Sudaryatno Sudirham
Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1
2
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
BAB 9 Metoda Analisis Umum Dengan mempelajari metoda analisis umum kita akan •
memahami dasar-dasar metoda tegangan simpul;
•
mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda tegangan simpul;
•
memahami dasar-dasar metoda arus mesh;
•
mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda arus mesh.
Metoda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh. Pada dasarnya kedua metoda ini dapat kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik, walaupun dalam hal-hal tertentu metoda tegangan simpul lebih baik dibandingkan dengan metoda arus mesh, terutama dalam menangani rangkaian-rangkaian elektronik. Metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari suatu persamaan linier yang merupakan diskripsi lengkap dari suatu rangkaian dan kemudian memecahkan persamaan itu dengan memanfaatkan aljabar linier. Metoda ini lebih abstrak dibandingkan dengan metoda-metoda analisis dasar karena kita tidak menangani langsung rangkaian yang kita hadapi melainkan mencari pemecahan dari satu set persamaan yang mewakili rangkaian tersebut. Dengan metoda ini kita tidak terlibat dalam upaya untuk mencari kemungkinan penyederhanaan rangkaian ataupun penerapan teorema rangkaian. Kita lebih banyak terlibat dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier, sehingga agak “kehilangan sentuhan” dengan rangkaian listrik yang kita hadapi. Namun demikian kerugian itu mendapat kompensasi, yaitu berupa lebih luasnya aplikasi dari metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh ini.
1
9.1. Metoda Tegangan Simpul (ode Voltage Method – odal Analysis) 9.1.1. Dasar Jika salah satu simpul dalam suatu rangkaian ditetapkan sebagai simpul referensi yang dianggap bertegangan nol, maka tegangan pada simpul-simpul yang lain dapat dinyatakan secara relatif terhadap simpul referensi tersebut. Jika dalam suatu rangkaian terdapat n simpul, sedangkan salah satu simpul ditetapkan sebagai simpul referensi, maka masih ada (n – 1) simpul yang harus dihitung tegangannya. Jadi untuk menyatakan rangkaian secara lengkap dengan menggunakan tegangan simpul sebagai peubah, diperlukan (n – 1) buah persamaan. Jika persamaan ini dapat dipecahkan, berarti kita dapat memperoleh nilai tegangan di setiap simpul, yang berarti pula bahwa kita dapat menghitung arus di setiap cabang. Basis untuk memperoleh persamaan tegangan simpul adalah persyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian, yaitu persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian. Persyaratan elemen menyatakan bahwa karakteristik i-v dari setiap elemen dalam rangkaian harus dipenuhi. Hal ini berarti bahwa hubungan antara arus cabang (arus yang melalui elemen di cabang tersebut), dengan tegangan simpul (tegangan kedua simpul yang mengapit elemen / cabang yang bersangkutan) ditentukan oleh karakteristik i-v elemen yang ada di cabang tersebut. Ini berarti pula bahwa arus cabang dapat dinyatakan dengan tegangan simpul. Sebagai contoh, bila sebuah resistor dengan konduktansi G berada di antara simpul X dan Y, maka arus cabang tempat resistor itu berada dapat ditulis sebagai
i XY = G (v X − vY )
(9.1)
dengan iXY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, vX dan vY masing-masing adalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementara itu persyaratan rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhoff (HAK), juga harus dipenuhi. Oleh karena itu untuk suatu simpul M yang terhubung ke k titik simpul lain melalui konduktansi Gi (i = 1sampai k), berlaku
∑ 2
k
iM = 0 =
∑
i =1
Gi (v M − vi ) = v M
k
∑
i =1
k
Gi −
∑Gi vi
i =1
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
(9.2)
dengan vM adalah tegangan simpul M, vi adalah tegangan simpulsimpul lain yang terhubung ke M melalui konduktansi masingmasing sebesar Gi. Persamaan (9.2) adalah persamaan tegangan untuk satu simpul. Jika persamaan ini kita terapkan untuk (n – 1) simpul yang bukan simpul referensi maka kita akan memperoleh (n−1) persamaan yang kita inginkan. Jadi untuk memperoleh persamaan tegangan simpul dari suatu rangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut: 1. Tentukan simpul referensi umum. 2. Aplikasikan persamaan (9.2) untuk simpul-simpul yang bukan simpul referensi. 3. Cari solusi persamaan yang diperoleh pada langkah 2. 9.1.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Tegangan Simpul Persamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperoleh melalui aplikasi HAK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabang yang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemen dengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikit kesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut ini kita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatu simpul dengan melihat beberapa kasus jenis elemen yang berada pada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut. Kasus-1: Cabang-Cabang Berisi Resistor. Dalam kasus ini persamaan (9.4) dapat kita aplikasikan tanpa kesulitan. Perhatikan hubungan simpul-simpul vA i1 i2 seperti terlihat pada Gb.9.1. vB vC A Walaupun referensi arah arus C B tidak semuanya G1 G2 i3 meninggalkan simpul A G3 namun hal ini tidak akan menggangu aplikasi vD D persamaan (9.2) untuk Gb.9.1. Cabang berisi resistor. simpul A. Persamaan untuk simpul A:
3
v A (G1 + G2 + G3 ) − G1v B − G2 vC − G3v D = 0
(9.3)
Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.1. kita akan memperoleh persamaan arus untuk simpul A sebagai i1−i2−i3 = 0, yang akan memberikan persamaan tegangan simpul G1 (v B − v A ) − G2 (v A − vC ) − G3 (v A − v D ) = 0
atau
− v A (G1 + G2 + G3 ) + v B G1 + vC G2 + v D G3 = 0
yang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperoleh sebelumnya. Kasus-2: Cabang Berisi Sumber Arus. Perhatikan Gb.9.2. Dalam kasus ini kita tidak mengetahui konduktansi yang ada antara simpul vA A dan D yang berisi vC sumber arus bebas. Tetapi vB A hal ini tidak memberikan C B kesulitan dalam aplikasi G1 G2 (9.2) untuk simpul A, Is karena sesungguhnya persamaan (9.2) itu vD berangkat dari persamaan D arus untuk suatu simpul. Gb.9.2. Cabang berisi sumber arus. Dengan demikian maka nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itu dapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadi hasil kali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul. Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harus bertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedang ditinjau, sesuai dengan persyaratan persamaan (9.2). Untuk simpul A pada Gb.9.2. persamaan yang diperoleh adalah:
v A (G1 + G2 ) − I s − v B G1 − vC G2 = 0
4
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
(9.4)
Kasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus ini terdapat dua vA kemungkinan. vB vC Kemungkinan pertama : A salah satu simpul sumber C B G1 G2 tegangan menjadi simpul + Vs referensi seperti terlihat − pada Gb.9.3. vD
D
Simpul A menjadi simpul terikat, artinya Gb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan. tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber; jadi tegangan simpul A tidak perlu lagi dihitung, vA = Vs . Kemungkinan yang vA kedua: simpul-simpul vC v A B yang mengapit sumber C B tegangan bukan G1 G2 merupakan simpul + Vs − referensi seperti terlihat pada Gb.9.4. Dalam hal F terakhir ini, sumber E D vE G3 G4 vF tegangan beserta kedua vD simpul yang Gb.9.4. Sumber tegangan antara dua mengapitnya kita simpul yang bukan simpul referensi. jadikan sebuah simpulsuper (super-node). Jadi simpul A, D, dan sumber tegangan pada Gb.9.4. kita pandang sebagai satu simpul-super. Hukum Arus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satu melainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan, yaitu: •
persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaan arus seperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan
•
persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikan hubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkan menjadi simpul-super tersebut.
Perhatikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul A, D dan sumber tegangan Vs. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpul 5
B dan C melalui A dengan konduktansi G1 dan G2; ia juga terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui D dengan kunduktansi G3 dan G4. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah : v A (G1 + G2 ) + v D (G3 + G4 ) − v B G1 − v C G2 − v E G3 − v F G4 = 0 dan
(9.5)
v A − v D = Vs
Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencari persamaan tegangan pada suatu simpul. Dalam peninjauan kasuskasus tersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistor. Walaupun demikian metoda ini dapat kita gunakan untuk rangkaian dengan elemen dinamis yang akan kita lihat kemudian. Berikut ini kita akan melihat aplikasi metoda tegangan simpul untuk rangkaian resistor. Rangkaian yang akan kita lihat masih termasuk sederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakan metoda analisis dasar. Akan tetapi yang kita tekankan di sini adalah melihat bagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan. CO'TOH-9.1: Carilah tegangan simpul A, B, C, dan D pada rangkaian di bawah ini. R1 R3 R5 A B C D 20Ω 0,4 A
10Ω
10Ω R2
20Ω
R4
20Ω
R6
10Ω
E Penyelesaian : Rangkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sini kita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan. Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum, yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kita mempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu A, B, C dan D.
6
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpul dengan mengaplikasikan persamaan (2.30) pada ke-empat simpul non-referensi tersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yang kita peroleh adalah :
v A (G1 ) − 0.4 − v B (G1 ) = 0
v B (G1 + G2 + G 3) − v A (G1 ) − vC (G3 ) = 0
vC (G3 + G4 + G5 ) − v B (G3 ) − v D (G5 ) = 0 v D (G5 + G6 ) − vC (G5 ) = 0
dengan G1 , G2….G6 adalah konduktansi elemen-elemen yang besarnya adalah Gi = 1/Ri . Dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi 1 v 1 0 0 − A 0,4 20 20 1 1 1 1 1 v 0 − − 0 + + 10 B 20 20 20 10 = 1 1 1 1 1 − − + + vC 0 0 10 10 10 20 10 1 1 1 − 0 + v D 0 0 10 10 10
Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitungan selanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ketiga kita kalikan 20 sedangkan baris ke-empat kita kalikan 10, akan kita peroleh
0 v A 8 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 v 0 B= 0 − 2 5 − 2 vC 0 0 − 1 2 v D 0 0 Eliminasi Gauss memberikan:
0 v A 8 1 − 1 0 0 3 − 2 0 v 8 B= 0 0 11 − 6 vC 16 0 16 v D 16 0 0 Dengan demikian maka kita dapat menghitung tegangantegangan simpul mulai dari simpul D sebagai berikut :
7
16 + 6 × v D 16 + 6 16 =2 V = 1 V ; vC = = 16 11 11 8 + 2 × vC 8 + 4 = = 4 V ; v A = 8 + v B = 12 V vB = 3 3 Dengan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabang dapat dihitung. → vD =
CO'TOH-9.2: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D pada rangkaian berikut. R1
C
B 20Ω
30 V
R5
R3
A
10Ω
10Ω R2
+ −
D
20Ω
R4
20Ω
10Ω
R6
E
Penyelesaian : Simpul A terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan. Dengan demikian simpul A merupakan simpul terikat yang nilai tegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu 30 V. Persamaan tegangan simpul yang dapat kita peroleh adalah: v A = 30
v B (G1 + G2 + G 3) − v AG1 − vC (G3 ) = 0
vC (G3 + G4 + G5 ) − v B (G3 ) − v D (G5 ) = 0
v D (G5 + G6 ) − vC (G5 ) = 0 Dengan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannya dalam bentuk matriks, kita memperoleh 1 1 − 20 0 0
0 0 0 v A 30 1 1 1 1 + + 0 − 20 20 10 10 vB 0 1 1 1 1 = 1 − + − + 10 10 vC 0 10 20 10 1 1 1 0 − + 10 10 10 v D 0
Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitungan seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya dengan 8
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
mengalikan baris ke-2 dan ke-3 dengan 20 dan mengalikan baris ke-4 dengan 10. 0 0 0 v A 30 1 − 1 4 − 2 0 v B = 0 0 − 2 5 − 2 vC 0 0 − 1 2 v D 0 0 Eliminasi Gauss memberikan :
1 0 0 0
0 v A 0 vB = − 4 vC 16 v D
0 0 4 −2 0 0
8 0
30 30 30 30
Maka :
30 30 + 10 = 2,5 V ; vC = = 5 V; 16 8 30 + 10 vB = = 10 V; v A = 30 V 4 → vD =
CO'TOH-9.3: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D di rangkaian berikut. Simpul super 15 V
R1 B
A
_
R5
C
10 Ω
20 Ω R3
10 Ω
D
+
R2
20 Ω
R4
20 Ω
10 Ω
R6
E
Penyelesaian : Berbeda dengan contoh sebelumnya, dalam rangkaian ini sumber tegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensi umum. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya jadikan satu simpul-super. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah :
9
v A (G3 + G1 ) − vBG1 = 0
v (G + G ) + v (G4 + G5 ) − v AG1 − vDG5 = 0
Simpul-super
{ vBB − 1vC = 2−15 C
vD (G5 + G6 ) − vC G5 = 0
Kita masukkan nilai G dan persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks: 1 1 1 − 0 0 10 + 20 20 1 1 1 1 1 − 1 − + + 20 10 20 20 20 10 −1 0 1 0 1 1 1 − 0 0 + 10 10 10
v A 0 v 0 B = vC − 15 v D 0
Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan 20 serta baris keempat dengan 10 sehingga kita peroleh matriks dengan elemenelemen bilangan bulat. Setelah itu kita lakukan eliminasi Gauss yang akan memberikan :
0 v A 0 3 − 1 0 0 5 9 − 6 v B 0 = 0 0 − 14 6 vC − 75 0 22 v D 75 0 0 Dari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dapat kita tentukan, seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya. Pembaca diharapkan untuk mencoba sendiri. Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : •
Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melalui konduktansi Gi berlaku: k
∑ (v M 1
− vi )Gi = 0
atau
k
k
1
1
∑ v M Gi − ∑ vi Gi = 0
Aplikasi formula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpul referensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian. 10
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
•
•
•
Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan, merupakan simpul-terikat yang tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dapat menjadi simpul-super yang mempunyai suatu hubungan internal yang ditentukan oleh tegangan sumber. Sumber arus di suatu cabang memberikan kepastian nilai arus di cabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalam persamaan tegangan simpul.
9.2. Metoda Arus Mesh (Mesh Current Method) Metoda ini sangat bermanfaat untuk analisis rangkaian yang mengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenai mesh telah kita B A C peroleh, yaitu loop yang tidak melingkupi elemen IB IA atau cabang lain. Dalam Gb.9.5 loop ABEDA, BCFEB, DEHGD, EFIHE, adalah mesh, sedangkan loop ABCFEDA bukan mesh.
arus mesh D
ID
IC G
F
E
H
I
Gb.9.5. Loop dan mesh Dengan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh, yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di suatu mesh. Dalam Gb.9.5, IA , IB , IC , ID adalah arus-arus mesh dengan arah anak panah menunjukkan arah positif. Arus di suatu cabang adalah jumlah aljabar dari arus mesh di mana cabang itu menjadi anggota. Arus di cabang AB misalnya, adalah sama dengan arus mesh IA. Arus di cabang BE adalah (IA – IB), arus di cabang EH adalah (IC – ID), dan seterusnya. Secara umum kita dapat mengatakan bahwa Jika cabang ke-k hanya merupakan angggota dari mesh X yang mempunyai arus mesh IX maka arus ik yang melalui cabang itu adalah ik = IX dengan arah referensi arus ik sesuai dengan IX .
11
Jika cabang ke-k merupakan anggota dari mesh X dan mesh Y yang masing-masing mempunyai arus mesh IX dan IY , maka arus ik yang melalui cabang tersebut adalah ik = IX – IY dengan X adalah mesh yang mempunyai arah referensi arus yang sesuai dengan arah referensi arus ik . Perhatikan : •
Arus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sifat fisis rangkaian melainkan suatu peubah yang kita gunakan dalam analisis rangkaian.
•
Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arus mesh di semua mesh mempunyai arah yang sama (dalam hal ini kita pilih searah putaran jarum jam).
Metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linier dengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakan diskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metoda tegangan simpul, kita akan melihat lebih dulu bagaimana persamaan arus mesh tersebut dapat diperoleh. 9.2.1. Dasar Metoda arus mesh, seperti halnya metoda tegangan simpul, berbasis pada persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletak pada persyaratan rangkaian; pada metoda tegangan simpul digunakan hukum arus Kirchhoff (HAK) sedangkan pada metoda arus mesh digunakan hukum tegangan Kirchhoff (HTK). Suatu mesh tidak lain adalah bentuk loop yang paling sederhana. Oleh karena itu hukum Kirchhoff untuk tegangan juga berlaku pada mesh. Untuk suatu mesh X yang terbentuk dari m cabang yang masing-masing berisi resistor, sedang sejumlah n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain, berlaku
12
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
m−n
m
∑
vx = 0 =
x =1
∑
n
vx +
x =1
∑ vy
y =1
m−n
= IX
∑
n
Rx +
x =1
∑ (
Ry IX − I y
)
(9.6)
y =1
Di sini vx adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanya menjadi anggota mesh X; vy adalah tegangan pada elemen di cabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain; IX adalah arus mesh X; Iy adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X; Rx menunjukkan resistor pada cabang-cabang yang hanya menjadi anggota mesh X; Ry menunjukkan resistor pada cabangcabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain. Persamaan (9.5) dapat ditulis:
m−n IX Rx + x =1
∑
n
n
y =1
y =1
∑ R y − ∑ I y R y = 0
(9.7)
Atau secara umum
IX
∑ R X − ∑ I Y RY
=0
(9.8)
dengan IX adalah arus mesh X, RX adalah resistor pada cabangcabang yang membentuk mesh X, IY adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X melalui cabang yang berisi resistor RY. Persamaan (9.7) adalah persamaan arus mesh untuk suatu mesh tertentu. Jika persamaan ini kita aplikasikan untuk semua mesh pada suatu rangkaian kita akan mendapatkan persamaan arus mesh untuk rangkaian tersebut. Jadi langkah-langkah dalam analisis dengan menggunakan metoda arus mesh adalah : 1. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan juga tegangan referensi pada tiap elemen. 2. Aplikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. Dengan langkah ini kita memperoleh persamaan arus mesh dari rangkaian. 3. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.
13
9.2.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus Mesh Berikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kita jumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk satu mesh tertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kita jumpai pada pembahasan mengenai metoda tegangan simpul. Kasus-1: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada Gb.9.6. mesh BCEFB dan A B C D CDEC, terdiri hanya dari elemen R3 R1 R6 resistor saja. IX IY IZ Aplikasi persamaan R7 R4 R (9.7) untuk kedua 2 R5 mesh ini tidak F E menimbulkan kesulitan, dan kita Gb.9.6. Kasus 1. akan memperoleh persamaan:
Mesh BCEFB : I X (R 2 + R 3 + R 4 + R 5 ) − I Y R 2 − I Z R 4 = 0 Mesh CDEC : I Z (R 4 + R 6 + R 7 ) − I X R 4 = 0
(9.9)
Kasus-2: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh ABFA dan BCEFB pada v2 Gb.9.7. D B C A + − mengandung R6 R1 sumber + tegangan. Hal IX IZ − IY ini tidak akan v1 R3 R4 R5 menimbulkan F E kesulitan karena metoda arus Gb.9.7. Kasus 2 : mesh dengan sumber tegangan. mesh berbasis pada Hukum Tegangan Kirchhoff. Nilai tegangan sumber dapat langsung dimasukkan dalam persamaan, dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh ABFA dan BCEFB persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :
14
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
Mesh ABFA : I Y (R1 + R2 ) − I X R2 − v1 = 0
(9.10)
Mesh BCEFB : I X (R2 + R4 + R5 ) − I Y R2 − I Z R4 + v2 = 0
Kasus-3: Mesh Mengandung Sumber Arus. Pada Gb.9.8. di cabang BF terdapat sumber arus yang menjadi anggota mesh ABFA dan BCEFB. mesh super Tegangan suatu B A C D sumber arus tidak R1 R6 R3 tertentu sehingga + IX IY IZ tidak mungkin − R4 v i 1 R 1 5 diperoleh persamaan arus F E mesh untuk ABFA Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber dan BCEFB. Untuk arus. mengatasi kesulitan ini maka kedua mesh itu digabung menjadi satu yang kita sebut mesh- super. Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaan yaitu persamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, ABCEFA, dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus di kedua mesh, yaitu IX dan IY . Persamaan yang dimaksud adalah:
loop ABCEFA :
I Y R1 + I X (R3 + R4 + R5 ) − v1 − I Z R4 = 0
cabang BF
I X − I Y = i1
:
(9.11)
Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari dua mesh saja, yaitu satu mesh biasa CDEC dan satu mesh-super ABCEFA. CO'TOH-9.4: Gunakan A metoda arus mesh untuk + analisis − rangkaian di 30 V samping ini.
20Ω B
10Ω C
20 IA
10Ω D
20Ω IB
IC
10Ω
E
15
Penyelesaian : Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, IA , IB, IC.. Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuk setiap mesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh ABEA mengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita peroleh adalah: Mesh ABEA : Mesh BCEB : Mesh CDEC :
I A (20 + 20 ) − I B 20 − 30 = 0
I B (20 + 10 + 20 ) − I A 20 − I C 20 = 0 I C (20 + 10 + 10 ) − I B 20 = 0
Dalam bentuk matriks persamaan menjadi:
0 I A 30 40 − 20 − 20 50 − 20 I = 0 B 0 − 20 40 I C 0 Eliminasi Gauss memberikan :
4 − 2 0 I A 3 0 8 − 4 I = 3 B 0 0 12 I C 3 sehingga diperoleh IC = 0,25 A; IB = 0,5 A; IA = 1 A. Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabang dapat ditentukan CO'TOH-9.5: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian di samping ini. 20Ω B 10Ω C 10Ω D A Perhatikanlah bahwa pada IB I IA rangkaian ini 1A 10Ω 20Ω C 20Ω terdapat sumber arus. E
16
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
Penyelesaian : Dalam kasus ini arus mesh IA ditentukan oleh sumber, yaitu sebesar 1 A. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah :
Mesh ABEA : I A = 1 Mesh BCEB : I B (20 + 10 + 20) − I A (20) − I C (20) = 0
Mesh CDEC : I C (20 + 10 + 10) − I B (20) = 0 yang dalam bentuk matriks dapat ditulis
0 0 I A 1 1 − 20 50 − 20 I = 0 B 0 − 20 40 I C 0
0 0 I A 1 1 − 2 5 − 2 I = 0 B 0 − 2 4 I C 0
Eliminasi Gauss memberikan :
1 0 0 I A 1 0 5 − 2 I = 2 B 0 0 8 I C 2 Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah : IC = 0,25 A;
IB = 0,5 A;
IA = 1 A.
Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. CO'TOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini. Perhatikan mesh super bahwa ada 20Ω B 10Ω C 10Ω D A sumber arus yang menjadi 20Ω IC IA IB anggota dari 10Ω 1A 20Ω dua mesh E yang berdampinga n. Penyelesaian: Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandung sumber arus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :
17
I A (20 + 20) + I B (10 + 20) − I C (20) = 0
mesh super
{I
A
− I B = −1
I C (20 + 10 + 10) − I B (20) = 0 Dalam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadi
40 30 − 20 I A 0 1 −1 0 I B = − 1 0 − 20 40 I C 0
4 3 − 2 I A 0 atau 1 − 1 0 I B = −1 0 − 1 2 I C 0
yang memberikan
4 3 − 2 I A 0 0 − 7 2 I = − 4 B 0 0 12 I C 4 Jadi IC = 1/3 A, IB = 2/3 A, dan IA = −1/3 A. Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : •
Untuk suatu mesh X dengan arus mesh Ix yang terdiri dari m cabang dan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain yang masing-masing mempunyai arus mesh Iy , berlaku m −n
IX
∑
n
Rx +
x =1
∑ R y (I X
)
−Iy =0
atau
y =1
n n m−n IX Rx + Ry − I yRy = 0 1 1 1 x y = = y = Aplikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkan persamaan arus mesh rangkaian.
∑
∑
∑
•
Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadi anggota dari mesh lain, arus mesh Ix ditentukan oleh sumber arus tersebut.
•
Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadi mesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arus mesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber.
18
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
•
Sumber tegangan di suatu cabang memberikan kepastian nilai tegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilai tegangan ini langsung masuk dalam persamaan arus mesh.
9.2.3. Rangkaian Sumber Tak-Bebas Dengan Umpan Balik Analisis rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas dengan umpan balik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metoda tegangan simpul atau metoda arus mesh. Umpan balik terjadi jika ada aliran sinyal dari sisi keluaran ke sisi pengendali. CO'TOH-9.7: Tentukanlah RF pada rangkaian di samping ini agar pada beban 1 10kΩ R 5kΩ D B F C kΩ terdapat A tegangan −10 + + − V. 1V + v v 1 kΩ −
1
−
Penyelesaian :
+
D
100v1
−
Persamaan tegangan simpul di simpul-simpul A, B, C, dan D pada rangkaian ini adalah A: vA = 1V ; C : v C = −100v1 ;
B:
v B − v A v B − vC + =0 ; RF 10
D:
v D − vC v D + =0 5 1
Karena disyaratkan agar vD = −10 V, maka dari persamaan simpul C dan D kita dapat memperoleh nilai v1.
−5v D − v D v 60 = = 0,6 V v1 = − C = 100 100 100 Kalau kita masukkan nilai v1 ini ke persamaan simpul B akan kita peroleh
0,6 − 1 0,6 + 100 × 0,6 + =0 10 RF ⇒ R F = 60,6 ×
10 = 1515 kΩ ≈ 1,5 MΩ 0,4
19
9.3. Beberapa Catatan Tentang Metoda Tegangan Simpul dan Metoda Arus Mesh Pada metoda tegangan simpul kita menggunakan salah satu simpul sebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nol, sedangkan tegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadap simpul referensi ini. Simpul referensi tersebut dapat kita pilih dengan bebas sehingga perbedaan pemilihan simpul referensi dalam menyelesaikan persoalan satu rangkaian tertentu dapat menghasilkan nilai-nilai tegangan simpul yang berbeda. Namun demikian tegangan cabang-cabang rangkaian akan tetap sama hanya memang kita harus melakukan perhitungan lagi untuk memperoleh nilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisih tegangan antara dua simpul). Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan kereta rel listrik ataupun jaringan PLN, orang melakukan pengukuran tegangan bukan terhadap simpul referensi umum seperti dalam pengertian metoda tegangan simpul melainkan terhadap titik netral atau ground di masing-masing lokasi pengukuran. Pengukuran ini belum tentu sesuai dengan perhitungan dalam analisis menggunakan metoda tegangan simpul karena ground di lokasi pengukuran tidaklah selalu sama dengan titik referensi umum dalam analisis. Akan tetapi karena jaringan-jaringan penyalur energi tersebut dapat dilihat sebagai berbentuk rangkaian tangga, maka permasalahan ini dengan mudah dapat diatasi dan akan dibahas lebih lanjut. Metoda arus mesh dapat diterapkan pada rangkaian planar yaitu suatu rangkaian yang diagramnya dapat digambarkan pada satu bidang datar tanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian. Untuk rangkaian nonplanar metoda arus mesh tak dapat diterapkan dan kita perlu menggunakan metoda arus loop. Metoda Analisis Berbantuan rangkaian yang rumit, analisis bahkan hampir tidak mungkin memerlukan bantuan komputer. buku ini.
20
Komputer. Untuk rangkaiansecara manual tidaklah efektif lagi dilakukan. Untuk itu kita Metoda ini tidak dibahas dalam
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
Soal-Soal 1. Carilah tegangan dan arus di masing-masing elemen pada rangkaian-rangkaian di bawah ini dan hitunglah daya yang diberikan oleh sumber. 50Ω 100Ω
100Ω 5V
+ −
30V
+ −
10 V
+ −
a).
+ −
10V
+ −
4Ω 3Ω
5Ω
5V
2A
b).
c).
7.5 kΩ
5 kΩ 5 kΩ
2 mA
1kΩ 1kΩ
1kΩ
1kΩ
2kΩ
100mA
2kΩ
100mA
d). 100Ω
10V
+ −
100Ω 100Ω
100Ω 100Ω
e).
21
−
+ 5 kΩ
10 V
10 kΩ 5 kΩ 5 kΩ
20 mA
10 mA
f). 100mA 1kΩ 2kΩ
100V + −
1kΩ 2kΩ
1kΩ
1kΩ
g).
2. Tentukanlah v2 pada dua rangkaian di bawah ini. 20 kΩ + v1 10 kΩ 10 kΩ _
a).
+ + v2 − 1000v _
+ v
−
20 kΩ + 10 kΩ 10 kΩ v1 10 kΩ _
+ v
−
+
+ v2 − 1000v _
b). 3. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaran vo = Kvs . 50Ω + −
22
vs
I1 1kΩ
I2 100I1
100I2 1kΩ 1kΩ
+ vo −
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
23
