BAB 1 B. INTEGRASI PADA VEKTOR. Disadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

BAB 1 B. INTEGRASI PADA VEKTOR Disadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis (1) - Besaran skalar  Integral adalah

penjumlahan yg dapat melibatkan besaran skalar dan vektor  Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat besaran skalar A (l )  Untuk menghitung jumlah total dari besaran A pada lintasan c dilakukan integrasi N

N

Lim  A( i ) i   A( i )d dimana Lim   i   d  

 i 0 i 1 N 

c

 i 0 i 1 N 

c

1-2

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis (2) – Besaran vektor  Sepanjang lintasan c

terdapat vektorvektor kecil 

N



 d  Lim    c

 i 0

i

i 1

 Integrasi vektor pada lintasan c

menghasilkan vektor lurus dari titik a ke b 1-3

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis (3) - Besaran vektor  Salah satu aplikasi penting dari konsep

integral garis pada besaran vektor di bidang ilmu elektromagnetik adalah : Integral garis dari komponen vektor yang arahnya tangential terhadap lintasan  Notasi : Ax, y, z   t x, y, z  d

 c

 t merupakan vektor satuan yang arahnya

tangential/paralel/sejajar terhadap lintasan integrasi 1-4

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis (4) - Besaran vektor  Contoh kasus :  Berapa besar daya yang dibutuhkan untuk

memindahkan muatan dari titik a ke b sepanjang lintasan c jika diberikan medan listrik seperti diatas ???

1-5

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis (5) - Besaran vektor

 Rumus dasar daya : W = F . s = q E . S  Karena arah medan listrik tidak searah dengan

arah lintasan yang akan ditempuh oleh muatan, maka utk menghitung daya total dibutuhkan interasi garis yang melibatkan besaran vektor

1-6

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis (6) - Besaran vektor (5)  Solusinya adalah dengan menghitung

daya di setiap segmen lintasan N

Wi  q Ei cos  i  i  W  q E i cos  i  i i 1

Komponen E yang searah dengan lintasan

N

W  Lim q  Ei  t  i  i 0 N 

i 1

 q  E  t d c

1-7

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (1)

A  t d   A  d    c

c

d  dx a x  dy a y  dz a z  d a   d a   dz a z  dr a r  rd a   r sin  d a  1-8

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (2)  Cartesian  A = Ax ax + Ay ay + Az az  dl = dx ax + dy ay + dz az

 A  d   A a  A a  A a  dxa   A dx  A dy  A dz  x

x

y

y

z

z

x

 dya y  dza z 

c

x

y

z

x2

y2

z2

x1

y1

z1

  Ax dx   Ay dy   Az dz 1-9

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (3)  Silinder  A = A  a + A  a + A z az

 dl = d a +  d a + dz az

 A  d   A a  A a  A a  da   A d  A dφ  A dz   

 





z

z



 da   dza z 

c

z

2

2

z2

1

1

z1

  A d   Adφ   Az dz 1 - 10

Dr. Ir. Chairunnisa

Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (4)  Bola  A = Ar ar + A a +A a

 dl = dr ar + r d a + r sin  d a

 A  d   A a  A a  A a  dra  rda   A dr  A rd  A r sin d r

 

r

 

r



 r sin da  

c



r



r2

2

2

r1

1

1

  Ar dr   A rd   A r sin d 1 - 11

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (1)  Penerapan : menghitung vektor yang

menembus suatu bidang dengan tegak lurus  Pada integrasi luas ini dikenal besaran differensial area si yang terletak pada bidang s  Distribusi garis vektor pada seluruh permukaan bidang s dapat uniform dan atau nonuniform  Distribusi garis vektor pada differensial area si dapat diasumsikan uniform 1 - 12

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (2)  Flux yang dihitung adalah yang arahnya

normal (tegak lurus) terhadap bidang si

Tembus semua

Tidak ada yang  F cos  s  F s cos   F  ns tembus 1 - 13

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (3)

 F cos s  F s cos   F  ns n = vektor satuan dengan arah tegak lurus terhadap bidang si N

Jumlah total garis fluks listrik   Fi cos  i si i 1

Jumlah total garis fluks listrik yg tembus area s   F  ds s

1 - 14

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (4)  Contoh : Diketahui vektor B pada suatu

sistem koordinat cartesian dimana B = (x + 2) ax + (1 – 3y) ay + 2z az  Hitunglah jumlah vektor B yang menembus keluar kubus dengan batas 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1

1 - 15

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (4)  Jawab : Jumlah vektor

z c

d

g

h

a e

X

b f

Y

B yang menembus bidang kubus adalah vektor B yang tegak lurus terhadap bidang yang ditembus

 Untuk perhitungan digunakan persamaan

sbb :

B yang tembus   B  ds S

1 - 16

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (5)

 B  ds   B  ds   B  ds   B  ds  s

abcd

efgh

aehd

 B  ds   B  ds   B  ds  bfgc

aefb

dhgc

 Bidang abcd :

 B  ds    x  2a  1  3 y a 1

1

x

abcd

y



 2 za z 

z 0 y 0

1

 dy dz a x 

1

   2dy dz  2

z 0 y 0

1 - 17

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (6)  Bidang efgh :

 B  ds    x  2a  1  3 y a 1

1

x

efgh

y



 2 za z 

z 0 y 0

1

dy dz a x 

1

  3dy dz  3

z 0 y 0

1 - 18

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (7)  Bidang aehd :

 B  ds    x  2a  1  3 y a 1

1

x

aehd

y



 2 za z 

x 0 z 0

1

- dx dz a y 

1

   1dx dz  1

x 0 z 0

1 - 19

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (8)  Bidang bfgc :

 B  ds    x  2a  1  3 y a 1

1

x

bfgc

y



 2 za z 

x 0 z 0

1

dx dz a y 

1

   2dx dz  2

x 0 z 0

1 - 20

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (9)  Bidang aefb :

 B  ds    x  2a  1  3 y a 1

1

x

aefb

y



 2 za z 

x 0 y 0

1

- dx dy a z 

1

  0dx dy  0

x 0 y 0

1 - 21

Dr. Ir. Chairunnisa

Integrasi luas untuk besaran vektor (10)  Bidang dhgc :

 B  ds    x  2a  1  3 y a 1

1

x

dhgc

y



 2 za z 

x 0 y 0

1

dx dy a z 

1

  2dx dy  2

x 0 y 0

 Total :

 B  ds  2  3  1  0  2  2  0 s

 B bersifat konservatif 1 - 22