A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat (pontokat, vonalakat vagy felületdarabokat) helyhez kötéssel azonosít és/vagy síkban ábrázol. Az ennek során megkövetelt pontosságtól függően választjuk meg a lokalizáláshoz illetve az ábrázoláshoz használt felületet. Kis terület esetén maga a földfelszín is többnyire elfogadható pontossággal közelíthető síkkal. Nagyobb terület esetén a földalak görbültsége már nem hagyható figyelmen kívül. A megkövetelt pontosságtól függően közelíthetjük a tényleges földalakot gömbbel, a sarkoknál fellépő lapultságot is figyelembe vevő forgási ellipszoiddal, vagy az elméleti földalakkal – az átlagos tengerszinttel egybeeső nehézségi szintfelülettel – a geoiddal. Bármilyen felületen történjék is az alakzatok lokalizálása, a megjelenítés gyakorlatilag mindig síkban történik, legyen szó akár papírtérképről, akár képernyőtérképről. Emiatt a minden irányban görbült felületen lokalizált objektumokat az ábrázolás előtt rendszerint síkra képezik le olymódon, hogy a síkbeli méretviszonyok (hosszak, irányok ill. szögek, területek nagysága) a földfelületi méretviszonyoktól kevéssé térjenek el, és így azokra térképi mérések alapján vissza lehessen következtetni. A kiindulási – görbült – felületet alapfelületnek, a hozzárendelési (általában sík) felületet képfelületnek, a leképezést vetületnek nevezzük. Előírjuk, hogy mind az alapfelület, mind a képfelület lehetőleg folytonos, szabályos és zárt matematikai képlettel (esetleg sorral) leírható legyen (Minthogy a geoid-felületre az utóbbi két feltétel nem teljesül, így az a vetületi vizsgálatoknak közvetlenül nem képezi tárgyát.) A felületek zárt képlettel való leírása általában a derékszögű x,y,z koordináták közötti összefüggések megadásával történik. Ezek az összefüggések megadhatók egyenletként, függvény formájában vagy paraméteres alakban. a) A felületek egyenlete egy skalár-vektor függvény nívófelületét jelenti. A sík egyenlete pl.: Az R sugarú, origó-centrikus gömb egyenlete: A z forgástengelyű, origó-centrikus forgási ellipszoid z irányú féltengelyét b-vel, a másik (elforgatott) féltengelyét a-val jelölve, kapjuk az
egyenletet. b) A kétváltozós függvény-alak az egyenlet-alak speciális esetének tekinthető. Hátránya, hogy egyes felületek csak többértékű függvénnyel írhatók le. A síkot ebben az esetben a , a gömbfelületet a , a forgási ellipszoidot a
függvény adja meg.
c) Az ún. paraméteres alak esetében a felület pontjainak x, y, z koordinátáit az u,v valós paraméterek folytonos függvényeként adjuk meg: A v paraméter rögzített értékeinél a felületen a folytonos u-vonalak seregét, az u paraméter rögzített értékeinél a folytonos v-vonalak seregét kapjuk. Ezek az ún. paramétervonalak a felületet egyrétűen fedik le (??? ábra). A felület minden pontján áthalad egy u- és egy vele nem párhuzamos v-vonal. Sem az u-vonalak, sem a v-vonalak nem metszhetik egymást. A sík paraméteres alakja: A gömb paraméterezhető pl. az alakban. A pólusokat a z tengelyen felvéve, az u paraméter itt megfelel a közismert földrajzi szélességnek, v pedig a földrajzi hosszúságnak. A forgási ellipszoid egyik lehetséges paraméteres felírása: (Ez előállítható az R sugarú gömbből a/R-szeres hasonlósági transzformációval, majd b/aszoros, z irányú merőleges affinitással.) A forgási ellipszoid felület méreteit a féltengelyek a és b hossza egyértelműen meghatározza. A felület lapultsága miatt a>b, a lapultság mértékét az
mérőszám, az ún. lapultság, vagy az
ún. első excentricitás adja meg. E két mérőszám kapcsolatát az
egyenlet adja meg. Fordítva az egyenlet megoldásából:
amelynél – tekintve, hogy a lapultság értéke 1-nél nagyobb nem lehet – csak a „–” előjel jó. Vagyis
Szokás még definiálni az e’ ún. második excentricitást:
Képfelület a síkon kívül lehet ún. síkbafejthető felület is, amely a rajta lévő felületi görbék ívhosszának megváltozása nélkül síkká transzformálható. Ilyen pl. a forgáskúp palástja, vagy a forgáshenger palástja. Az ívhosszak változása egyébként maga után vonja a felület többi belső méretviszonyának – így a felületi szögeknek és területeknek – a síkbafejtés során bekövetkező változatlanságát is. Magától a leképezéstől elvárjuk, hogy létesítsen kölcsönösen egyértelmű (injektiv) megfeleltetést az alap- és a képfelület pontjai között az ábrázolandó területre vonatkozólag; legyen lehetőleg egyetlen zárt matematikai képlettel (esetleg sorral) leírható; legyen az ábrázolandó terület minden pontjában kétszer folytonosan differenciálható.
A leképezési függvényeket vetületi egyenleteknek hívják. Paraméterek az alap- és a képfelületen Az alapfelület paraméterezése – a földrajzi koordinátarendszer Mind a gömb-, mind a forgási ellipszoid-felületi pontokat meg lehet adni térbeli derékszögű koordinátákkal. Ekkor a koordinátarendszer origóját célszerűen az alapfelületi alakzat középpontjában vesszük fel; a z tengely a polártengellyel esik egybe, az x tengelyt pedig rendszerint a kezdőfélsík iránya jelöli ki. Az egyenlítő síkja ekkor az xy síkra esik. Alkalmazásuk akkor előnyös, ha alapfelületi és alapfelületen kívüli pontok kapcsolata kerül előtérbe (pl. a GPS működése során). Hátrányuk, hogy egy pont koordinátáiról nem ismerhető fel közvetlenül, hogy az alapfelületen van-e, illetve a derékszögű koordináták kis megváltozása is az alapfelület elhagyásához vezethet. A gömb- és a forgási ellipszoid alapfelület szokásos paraméterezése mégis a földrajzi koordinátarendszer. Ez az alakzat középpontjában felvett origójú térbeli polárkoordinátarendszeren alapul, melynek polártengelye kijelöli az (É-i) pólust (???ábra). A földrajzi szélesség Gömb alapfelület esetén vegyünk fel egy tetszőleges alapfelületi P pontot. Az origótól a P-hez vezető rádiuszvektornak a polártengellyel bezárt szöge (a pólustávolság), illetve ennek pótszöge, a rádiuszvektornak a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szöge a (=90°) földrajzi szélesség adja az egyik paramétert. (Megjegyezzük, hogy e rádiuszvektor egyben merőlegesen metszi az alapfelületet.) A koordinátarendszer kezdő-félsíkja (melynek határa a polártengelyre esik) a gömbfelületen kijelöli a kezdőmeridiánt. Most az alapfelületi P pontot tartalmazó, a polártengely által határolt félsíknak a kezdő-félsíkkal bezárt szöge adja a másik paramétert, a földrajzi hosszúságot. (A harmadik polárkoordináta, a rádiuszvektor R hossza, amely megegyezik a gömb sugarával, minden P pontra azonos, így ez a P pont megadásánál figyelmen kívül hagyható.) Az egyik paraméter rögzítésével és a másik változtatásával jutunk a gömbfelület paramétervonalaihoz. Az azonos földrajzi szélességű (vagy azonos pólustávolságú) pontok által meghatározott gömbi körök a szélességi körök vagy parallelkörök. (Ezek között kitüntetett szerepet játszik a 0°-os szélességi kör, az egyenlítő.) A földrajzi szélességet előjellel látjuk el, amelyet az É-i félgömbön tekintünk pozitívnak (vagyis –90°90°, és 0°180°). Az R sugarú gömbön a szélességi kör r sugara: az egyenlítő sugara így R. A földrajzi hosszúságot a K-i féltekén tekintjük pozitívnak (vagyis -180°180°). Az azonos földrajzi hosszúságú pontok által meghatározott gömbi főkörívek (félkörök) a hosszúsági körökvagy meridiánok. A hosszúsági kör sugara mindig R. A kezdőmeridiánnal nem keverendő össze a középmeridián, amely az ábrázolt terület középvonalában haladó, többnyire kerek értékű hosszúsági kör. Ez általában a térképi fokhálózat szimmetriatengelye, így a képfelületen egyenesként jelenik meg. Forgási ellipszoid alapfelület esetén a földrajzi szélességet többféle meggondolás alapján is lehet értelmezni, amelyek mind a gömbi földrajzi szélesség általánosításai. A térbeli polárkoordinátarendszer segítségével kapott definíció szerint a geocentrikus szélesség az origóból az ellipszoidfelületi P ponthoz vezető rádiuszvektornak a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szöge (???ábra). Ettől különbözik a forgási ellipszoid fenti paraméteres alakján alapuló redukált szélesség, amely a P pontból az ellipszoid-felületre alkalmazott z irányú a/b-szeres merőleges affinitással kapott (gömbfelületi) P’ pont gömbi szélessége (???ábra). Végül az ellipszoidi geodéziai szélességet az ellipszoidfelület P pontbeli normálisának a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szögével definiáljuk (???ábra). Könnyű belátni, hogy gömbfelületi (a=b) P pont esetén mind a geocentrikus,
mind a redukált, mind pedig a geodéziai szélesség ugyanazzal a gömbi szélességgel egyezik meg. Ezen lehetőségek közül ellipszoidi földrajzi szélességnek azt célszerű tekinteni, amely a fizikai földfelszínen legalábbis közelítőleg mérhető. Ha a geoid valamely P pontjában a geoid normálisa (a nehézségi erő irányát megadó függővonal) és a Sarkcsillag irányára merőleges sík (az egyenlítő síkja) által bezárt A szöget (az ún. csillagászati vagy asztronómiai szélességet) csillagászati eszközökkel lemérjük, akkor az a geodéziai szélességgel közelítőleg meg fog egyezni. Ebből a megfontolásból az ellipszoidi földrajzi szélességet a geodéziai szélességgel definiáljuk. Ennek pótszöge a geodéziai pólustávolság: =90°–. A közelítés hibáját egyrészt a szabálytalan geoidfelület merőlegesének az ellipszoid-felületi merőlegestől való eltérése (az ún. függővonal-elhajlás), másrészt az ellipszoid forgástengelyének a Sarkcsillag irányával bezárt szögkülönbsége adja. Az azonos földrajzi szélességű pontok itt is egy szélességi kör vagy parallelkör mentén helyezkednek el, melyek előállíthatók az ellipszoidfelület forgástengelyre merőleges körmetszeteként. A továbbiakban szükségünk lesz a paramétervonalak geometriai jellemzőire. A földrajzi szélességű parallelkör r sugarának és az egyenlítőtől való z távolságának meghatározásához tekintsük a forgási ellipszoid egy – a forgástengelyt tartalmazó – síkmetszetét (???ábra), amely egy ellipszis (ún.bimeridián). Írjuk fel a tengelyek által alkotott r,z koordinátarendszerben a bimeridián kanonikus egyenletét:
Innen pl. a felső ív által megadott függvény: és Másrészt a függvény r -beli deriváltja megegyezik a függvénygörbe (r,z) pontbeli érintőjének iránytangensével. Az érintő az r tengellyel bezárt szöge –(90°–), ezért
Tehát
Négyzetreemelés után innen r kifejezhető:
(Az egyenlítő sugara tehát a.) r képletét behelyettesítve az ellipszis kanonikus egyenletébe, z kifejezhető:
Vagyis
Most már meghatározhatók az egyes ellipszoidi szélességek közötti összefüggések. A ???ábrából:
A forgási ellipszoidból a/b-szeres merőleges affinitással a sugarú gömböt kapunk, eközben a geocentrikus szélesség egyik szögszárát képező rádiuszvektor a redukált (gömbi) szélesség szárába megy át, vagyis
A két utóbbi egyenlőségből
következik. Egy síkgörbe simulókörének azt a kört nevezzük, amelynek a P0 közös pontban mind az első deriváltja (tehát a P0 pontbeli érintő iránytangense), mind a második deriváltja megegyezik a görbéével. (Egy kör bármely pontbeli simulóköre természetesen sajátmagával esik egybe.) Vizsgáljuk az ellipszoidfelületi P ponton áthaladó összes – a forgási ellipszoid síkmetszeteként keletkező – felületi görbe P pontbeli simulókörének sugarát, az ún. görbületi sugarat. Meusnier ismert tétele szerint: ha arányba állítjuk a P ponton átmenő ( szélességű) parallekör r sugarát (a „ferdemetszet” görbületi sugarát), valamint a meridiánra merőleges sík ellipszoidfelülettel alkotott metszésvonalának (a „normálmetszetnek”) a P pontbeli görbületi sugarát – az N() ún. harántgörbületi sugarat, eredményként a két sík által bezárt szög (esetünkben az ???ábráról leolvashatóan a szélesség) cosinus-át kapjuk:
Innen r ismeretében az N() kifejezhető:
Az ???ábrán az r befogójú és szögű derékszögű háromszög átfogója éppen
Innen Az N() a z képletébe is behozható:
A földrajzi hosszúság Az ellipszoidi földrajzi hosszúságot – az ellipszoid centrumából mint origóból kiinduló és az ellipszoidfelület forgástengelyével egybeeső polártengelyű térbeli polárkoordinátarendszerből kiindulva – a gömbhöz hasonlóan, a P pontot tartalmazó félsíknak a kezdő félsíkkal alkotott (előjeles) szög segítségével definiáljuk. A fizikai földfelszínen a hosszúság szintén mérhető csillagászati eszközökkel, éspedig a pontbeli és a Greenwich-i delelés időpontjának különbségéből: 1 óra eltérés megfelel 15° hosszúságkülönbségnek. Az azonos földrajzi hosszúságú pontok egy fél-ellipszis alakú meridiánt határoznak meg, melynek féltengelyei a és b. Írjuk fel az (r,z) síkban az origó-centrikus meridián-ellipszis egy adott r0,z0 koordinátájú pontjában a simulókör sugarát a 0 szélesség függvényében (??? ábra). A meridián-ívet pl. a függvény alakban adjuk meg. Az (egyelőre ismeretlen) sugarú, (u,v) középpontú simulókör szintén függvény alakban: A fenti definíció az alábbi három egyenlethez vezet: 1.)
(az r0,z0 pont a két alakzat közös pontja)
2.)
3.) A 2.) egyenletből r0–u kifejezhető:
(az r0,z0 pontban a két alakzat érintője közös)
(az r0,z0 pontban a második deriváltak egyenlők)
Ezt behelyettesítjük a 3.) egyenletbe, majd ebből kifejezzük -t:
Végül az
helyettesítéssel kapjuk, hogy
(Itt felhasználtuk a
azonosságot.) A meridián-ellipszis görbületi sugara tehát a szélesség változásával pontról pontra változik. Ezt a függvényt nevezzük meridiángörbületi sugárnak, amelyet szokásosan M()-vel jelölünk:
A földi ellipszoidok lapultsága miatt a meridiángörbületi sugár legkisebb az egyenlítőnél, legnagyobb a pólusnál. A földrajzi hosszúság kezdőfélsíkját illetve az általa kimetszett kezdőmeridiánt a felmérés kiterjedésétől függően nem csak globálisan, hanem helyileg is rögzíthetik. A geokartográfiában és a topográfiai térképműveknél általában Greenwich-i kezdőmeridiánt használnak. Régebben - főleg Európában - elterjedt volt a Ferro-i (Kanári-szigetek) kezdőmeridián használata, amely a Greenwich-itől mintegy 17°40'-re Ny-ra fekszik. KEurópa több országában Pulkovo-i kezdőmeridiánnal dolgoztak, amely Greenwich-től mintegy 30°20'-re K-re helyezkedik el. A magyarországi térképezéseknél a gellérthegyi meridián játszik fontos szerepet, amelynek a ferroi kezdőmeridiántól való eltérését a Besselellipszoidon 36°42'51.69"-nek tekintették, míg a greenwichi hosszúsága az IUGG'67-es ellipszoidon 19°2'54.856"-nek van megállapítva. Átszámítás derékszögű és földrajzi koordináták között A forgási ellipszoid paraméteres alakját a földrajzi szélesség és a földrajzi hosszúság mint paraméterek segítségével a
képletek adják, amelyek a , földrajzi koordinátákkal megadott pontok térbeli derékszögű koordinátáinak meghatározására szolgálnak. Amennyiben a térbeli derékszögű koordinátákból kell a földrajzi koordinátákat kiszámítani, akkor a z képletéből kifejezzük -t:
majd az x vagy az y képletéből a segítségével -t. Vegyük most a , földrajzi koordinátákon kívül még az ellipszoid feletti h magasságot is figyelembe. A ???ábráról leolvasható, hogy
Ezekből a képletekből tehát kiszámíthatók a földrajzi koordinátákkal és az ellipszoid feletti h magassággal megadott pont térbeli derékszögű koordinátái. Az x, y, z térbeli derékszögű koordináták ismeretében először felírjuk az összefüggést és kifejezzük belőle h-t, amelyet a z képletébe helyettesítünk. Az így kapott nem-lineáris összefüggésből a egy negyedfokú egyenlet megoldásán keresztül kapható meg. Az egzakt képlet, amelyet a műholdas helymeghatározás használ fel, Borkowski-tól származik. Kevésbé pontos eredményt adnak a földrajzi koordinátákra és a h magasságra Bowring közelítő képletei:
ahol
A geodéziai felmérések során fontos szerepet kap az alapfelületen értelmezett forgásfelületi polárkoordinátarendszer. A polártengely az O ponton áthaladó, az É-i irányt kijelölő meridiánív. A polárkoordinátákkal (azOP geodetikus vonal hosszával mint polártávolsággal és a 0° és 360° közé eső azimuttal mint polárszöggel) adott P pont földrajzi koordinátáinak kiszámítását első geodéziai alapfeladatnak nevezzük. Ha a földrajzi koordinátákkal adott P pont polárkoordinátáit számítjuk ki, akkor a második geodéziai alapfeladatot oldjuk meg. Gömb alapfelület esetén mind az első, mind a második geodéziai alapfeladat gömbháromszögtani összefüggésekkel oldható meg. Segédföldrajzi koordináták Gömb alapfelület esetén értelmezhető a segédföldrajzi koordinátarendszer. Ehhez először is ki kell jelölni a gömbön a segédpólust és ezzel együtt a segédpoláris tengelyt. A segédpólustól egyenlő gömbi távolságra (segédpólustávolságra) lévő pontok képezik a segédparallelköröket, 90°-os gömbi távolság esetén a segédegyenlítőt. A segédpólustávolság pótszöge a * segédszélesség. A két segédpólust összekötő gömbi főkörívek a segédmeridiánok. Ezek közül egyet segédkezdőmeridiánnak választva, ennek félsíkja bármely segédmeridián félsíkjával a segédhosszúságnak nevezett * szöget zárja be. A segédhosszúságot a segéd-É-i pólus felől nézve az óramutató járásával ellentétesen irányítjuk, és nagyságára: -180°*180°. (Megjegyezzük, hogy az esetek túlnyomó többségében a segédkezdőmeridián tartalmazza az egyik pólust, ugyanis a pólusokon és a
segédpólusokon áthaladó gömbi főkör - bimeridián - egy-egy szakasza meridián és egyben segédmeridián is.) A segédföldrajzi koordinátarendszer bevezetésének fő előnye abban áll, hogy segítségükkel bizonyos rokonvetületek egységesen tárgyalhatók, és ezek leképezési függvényei egyszerű, egységes alakban adhatók meg. Tetszőleges gömbfelületi (,) koordinátákkal megadott pont segédföldrajzi (*,*) koordinátáinak meghatározása a második geodéziai alapfeladatra vezethető vissza, míg a segédföldrajzi (*,*) koordináták ismeretében az első geodéziai alapfeladat megoldása alapján kapjuk a (,) földrajzi koordinátákat, mindkét esetben gömbháromszögtani összefüggések segítségével. A képfelület paraméterezése A képfelületet (az esetleges síkbafejtés után) paraméterezhetjük síkbeli derékszögű x,y koordinátarendszer segítségével. Az egyik koordinátatengelynek célszerűen a fokhálózat szimmetriatengelyét vagy egy azzal párhuzamos egyenest választjuk. Ennek irányát szokás hálózati északi iránynak is nevezni. A geodéziában előszeretettel tekintik a hálózati északi irányt x-nek, szemben a matematikában és a vetülettanban inkább szokásos y-nal. Derékszögű koordinátarendszer alkalmazásakor a vetületi egyenletek gömb alapfelület esetén, attól függően, hogy a szélességet vagy a pólustávolságot használjuk,
vagy
alakúak; forgási ellipszoid alapfelület esetén (a szélességgel vagy a pólustávolsággal)
vagy
alakúak. A parallelkörök képei a vetületek egy részénél, különösen kúppalást-képfelületnél, körív alakak. Ilyen esetben előnyös a képsíkon a polárkoordinátarendszer bevezetése. A koordinátarendszer origója a körív középpontjába kerül, a polártengely többnyire a középmeridiánnal esik egybe. (Nem-koncentrikus körívek esetében az origó helyzete így a szélesség függvényében akár változhat is.) Polárkoordinátarendszer alkalmazásakor a leképezés függvényei gömb alapfelület esetén (val jelölve a polártávolságot, -val a polárszöget):
illetve
alakúak; forgási ellipszoid alapfelület esetén
illetve
alakúak
A képfelületi síkkoordinátarendszer origóját szokás vetületi kezdőpontnak nevezni. Nevezetes alapfelületi vonalak és felületdarabok Ortodrómák, gömbi és ellipszoidi körök, loxodrómák A vetületek vizsgálatánál – a paramétervonalak mellett – az alapfelületi vonalak három fajtája: az ortodrómának is nevezett geodetikus vonal, a gömbi (ellipszoidfelületi) körív és a loxodróma játszik központi szerepet. Az ortodróma tehát az alapfelületi pontokat összekötő legrövidebb felületi görbeív. Gömb alapfelület esetén minden 180°-nál nem nagyobb középponti szöghöz tartozó főkörív ortodróma, így a (segéd-)meridiánok és a (segéd-)egyenlítő is. A meridiánokkal és az egyenlítővel egybe nem eső gömbi főköröket szokás harántköröknek is nevezni. Az ortodróma ívhosszát gömbön a radiánban megadott középponti szögnek az R sugárral való szorzata adja. A szélességkülönséghez tartozó meridiánív mint speciális ortodróma s hossza így:
A forgásfelületek (így a gömb- és a forgási ellipszoid-felületek) ortodrómáinak fontos tulajdonságát fogalmazza meg a Clairaut-tétel. Eszerint a geodetikus vonal és a forgásfelület parallelköre által bezárt szög (az azimut pótszöge) koszinuszának és a parallelkör sugarának a szorzata – a geodetikus vonal mentén haladva – nem változik. Jelölje az azimutot a geodetikus vonal tetszőleges pontjában, és r a pontnak a forgástengelytől mért távolságát (másként a ponton áthaladó parallelkör sugarát); ekkor Clairaut tétele képletben az alábbi alakot ölti:
A minden parallelkört merőlegesen metsző felületi görbék – a meridiángörbék – esetén ez a szorzat zérus, emiatt a meridiángörbék nyilván geodetikus vonalak. (A forgási ellipszoidon az összes többi ortodróma térgörbe.) A és szélességek közötti meridiánívhosszat az ellipszisív simulókör-sugarának (az M-mel jelölt meridiángörbületi sugárnak) a földrajzi szélesség szerinti integráljaként kapjuk:
A parallelkörök mind gömbön, mind forgási ellipszoidon a poláris tengelyre nézve forgásszimmetrikus körök, amelyek gömb alapfelület esetén (az egyelítőt kivéve) gömbi kiskörök. E szélességű parallelkörön egy hosszúságkülönbséghez tartozó ív s hossza: . A gömbfelületen a parallelkörökön kívül további felületi kiskörök is felvehetők. Egy ilyen kiskörön az ívhosszat – alkalmasan felvett segédföldrajzi koordinátarendszerben – az képlet adja. Forgási ellipszoid alapfelület szélességű parallelkörén a hosszúságkülönbséghez tartozó s ívhossz:
Az egyenlítő, mint speciális a sugarú parallelkör mentén ez -vá egyszerűsödik.
Loxodrómának azokat az alapfelületi vonalakat nevezzük, amelyeknek minden pontjában az azimut állandó. A meridiánok az =0° és =180° azimuthoz tartozó speciális loxodrómák, a parallelkörök pedig az =90° és=270° azimuthoz tartozó speciális loxodrómák. A többi loxodróma olyan csavarvonal, amely az egyik pólusból a másik pólusba vezet. Írjuk fel gömb alapfelületre egy ilyen loxodróma egyenletét az egyértékűség miatt alakban. Ehhez változtassuk meg a , koordinátájú pontot ,-val, ami egy kis foktrapézt hoz létre a gömbön, melynek oldalai arc és arccos ; átellenes csúcsait kössük össze egy s hosszúságú loxodróma-ívvel (???ábra). A kicsiny foktrapéz oldalai és "átlója" közelítőleg síkban lévőnek tekinthetők, amelyben ; ezt egyszerűsítve és átrendezve: Ha most a loxodrómát kis darabokra bontjuk, akkor az összegzés, majd a minden határon túli finomítás után az integrálás az alábbi eredményre vezet: ;
innen
Ha a loxodróma pl. a 0,0 koordinátájú ponton halad át, akkor a C integrációs konstans:
Ekkor a loxodróma egyenlete az alábbi alakban írható:
Egyenletünk szerint minden -hez egyetlen tartozik, és 90° esetén . Egy -hoz viszont (90° esetén) végtelen sok is tartozhat. A 1,1 és 2,2 koordinátájú pontokon áthaladó loxodróma azimutja:
Az azimuthoz tartozó loxodróma 1 és 2 szélességek közé eső darabjának ívhossza szintén az iménti ábra alapján adható meg, ugyanis: , ahonnan
A loxodróma-ívet kis részekre felosztva, a képletet az egyes részekre alkalmazva összegzünk, ami a minden határon túli finomítás után integrálásba megy át:
innen . vagyis a loxodróma-ív hossza az íven fellépő szélességmegváltozás lineáris függvénye. Nevezetes alapfelületi felületdarabok Az alábbiakban megemlítünk néhány – alapfelületi vonalak által határolt – nevezetes felületdarabot, amelyek a térképészetben szerepet játszanak. A térgeometriából ismert, hogy egy sík egy gömbfelületet két gömbsüvegre bont fel. Két párhuzamos síkkal elmetszve a gömbfelületet, a két gömbsüveg között egy gömbövet kapunk. A 1 és 2 (12) szélességek közé eső gömböv F felszíne:
(1 =-90° vagy 2 =+90° esetén ugyanez a képlet megadja az egy parallelkör által határolt gömbsüveg felszínét.) A forgási ellipszoidon az egyenlítő (0 =0°) és szélességi kör közé eső ellipszoidöv F felszíne:
Ugyanez sor alakjában felírva:
A -be 90°-ot helyettesítve kapjuk a fél-ellipszoid felszínét, ennek kétszereséből pedig az Fe ellipszoidi felszínt:
A fentiek alapján a 1 és 2 szélességi körök közé eső ellipszoid-öv F felszíne:
illetve ugyanez sor-alakban:
Kössük össze a gömbfelület egyik átmérőjének végpontjait két gömbi főkörívvel (félkörrel); ezek a gömbfelületet két gömbkétszögre bontják. A 1 és 2 meridián által közrezárt gömbkétszög a teljes gömbfelszín (4R2) arányos része, F felszíne tehát:
A forgási ellipszoidon is kijelölhető a határoló 1 és 2 meridiánokkal egy ellipszoidi kétszög (zóna); ennek F felszíne a forgási ellipszoid teljes felszínének arányos része:
A térképészetben jelentős szerepet játszik a 1 és 2 (12) parallelkör, valamint a 1 és 2 (12) meridián által határolt felületdarab, az ún. foktrapéz, másként földrajzi négyszög. Ennek F felszíne gömb alapfelületen:
Forgási ellipszoid alapfelületen a 1 és 2 (12) parallelkör, valamint a 1 és 2 (12) meridián által határolt foktrapéz felszíne:
A gömb alapfelületen végzett számítások fontos eszköze a gömbháromszög, amelyet három gömbi főkörív határol. A gömbháromszögnek három oldala és három szöge van, amelyek közül általános esetben három mennyiség független, a többi a gömbháromszögtani tételek segítségével kiszámolható. Ha a gömbháromszög szögeit , és jelöli, akkor a gömbháromszög F felszíne: . A gömháromszög felszíne negatív nem lehet, így ++ 180°. Az =++ – 180° mennyiséget gömbi szögfölöslegnek nevezzük. Ennek felhasználásával: . Másrészt a konvex gömbháromszög szögeinek összege 540°-nál kisebb.
A térképészeti számításokban gyakran használnak olyan gömbháromszögeket, amelyeknek egyik csúcsa a pólusban van. Az ilyen gömbháromszögeket szokás polárgömbháromszögnek nevezni. A síkháromszögek sok tulajdonsága a gömbháromszögekre is átvihető. Így pl. két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. A gömbháromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög helyezkedik el. Ezek alapján az általános gömbháromszögek mellett beszélhetünk az egyenlő szárú (szimmetrikus) és az egyenlő oldalú (szabályos) gömbháromszögekről. A gömbháromszögekre vonatkozó tulajdonságok egy részénél előnyös, ha egységsugarú gömbön vizsgáljuk ezeket. Ekkor a gömbháromszög oldalhosszai egyértelműen megadhatók a hozzájuk tartozó középponti szögekkel. A továbbiakban tehát a gömbháromszög oldalait is szögekkel adjuk meg. Az általános gömbháromszögek oldalai és szögei közül három tetszőleges adat független, a többi adat az alábbi összefüggésekkel határozható meg. A gömbháromszög szögeire (,,), valamint a velük szemközti oldalakra (a,b,c) vonatkozik az ún. gömbháromszögtani szinusztétel:
A gömbháromszög oldalai és egyik szöge között teremti meg a kapcsolatot az ún. gömbháromszögtani oldal-koszinusztétel, pl. az a oldalra és a vele szemközti szögre felírva:
A gömbháromszög szögei és egyik oldala közötti összefüggést az ún. gömbháromszögtani szög-koszinusztétel adja meg, pl. az a oldalra és a vele szemközti szögre felírva:
Ha adott a három oldal, vagy két oldal és a közbezárt szög, akkor az oldal-koszinusztétellel; ha a három szög, vagy egy oldal és a rajta fekvő két szög, akkor a szög-koszinusztétellel lehet elindulni a megoldásban. A fenti tételek kombinálásával minden ismeretlen adat kiszámítható, de gyakran jól hasznosítható az ún. második alapforma is, amely két oldal, a közbezárt szög és valamelyik másik szög között létesít összefüggést: (A baloldalon szereplő oldalak kiválasztása és sorrendje szerint összesen 6 alakja írható fel.) Mint látható, az a oldal és az szög ebből kifejezhető, azonban a b oldal és a szög kiszámítása másodfokú egyenletre vezet. Meridiánkonvergencia az alapfelületen és a térképen A meridiánok a pólus felé összetartanak, ezzel kapcsolatos a meridiánkonvergencia fogalma, amely mind a térképészetben, mind a navigációban használatos. A meridiánok összetartásának mértékét fejezi ki az alapfelületi meridiánkonvergencia. Vegyünk két pontot (P1 és P2) az alapfelületen és kössük össze ezeket egymással és a pólussal ortodrómaívek segítségével. A két pontbeli azimut különbségének 180° feletti részét nevezzük a (-vel jelölt) alapfelületi meridiánkonvergenciának. Képletben: Gömb alapfelület esetén egyszerű összefüggés adható meg a gömbi szögfölösleg és a valódi gömbi meridiánkonvergencia között. Ehhez írjuk fel a P1, a P2 és a pólus által meghatározott polárgömbháromszög belső szögeinek összegét (???ábra):
ahol a két pont hosszúságkülönbsége és a gömbi szögfölösleg. Átrendezve az egyenletet: vagyis . A navigációban az alapfelületi meridiánkonvergencia kiszámítására az alábbi közelítő képletet használják:
ahol arc a meridiánkonvergencia ívmértéke, s jelöli a P1 és P2 pontok közötti távolságot (km-ben), 1 és 2 a pontok szélességét, R pedig a közelítő földsugarat (R=6371.1km). A vetületi meridiánkonvergencia az a -vel jelölt szög (???ábra), amelyet a képfelületi P' ponton áthaladó meridiánkép érintője a képfelületi derékszögű koordinátarendszer hálózati északi irányt kijelölő tengelyével bezár, és amelyet az óramutató járásával ellentétesen irányítunk. A vetületi meridiánkonvergenciának a vetületek geodéziai alkalmazásánál van szerepe.
