Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2

Sudaryatno Sudirham

Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2

2

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

BAB 4 Analisis Rangkaian Menggunakan Transformasi Laplace Setelah mempelajari bab ini kita akan • memahami konsep impedansi di kawasan s. • mampu melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s. • mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan s. Di bab sebelumnya kita menggunakan transformasi Laplace untuk memecahkan persamaan rangkaian. Kita harus mencari terlebih dahulu persamaan rangkaian di kawasan t sebelum perhitungan-perhitungan di kawasan s kita lakukan. Berikut ini kita akan mempelajari konsep impedansi dan dengan konsep ini kita akan dapat melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s. Dengan transformasi rangkaian ini, kita langsung bekerja di kawasan s, artinya persamaan rangkaian langsung dicari di kawasan s tanpa mencari persamaan rangkaian di kawasan t lebih dulu. Sebagaimana kita ketahui, elemen dalam analisis rangkaian listrik adalah model dari piranti yang dinyatakan dengan karakteristik i-v-nya. Jika analisis dilakukan di kawasan s dimana v(t) dan i(t) ditransformasikan menjadi V(s) dan I(s), maka pernyataan elemenpun harus dinyatakan di kawasan s. 4.1. Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s 4.1.1. Resistor Hubungan arus dan tegangan resistor di kawasan t adalah

vR (t ) = RiR(t) Transformasi Laplace dari vR adalah

VR ( s ) =

∞

∫0 vR (t )e

− st

dt =

∞

∫0 RiR (t )e

− st

dt =RI R(s)

Jadi hubungan arus-tegangan resistor di kawasan s adalah

VR ( s ) = R I R ( s )

(4.1)

1

4.1.2. Induktor Hubungan antara arus dan tegangan induktor di kawasan t adalah

v L (t ) = L

diL(t) dt

Transformasi Laplace dari vL adalah (ingat sifat diferensiasi dari transformasi Laplace) :

VL ( s ) =

∞

∫0 vL (t )e

− st

dt =

∞

∫0 L

diL (t )  − st e dt = sLI L ( s) − LiL (0) dt 

Jadi hubungan tegangan-arus induktor adalah

VL ( s) = sLI L ( s) − LiL (0)

(4.2)

dengan iL (0) adalah arus induktor pada saat awal integrasi dilakukan atau dengan kata lain adalah arus pada t = 0. Kita ingat pada analisis transien di kawasan waktu, arus ini adalah kondisi awal dari induktor, yaitu i(0+) = i(0−). 4.1.3. Kapasitor Hubungan antara tegangan dan arus kapasitor di kawasan t adalah

vC (t ) =

1 C

t

∫0 iC (t )dt + vc (0)

Transformasi Laplace dari tegangan kapasitor adalah

I ( s) vC (0) VC ( s ) = C + sC s

(4.3)

dengan vC(0) adalah tegangan kapasitor pada t =0. Inilah hubungan tegangan dan arus kapasitor di kawasan s. 4.2. Konsep Impedansi di Kawasan s Impedansi merupakan suatu konsep di kawasan s yang didefinisikan sebagai berikut. Impedansi di kawasan s adalah rasio tegangan terhadap arus di kawasan s dengan kondisi awal nol.

2


Sesuai dengan definisi ini, maka impedansi elemen dapat kita peroleh dari (4.1), (4.2), dan (4.3) dengan iL (0) = 0 maupun vC (0) = 0,

V ( s) V (s) V (s) 1 ZR = R = R ; ZL = L = sL ; Z C = C = I R (s) IL ( s ) IC ( s) sC

(4.4)

Dengan konsep impedansi ini maka hubungan tegangan-arus untuk resistor, induktor, dan kapasitor menjadi sederhana, mirip dengan relasi hukum Ohm.

VR ( s) = RI R (s) ;

VL ( s) = sLI L (s) ;

VC =

1 I C ( s) sC

(4.5)

Sejalan dengan pengertian impedansi, dikembangkan pengertian admitansi, yaitu Y = 1/Z sehingga untuk resistor, induktor, dan kapasitor kita mempunyai

YR =

1 R

YL =

;

1 sL

YC = sC

;

(4.6)

4.3. Representasi Elemen di Kawasan s Dengan pengertian impedansi seperti dikemukakan di atas, dan hubungan tegangan-arus elemen di kawasan s, maka elemen-elemen dapat direpresentasikan di kawasan s dengan impedansinya, sedangkan kondisi awal (untuk induktor dan kapasitor) dinyatakan dengan sumber tegangan yang terhubung seri dengan impedansi tersebut, seperti terlihat pada Gb. 4.1. +

IR (s)

+

IC (s)

+

IL (s)

1 sC

sL R

VR(s)

VL (s)

− +

LiL(0)

VC (s)

−

− Resistor

Induktor

+ −

vC (0) s

− Kapasitor

Gb.4.1. Representasi elemen di kawasan s.

VR ( s ) = R I R ( s ) ;

VL ( s) = sLI L ( s) − LiL (0) ;

I ( s ) vC (0) VC ( s ) = C + sC s

3

Representasi elemen di kawasan s dapat pula dilakukan dengan menggunakan sumber arus untuk menyatakan kondisi awal induktor dan kapasitor seperti terlihat pada Gb.4.2. +

VR(s)

R

sL

IC (s)

IL (s)

IR (s)

+ VL (s) −

iL (0) s

1 sC

+ VC (s) −

CvC(0)

−

Gb.4.2. Representasi elemen di kawasan s. i ( 0)   VL ( s ) = sL I L ( s ) − L ; s  

VR ( s ) = R I R ( s ) ; VC ( s ) =

1 (I C ( s) + CvC (0) ) sC

4.4. Transformasi Rangkaian Representasi elemen ini dapat kita gunakan untuk mentransformasi rangkaian ke kawasan s. Dalam melakukan transformasi rangkaian perlu kita perhatikan juga apakah rangkaian yang kita transformasikan mengandung simpanan energi awal atau tidak. Jika tidak ada, maka sumber tegangan ataupun sumber arus pada representasi elemen tidak perlu kita gambarkan.

CO+TOH 4.1: Saklar S pada rangkaian berikut telah lama ada di posisi 1. Pada t = 0 saklar 1 dipindahkan ke S posisi 2 sehingga 2 + 3Ω 1H + rangkaian RLC 8V− + −3t 1/2 F 2e V vC seri terhubung ke − − sumber tegangan 2e−3t V. Transformasikan rangkaian ke kawasan s untuk t > 0. Penyelesaian : Pada t < 0, keadaan telah mantap. Arus induktor nol dan tegangan kapasitor sama dengan tegangan sumber 8 V.

4


Untuk t > 0, sumber tegangan adalah vs = 2e−3t yang transformasinya ke kawasan s adalah Vs ( s ) =

2 s+3

Representasi kapasitor adalah impedansinya 1/sC = 2/s seri dengan sumber tegangan 8/s karena tegangan kapasitor pada t = 0 adalah 8 V. Representasi induktor impedansinya sL = s tanpa diserikan dengan sumber tegangan karena arus induktor pada t = 0 adalah nol. Transformasi rangkaian ke kawasan s untuk t > 0 adalah

s

3 2 s+3

+ −

2 s

8 s

+ −

+ VC(s) −

Perhatikan bahwa tegangan kapasitor VC (s) mencakup sumber tegangan (8/s) dan bukan hanya tegangan pada impedansi (2/s) saja. Setelah rangkaian ditransformasikan, kita mengharapkan dapat langsung mencari persamaan rangkaian di kawasan s. Apakah hukum-hukum, kaidah, teorema rangkaian serta metoda analisis yang telah kita pelajari di kawasan t dapat kita terapkan? Hal tersebut kita bahas berikut ini.

4.5. Hukum Kirchhoff Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa untuk suatu simpul berlaku n

∑ ik (t ) = 0 k =1

Jika kita lakukan transformasi, akan kita peroleh n    ik (t ) e − st dt =    k =1 k =1 

∞ n

∫0 ∑

∞

∑ ∫0

n

 ik (t )e − st dt  = I k (s) = 0  k =1

∑

(4.7)

Jadi hukum arus Kirchhoff (HAK) berlaku di kawasan s. Hal yang sama terjadi juga pada hukum tegangan Kirchhoff. Untuk suatu loop

5

n

∑ vk (t ) = 0 k =1

⇒

n n   ∞   vk (t ) e − st dt = vk (t )e − st dt  = Vk ( s ) = 0  0  0   k =1 k =1   k =1 ∞ n

∫ ∑

∑∫

(4.8)

∑

4.6. Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-kaidah rangkaian, seperti rangkaian ekivalen seri dan paralel, pembagi arus, pembagi tegangan, sesungguhnya merupakan konsekuensi hukum Kirchhoff. Karena hukum ini berlaku di kawasan s maka kaidahkaidah rangkaian juga harus berlaku di kawasan s. Dengan mudah kita akan mendapatkan impedansi ekivalen maupun admitansi ekivalen Z ekiv seri =

∑ Zk ;

Yekiv paralel =

∑ Yk

(4.9)

Demikian pula dengan pembagi arus dan pembagi tegangan.

I k ( s) =

Yk Yekiv

Itotal ( s) ; Vk ( s ) =

paralel

Zk Z ekiv

Vtotal ( s) (4.10) seri

CO+TOH-4.2: Carilah VC (s) pada rangkaian impedansi seri RLC berikut ini.

Vin (s)

+ −

s

3

2 s

+ VC (s) −

Penyelesaian : Kaidah pembagi tegangan pada rangkaian ini memberikan

VR ( s ) =

2/ s 2 3+ s + s

Vin ( s) =

2 2

s + 3s + 2

Vin ( s) =

2 Vin ( s) ( s + 1)( s + 2)

Pemahaman : Jika Vin(s) = 10/s maka

6


VC ( s) =

k 20 k k = 1+ 2 + 3 s( s + 1)(s + 2) s s + 1 s + 2

20 20 = 10 ; k 2 = = −20 ; ( s + 1)( s + 2) s = 0 s ( s + 2) s = −1 20 = 10 k3 = s( s + 1) s = −2

→ k1 =

⇒ VC ( s) = ⇒

10 − 20 10 + + s s +1 s + 2

vC (t ) = 10 − 20e −t + 10e − 2t

Inilah tanggapan rangkaian rangkaian RLC seri (dengan R = 3Ω , L = 1H, C = 0,5 F) dengan masukan sinyal anak tangga yang amplitudonya 10 V.

4.7. Teorema Rangkaian 4.7.1. Prinsip Proporsionalitas Prinsip proporsionalitas merupakan pernyataan langsung dari sifat rangkaian linier. Di kawasan t, pada rangkaian dengan elemen-elemen resistor, sifat ini dinyatakan oleh hubungan

y (t ) = Kx(t ) dengan y(t) dan x(t) adalah keluaran dan masukan dan K adalah suatu konstanta yang ditentukan oleh nilai-nilai resistor yang terlibat. Transformasi Laplace dari kedua ruas hubungan diatas akan memberikan

Y ( s ) = KX ( s ) dengan Y(s) dan X(s) adalah sinyal keluaran dan masukan di kawasan s. Untuk rangkaian impedansi,

Y (s) = K s X (s)

(4.11)

Perbedaan antara prinsip proporsionalitas pada rangkaian-rangkaian resistor dengan rangkaian impedansi terletak pada faktor Ks. Dalam rangkaian impedansi nilai Ks, merupakan fungsi rasional dalam s. Sebagai contoh kita lihat rangkaian seri RLC dengan masukan Vin(s). Jika tegangan keluaran adalah tegangan pada resistor VR (s), maka 7

VR ( s) =

R   RCs Vin ( s) =  Vin ( s) 2 R + sL + (1 / sC )  LCs + RCs + 1

Besaran yang berada dalam tanda kurung adalah faktor proporsionalitas. Faktor ini, yang merupakan fungsi rasional dalam s, memberikan hubungan antara masukan dan keluaran dan disebut fungsi jaringan.

4.7.2. Prinsip Superposisi Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier besar sinyal keluaran dapat dituliskan sebagai

yo (t ) = K1x1 (t ) + K 2 x2 (t ) + K3 x3 (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ dengan x1, x2 , x3 … adalah sinyal masukan dan K1 , K2 , K3 … adalah konstanta proporsionalitas yang besarnya tergantung dari nilai-nilai elemen dalam rangkaian. Sifat linier dari transformasi Laplace menjamin bahwa prinsip superposisi berlaku pula untuk rangkaian linier di kawasan s dengan perbedaan bahwa konstanta proporsionalitas berubah menjadi fungsi rasional dalam s dan sinyal-sinyal dinyatakan dalam kawasan s. Yo ( s ) = K s1 X1 ( s ) + K s 2 X 2 ( s ) + K s3 X 3 ( s ) + ⋅ ⋅ ⋅

(4.12)

4.7.3. Teorema Thévenin dan +orton Konsep mengenai teorema Thévenin dan Norton pada rangkaianrangkaian impedansi, sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian dengan elemen-elemen resistor. Cara mencari rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton sama seperti dalam rangkaian resistor, hanya di sini kita mempunyai impedansi ekivalen Thévenin, ZT , dan admitansi ekivalen Norton, Y) , dengan hubungan sbb:

VT ( s) = Vht ( s) = I ) ( s) ZT ; I ) ( s) = I hs ( s) = ZT =

8

VT ( s) ZT

1 V ( s) = T Y) I ) ( s)


(4.13)

CO+TOH-4.3: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian impedansi berikut ini.

s s 2 + ω2

+ −

R

1 sC

B E B A N

Penyelesaian :

VT ( s) = Vht ( s) =

s s / RC 1 / sC = R + (1 / sC ) s 2 + ω2 ( s + 1 / RC )( s 2 + ω2 )

I ) ( s) = I hs ( s) =

s 1 2 R s + ω2

ZT = R || (1 / RC ) =

VT

+ −

R / sC 1 = R + 1 / sC C ( s + 1 / RC ) ZT

B E B A N

4.8. Metoda-Metoda Analisis Metoda-metoda analisi, baik metoda dasar (metoda reduksi rangkaian, unit output, superposisi, rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton) maupun metoda umum (metoda tegangan simpul, arus mesh) dapat kita gunakan untuk analisis di kawasan s. Hal ini mudah dipahami mengingat hukum-hukum, kaidah-kaidah maupun teorema rangkaian yang berlaku di kawasan t berlaku pula di kawasan s. Berikut ini kita akan melihat contoh-contoh penggunaan metoda analisis tersebut di kawasan s.

4.8.1. Metoda Unit Output CO+TOH-4.4: Dengan menggunakan metoda unit output, carilah V2(s) pada rangkaian impedansi di bawah ini.

9

IL (s) sL + 1/sC V2(s) −

R IC (s)

IR (s)

I1(s)

Penyelesaian :

Misalkan : V2 ( s ) = 1 → VC ( s ) = V2 ( s ) = 1

→

→ I L ( s ) = I C ( s ) = sC

→

I C ( s) =

VL ( s ) = sL × sC = LCs 2

→ VR ( s) = VL ( s) + VC ( s) = LCs 2 + 1 ⇒ I1* ( s) = I R ( s) + I L ( s) = ⇒ Ks =

1 I1* ( s)

=

1 = sC 1 / sC

→

I R (s) =

LCs 2 + 1 R

LCs 2 + 1 LCs 2 + RCs + 1 + sC = R R

R 2

LCs + RCs + 1

⇒ V2 ( s) = K s I1 ( s) =

R 2

LCs + RCs + 1

I1 ( s)

4.8.2. Metoda Superposisi CO+TOH-4.5: Dengan menggunakan metoda superposisi, carilah tegangan induktor vo (t) + R pada rangkaian + R Bsinβt Au(t) vo L berikut ini. − − Penyelesaian : Rangkaian kita transformasikan ke kawasan s menjadi

A s

+ −

R sL

+ Vo −

R

Bβ 2

s + β2

Jika sumber arus dimatikan, maka rangkaian menjadi : 10


+ −

A s

+ Vo1 −

R sL

R

RLs R + sL RLs A L A/ 2 A= ⇒ Vo1 ( s ) = R + sL = RLs s R + 2sL s + R / 2L R+ R + sL → Z L // R =

Jika sumber tegangan dimatikan, rangkaian menjadi : + Vo2 −

R sL

Bβ

R 2

s + β2

1 / sL Bβ × 1 1 1 s 2 + β2 + + R R sL sRL Bβ RBβ s = = × 2sL + R s 2 + β 2 2 ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )

Vo2 ( s ) = sL × I L ( s ) = sL ×

⇒ Vo ( s) = Vo1 ( s ) + Vo2 ( s ) = → k1 = → k2 =

k1 k k  A/ 2 RBβ  + + 2 + 3   2  s + R / 2 L s + jβ s − jβ  s + R / 2L s

2

2

(s + β )

=− s = − R / 2L

s ( s + R / 2 L)(s − jβ)

( R / 2 L) ( R / 2 L) 2 + β 2 =

s = − jβ

1 = R / L − j 2β

1 2

( R / L) + 4β

e jθ , 2

 + 2β  θ = tan −1   R/L → k3 =

1 2

( R / L) + 4β

e − jθ 2

11

R  − t ( R / 2 L)  L 2 e − R A − 2 L t RBβ  ( R / 2 L) 2 + β 2 ⇒ vo (t ) = e +  2 2  1 e − j (βt − θ) + e j (βt − θ) + 2 2 ( R / L) + 4β 

(

R

A R 2 Bβ  − 2 L t + ⇒ vo (t ) =  − e 2  2 R + 4 Lβ 2 

RBβ ( R / L) 2 + 4β 2

      

)

cos(βt − θ)

4.8.3. Metoda Reduksi Rangkaian CO+TOH-4.6: Dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian selesaikanlah persoalan pada contoh 4.5. Penyelesaian : Rangkaian yang ditransformasikan ke kawasan s kita gambar lagi seperti di samping ini.

+ −

R

+ Vo −

A sL s

R

Bβ s 2 + β2

Jika sumber tegangan + Bβ ditransformasikan A R Vo R sL 2 menjadi sumber sR s + β2 − arus, kita mendapatkan rangkaian dengan dua sumber arus dan dua resistor diparalel. Rangkaian tersebut dapat disederhanakan menjadi rangkaian dengan satu sumber arus, dan kemudian menjadi rangkaian dengan sumber tegangan.

sL

12

+ R/2 Vo −

R/2

+ −

sL

+ Vo −

R  Bβ A  + 2  s 2 + β2 sR 


Bβ s 2 + β2

+

A sR

Dari rangkaian terakhir ini kita diperoleh :

sL R  Bβ A  ×  + 2 2  sL + R / 2 2  s + β sR  A/ 2 ( RBβ / 2) s Vo ( s ) = + s + R / 2 L ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )

Vo ( s) =

Hasil ini sama dengan apa yang telah kita peroleh dengan metoda superposisi pada contoh 4.5. Selanjutnya transformasi balik ke kawasan t dilakukan sebagaimana telah dilakukan pada contoh 4.5.

4.8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin CO+TOH-4.7: Dengan menggunakan rangkaian ekivalen Thévenin selesaikanlah persoalan pada contoh 4.5. R + Bβ + A R Vo Penyelesaian : sL 2 − s s + β2 − Kita akan menggunakan gabungan metoda superposisi dengan rangkaian ekivalen R + Bβ + A R Thévenin. Vht 2 − s s + β2 − Tegangan hubungan terbuka pada waktu induktor dilepas, adalah jumlah tegangan yang diberikan oleh sumber tegangan dan sumber arus secara terpisah, yaitu

R A Bβ 1 × + R× × R+R s 2 s 2 + β2 RBβ / 2

VT ( s) = Vht ( s) =

A/ 2 + s s 2 + β2 Dilihat dari terminal induktor, impedansi ZT hanyalah berupa dua resistor paralel, yaitu =

ZT =

R 2

+ −

ZT VT

sL

+ Vo −

13

Dengan demikian maka tegangan induktor menjadi

Vo ( s ) = =

 A / 2 RBβ / 2  sL sL   VT ( s ) = + sL + ZT sL + R / 2  s s 2 + β2  A/ 2 ( RBβ / 2) s + s + R / 2 L ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )

Persamaan ini telah kita peroleh sebelumnya, baik dengan metoda superposisi maupun metoda reduksi rangkaian.

4.8.5. Metoda Tegangan Simpul CO+TOH 4.8: Selesaikan persoalan pada contoh 4.5. dengan menggunakan metoda A tegangan simpul. R + Bβ + A R Penyelesaian : Vo sL 2 − s s + β2 − Dengan referensi B tegangan seperti terlihat pada gambar di atas, persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah:

Bβ 1  1 A 1 1 Vo ( s ) + + − 2 =0 − R R sL R s   s + β2 Dari persamaan tersebut di atas kita peroleh

Bβ  2 Ls + R  A + Vo ( s) = 2  RLs  Rs s + β 2 Vo ( s) = =

atau

RLs  A Bβ  + 2 Ls + R  Rs s 2 + β 2  ( RBβ / 2) s A/ 2 + s + R / 2 L ( s + R / 2 L)(s 2 + β 2 )

Hasil yang kita peroleh sama seperti sebelumnya.

Pemahaman : Dalam analisis di kawasan s, metoda tegangan simpul untuk rangkaian dengan beberapa sumber yang mempunyai frekuensi 14


berbeda, dapat langsung digunakan. Hal ini sangat berbeda dari analisis di kawasan fasor, dimana kita tidak dapat melakukan superposisi fasor dari sumber-sumber yang mempunyai frekuensi berbeda, karena pengertian fasor diturunkan dengan ketentuan bahwa frekuensi sama untuk seluruh system.

4.8.6. Metoda Arus Mesh CO+TOH-4.9: Pada rangkaian berikut ini tidak terdapat simpanan energi awal. Gunakan metoda arus mesh untuk menghitung i(t). i(t)

10mH 10 u(t)

10kΩ 10kΩ

+ −

1µF

Penyelesaian : Transformasi rangkaian ke kawasan s adalah seperti gambar berikut ini. Kita I(s) 0.01s tetapkan 104 4 10 10 + referensi 106 V1( s ) = I I A B − s arus mesh s IA dan IB. Persamaan arus mesh dari kedua mesh adalah

(

)

10 + I A ( s) 0.01s + 104 − I B ( s) × 104 = 0 s  106  I B ( s)104 + 104 + − I A ( s) × 104 = 0   s  

−

Dari persamaan kedua kita peroleh:

→ I A ( s) =

(2s + 10 ) I 2

s

B (s)

Sehingga:

15

)(

(

)

10 2 s + 10 2 I B ( s ) − I B ( s ) × 10 4 = 0 + 0.01s + 10 4 s s 10 ⇒ I ( s ) = I B ( s) = 0,02 s 2 + 2 × 10 4 s + s + 10 6 − 10 4 s 10 10 = = 2 4 6 s − α ( )(s − β) 0,02 s + 10 s + 10

⇒−

dengan α = β=

− 10 4 − 108 − 8 × 10 4 ≈ −500000 0,04

⇒ I (s) = k1 =

10 k1 k2 = + ( s + 100)( s + 500000) s + 100 s + 50000

10 s + 500000

[

⇒ i(t ) = 0,02 e

16

− 10 4 + 108 − 8 × 10 4 ≈ −100 ; 0,04

= 2 × 10 −5 ; k2 =

s = −100 −100t − 500000t

−e

] mA

10 s + 100

= −2 × 10 −5 s = −500000


Soal-Soal 1. Sebuah resistor 2 kΩ dihubungkan seri dengan sebuah induktor 2 H; kemudian pada rangkaian ini diterapkan sinyal tegangan v(t)=10u(t) V. Bagaimanakah bentuk tegangan pada induktor dan pada resistor ? Bagaimanakah tegangannya setelah keadaan mantap tercapai? 2. Ulangi soal 1 jika tegangan yang diterapkan v(t) = [20sin300t] u(t) V. 3. Ulangi soal 1 jika tegangan yang diterapkan v(t) = [20cos300t] u(t) V. 4. Rangkaian seri resistor dan induktor soal 1 diparalelkan kapasitor 0.5 µF. Jika kemudian pada rangkaian ini diterapkan tegangan v(s)=10u(t) V bagaimanakah bentuk arus induktor ? Bagaimanakah arus tersebut setelah keadaan mantap tercapai? 5. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v(t)=[20sin300t]u(t) V. 6. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v(t)=[20cos300t]u(t) V. 7. Sebuah kapasitor 2 pF diserikan dengan induktor 0,5 H dan pada hubungan seri ini diparalelkan resistor 5 kΩ. Jika kemudian pada hubungan seri-paralel ini diterapkan sinyal tegangan v(t)=10u(t) V, bagaimanakah bentuk tegangan kapasitor ? 8. Ulangi soal 7 dengan tegangan masukan v(t) = [20sin300t] u(t) V. 9. Sebuah resistor 100 Ω diparalelkan dengan induktor 10 mH dan pada hubungan paralel ini diserikan kapasitor 0,25 µF. Jika kemudian pada hubungan seri-paralel ini diterapkan tegangan v(t) = 10u(t) V, carilah bentuk tegangan kapasitor. 10. Ulangi soal 9 dengan tegangan masukan v(t) = [20sin300t] u(t) V. 11. Carilah tanggapan status nol (tidak ada simpanan energi awal pada rangkaian) dari iL pada rangkaian berikut jika vs=10u(t) V.

+ −

1kΩ vs 1kΩ

iL 0.1H

17

12. Carilah tanggapan status nol dari vC dan iL pada rangkaian berikut jika vs=100u(t) V. 5kΩ + iL vs vC 50mH 0,05µF −

+ −

13. Carilah tanggapan status nol dari vC dan iL pada rangkaian berikut jika vs=[10cos20000t]u(t) V. 500Ω + iL vs vC 50mH 0,05µF −

+ −

14. Carilah i pada rangkaian berikut, jika is=100u(t) mA dan tegangan awal kapasitor adalah vC (0) = 10 V.

is

0,05µF i 5kΩ

5kΩ

15. Ulangi soal 14 untuk is=[100cos400t] u(t) mA. 16. Carilah vo pada rangkaian berikut, jika is=100u(t) mA dan arus awal induktor adalah iL (0) = 10 mA. 5kΩ is

0,1H

5kΩ

+ vo −

17. Ulangi soal 16 untuk is = [100cos400t] u(t) mA. 18. Carilah tanggapan status nol dari vL pada rangkaian berikut, jika vs= 10u(t) V , is = [10sin400t]u(t) mA.

+ −

18

0,5kΩ + vL vs − 0,1H 0,5kΩ

is


19. Carilah tanggapan status nol dari v2 pada rangkaian berikut jika vs = [10cos(900t+30o)] u(t) V. 10mH + −

v1

+ v2 −

10kΩ 1µF 10kΩ

20. Ulangi soal 17 jika tegangan awal kapasitor 5 V sedangkan arus awal induktor nol. 21. Pada rangkaian berikut carilah tanggapan status nol dari tegangan keluaran vo(t) jika tegangan masukan vs(t)=10u(t) mV. 10kΩ vs

+ −

i 10kΩ 100i

1kΩ

0,1µF

+ vo −

100kΩ

22. Pada rangkaian berikut carilah tanggapan status nol dari tegangan keluaran vo(t) jika tegangan masukan vs(t)=10u(t) mV. 10kΩ vs

+ −

i

2pF

+ vo −

10kΩ 50i

20pF 1kΩ

23. Untuk rangkaian berikut, tentukanlah vo dinyatakan dalam vin. C2

R2

R1

+ −

+ vin C1

+ vo

19

10kΩ 10kΩ + vin

− +

1µF

C1

R2

R1 + vin

+ vo

C2

− +

+ vo

R2

i2

i1

26. Untuk rangkaian transformator linier berikut ini tentukanlah i1 dan i2 .

M + −

50Ω

L1

L2

50u(t) V

80Ω

L1=0,75H L2=1H M = 0,5H

27. Pada hubungan beban dengan transformator berikut ini, nyatakanlah impedansi masukan Zin sebagai fungsi dari M.

M L1

Zin

L2

50Ω

L1=20mH L2=2mH

28. Berapakah M agar Zin pada soal 27 menjadi Z in =

0,02s(0,2s + 25000) s + 25000

29. Jika tegangan masukan pada transformator soal 28 adalah vin = 10 cos 300t V , tentukan arus pada beban 50 Ω.

20


Daftar Pustaka 1.

Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB 2002, ISBN 979-9299-54-3. 2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output Untuk Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”, Monograf, 2005, limited publication. 3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, Catatan Kuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007. 4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008. 5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990, ISBN 0-07-451899-2. 6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems” ; John Wiley & Son Inc, 5th ed, 1992. 7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “Electric Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2nd ed, 1992. 8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-Hall International, Inc., 1992. 9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design of Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994. 10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”, McGraw-Hill, 1999.

21

Daftar +otasi v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu. V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah. : tegangan, nilai rata-rata. Vrr : tegangan, nilai efektif. Vrms : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak. Vmaks V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor. : nilai mutlak fasor tegangan.

V

V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s. i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu. I : arus dengan nilai tertentu, arus searah. : arus, nilai rata-rata. Irr : arus, nilai efektif. Irms Imaks : arus, nilai maksimum, nilai puncak. I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor. I : nilai mutlak fasor arus. I(s) p atau p(t) prr S |S| P Q q atau q(t) w R L C Z Y TV (s) TI (s) TY (s) TZ (s) µ β r g

22

: arus fungsi s dalam analisis di kawasan s. : daya sebagai fungsi waktu. : daya, nilai rata-rata. : daya kompleks. : daya kompleks, nilai mutlak. : daya nyata. : daya reaktif. : muatan, fungsi waktu. : energi. : resistor; resistansi. : induktor; induktansi. : kapasitor; kapasitansi. : impedansi. : admitansi. : fungsi alih tegangan. : fungsi alih arus. : admitansi alih. : impedansi alih. : gain tegangan. : gain arus. : resistansi alih, transresistance. : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.


23

Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2

Recommend Documents