Bab 2 Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow 2.1
Geometri Riemann
Geometri Riemann pertama kali dikemukakan secara general oleh Bernhard Riemann pada abad ke 19. Pada bagian ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai hal-hal penting dari geometri Riemann. Untuk mendapatkan penjelasan lebih lengkap dapat lihat referensi [1, 5, 6, 13].
2.1.1
Manifold Riemannian
Manifold adalah suatu ruang topologi yang secara lokal menyerupai Rn . Kalkulus dalam manifold ini terdefinisikan dengan adanya keberadaan suatu sistem koordinat yang halus. Suatu manifold dapat memiliki suatu struktur yang lebih lanjut dengan adanya suatu tensor metrik, yang merupakan generalisasi dari perkalian dalam antara dua vektor pada Rn . Dengan struktur yang baru ini, didefinisikan perkalian dalam antara dua vektor dalam ruang tangen Tp M. Kita dapat juga membandingkan vektor pada titik p ∈ M dengan vektor lain pada titik yang berbeda p0 ∈ M dengan menggunakan koneksi. Definisi 1.1. Misalkan M adalah sebuah manifold yang differensiabel. Metrik Riemannian g yang bekerja pada M adalah medan tensor tipe (0,2) pada M yang 4
2.1 Geometri Riemann
5
memenuhi aksioma-aksioma berikut pada tiap titik p ∈ M 1. gP (U, V ) = gP (V, U ) 2. gP (U, U ) ≥ 0, dimana gP (U, U ) = 0 berlaku jika dan hanya jika U = 0 Disini U, V ∈ TP M dan gP = g |P . Singkatnya, gP berbentuk simetrik, definit positif dan bilinear. Misalkan (U, ϕ) adalah peta dari M dan {xµ } merupakan koordinat dan µ, ν = 0, 1, 2, 3 , maka gP = gµν (p) dxµ ⊗ dxν
(2.1)
dengan gµν (p) = gP
∂ ∂ , µ µ ∂x ∂x
= gνµ (p)
(p ∈ M)
Jika M adalah suatu manifold yang differensiabel yang terdapat metrik Riemannian g, maka pasangan (M, g) disebut sebagai manifold Riemannian. Definisi 1.2 Suatu koneksi affine ∇ adalah pemetaan ∇ : χ (M) ⊗ χ (M) → χ (M) atau (X, Y ) → ∇X Y dimana memenuhi kondisi ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z
(2.2)
∇(X+Y ) Z = ∇X Z + ∇Y Z
(2.3)
∇f X Y
= f ∇X Y
(2.4)
∇X (f Y ) = X [f ] Y + f ∇X Y
(2.5)
dimana f ∈ F (M) dan X, Y, Z ∈ χ (M). Misalkan (U, ϕ) adalah peta dari M dengan koordinat x = ϕ (p) dan definisikan fungsi Γλνµ yang disebut sebagai koefisien koneksi ∇ν eµ = ∇eν eµ = eλ Γλνµ dengan {eµ } = {∂/∂xµ } adalah basis dalam Tp M. Koefisien koneksi menjelaskan bagaimana vektor basis berubah dari titik ke titik. Jika basisnya telah ditentukan maka kita dapat menghitung aksi ∇ terhadap suatu vektor.
2.1 Geometri Riemann
6
Dalam manifold Riemann, biasanya digunakan koneksi Levi-Civita (koneksi yang bebas torsion, Γλµν = Γλνµ ) dan ∇X disebut sebagai turunan kovarian dari X. Dalam koordinat lokal (x1 , ..., xn ), simbol Christoffel Γλµν diberikan oleh 1 Γλµν = g λσ (∂µ gσν + ∂ν gµσ − ∂σ gµν ) 2
2.1.2
(2.6)
Kurvatur dari Manifold Riemannian
Misalkan (M, g) merupakan manifold Riemannian Definisi 1.3 Tensor kurvatur Riemann dari M merupakan tensor tipe (1,3) yang menghubungkan tiap pasangan X, Y ∈ χ (M) ke sebuah pemetaan R (X, Y ) : χ (M) → χ (M) dengan R (X, Y ) Z ≡ ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z
(2.7)
dimana ∇ merupakan koneksi Levi-Civita pada M. Karena R merupakan operator differensial yang memiliki sifat tensorial, maka dapat dibuktikan bahwa R memenuhi R (X, Y ) Z = X λ Y µ Z ν R (eλ , eµ ) eν Karena R merupakan tensor, maka operasinya terhadap basis vektor dapat diketahui. Dengan komponen basis vektor (e1 , ..., en ) dan basis dual (dx1 , ..., dxn ), maka komponen tensor kurvatur Riemann Rκλµν = hdxκ , R (eµ , eν ) eλ i = hdxκ , ∇µ ∇ν eλ − ∇ν ∇µ eλ i
= dxκ , ∇µ (Γηνλ eη ) − ∇ν Γηµλ eη
= dxκ , (∂µ Γηνλ ) eη + Γηνλ Γξµη eξ − ∂ν Γηµλ eη − Γηµλ Γξνη eξ = ∂µ Γκνλ − ∂ν Γκµλ + Γηνλ Γκµη − Γηµλ Γκνη
(2.8)
Komponen tensor kurvatur Riemann ini memiliki sifat-sifat • Simetri : Rλµνκ = Rνκλµ
(2.9)
2.1 Geometri Riemann
7
• Antisimetri : Rλµνκ = −Rµλνκ = −Rλµκν = +Rµλκν
(2.10)
Rλµνκ + Rλκµν + Rλνκµ = 0
(2.11)
• Siklik :
Dari tensor kurvatur Riemann ini dapat dibentuk tensor baru dengan menkontraksi indeksnya. Tensor Ricci R adalah tensor orde (0,2) yang didefinisikan R (X, Y ) ≡ hdxµ , R (eµ , Y ) Xi
(2.12)
Rµν = R (eµ , eν ) = Rλµλν
(2.13)
dengan komponen
Dan skalar Ricci R didefinisikan sebagai R ≡ g µν R (eµ , eν ) = g µν Rµν
(2.14)
Tensor-tensor kurvatur memenuhi suatu identitas differensial yang penting, sebagai tambahan kepada sifat-sifat yang diberikan pada bagian sebelumnya. Identitas ini disebut identitas Bianchi ∇η Rλµνκ + ∇κ Rλµην + ∇ν Rλµκη = 0
(2.15)
Persamaan diatas dapat dikontraksikan, sehingga didapat ∇η Rµκ − ∇κ Rµη + ∇ν Rνµκη = 0 Jika dikontraksikan sekali lagi, ∇η R − ∇µ Rµη − ∇ν Rνη = 0 atau ∇µ
Rµη
1 − δ µη R 2
=0
Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih familiar 1 µν µν ∇µ R − g R = 0 2
(2.16)
2.2 Metrik Axisimetrik
8
Definisikan komponen tensor Einstein 1 Gµν = Rµν − g µν R 2
(2.17)
sehingga persamaan diatas dapat ditulis sebagai ∇µ Gµν = 0
(2.18)
Persamaan ini disebut sebagai identitas Bianchi yang terkontraksi.
2.2
Metrik Axisimetrik
Untuk mendeskripsikan suatu metrik yang stasioner dan axisimetrik maka diambil koordinat waktu (x0 = t) dan koordinat sudut azimut (x2 = φ) sebagai sumbu simetri. Dari karakter ruangwaktu stasioner dan axisimetrik diperlukan bahwa koefisien dari metriknya tidak bergantung pada koordinat t dan φ, sehingga gαβ = gαβ x1 , x3
(2.19)
dimana x1 dan x3 merupakan koordinat ruang yang lainnya. Di samping stasioner dan axisimetrik, diperlukan juga sifat invarian dari ruangwaktu terhadap transformasi simultan inversi waktu dan sudut azimut. Maka metriknya harus invarian terhadap transformasi t → −t
dan
φ → −φ
Arti fisis dari sifat invarian ini berhubungan dengan sumber medan gravitasinya, yaitu sumber yang hanya berotasi murni terhadap sumbu simetrinya. Dengan kata lain, ruangwaktunya berhubungan dengan “rotating body”. Pada tiap event, sifat invarian diatas menghasilkan g01 = g03 = g12 = g32 = 0 sehingga metriknya mempunyai bentuk ds2 = g00 dx0
2
+ 2g02 dx0 dx2 + g22 dx2
2
h 2 2 i + g11 dx1 + 2g13 dx1 dx3 + g33 dx3
2.3 Ricci Flow
9
dimana semua koefisien metriknya hanya fungsi dari x1 dan x3 . Untuk mensederhanakan metriknya, maka digunakan teorema sebagai berikut [7] Teorema 1.1 Suatu metrik ds2 = g11 dx1
2
+ 2g12 dx1 dx2 + g22 dx2
2
(2.20)
dari suatu ruang dua dimensi (x1 , x2 ) dengan signature definit postif atau definit negatif dapat selalu diubah ke dalam bentuk diagonal ds2 = ±e2γ
h
dx1
2
+ dx2
2 i
dengan suatu transformasi koordinat, dimana γ merupakan fungsi dari x1 dan x2 . Dengan menggunakan teorema diatas, maka metrik axisimetrik dapat ditulis dalam bentuk umum, yaitu ds2 = f
h 2 2 2 i 2 − f −1 e2γ dx1 + dx3 + ρ2 dx2 dx0 − ω dx2
(2.21)
dengan semua fungsi f , ω dan γ hanya bergantung kepada x1 dan x3 .
2.3
Ricci Flow
Ricci Flow pertama kali diperkenalkan oleh Richard Hamilton [Hamilton, 1982] pada tahun 1981 untuk memahami konjektur geometrisasinya William Thurston [Thurston,1982], yang berkenaan dengan klasifikasi topologi dari manifold halus tiga dimensi. Ide Hamilton adalah untuk mendefinisikan sejenis persamaan difusi nonlinear. Dengan menempatkan suatu metrik g (τ ) pada suatu manifold smooth M dan menyusunnya dengan Ricci flow, maka seharusnya metriknya memiliki bentuk yang bagus, dimana memungkinkan untuk menjadikan metrik tersebut sebagai bentuk kanonik untuk manifold M. Bentuk-bentuk kanonik telah diidentifikasi oleh William Thurston sebagai Thurston model geometries, termasuk di dalamnya S 3 (Sphere-3 ), E 3 (Euclidean-3 ), H 3 (Hyperbolic-3 ) yang homogen dan isotropik.
2.3 Ricci Flow
10
Definisi 1.4 Persamaan Ricci Flow merupakan persamaan evolusi dari metrik Riemannian: ∂gµν = αRµν ∂τ
(2.22)
dengan α adalah konstanta real. Solusi dari persamaan ini (persamaan Ricci Flow) adalah keluarga satu parameter dari metrik g (τ ), yang diparameterisasi oleh τ dalam interval yang tak terdegenerasi I, dalam manifold manifold smooth M yang memenuhi persamaan diatas. Jika I berada pada titik awal τ0 , maka (M, g (τ0 )) disebut sebagai kondisi awal atau metrik awal bagi solusi persamaan Ricci Flow. Salah satu contoh solusi eksak dari Ricci flow adalah manifold Einstein. Misalkan g0 merupakan metrik Einstein dimana R (g0 ) = λg0 dengan λ merupakan konstanta dan untuk suatu konstanta positif c, tentukan g = cg0 , sehingga kita mempunyai R (g0 ) = λg0 =
λ g c
. Dengan menggunakan hubungan ini kita dapat membentuk
solusi persamaan Ricci flow. Misalkan g (τ ) = u (τ ) g0 . Jika keluarga metrik satuparameter ini merupakan solusi persamaan Ricci flow, maka ∂g = u0 (τ ) g0 ∂τ = αR (u (τ ) g0 ) = αR (g0 ) = αλg0 Maka u0 (τ ) = αλ sehingga u (τ ) = 1 + αλτ . Dan g (τ ) = (1 + αλτ ) g0 merupakan solusi dari persamaan Ricci flow.
