BENTUK PANGKAT , AKAR DAN LOGARITMA Standar Kompetensi Memahami dan menggunakan aturan dan sifat serta manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma. Kompetensi Dasar Menggunakan sifat, aturan dan manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah akar, pangkat dan logaritma I. Bentuk pangkat I.1. Pangkat Bulat Positif Definisi Bilangan berpangkat bulat positif Misalkan n bilangan bulat positif dan a bilangan Real, bilangan a n mempunyai arti a x a x a x … x a ( sebanyak n factor yang sama ). Bilangan a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : 45 3 2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab : (- 2 ) æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö 3. ç ÷ xç ÷ xç ÷ xç ÷ è5ø è5ø è5ø è5ø 4. 81 5. 256 6. 30.000
4
jawab : jawab : jawab : jawab :
æ1ö ç ÷ è5ø 34 44 3x104
I.2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif Untuk m , n Î B + dan a Î R maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut Bukti : 1. a m x a n = a m + n
2. a m : a n = a m -n
Bukti :
3. (a n ) = a mn
Bukti :
m
am æaö 4. ç ÷ = m b èbø
Bukti :
5. (a x b ) = a m xb m
Bukti :
m
m
Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat 8x 5 y 6 4 4 1. = ... jawab : - x 5- 2 y 6-3 = - x 3 y 3 2 3 3 3 - 6x y
(2 x y ) 2. 2
4x3 y
2
= ...
(2 x ) (4 y ) - (4 x y ) = ... (4 xy ) + (6 x y ) 3 2
3.
jawab :
3
2
2
jawab :
4x 4 y 2 = x 4-3 y 2-1 = xy 4x3 y 16 x 6 y 3 - 4 x 2 y 2 16 x 2 y 2 + 6 x 2 y 2
(
)
2 x 2 y 2 8x 4 y - 2 1 = = 8x 4 y - 2 2 2 11 22 x y I.3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol Bukti : 1. Jika a ¹ 0, maka a 0 = 1 2
2
2
2. Jika n Î B dan a ¹ 0 maka a -n =
1 an
Bukti :
Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif 1 1 1. 2 - 4 = 4 = 16 2 1 1 -4 2. (- 3 x ) = = 4 (- 3x ) 81x 4 LATIHAN 1
(
)
æ x2 1. Sederhanakan çç - 4 èy
ö ÷÷ ø
2
æ y -3 ö .çç 2 ÷÷ è x ø
æ p -3 q 4 ö 2. Sederhanakan çç -2 3 ÷÷ èr s ø
2
3
æ 3 23 -2 15 çx y 6. Sederhanakan ç 1 ç z -14 è
æ p 3 r -3 ö .çç - 4 4 ÷÷ èq s ø
a -2 + b -1 3. Sederhanakan -1 a + b -2
-3
5. Buktikan
-3
x +y x -3 - y - 3
æxö 1 - çç ÷÷ è yø
1 10 ìé 2 2 -4 ù ö ïæ 7. íêêçç x 5 y 3 ÷÷ úú ø ú ïêè û îë
æ : çç x è
1 4
- 18 x -2 y 3 - 12 x -5 y 5
ü öï y ÷÷ý øï þ
1 2
-3
1 4
4
=
2
3
9. Sederhanakan é 1 2ù -2 -2 - (- 3) ú. (- 3) + (- 3) = ê -2 ë (- 3) û
[
3
]
[( ) ] .[(8 ) ]
10. Sederhanakan 8 -2
3 5
3
TUGAS 1 1. Sederhanakan
-2
8. Tentukan nilai dari T = ab 3 c 4 , untuk 1 a = 100 , b = dan c = 0,01 8
ab -1 - a -1b 4. Sederhanakan b -1 - a -2
æ xö 1 + çç ÷÷ è yø =
-2
ö ÷ ÷ ÷ ø
6. Tulis dalam satu suku 1 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16 32
6 0 -2
=
2. Sederhanakan (x -2 + y -2 )
-2
7. Tulis dalam bentuk 4
5
2m 2n 6
æ2ö æ2ö æ2ö æ2ö 8ç ÷ - 4ç ÷ + 2ç ÷ + 6ç ÷ è3ø è5ø è3ø è3ø
éæ a 2 3. Sederhanakan êçç 7 êëè b
ö ÷÷ ø
-3
æ a4 ö .çç -3 ÷÷ èb ø
( (
) )(
5. Sederhanakan
II.
)
-2
=
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
Bentuk Akar Pangkat Rasional
-2 4
3 -2
-2 2
5 3
ù ú úû
-1
8. Sederhanakan
a -4 - b -4 = a - 2 - b -2
xy -1 - x -1 y 9. Sederhanakan = y -1 + x -1
4. Sederhanakan
é - 4 x 2 y 3 (- 2 xy )-2 ù ê ú 4 2 5 ë - 4x y - 2x y û
2
7
=
éæ ç 1 1 10. Sederhanakan êç 3 . 1 êç a b2 ëêè
3
ö ù ÷ ú ÷÷.abú = ø ûú
Jika m , n bilangan bulat dan a Î Re al , maka m n
a = n am =
Bukti
( a) n
m
Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana 2 5
1. a = 5 a 2 7
2 æ 212 ö 3 2 3 ç ÷ 2. a ç ÷ =a = a è ø
1
3.
3
4 æ 4 ö3 =ç ÷ = 27 è 27 ø
3 3
4 1 = 34 27 3
Bilangan Irasional dan Bentuk Akar Beberapa contoh bilangan irasional dalam bentuk akar : 0,2 , 3 , 7 , 3 2 Beberapa contoh bilangan yang ditulis dengan tanda akar, akan tetapi bukan merupakn bentuk akar : 9 , 16 , 3 8 , 3 0,001 (i) Penjumlahan , pengurangan dan perkalian bentuk akar 1. m a + n a = (m + n ) a dengan a ³ 0 2. m a - n a = (m - n ) a dengan a ³ 0 3. a x b = ab dengan a ³ 0 dan b ³ 0 Contoh 5 : 1. 2 a - 5 a + 7 a = (2 - 5 + 7 ) a = 4 a 2.
(
(
)
2 3-2 2 = 3 2 -2 4 = 3 2 -4
)(
)
3. 2 - 3 2 + 8 = 4 + 16 - 6 - 24 = 2 + 4 - 6 - 2 6 = 6 - 3 6 (ii) Merasionalkan pecahan Cara merasional: a Bentuk : a b b x b b Cara merasional: 1 Bentuk : 1 a- b a+ b x a+ b a- b Cara merasional: 1 Bentuk : 1 a- b a+ b x a+ b a- b Contoh 6 :
1. 2.
5 3 5
5
= =
5
2 7+ 5
20
3
=
5 3 3
20
x
100 10 1 = = 20 20 2
=
20 4 1- 3 41- 3 3. = x = = -2 1 - 3 = 2 3 - 2 1- 3 1+ 3 1+ 3 1- 3
4.
20 4
3
3
x
(
2
=
7+ 5
x
7- 5 7- 5
)
=
(
(
)
) (
)
2 7- 5 2 7- 5 = = 7- 5 7-5 2
(iii) Menyederhanakan bentuk akar Sifat – sifat a.
a+ b=
(a + b ) + 2
ab
b. a - b = (a + b ) - 2 ab untuk a > b > 0 , karena harus merupakan bilangan-bilangan positif
Bukti :
Bukti :
Contoh 7 : 1.
7 + 2 10 =
2.
8 - 2 15 =
(5 + 2) + 2 (5 + 3) - 2
LATIHAN 2 1. Sederhanakan 252 - 7 + 112 =
2. Sederhanakan 80 - 5 - 125 =
5x2 = 5 + 2 5 x3 = 5 - 3
6. Dengan merasionalkan penyebut, 4 sederhanakan : = 5- 3
7. Sederhanakan : æç 3 + 6 + 3 - 6 ö÷ è ø
2
3. Tentukan bentuk sederhana dari
6+4 2 =
4. Jika x = 2 - 5 dan y = 2 + 5 maka nilai x 2 - y 2 =
5. Sederhanakan dengan merasionalkan penyebutnya : 8 = 3+ 5
TUGAS 2 1. Sederhanakan 2 150 - 5 54 - 7 48 =
2. Sederhanakan : 2 - 3 2 -5 3 =
(
)(
3. Sederhankan :
)
5 1 -2 = 6 6
8. Sederhanakan : 2 + 3 æç 2 - 3 ö÷ - 2 - 3 æç 2 + 3 ö÷ = è ø è ø
(
)
(
9.Sederhanakan :
10. Sederhanakan :
)
2+ 3 2 + 2+ 3
=
8 1 -2 = 15 15
6. Sederhanakan dengan merasionalkan 3- 6 penyebutnya ; = 3- 2
7. Sederhanakan dengan merasionalkan 3 penyebutnya ; = 5+ 2- 3
8. Sederhanakan :
(t -
)(
)
t 2 -1 t + t 2 -1 =
23 - 8 7 =
4. Sederhanakan :
5. Diketahui p = 3 + 5 dan q = 3 - 5 . Tentukan nilai
( p + q )2
=
9. Sederhanakan :
4
27 - 8 11 =
10. Rasionalkan penyebut dari pecahan 3 2 6 berikut ; = 3+ 6 2+ 3
III. Bentuk Logaritma 3.1 Definisi a log b = c « a c = b a disebut basis atau bilangan pokok (a ¹ 1 dan a > 0) b disebut numerus ( b > 0 ) c disebut hasil logaritma Contoh 8 : 1. 3 log 27 = 3 karena 33 = 27 2.
2
( )
log 2 3 = 2 log 2
6
=6
3.2 Sifat-sifat Logaritma 1. a log(bxc )= a log b+ a log c
2. a log(b : c )= a log b- a log c
5. a log a = 1, a log1 = 0, a log a n = n
6.
an
log b m =
m a x log b n
3. a log b n = nx a log b
7. a
a
log b
=b
8. a log b.b log c.c log d = a log d
p
log b 1 4. log b = p = b log a log a a
Contoh 9 : 1. Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka nilai log 6 = log(2 x3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781 2 8 log 3 = 3 8 log 3 = 3 p 23 2 2 2 log 2 log 2 3 3. Sederhanakan : 5 log 27 x 3 log 5= 5 log 33 x 3 log 5 =35 log 3 x 3 log 5 = 3 IV. 1. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana Contoh 10 : 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x + 4 + 2 x + 1 = 3 Jawab : x + 4 = 3 - 2x + 1
2. Diketahui 8 log 3 = p maka 4 log 9 =
8
log 9 = 8 log 4
8
log 3 2
=
x + 4 = 9 + (2 x + 1) - 6 2 x + 1 6 2x + 1 = x + 6 36(2 x + 1) = x 2 + 12 x + 36 72 x + 36 = x 2 + 12 x + 36 x 2 - 60 x = 0
x( x - 60) = 0 x1 = 0 atau x 2 = 60(tidak memenuhi)
( )
2. Diketahui : 8 x Jawab :
(2 )
3x 2
2
= 16 , tentukan nilai x yang memenuhi
= 16 « 2 6 x = 2 4 « 6 x = 4 ® x =
2 3
3. Diketahui : 4 ( x +3 ) = 4 8 x +5 , tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :
2
2( x +3)
=2
æ x +5 ö 3ç ÷ è 4 ø
« 2 2 x +6 = 2
3 x +15 4
« 2x + 6 =
3 x + 15 9 « 8 x + 24 = 3 x + 5 ® x = 4 5
IV.2. Persamaan Logaritma Sederhana Contoh 11 : 1. Diketahui : 2 log x + 2 log( x + 2) = 3 , tentukan nilai x yang memenuhi Jawab : 2 log x( x + 2)= 2 log 2 3 « 2 log x 2 + 2 x = 2 log 8
(
)
« x + 2 x = 8 « x + 2 x - 8 = 0 « ( x - 2 )( x + 4 ) = 0 ® x1 = 2 atau x2 = -4 (tidak memenuhi) 2
2
2. Tentukan nilai x jika diketahui x = 10 x 100 Jawab : x = 10 x 100 log 3-log 2
x = 10 x 100
log
2 log
1 log 9 - log 2 2
3 2
3 2
x = 10 x 10 9 45 x = 10 x = 4 2 LATIHAN 3 1. Tentukan nilai x yang memenuhi log( x + 4) = log x + log 4
6. Tentukan nilai x yang memenuhi 2 persamaan 4 (x + x ) = 16
2. Diketahui 2 log 3 = a dan 5 log 2 = b . Nyatakan 30 log 90 dalam a dan b
7. Tentukan nilai x yang memenuhi x +1 + x -1 persamaan x +1 - x -1
3. Tentukan penyelesaian dari persamaan x + 6 - x - 1 = 1
8. Nilai x yang memenuhi persamaan æ1ö ç ÷ è3ø
-2 x
= 27
æ1 ö ç x +1 ÷ è3 ø
adalah
4. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian dari persamaan log x 2 = log( x + 3) + log 4 , hitunglah x1 + x2
9. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log( x + 2 )+ ( x + 2 ) log 4 = 3 adalah
5. Tentukan x jika diketahui
10. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log x = 2 log 10- 2 log x 2 + 1 adalah
4
x +5
= 8 4
x +10
(
)
TUGAS 3 1. Diketahui 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b . 6. Nilai x yang memenuhi persamaan 2x Nyatakan 6 log 98 dalam a dan b = 64 2 3 x . 8 3 x adalah x+2 8
2. Tentukan nilai x yang memenuhi log(2 x - 3) + log( x + 2 ) =1 log(6 x - 8)
3
3.
log 2 36- 3 log 2 4 3
log 5 12
=
7. log a + log a 2 + log a 3 + ... + log a n =
8. Nilai x yang memenuhi persamaan x log(3 x + 2 )= x log x 2 - 3 x + 10 = 0 adalah
(
)
4. Penyelesaian dari persamaan 2 6 x -3 x +8 = 36 x + 2 adalah x1 dan x2 dengan x1 > x2. Nilai dari x1 – x2 =
9. Tentukan nilai x yang memenuhi 2x + 1 - 2x - 1 persamaan 2x + 1 + 2x - 1
5. Nilai x yang memenuhi persamaan x log( x + 12) - 3. x log 4 + 1 = 0 adalah
10. Jika a dan b adalah akar-akar 3 2 2 persamaan 3 log (4 x +3) + 4 log ( x -1) = 49 , maka a + b =
LATIHAN ULANGAN HARIAN 1. Jika 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b , maka
log 98 = a A. a+b a+2 B. b+a a +1 C. b+2 6
a+2 a(b + 1) b+2 E. b(a + 1)
D.
2. Bentuk sederhana dari
1 3 -1
adalah
… A. 2 3 + 2 1 1 3+ 2 2 1 1 C. 3 2 2
B.
1 1 + 3 4 4 1 1 E. - 3 4 4
D. -
3. Bentuk
4.
5.
6.
7.
4
dapat disederhanakan 5- 3 menjadi… A. 4 5 + 4 3 D. 2 5 + 2 3 B. 4 5 - 4 3 E. 2 5 - 2 3 C. 4 3 - 4 2 Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log x = 2 log(10- 2 log x 2 ) + 1 adalah … A. 4 D. 6 B. 16 E. 32 C. 12 Nilai x1 + x 2 yang memenuhi persamaan log x 2 = log( x + 3) + log 4 adalah … A. 4 D. -3 B. 3 E. - 12 C. -4 Nilai x yang memenuhi pertaksamaan 2 9 = 3 x adalah … 4 x -3 3 A. 1 atau 5 D. 5 B. –5 atau 1 E. – 1 C. – 5 atau –1 Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar
persamaan 2 x. log 9 + 2.3 x +1 + 9 = 0 maka nilai dari x1 + x 2 = … A. log 3 B. log 2 C. 2 D. 3 E. 4 8. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 2 log(2 x - 3) x 1 - log( x + 6 ) + 2 =1 2 log x 1+ log x adalah … A. 6 D. {3} B. {6} E. { 1 , 6 } C. {1} 9. Bentuk paling sederhana dari 2
{ }
1 5-2 6
adalah …
A. 3 - 2 D. 2 + 3 B. 3 + 2 E. 5 C. 3 + 2 10. Jika x1 dan x adalah penyelsesaian dari persamaan 27 x + 4 = 3 x x1 + x 2 =… A. –6 D. 6 B. –5 E.8 C. 6
2 -3 x + 3
, maka
