Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham

Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1

Darpublic

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO Analisis Rangkaian Listrik (1) Darpublic, Bandung are-0710 edisi Juli 2011

http://ee-cafe.org Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117

2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 8 Metoda Analisis Dasar Metoda analisis dikembangkan berdasarkan teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian. Kita akan mempelajari dua kelompok metoda analisis yaitu metoda analisis dasar dan metoda analisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang lebih rumit kita memerlukan metoda yang lebih sistematis yaitu metoda analisis umum. Kita mempelajari metoda analisis agar kita dapat melakukan analisis rangkaian sederhana secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manual ini sangat diperlukan untuk memahami sifat dan perilaku rangkaian. Di bab ini kita akan mempelajari metoda analisis dasar sedangkan metoda analisis umum akan kita pelajari di bab berikutnya. Dengan mempelajari metoda analisis dasar kita akan • mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian; • mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda keluaran satu satuan; • mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda superposisi; • mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda rangkaian ekivalen Thévenin atau rangkaian ekivalen Norton. Secara garis besar, apa yang dimaksud dengan analisis rangkaian adalah mencari hubungan antara besaran keluaran dan besaran masukan pada suatu rangkaian jika parameter sumua elemen yang menyusun rangkaian tersebut diketahui; atau mencari keluaran rangkaian jika masukannya diketahui. Teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian yang telah kita pelajari, menjadi dasar dari metoda-metoda analisis rangkaian yang kita sebut sebagai metoda analisis dasar. Dalam menggunakan metoda ini kita melakukan perhitungan-perhitungan dengan mengamati bentuk rangkaian yang kita hadapi. Metoda ini terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian yang sederhana. Metoda analisis dasar yang akan kita pelajari di sini mencakup: metoda reduksi rangkaian 3

metoda keluaran satu satuan metoda superposisi metoda rangkaian Thévenin dan rangkaian Norton.

Masing-masing metoda mempunyai kegunaan tertentu. Kekhususan masing-masing metoda itulah yang mendorong kita untuk mempelajari semua metoda dan tidak terpaku pada salah satu metoda saja. Pemilihan metoda analisis ditentukan oleh apa yang ingin kita capai dalam melakukan analisis. Dalam metoda analisis dasar, kita melakukan perhitunganperhitungan langsung pada model rangkaian. Melalui latihan yang cukup, kita akan mampu menentukan metoda dan urutan kerja yang singkat serta dapat memahami perilaku rangkaian listrik dengan baik. Metoda ini sangat praktis selama rangkaian yang kita hadapi cukup sederhana. Contoh-contoh yang akan kita lihat untuk memahami metoda-metoda analisis ini mencakup rangkaian pasif (dengan elemen R) dan rangkaian aktif (dengan sumber bebas dan sumber tak-bebas). 8.1. Metoda Reduksi Rangkaian Strategi metoda ini adalah mereduksi bentuk rangkaian sedemikian rupa sehingga menjadi rangkaian yang lebih sederhana; dengan rangkaian yang lebih sederhana ini besaran yang dicari dapat dihitung dengan lebih mudah. Untuk menyederhanakan rangkaian, kita dapat menggunakan konsep ekivalensi seri-paralel, transformasi Y-∆, dan transformasi sumber. Yang kita perlukan adalah kejelian dalam melihat struktur rangkaian untuk melakukan penyederhanaan rangkaian. Bagaimana metoda ini diaplikasikan, kita akan melihat pada contoh-8.1 berikut ini. CO!TOH-8.1: Carilah tegangan vx pada rangkaian di bawah ini. + vx − 30Ω B D C 20Ω A 12 V

4

+ −

10Ω 30Ω

E

30Ω

10Ω

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian: Rangkaian ini mengandung beberapa bagian yang berupa hubungan seri dan hubungan paralel elemenelemen. Bagianbagian tersebut dapat kita ganti dengan rangkaian ekivalennya, dengan memanfaatkan kaidah-kaidah rangkaian yang telah kita pelajari. Proses ini dapat kita amati pada gambar berikut. Langkahlangkah yang kita tempuh adalah sebagai berikut:

30Ω A 12 V

+ vx

−

20Ω

B

C

D

10Ω

+ −

10Ω

30Ω

30Ω E

B 0,4 A

10Ω

C

30Ω 30Ω

B 0,4 A

30Ω 30Ω E 10Ω

C

15Ω

15Ω E

+ vx B 6V

+−

15Ω

−

C

10Ω 15Ω E

10   ⇒ vx =   × 6 = 1,5 V + + 15 10 15  

Sumber tegangan yang tersambung seri dengan resistor 30 Ω dapat diganti dengan sebuah sumber arus yang diparalel dengan resistor, sedang sambungan seri resistor 10 & 20 Ω di cabang CDE dapat diganti dengan sebuah resistor. Penggantian ini menghasilkan angkaian dengan dua pasang resistor paralel 30 Ω , yang masing-masing dapat diganti dengan satu resistor 15 Ω. Dengan langkah ini sumber arus terparalel dengan resistor 15 Ω, yang kemudian dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan yang disambung 5

seri dengan sebuah resistor 15 Ω; bagian lain berupa dua resistor 10 dan 15Ω yang tersambung seri. Rangkaian kita menjadi sebuah sumber tegangan dengan sambungan seri tiga buah resistor, dan tegangan yang kita cari dapat kita peroleh dengan memanfaatkan kaidah pembagi tegangan; hasilnya vx = 1,5 V. Pemahaman: Untuk mengaplikasikan metoda ini kita harus dengan seksama memperhatikan bagian-bagian yang dapat disederhanakan. Pada dasarnya kita melakukan ekivalensi bagian-bagian yang berada di antara dua simpul. Bagian yang telah digantikan oleh rangkaian ekivalennya, masih dapat digabungkan dengan bagian lain yang juga telah digantikan oleh rangkaian ekivalennya. 8.2. Metoda Keluaran Satu Satuan (Unit Output Method) Metoda “unit output” adalah suatu teknik analisis yang berbasis pada proporsionalitas dari rangkaian linier. Metoda ini pada dasarnya adalah mencari konstanta K yang menentukan hubungan antara masukan dan keluaran, dengan mengganggap bahwa keluarannya adalah satu unit. Atas dasar itu ditentukan berapa besarnya masukan yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit keluaran tersebut. Teknik ini dapat diaplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga. Langkah-langkahnya adalah sbb: 1. Misalkan keluarannya adalah satu unit (tegangan ataupun arus) 2. Secara berurutan gunakan HAK, HTK, dan hukum Ohm untuk mencari masukan. 3. Sifat proporsional dari rangkaian linier mengharuskan

K=

(keluaran) 1 = (masukan) (masukan untuk satu unit keluaran)

4. Keluaran untuk sembarang masukan adalah K × masukan.

6


(8.1)

CO!TOH-8.2: Carilah tegangan keluaran vo dari rangkaian di samping ini. i1

36 V

+ −

10Ω i2

i5

i3

A

B 20Ω i4 20Ω

30Ω 20Ω 10Ω

+ vo −

Penyelesaian: Kita misalkan tegangan vo = 1 V. Kemudian secara berturut turut kita hitung i5 , vC , i4 , i3 , vB , i2 , i1 , dan akhirnya vs yaitu tegangan sumber jika keluarannya 1 V. Dari sini kemudian kita hitung faktor proporsionalitas K, dan dengan nilai K yang diperoleh ini kita hitung vo yang besarnya adalah K kali tegangan sumber sebenarnya (yaitu 36 V). v Misalkan vo = 1 V → i5 = o = 0,1 A 10 vB = 0,1(30 + 10) = 4 V 4 v → i4 = B = = 0,2 A → i3 = i4 + i5 = 0,3 A 20 20 vA = 0,5 A → i1 = i2 + i3 = 0,8 A 20 v s = v A + i1 × 20 = 10 + 0,8 × 10 = 18 V

v A = v B + i3 × 20 = 10 V → i2 =

K=

1 1 = → v s 18

vo ( seharusnya) = K × 36 = 2 V

8.3. Metoda Superposisi Prinsip superposisi dapat kita manfaatkan untuk melakukan analisis rangkaian yang mengandung lebih dari satu sumber. Langkahlangkah yang harus diambil adalah sebagai berikut: 1. Matikan semua sumber (masukan) kecuali salah satu di antaranya, dan hitung keluaran rangkaian yang dihasilkan oleh satu sumber ini. 2. Ulangi langkah 1, sampai semua sumber mendapat giliran. 3. Keluaran yang dicari adalah kombinasi linier (jumlah aljabar) dari kontribusi masing-masing sumber. 7

CO!TOH-8.3: Rangkaian di samping ini mengandung dua sumber. Carilah tegangan keluaran Vo.

30 V

+ _

20Ω 1,5A

Penyelesaian : Matikan sumber arus. Rangkaian menjadi 30 V seperti gambar di samping ini. 10 Vo1 = × 30 = 10 V 10 + 20

+ Vo −

10Ω

+ −

Matikan sumber tegangan. Rangkaian menjadi seperti gambar di samping ini.

20Ω

10Ω

20Ω 1,5A

10Ω

+ Vo1 −

+ Vo2 −

 20  Vo2 =  × 1.5  × 10 = 10 V  20 + 10  Tegangan keluaran apabila kedua sumber bekerja bersamasama adalah Vo = Vo1 + Vo2 = 20 V 8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin Berikut ini akan kita lihat aplikasi teorema Thévenin dalam analisis rangkaian. CO!TOH-8.4: Gunakanlah metoda rangkaian ekivalen Thevenin untuk menghitung tegangan keluaran v0 pada rangkaian di samping ini.

8

i

i

1

3

A′

30 V

+ _

20Ω i 2

A 10Ω

20Ω


+ v0 −

10Ω B

Penyelesaian : Untuk mencari tegangan sumber Thévenin VT di terminal AB, kita lepaskan beban di AB, sehingga AB terbuka, i3 =0, dan 20 VT = v AB ht = v A' B = × 30 = 15 V 20 + 20 Resistansi Thévenin RT adalah resistansi yang dilihat dari terminal AB ke arah sumber dengan sumber dimatikan (dalam hal ini hubung singkat). Maka RT berupa resistor 10 Ω yang terhubung seri dengan dua resistor 20 Ω yang tersambung paralel. Jadi

20 × 20 = 20 Ω 20 + 20 + _ Rangkaian ekivalen Thévenin 15 V adalah seperti gambar di samping ini dan kita peroleh RT = 10 +

A + v0 −

20Ω 10Ω B

10 vo = × 15 = 5 V 10 + 20 CO!TOH-8.5: Gunakan A rangkaian + 20Ω ekivalen − 30 V Thévenin untuk menghitung tegangan vx pada rangkaian di samping ini.

B

+ vx −

D

C 10Ω

10Ω

20Ω

20Ω

10Ω

E

Penyelesaian : Rangkaian ini telah kita analisis dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian. Kita akan mencoba melakukan analisis dengan metoda rangkaian ekivalen Thévenin. Jika resistor 10 Ω (yang harus kita cari tegangannya) kita lepaskan, maka tidak ada arus mengalir pada cabang-cabang CE, CD, dan DE sehingga tegangan simpul C sama dengan D sama pula dengan E yaitu nol. Tegangan simpul B dapat kita cari dengan kaidah pembagi tegangan

vB =

20 × 30 = 15 V . 20 + 20 9

Tegangan Thévenin:

A

VT = v B − v C = 15 − 0 = 15 V . Resistansi Thévenin adalah resistansi yang dilihat dari terminal BC setelah resistor 10 Ω dilepas.

+ _

+ vx −

20Ω

15 V

10Ω B

RT = ( 20 || 20) + {20 || (10 + 10)} = 10 + 10 = 20 Ω Rangkaian ekivalen Thévenin dengan bebannya menjadi seperti gambar di samping dan tegangan vx mudah dihitung, yaitu :

vx =

10 × 15 = 5 V 10 + 20

8.4.1. Beban !on Linier Parameter rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton (VT , RT , dan I# ) dihitung dengan beban dilepas. Ini berarti bahwa rangkaian ekivalen tersebut merupakan karakteristik sumber dan tidak dipengaruhi oleh beban. Oleh karena itu kita dapat memanfaatkan rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton untuk menentukan tegangan, arus, maupun daya pada beban non linier dua terminal. Ini merupakan salah satu hal penting yang dapat kita peroleh dari rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton. Bagaimana interaksi antara sumber (yang dinyatakan dengan rangkaian ekivalen Thénenin-nya) dengan beban yang non-linier, akan kita lihat berikut ini. Kita lihat lebih dahulu karakteristik i-v dari suatu rangkaian ekivalen Thévenin. Perhatikan hubungan rangkaian ekivalen Thévenin dengan bebannya. Bagaimanapun keadaan beban, linier atau non-linier, hubungan antara tegangan di terminal beban, yaitu v, dengan tegangan VT dapat dinyatakan sebagai V   1   v − VT + iRT + v = 0 → i =  T  −  (8.2)  RT   RT  Persamaan (8.2) ini memberikan hubungan antara arus i dan tegangan v dari rangkaian ekivalen Thévenin dan merupakan karakteristik i-v dari rangkaian sumber. Jika kita gambarkan kurva i terhadap v maka akan terlihat bahwa persamaan ini merupakan persamaan garis lurus di bidang i-v seperti tampak pada Gb.8.1. di 10


samping ini. Perhatikan bahwa garis lurus ini ditentukan oleh dua titik yaitu: i

i = VT /RT

V i = T = ihs dan v = VT = v ht v = VT RT Garis lurus itu disebut garis beban v (load line) (sebenarnya ia ditentukan Gb.8.1. Garis beban oleh parameter-parameter rangkaian sumber dan bukan oleh parameter beban akan tetapi sudah sejak lama nama “load line” itu disandangnya). Sementara itu beban mempunyai karakteristik i-vnya sendiri, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai: i = f(v). Dengan demikian kita mempunyai dua persamaan yaitu persamaan untuk arus rangkaian sumber yaitu V i =  T  RT

  1  −    RT

 v 

dan persamaan untuk arus beban yaitu i = f(v) Dalam analisis rangkaian, kita harus menyelesaikan dua persamaan itu secara simultan. Jika f(v) diketahui maka penyelesaian persamaan dapat dilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnya penyelesaian secara grafis sudah cukup memadai. Berikut ini dipaparkan bagaimana i cara grafis tersebut titik dilaksanakan. kerja Misalkan karakteristik i-v Karakteristik i-v beban. beban mempunyai bentuk iL garis beban tertentu, yang jika dipadukan dengan grafik _ i-v sumber (yaitu garis v v L beban) akan terlihat seperti pada Gb.8.2. Gb 8.2. Penentuan titik kerja. Kedua kurva akan berpotongan di suatu titik. Titik potong tersebut memberikan nilai arus i dan tegangan v yang memenuhi karakteristik sumber maupun beban. Titik ini disebut titik kerja, atau dalam elektronika disebut Q-point. Arus dan tegangan beban adalah iL dan vL.

11

Perhatikan bahwa apabila rangkaian mengandung elemen non linier prinsip proporsionalitas dan superposisi tidak berlaku. Sebagai contoh, apabila tegangan sumber naik dari 15 menjadi 30 V, arus dan tegangan beban tidak dua kali lebih besar. CO!TOH-8.6: Rangkaian berikut ini, mempunyai beban resistor non-linier dengan karakteristik i-v seperti yang diberikan di sampingnya. Hitunglah daya yang diserap oleh beban. A 1kΩ

+ −

RL non linier

500Ω

1kΩ

90V B i [mA] 50

30 10 10

30

50 v[V]

Penyelesaian : Beban dilepas untuk mencari rangkaian ekivalen Thévenin.

1 × 60 = 45 V 1+1 RT = 500 + 1000 || 1000 = 1000 Ω

VT = v AB

ht

=

Rangkaian ekivalen dan garis beban yang diplot bersama dengan karakteristik i-v beban adalah seperti di bawah ini. i [mA] 50

A

45V

+ −

RL non linier

1kΩ

30 10

B

12

10

30


50 v[V]

Dari grafik ini kita temukan titik-kerja yang menyatakan bahwa arus yang mengalir adalah 15 mA pada tegangan 30 V. Jadi daya yang diserap beban adalah :

p L = v L i L = 30 × 15 = 450 mW .

8.4.2. Rangkaian Dengan Sumber Tak-Bebas Tanpa Umpan Balik Contoh-contoh persoalan yang kita ambil dalam membahas metodametoda analisis dasar yang telah kita lakukan, adalah rangkaian dengan elemen aktif yang berupa sumber bebas. Metoda analisis dasar dapat pula kita gunakan pada rangkaian dengan sumber takbebas asalkan pada rangkaian tersebut tidak terdapat cabang umpan balik. Cabang umpan balik adalah cabang yang menghubungkan bagian keluaran dan bagian masukan, sehingga terjadi interaksi antara keluaran dan masukan. Apabila rangkaian mempunyai umpan balik, hendaknya digunakan metoda analisis umum (lihat bab selanjutnya). Berikut ini kita akan melihat rangkaian-rangkaian dengan sumber tak-bebas tanpa umpan balik. CO!TOH-8.7: is Tentukanlah tegangan keluaran vo + Rs v1 + µ v1 serta daya yang vs + − R1 − − diserap oleh beban RL pada rangkaian dengan sumber tak-bebas VCVS di samping ini.

+ vo −

RL

Penyelesaian : Rangkaian ini tidak mengandung umpan balik; tidak ada interaksi antara bagian keluaran dan masukan. Tegangan v1 pada loop pengendali dapat diperoleh melalui kaidah pembagi tegangan

R1 vs R1 + R s Dengan demikian maka keluaran VCVS adalah : v1 =

13

µR1 vs R1 + Rs Daya yang diserap oleh beban adalah : v o = µ v1 =

pL =

vo2 1  µR1v s = × RL RL  R1 + Rs

  

2

Pemahaman : Tegangan keluaran VCVS berbanding lurus dengan masukannya. Jika nilai µ >1 maka rangkaian ini berfungsi sebagai penguat (amplifier). Jika µ <1 rangkaian ini menjadi peredam (attenuator), dan jika µ = 1 maka ia menjadi penyangga ( buffer atau follower). Kelebihan dari rangkaian dengan VCVS ini dibandingkan dengan rangkaian pasif dapat kita lihat sebagai berikut. Jika kita menghubungkan RL langsung ke terminal v1 (berarti paralel dengan R1) maka tegangan keluaran pada beban adalah

v o (pasif) =

R1 || RL × vs Rs + ( R1 || R L )

Jika kita bandingkan formulasi vo untuk kedua keadaan tersebut akan terlihat bahwa pada rangkaian pasif tegangan keluaran tergantung dari resistansi beban, sedangkan pada rangkaian aktif tegangan keluaran tergantung dari µ tetapi tidak tergantung dari resistansi beban. Daya yang diberikan oleh sumber tegangan vs adalah :

p s = v s is =

v s2 Rs + r1

Daya ini tidak tergantung dari RL , yang berarti bahwa bertambahnya daya yang diserap oleh beban ( pL ) tidak mempengaruhi sumber tegangan vs. Keadaan ini mencegah terjadinya interaksi antara beban dan sumber, artinya tersambungnya RL tidak menjadi beban bagi vs . Daya yang diserap oleh beban berasal dari catu daya pada piranti aktif yang diwakili oleh VCVS, yang tidak diperlihatkan pada diagram rangkaian. Sumber tak-bebas memberikan alih daya yang sifatnya unilateral. 14


i

i 2

L

CO!TOH-8.8: i1 Tentukan + 1kΩ 4kΩ hubungan 50i1 vo 2mA keluaran1kΩ 1kΩ − masukan pada rangkaian dengan CCCS di samping ini. Penyelesaian: Untuk mencari vo kita memerlukan i1 yang dapat dicari dengan kaidah pembagi arus. 1 i1 = × 2 = 1 mA 1+1 Dari sini kita mendapatkan i2 yaitu i2 = −50 × i1 = −50 mA . Tanda “−” diperlukan karena referensi arah arus i2 berlawanan dengan arah arus positif sumber arus tak-bebas CCCS. Dari sini 1 i2 = −10 mA . kita dapatkan: i L = 1+ 4 −3 Tegangan keluaran: v o = −10 × 10 × 4000 = −40 V vo −40 Hubungan keluaran-masukan menjadi: i = 0,002 = −20000 s Pemahaman: Hasil diatas mengandung tanda negatif. Ini berarti bahwa sinyal keluaran berlawanan dengan sinyal masukan. Dengan kata lain terjadi proses pembalikan sinyal pada rangkaian di atas, dan kita sebut inversi sinyal.

CO!TOH-8.9: A Rs Ro i1 Carilah iL rangkaian − + ekivalen vs + RL Rp + r i1 v − Thévenin − dilihat di B terminal AB, dari rangkaian dengan CCVS di samping ini. Penyelesaian : Tegangan Thévenin VT adalah tegangan terminal AB terbuka (jika beban RL dilepas), yaitu :  vs   VT = v AB ht = − ri1 = − r   Rs + R p    15

Tanda “−” ini karena arah referensi tegangan CCCS berlawanan dengan referansi tegangan vAB. Arus hubung singkat di terminal AB jika beban diganti dengan hubung singkat adalah : − rv s − ri1 = iAB hs = Ro Ro ( Rs + R p ) Resistansi Thévenin RT adalah :

 − rv s v RT = AB ht =  iAB hs  R p + Rs

  − rv s  /   Ro ( Rs + R p )  

  = Ro  

Rangkaian Thévenin yang kita cari adalah seperti gambar di bawah ini. Perhatikan polaritas dari tegangan VT = − ri1 . A

 vs r  Rs + R p 

   

− +

Ro

+ v RL − B

16


Soal-Soal 1. Carilah arus yang melalui beban RL dan daya yang diberikan oleh sumber pada rangkaian berikut. 5Ω

10Ω

5Ω

10V + −

RL 7.5Ω

10Ω

a).

10V

30Ω 40Ω

+ −

RL 120Ω

60Ω

50Ω

b). 10Ω

20Ω

5A 20Ω

c). 2. Carilah tegangan keluaran vo pada rangkaian berikut ini. Berapakah resistansi beban yang harus dihubungkan ke terminal keluaran agar terjadi alih daya maksimum ? 3. Gunakan metoda unit output untuk mencari tegangan keluaran Vo pada dua rangkaian berikut ini 4. Gunakan metoda rangkaian ekivalen Thévenin atau Norton untuk menentukan tegangan dan arus di resistor 10 Ω pada kedua rangkaian berikut ini.

10Ω

RL 20Ω

20Ω

10Ω

10Ω

20Ω

20Ω

vo

2A

15Ω 10Ω 1A

+ 30Ω Vo −

15Ω 30Ω 1A

+

10Ω

−

15Ω 10Ω + + − 10V 30Ω Vo −

+ − 10V

15Ω 30Ω 10Ω

17

5. Carilah tegangan dan arus tiap resistor pada rangkaian berikut.

50Ω 100Ω

+ −

100Ω 5V 10V

7. Pada rangkaian di samping ini hitunglah arus yang melalui resistor beban RL.

+ −

5 kΩ 10 V 2 mA

8. Pada rangkaian di samping ini hitunglah daya yang diserap resistor 8 Ω dan daya masing-masing sumber.

+ −

30Ω 50V

20Ω

5Ω + v1 7,5V - 10Ω

v1 5

6. Hitunglah daya yang dikeluarkan oleh masing-masing sumber pada soal 5.

9. Pada rangkaian berikut ini, hitunglah arus yang melalui beban RL.

+ −

10. Berapa µ agar rangkaian berikut ini mempunyai keluaran v2 = −10 V.

6V

+ −

100Ω 200Ω

+ −

5V

5 kΩ 5 kΩ

RL 2,5 kΩ

8Ω 2,5A

5Ω

+ v1 −

60Ω

1kΩ − µv 1kΩ 1 +

.

18

+ −


RL 10Ω

+ v2 −

BAB 9 Metoda Analisis Umum Dengan mempelajari metoda analisis umum kita akan •

memahami dasar-dasar metoda tegangan simpul;

•

mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda tegangan simpul;

•

memahami dasar-dasar metoda arus mesh;

•

mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda arus mesh.

Metoda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh. Pada dasarnya kedua metoda ini dapat kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik, walaupun dalam hal-hal tertentu metoda tegangan simpul lebih baik dibandingkan dengan metoda arus mesh, terutama dalam menangani rangkaian-rangkaian elektronik. Metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari suatu persamaan linier yang merupakan diskripsi lengkap dari suatu rangkaian dan kemudian memecahkan persamaan itu dengan memanfaatkan aljabar linier. Metoda ini lebih abstrak dibandingkan dengan metoda-metoda analisis dasar karena kita tidak menangani langsung rangkaian yang kita hadapi melainkan mencari pemecahan dari satu set persamaan yang mewakili rangkaian tersebut. Dengan metoda ini kita tidak terlibat dalam upaya untuk mencari kemungkinan penyederhanaan rangkaian ataupun penerapan teorema rangkaian. Kita lebih banyak terlibat dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier, sehingga agak “kehilangan sentuhan” dengan rangkaian listrik yang kita hadapi. Namun demikian kerugian itu mendapat kompensasi, yaitu berupa lebih luasnya aplikasi dari metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh ini.

19

9.1. Metoda Tegangan Simpul (ode Voltage Method – odal Analysis) 9.1.1. Dasar Jika salah satu simpul dalam suatu rangkaian ditetapkan sebagai simpul referensi yang dianggap bertegangan nol, maka tegangan pada simpul-simpul yang lain dapat dinyatakan secara relatif terhadap simpul referensi tersebut. Jika dalam suatu rangkaian terdapat n simpul, sedangkan salah satu simpul ditetapkan sebagai simpul referensi, maka masih ada (n – 1) simpul yang harus dihitung tegangannya. Jadi untuk menyatakan rangkaian secara lengkap dengan menggunakan tegangan simpul sebagai peubah, diperlukan (n – 1) buah persamaan. Jika persamaan ini dapat dipecahkan, berarti kita dapat memperoleh nilai tegangan di setiap simpul, yang berarti pula bahwa kita dapat menghitung arus di setiap cabang. Basis untuk memperoleh persamaan tegangan simpul adalah persyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian, yaitu persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian. Persyaratan elemen menyatakan bahwa karakteristik i-v dari setiap elemen dalam rangkaian harus dipenuhi. Hal ini berarti bahwa hubungan antara arus cabang (arus yang melalui elemen di cabang tersebut), dengan tegangan simpul (tegangan kedua simpul yang mengapit elemen / cabang yang bersangkutan) ditentukan oleh karakteristik i-v elemen yang ada di cabang tersebut. Ini berarti pula bahwa arus cabang dapat dinyatakan dengan tegangan simpul. Sebagai contoh, bila sebuah resistor dengan konduktansi G berada di antara simpul X dan Y, maka arus cabang tempat resistor itu berada dapat ditulis sebagai

i XY = G (v X − vY )

(9.1)

dengan iXY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, vX dan vY masing-masing adalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementara itu persyaratan rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhoff (HAK), juga harus dipenuhi. Oleh karena itu untuk suatu simpul M yang terhubung ke k titik simpul lain melalui konduktansi Gi (i = 1sampai k), berlaku

∑iM 20

=0=

k

k

k

i =1

i =1

i =1

∑Gi (vM − vi ) = vM ∑Gi − ∑Gi vi


(9.2)

dengan vM adalah tegangan simpul M, vi adalah tegangan simpulsimpul lain yang terhubung ke M melalui konduktansi masingmasing sebesar Gi. Persamaan (9.2) adalah persamaan tegangan untuk satu simpul. Jika persamaan ini kita terapkan untuk (n – 1) simpul yang bukan simpul referensi maka kita akan memperoleh (n−1) persamaan yang kita inginkan. Jadi untuk memperoleh persamaan tegangan simpul dari suatu rangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut: 1. Tentukan simpul referensi umum. 2. Aplikasikan persamaan (9.2) untuk simpul-simpul yang bukan simpul referensi. 3. Cari solusi persamaan yang diperoleh pada langkah 2. 9.1.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Tegangan Simpul Persamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperoleh melalui aplikasi HAK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabang yang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemen dengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikit kesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut ini kita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatu simpul dengan melihat beberapa kasus jenis elemen yang berada pada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut. Kasus-1: Cabang-Cabang Berisi Resistor. Dalam kasus ini persamaan (9.4) dapat kita aplikasikan tanpa kesulitan. Perhatikan hubungan simpul-simpul vA i1 i2 seperti terlihat pada Gb.9.1. vB vC A Walaupun referensi arah arus C B tidak semuanya G1 G2 i3 meninggalkan simpul A G3 namun hal ini tidak akan menggangu aplikasi vD D persamaan (9.2) untuk Gb.9.1. Cabang berisi resistor. simpul A. Persamaan untuk simpul A:

21

v A (G1 + G2 + G3 ) − G1v B − G 2 vC − G3v D = 0

(9.3)

Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.1. kita akan memperoleh persamaan arus untuk simpul A sebagai i1−i2−i3 = 0, yang akan memberikan persamaan tegangan simpul G1 (v B − v A ) − G2 (v A − vC ) − G3 (v A − v D ) = 0

atau

− v A (G1 + G2 + G3 ) + v B G1 + vC G2 + v D G3 = 0

yang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperoleh sebelumnya. Kasus-2: Cabang Berisi Sumber Arus. Perhatikan Gb.9.2. Dalam kasus ini kita tidak mengetahui konduktansi yang ada antara simpul vA A dan D yang berisi vC sumber arus bebas. Tetapi vB A hal ini tidak memberikan C B kesulitan dalam aplikasi G1 G2 (9.2) untuk simpul A, Is karena sesungguhnya persamaan (9.2) itu vD berangkat dari persamaan D arus untuk suatu simpul. Gb.9.2. Cabang berisi sumber arus. Dengan demikian maka nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itu dapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadi hasil kali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul. Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harus bertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedang ditinjau, sesuai dengan persyaratan persamaan (9.2). Untuk simpul A pada Gb.9.2. persamaan yang diperoleh adalah:

v A (G1 + G2 ) − I s − v B G1 − vC G2 = 0

22


(9.4)

Kasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus ini terdapat dua vA kemungkinan. vB vC A Kemungkinan pertama : salah satu simpul C B G1 G2 sumber tegangan + Vs − menjadi simpul referensi seperti terlihat pada vD D Gb.9.3. Simpul A menjadi Gb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan. simpul terikat, artinya tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber; jadi tegangan simpul A tidak perlu lagi dihitung, vA = Vs . Kemungkinan yang vA kedua: simpul-simpul vC v A B yang mengapit sumber C B tegangan bukan G1 G2 merupakan simpul + Vs − referensi seperti terlihat pada Gb.9.4. Dalam hal F terakhir ini, sumber E D vE G3 vF G4 tegangan beserta kedua vD simpul yang Gb.9.4. Sumber tegangan antara dua mengapitnya kita simpul yang bukan simpul referensi. jadikan sebuah simpulsuper (super-node). Jadi simpul A, D, dan sumber tegangan pada Gb.9.4. kita pandang sebagai satu simpul-super. Hukum Arus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satu melainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan, yaitu: •

persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaan arus seperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan

•

persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikan hubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkan menjadi simpul-super tersebut.

Perhatikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul A, D dan sumber tegangan Vs. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpul 23

B dan C melalui A dengan konduktansi G1 dan G2; ia juga terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui D dengan kunduktansi G3 dan G4. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah : v A (G1 + G2 ) + v D (G3 + G4 ) − v B G1 − v C G2 − v E G3 − v F G4 = 0 dan

(9.5)

v A − v D = Vs

Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencari persamaan tegangan pada suatu simpul. Dalam peninjauan kasuskasus tersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistor. Walaupun demikian metoda ini dapat kita gunakan untuk rangkaian dengan elemen dinamis yang akan kita lihat kemudian. Berikut ini kita akan melihat aplikasi metoda tegangan simpul untuk rangkaian resistor. Rangkaian yang akan kita lihat masih termasuk sederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakan metoda analisis dasar. Akan tetapi yang kita tekankan di sini adalah melihat bagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan. CO!TOH-9.1: Carilah tegangan simpul A, B, C, dan D pada rangkaian di bawah ini. R3 R5 R1 A B C D 20Ω 0,4 A

10Ω

10Ω R2

20Ω

R4

20Ω

R6

10Ω

E Penyelesaian : Rangkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sini kita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan. Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum, yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kita mempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu A, B, C dan D.

24


Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpul dengan mengaplikasikan persamaan (2.30) pada ke-empat simpul non-referensi tersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yang kita peroleh adalah :

v A (G1 ) − 0.4 − v B (G1 ) = 0

v B (G1 + G2 + G 3) − v A (G1 ) − vC (G3 ) = 0

vC (G3 + G4 + G5 ) − v B (G3 ) − v D (G5 ) = 0 v D (G5 + G6 ) − vC (G5 ) = 0

dengan G1 , G2….G6 adalah konduktansi elemen-elemen yang besarnya adalah Gi = 1/Ri . Dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi 1  1  v 0 0 −  20   A  0,4 20  1     1 1 1  1 −  v   0  − 0 +   + 10  20  20 20 10   B    =   1 1 1 1      1 − − +   +  0  vC 0 10 10       10 20 10       1 1   1 − 0  +  v D   0   0 10  10 10  

Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitungan selanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ketiga kita kalikan 20 sedangkan baris ke-empat kita kalikan 10, akan kita peroleh

0   v A  8  1 −1 0  − 1 4 − 2 0   v  0   B =   0 − 2 5 − 2  vC  0      0 − 1 2  v D  0 0 Eliminasi Gauss memberikan:

0  v A   8  1 − 1 0 0 3 − 2 0   v   8   B =   0 0 11 − 6  vC  16      0 16  v D  16 0 0

25

Dengan demikian maka kita dapat menghitung tegangantegangan simpul mulai dari simpul D sebagai berikut :

16 + 6 × v D 16 + 6 16 =2 V = 1 V ; vC = = 16 11 11 8 + 2 × vC 8 + 4 vB = = = 4 V ; v A = 8 + v B = 12 V 3 3 Dengan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabang dapat dihitung. → vD =

CO!TOH-9.2: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D pada rangkaian berikut. R1

C

B 20Ω

30 V

R5

R3

A

10Ω

10Ω R2

+ −

D

20Ω

R4

20Ω

10Ω

R6

E

Penyelesaian : Simpul A terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan. Dengan demikian simpul A merupakan simpul terikat yang nilai tegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu 30 V. Persamaan tegangan simpul yang dapat kita peroleh adalah: v A = 30

v B (G1 + G2 + G 3) − v AG1 − vC (G3 ) = 0

vC (G3 + G4 + G5 ) − v B (G3 ) − v D (G5 ) = 0

v D (G5 + G6 ) − vC (G5 ) = 0 Dengan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannya dalam bentuk matriks, kita memperoleh  1  1  − 20   0    0 

26

0 0 0   v A  30 1 1 1      1 0 + +  −      10  20 20 10   vB   0  1 1 1 1   =   1 − +  −  + 10 10   vC   0   10 20 10      1 1   1 0 −  +      10  10 10  v D   0 


Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitungan seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya dengan mengalikan baris ke-2 dan ke-3 dengan 20 dan mengalikan baris ke-4 dengan 10. 0 0 0   v A  30 1       − 1 4 − 2 0   v B  =  0   0 − 2 5 − 2  vC   0        0 − 1 2  v D   0  0 Eliminasi Gauss memberikan :

1 0  0  0

0  v A  0  vB    = − 4 vC    16  v D 

0 0 4 −2 0 0

8 0

30 30   30   30

Maka :

30 30 + 10 = 2,5 V ; vC = = 5 V; 16 8 30 + 10 = 10 V; v A = 30 V vB = 4 → vD =

CO!TOH-9.3: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D di rangkaian berikut. Simpul super 15 V

R1 B

A

_

R5

C

10 Ω

20 Ω R3

10 Ω

D

+

R2

20 Ω

R4

20 Ω

10 Ω

R6

E

Penyelesaian : Berbeda dengan contoh sebelumnya, dalam rangkaian ini sumber tegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensi umum. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya jadikan satu simpul-super. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah : 27

v A (G3 + G1 ) − vBG1 = 0

vB (G1 + G2 ) + vC (G4 + G5 ) − v AG1 − vDG5 = 0

Simpul-super

{ vB − vC = −15

vD (G5 + G6 ) − vC G5 = 0

Kita masukkan nilai G dan persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks:  1  1  1 − 0 0  10 + 20   20    1   1 1 1   1  − 1 − +   +    20 10   20 20   20 10    −1 0 1 0  1 1  1  − 0 0  +  10  10 10  

v A   0          v 0  B =    vC   − 15     v D   0 

Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan 20 serta baris keempat dengan 10 sehingga kita peroleh matriks dengan elemenelemen bilangan bulat. Setelah itu kita lakukan eliminasi Gauss yang akan memberikan :

0  v A   0  3 − 1 0 0 5 9 − 6  v B   0     = 0 0 − 14 6   vC  − 75      0 22  v D   75  0 0 Dari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dapat kita tentukan, seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya. Pembaca diharapkan untuk mencoba sendiri. Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : •

Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melalui konduktansi Gi berlaku: k

∑ (v M 1

− vi )Gi = 0

atau

k

k

1

1

∑ v M Gi − ∑ vi Gi = 0

Aplikasi formula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpul referensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian. 28


•

•

•

Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan, merupakan simpul-terikat yang tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dapat menjadi simpul-super yang mempunyai suatu hubungan internal yang ditentukan oleh tegangan sumber. Sumber arus di suatu cabang memberikan kepastian nilai arus di cabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalam persamaan tegangan simpul.

9.2. Metoda Arus Mesh (Mesh Current Method) Metoda ini sangat bermanfaat untuk analisis rangkaian yang mengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenai mesh telah kita B A C peroleh, yaitu loop yang tidak melingkupi elemen IB IA atau cabang lain. Dalam Gb.9.5 loop ABEDA, BCFEB, DEHGD, EFIHE, adalah mesh, sedangkan loop ABCFEDA bukan mesh.

arus mesh D

ID

IC G

F

E

H

I

Gb.9.5. Loop dan mesh Dengan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh, yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di suatu mesh. Dalam Gb.9.5, IA , IB , IC , ID adalah arus-arus mesh dengan arah anak panah menunjukkan arah positif. Arus di suatu cabang adalah jumlah aljabar dari arus mesh di mana cabang itu menjadi anggota. Arus di cabang AB misalnya, adalah sama dengan arus mesh IA. Arus di cabang BE adalah (IA – IB), arus di cabang EH adalah (IC – ID), dan seterusnya. Secara umum kita dapat mengatakan bahwa Jika cabang ke-k hanya merupakan angggota dari mesh X yang mempunyai arus mesh IX maka arus ik yang melalui cabang itu adalah ik = IX dengan arah referensi arus ik sesuai dengan IX .

29

Jika cabang ke-k merupakan anggota dari mesh X dan mesh Y yang masing-masing mempunyai arus mesh IX dan IY , maka arus ik yang melalui cabang tersebut adalah ik = IX – IY dengan X adalah mesh yang mempunyai arah referensi arus yang sesuai dengan arah referensi arus ik . Perhatikan : •

Arus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sifat fisis rangkaian melainkan suatu peubah yang kita gunakan dalam analisis rangkaian.

•

Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arus mesh di semua mesh mempunyai arah yang sama (dalam hal ini kita pilih searah putaran jarum jam).

Metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linier dengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakan diskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metoda tegangan simpul, kita akan melihat lebih dulu bagaimana persamaan arus mesh tersebut dapat diperoleh. 9.2.1. Dasar Metoda arus mesh, seperti halnya metoda tegangan simpul, berbasis pada persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletak pada persyaratan rangkaian; pada metoda tegangan simpul digunakan hukum arus Kirchhoff (HAK) sedangkan pada metoda arus mesh digunakan hukum tegangan Kirchhoff (HTK). Suatu mesh tidak lain adalah bentuk loop yang paling sederhana. Oleh karena itu hukum Kirchhoff untuk tegangan juga berlaku pada mesh. Untuk suatu mesh X yang terbentuk dari m cabang yang masing-masing berisi resistor, sedang sejumlah n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain, berlaku

30


m

m−n

n

x =1

x =1

y =1

∑ vx = 0 = ∑ vx + ∑ v y m−n

= IX

∑

n

Rx +

x =1

∑ R y (I X

− Iy

)

(9.6)

y =1

Di sini vx adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanya menjadi anggota mesh X; vy adalah tegangan pada elemen di cabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain; IX adalah arus mesh X; Iy adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X; Rx menunjukkan resistor pada cabang-cabang yang hanya menjadi anggota mesh X; Ry menunjukkan resistor pada cabangcabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain. Persamaan (9.5) dapat ditulis:

 m−n IX  Rx +  x = 1 

∑

 Ry  −  y =1  n

∑

n

∑ I yRy = 0

y =1

(9.7)

Atau secara umum

IX

∑ R X − ∑ I Y RY

=0

(9.8)

dengan IX adalah arus mesh X, RX adalah resistor pada cabangcabang yang membentuk mesh X, IY adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X melalui cabang yang berisi resistor RY. Persamaan (9.7) adalah persamaan arus mesh untuk suatu mesh tertentu. Jika persamaan ini kita aplikasikan untuk semua mesh pada suatu rangkaian kita akan mendapatkan persamaan arus mesh untuk rangkaian tersebut. Jadi langkah-langkah dalam analisis dengan menggunakan metoda arus mesh adalah : 1. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan juga tegangan referensi pada tiap elemen. 2. Aplikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. Dengan langkah ini kita memperoleh persamaan arus mesh dari rangkaian. 3. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.

31

9.2.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus Mesh Berikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kita jumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk satu mesh tertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kita jumpai pada pembahasan mengenai metoda tegangan simpul. Kasus-1: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada Gb.9.6. mesh BCEFB dan A B C D CDEC, terdiri hanya dari elemen R3 R1 R6 resistor saja. IX IY IZ Aplikasi persamaan R7 R4 R2 (9.7) untuk kedua R5 mesh ini tidak F E menimbulkan kesulitan, dan kita Gb.9.6. Kasus 1. akan memperoleh persamaan:

Mesh BCEFB : I X (R 2 + R 3 + R 4 + R 5 ) − I Y R 2 − I Z R 4 = 0 Mesh CDEC : I Z (R 4 + R 6 + R 7 ) − I X R 4 = 0

(9.9)

Kasus-2: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh ABFA dan BCEFB pada v2 Gb.9.7. D B C A + − mengandung R R1 6 sumber + tegangan. Hal IX IZ − IY ini tidak akan v1 R3 R4 R 5 menimbulkan F E kesulitan karena metoda arus Gb.9.7. Kasus 2 : mesh dengan sumber tegangan. mesh berbasis pada Hukum Tegangan Kirchhoff. Nilai tegangan sumber dapat langsung dimasukkan dalam persamaan, dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh ABFA dan BCEFB persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah : 32


Mesh ABFA : I Y (R1 + R2 ) − I X R2 − v1 = 0

(9.10)

Mesh BCEFB : I X (R2 + R4 + R5 ) − I Y R2 − I Z R4 + v2 = 0

Kasus-3: Mesh Mengandung Sumber Arus. Pada Gb.9.8. di cabang BF terdapat sumber arus yang menjadi anggota mesh ABFA dan BCEFB. mesh super Tegangan suatu B A C D sumber arus tidak R1 R6 R3 tertentu sehingga + IX IY IZ tidak mungkin − R4 v i 1 R 1 5 diperoleh persamaan arus F E mesh untuk ABFA Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber dan BCEFB. Untuk arus. mengatasi kesulitan ini maka kedua mesh itu digabung menjadi satu yang kita sebut mesh- super. Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaan yaitu persamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, ABCEFA, dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus di kedua mesh, yaitu IX dan IY . Persamaan yang dimaksud adalah:

loop ABCEFA :

I Y R1 + I X (R3 + R4 + R5 ) − v1 − I Z R4 = 0

cabang BF

I X − I Y = i1

:

(9.11)

Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari dua mesh saja, yaitu satu mesh biasa CDEC dan satu mesh-super ABCEFA. CO!TOH-9.4: Gunakan metoda arus mesh untuk analisis rangkaian di samping ini.

A

20Ω B 20

+

30 V

−

10Ω C

IA

10Ω D

20Ω IB

IC

10Ω

E

33

Penyelesaian : Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, IA , IB, IC.. Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuk setiap mesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh ABEA mengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita peroleh adalah: Mesh ABEA : Mesh BCEB : Mesh CDEC :

I A (20 + 20 ) − I B 20 − 30 = 0

I B (20 + 10 + 20 ) − I A 20 − I C 20 = 0 I C (20 + 10 + 10 ) − I B 20 = 0

Dalam bentuk matriks persamaan menjadi:

0   I A  30  40 − 20 − 20 50 − 20  I  =  0    B     0 − 20 40   I C   0  Eliminasi Gauss memberikan :

4 − 2 0   I A  3 0 8 − 4  I  = 3   B    0 0 12   I C  3 sehingga diperoleh IC = 0,25 A; IB = 0,5 A; IA = 1 A. Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabang dapat ditentukan CO!TOH-9.5: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian di samping ini. 20Ω B 10Ω C 10Ω D A Perhatikanlah bahwa pada IB I IA rangkaian ini 1A 10Ω 20Ω C 20Ω terdapat sumber arus. E

34


Penyelesaian : Dalam kasus ini arus mesh IA ditentukan oleh sumber, yaitu sebesar 1 A. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah :

Mesh ABEA : I A = 1 Mesh BCEB : I B (20 + 10 + 20) − I A (20) − I C (20) = 0 Mesh CDEC : I C (20 + 10 + 10) − I B (20) = 0

yang dalam bentuk matriks dapat ditulis

0 0   I A  1  1  − 20 50 − 20  I  = 0    B    0 − 20 40   I C  0

0 0   I A  1 1  − 2 5 − 2   I  = 0    B     0 − 2 4   I C  0

Eliminasi Gauss memberikan :

1 0 0   I A   1  0 5 − 2   I  =  2    B    0 0 8   I C  2 Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah : IC = 0,25 A;

IB = 0,5 A;

IA = 1 A.

Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. CO!TOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini. Perhatikan mesh super bahwa ada 20Ω B 10Ω C 10Ω D A sumber arus yang 20Ω IC IA IB menjadi 10Ω 1 A 20Ω anggota dari E dua mesh yang berdampingan. Penyelesaian: Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandung sumber arus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :

35

I A (20 + 20) + I B (10 + 20) − I C (20) = 0

mesh super

{I

A

− I B = −1

I C (20 + 10 + 10) − I B (20) = 0

Dalam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadi

40 30 − 20 I A   0   1 −1 0  I B  = − 1   0 − 20 40  I C   0 

4 3 − 2  I A   0  atau 1 − 1 0  I B  = −1 0 − 1 2  I C   0 

yang memberikan

4 3 − 2  I A   0  0 − 7 2   I  =  − 4    B   0 0 12   I C   4  Jadi IC = 1/3 A, IB = 2/3 A, dan IA = −1/3 A. Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : •

Untuk suatu mesh X dengan arus mesh Ix yang terdiri dari m cabang dan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain yang masing-masing mempunyai arus mesh Iy , berlaku m −n

IX

∑

n

Rx +

x =1

∑ R y (I X

)

−Iy =0

atau

y =1

n n  m−n IX  Rx + Ry  − I yRy = 0   y =1  y =1  x =1 Aplikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkan persamaan arus mesh rangkaian.

∑

∑

∑

•

Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadi anggota dari mesh lain, arus mesh Ix ditentukan oleh sumber arus tersebut.

•

Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadi mesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arus mesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber.

36


•

Sumber tegangan di suatu cabang memberikan kepastian nilai tegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilai tegangan ini langsung masuk dalam persamaan arus mesh.

9.2.3. Rangkaian Sumber Tak-Bebas Dengan Umpan Balik Analisis rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas dengan umpan balik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metoda tegangan simpul atau metoda arus mesh. Umpan balik terjadi jika ada aliran sinyal dari sisi keluaran ke sisi pengendali. CO!TOH-9.7: Tentukanlah RF pada rangkaian di samping ini agar pada beban 1 10kΩ R 5kΩ D B F C kΩ terdapat A tegangan −10 + + − V. 1V + v v 1 kΩ −

1

−

Penyelesaian :

+

D

100v1

−

Persamaan tegangan simpul di simpul-simpul A, B, C, dan D pada rangkaian ini adalah A: vA = 1V ; C : v C = −100v1 ;

B:

v B − v A v B − vC + =0 ; RF 10

D:

v D − vC v D + =0 5 1

Karena disyaratkan agar vD = −10 V, maka dari persamaan simpul C dan D kita dapat memperoleh nilai v1.

−5v D − v D v 60 = = 0,6 V v1 = − C = 100 100 100 Kalau kita masukkan nilai v1 ini ke persamaan simpul B akan kita peroleh

0,6 − 1 0,6 + 100 × 0,6 + =0 10 RF ⇒ R F = 60,6 ×

10 = 1515 kΩ ≈ 1,5 MΩ 0,4

37

9.3. Beberapa Catatan Tentang Metoda Tegangan Simpul dan Metoda Arus Mesh Pada metoda tegangan simpul kita menggunakan salah satu simpul sebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nol, sedangkan tegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadap simpul referensi ini. Simpul referensi tersebut dapat kita pilih dengan bebas sehingga perbedaan pemilihan simpul referensi dalam menyelesaikan persoalan satu rangkaian tertentu dapat menghasilkan nilai-nilai tegangan simpul yang berbeda. Namun demikian tegangan cabang-cabang rangkaian akan tetap sama hanya memang kita harus melakukan perhitungan lagi untuk memperoleh nilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisih tegangan antara dua simpul). Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan kereta rel listrik ataupun jaringan PLN, orang melakukan pengukuran tegangan bukan terhadap simpul referensi umum seperti dalam pengertian metoda tegangan simpul melainkan terhadap titik netral atau ground di masing-masing lokasi pengukuran. Pengukuran ini belum tentu sesuai dengan perhitungan dalam analisis menggunakan metoda tegangan simpul karena ground di lokasi pengukuran tidaklah selalu sama dengan titik referensi umum dalam analisis. Akan tetapi karena jaringan-jaringan penyalur energi tersebut dapat dilihat sebagai berbentuk rangkaian tangga, maka permasalahan ini dengan mudah dapat diatasi dan akan dibahas lebih lanjut. Metoda arus mesh dapat diterapkan pada rangkaian planar yaitu suatu rangkaian yang diagramnya dapat digambarkan pada satu bidang datar tanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian. Untuk rangkaian nonplanar metoda arus mesh tak dapat diterapkan dan kita perlu menggunakan metoda arus loop. Metoda Analisis Berbantuan rangkaian yang rumit, analisis bahkan hampir tidak mungkin memerlukan bantuan komputer. buku ini.

38

Komputer. Untuk rangkaiansecara manual tidaklah efektif lagi dilakukan. Untuk itu kita Metoda ini tidak dibahas dalam


Soal-Soal 1. Carilah tegangan dan arus di masing-masing elemen pada rangkaian-rangkaian di bawah ini dan hitunglah daya yang diberikan oleh sumber. 50Ω 100Ω

100Ω 5V a).

+ −

+ −

10V

4Ω 3Ω

5Ω

+

+ −

30V −

5V

2A

b).

10 V

+ −

c).

7.5 kΩ

5 kΩ 5 kΩ

2 mA

1kΩ 1kΩ

1kΩ

1kΩ

2kΩ

100mA

2kΩ

100mA

d). 100Ω

10V

+ −

100Ω 100Ω

100Ω 100Ω

e).

39

−

+ 5 kΩ

10 V

10 kΩ 5 kΩ 5 kΩ

20 mA

10 mA

f). 100mA 1kΩ 2kΩ

100V + −

1kΩ 2kΩ

1kΩ

1kΩ

g).

2. Tentukanlah v2 pada dua rangkaian di bawah ini. 20 kΩ + v1 10 kΩ 10 kΩ _

a).

+ + v2 − 1000v _

+ v

−

20 kΩ + 10 kΩ 10 kΩ v1 10 kΩ _

+ v

−

+

+ v − 1000v 2 _

b). 3. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaran vo = Kvs . 50Ω + −

40

I1

vs 1kΩ

I2 100I1

100I2 1kΩ 1kΩ

+ vo −


41

Analisis Rangkaian Listrik

Recommend Documents