Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
KONSEP ALJABAR YANG TERLUPAKAN Eka Nurmala Sari Agustina Prodi Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Sidoarjo (
[email protected] /
[email protected]) Abstrak Penyelesaian soal matematika sering kali menggunakan konsep aljabar. Konsep aljabar tidak hanya berhenti digunakan pada jenjang sekolah menengah, tetapi sampai pada jenjang perguruan tinggi, khussusnya untuk mahasiswa pendidikan matematika. Akan tetapi, dalam penerapan konsep aljabar, masih terdapat mahasiswa yang melakukan kesalahan ketika menyelesaikan soal matematika perkuliahan yang melibatkan aljabar. Kesalahan yang tampak adalah kesalahan konsep, kesalahan dalam memilih metode penyelesaian, dan kesalahan prosedural. Kata Kunci: Konsep aljabar, kesalahan konsep, kesalahan prosedural Abstract Algebra is always use to solve mathematics problems. Concep of Algebra is not use just by student at school, but until they go to collage. In reality, there are many error of the uses of Algebra concept, when some univercity students solve some problem about Algebra. The error are concept error, error of the solving methode, and procedural error. Key Words: Concept of Algebra, concept error, procedural error
PENDAHULUAN Aljabar merupakan
Materi salah
satu
aljabar
juga
dapat
diterapkan saat menyelesaikan soal yang
materi yang diajarkan mulai tingkat
terdapat pada jenjang perguruan tinggi,
sekolah menengah pertama hingga tingkat
seperti
perguruan tinggi. Aljabar dapat ditemukan pada bidang matematika yang lain seperti pada geometri dan ilmu ukur. Sebagai
menyelesaikan
Contohnya
ketika
menyelesaikan
soal
soal
kalkulus. mahasiswa
∫ 2𝑥. sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥,
maka mahasiswa dapat memisalkan 𝑥 2 =
contoh penerapan aljabar pada bidang
a sehingga 2x dx = da dan diperoleh
geometri yaitu menentukan panjang sisi
∫ 2𝑥. sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥
persegi panjang agar luasnya maksimum
menjadi
∫ sin 𝑢 𝑑𝑢.
Pengubahan 𝑥 2 menjadi a merupakan
jika diketahui jumlah dua sisi yang
bagian dari aljabar.
berdekatan.
25
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
Kita aljabar
telah
dapat
mengetahui
bahwa
Komponen-komponen aljabar diantaranya
diterapkan
dalam
adalah pengertian variabel, bentuk aljabar,
pada
keterurutan operasi bilangan, dan kalimat
menyelesaikan soal
matematika
terbuka. (Holliday, et. al., 2008)[1].
jenjang perguruan tinggi, tetapi pada kenyataanya masih terdapat mahasiswa
Variabel
adalah
simbol
yang
yang melupakan penerapan aljabar dalam
digunakan untuk mewakili suatu bilangan
proses pemecahan masalah matematika.
yang belum diketahui nilainya. Bentuk
Seperti yang ditemukan penulis saat
aljabar
mengoreksi
tengah
unsur-unsur aljabar yang terdiri dari satu
semester materi kalkulus peubah banyak,
atau lebih bilangan dan variabel pada satu
terdapat
salah
atau lebih operasi aritmatik. Contohnya:
menggunakan konsep aljabar. Mahasiswa
6x, 4y + 6, 7 – 𝑏 , 3k3, dsb. 6x bermakna 6
cenderung fokus pada materi perkuliahan
dikali dengan x dan 3k3 bermakna tiga
yang sedang dihadapi sehingga lupa
dikali k selanjutnya dikali k lagi kemudian
bahwa materi matematika yang satu
dikali k lagi. Tulisan 4y + 6 dapat
terkait dengan yang lain. Oleh karena itu,
dijabarkan bahwa 4 adalah koefisien, y
diperlukan adanya pemaparan kesalahan
adalah variabel, dan 6 adalah konstanta.
yang
(Holliday, et. al., 2008)
jawaban
ujian
mahasiswa
dilakukan
yang
mahasiswa
merupakan
bentuk
𝑎
dalam
menerapkan aljabar.
Keterurutan
MATERI ALJABAR Materi Aljabar
penulisan
operasi
bilangan
adalah keterurutan proses penghitungan yang
dari
sering
suatu
operasi
antar
bilangan.
diterpkan pada jenjang perguruan tinggi
Misalkan terdapat operasi perkalian atau
khususnya pada program studi pendidikan
pembagian
matematika adalah operasi aljabar dan
pengurangan dalam suatu operasi bilangan
konsep
yang muncul secara bersamaan, maka
penyelesaian
aljabar
seperti
dan
penjumlahan
atau
metode substitusi dan eliminasi.
yang dikerjakan terlebih dahulu adalah
Operasi Aljabar
perkalian atau pembagian. Contohnya 5 + operasi
10 × 3 – 20 : 2 = 5 + 30 – 10 = 35 – 10 =
bilangan, terlebih dahulu siswa atau
25. Kalimat terbuka merupakan kalimat
mahasiswa
matematika yang memuat satu atau lebih
Sebelum
mempelajari
mempelajari
telah
mengenal
komponen
atau
variabel
aljabar. 26
dimana
kalimat
matematika
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
tersebut belum diketahui kebenarannya.
variabel,
Contohnya 8n – 2 = 4 merupakan kalimat
metode
terbuka, jika n diganti dengan 2, maka
metode substitusi, dan metode eliminasi
pernyataan 8.2 – 2 = 4 menjadi pernyataan
(Beecher,
yang salah, tetapi jika n diganti dengan
3
digunakan
diantaranya
Namun,
metode
pada
substitusi
dan
hanya pada sistem persamaan linier dua
pernyataan yang bernilai benar. (Holliday,
atau tiga variabel saja.
et. al., 2008)
Berikut
Selanjutnya kita mulai mengenal
penyelesaian
operasi aljabar. Operasi Aljabar terdiri
contoh sistem
proses
persamaan
dua
variabel tetapi bukan persamaan yang
dari penjumlahan, pengurangan, perkalian,
linier.
pembagian, eksponen. Konsep operasi
Misalkan
terdapat
persamaan berikut, yaitu
Aljabar sama dengan sama dengan konsep
sistem
y2
=
12x
(persamaan I) dan xy – 3y = 0 (persamaan
operasi bilangan bulat yaitu suku-suku dijumlahkan
grafik,
metode eliminasi dapat diterapkan tidak
3
saling
beberapa
metode
2007).
kenyataannya,
4
maka pernyataan 8. 4 – 2 = 4 menjadi
sejenis
dapat
II).
atau
Berikut
adalah
proedur
penyelesaiannya.
dikurangkan. Contoh 2x – 2y + 3y + 2x =
2x + 2x + 3y – 2y = 4x + 3y.
Substitusi y2 = 12x ⟺ x =
1 2 y 12
ke
xy – 3y = 0
Metode penyelesaian soal Aljabar
1
⟹ ( y2)y – 3y = 0
Pada Aljabar kita juga mengenal
12
1 3 y 12
persamaan sepeti 2y = 6 – 2x atau x = y.
⟹
Untuk menyelesaikan persamaan tunggal
⟹ y3 – 24y = 0
2
2
2y = 6 – 2x dapat dilakukan 2
seperti dengan
mencoba
secara
⟹ y (y2 – 24) = 0
langsung.
⟹ y (y – √24) (y + √24)= 0
Contohnya, jika nilai x = 0, maka 2y2 = 6 –
⟹ y = 0 atau (y – √24) = 0 atau
0 sehingga diperoleh y= √3 atau y = –√3.
(y + √24) = 0
Pada materi Aljabar, terdapat sub
⟹ y = 0 atau y = √24 atau y = −√24.
materi tentang sistem persamaan liner dua variabel
atau
persamaan
linier
– 3y = 0 (dikalikan dengan 12)
tiga
1
Substitusi nilai-nilai y ke x = 12y2.
variabel. Untuk menentukan solusi dari
y=0⟹x=0
sistem persamaan linier dua atau tiga
y = √24 ⟹ x = 12(√24)2 = 2
1
27
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
1
Kesalahan
y = −√24 ⟹ x = 12(−√24)2 = 2
Sehingga
diperoleh
penyimpangan terhadap sesuatu hal yang
pasangan
benar (Sutopo, 2005). Jika dikaitkan
berurutan yaitu (0, 0), (2, √24) dan (2,
dengan proses siswa menyelesaikan soal
−√24).
matematika
Adapula sistem persamaan tersebut dapat
diselesaikan
dengan
12x – y2 = 0 × y
12xy – y3 = 0
xy – 3y = 0
× 12
12xy – 24y = 0 –
× 12
–y + 24y = 0
xy – 3y = 0
kesalahan
penyimpangan jawaban yang berbeda dari proses penyelesaian soal matematika yang sebenarnya.
Menurut
Sandhu
(2013)
kesalahan dibedakan menjadi dua yaitu
3
miskonsepsi
y – 24y = 0
dan
kesalaha
(error).
3
⟺
maka
menyelesaikan soal matematika adalah
metode
eliminasi yaitu:
merupakan
Miskonsepsi
merupakan
kesalahan
Menyelesaikan y3 – 24y = 0 dengan
terhadap
cara memfaktorkan, diperoleh:
pemahaman terhadap soal yang tidak jelas
y – 24y = 0
konsep,
prosedur,
dan
3
bagi siswa. Kesalahan (error) terjadi
⟹ y (y – 24) = 0
ketika
⟹ y (y – √24) (y + √24)= 0
dilakukan berikutnya, tetapi mereka salah
⟹ y = 0 atau (y – √24) = 0 atau
dalam langkahnya, misal saat substitusi
2
(y + √24) = 0
Terdapat
yang
harus
dua
jenis
kesalahan
konseptuan dan kesalahan prosedural.
y=0⟹x=0 y = √24 ⟹ x =
apa
menurut Kastolan (1992) yaitu kesalahan
1
Substitusi nilai-nilai y ke x = 12y2. 1
tahu
nilai atau kekeliruan penghitungan.
⟹ y = 0 atau y = √24 atau y = −√24.
siswa
Kesalahan
konseptual
merupakan
2
(√24) = 2
12
1
kesalahan yang dilakukan mahasiswa
2
y = −√24 ⟹ x = 12(−√24) = 2
dalam menafsirkan istilah, konsep, dan
Sehingga
prinsip
atau
salah
dalam
berurutan yaitu (0, 0), (2, √24) dan (2,
menggunakannya.
Indikator
kesalahan
−√24).
konseptual yaitu:
diperoleh
pasangan
a) kesalahan menentukan rumus atau KESALAHAN MENYELESAIKAN SOAL MATEMATIKA
teorema atau definisi untuk menjawab suatu masalah,
28
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
b) penggunaan rumus, teorema, atau
b) kesalahan menginterpretasikan suatu
definisi yang tidak sesuai dengan
representasi dari bentuk aljabar; dan
kondisi prasyarat berlakunya rumus,
c) ketidak mampu memaknai hubungan-
teorema, atau definisi tersebut, dan
hubungan sifat pada bentuk aljabar.
c) tidak menuliskan rumus, teorema, atau definisi
untuk
menjawab
Suatu
suatu
dikatakn
sebagai
kesalahan prosedural jika:
masalah.
a) kesalahan dalam perhitungan yaitu
Kesalahan kesalahan
kesalahan
prosedural dalam
merupakan
menyusun
operasi
langkah-
pengurangan,
langkah yang hierarki sistematis untuk
penjumlahan,
perkalian,
dan
pembagian bentuk aljabar;
menjawab suatu soal. Indikator kesalahan
b) ketidakmampuan
prosedural yaitu:
menulis
langkah-
langkah kerja dengan teratur;
a) ketidakhirarkisan
langkah-langkah
c) kesalahan dalam menerapkan aturan,
dalam menyelesaikan masalah, dan b) Kesalahan
hitung
atau
prinsip, atau rumus dalam operasi
ketidakmampuan
aljabar; dan
memanipulasi langkah-langkah untuk
d) ketidakmampuan
menjawab suatu masalah.
memanipulasi
(Kastolan, 1992).
siswa
dalam
bentuk
aljabar
berdasarkan sifat dan prinsip yang
Abidin (2012) mengelompokkan
berlaku.
kesalahan menjadi dua sama seperti yang disebutkan
Kastolan,
yaitu
TEMUAN KESALAHAN PENGGUNAAN KONSEP ALJABAR DAN PENJELASANNYA Berikut adalah beberapa kesalahan
kesalahan
konseptual dan prosedural. Kesalahankesalahan
yang
digolongkan
dalam
kesalahan konseptual yaitu: a) kesalahan memeahami definisi dan
aljabar
mahasiswa
penulis
pada
yang
jawaban
ditemukan
ujian
tengah
semester mata kuliah Kalkulus Peubah
sifat-sifat variabel dari suatu bentuk
Banyak.
aljabar;
29
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
1.
1
2 3
Bagian no. 1
untuk turunan f(x, y) terhadap
a. Mahasiswa melakukan kesalahan
variabel y.
konsep aljabar dalam menentukan
b. Mahasiswa melakukan kesalahan
turunan pertama f(x, y) terhadap
prosedural
variabel x dan turunan pertama f(x,
menggunakan metode substitusi
y) terhadap variabel y. Seharusnya
untuk menemukan nilai x dan y
mahasiswa menjawab fx(x, y) = 3x2
tetapi
– 6y = 0 dan fy(x, y) = 12y2 – 6x =
menentuka bahwa nilai x = 0 dan y
0. Mahasiswa dimungkinkan lupa
= 0. Hasil yang mahasiswa peroleh
atau kurang teliti bahawa jika
memang menjadikan persamaan
suatu
variabel
yang mereka temukan bernilai
diturunkan terhadap variabel x
benar. Tetapi, mahasiswa belum
maka yang dioperasikan hanya
menemukan nilai (x, y) yang lain.
yang terdapat variabel x (Purcel, et
Dalam
al., 2008). Tetapi, mahasiswa tetap
dikatakan melakukan kesalahan
menuliskan 4y3 pada 3x2 + 4y3 –
prosedural karena mahasiswa tidak
6y = 0 walau pada f(x, y), 4y3 tidak
menuliskan prosedur yang benar
berpasangan dengan x. Begitu juga
untuk menentukan nilai x atau y.
fungsi
dua
30
yaitu
mahasiswa
hal
ini
tidak
langsung
mahasiswa
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
turunan pertama ataupun ke dua. Hal
Bagian no. 2 Mahasiswa
melakukan
kesalahan
yang serupa juga dilakukan untuk fyy
konsep aljabar dalam menentukan
dan fxy.
turunan kedua f(x, y) terhadap variabel
Bagian no. 3
x
a. Mahasiswa melakukan kesalahan
dengan
terhadap
turunan variabel
pertama x.
juga
Mahasiswa
prosedural
dalam
mengalikan
menuliskan fxx = 6x + 4y3 – 6y yang
bentuk aljabar dari fxx.fyy - fxy2. Ada
seharusnya fxx = 6x karena fx(x, y) =
suku dari fxx yang belum dikalikan
3x2 – 6y. Terlihat dari jawaban pada
dengan suku pada fyy.
bagian
no.
1
mahasiswa
juga
b. Mahasiswa
juga
belum
melakukan hal yang sama, yaitu
mensubstitusikan nilai x dan y
beranggapan bahwa jika suku yang
setelah menemukan nilai x dan y
tidak memuat variabel x seperti 4y3
dari prosedur ∇f = 0.
maka tetap ditulis pada turunan f baik 2.
31
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
Bagian no. 1 Mahasiswa melakukan prosedural turunan
ddalam
pertama
untuk mengetahui apakah nilai (x, y) kesalahan
yang telah ditemukan mengakibatkan f
menentukan
f(x,
y)
memilika
tehadap
nilai
maksimum
atau
minimum lokal atau titik pelana.
variabel x. Mahasiswa menuliskan fx (x, y) = 2xy2 – 12x yang seharusnya
SIMPULAN Dari hasil
adalah fx (x, y) = y2 – 12x. Terlihat dari
jawaban
mahasiswa
sebenarnya dia paham jika
berikut.
f(x, y)
1. Kesalahan menentukan
yang diolah adalah suku yang memuat
kurang
teliti
dalam
fungsi
dua
pertama f terhadap variabel x atau y,
menentukan
atau turunan kedua f terhadap variabel x atau variabel y.
Bagian no. 2
2. Kesalahan prosedural yang dilakukan
Prosedur yang dilakukan mahasiswa
mahasiswa diantaranya:
untuk menentuka nilai merupakan
a. Kesalahan mengalikan dua bentuk
bagian dari metode menentukan nilai x
aljabar.
atau y. Mahasiswa menuliskan – 12x =
b. Kesalahan tidak mensubstitusikan
– 2xy2 kemudian membagi kedua ruas x.Mahasiswa
nilai x dan y yang ditemukan.
melakukan
c. Kesalahan
kesalahan dengan membagi kedua ruas
metode
seharusnya bisa dilakukan dengan
lupa bahwa untuk melakukan prosedur
metode substitusi.
tersebut haruslah ada jaminan bahwa x
d. Kesalahan
≠ 0.
menggunakan
pembagian dengan variabel tanpa
Bagian no. 3 Mahasiswa
memilih
penentuan nilai x dan y yang
dengan x, dimungkinkan mahasiswa
prosedural
turunan
dalam
terhadap variabel y, baik pada turunan
karena
turunan f.
dengan
konseptual
variabel terhadap variabel x atau
variabel x. Kesalahan yang dilakukan dimungkinkan
diperoleh
mahasiswa melakukan kesalahan sebagai
bahwa
diturunkan terhadap variabel x maka
mahasiswa
temuan
melakukan karena
mengetahui
kesalahan
apakah
variabel
tersebut bernilai 0 atau tidak.
menghilangkan
tahap pengecekan dengan diskriminan
32
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
SMA Negeri Se-Kotamadya Malang. Malang: IKIP Malang.
SARAN 1. Sebaiknya mahasiswa perlu berlatih
Abidin, M. Z. (2012). Kesalahan Konseptual dan Prosedural Siswa dalam Belajar Aljabar, (Online), (http://www.onlinesyariah.com/2012/ 12/08/kesalahan-konseptual-danprosedural-siswa-dalam-belajaraljabar/).
menghubungkan konsep matematika yang satu dengan konsep matematika yang lain. 2. Sebaiknya mahasiswa tidak terfokus saja
pada
materi
yang
sedang
dipelajari, tetapi juga pada konsep aljabar yang terkait dengan materi yang dipelajari. 3. Berbagai hal yang telah dipaparkan dapat dijadikan bahan awal untuk mengadakan penelitian yang lebih lanjut. DAFTAR PUSTAKA Holliday, et. al. (2008). California Algebra 1 Concepts, Skills, and Problem Solving. USA : The McGrow – Hill Company. Beecher, Judith A, et al. (2007). Algebra ang Trigonometry, 3rd Ed. London: Addison-Wesley Publishing Company. Sandhu, D. (2013). Does anyone have any information on the differences between misconceptions and errors in mathematics. Research Gate., (Online),(http://www.researchgate.net /post/Does_anyone_have_any_inform ation_on_the_differences_between_m isconceptions_and_errors_in_mathem atics) Kastolan, dkk. (1992). Identifikasi JenisJenis Kesalahan Menyelesaikan SoalSoal Matematika yang Dilakukan Peserta Didik Kelas II Program A1
33
Jurnal Edukasi, Volume 2 No.1, April 2016 ISSN. 2443-0455
34