Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham

Analisis Rangkaian Listrik Menggunakan Transformasi Fourier

2-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

BAB 2 Analisis Rangkaian Menggunakan Transformasi Fourier Dengan pembahasan analisis transformasi Fourier, kita akan

rangkaian

•

mampu melakukan transformasi Fourier.

•

mampu mencari tanggapan frekuensi.

analisis

dengan

rangkaian

menggunakan

menggunakan

2.1. Transformasi Fourier dan Hukum Rangkaian Kelinieran dari transformasi Fourier menjamin berlakunya relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi. Relasi HTK misalnya, jika ditransformasikan akan langsung memberikan hubungan di kawasan frekuensi yang sama bentuknya dengan relasinya di kawasan waktu.

Misalkan relasi HTK

: v1 (t ) + v 2 (t ) − v3 (t ) = 0

jika ditransformasikan

: V1 (ω) + V3 (ω) − V3 (ω) = 0

Hal inipun berlaku untuk KCL. Dengan demikian maka transformasi Fourier dari suatu sinyal akan mengubah pernyataan sinyal di kawasan waktu menjadi spektrum sinyal di kawasan frekuensi tanpa mengubah bentuk relasi hukum Kirchhoff, yang merupakan salah satu persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Persyaratan rangkaian yang lain adalah persyaratan elemen, yang dapat kita peroleh melalui transformasi hubungan tegangan-arus (karakteristik i-v elemen). Dengan memanfaatkan sifat diferensiasi dari transformasi Fourier, kita akan memperoleh relasi di kawasan frekuensi untuk resistor, induktor, dan kapasitor sebagai berikut.

Resistor

: V R (ω) = RI R (ω)

Induktor

: V L (ω) = jωLI L (ω)

Kapasitor

: I C (ω) = jωCVC (ω)

Relasi diatas mirip dengan relasi hukum Ohm. Dari relasi di atas kita dapatkan impedansi elemen, yaitu perbandingan antara tegangan dan arus di kawasan frekuensi 2-1

ZR = R

;

Z L = jωL

;

ZC =

1 jωC

(2.1)

Bentuk-bentuk (2.1) telah kita kenal sebagai impedansi arus bolak-balik. Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa transformasi Fourier suatu sinyal akan tetap memberikan relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi dan hubungan tegangan-arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohm jika elemen dinyatakan dalam impedansinya. Dengan dasar ini maka kita dapat melakukan transformasi rangkaian, yaitu menyatakan elemen-elemen rangkaian dalam impedansinya dan menyatakan sinyal dalam transformasi Fouriernya. Pada rangkaian yang ditransformasikan ini kita dapat menerapkan kaidah-kaidah rangkaian dan metoda-metoda analisis rangkaian. Tanggapan rangkaian di kawasan waktu dapat diperoleh dengan melakukan transformasi balik. Uraian di atas paralel dengan uraian mengenai transformasi Laplace, kecuali satu hal yaitu bahwa kita tidak menyebut-nyebut tentang kondisiawal. Hal ini dapat difahami karena batas integrasi dalam mencari transformasi Fourier adalah dari −∞ sampai +∞. Hal ini berbeda dengan transformasi Laplace yang batas integrasinya dari 0 ke +∞. Jadi analisis rangkaian dengan menggunakan transformasi Fourier mengikut sertakan seluruh kejadian termasuk kejadian untuk t < 0. Oleh karena itu cara analisis dengan transformasi Fourier tidak dapat digunakan jika kejadian pada t < 0 dinyatakan dalam bentuk kondisi awal. Pada dasarnya transformasi Fourier diaplikasikan untuk sinyal-sinyal non-kausal sehingga metoda Fourier memberikan tanggapan rangkaian yang berlaku untuk t = −∞ sampai t = +∞. CO TOH-2.1: Pada rangkaian seri antara resistor R dan kapasitor C diterapkan tegangan v1. Tentukan tanggapan rangkaian vC.

+ v1 −

R

C

+ vC −

Penyelesaian: Persoalan rangkaian orde pertama ini telah pernah kita tangani pada analisis transien di kawasan waktu maupun kawasan s (menggunakan transformasi Laplace). Di sini kita akan menggunakan transformasi Fourier. Transformasi Fourier dari rangkaian ini adalah : tegangan masukan V1(ω),

+ R 1/jωC V1 − 2-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

+ VC −

impedansi resistor R terhubung seri dengan impedansi kapasitor 1 . Dengan kaidah pembagi tegangan kita dapatkan tegangan jωC pada kapasitor adalah

VC (ω) =

ZC 1 / jωC 1 / RC V1 (ω) = V1 (ω) = V1 (ω) R + ZC R + (1 / jωC ) jω + (1 / RC )

Tegangan kapasitor tergantung dari V1(ω). Misalkan tegangan masukan v1(t) berupa sinyal anak tangga dengan amplitudo 1. Dari Tabel-1.1. tegangan ini di kawasan frekuensi adalah V1 (ω) =

1 + π δ(ω) . Dengan demikian maka jω

VC (ω) =

 1  π δ(ω) / RC 1 / RC 1 / RC  + π δ(ω)  = + jω + (1 / RC )  jω  jω( jω + 1 / RC ) ( jω + 1 / RC )

Fungsi impuls δ(ω) hanya mempunyai nilai untuk ω = 0, sehingga pada umumnya F(ω)δ(ω) = F(0)δ(ω). Dengan demikian suku kedua π δ(ω) / RC = π δ(ω) . Suku pertama ruas kanan persamaan di atas ( jω + 1 / RC ) dapat diuraikan, dan persamaan menjadi

VC (ω) =

1 1 − + π δ(ω) jω jω + 1 / RC

Dengan menggunakan Tabel-1.1. kita dapat mencari transformasi balik

[

]

[

]

1 1 sgn(t ) − e −(1/ RC ) t u (t ) + = 1 − e −(1/ RC ) t u (t ) 2 2 Pemahaman : Hasil yang kita peroleh menunjukkan keadaan transien tegangan kapasitor, sama dengan hasil yang kita peroleh dalam analisis transien di kawasan waktu di Bab-4 contoh 4.5. Dalam menyelesaikan persoalan ini kita tidak menyinggung sama sekali mengenai kondisi awal pada kapasitor karena transformasi Fourier telah mencakup keadaan untuk t < 0. vC (t ) =

CO TOH-2.2: Bagaimanakah vC pada contoh 2.1. jika tegangan yang diterapkan adalah v1(t) = sgn(t) ?

2-3

Penyelesaian: Dari Tabel-1.1. kita peroleh

F[ sgn(t ) ] =

2 . Dengan demikian jω

maka VC(ω) dan uraiannya adalah

 1 / RC  2 2 2 VC (ω) =  = −  ω ω ω + ω + 1 / j RC j j j 1 / RC   Transformasi baliknya memberikan

vC (t ) = sgn(t ) − 2 e −(1/ RC ) t u (t ) Pemahaman: Persoalan ini melibatkan sinyal non-kausal yang memerlukan penyelesaian dengan transformasi Fourier. Suku pertama dari vC(t) memberikan informasi tentang keadaan pada t < 0, yaitu bahwa tegangan kapasitor bernilai −1 karena suku kedua bernilai nol untuk t < 0. Untuk t > 0, vC(t) bernilai 1 − 2e−(1/RC) tu(t) yang merupakan tegangan transien yang nilai akhirnya adalah +1. Di sini terlihat jelas bahwa analisis dengan menggunakan transformasi Fourier memberikan tanggapan rangkaian yang mencakup seluruh sejarah rangkaian mulai dari −∞ sampai +∞. Gambar vC(t) adalah seperti di bawah ini. 2

vC 1 +1

sgn(t)−2e−(1/RC) tu(t)

0 -40

-20

sgn(t)

t 0

-1

−1

20

40

−(1/RC) t

−2e

u(t)

-2 −2


2.2. Konvolusi dan Fungsi Alih Jika h(t) adalah tanggapan rangkaian terhadap sinyal impuls dan x(t) adalah sinyal masukan, maka sinyal keluaran y(t) dapat diperoleh melalui integral konvolusi yaitu

y (t ) =

t

∫0 h(τ) x(t − τ)dτ

(2.2)

Dalam integral konvolusi ini batas integrasi adalah τ = 0 sampai τ = t karena dalam penurunan formulasi ini h(t) dan x(t) merupakan bentuk gelombang kausal. Jika batas integrasi tersebut diperlebar mulai dari τ = −∞ sampai τ = +∞, (2.2) menjadi

y (t ) =

+∞

∫τ=−∞

h(τ) x(t − τ)dτ

(2.3)

Persamaan (2.3) ini merupakan bentuk umum dari integral konvolusi yang berlaku untuk bentuk gelombang kausal maupun non-kausal. Transformasi Fourier untuk kedua ruas (2.3) adalah



+∞

 h(τ) x(t − τ)dτ  τ= −∞  ∞  +∞  h(τ) x(t − τ)dτ e − jωt dt =  t = −∞  τ = −∞ 

F [ y(t )] = Y (ω) = F ∫

∫

(2.4)

∫

Pertukaran urutan integrasi pada (2.4) memberikan

Y (ω) =

∞

  τ= −∞ 

∫

+∞

∫t =−∞

∞

 h(τ)  = τ= −∞ 

∫

 h(τ) x(t − τ) e − jωt dt  dτ  +∞  x(t − τ) e − jωt dt  dτ t = −∞ 

(2.5)

∫

Mengingat sifat pergeseran waktu pada transformasi Fourier, maka (2.5) dapat ditulis

Y (ω) =

∞

∫τ=−∞ h(τ)e

− jωτ

X (ω)dτ

 ∞  = h(τ)e − jωτ dτ X (ω) = H (ω) X (ω)  τ=−∞ 

∫

(2.6)

2-5

Persamaan (2.6) menunjukkan hubungan antara transformasi Fourier sinyal keluaran dan masukan. Hubungan ini mirip bentuknya dengan persamaan yang memberikan hubungan masukan-keluaran melalui fungsi alih T(s) di kawasan s yaitu Y(s) = T(s) X(s). Oleh karena itu H(ω) disebut fungsi alih bentuk Fourier.

α −α|t| e . 2 Jika sistem ini diberi masukan sinyal signum, sgn(t), tentukanlah tanggapan transiennya. Penyelesaian:

CO TOH-2.3: Tanggapan impuls suatau sistem adalah h(t ) =

Dengan Tabel-1.1. didapatkan H(ω) untuk sistem ini

2α α2 α  α H (ω) = F  e −α|t|  = = 2  2 α 2 + ω2 α 2 + ω2 Sinyal masukan, menurut Tabel-1.1. adalah 2 X (ω) = F [sgn(t)] = jω Sinyal keluaran adalah

Y (ω) = H (ω) X (ω) =

α2

2 2α 2 = jω jω(α + jω)(α − jω)

α 2 + ω2

yang dapat diuraikan menjadi

k3 k k2 Y (ω) = 1 + + jω α + jω α − jω

2α 2 k1 = jωY (ω) jω=0 = (α + jω)(α − jω)

=2 jω=0

2

2α k 2 = (α + jω)Y (ω) jω=−α = jω(α − jω) 2α 2 k 3 = (α − jω)Y (ω) jω=α = jω(α + jω)

= jω= − α

= jω=α

2α 2 = −1 − α (α + α )

2α 2 = +1 α(α + α )


Jadi Y (ω) =

−1 2 1 sehingga + + jω α + jω α + j (−ω)

y (t ) = sgn(t ) − e −αt u (t ) + e −α ( −t ) u (−t ) = [ 1 − e −α t ] u (t ) + [−1 + e α t ] u (−t )] Gambar dari hasil yang kita peroleh adalah seperti di bawah ini. y(t) 1 +1 [1−e−α t ] u(t) 0 -40

t

0

40

[−1+eα t ] u(t) −1

-1

CO TOH-2.4: Tentukan tanggapan frekuensi dari sistem pada contoh2.3. Penyelesaian : Fungsi alih sistem tersebut adalah H (ω) =

α2 α 2 + ω2

.

Kurva |H(ω)| kita gambarkan dengan ω sebagai absis dan hasilnya adalah seperti gambar di bawah ini. |H(ω)|

1

1

0 -20

-10

00

10

ω

20

2-7

Pada ω =0, yaitu frekuensi sinyal searah, |H(ω)| bernilai 1 sedangkan untuk ω tinggi |H(ω)| menuju nol. Sistem ini bekerja seperti low| H (0) | pass filter. Frekuensi cutoff terjadi jika | H (ω) |= 2

α2 α

2

+ ω c2

=

1 2

⇒ ω c = α 2 2 − α 2 = 0.644α

2.3. Energi Sinyal Energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal didefinisikan sebagai

Wtotal =

+∞

∫−∞ p(t )dt

dengan p(t) adalah daya yang diberikan oleh sinyal kepada suatu beban. Jika beban berupa resistor maka

p(t ) = i 2 (t ) R =

v 2 (t ) ; dan jika R

bebannya adalah resistor 1 Ω maka

W1Ω =

+∞ 2

∫−∞ f

(t )dt

(2.7)

dengan f (t ) berupa arus ataupun tegangan Persamaan (2.7) digunakan sebagai definisi untuk menyatakan energi yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal. Dengan kata lain, energi yang diberikan oleh suatu gelombang sinyal pada resistor 1 Ω menjadi pernyataan kandungan energi gelombang tersebut. Teorema Parseval menyatakan bahwa energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang dapat dihitung baik di kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. Pernyataan ini dituliskan sebagai

1 +∞ | F (ω) | 2 dω (2.8) 2π − ∞ Karena |F(ω)|2 merupakan fungsi genap, maka (2.8) dapat dituliskan W1Ω =

+∞ 2

∫−∞ f

(t )dt =

W1Ω =

1 π

+∞

∫0

∫

| F (ω) | 2 dω


(2.9)

Jadi di kawasan waktu energi gelombang adalah integral untuk seluruh waktu dari kuadrat bentuk gelombang, dan di kawasan frekuensi energinya adalah (1/2π) kali integrasi untuk seluruh frekuensi dari kuadrat besarnya (nilai mutlak) transformasi Fourier dari sinyal. Penurunan teorema ini dimulai dari (2.7). +∞ 2

∫−∞ f

W1Ω =

(t )dt =

+∞

1

∞

∫−∞ f (t ) 2π ∫−∞ F (ω) e

j ωt

 dω dt 

Integrasi yang berada di dalam tanda kurung adalah integrasi terhadap ω dan bukan terhadap t. Oleh karena itu f(t) dapat dimasukkan ke dalam integrasi tersebut menjadi

W1Ω =

1 2π

+∞  ∞

∫−∞ ∫−∞ f (t )F (ω) e

jωt

 dω dt 

Dengan mempertukarkan urutan integrasi, akan diperoleh

W1Ω =

1 2π

+∞  ∞

∫−∞ ∫−∞ f (t )F (ω) e

 dt  dω 

 ∞  F (ω)  f (t ) e − j ( −ωt ) dt  dω −∞ − ∞   + ∞ + ∞ 1 1 = F (ω) F (−ω)dω = | F (ω) | 2 dω 2π −∞ 2π −∞ =

1 2π

∫

∫

+∞

jωt

∫

∫

Teorema Parseval menganggap bahwa integrasi pada persamaan (2.8) ataupun (2.9) adalah konvergen, mempunyai nilai berhingga. Sinyal yang bersifat demikian disebut sinyal energi; sebagai contoh: sinyal kausal eksponensial, eksponensial dua sisi, pulsa persegi, sinus teredam. Jadi tidak semua sinyal merupakan sinyal energi. Contoh sinyal yang mempunyai transformasi Fourier tetapi bukan sinyal energi adalah sinyal impuls, sinyal anak tangga, signum, dan sinus (tanpa henti). Hal ini bukan berarti bahwa sinyal ini, anak tangga dan sinyal sinus misalnya, tidak dapat digunakan untuk menyalurkan energi bahkan penyaluran energi akan berlangsung sampai tak hingga; justru karena itu ia tidak disebut sinyal energi melainkan disebut sinyal daya.

2-9

CO TOH-2.5: Hitunglah energi yang dibawa oleh gelombang

[

]

v(t ) = 10 e −1000 t u (t ) V Penyelesaian: Kita dapat menghitung di kawasan waktu

W1Ω =

∫0 [10 e ∞

=−

] dt = ∫ [100 e ∞

−1000t 2

− 2000t

0

100 −2000t e 2000

∞

= 0

]dt

1 J 20

Untuk menghitung di kawasan frekuensi, kita cari lebih dulu V(ω)=10/(jω+1000).

W1Ω =

∞ 2 1 ∞  100  100 −1 ω tan ω = d   2π(1000) 1000 −∞ 2π −∞  ω 2 + 10 6 

=

∫

1  π  π  1 J  −  −  = 20π  2  2  20

Pemahaman: Kedua cara perhitungan memberikan hasil yang sama. Fungsi |F(ω)|2 menunjukkan kerapatan energi dalam spektrum sinyal. Persamaan (2.40) adalah energi total yang dikandung oleh seluruh spektrum sinyal. Jika batas integrasi adalah ω1 dan ω2 maka kita memperoleh persamaan

W12 =

1 ω2 | F (ω) | 2 dω π ω1

∫

(2.10)

yang menunjukkan energi yang dikandung oleh gelombang dalam selang frekuensi ω1dan ω2. Jika hubungan antara sinyal keluaran dan masukan suatu pemroses sinyal adalah Y (ω) = H (ω) X (ω) maka energi sinyal keluaran adalah

W1Ω =

1 π

∞

∫0 | H (ω) |

2

| X (ω) | 2 dω

(2.11)

Dengan hubungan-hubungan yang kita peroleh ini, kita dapat menghitung energi sinyal langsung menggunakan transformasi Fouriernya tanpa harus mengetahui bentuk gelombang sinyalnya.


CO TOH-2.6: Tentukan lebar pita yang diperlukan agar 90% dari total

[

]

energi gelombang exponensial v(t ) = 10 e −1000 t u (t ) V diperoleh. Penyelesaian: Bentuk gelombang

[

]

v(t ) = 10 e −1000 t u (t ) → V (ω) =

dapat

10 jω + 1000

Energi total : 2 ∞ 1 ∞  100  100 −1 ω tan W1Ω =   dω = 1000 0 π 0  ω 2 + 10 6  π(1000)

∫

=

1 π  1 − 0 = J 10π  2  20

Misalkan lebar pita yang diperlukan untuk memperoleh 90% energi adalah β, maka

W90% =

2 β ω 1 β 100  100 dω = tan −1   π 0  ω 2 + 10 6  π(1000) 1000 0 β 1 = tan −1 10π 1000

∫

Jadi

1 1 β β  9π  tan −1 = 0.9 × ⇒ = tan  10π 1000 20 1000  20  ⇒ β = 6310 rad/s ⇒

2-11

Soal-Soal 1. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Jika v1 = −10 V, v2 = 10 V, tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo. 1 − + S 1 µf v1 + + − + vo 10 kΩ v2 2 vin − − 2. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = −10 V, v2 = 5 V. 1 − + S v1 + + − + 10 kΩ vo v2 2 vin 1 µf − − 3. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = 10e100t V, v2 = 10e−100t V. 1 − + S v1 1H + + − + 2 vo vin 0,5 kΩ v2 − − 4. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = 10e100t V, v2 = −10e−100t V.


1

− + v1 − +

S

0,5 kΩ

+ v2 2 vin −

+ vo −

1H

5. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = 10 V, v2 = 10e−100t V. 1 − + S v1 1H + + − + 2 100 Ω vo vin v2 − − 6. Pada sebuah rangkaian seri L = 1 H, C = 1µF, dan R = 1 kΩ, diterapkan tegangan vs = 10sgn(t) V. Tentukan tegangan pada resistor. 7. Tanggapan impuls sebuah rangkaian linier adalah h(t) = sgn(t). Jika tagangan masukan adalah vs(t) = δ(t)−10e−10tu(t) V, tentukan tegangan keluarannya. 8. Tentukan tanggapan frekuensi rangkaian yang mempunyai tanggapan impuls h(t) = δ(t)−20e−10tu(t). 9. Tentukan tegangan keluaran rangkaian soal 8, jika diberi masukan vs(t) = sgn(t). 10. Jika tegangan masukan pada rangkaian berikut adalah v1 = 10 cos100t V, tentukan tegangan keluaran vo. 1µF + 10kΩ v1

10kΩ − +

+ vo

2-13

11.

Ulangi

V1 (ω) = 12.

soal 200

10

untuk

sinyal

yang

transformasinya

ω 2 + 400

Tentukan

enegi

yang

dibawa

oleh

sinyal

−100 t

v(t ) = 500 t e u (t ) V . Tentukan pula berapa persen energi yang dikandung dalam selang frekuensi −100 ≤ ω ≤ +100 rad/s . 13. Pada rangkaian filter RC berikut ini, tegangan masukan adalah

v1 = 20e −5t u (t ) V .

+ −

100kΩ 1µF

v1

100kΩ

+ vo −

Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran vo terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya. 14. Pada rangkaian berikut ini, tegangan masukan adalah

v1 = 20e −5t u (t ) V . 1µF + 10kΩ v1

10kΩ − +

+ vo

Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran vo terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya.


2-15

Analisis Rangkaian Listrik

Recommend Documents