Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
ALJABAR BOLEAN Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika DAN, ATAU dan TIDAK dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Aljabar Boolean dapat digunakan untuk menganalisa suatu rangkaian logika dan mengekspresikan operasinya secara matematik. Suatu rangkaian dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan teorema Boolean tertentu. Ekspresi Boolean yang lebih sederhana ini dapat menggantikan ekspresi aslinya, karena nilainya yang ekivalen. Hukum hukum ALjabar Boolean 1. Hukum Komutatif Hukum komutatif aljabar boolean memiliki kesamaan degan aljabar biasa. Berikut ini akan kita lihat pemakaian hukum komutatif dalam gerbang-gerbang logika
Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika OR Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dipertukarkan tempatnya dan dapat merubah urutan sinyal-sinyal masukan. Perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean hal ini dapat ditulis sebagai berikut:
Page | 1
Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika AND Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dipertukarkan tempatnya dan dapat merubah urutan sinyal-sinyal masukan. Perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean hal ini dapat ditulis sebagai berikut: . .
2.
Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif untuk Gerbang Logika OR Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dikelompokan tempatnya dan diubah urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean ditulis sebagai berikut: Pada hakekatnya cara pengelompokan variabel dalam suatu operasi OR tidak berpengaruh pada keluarannya. Artinya keluarannya akan tetap sama dengan : Perhatikan gambar berikut!
Page | 2
Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
Hukum Asosiatif untuk Gerbang Logika AND Gerbang AND dengan 2 masukan yaitu yaitu A dan B, dapat dikelompokan tempatnya dan diubah urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean ditulis sebagai berikut: . . . .
3. Hukum Distributif Gerbang AND dan OR dengan masukan tertentu, yaitu A, B¸dan C, dapat disebarkan tempatnya, dan dapat dirubah urutan-urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah keluarannya. Dalam persamaan boolean ditulis sebagai berikut: . . .
Page | 3
Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
1.1 Sifat – sifat Khusus Aljabar Boolean Sifat Khusus dalam operasi Gerbang OR -Kaidah Pertama: A+0 = A
A A
A
0
Y
0
0
0
1
0
1
A
1
Y
0
1
1
1
1
1
A
A
Y
0
0
0
1
1
1
0
-Kaidah Kedua : A+1 = 1 A 1 1
-Kaidah Ketiga : A + A = A A A A
-Kaidah Keempat :
Sifat Khusus dalam operasi Gerbang AND -Kaidah Pertama: A . 0 = 0
-Kaidah Kedua : A.1 = A
-Kaidah Ketiga : A . A = A
Page | 4
Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
- Kaidah Keempat : .
Sifat absorpsi Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut: 1 . 1 . 1
berdasarkan sifat 1 1 lihat sifat . 1 lihat sifat 1 terbukti !
Perhatikan gambar berikut:
Kedua rangkaian logika diatas memiliki keluaran yang sama untuk kondisi masukan A dan B yang sama. Sifat Reduksi Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut: 1 . 1
berdasarkan sifat 1 1 lihat sifat . 1 terbukti !
Page | 5
Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
-
Teorema De Morgan Teorema Pertama . Perhatikan persamaan gerbang logika NOR berikut
Rangkaian logika 2 masukan yang di “NOT” kan dan kemudian hubungkan ke gerbang AND.
Dari rangkaian diatas dapat ditulis persamaan aljabar boolean sebagai berikut: . Karena kedua rangkaian diatas menghasilkan masukan dan keluaran yang ekivalen atau sama maka dapat dinyatakan sebagai berikut: . -
!
Teorema Kedua . Perhatikan persamaan gerbang logika NAND berikut: .
Page | 6
Diktat Elektronika Digital – Aljabar Boolean Irwan Kurniawan, ST Politeknik Jambi
perhatikan rangkaian yang terdiri dari logika NOT dan gerbang logika OR berikut :
Rangkaian diatas dapat dituliskan ke dalam persaman berikut : Kedua rangkaian logika diatas memiliki kesamaan sifat atau dapat dikatakan keduanya ekivalen sehingga dapat dibuktikan teorema de morgan sesuai dengan kedua persamaan di atas. . . Penyerderhaan dengan Aljabar Boolean Contoh 1: " Dapat di sederhakan dengan langkah berikut: " " # $ !% & $' " ( ( # $ !% & $' 1 " # $ !% & $' 1 1 " Contoh 2: Penyelesaian: 1
Page | 7
