXT Tugas I
