BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Aljabar max-plus adalah himpunan RΩ = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗ yaitu untuk setiap a, b ∈ RΩ , a ⊕ b = max(a, b) dan a ⊗ b = a + b. Aljabar max-plus menjadi penting karena dapat digunakan untuk memodelkan sistem nonlinear dalam aljabar konvensional menjadi sistem yang linear sehingga sistem tersebut dapat diselesaikan dengan lebih mudah. Selain itu, karena terdapat beberapa kesamaan sifat antara operasi dasar dalam aljabar maxplus dengan operasi dasar dalam aljabar konvensional maka beberapa konsep yang terdapat dalam aljabar konvensional dapat berlaku di dalam aljabar max-plus. Beberapa konsep tersebut antara lain teorema Cayley-Hamilton dan aturan Cramer yang telah diteliti oleh Olsder-Roos [1988]. Dengan demikian, beberapa teknik yang dipakai di dalam aljabar konvensional juga memungkinkan dapat digunakan dalam aljabar max-plus. Salah satu teknik tersebut adalah perhitungan dekomposisi dari suatu matriks, misalnya dekomposisi-QR dan dekomposisi nilai singular yang telah diteliti oleh De Shutter-De Moor [2002]. Akan tetapi penurunan konsepkonsep tersebut tidak dapat dilakukan secara langsung ke dalam aljabar max-plus karena struktur aljabar max-plus yang merupakan dioid komutatif. Di dalam aljabar max-plus tidak semua elemennya mempunyai invers terhadap operasi ⊕, yaitu jika a ∈ RΩ maka tidak selalu dapat ditemukan elemen b ∈ RΩ sedemikian hingga a ⊕ b = Ω = b ⊕ a. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan membentuk struktur baru yang lebih luas daripada aljabar max-plus. Struktur tersebut dikenal dengan Smax , yaitu semacam bentuk simetrisasi dari aljabar max-plus. Namun demikian, karena operasi ⊕ bersifat idempoten yaitu untuk setiap a ∈ RΩ , a ⊕ a = a maka tidak dapat dilakukan proses simetrisasi seperti
1
2 biasa. Oleh karena itu diadopsi metode pembentukan himpunan Z dari N yaitu dengan mencari ”keseimbangan” antara elemen-elemennya bukan untuk mendapatkan elemen-elemen inversnya. Proses perluasan dari Rmax dimulai dengan membentuk himpunan PΩ yaitu himpunan pasangan (a, b) ∈ Rmax × Rmax dengan operasi ⊕ dan ⊗. Struktur (R2Ω , ⊕, ⊗) disebut sebagai pasangan aljabar. Selanjutnya struktur tersebut dilengkapi dengan relasi ekuivalensi R sehingga terbentuk kelas-kelas ekuivalensi. Himpunan kelas-kelas ekuivalensi tersebut yang kemudian membentuk himpunan S. Dekomposisi nilai singular memegang peranan penting dalam aljabar konvensional,misalnya digunakan dalam proses pemberian tanda air citra yang telah diteliti oleh Basaruddin dkk [2007] dan penentuan solusi sistem persamaan linear Ax = b. Oleh karena itu dimungkinkan juga bahwa dekomposisi nilai singular di dalam aljabar max-plus tersimetri mempunyai peranan yang sama penting dengan dekomposisi nilai singular dalam aljabar konvensional. Selanjutnya pembentukan struktur aljabar Smax bertujuan agar aljabar max-plus (RΩ , ⊕, ⊗) berkorespondensi dengan (Be+ , +, ×) dan struktur aljabar max-plus tersimetri (S, ⊕S , ⊗S ) berkorespondensi dengan (Be , +, ×). Bentuk korespondensi antara (RΩ , ⊕, ⊗) dan (Be+ , +, ×) dinyatakan oleh pemetaan injektif dengan ketentuan setiap x ∈ RΩ dipetakan ke fungsi fx ∈ Be+ yang didefinisikan dengan fx (s) = µexs untuk setiap s, µ ∈ R+ 0 . Demikian pula halnya dengan bentuk korespondensi antara (S, ⊕S , ⊗S ) dan (Be , +, ×). Berdasarkan definisi pembentukan himpunan Be+ dan Be diperoleh hubungan bahwa Be+ ⊂ Be . Selain itu, diperoleh pula hubungan bahwa RΩ ⊂ S sama seperti hubungan yang terdapat antara himpunan bilangan asli N dan himpunan bilangan bulat Z. Dengan adanya korespondensi dari struktur-struktur tersebut maka pembuktian eksistensi dekomposisi nilai singular dalam aljabar max-plus tersimetri dapat dilakukan dengan mengadopsi pembuktian eksistensi dekomposisi nilai singular dalam aljabar konvensional.
3
1.2. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang ingin dipelajari dalam penulisan tesis ini adalah: 1. Konsep-konsep dalam aljabar maks-plus beserta sifat-sifat dan operasi matriks dalam aljabar maks-plus. 2. Proses perluasan aljabar maks-plus tersimetri dari aljabar maks-plus. 3. Hubungan antara deret fungsi eksponensial dengan aljabar max-plus simetri. 4. Penentuan dekomposisi nilai singular dalam aljabar maks-plus simetri.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penyusunan proposal tesis ini adalah untuk mengetahui proses perluasan struktur aljabar max-plus dan sifat-sifat yang terdapat dalam struktur hasil perluasan tersebut. Selanjutnya mempelajari eksistensi dekomposisi nilai singular di dalam aljabar max-plus tersimetri. Terakhir, untuk menyusun contoh penghitungan dekomposisi nilai singular dari suatu matriks dengan entri-entrinya berada di dalam S.
1.4. Tinjauan Pustaka Dalam penelitian ini diperlukan beberapa buku dan artikel sebagai bahan referensi. Dasar teori mengenai aljabar max-plus beserta sifat-sifatnya dipelajari dari buku karangan Bacceli dkk(2001) dan De Schutter(1996). Bagian tentang aljabar max-plus tersimetri diambil dari buku karangan Bacceli dkk(2001) dan De Schutter(1996) serta artikel ilmiah yang ditulis oleh De Schutter-De Moor(2002). Bagian tentang Weierstrass M-Test yang digunakan untuk menunjukkan kekonvergenan fungsi-fungsi anggota lapangan Se diambil dari buku karangan Rudin(1984), sedangkan bagian mengenai dekomposisi nilai singular dalam aljabar konvensional diambil dari buku karangan Lay(2006). Selanjutnya proses penelitian mengacu pada artikel yang ditulis oleh De Schutter-De Moor(2002).
4
1.5. Metode Penelitian Konsep mendasar yang dipelajari terlebih dahulu adalah konsep dekomposisi nilai singular dalam aljabar konvensional, Weierstrass M-Test, dan aljabar maks-plus besertaa sifat-sifat operasi di dalamnya. Metode atau langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini, pertama mempelajari proses perluasan aljabar maks-plus tersimetri beserta sifat-sifat di dalamnya. Selanjutnya mempelajari hubungan antara aljabar konvensional dengan aljabar max-plus tersimetri. Terakhir, penulis menyelidiki tentang eksistensi dekomposisi nilai singular di dalam aljabar max-plus tersimetri serta menyusun contoh penghitungan dekomposisi tersebut.
1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodelogi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar penelitian. BAB III ALJABAR MAX-PLUS DAN ALJABAR MAX-PLUS TERSIMETRI Bab ini memuat penjelasan mengenai konsep-konsep di dalam aljabar max-plus serta di dalam perluasan aljabar max-plus, Weierstrass M-Test, serta dekoomposisi nilai singular dalam aljabar konvensional. BAB IV DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS TERSIMETRI Dalam bab ini berisi inti dari penelitian yang dilakukan, yaitu membahas eksistensi dekomposisi nilai singular di dalam aljabar max-plus tersimetri dan menyusun contoh penghitungan dekomposisi nilai singular dari suatu matriks atas aljabar maxplus tersimetri.
5 BAB V KESIMPULAN Berisi kesimpulan yang diperoleh darimateri-materi yang telah dibahas pada babbab sebelumnya.
