ANALISIS SISTEM KENDALI

Bab 4: Analisis Sistem Kendali

EL303 Sistem Kendali

ANALISIS SISTEM KENDALI

o

PENDAHULUAN

o

ANALISIS WAKTU ALIH ♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 1 ♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 2 ♦ Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih ♦ Penurunan Rumus Spesifikasi ♦ Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi

o

ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK ♦ Klasifikasi Sistem Kendali ♦ Konstanta Galat Statik

o

ANALISIS KEPEKAAN

o

ANALISIS KESTABILAN ♦ Prinsip Dasar Kestabilan ♦ Metoda Kestabilan Routh Hurwitz

Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 20 _______________________________________________________________________________



o PENDAHULUAN ♦ Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem. ♦ Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem : − Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot, Nyquist Plot. − Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural. − Analisis Keadaan Tunak : Kosntanta tunak statik − Analisis Kepekaan ♦ Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana. ♦ Sinyal-Sinyal Pengujian : − fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba − fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu − fungsi percepatan − fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba − fungsi sinusoidal : linearitas sistem ♦ Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya. ♦ Tanggapan waktu : − waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir. − keadaan tunah : tanggapan pada waktu t → ∼ ♦ Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali : ♦ Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan. ♦ Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya. ♦ Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem. ♦ Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.




o ANALISIS WAKTU ALIH Fungsi alih sistem linear invarian waktu : Y ( s) X ( s)

G ( s) =

sehingga

Y ( s) = G ( s) X ( s)

Dalam domain waktu t

y (t ) = ∫ x (τ ) g( t − τ ) dτ 0 t

= ∫ g(τ )x( t − τ ) dτ 0

dengan

g(t) = x(t) = 0 untuk t < 0

(kondisi mula = 0)

Tanggapan Impuls : X(s) = 1 Y(s) = G(s) atau y(t) = g(t) = fungsi tanggapan impuls.

Kesimpulan : • Informasi lengkap tentang karakteristik dinamis sistem dapat diperoleh dengan mengukur tanggapan sistem tersebut terhadap impuls. • Pembangkitan Impuls secara praktis dilakukan dengan membuat pulsa dengan lebar yang sangat sempit dibandingkan dengan konstanta waktu sistem.

memadai untuk t1 < 0,1 T




♦ Tanggapan Waktu Alih Sistem Orde –1

Fungsi alih :

C( s) 1 = R( s) Ts + 1

♦ untuk input unit step : R( s) = C(s) =

T 1 1 T ⋅ = − Ts + 1 s s Ts + 1

1 s

(

)

sehingga c(t ) = 1 − e − t / T u(t )

• Untuk t = T : C(T) = 0,632 • Makin kecil T, makin cepat tanggapan sistem • Kemiringan kurva pada t = 0 : dc 1 = dt T

• Galat lebih kecil 2 % dicapai pada t =4T • Bila Kurva log c(t ) − c(~) ≡ garis lurus, maka sistem orde-1 • Konstanta waktu T ditentukan dari c(T ) − c(~) = 0,368[c(0) − c(~) ]




♦ Untuk input unit ramp R (s) =

1 s2

(

)

1 1 1 T T2 −t / T u( t ) C(s) = ⋅ 2= 2− + sehingga c( t ) = t − T + Te Ts + 1 s s Ts + 1 s

Galat keadaan mantap : e(~)=T

♦ Untuk input unit Impuls : R(s) = 1 C( s) =

1 Ts + 1

sehingga 1  C( t ) =  e − t / T  u ( t ) T 

Sifat Penting Sistem Linear Invarian-Waktu : Fungsi Singular.

( ) : C(t ) = (1 − e t / T )u(t ) (turunkan dari tanggapan unit ramp)

Tanggapan unit ramp: C(t ) = t − T + Te − t / T u(t ) Tanggapan unit step

1 T



Tanggapan unit impuls: C(t ) =  e − t / T  u(t ) (turunkan dari tanggapan unit step) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 20 _______________________________________________________________________________



♦ Tanggapan Waktu alih Sistem Orde-2 • Sistem Kendali Posisi

Error Detector : er = K 0 r ec = K 0 c

dengan K0 = konstanta proporsionalitas arm detector Torsi motor : T = K2 ia dengan K2 = konstanta torsi motor ia = arus jangkar Rangkaian jangkar : La

dia dθ + Ra ia + K 3 = K1e dt dt

(1)

dengan K3 = konstanta back emf motor θ = sudut putaran poros motor Persamaan Torsi : (2)

dengan : J0 = momen inersi motor + beban + roda gigi terhadap poros motor b0 = koefisien gesekan motor + beban + roda gigi terhadap poros motor Dari (1) dan (2) diperoleh : Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 20 _______________________________________________________________________________



Output :

Dengan

Maka :

Mengingat La = kecil, maka diperoleh penjabaran sebagai berkut

Daya penyederhanaan diperoleh : G ( s) =

K Js 2 + Bs

Atau :

Definisikan : Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 20 _______________________________________________________________________________



ω n = frekuensi natural tak teredam σ ζ

= redaman (attenuation)

= faktor / koefisien redaman B B ζ = = Bc 2 JK

Diperoleh :

K = ω n2 J

dan

B = 2ζω n = 2σ J

Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi alih orde-2 balikan satuan :

ω n2 C ( s) = R( s) s 2 + 2ζω n s + ω n2 Perilaku dinamis sistem orde-2 dapat dijelaskan melalui ζ dan ω n .

Tiga kasus tanggapan : 1. Teredam kurang 2. Teredam kritis 3. Teredam lebih

(0 < ζ < 1) (ζ = 1) (ζ > 1)

• Teredam kurang C ( s) ωn2 = R( s) ( s + ζωn + jωd )( s + ζωn + jωd )

dengan ωd = ωn 1 − ζ 2

= frekuensi natural teredam jωd

X

σ

− ξωn

Untuk input unit step :

X

− jωd



C ( s) =


ωn2

(s2 + 2ζωn s + ωn2 )s

=

1 ζωn s + ζωn − − 2 2 s ( s + ζω ) + ω ( s + ζωn )2 + ωd2 n d

sehingga c(t ) = 1 − e



 cos ωd t + sin ωd t    2 1− ζ   ζ

−ζωnt 

2  −1 1 − ζ   = 1− sin ωd t + tan   ζ 1−ζ2  

e −ζωnt

(t ≥ 0)

• Waktu setting tercepat bila 0,5 < ζ < 0,8 • sistem teredam kritis lebih cepat dari pada sistem dengan ζ > 1. • Sistem orde-2 dengan ζ sama dan ωn berbeda : bertanggapan sama untuk simpangan dan pola osilasi, disebut memiliki kestabilan relatif sama. • Sinyal galat : e( t ) = r ( t ) − c( t ) =e

untuk

 cos ωd t + sin ωd t    2 1−ζ   

−ζω n t 

ζ

( t ≥ 0)

ζ = 0 : sistem berosilasi pada amplitudo tetap

c( t ) = 1 − cos ωnt

t≥0



‚


Teredam Kritis jω bid-s

σ − ωn

Respon unit step : C ( s) =

sehingga

ωn2

(s + ωn )2 s

c( t ) = 1 − e−ω nt (1 + ωnt )

t≥0




ƒTeredam lebih Letak pole-pole jω bid-s

σ − s1 = − ζω n − ω n ζ 2 − 1

− s2 = − ζωn + ωn ζ 2 − 1

Respon unit step :

sehingga

dengan

s1 =  ζ + ζ 2 − 1 ω n s2 = ζ − ζ 2 − 1 ω n

Bila s2 << s1 , maka respons orde-2 dapat didekati dengan mengabaikan faktor s1.




Diperoleh pendekatan : ζωn − ωn ζ 2 − 1 C ( s) s = = 2 R( s) s + ζω − ω ζ 2 − 1 s + s2 n n

Tanggapan waktu untuk input unit step : c( t ) = 1 − e

  −  ζ − ζ 2 −1 ω n t

( t ≥ 0)

Untuk ξ = 2 dan ωn = 1 rad/detik




♦ SPESIFIKASI TANGGAPAN WAKTU ALIH ASUMSI : - sistem orde-2, input unit step, kondisi mula nol, - tanggapan teredam kurang (sistem kendali sebenarnya).

1. Waktu tunda (td) : Waktu yang diperlukan agar tanggapan mencapai 50 % nilai akhir pertama kali. 2. Waktu naik (tr) : Waktu yang dibutuhkan agar tanggapan naik dari : - 0 % ke 100 % dari nilai akhirnya (teredam kurang) - 10 % ke 90 % dari nilai akhirnya (teredam lebih) 3. Waktu Puncak (tp) : Waktu yang dibutuhkan agar tanggapan mencapai puncak simpangan pertama kali. 4. Presentase simpangan puncak, Mp : Perbandingan antara nilai puncak tertinggi dari kurva tangapan terhadap nilai akhir tanggapan C(tp) − c( ~ ) % Mp =

C (~)

x100 %

% Mp merupakan indikator langsung kestabilan relatif sistem. 5. Waktu Menetap (ts) : Waktu yang dibutuhkan agar kurva tanggapan mencapai dan tetap berada didalam batas-batas yang dekat dengan nilai akhir. Batas-batas tersebut dinyatakan dalam presentase mutlak dari nilai akhir (2% atau 5%).




ts berkaitan langsung dengan konstanta waktu terbesar sistem kendali tersebut.




♦ PENURUNAN RUMUS SPESIFIKASI Waktu Naik : Waktu naik terjadi bila : c(tr) = 1   ζ c( t r ) = 1 = 1 − e −ζω n t r  cos ω d t r + sin ω d t r    1− ζ 2   Mengingat

e −ζω n t r ≠ 0, cosω d t r +

maka ζ

1−ζ

2

sin ω d t r = 0

Atau :

1− ζ 2 ω tan ω d t r = − =− d ζ σ Diperoleh

tr =

1 ω  π −β tan −1  d  = ωd ωd  −σ 




Waktu Puncak : Waktu puncak terjadi pada saat : dc dt

t =t p

(

= sin ω d t p

ωn

)

1−ζ 2

e

−ζω n t p

=0

Diperoleh :

sin ω d t p = 0 Sehingga :

ω d t p = 0, π , 2π , 3π ,K Mengingat waktu puncak terjadi pada puncak pertama, maka

tp =

π ωd

Simpangan Puncak : Simpangan puncak terjadi pada :

t = t p = π ωd Sehingga : M p = c(t p ) − 1 = −e

=e

(

(

−ζω n π ω

−σ ω

d

)π

d

)   

=e

cos π +

 − ζ 

ζ 1−ζ 2

 sin π   

 1−ζ 2 π 

Diperoleh : M p = e −(σ ω d )π x100%







Waktu Menetap 2  −1 1 − ζ  c( t ) = 1 − sin ω d t + tan  ζ 1− ζ 2 

e −ζω n t

- Ditentukan oleh konstanta waktu :; τ =

   

(t ≥ 0)

1 ζω n

- Penurunan rumus berdasarkan pendekatan kurva.




Tanggapan Impuls : Untuk 0 ≤ ζ < 1, c( t ) =

ωn 1− ζ

2

e −ζω n t sin ω n 1 − ζ 2 t

(t ≥ 0)

Untuk ζ=1, c( t ) = ω n2 te −ω n t

(t ≥ 0)

Untuk ζ >1, c( t ) =

ωn 2 ζ 2 −1

e (ζ −

ζ 2 −1)

−

ωn 2 ζ 2 −1

e − (ζ −

ζ 2 −1)ω n t

(t ≥ 0)





ANALISIS SISTEM KENDALI

Recommend Documents