ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmazott mechanika laboratóriumi mérési gyakorlatokhoz az egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvevő mérnökhallgatók számára 1. A mérési feladatok kitűzése A laboratóriumi gyakorlaton izotróp és ortotróp anyagokon végzünk nyúlásméréseket. Ezekből a mérési eredményekből határozzuk meg az anyag E rugalmassági modulusát (modulusait),  Poisson tényezőjét (tényezőit) és G csúsztató rugalmassági modulusát. A vizsgált próbatestek mechanikai szempontból rúdnak tekinthetők, ezért alkalmazhatók a rudakra kapott elemi szilárdságtani megoldások. 1.1. Izotróp anyagok anyagjellemzői Az izotróp (iránytól független anyagi tulajdonságú) anyagok (pl. a fémes szerkezeti anyagok) rugalmas viselkedését az izotróp anyagokra vonatkozó általános Hooke-törvény írja le.

 FI  1  E F  G  csúsztató rugalmassági modulus  2G  1   , ahol  anyagjellemzők. (1)   Poisson tényező  AI     ) F  2G  A  E 1  2   A feszültségi / alakváltozási tenzor első skalár invariánsai: FI   x   y   z   1   2   3 , ) A

AI   x   y   z  1   2   3 . Az x,y,z indexek egy tetszőleges derékszögű koordináta-rendszert (DDKR-t), az 1,2,3 indexek pedig a főtengelyek koordináta-rendszerét jelölik. Az  ) alak skaláris egyenletei:

A  ) alak skaláris egyenletei:

x 

1    x   x   y   z  ,   2G  1  

 xy 

y 

1    y   x   y   z  ,   2G  1  

 yz 

z 

1    z   x   y   z  ,   2G  1  

 xz 

    x   y   z  ,  1  2       y  2G  y   x   y   z  ,  1  2       z  2G  z   x   y   z  ,  1  2    x  2G  x 

 yx G

 yz G

 xz G

, , .

 xy  G  xy ,  yz  G  yz ,  xz  G  xz .

Egytengelyű feszültségi állapot (prizmatikus rudak húzás-nyomása és hajlítása) esetén a Hooketörvény speciális alakját, az egyszerű Hooke-törvény is szokás használni:

1



 z  E  z ,  x   y    z . ahol

(2)

E  Young -féle rugalmassági modulus   anyagjellemzők.   Poisson tényező 

A feszültségi és alakváltozási állapot egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás / hajlítás) esetén: 0 0 0   x 0 0    F  0 0 0  , A   0  y 0  , ahol  x   y    z . 0 0  z   0 0  z  Az E, G,  anyagjellemzők nem függetlenek egymástól, közöttük kapcsolat az általános Hooketörvény egytengelyű feszültségi állapotra történő alkalmazásával határozható meg: 2G 

E , vagy E  2G 1   . 1 

(3)

Az izotróp anyagok viselkedése tehát két egymástól független anyagjellemzővel, az E -vel és  vel, vagy a G -vel és  -vel adható meg. A laboratóriumi gyakorlaton három szerkezeti anyag, az acél, az alumínium (Al-Si-Mg ötvözet) és a sárgaréz (Cu-Zn-Pb ötvözet) az E Young-féle rugalmassági modulusát és a  Poisson tényezőjét határozzuk meg erő- és nyúlásmérés alkalmazásával. A csúsztató rugalmassági modulus izotróp anyagok esetén az E -ből és  -ből mindig kiszámítható. 1.2. Ortotróp anyagok anyagjellemzői Anizotróp anyagoknál az anyagi tulajdonságok (viselkedés) iránytól függőek. Ilyen anyag pl. a faanyag, a hosszú, rendezett szálazással erősített műanyag, stb. Az ortotróp anyag az anizotróp anyag speciális esete, az anyagi viselkedés egymásra merőleges irányokban vett anyagjellemzőkkel írható le. Ilyen anyag pl. az egy irányban futó, párhuzamos hosszú szálakkal erősített műanyag, az UD (uni-directional) kompozit, vagy a textil szövettel erősített kompozit. Azért foglalkozunk ezzel az esettel, mert a gyakorlatban elterjedt szálerősítésű műanyag kompozitok közül sok ezzel az anyagmodellel leírható. Az ortotróp anyagok rugalmas viselkedését az ortotróp anyagokra vonatkozó általános Hooketörvény írja le: 1 2

3  12  23  13

 1  E  1   12   E1   13  E  1         



 21 E2

1 E2 

 23 E2

0



 31



 32

E3 0

E3

1 E3 1 G12

0

0

1 G23

0

0

          0    0   1   G13 

1 2 3 12  23

13

2



ahol 1, 2, 3 az anyagi főirányok, E1 , E2 , E3  az 1, 2, 3 irányú húzáshoz tartozó rugalmassági modulus , G12 , G23 , G31  a csúsztató rugalmassági modulusok , 12 ,  23 ,  31  a Poisson  tényezők . Például: 12  az 1 irányú húzáshoz tartozó 2 irányú kontrakció :  2  12 1 . Az anyagjellemzők mátrixa szimmetrikus (energia megfontolásokból következően). Szimmetria:

 21  12 E2



E1

 32  23

,

E3



E2

 31  13

,

E3



E1

.

A lineárisan rugalmas ortotróp anyag viselkedése 9 független anyagállandóval írható le:

E1 , E2 , E3

12 , 23 , 13

G12 , G23 , G13 .

Kompozit alkatrészekben, szerkezetekben a szálerősítés legtöbb esetben több rétegben helyezkedik el. Tapasztalatok szerint egy-egy szálerősített rétegben jó közelítéssel általánosított síkfeszültségi állapot (ÁSF) alakul ki. Az általánosított síkfeszültségi állapotnál csak a síkba eső két normál, valamint a síkba eső egy csúsztató feszültségi koordináta különbözik nullától (1. ábra) és ezek a feszültségek a réteg vastagságának irányában nem változnak. Ha a réteg hajlítva is van, akkor a fenti feszültség-koordináták a vastagság lineáris függvényei. A lineárisan rugalmas, ortotróp anyagtörvény általánosított sík feszültségi állapot esetén a réteg anyagi főirányainak e1 , e2 , e3 koordináta-rendszerében (1. ábra) az alábbi alakú:

1 

 1  1  12  2 , E1 E2

   C    ,

2  

 1  E 1   1        12  2  E  12   1   0 

 21 E1 

1 

 21 E2

1 E2 0

1 2 , E2

 12 

1  12 . G12

 0    1   0   2      12  1   G12 

(4.a)

(4.b)

e3  n P

3 t

2 e2

1 e1

1

 12

 21

2

1. ábra: Egy kompozit réteg feszültségei az anyagi főirányok koordináta-rendszerében Az anyagi főirányok koordináta-rendszerének 1 jelű tengelye párhuzamos a réteg domináns szálirányával, 2 a domináns szálirányra merőleges síkbeli irány és n a rétegre merőleges irány. Az

3



(4) egyenletekben szereplő Poisson-tényezők nem függetlenek egymástól. Energia okokból közöttük az alábbi összefüggés áll fenn:

 21 E1



 12 E2

.

(5)

A (4) és (5) összefüggésekből látható, hogy ortotróp esetben a réteg anyagi viselkedése négy független anyagjellemzővel, az E1 és E2 rugalmassági modulusokkal, a  12 (vagy  21 ) Poissontényezővel és a G12 síkbeli csúsztató rugalmassági modulussal határozható meg. Az általánosított síkfeszültségi állapot  n  0 feltételezésének figyelembevételével a (4) egyenletekből a feszültség koordinátákra az alábbi összefüggések adódnak: E1  E (6.a) 1  1  12 1  2 , 1  12 21 1  12 21

2 

 21E2 E2 1  2 , 1  12 21 1  12 21

(6.b)

12  G12  12 .

(6.c)

y 2 e2

P

 21 1 e1

P

y

2

 yx  xy



 12

1

1

x

x

2. ábra: Az 1,2 anyagi főirányok koordináta-rendszere és az xy globális koordináta-rendszer Rétegelt szálerősített műanyag szerkezetekben az egyes rétegek e1 , e2 , e3 anyagi főirányai általában nem esnek egybe a szerkezetre felvett globális x,y,z koordináta irányokkal. A két egymással  szöget bezáró koordináta-rendszerben ( n  z ) vett alakváltozási jellemzők és feszültségek (2. ábra) között az alábbi transzformációs összefüggések állnak fenn:

ahol

 

 T  ,

  T 1

1,2

1,2

x, y

T

 ,

 x   x   1  1                      2  ,      y  ,      2  ,      y  , 1,2     x , y    1,2     x , y     12   12   xy   xy 

 cos 2   és a transzformációs mátrix: T    sin 2   cos  sin 

(7.a)

x, y

 2 cos  sin    cos 2  2 cos  sin     cos  sin   cos 2   sin 2   

(7.b)

sin 2 

(7.c)

A (6.a-6.c) anyagegyenletek mátrix alakban is írhatók: 4



       C     , 1,2  1,2 

(8.a)

ahol az anyagállandók mátrixa az e1 , e2 koordináta-rendszerben:  E1  1   12 21 C11 C12 C13    E  C   C21 C22 C23    21 2   1   12 21 C31 C32 C33    0  

 12 E1 1  12 21 E2

1  12 21 0

 0    0 .  G12   

(8.b)

A (8.a) összefüggésen a (7.a) koordináta transzformációkat elvégezve kapjuk az anyagegyenleteket x,y koordináta-rendszerben:     (9.a)     C     ,  x, y   x, y  ahol az anyagállandók mátrixa az x,y koordináta-rendszerben:

C11 C12 C13    C   T  C  T   C 21 C 22 C 23  .       C 31 C 32 C 33  1

1 T

(9.b)

Az x,y koordináta–rendszerben vett C  anyagállandó mátrix elemei:

C11  C11 cos4   2(C12  2C33 ) cos2  sin 2   C22 sin 4  ,

(9.c)

C12  (C11  C22  4C33 ) cos2  sin 2   C12 (cos4   sin 4  ) ,

(9.d)

C 22  C11 sin 4   2(C12  2C33 ) cos2  sin 2   C22 cos4  ,

(9.e)

C 33  (C11  C22  2C12  2C33 ) cos2  sin 2   C33 (cos4   sin 4  ) ,

(9.f)

C13  (C11  C12  2 C33 ) cos3  sin   (C12  C22  2C33 ) cos  sin 3  ,

(9.g)

C 23  (C11  C12  2 C33 ) cos  sin 3   (C12  C22  2C33 ) cos3  sin  .

(9.h)

Az ortotróp anyagok viselkedése ÁSF esetén tehát négy egymástól független anyagjellemzővel, az E1 , E2 rugalmassági modulussal, a  12 Poisson tényezővel és a G12 csúsztató rugalmassági modulussal adható meg. Az 1,2 anyagi koordináta rendszerben vett anyagállandókból a (9.a – 9.h) összefüggésekkel határozhatók meg a tetszőleges x,y koordináta-rendszerben vett anyagjellemzők. A laboratóriumi gyakorlaton két kompozit anyag, egy egyirányban (UD) szálerősített és egy textillel erősített kompozit anyag anyagjellemzőit határozzuk meg erő- és nyúlásmérés alkalmazásával az anyagi főirányok koordináta-rendszerében.

5



2. A mérések elvégzése és kiértékelése 2.1. Izotróp anyagok anyagjellemzői Az izotróp anyag anyagjellemzői, az E rugalmassági modulus és a  Poisson tényező húzókísérlettel határozhatók meg (3. ábra). A húzó próbatest közepén az F húzóerőt növelve legalább tíz lépésben (tíz terhelő erőhöz tartozóan) mérjük az  z hosszirányú és az  k keresztirányú nyúlást.

y

2-4

250 150

50

z

F

F

50

x

z

mérőbélyegek

3. ábra: Mérési irányok a húzókísérletnél Mérési feladat: -  z ( z ) szakító diagram  z  E  z lineáris szakaszának felvétele tíz mérési pontban, -  k ( z )    z egyenes meghatározása 2 db egymásra merőleges mérőbélyeggel tíz mérési pontban. A hosszirányú normálfeszültség:

z 

F , A

(10)

ahol F az erőmérő cellával mért húzóerő és A a próbatest mérési keresztmetszetének területe. A rugalmassági modulus:

E

z , z

(11)

ahol  z a (10) képlettel számított hosszirányú normálfeszültség és

6



 z a nyúlásmérő bélyeggel mért hosszirányú fajlagos nyúlás. A Poisson tényező:

 

k   x , z z

(12)

ahol  k   x a nyúlásmérő bélyeggel mért keresztirányú fajlagos nyúlás és  z a nyúlásmérő bélyeggel mért hosszirányú fajlagos nyúlás. 2.2. Ortotróp anyagok anyagjellemzői Síkbeli terhelésre az ortotróp anyag anyagjellemzői, az E 1 és E 2 rugalmassági modulusok, a

 21   12 Poisson tényezők és a G12 csúsztató rugalmassági modulus két húzókísérlettel (4., 5. ábra) és egy nyírókísérlettel (6. ábra). határozhatók meg. Az F terhelést növelve legalább tíz lépésben (tíz terhelő erőhöz tartozóan) mérjük a húzó próbatesteknél az  z hosszirányú és az  k keresztirányú nyúlást, a nyíró próbatesteknél pedig az  45o fajlagos nyúlást 45 o -os irányban. (a) Az E1 ,  21 mérése:

250 150

50

50

2-4

Ezeket az anyagjellemzőket a 4. ábrán látható hosszirányban erősített próbatesten (a próbatest hossziránya a domináns szálirány / a láncirány) mérjük.

4. ábra: Hosszirányban erősített húzó próbatest Mérési feladat: -  z ( z ) szakító diagram  z  E1  z lineáris szakaszának felvétele tíz mérési pontban, -  k ( z )   21  z egyenes meghatározása 2 db egymásra merőleges mérőbélyeggel tíz mérési pontban. A hosszirányú normálfeszültség:

z 

F , A

(13)

ahol F az erőmérő cellával mért húzóerő és A a próbatest mérési keresztmetszetének területe. A láncirányú rugalmassági modulus: E1 

z , z

(14)

ahol  z a (13) képlettel számított hosszirányú normálfeszültség és  z a nyúlásmérő bélyeggel mért hosszirányú (domináns szálirányú / láncirányú) fajlagos nyúlás. 7


A Poisson tényező:

(b) Az. E2 ,  12

 21  


k   x , z z

(15)

ahol  k   x a nyúlásmérő bélyeggel mért keresztirányú (domináns szálirányra merőleges / vetülékirányú) fajlagos nyúlás és  z a nyúlásmérő bélyeggel mért hosszirányú (domináns szálirányú / láncirányú)fajlagos nyúlás. mérése:

50

2-4

Ezeket az anyagjellemzőket az 5. ábrán látható keresztirányban erősített próbatesten (a próbatest hossziránya a domináns szálirányra merőleges irány / a vetülékirány) mérjük. 250 50 150

5. ábra: Keresztirányban erősített húzó próbatest Mérési feladat: -  z ( z ) szakító diagram  z  E 2  z lineáris szakaszának felvétele tíz mérési pontban, -  k ( z )  12  z egyenes meghatározása 2 db egymásra merőleges mérőbélyeggel tíz mérési pontban. A hosszirányú normálfeszültség:

z 

F , A

(16)

ahol F az erőmérő cellával mért húzóerő és A a próbatest mérési keresztmetszetének területe. A vetülékirányú rugalmassági modulus:

E2 

z , z

(17)

ahol  z a (16) képlettel számított hosszirányú normálfeszültség és  z a nyúlásmérő bélyeggel mért hosszirányú (domináns szálirányú / láncirányú) fajlagos nyúlás. A Poisson tényező:

 12  

k   x , z z

(18)

ahol  k   x a nyúlásmérő bélyeggel mért keresztirányú (domináns szálirányra merőleges / vetülékirányú) fajlagos nyúlás és  z a nyúlásmérő bélyeggel mért hosszirányú (domináns szálirányú / láncirányú)fajlagos nyúlás.

8



(c) A G12 mérése: A nyírókísérletnél a 6. ábrán látható nyíró próbatestet használjuk. A próbatestre a 0°/90°-os nyúlásmérő bélyeget a terhelő erő irányához képest 45°-ban ragasztjuk fel (7., 8. ábra).

10 9× O

25.5

38

127

38

2-4

Mérési feladat: - 12 ( 12 ) nyíró diagram 12  G12  12 lineáris szakaszának felvétele tíz mérési pontban.

12.5

56

56 137

6. ábra: A nyíró próbatest geometriai méretei és befogása 0°/90°-os rozetta

1

h

F

1

45°

45°

F L

a

b

2 F

2

F

7. ábra: A nyíró próbatest terhelése

8. ábra: A 0°/90°-os rozetta pozicionálása

9



A mért mennyiségek: - az F nyíróerőt erőmérő cellával mérjük tíz mérési helyen, - a 45°-os  a fajlagos nyúlást nyúlásmérő bélyeggel mérjük tíz mérési helyen, - a -45°-os  b fajlagos nyúlást nyúlásmérő bélyeggel mérjük tíz mérési helyen. A síkbeli csúsztatófeszültséget a nyíróerőből és a nyírt keresztmetszetből határozzuk meg:

12 

F F ,  2 A 2 Lh

(19)

ahol F a nyíróerő és A a nyírási keresztmetszet területe A szögtorzulás az a és a b mérőbélyeggel mért fajlagos nyúlások különbségének abszolút értéke:

 12   a   b Tiszta nyírás esetén:  a   b

(20) 

 12  2  a  2  b .

(21)

A csúsztató rugalmassági modulus a feszültségváltozás és a szögtorzulás megváltozásának a hányadosa: G12 

 12  12

(22)

3. A mérési jegyzőkönyv összeállítása A mérési jegyzőkönyv egy rövid összefoglalóval kezdődik, melyben a mérést végző leírja, milyen berendezések és mérőeszközök igénybevételével, milyen fizikai törvényszerűségek felhasználásával milyen fizikai mennyiségek mérését végezte el. Ezután következik a konkrét mérési elrendezés vázlatrajza a műszaki ábrázolás követelményeinek betartásával. Célszerű a számításokhoz használt méreteket ellenőrizni (például tolómérővel). A ténylegesen elvégzett mérések számszerű eredményeit táblázatban kell rögzíteni, mindig feltüntetve a mennyiségek mértékegységét és relatív hibáját is. A nyúlásmérés eredményeiből számítások útján határozzuk meg a szükséges alakváltozási- és a feszültségi tenzor jellemzőket. Természetesen nem elegendő pusztán a végeredmények közlése! A mérési jegyzőkönyvből ki kell derülnie, hogy a mérést végző hogyan számolta ki az eredményeket. Ezért legalább egy pont legalább egy terhelése esetére a számításokat teljes részletességgel le kell írni! A mérési eredményekről grafikonokatt kell készíteni: a vízszintes tengelyre a független változónak tekintett feszültséget, a függőleges tengelyre a függő változónak tekintett fajlagos nyúlást (illetve szögtorzulást) mérve fel. A táblázat alapján felrajzolt pontokra aztán az egyenes-illesztési eljárással (legkisebb négyzetek módszere) egyenest fektetünk. Ügyelni kell a grafikon tengelyeinek helyes skálázására és az egyenes jellemzőinek feltüntetésére is. A mérési eredmények pontosságát feltétlenül elemezni kell! E nélkül nem tudjuk megítélni, vajon értékes eredményeket kaptunk-e egyáltalán. Először a számítások során felhasznált méretek pontosságát kell tisztázni, aztán a mérés szolgáltatta adatok hibáját kell megbecsülni és ezen hibák terjedését meghatározni a számítások során használt képletekben „Mérési eredmények kiértékelése” oktatási általános képletei és a példák segítségével.

10



A mérési jegyzőkönyvet összefoglaló zárja, melyben értékelni kell, mennyire teljesültek az elmélet alapján megfogalmazott előzetes várakozások. Külön meg kell vizsgálni, vajon mi okozhatta az esetleges eltéréseket. Esetleg javaslatokat lehet megfogalmazni a mérés pontosságának növelésére.

11

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet

Recommend Documents