BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta sistematika penulisan dari penyusunan skripsi ini.
1.1. Latar Belakang Masalah Grup merupakan struktur aljabar yang dibentuk dari himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi sifat asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap elemennya memiliki invers. Pada teori grup, dikenal suatu relasi yang cukup penting yaitu relasi konjugasi. Salah satu relasi konjugasi pada grup G didefinisikan sebagai berikut.
(∀a, b ∈ G)(a ∼ b) ⇐⇒ (∃g ∈ G)(b = g −1 ag). Relasi konjugasi tersebut merupakan relasi ekuivalensi, yaitu suatu relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Semigrup merupakan struktur aljabar yang lebih umum dari grup. Suatu himpunan S yang dilengkapi dengan suatu operasi biner merupakan semigrup jika operasi biner tersebut memenuhi sifat asosiatif. Jika semigrup S memuat elemen identitas, S disebut monoid. Jika S semigrup yang bukan monoid, maka S dapat dijadikan sebuah monoid S 1 dengan cara menambahkan elemen 1 ∈ / S dan didefinisikan 1.1 = 1, 1x = x = x1 untuk setiap x ∈ S. Ada beberapa konsep relasi konjugasi yang dikenal dalam teori semigrup. Zhang (1991) mendefinisikan relasi ∼l pada semigrup S dengan definisi : (∀a, b ∈ S)(a ∼l b) ⇐⇒ (∃g ∈ S 1 )(ag = gb).
1
2 Relasi konjugasi ∼l tersebut dikenal dengan istilah relasi konjugasi kiri. Pada sebarang semigrup S secara umum, relasi ∼l merupakan relasi yang refleksif dan transitif, namun tidak simetris. Pada semigrup, elemen 0 ∈ S disebut sebagai elemen nol jika untuk setiap x ∈ S, 0 = x0 = 0x = 0. Jika S merupakan semigrup dengan elemen nol, relasi ∼l merupakan relasi universal yaitu ∼l = S × S. Lallement (1979) mendefinisikan relasi konjugasi pada semigrup S dengan definisi : (a ∼p b) ⇐⇒ (∃u, v ∈ S 1 ), (a = uv dan b = vu). Untuk sebarang semigrup S secara umum, relasi ∼p merupakan relasi yang refleksif dan simetris, namun belum tentu transitif. Otto (1984) telah menyelidiki relasi ∼l dan ∼p pada sebarang monoid. Selanjutnya, dikenalkan oleh Otto (1984) mengenai relasi konjugasi ∼o pada monoid S dengan definisi : (a ∼o b) ⇐⇒ (∃g, h ∈ S 1 )(ag = gb dan bh = ha). Untuk sebarang monoid S, S = S 1 . Untuk definisi ∼o , S tetap ditulis S 1 Selanjutnya, untuk sebarang semigrup S, ∼o merupakan relasi ekuivalensi pada S. Namun untuk semigrup S dengan elemen nol, didapat ∼o = S × S. Oleh karena itu timbul pertanyaan, untuk sebarang semigrup, relasi konjugasi yang seperti apa yang merupakan relasi ekuivalensi dan tidak sama dengan relasi universal. Tulisan ini menyelidiki lebih dalam pertanyaan tersebut.
1.2. Perumusan Masalah Dari uraian sebelumnya, dapat diperoleh rumusan masalah terkait konjugasi pada semigrup P (X) sebagai berikut : 1. Bagaimana mendefinisikan relasi konjugasi yang merupakan relasi ekuivalensi dan bukan relasi universal untuk sebarang semigrup. 2. Apa sifat-sifat relasi konjugasi tersebut.
3 3. Bagaimana sifat relasi konjugasi jika diterapkan pada semigrup transformasi parsial P (X).
1.3. Maksud dan Tujuan Maksud dan tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Memahami konsep konjugasi yang dikonstruksikan ke dalam sebarang semigrup. 2. Memahami penerapan konjugasi pada semigrup transformasi parsial P (X).
1.4. Tinjauan Pustaka Penelitian ini merupakan kaji ulang terhadap satu jurnal utama yang berjudul Conjugation in Semigroups karya Araujo dkk.(2014). Penulis melengkapi bukti dari teorema-teorema yang ada pada jurnal tersebut, dengan mengacu pada beberapa referensi yang berkaitan dengan tema ini. Konsep mengenai konjugasi ∼p diperoleh dari Lallement (1979) dalam bukunya berjudul Semigroups and Combinatorial Aplication . Konsep mengenai konjugasi ∼l diperoleh dari Zhang (1991) dalam jurnalnya berjudul Conjugacy in Special Monoids. Konsep mengenai konjugasi ∼o diperoleh dari Otto (1984) dalam jurnalnya yang berjudul Conjugacy in Monoids with a Special Church-Roser Presentation is Decidable. Penjabaran konsep operasi biner, pemetaan dan relasi ekuivalensi telah dijelaskan oleh Malik dkk. (2007) dalam bukunya Introduction to Abstract Algebra. Kemudian Howie (1995) menjelaskan pengertian dan sifat-sifat dasar semigrup dalam bukunya Fundamentals of Semigroup Theory. Penjelasan mengenai relasi pengurutan parsial, bilangan ordinal dan himpunan Well-founded dijelaskan oleh Jech (2006) dalam bukunya Introduction to Set Theory. Ganyushkin dan Mazorchuk telah menjelaskan mengenai definisi transformasi, semigrup transformasi dan sifatsifatnya dalam bukunya Classical Finite Transformation Semigroups. Selanjutnya, mengenai definisi graf dan homomorfisma parsial graf berarah telah dijelaskan oleh Hell dan Nesetril (2004) dalam bukunya Graphs and Homomorphisms.
4
1.5. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi literatur materi yang berkaitan dengan konjugasi pada semigrup transformasi parsial P (X). Pertama, penulis mempelajari konsep dasar dan sifat semigup secara umum. Selanjutnya dilanjutkan dengan mempelajari definisi dan konsep dari graf berarah, homomorfisma graf berarah serta transformasi parsial terhubung. Selanjutnya penulis mengkaji ulang jurnal terkait konjugasi semigrup, melengkapi bukti serta menambahkan contoh. Kemudian, penulis meninjau aplikasi konjugasi semigrup secara umum pada semigrup transformasi parsial P (X).
1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, tinjauan pustaka, metode penulisan dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas teori-teori dan sifat yang menjadi dasar dalam mempelajari bab selanjutnya.
BAB III Semigrup P (X) Pada bab ini dipaparkan konsep mengenai transformasi parsial, semigrup transformasi parsial P (X), homomorfisma parsial graf berarah, serta transformasi parsial terhubung.
BAB IV Konjugasi pada Semigrup P (X) Bab ini memuat isi pokok dari skripsi ini, yaitu berisi tentang konjugasi pada semi-
5 grup secara umum dan aplikasi konjugasi pada semigrup transformasi parsial P (X).
BAB V PENUTUP Pada bab ini dipaparkan kesimpulan dari semua pembahasan yang telah dijabarkan di bab-bab sebelumnya.
