Pertemuan ke-4
ALJABAR BOOLEAN I
Materi Perkuliahan a. Pengertian Aljabar Boolean b. Ekspresi Boolean c Prinsip Dualitas
Kompetensi Umum Setelah mengikuti perkuliah ini, diharapkan Anda dapat memahami konsep aljabar Boolean, ekspresi Boolean dan prinsip dualitas.
Kompetensi Khusus Setelah mengikuti perkuliah ini, diharapkan Anda dapat: 1.
Menjelaskan pengertian aljabar Boolean
2.
Menyebutkan aksioma-aksioma yang harus dipenuhi agar suatu tupel (B, +, . , ’) disebut aljabar Bolean.
3.
Menjelaskan kaidah operator biner dan operator uner
4.
Menjelaskan pengertian ekspresi Boolean
5.
Menjelaskan prinsip dualitas
6.
Menentukan dual dari sebuah kesamaan
A. Pengertian Aljabar Boolean
Misalkan terdapat : a). Dua operator biner: + (tambah) dan . (kali) b). Sebuah operator uner: ’ (komplemen) c). B adalah himpunan yang didefinisikan pada operator +, . , dan ’ d). Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen pada B atau B=(0, 1) Maka : Tupel (B, +, . , ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, ∈ B berlaku aksiomaaksioma atau postulat Huntington berikut: IV - 1
1. Tertutup : (i) untuk setiap a, b ∈ B, a + b ∈ B (ii) untuk setiap a, b ∈ B, a . b ∈ B
2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a . 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a . b = b . a
4. Distributif: (i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c) (ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
5. Komplemen : (i) untuk setiap a ∈ B, terdapat a’ ∈ B, sehingga a + a’ = 1 (ii) untuk setiap a ∈ B, terdapat a’ ∈ B, sehingga a . a’ = 0
B. Kaidah Operator Biner dan Operator Uner pada Aljabar Boolean
Aljabar Boolean dua nilai B = {0, 1}, operator biner (+ , . ) dan operator unner (‘) memiliki kaidah operator sebagai berikut:
a
b
a⋅b
a
b
a+b
a
a’
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Tabel 1.1 Kaedah Operator +, .
IV - 2
Hukum distributif (i). a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
a
b
c
b+c
a⋅(b+c)
a⋅b
a⋅c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a+b
a+c
(a⋅b)+(a⋅c)
(ii). a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
a
b
c
b.c
a+(b.c)
(a+b).(a+c)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Contoh Soal: Selidikilah apakah B = {0, 1}, operator biner (+, . ) dan operator unner (‘ ) merupakan aljabar Boolean? Jawab : Akan dicek, (B, +, . , ’) merupakan aljabar Boolean jika memenuhi aksioma-aksioma atau postulat Huntington. IV - 3
1). Tertutup Jelas berlaku, karena hasil dari operator + dan . adalah 0 atau 1 dan 0, 1∈ B.
2). Identitas Jelas berlaku karena dari tabel dapat dilihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0
3). Komutatif Jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4). Distributif Sifat distributive (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: (ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5). Komplemen Jelas berlaku karena : Sifat (i) a + a‘ = 1 ditunjukkan 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 Sifat (ii) a ⋅ a’ = 0 ditunjukkan 0 ⋅ 0’ = 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0
Kesimpulan: Karena 5 aksioma atau postulat Huntington terpenuhi maka (B, +, . dan ’) merupakan aljabar Boolean. .
C. Ekspresi Boolean
Dua nilai pada aljabar Boolean yaitu {0, 1} disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Variabel x atau peubah x atau literal x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B yaitu {0, 1}.
IV - 4
Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen–elemen B dan/atau peubah–peubah yang dapat dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, ., dan ‘ Ekspresi Boolean secara rekursif didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan (B, +, . , ‘, 0, 1) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ., ‘) adalah:
(i). Setiap elemen di dalam B, (ii). Setiap peubah, (iii) Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 . e2, e1’ adalah ekspresi Boolean.
Berdasarkan definisi tersebut maka : 0, 1, a, b, c, (a + b), (a . b), (a’ . (b + c)), (a . b’ + a . b), (c + b’), dan sebagainya adalah ekspresi Boolean.
Dalam penulisan ekspresi Boolean digunakan aturan sebagai berikut: a). Tanda kurung ( ) mempunyai prioritas pengerjaan paling tinggi. b). Kemudian diikuti dengan operator ‘ (komplemen), + (penjumlahan) dan . (perkalian)
Sebagai contoh, 1). Ekspresi a + b . c berarti a + (b . c), bukan (a + b) . c 2). Ekspresi a . b’ berarti a . (b’), bukan (a . b)’
D. Prinsip Dualitas
Prinsip dualitas dalam aljabar Boolean didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan S
adalah kesamaan
(identity)
dalam aljabar
Boolean
yang melibatkan
operator +, ., dan ‘, maka jika pernyataan S* diperoleh dari S dengan cara mengganti: .
dengan +
+ dengan . 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, IV - 5
maka kesamaan S* juga benar. Lambang S* disebut sebagai dual dari S. Contoh kesamaan S dan dual dari S, ditulis S* adalah:
S : a+0 = a S* : a . 1 = a
Latihan: Carilah dual dari kesamaan berikut
1). S : a + a’ = 1 2). S : (a . 1) (a’ + 0) = 0 3). S : a . (a’+b) = ab 4). S : (a . 1 ) + ( a . 0) = a 5). S : (a + b) . (a + c ) = a + (b . c)
IV - 6
