BAB III KUANTOR Untuk mengubah kalimat tebuka menjadi kalimat deklaratif, selain dengan jalan mengganti variabel dengan konstanta, dapat juga dilakukan dengan menggunakan kuantor, yaitu dengan menggunakan ungkapan. 1. Kuantor Universal Untuk semua
berlaku ...” atau “Untuk setiap
berlaku...”
Sebagai contoh misalkan semesta pembicaraannya himpunan semua bilangan asli. 1.
merupakan kalimat terbuka
2. “Untuk semua
berlakulah
” merupakan kalimat deklaratif bernilai salah,
sebab dapat ditemukan bilangan asli
yang memenuhi
3. Kuantor Eksistensial “Terdapat
sedemikian hingga ...” atau “Ada
sedemikian hingga ...”
Dengan semestanya himpunan semua bilangan asli. 1.
merupakan kalimat terbuka
2. “Terdapat
sedemikian hingga
benar, sebab untuk
” merupakan kalimat deklaratif bernilai
berlakulah
Di dalam contoh di atas kalimat
dapat dibaca dengan “ mempunyai
sifat lebih besar daripada 1”. Jika kondisi tersebut dinyatakan “ mempunyai sifat dan ditulis dengan simbol
, maka kalimat,
“Untuk semua dapat ditulis dengan:
berlakulah
. Secara umum bentuk
dapat dibaca
dengan, 1.
“Semua
bersifat
2.
“Setiap mempunyai sifat
3.
“Untuk semua
berlaku sifat
Kalimat “Terdapat suatu
yang memenuhi (sifat)
Secara umum bentuk
” dapat ditulis dengan:
dapat dibaca dengan,
1.
“Terdapat
yang mempunyai sifat
2.
“Beberapa
mempunyai sifat ”
3.
“Paling sedikit ada satu
yang mempunyai sifat ”.
Selanjutnyaperlu diperhatikan, bahwa dalam penulisan simbol kuantor mengikat lebih kuat dibandingkan kata penghubung lainnya. Sebagai contoh kalimat,
yang dimaksud adalah Di dalam praktiknya, di bidang ilmu eksakta untuk mengungkapkan sifat-sifat (hukum-hukum) yang berlaku umum tidak jarang kuantor universal tidak ditulis, walaupun eksistensinya memang diakui. Sebagai contoh rumus, Bentuk sesungguhnya dari rumus tersebut seharusnya,
Dalam pemakaiannya seringkali di dalam suatu kalimat kuantor yang digunakan tidak tunggal dan mungkin juga antara kuantor universal dan eksistensial digunakan bersamaan, baik di awal kalimat maupun di tengah kalimat. Sebagai contoh kalimat-kalimat berikut ini dengan himpunan semua bilangan real, 1. 2. 3. 4.
!
Simbolisma-simbolisma di atas dibaca: 1.
Untuk semua
dan untuk semua
lebih kecil daripada # maka
berlaku jika "
lebih keil daripada
dan
lebih kecil daripada
Dapat juga diucapkan dengan kalimat: Setiap pasangan bilangan real 2.
Untuk setiap
terdapatlah
0 sama dengan
dan
kuadrat.
yang memenuhi
dikurung
sama dengan 0 dan
ditambah
Dengan bahasa keseharian dapat diucapkan: Setiap bilangan memiliki kebalikan terhadap operasi pengurangan, yaitu dirinya sendiri. kalimat ini bernilai benar. 3.
Terdapat ditambah
yang memenuhi untuk semua
berlaku
yang sama dengan .
Dengan bahasa keseharian dapat diucapkan:
ditambah
sama dengan
Ada bilangan yang memenuhi sifat ditambahkan kepada setiap bilangan hasilnya akan sama dengan bilangan yang kedua. 4.
Untuk setiap memenuhi
berlaku, jika dikali
tidak sama dengan 0, maka terdapat
sama dengan
yang
dikali , sama dengan 1.
Dapat diucapkan: Setiap bilangan yang tidak nol mempunyai bilangan yang berlawanan (terhadap perkalian). Kalimat ini bernilai benar, sebagai contoh bilangan 5 lawannya $. 3.1
Urutan, Sifat-sifat, dan Hubungan Antar Kuantor Urutan dan letak kuantor di dalam suatu pernyataan harus diperhatikan secara
seksama. Penempatan kuantor yang tidak tepat akan berakibat makna pernyataan akan berbeda dengan fakta yang ingin disampaikan. Hal ini juga berdampak pada nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Selanjutnya misalkan
adalah suatu predikat tertentu. Tata tulis dua kuantor
secara berurutan mempunyai bentuk umum: #
1.
#
, juga ditulis dengan
Dibaca: “Untuk semua
dan
berlaku
#
dan
.
bersifat
.
#
2.
Dibaca: “Untuk semua #
3.
mempunyai sifat #
yang memenuhi
dan
bersifat
.
.
Dibaca: “Terdapat 4.
terdapat
yang memenuhi untuk semua
berlaku
dan
. , juga ditulis dengan
Dibaca: “Terdapat
dan
#
#
yang memenuhi sifat
. .
Teorema berikut ini menunjukkan, bahwa kuantor-kuantor yang sejenis bisa ditukar letaknya. Teorema 3.1
%
#
&
%
#
Teorema 3.2
%
#
&
%
#
#
Kalimat # 1.
mempunyai
arti
. Sebagai contoh perhatikan kalimat: , dan
. yang
berbeda
dengan
2.
,
dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan nyata. kalimat ke-1 bernilai benar. Untuk setiap , pasti ada
yaitu
yang memenuhi
. Sedangkan kalimat ke-2 bernilai salah, sebab jika ada yang memenuhi kondisi tersebut, maka
dan
. Akibatnya
,
sehingga terjadi kontradiksi. %
Teorema 3.3
#
%
#
.
Sifat ini berlaku untuk semua pembicaraan dan semua predikat %. Kalimat:
Contoh 3.1.1
akan
berakibat:
, sebab anteseden benar, sehingga eksistensi memenuhi
, untuk semua
sebarang , berlaku
yang
dijamin di dalam semestanya. jadi untuk
.
Selanjutnya bentuk ingkaran dari kalimat, “Semua
mempunyai sifat
.
Dengan kata lain pernyataan yang merupakan ingkaran, bahwa setiap anggota semestanya mempunyai sifat ', adalah sama dengan mengatakan terdapat anggota yang tidak mempunyai sifat ', sehingga berlaku, Teorema 3.4
((((((((((((( & '
Contoh 3.1.2
Jika semestanya himpunan semua bilangan nyata, tentukan
((((((. '
ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini: )
1. *+
2.
+*
+*
Penyelesaian: 1.
(((((((((((((((( ) ,
Sama dengan : Atau 2.
:
((((((((((((((((((((((((((((((( *+ +* +* Sama dengan : Dengan kata lain :
((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((((((((( *+ +* + *+
+ * - (((((((((( +*
*+
Mempunyai makna yang sama dengan:
+*-
*
Ingkaran bahwa terdapat anggota semestanya yang sifat ' sama dengan menyatakan, bahwa tidak ada anggota semestanya yang mempunyai sifat '. Hal ini sama dengan mengatakan semua anggota semestanya tidak mempunyai sifat '. Teorema 3.5
((((((((((( ' &
Contoh 3.1.3
Tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini.
(((((( ' .
1.
Ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85.
2.
dengan semesta himpunan bilangan nyata:
.
Penyelesaian: 1.
Tidak ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85 Sama dengan : Semua mahasiswa IPK-nya tidak lebih besar daripada 3.85 Atau : Semua mahasiswa IPK-nya kurang dari atau sama dengan 3,85 (((((((((((((((((((((((
2.
.
Sama dengan :
)
Dengan kata lain:
Berdasarkan sifat-sifat ingkaran kalimat di atas dapat diturunkan bentuk-bentuk ingkaran kalimat yang lain, yang di dalamnya juga memuat kuantor. Dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan nyata,
Contoh 3.1.4
tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini. 1. 2.
/
0 10
/# 0 2 &
3.
3 3
-
3
Penyelesaian: 1.
Ingkaran dari :
adalah:
((((((((((((((((((((((((((( ((((((((((((((((((((( ((((((((((((((( !
2.
/
Ingkaran dari :
0 10
/# 0 2 adalah:
((((((((((((((((((((((((((((((((((( / 0 0 /# 0 / ((((((((((((((((((((((((((((( 0 10 /# 0 2
3.
/
0 ((((((((((((((((((((( 0 /# 0
/
0 0
- (((((((( /# 0
&
Ingkaran dari :
3 3
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( & 3 3 3
-
3
adalah:
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( & 3 3 3 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( & 3 3 3
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((( 3 3 3 - ((((((((((((((((((((((((((((((((( 3 3 3 ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((( 3 3 3
(((((((((( - ((((((((((((((((((((((((((((((((( 3 3 3 4444444 - (((((((((((((((((((((((((((((((( 3 3 3 -
3 3
!
3
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( (((((((((((((((((((((((((((((( 3 3 3
((((((((((((((((((((((((((((((((( 3 3 3 - ((((((((( 3 3
-
3 -
1 3 3
-
3 -
2
Berikut ini diberikan contoh-contoh menentukan nilai logika kalimat yang menggunakan kuantor. Contoh 3.1.5
Semesta pembicaraan adalah himpunan semua bilangan real. Tentukan nilai logika dari kalimat ini.
1. 2. 3.
5
4.
5 67
5.
8
9 7
6.
!
7.
:
:
Penyelesaian: 1.
Bernilai salah, sebab untuk
berlaku
2.
Bernilai benar, sebab untuk
berlaku
3.
Bernilai salah, sebab untuk
berlaku,
+ ;
.
4.
5
5.
Bernilai benar, contohnya
6.
Bernilai benar, sebab jika B
=
<
>
5?
>! . >. , maka
@
, jika A
@
, maka
@
.
C D
7.
Bernilai salah, sebab untuk
8.
Bernilai benar
# berapapun A berlaku B ! .
Semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan 0, 1, 2, 3 dan 4.
Contoh 3.1.6
Tentukan nilai logika dari kalimat berikut ini. )
1.
.
2.
. + E.
3. 5
4.
.
Penyelesaian: dan
Jadi pasti
) .
1.
Bernilai benar, sebab paling kecil
2.
Bernilai benar, sebab contohnya
3.
Bernilai benar, sebab paling besar adalah ; dan ;
4.
Bernilai salah, sebab semua anggota semestanya positif, sehingga 5
berlaku
. E. .
Latihan 3.1 1.
Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua manusia. Didefiniskan simbol-simbol sebagai berikut: F H
G
merupakan mahasiswa
G
orang yang pandai
G
suka berolah raga.
Tuliskan pernyataan-pernyataan ini dengan menggunakan kuantor dan simbolsimbol di atas. 1.
Ada manusia yang suka berolah raga tetapi tidak pandai.
2.
Semua mahasiswa pandai.
3.
Ada mahasiswa yang pandai dan suka berolah raga
4.
Semua manusia yang tidak pandai tetapi suka berolah raga pasti bukan mahasiswa.
2.
5.
Ada manusia, yang suka berolah raga tetapi bukan mahasiswa.
6.
Semua orang pandai pasti tidak menyukai olah raga.
Diberikan semesta pembicaraanya himpunan semua bilangan nyata. Bacalah kalimat-kalimat di bawah ini, kemudian renungkan artinya dan ucapkanlah dengan menggunakan bahasa sehari-hari (dengan makna yang sama dengan bentuk simbolnya). Selanjutnya tentukan nilai kebenarannya. 1. 2.
+
3.
9
I I
0 0
4.
!
5.
-
6. 7. 3.
Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat: Saol 1.1 – 1.6, kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari.
4.
Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat: Soal 2.1 – 2.7, kemudian
terjemahkan
dalam
bahasa
sehari-hari
dan
tentukan
nilai
kebenarannya.
3.2
Kuantor Jenis Lain dan Kuantifikasi Terbatas Di bidang matematika terdapat suatu kuantor jenis lain yang mempunyai simbol
khusus, yaitu yang mewakili pernyataan “Terdapatlah satu dan hanya satu ...” di dalam semestanya. Untuk itu perhatikan kalimat: “Terdapatlah satu dan hanya satu
yang mempunyai sifat
Simbol dari pernyataan tersebut adalah: yaitu ada
yang memenuhi sifat
sama dengan
dan untuk setiap
yang memenuhi sifat , maka
. Kuantor ini diberi simbol dengan
selengkapnya dapat ditulis dengan:
J
, sehingga kalimat
dan dibaca “Terdapat dengan tunggal
yang mempunyai sifat
.
Diberikan kalimat-kalimat berikut ini:
Contoh 3.2.2 1.
Terdapat
yang positif dan bersifat
2.
Terdapat K yang merupakan elemen L dan bersifat
3.
Semua
4.
Semua K anggota L mempunyai sifat
yang positif mempunyai sifat
Bentuk simbolis dari kalimat-kalimat tersebut adalah: -
1.
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: dan dibaca: Terdapat suatu positif yang bersifat . 2.
1 0L-
2 0L
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: dan dibaca: terdapat suatu 3.
1
elemen L yang bersifat
2
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: dan dibaca: Semua
positif mempunyai sifat
Simbolisasi dari kalimat tersebut bukan: -
karena terjemahan dari “Setiap
-
1 adalah
pasti positif dan mempunyai sifat
Kalimat ini tidak sesuai dengan kalimat aslinya.
4.
1 0L
2
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: dan dibaca: Semua
2#
0M
elemen L mempunyai sifat
Bentuk ingkaran dari kalimat-kalimat dalam contoh di atas adalah: 1.
(((((((((((((((((((( yaitu (((((((((((((((((((((((((( ((((((((((((((((((( (((((((((
((((((
((((((
0L
0 L (((((((# dan dibaca: Semua 2.
((((((((((((((((((( 0L yaitu
elemen M tidak mempunyai sifat .
(((((((((((((((((((((((((( 0L -
(((((((((((((((((((( 0L ((((((((( 0L
((((((((
0L
((((((
0 L ((((((,
dan dibaca: Semua 3.
elemen M tidak mempunyai sifat
(((((((((((((((((((( yaitu (((((((((((((((((((((((((((( 1 0L 2 ((((((((((((((((((( ((((((((( 0L 0 L - ((((((
0 L ((((((, dan dibaca: Terdapat Contoh 3.2.3
elemen M yang tidak mempunyai sifat .
Tentukanlah negasi (ingkaran) dari kalimat-kalimat berikut ini, jika semestanya adalah himpunan orang-orang.
1. Bagi wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75meraih derajad cumlaude. 2. Ada bayi yang berat badan lahirnya kurang dari 2 kg yang tidak dimasukkan ke dalam inkubator. 3. Setiap mahasiswa semester satu harus mengambil kalkulus I. Penyelesaian:
1. Kalimatnya sama artinya dengan kalimat, setiap wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75 mempunyai derajad cumlaude, sehingga ingkarannya adalah ada wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75 tapi tidak meraih derajad cumlaude. 2. Ada bayi yang berat badan lahirnya kurang dari 2 kg pasti dimasukkan ke dalam inkubator. 3. Ada mahasiswa semester satu yang tidak harus mengambil kalkulusI. Kalimat ini sama artinya dengan kalimat: “Ada mahasiswa semester satu yang diperbolehkan tidak mengambil kalkulus I”. Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini.
Contoh 3.2.4
1. Sekurang-kurangnya ada satu 2. Paling banyak ada satu 3. Hanya ada satu
yang mempunyai sifat .
yang mempunyai sifat .
yang mempunyai sifat .
4. Paling banyak ada satu bilangan positif yang bersifat . 5. Sekurang-kurangnya ada dua
bersifat .
6. Paling banyak ada dua elemen N yang bersifat . Penyelesaian: 1.
. -
2.
. Ekuivalen dengan ((((((
!
(((((( . (((((((( .
!
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((( # ! Perlu diperhatikan, bahwa kalimat ini mengandung arti di dalam semestanya tidak ada kepastian ada
yang bersifat
. Namun jika
yang memenuhi sifat
, maka
elemen sedemikian tunggal adanya. -
3.
. Kalimat ini berbeda dengan kalimat 2, sebab
adanya elemen -
4. 5.
!
6.
: 1
Contoh 3.2.5
yang bersifat -
-
-
-
dijamin ada dan tunggal. .
. -
: 2
:
: .
Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan bulat. Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini.
1. Untuk setiap bilangan positif 0 terdapat bilangan positif O yang bersifat IOI
0.
2. Ada bilangan P yang memenuhi untuk setiap bilangan positif Q terdapat bilangan positif O yang bersifat IOI untuk setiap
0. Untuk setiap bilangan positif O sedemikian hingga I
anggota NR yang memenuhi
*I
O berlaku IS
PI
0
3. Ada bilangan P sedemikian hingga untuk bilangan positif 0 terdapat bilangan positif O sedemikian hingga untuk setiap berlaku IS
PI
anggota NR yang memenuhi
I
*I
O
0.
Latihan 3.2 1.
Tentukan negasi dari simbolisma-simbolisma logika kalimat-kalimat di dalam Contoh 3.2.4, kemudian terjemahkan dengan bahasa sehari-hari.
2.
Tentukan negasi dari simbolisma-simbolisma logika kalimat-kalimat di dalam Contoh 3.2.5, kemudian terjemahkan dengan bahasa sehari-hari
3.
Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real. Tentukanlah nilai kebenaran dari ungkapan-ungkapan berikut ini: 1
3.1 3.2
0
3.3
F
0
2I I
0
TU Q V 0
I9I
WX
. 0 . F .
Tulislah dalam bentuk simbolisma logika! 4.
Tulislah definisi YZ[ \
] untuk
^ _.
5.
Tulislah definisi YZ[ \
] untuk
^_ .
6.
Tulislah definisi YZ[ \
] untuk
^ _`.
7.
Tulislah definisi fungsi \ tidak mempunyai limit di
8.
Tulislah definisi fungsi \ mempunyai derivatif di
9.
Tulislah definisi fungsi \ kontinu di
10.
Tulislah definisi fungsi \ tidak kontinu di
11.
Paling banyak ada dua
12.
Fungsi \ kontinu pada interval a.
13.
Fungsi \ mempunyai derivatif di setiap
14.
Tulislah definisi barisan b c d ce konvergen, kemudian tentukan ingkarannya.
_. _.
_. _
dimana \ tidak kontinu di . Q a kecuali mungkin di _.
