ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA Ningrum Astriawati Program Studi Teknika, Akademi Maritim Yogyakarta
[email protected]
ABSTRAK.
Suatu graf dapat direpresentasikan sebagai aljabar lintasan dan jika graf tersebut diperluas dapat didefinisikan suatu aljabar lintasan Leavitt, yang pada kenyataannya merupakan Z-aljabar bertingkat. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai sifat semiprima pada aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt yang berlaku dalam sebarang graf. Serta menyelidiki kaitan antara semiprima pada aljabar lintasan dengan semiprima pada aljabar lintasan Leavitt. KATA KUNCI: Graf Berarah, Aljabar Lintasan, Aljabar Lintasan Leavitt, Aljabar Linta-san Leavitt Semiprima.
pangan
1. PENDAHULUAN Graf merupakan objek kombinato-
K
dan
graf
E
didefinisikan suatu K-aljabar
dapat yang
rial yang terdiri atas dua himpunan
disebut dengan aljabar lintasan (path
yaitu himpunan titik (vertex) dan
algebra) atas lapangan K pada E yang
himpunan garis (edge) yang dilengkapi
memiliki
dengan
pemetaan. Pemetaan
lintasan yang ada pada graf tersebut.
disini adalah pemetaan dari himpunan
Dengan kata lain, aljabar lintasan
garis ke himpunan titik, yang masing-
merupakan
masing daerah hasilnya disebut sebagai
dengan basis himpunan semua lintasan
sumber/asal (source) dan ujung/target
yang ada pada graf. Dalam hal ini graf
(range) dari suatu garis dalam graf.
bukan sebagai objek kombinatorial
Me-nurut Assem (2006)[1] graf seperti
lagi, akan tetapi graf dipandang secara
ini
aljabar.
suatu
disebut
sebagai
graf
berarah(quiver).
himpunan
aljabar
atas
semua
lapangan
Selain itu graf dapat diperluas
Selanjutnya mendefinisikan sebagai
basis
operasi
operasi
dengan
sehi-ngga terbentuk graf baru yang
perkalian
disebut sebaai graf perluasan (extended
pada
graf). Ide perluasan ini dilakukan oleh
himpunan semua lintasan dalam graf,
Leavitt yaitu dengan menambahkan
himpunan
struktur
garis yang berlawanan arah dengan
semigrup. Sehingga untuk sebarang la-
garis nyata (real edge) pada graf.
ini
kompo-sisi
mempunyai
35
Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati Setiap garis nyata pada graf akan
2. METODE PENELITIAN
berpasangan dengan garis baru yang dibentuk,
yang
kemudian
disebut
Pertama-tama sebagai
motivasi
untuk mempelajari aljabar lintasan
sebagai garis hantu (ghost edge).
Leavitt
Aljabar lintasan yang diperumum oleh
pengertian dasar mengenai ring prima
Leavitt
dan semiprima. Untuk mempelajarinya
pada
graf
perluasan
dan
semiprima
dibutuhkan
memenuhi relasi Cuntz-Krieger disebut
digu-nakan
buku
dengan aljabar lintasan Leavitt (Leavitt
(1984)[11].
Selanjutnya
path algebra). Dari sini juga dapat
mempelajari aljabar lintasan dan aljabar
dikatakan
lintasan
bahwa
aljabar
lintasan
Hungerfold
Leavitt
untuk
diperlukan
merupakan sub-aljabar dari aljabar
pengetahuan tentang aljabar secara
lintasan
umum.
Leavitt
yang
elemennya
Untuk
mempelajarinya
dibangun dari lintasan-lintasan yang
digunakan buku Fraleigh (2000)[4],
hanya memuat garis nyata.
Wisbauer
Aljabar
lintasan
dan
Adkins
aljabar
(1992)[12]. Dalam pembahasan lebih
lintasan Leavitt mempunyai beberapa
lanjut, aljabar lintasan dan aljabar
sifat yang sama, diantaranya keduanya
lintasan Leavitt merupakan aljabar
merupakan
dan
bertingkat. Untuk itu diperlukan juga
merupakan aljabar bertingkat. Lebih
pengetahuan tentang aljabar bertingkat
khusus
yang
K-aljabar
aljabar
dan
(1996)[10]
asosiatif
lintasan
Leavitt
dikaji dalam buku Dummit
merupakan Z-aljabar bertingkat. Akan
(2004)[3], Wisbauer (1991)[10] dan
tetapi, aljabar lintasan dan aljabar
Rotman (2002)[9]. Dalam tulisan ini
lintasan Leavitt juga mempunyai bebe-
akan dibahas juga mengenai elemen-
rapa perbedaan. Salah satu diantaranya
elemen dari aljabar yang mempunyai
adalah tentang sifat semiprima yang
sifat
melekat
idempoten,
pada
keduanya.
Untuk
khusus,
antara idempoten
lain
elemen
ortogonal,
sebarang graf E aljabar lintasan Leavitt
primitif, elemen satuan, dan elemen
pada E adalah semiprima. Tetapi hal
unit lokal. Pengertian dari elemen-
ini tidak selalu berlaku untuk aljabar
elemen dengan sifat khusus tersebut
lintasan. Di dalam tulisan ini juga
dipelajari dari buku Dummit (2004)[3]
dibahas mengenai sokel pada ring yang
dan Assem (2006)[1].
berkaitan erat dengan sifat semiprima pada aljabar lintasan Leavitt.
Graf sebagai representasi aljabar dan sifat-sifatnya yang berhubungan dengan sifat grafnya dikaji dalam
36
Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 Assem (2006)[1]. Himpunan lintasan
1 titik-titik dan anggota-anggota dari E
dalam suatu
graf,
dinamakan garis-garis.
merupakan
semigrup
secara struktur
perkalian. Hal ini
terhadap Graf E
dipelajari dari
Fraleigh
(2000)[4].
mengenai
graf
Kemudian
perluasan
yang
dikatakan row-finite
graph (graf baris-berhingga) jika s 1 (v ) himpunan
berhingga
untuk
setiap
0
dilakukan Leavitt banyak dikaji dalam
v E . Dari sini tampak bahwa jika
paper yang disusun oleh Abrams dan
himpunan garis E 0 berhingga maka
Aranda Pino (2005,2006)[8]. Selain itu Aranda Pino dan Pardo (2008)[7] juga membahas
aljabar
lintasan Leavitt
sebagai aljabar bertingkat. Pembahasan lebih lanjut mengenai jumlahan dari ideal kiri minimal atau
himpunan
E1
juga
berhingga.
Selanjutnya dikatakan graf E berhingga jika E 0 berhingga. Jadi, yang dimaksud graf berhingga dalam paper ini adalah row-finite graph.
yang lebih dikenal dengan sokel, yang
Definisi 3.1.2. Sebuah lintasan (path)
dipelajari oleh Dangerfield(2011)[2],
dalam graf E adalah barisan garis-
Martin dan Aranda Pino (2008)[6],
garis e1e2 ...en sedemikian sehingga
Siles Molina (2008)[5]. Sedangkan
r (ei ) s(ei 1 ) untuk i 1, 2,..., n -1 .
pembaha-san
mengenai
sifat-sifat
semiprima pada aljabar lintasan dan aljabar lintasan
Leavitt terdapat di
Selanjut-nya source
s ( ) s (e1 ) dinamakan
(sumber/pangkal)
dari
,
paper Aranda Pino (2008)[5].
r ( ) r (en ) dinamakan
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
(bayangan/ujung) dari dan n adalah
3.1 ALJABAR LINTASAN
Panjang lintasan dari , diberi simbol
Dalam
bagian
ini
akan
range
l( ) n .
diperkenalkan mengenai aljabar lintasan, Dinotasikan 0 sebagai himpu-
beserta contoh dan sifat-sifatnya. Definisi
3.1.1.
Graf
E ( E 0 , E1 , r , s) terdiri
atas
dua
himpunan-himpunan berhingga E 0 , E1 dan
fungsi-fungsi
Anggota-anggota dari
r , s : E1 E 0 .
nan dari semua titik-titik dengan 0
{s( e1 ), r (ei ); i 1, 2,..., n}. Himpunan dari semua lintasan-lintasan dalam graf
E dinotasikan sebagai E * .
E 0 dinamakan 37
Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati Misalkan ada suatu graf berarah
s (e1 ) u1 , r (e1 ) u4 , s (e2 ) u1 ,
E ( E , E , r , s) dan lintasan
r (e2 ) u2 , dan seterusnya.
e1e2 ...en . Jika s ( ) s (e1 ) v dan
ada-lah sink, karena u 4 s ( e), e E 1 .
r ( ) r (en ) w untuk setiap v E 0 ,
Contoh-contoh lintasan (path) dari graf
maka v disebut emit (memancarkan)
di
0
1
dan w menerima . Titik v disebut tenggelam
(sink)
jika
v
tidak
memancarkan sebarang garis, atau bisa
Titik u4
atas
adalah
u1u2u3 , u1u4 , e1 , e2 e3 , e4 , e4 e4 , e2 e4 e4 dan seterusnya, banyak
sejumlah
lintasan.
tak
berhingga
Untuk
lintasan
e2 e3e4 3 maka 0 {u1 , u 2 , u3 } .
dikatakan:
(v tenggelam v s(e), e E 1 ). Setiap
titik
v E0,
Di dalam juga didefinisikan suatu perkalian dua lintasan sebagai berikut.
diasosiasikan dengan lintasan dengan panjang 0, sedangkan sebarang garis
Definisi 3.1.3. Diberikan Graf berarah
e E1 , diasosiasikan dengan lintasan
E ( E 0 , E1 , r , s )
dengan panjang 1. Untuk selanjutnya
e1e2 .....em , v f1 f 2 ..... f n . Operasi
yang dimaksud sebarang graf dalam
perkalian
paper ini adalah row-finite graph.
e1e2 .....em
Berikut ini adalah contoh graf yang dimaksud
u2
u3 e4
e2 u1
sebarang
dua
dan
lintasan
lintasan
v f1 f 2 ..... f n
Didefinisikan sebagai v e1e2 .....em
f1 f 2 ..... f n
e3
dan
jika r ( ) s ( v )
dan
v 0 jika r ( ) s (v ) . Dari definisi perkalian inilah
e1
u4
Graf E ( E 0 , E1 , r , s) di atas terdiri dari himpunan:
dapat digunakan untuk mendefinisikan aljabar lintasan Leavitt. Dalam mendefinisikan aljabar lintasan dari suatu graf
E diperlukan operasi perkalian lintasan 0
1) E {u1 , u 2 , u3 , u 4 }
seperti definisi diatas, sebagai berikut:
2) E 1 {e1 , e2 , e3 , e4 }
Definisi 3.1.4. Diberikan lapangan K
Dapat dilihat bahwa
lintasan pada graf E atas lapangan K
38
dan graf
E . Didefinisikan aljabar
Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 sebagai K -aljabar yang bebas (free) dalam
KE dengan
lintasan
basis
himpunan lintasan-lintasan dalam E dan
memenuhi
syarat
:
baru
untuk ∀vi ,vj∈E dan ei =ei r(ei)=s(ei ) ei
KE {
ax x, ax K }, dimana graf E
graf
yang
ditulis
E ( E 0 , E1 ( E1 )*, r ', s ') dengan
vi vj= ijvi
0
dengan
(extended graphof E ) sebagai
( E 1 )* ei* ei E 1
dan fungsi r ' dan
s ' yang didefinisikan :
r'
E1
r, s '
E1
s, r '(ei* ) s (ei ),
xE
*
dapat
dipandang
sebagai
semigrup
dan s ' ( ei ) r (ei ) Selanjutnya diberikan contoh
multiplikasi, sehingga KE merupakan
untuk memperjelas perluasan pada graf,
K -aljabar.
sebagai berikut.
Contoh graf yang merupakan
Contoh 3.2.2. Diberikan perluasan graf
aljabar lintasan adalah sebagai berikut
u2
sebagai berikut
e2 u3
e1 u1
f
Gambar graf diatas adalah graf yang
v
terdiri dari himpunan-himpunan
E 0 {v1 , v2 , ..., vn } , E1 {e1 , e2 ,..., en 1}
3.2 ALJABAR LINTASAN LEAVITT
E * {e *, e *,..., e 1
1
Aljabar lintasan pada graf E , belumlah cukup untuk mendefinisikan
disebut
2
garis
n 1
*}, yang
nyata
adalah
{e1 , e2 ,..., en1} , sedangkan garis-garis
aljabar lintasan Leavitt. Definisi aljabar lintasan Leavitt membutuhkan graf E yang diperluas atau perluasan graf (extended graph), yang didefinisikan sebagai berikut:
hantu adalah {e1*, e2 *, ..., en 1*} dengan
s(e1 ) v1 r (e1 )*, s(e2 ) v2 r (e2 )* dan seterusnya. Selanjutnya akan diberikan defi-
Definisi 3.2.1. Diberikan graf
E,
didefinisikan
E
perluasan
graf
nisi aljabar lintasan Leavitt beserta
39
Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati beberapa contoh sebagai ilustrasi untuk mengupas sifat-sifatnya
v e
Definisi 3.2.3. Diberikan lapangan K dan graf berhingga E ( E row-finite
Lemma 3.2.5. Setiap monomial dalam
graph). Aljabar lintasan Leavitt dari E
aljabar lintasan Leavitt L ( E ) berbentuk
dengan koefisien dalam lapangan K
:
didefinisikan sebagai aljabar lintasan
(i) kv dengan k K dan v E 0 ; atau
pada graf perluasan E , yang memenuhi relasi : ((CK1))
e* f ef r (e )
*
k K ; , 0, 0; eis E1 dan eit ( E1 )*
untuk setiap
e, f E1 ((CK2))
v
eE ; s ( e )v 1
ee*
*
(ii) kei1 ei e j1 e j dimana
untuk 0 s ,0 t untuk Lemma 3.2.6. Diberikan graf
0
E,
setiap v E dengan v bukan
lapangan K danaljabar lintasan Leavitt
sink.
L( E )
Aljabar lintasan Leavitt ini,
atas
lapangan
K . . L( E )
merupakan Z-aljabar bertingkat (Z-
selanjutnya dinotasikan dengan LK ( E)
graded algebra), dengan derajat yang
atau lebih umum dengan L ( E ) . Kondisi
dinyatakan oleh:
((CK1)) dan ((CK2)) dinamakan relasi
deg(v ) 0 untuk setiap v E 0 ; deg(e ) 1
Cuntz-Kreager . Secara khusus, kondisi
dan deg(e*) 1 untuk setiap e E 1. Hal ini berarti bahwa L ( E )
((CK2)) adalah syarat Cuntz-Kreager pada v yang bukan sink, artinya ada
e E 1 sedemikian sehingga v s ( e ).
nZ
L( E ) n ,
dimana
Dengan kata lain, jika v sinkmakatidak
L( E )0 KE A0
memiliki relasi ((CK2)) pada v .
untuk n 0 ,dengan
Contoh 3.2.4. Diberikan graf E yang
An kei1 ei e*j1 e*j : 0,
dan
L( E )n An
terdiri atas E {v} , E {e} , artinya
eis E1 , e*jt E 1*, k K , n
graf yang terdiri dari satu titik dan satu
atau ekuivalen
0
garis,
sebagaimana
1
graf
yang
diperlihatkan dalam gambar berikut:
L( E ) n span{ pq * p, q E*, l ( p) l (q) n, n Z }.
40
Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 3.3.
SIFAT
SEMIPRIMA
ALJA-BAR
PADA
LINTASAN
LEAVITT
0 K L maka
Sedangkan ideal
Aljabar lintasan dan aljabar lin-
K 0 atau K L .
himpunan
kanan
dikatakan
L
minimal
dari
R jika
L 0 dan untuk setiap K ideal
tasan Leavitt mempunyai beberapa sifat
kanan di
yang
K 0 atau K L . Jika memenuhi
sama,
merupakan
diantaranya K-aljabar
keduanya
asosiatif
dan
merupakan aljabar bertingkat. Lebih khusus
aljabar
ideal kiri minimal dan ideal kanan minimal disebut sebagai ideal minimal.
Leavitt
Dari definisi diatas jelas bahwa
merupakan Z-aljabar bertingkat. Akan
suatu ideal dikatakan ideal minimal jika
tetapi, Aljabar lintasan dan aljabar
ideal tersebut bukan ideal nol dan tidak
lintasan
Leavittjuga
memuat ideal non-trivial selain dirinya
beberapa
perbedaan.
diantaranya
lintasan
R , jika 0 K L maka
adalah
mempunyai Salah
satu
sendiri. Untuk lebih jelasnya, diberikan
tentang
sifat
contoh sebagai berikut.
semiprima yang melekat pada keduanya.
Contoh 3.3a.2. Jika ring R merupakan
Untuk sebarang graf E aljabar lintasan
lapangan, maka ideal minimal dari ring
Leavitt pada E adalah semiprima.Tetapi
R adalah
hal ini tidak selalu berlaku untuk aljabar
dikarenakan ideal-ideal di lapangan R
lintasan. Sebelum membahas sifat tersebut, terlebih dahulu dibahas mengenai teori sokel pada ring yang berkaitan erat dengan sifat semiprima pada aljabar lintasan Leavitt.
Dalam mempelajari sokel pada ring dibutuhkan pengertian mengenai minimal
yang
sendiri.
Hal
ini
{0}dan R itu sendiri, dengan
ideal nontrivialnya adalah R . Selanjutnya didefinisikan tentang jumlahan dari keluarga ideal kiri atau ideal kanan minimal, sebagai berikut.
3.3a. SOKEL PADA RING
ideal
hanya
R itu
didefinisikan
Definisi 3.3a.3. Diberikan ring
R.
Sokel kiri dari R (dinotasikan sebagai
Socl ( R) )
adalah
jumlahan
dari
keluarga ideal kiri minimal di R (ideal
sebagai berikut.
nol jika R bukan ideal kiri minimal). Definisi 3.3a.1. Diberikan ring Himpunan
L
R.
dikatakan ideal kiri
minimal dari R jika L 0 dan untuk setiap
K ideal
kiri
di
R,
Sokel
kanan dari
R
(dinotasikan
sebagai Socr ( R) ) adalah jumlahan dari keluarga idealkanan minimal di R
jika 41
Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati (ideal nol jika R bukan ideal kanan minimal).. Dari
s Socl ( R )
sebuah lintasan sehingga
definisi maka
diatas, dapat
' KE sedemikian
s( ') r ( ) dan s()
jika ditulis
r ( ') . Setelah membahas semiprima di
s i li , 0 li Li untuk berhingga
aljabar lintasan
banyak i dan Li ideal kiri minimal dari
sifat semiprima di aljabar lintasan
R.
dengan aljabar lintasan Leavitt sebagai
Proposisi 3.3a.4. Jika R adalah ring
berikut: Akan ditunjukkan bahwa tidak
semiprima, maka Socl ( R) Socr ( R).
seperti di aljabar lintasan K E , bahwa
3.3b. SIFAT SEMIPRIMA PADA ALJABAR LINTASAN DAN ALJABAR LINTASAN LEAVITT
KE, akan dibandingkan
untuk sebarang graf pada
aljabar
LK ( E )
adalah
lintasan
Leavitt
semiprima. Untuk menunjukkannya, kita perlu beberapa definisi sebagai berikut.
Dalam bagian ini, akan dibahas
Definisi 3.3b.3. Garis e disebut garis
mengenai aljabar lintasan semiprima dan
keluar
aljabar lintasan leavitt semiprima serta
e1e2 ...en , jika ada i sedemikian
sifat-sifat yang berlaku di dalamnya. Disertakan pula beberapa contoh sebagai pendukung teori yang disajikan.
(exit)
untuk
suatu
lintasan
sehingga s(e) s(ei ) dan e ei . Garis
e disebut garis masuk (resp. entrance)
Definisi 3.3b.1. Diberikan graf E dan
untuk suatu lintasan e1e2 ...en , jika
lapangan K .
KE
ada i sedemikian sehingga r (e) r (ei )
disebut semiprima jika untuk setiap
dan e ei . Jika c merupakan lintasan
Aljabar
lintasan
KE dengan KE 0
maka
0
yang
memuat
sikel
dengan
s (c ) r (c ) v maka c disebut basis Kemudian diberikan proposisi
(based ) di v.
yang berkaitan dengan sifat semiprima
Untuk
memperjelas
definisi
pada aljabar lintasan, sebagai berikut:
diatas diberikan contoh sebagai berikut.
Proposisi 3.3b.2. Diberikan graf E dan
Contoh
lapangan K .
seperti gambar dibawah ini
Aljabar
lintasan
KE
disebut semiprima jika dan hanya jika untuk 42
setiap
lintasan
KE ada
3.3b.4. Diberikan graf E
Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 T (v1 ) E 0 .
e4 g
v
f
u
w
w E 0 adalah {w, v4 , u}.
e2
e1
Sedangkan pohon dari titik
Pendefisian aljabar
Jika diberikan lintasan c e1e2 e3e4 ,
lintasan
semiprima memotivasi
pada untuk
mendefinisikan semiprima pada aljabar
maka c merupakan sikel di E dengan
lintasan Leavitt, sebagai berikut.
basis di v. Garis g merupakan garis
Definisi 3.3b.7. Diberikan graf E dan
keluar dari lintasan c dan garis f
lapangan K . Aljabar lintasan leavitt
merupakan garis masuk dari lintasan c.
LK E disebut semiprima jika untuk
Selanjutnya diberikan yang berkaitan dengan relasi yang ada di dalam
setiap LK E dengan
LK E 0 maka 0 .
lintasan suatu graf, sebagai berikut Sebelum membuktikan bahwa Definisi berarah lintasan
3.3b.5.
Diberikan 0
1
E ( E , E , r, s)
e1e2 ...en .
Graf dan
Didefinisikan
suatu relasi di E 0 , jika v w maka ada lintasan E * dengan dan
s() v
r() w. Suatu pohon dari titik
setiap aljabar lintasan Leavitt LK ( E ) merupakan semiprima terlebih dahulu dibuktikan
beberapa
lemma
dan
proposisi yang mendukung pembuktian tersebut, diantaranya: Proposisi3.3b.8. Diberikan graf E dan lapangan K . Aljabar lintasan Leavitt
v E0 didefinisikan
sebagai
LK ( E ) semiprima jika dan hanya jika
0
T (v) {w E v w}.
untuk setiap lintasan LK ( E ) ada
Contoh 3.3b.6.Diberikan graf E seperti gambar dibawah ini:
v1
v2
sehingga s( ') r ( ) dan s( ) r ( ')
u
v3
sebuah lintasan ' LK ( E ) sedemikian
v4
w Dari graf diatas yang disebut sebagai pohon dari titik v1 E0 adalah
Selanjutnya
diberikan
suatu
lemma yang berkaitan isomorfisma dari suatu K-aljabar, sebagai berikut: Lemma 3.3b.9. Diberikan sebarang graf
E.
Jika
diberikan
garis
v
43
Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati sedemikian sehingga ada sikel tanpa garis keluar c dengan basis di v, maka:
Selanjutnya
akan
dibuktikan
bahwa sebarang graf merupakan aljabar lintasan Leavitt, yaitu sebagai berikut:
n
vLK ( E )v { ki ci ki K ; m, n N } i m
K [ x, x 1 ]. Dimana
E maka LK ( E ) adalah semiprima.
menyatakan
isomorfisma
dari K-aljabar dan memenuhi dan c
t
(c*) untuk setiap t 1 . diberikan
Bukti:
c0 w
t
Selanjutnya
Proposisi 3.3b.11. Untuk sebarang graf
Ambil sebarang ideal tak nol I v : {k * , E*, r ( ) v r ( ),
suatu
k K} yang merupakan ideal di
LK ( E )
2
I v 0 . Akan
proposisi mengenai komposisi antara
sedemikian sehingga
suatu elemen di dalam aljabar lintasan
dibuktikan bahwa I v 0 . Jika I v hanya
Leavitt
dengan lintasan dalam suatu
graf.
terdiri dari sebuah titik maka I v 0 , bukti selesai. Tetapi jika ada elemen tak
Proposisi 3.3b.10. Diberikan sebarang
nol p (c, c*) I v sedemikian sehingga
graf E. Untuk setiap elemen tak nol
p(c, c*)2 0 , maka
x LK ( E ), ada lintasan
1 2 ... r v1v2 ...vs E 0 E 1 ( E 1 ) *
sebagai p ( c, c*) k * . Andaikan
sedemikian sehingga: 1.
1 2 ... r xv1v2 ...vs adalah
tak nol di
Kv ,
elemen
untuk suatu v E0 ,
Iv 0
maka
w E0 dan
sikel tanpa garis keluar dengan basis di w sedemikian sehingga 1 2 ... r xv1v2 ...vs adalah elemen
tak nol di wLK ( E )w. Kasus keduanya tidak saling terpisah.
ada
p(c, c*) 0
sedemikian sehingga p (c, c*) 2 0 2
atau 2. Ada sebuah titik
p(c, c*) dapat ditulis
k *
0 dengan * 0 , pastilah
diperoleh
k 0 . Timbul kontradiksi
dengan p(c, c*) 0 ,
jadi yang benar
Iv 0 . Dapat dibuktikan juga dengan mengambil
o x LK ( E )0
dengan
xLK ( E) x 0 akan dibuktikan x 0 . Jika
x merupakan kombinasi linear dari 44
Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 n
himpunan garis-garis, maka x ki vi i 1
untuk
setiap
vi E .
Akibatnya
0
x ' L( E ) \{0}, z L( E ) n dan
f * zg 0 ,
hal ini karena x1 hanya terdiri atas elemen-elemen dengan derajat 0 yang
0 vxv LK ( E ) n , untuk itu
x adalah
kombinasi linear dari garis-garis dan merupakan monomial ab * dengan a dan b adalah lintasan-lintasan dengan
bukan garis. Dan karena x2 hanya terdiri dari titik tenggelamsehingga kita punya: f * xg f * x1 g f * x2 g
derajat positif yang sama( l (a) l (b) ).
f * fx ' g * z g f * x2 g
Dengan menggunakan CK2, maka untuk
f * fx ' g * f * zg f * x2 g
setiap
garis
yang
w E0
tenggelamdan memunculkan ditulis
dengan
Sehingga
x
x, dapat
e e *.
{ ei E1 s ( ei ) w} i i
dapat
ditulis
x ' 0 0 x '
tidak
sebagai
yang merupakan elemen tak nol di LK ( E )n . Akibatnya
kombinasi linear tak nol dari garis-garis.
penujmlahan dari monomial-monomial berderajat 0 sedemikan sehi-ngga hanya ada satu garis tenggelam.
yang merupakan titik Dengan
x x1 x2 ,
dengan
kata
x1
Andaikan LK ( E)n tidak terdiri atas elemen-elemen homogen dengan derajat l dan akan dibuktikan bahwa
lain, LK ( E)n
adalah
kombinasi linear dari garis-garis dengan derajat 0 dan x2 adalah kombinasi linear
bahwa 0 x LK ( E ) n LK ( E )l . Untuk setiap yang
dari
monomial-monomial
ab *
merupakan kombinasi linear dari x1 dengan derajat maksimum di a. Dapat ditulis sebagai
tidak terdiri atas elemen-elemen
homogen dengan derajat l . Anggap
dari tenggelam. Sekarang, anggap bahwa satu
LK (E)n terdiri atas
f E1 berlaku f * x LK ( E )n merupakan
elemen
homogen
dengan derajat l . Maka
f *x 0
untuk
Dengan
setiap
menggunakan
ff * x vx 0 untuk
f E1 .
CK2
berakibat
v E0
setiap
dengan
sedemikian sehingga s 1 (v) . Dengan
merupakan
kata lain jika v E0 dengan s 1 (v )
lintasan-lintasan dengan derajat sama.
maka untuk setiap g E 1 kita punya
f , g E1
Akibatnya
dan
a fa ', b gb '
a', b'
x1 dapat ditulis sebagai
vg vs(g)g 0
dengan
v s( g) .
x1 fx ' g * z dengan
sehingga vx 0 untuk setiap
v E0 45
Aljabar Lintasan Leavitt Semiprima Ningrum Astriawati berakibat
x0.
Dan
karena
∀n∈N,
(LK(E)*=Lk(E) -n,
2. Keduanya merupakan aljabar bertingkat.
ini
menunjukkan bahwa LK (E)n tidak terdiri
aljabar
dari elemen-elemen homogen dengan
merupakan
derajat negatif.
bertingkat.
Lebih lintasan
graf
dikatakan
cukup suatu
aljabar
yang
lintasan
semiprima adalah untuk setiap lintasan
Leavitt Z-aljabar
3. Himpunan Syarat perlu dan
khusus
lintasan-lintasan
berbeda
membentuk
himpunan yang bebas linier. 4. Aljabar
lintasan
merupakan
LK ( E ) ada sebuah lintasan ' LK ( E )
sub-aljabar dari aljabar lintasan
sedemikian sehingga s( ') r() dan
Leavitt
s() r( ') .
dibangun dari lintasan-lintasan
Kemudian
diberikan
yang
suatu
yang
hanya
elemennya
memuat
garis
nyata.
akibat dari Proposisi 3.3b.11, sebagai
Selain
berikut.
mempunyai
sifat, aljabar lintasan
kesamaan
dan aljabar
Akibat 3.3b.12. Untuk sebarang graf E
lintasan Leavitt mempunyai perbedaan
maka Socl ( LK ( E )) Socr ( LK ( E )).
sifat, salah satu diantaranya mengenai sifat semiprima yang melekat pada
Dari sini membuktikan bahwa untuk
sebarang
lintasan Leavitt
graf
maka
bersifat
aljabar
semiprima.
Dimana sokel kiri dari aljabar lintasan leaviit sama dengan sokel kanan dari aljabar lintasan Leavittnya
lintasan
Leavitt
bersifat
semiprima. Akan tetapi hal ini tidak selalu berlaku pada sebarang graf di aljabar
lintasan.
Karena
alasan
bahwa untuk sebarang graf pada aljabar
Berdasarkan pembahasan diatas disimpulkan
aljabar
semiprima inilah, dapat disimpulkan
4. KESIMPULAN dapat
keduanya. Untuk sebarang graf maka
bahwa
aljabar
lintasan dan aljabar lintasan Leavitt
lintasan Leavitt berlaku jumlahan dari setiap ideal kiri minimal sama dengan jumlahan dari ideal kanan minimal .
mempunyai beberapa sifat yang sama, diantaranya: 1. Keduanya merupakan K-aljabar asosiatif.
5. REFERENSI [1]. I.Assem, D. Simson, A. Skowronski, Elemens of the Repre-sentation Theory of AssociativeAlgebras, London
46
Jurnal Derivat Volume 2 No. 2 Desember 2015 (ISSN: 2407 – 3792) Halaman 35- 47 Math. Soc. Student Text 65, Cambridge
[8]. M. Siles Molina, Algebras of
University Press, 2005.
quotients
[2]. D. Iain,
Algebra 319 (12) (2008), 329-348.
Leavitt path algebra, a
thesis submitted for the degree of master science,
Otago
University,
New
Zealand, 2011.
of
path
algebras,
[9].Rotman J., 2003,
J.
Advanced
Modern Algebra, Prentice Hall, New York .
[3]. D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract Algebra, United Stated Third
[10].
Edition, University of Vermont, 2004.
Foundation of Module and Ring
[4]. Fraleigh, John. B, 2000, A First
Theory, University of Dusseldorf,
Course
in
Dusseldorf
Edition,
Addition-Wesley
Abstract
Algebra,Sixth Puplising
Compeny, Inc, [5].
G.
Aranda
D.
Martin
Barquero, C. Martin Gonzalez, M, Siles Molina, Socle theory for Leavitt path algebras of arbitrary graphs Rev. Mat.
Robert,
1991,
[11]. Hungerford, T. W, Graduete Text in
Pino,
Wisbauer,
Mathematics
Algebra,
Springer
Verlag, New York, Heidelberg Berlin, 1984. [12]. Adkins, Algebra An Approach via Module Theory, Springer‐Verlag, 1992
Iberoamericana (to appear)(2008). [6].G. Aranda Pino, D. Martin Barquero, C. Martin Gonzalez, M, Siles Molina , The socle of a Leavitt path algebra , J. Pure Appl. Algebra 212(3) (2008), 500509.
[7]. G. Aranda Pino, Pardo, E., 2008, Stable rank of Leavitt path algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 136 no. 7, 2375-2386.
47
