Leli Deswita ABSTRACT. Keywords: Maxwells equations, Electromagnetic Waves, Cylindrical coordinates, and The magnetic field

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

SOLUSI PERSAMAAN MAXWELL DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER YANG MEMBENTUK MEDAN MAGNET MAXWELL EQUATION SYSTEM SOLUTIONS IN SHAPING THE COORDINATES CYLINDER MAGNETIC FIELD Leli Deswita Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Riau Pekanbaru Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika [email protected] Kampus Binawidya Simpang Panam Pekanbaru

ABSTRACT This article discusses the electromagnetic wave equation derived from Maxwell's equations in cylindrical coordinate system that forms a magnetic field. For example, the application required wave propagation in the waveguide in the form of a metal with a circular cross section and a wall made of conducting material. Given that the waveguide is tubular, cylindrical coordinate system is then selected so that the wave function is sought shaped magnetic field. Keywords: Maxwells equations, Electromagnetic Waves, Cylindrical coordinates, and The magnetic field.

ABSTRAK Artikel ini membahas persamaan gelombang elektromagnetik yang diturunkan dari persamaan Maxwell dalam sistem koordinat silinder yang membentuk medan magnet. Sebagai contoh aplikasi diperlukan penjalaran gelombang di dalam pemandu gelombang dalam bentuk logam dengan penampang lingkaran dan dinding terbuat dari bahan konduktor. Mengingat bahwa pemandu gelombang berbentuk pipa, maka dipilih sistem koordinat silinder sehingga fungsi gelombang yang dicari berbentuk medan magnet. Kata Kunci: Persamaan Maxwells, Gelombang Elektromagnetik, koordinat Silinder, dan Medan magnet. 1 PENDAHULUAN Persamaan Maxwell dalam sistem koordinat silinder di analisa membentuk persamaan gelombang elektromagnetik yang dikemukakan oleh Keiser [3]. Pada umumnya sifat-sifat gelombang dan khususnya gelombang elektromagnetik di nyatakan dengan fungsi gelombang yang merupakan hasil dari persamaan gelombang yang dikerjakan oleh Buck [1].

441

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

Penjabaran persamaan Maxwell dalam system koordinat silinder akan mem-bentuk persamaan gelombang elektromagnetik dalam medan magnet dan juga merupakan suatu fungsi gelombang. Uraian ini dapat dilihat dari Spiegel [5], Buck [1] dan Cronin [2]. Artikel ini adalah pengembangan artikel terdahulu Deswita [4]. Dimana dalam artikel terdahulu telah dibahas dan dianalisa mengenai persamaan gelombang elektro-magnetik dalam bentuk medan listrik yang solusinya mengandung fungsi Bessel. 2. METODE PENELITIAN Awalnya akan ditunjukkan persamaan gelombang elektromagnetik untuk medan magnet H yang diturunkan dari keempat persamaan Maxwell dalam bentuk sebagai berikut:

 2 H  

2H . t 2

(1)

Solusi dari persamaan (1) menggunakan metode separasi variabel diperoleh: H  (r,  )Z ( z)T (t ) ,

(2)

dengan r merupakan jari-jari dari silinder dan  merupakan besaran sudut dan Z fungsi dari z yang merupakan sumbu silinder dipilih berimpit dengan sumbu pemandu gelombang, T hanya fungsi dari t, yang merupakan waktu perjalanan gelombang. Seterusnya akan di buktikan untuk fungsi Z dan fngsi t sehingga didapati:

H  (r,  )(cos k z z  j sin k z z)(cos t  j sin t ) ,

(3)

Atau

H  (r,  )cos(k z z  t )  j sin(k z z  t ), Ditulis juga dalam bentuk: H  (r ,  )e j ( k z z t ) .

(4)

Selanjutnya akan diperoleh fungsi gelombang elektromagnetik untuk medan magnet H dengan menggunakan sistem koordinat silinder.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN Sifat-sifat gelombang pada umumnya dan gelombang elektromagnetik pada khususnya dinyatakan oleh fungsi gelombang yang merupakan solusi dari 442

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

persamaan

gelombang.

Untuk

gelombang

elektromagnetik,

persamaan

gelombang dapat diturunkan dari per-samaan Maxwell. Dalam hal khsus dimana medium tempat gelombang menjalar tidak terdapat muatan listrik bebas dan arus listrik, seperti halnya pada pemandu gelombang, persamaan Maxwell disajikan dalam bentuk sebagai berikut,  E  

 H 

B t

(5)

D t

(6)

 D  0

(7)

 B  0

(8)

Dengan kuat medan listrik E dan pergeseran listrik D disajikan dengan persamaan D  E ,

(9)

dan induksi magnet B dengan intensitas magnet H disajikan dengan persamaan B  H .

(10)

Permitivitas medium dinyatakan dengan  , yaitu suatu besaran yang menyatakan sifat kelistrikan medium dan  adalah permeabilitas medium, artinya suatu besaran yang menyatakan sifat-sifat kemagnetan medium. Dengan menggunakan persamaan 9 & 10 di masukkan ke dalam persamaan 5-8, sehingga persamaan Maxwell di atas menjadi:   E    H   .E  0

H t

(11)

E t

(12) (13)

.H  0

(14)

Persamaan gelombang elektromagnetik diperoleh dari keempat persamaan Maxwell di atas, dengan merotasi persamaan (12) diperoleh   (  H )  

 (  E ) t

(15)

443

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

Dengan menggunakan kesamaan vektor persamaan (15) menjadi:   (  H )  (.H )  .(H )

(16)

Karena suku pertama diruas kanan adalah nol, maka persamaan (15) menjadi

 2 H  

2H t 2

(17)

Jadi persamaan (17) dikatakan persamaan gelombang elektromagnetik untuk medan magnet H. 3.1. Fungsi Gelombang Dalam Sistem Koordinat Silinder Solusi umum dari persamaan (17) diperoleh dengan menggunakan metode separasi variabel, dengan demikian dimisalkan bahwa solusi yang dicari adalah H  (r,  )Z ( z)T (t )

(18)

Dalam sistem koordinat silinder persamaan (17) menjadi

ZT   (r ,  )  ZT  2(r ,  ) 2Z  2T   T   Z  r  2 r r  r  r  2 z 2 t 2

(19)

Pindahkan ruas sebelah kanan pada persamaan (19) kesebelah kiri, dan kemudian dibagi dengan ZT , diperoleh

 1   (r ,  )  1  2(r ,  )  1  2 Z   2T  0 r    r  r 2  2  Z z 2 T t 2  r r 

(20)

Persamaan (20) bila masing-masing suku sama dengan kostanta, maka

1 2Z  k z2 2 Z z 

  2T T t

2

21)

 k2

(22)

Persamaan (21) adalah suatu persamaan gerak sebuah osilator dengan memisalkan solusi yang dicari adalah Z  ez . Bila Z disubstitusikan kembali kepersamaan (21) dengan diperoleh

   jk z yang merupakan akar-akar

karakteristik dari persamaan (21) sehingga :

Z  cos k z z  j sin k z z

(23)

Z  cos k z z  j sin k z z

(24)

Dengan cara yang sama untuk persamaan (22) diperoleh :

444

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

T  cos t  j sin t

(25)

T  cos t  j sin t

(26)

Susbstitusikan persamaan (23) dan persamaan (26) kedalam persamaan (22) diperoleh,

H  (r,  )cos(k z z  t )  j sin(k z z  t )

(27)

Persamaan (27) dapat juga ditulis dalam bentuk eksponensial sebagai berikut H  (r ,  )e j ( k z z t )

(28)

Persamaan (28) disebut fungsi gelombang untuk medan magnet H. 3.2. Medan Magnet dalam Gelombang Elektromagnetik Dalam sistem koordinat silinder medan magnet H dituliskan sebagai berikut ^

^

^

H  e r H r  e H   e z H z Ruas kiri persamaan (12) menjadi

 1  H z H z     H     jk z rH  er   jk z H r  r    r  

H r 1   e   (rH  )  r  r  

  j ( k z z t ) e z   e .  

Ruas kanan persamaan (11) menjadi 

E   ( jEr er  jE e  jE z e z )e j ( k z z t ) . t

Dengan demikian

 1  H z    jk z rH    jE r r    jk z H r 

(29a)

H z  jE 

H r 1     (rH )  r  r 

(29b)

   jE z 

(29c)

dari persamaan (11) dengan cara yang sama untuk medan magnet E, diperoleh

 1  E E     E    z  jk z rE er   jk z E r  z r    r  

E 1   e   (rE )  r r  r  

Dan ruas kanan persamaan (11) menjadi 

H   ( jH r er  jH  e  jH z e z )e j ( k z z t ) t

Dengan demikian 445

  j ( k z z t ) e z   e  

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

 1  E z    jk z rE    jH r r   

(30a)

E z   jH  

(30b)

jk z E r 

Er  1     (rE )     jH z r  r  

(30c)

Dari persamaan (29a), (29b), (30a), dan (30b) akan dihitung E r , E , H r , dan H  , dalam bentuk matriks

 0   jk z   j   0 

jk z

j

0

0

0

0

j

jk z

 1 E z  r  0  E r   E   z   j  E   r  jk z  H r   1 H z    0  H    r   H z   r

          

Pertama dihitung nilai determinan dari matriks koefisien, sehingga diperoleh

(k 2  k 2 z ) 2 Selanjutnya H r dan H 

(31) masing-masing dihitung, dengan menggunakan aturan

Cramer, dimulai dengan menghitung H r kemudian H  seperti berikut ini: H z   1 E z  j    kz r  r   Hr  (k 2  k z2 ) E  1 H z j k z   z r  r H   2 2 (k  k z )

(32)

  

Untuk mendapatkan komponen

(33) longitudinal medan listrik H z dengan men-

subsitusikan persamaan (32) dan (33) kedalam persamaan (29b), diperoleh

 2 H z 1 H z 1  2 H z   2  (k 2  k z2 ) H z  0 2 2 r r r r 

(34)

Solusi umum dari persamaan (34) dapat dicari dengan menggunakan metoda separasi variabel, yaitu mengandaikan bahwa H z fungsi dari r dan  adalah hasil kali dari R(r) fungsi dari r dan  ( ) adalah fungsi dari 

446

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

H z  N (r ) ( )

(35)

Dengan demikian maka persamaan (35) menjadi



d 2 N  dN N d 2   2  (k 2  k z2 ) N  0 2 2 r dr r d dr

(36)

Kalikan persamaan (36) dengan r 2 / R maka hasilnya

 r 2 d 2 N r dN 1 d 2 2 2 2   ( k  k ) r  0 z   2 2 N dr  N dr   d

(37)

Persamaan (37) hanya akan dipenuhi bila masing-masing suku sama dengan konstan. Misalkan suku kedua

1 d 2  q 2 2  d

(38)

Solusinya adalah   e dengan mensubsitutsikan kembali ke persamaan (38) diperoleh

   jq sehingga

  P cos(q )  Q sin(q )

(39)

(q  0,1,2,3,...)

(40)

Dengan demikian persamaan (38) menjadi

r 2 d 2 N r dN   (k 2  k z2 )r 2  q 2  0 2 N dr N dr

(41)

Kalikan persamaan (41) dengan R / r 2 dan substitusikan ke persamaan (37) diperoleh: k t2  k 2  k z2

(42)

Sehingga hasilnya adalah seperti di bawah ini:

d 2 N 1 dN q2 2   ( k  )N  0 t N dr dr 2 r2

(43)

Dengan solusi umum berbentuk kombinasi linear dari J q (k t r ) dan , sehingga diperoleh: N  BJ q (k t r )  B' N q (k t r )

Penyelesaian

(44)

k t Re al

J q (k t r ) mempunyai limit hingga apabila r mendekati nol, disebut

fungsi bessel jenis pertama. Penyelesaian

N q (k t r ) mempunyai limit hingga

apabila r mendekati nol, disebut fungsi bessel jenis kedua, sehingga diperoleh fungsi gelombang medan magnet H z ditulis sebagai 447

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 441 - 448

H z  BJ q (k t r )P cos(q )  Q sin(q )e j ( k z z t )

(45)

Persamaan (45) disebut fungsi gelombang medan magnet H z , yang mengandung fungsi Bessel

4.

PUSTAKA 1. Buck JA. 1995. Fundamentals of Optical Fibers. John Wiley & Sons. 2. Cronin NJ. 1995. Microwave and Optical Waveguides. Institute of Physics Publishing. 3. Keiser.

G.

1980.

Optical

Fiber

Communications.

McGraw-Hill

BookCompany. 4. Deswital. L. 2003. Solusi persamaan Gelombang Elektromagnetik Dalam Sistem Koordinat Silinder yang Berbentuk Fungsi Gelombang Medan Magnet. Jurnal Matematika Murni Dan Terapan Vol. 1 No 1 : 11-18. 5. Spiegel. MR. 1985. Vektor Analysis. McGraw_Hill Inc.

448