A folytonos idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle száma
Darázs Zoltán IV. zikus Eötvös Loránd Tudományegyetem
Tudományos Diákköri Dolgozat
Témavezet®:
Kiss Tamás MTA SZFKI Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály
Budapest, 2009. január 6.
1
Bevezetés A klasszikus véletlen bolyongás elmélete más alkalmazások mellett az informatika fejl®désével algoritmusok tervezésében egyre fontosabb szerepet kapott. A kvantumos bolyongás a klasszikus bolyongás általánosítása [5], amely a kvantuminformatikai alkalmazások miatt nagy érdekl®dést kapott. A kvantumos bolyongásnak, hasonlóan a klasszikushoz alapvet®en két fajtája van: a diszkrét és a folytonos idej¶, attól függ®en, hogy bolyongó csak adott id®közönként, vagy bármikor léphet. A kvantuminformatikai alkalmazások legnagyobb el®nye, hogy a kvantumos bolyongásra alapozott keresési algoritmusok kvadratikusan gyorsabbak lehetnek mint az adott problémára alkalmazható klasszikus algoritmusok. A folytonos idej¶ kvantumos bolyongáson alapuló algoritmusok, mint például a gráfbejárási algoritmusok pedig akár exponenciálisan hatékonyabbak lehetnek a klasszikus algoritmusoknál [21]. Egy friss eredmény szerint a kvantumos bolyongás felfogható úgy is, mint a kvantumszámítógép egy lehetséges univerzális paradigmája, ahol a kódot teljes egészében a bolyongás gráfja jelenti [22]. Az algoritmikus alkalmazásokon túl a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás tulajdonságainak megértése is nagy gyelmet kapott az utóbbi id®ben. Különböz® geometriájú gráfokat vizsgáltak [23, 24, 25], fázistérbeli [29] és térid® [30] struktúrák magyarázatát keresték illetve vizsgálták a Lévy-féle eloszlást mutató, nagy lépésközöket is megenged® bolyongásokat [26]. A folytonos idej¶ kvantumos bolyongás szorosan köt®dik a transzport folyamatokhoz is [24, 28, 31]. Aktívan kutatják a folytonos és diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás kapcsolatát is, ugyanis nincs természetes átmenet a kett® között. A folytonos idej¶ eset nem kapható meg a diszkrét idej¶ határeseteként ha a lépések között eltelt id®intervallumot in nitezimálisan kicsire választjuk. Ez azért van, mert diszkrét esetben a bolyongó Hilbert tere kib®vül az úgynevezett érmetérrel, amelynek folytonos esetben nincs természetes megfelel®je, így bár teremthet® kapcsolat a kétféle bolyongás között [17, 18], ez csak nagyon speciális esetekben igaz, általánosan nem alkalmazható. A visszatérés fogalmát dinamikai rendszerekben Poincaré óta vizsgálják [33]. A kvantummechanikában szokásos szóhasználat a részleges visszatérés, ez azt jelenti hogy csak egy adott tulajdonság ugyanaz mint induláskor, de a teljes állapot nem [34]. Ilyen visszatérés van például a diszkrét idej¶ kvantumos véletlen bolyongás esetén, ahol az érmeállapotot nem vesszük gyelembe. A klasszikus véletlen bolyongások esetében annak a valószín¶ségét, hogy a bolyongó visszatér az indulási helyére Pólya György magyar származású matematikus után Pólya-féle számnak nevezik, ugyanis a diszkrét idej¶ bolyongás esetére ® határozta meg el®ször ezt a valószín¶séget [1]. Ha a Pólya-féle szám értéke egy, akkor a bolyongó biztosan visszatér, az ilyen bolyongást visszatér®nek nevezzük, ha pedig egynél kisebb akkor van bizonyos valószín¶sége annak, hogy a bolyongó soha nem tér vissza az indulás helyére, az ilyen bolyongást elszök®nek nevezzük. A klasszikus folytonos idej¶ bolyongásba beágyazható egy diszkrét idej¶ [4], így a kétféle bolyongás Pólya-féle száma megfeleltethet® egymásnak. A kvantumos esetben ilyen általános megfeleltetés egyenl®re nem ismert a diszkrét idej¶ bolyongás extra Hilbert tere miatt. Fontos fogalom a bolyongásoknál az elérési id® (hitting time), amely szorosan 2
kapcsolódik a Pólya-féle szám fogalmához. Jelent®s eltérést a klasszikus esett®l abban mutat, hogy kvantumosan ez végtelenné válhat véges gráfokon is. Ezt el®ször a diszkrét esetben mutatták meg [13]. A folytonos esetre való általánosításhoz a mérési eljárás megfelel® de níciójára van szükség, ezt csak nemrégiben találta meg Varbanov, Krovi és Brun [14]. Az elérési id® lehetséges de nícióiról és azok kapcsolatáról néhány speciális esetben összefoglalás található a [32] hivatkozásban. Dolgozatomban azt vizsgáltam, hogy mi a valószín¶sége annak, hogy különböz®, véges vagy végtelen sok pontból álló gráfokon történ® folytonos idej¶ kvantumos bolyongás esetén a bolyongót az indulás helyén mérjük. Ehhez el®ször általánosítottam a Pólya-féle szám fogalmát a folytonos idej¶ kvantumos bolyongásra. Ez nem volt magától értet®d®, ugyanis a diszkrét esetb®l nem kapható meg, mivel eddig nem ismert általános kapcsolat a két bolyongás között. A Pólya-féle szám de nícióját az is nehezítette, hogy ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátállapotába, ezáltal az adott operátor szerinti sajátállapotok szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren in nitezimális id® múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er®s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a vf pontban van. A folytonos idej¶ kvantumos bolyongás elérési idejének de niálásakor is hasonló problémák merültek fel a mérési eljárás megválasztásánál, ezért én is az ott de niált Poisson-folyamaton alapuló mérést használtam fel [14]. Javaslatuk szerint mindig ugyanazon a rendszeren kellene mérni, azonban ismert, hogy egy kvantummechanikai rendszeren végzett mérés megzavarja a rendszer unitér id®fejl®dését. Ezért a Poisson-folyamaton alapuló mérési eljárást ötvöztem a diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle számának de niálásakor alkalmazott méréssel, mikor is nem mindig ugyanazon a rendszeren mérünk, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer. Ezáltal elérhet®, hogy minden mérés új, addig zavartalan id®fejl®dés¶ rendszeren történik. A dolgozat els® részében röviden összefoglaltam azokat az irodalmi el®zményeket, melyek szükségesek az általam végzett számítások megértéséhez. Els®ként a diszkrét (1.1.1 fejezet), majd a folytonos idej¶ (1.1.2 fejezet) klasszikus bolyongás tulajdonságait valamint a bolyongások Pólya-féle számát ismertem. Ezt követ®en [9] és [10] alapján ismertetem a diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás de nícióját, és a bolyongás Pólya-féle számát (1.2 fejezet). Ezután [3] alapján ismertetem a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás de nícióját és alapvet® tulajdonságait (1.3.1). Az irodalmi áttekintés végén pedig röviden felidézem a folytonos idej¶ kvantumos véletlen bolyongás elérési idejének de nícióját (1.3.2 fejezet). A dolgozat második részében el®ször javaslok egy lehetséges de níciót a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle számára (2.1 fejezet), majd ezen de níciót alkalmazva analitikus eszközökkel meghatározom a periodikus lánc Pólya-féle számát (2.2 fejezet). Ismereteim szerint el®ttem ezt még senki nem tette meg. Ezután megvizsgálom el®ször az egy-, majd a magasabb dimenziós négyzetes rácsok Pólya-féle számát (2.3 ill. 2.4 fejezet). Végül az itt kapott eredményeket felhasználva néhány az irodalomban vizsgált, érdekes szerkezet¶ gráf esetén határozom meg, hogy a gráfon történ® folytonos 3
idej¶ kvantumos bolyongás visszatér®-e. (2.5 fejezet).
4
Tartalomjegyzék 1. Irodalmi el®zmények
1.1. A Pólya-féle szám klasszikusan . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Klasszikus diszkrét idej¶ bolyongás . . . . . . . . . . 1.1.2. Klasszikus folytonos idej¶ bolyongás . . . . . . . . . 1.2. A diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle száma . . . 1.2.1. A bolyongás alapvet® tulajdonságai . . . . . . . . . . 1.2.2. A Pólya-féle szám de níciója és tulajdonságai . . . . 1.3. Elérési id® a folytonos idej¶ kvantumos véletlen bolyongásra 1.3.1. A bolyongás alapvet® tulajdonságai . . . . . . . . . . 1.3.2. Az elérési id® de níciója . . . . . . . . . . . . . . . .
2. A folytonos idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle száma 2.1. A Pólya-féle szám de níciója . . . . . . . . . . . . 2.2. Periodikus lánc Pólya-féle száma . . . . . . . . . . 2.2.1. Origóbeli valószín¶ség . . . . . . . . . . . 2.2.2. A Pólya-féle szám értéke . . . . . . . . . . 2.3. A visszatérés valószín¶sége egy dimenzióban . . . 2.3.1. Az origóban való megtalálás valószín¶sége 2.3.2. A Pólya-féle szám értéke . . . . . . . . . . 2.4. Többdimenziós négyzetes rács . . . . . . . . . . . 2.4.1. Origóbeli valószín¶ség . . . . . . . . . . . 2.4.2. A Pólya-féle szám értéke . . . . . . . . . . 2.5. Egyéb rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Teljes gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Hermite gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Csillag-rács . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Kétdimenziós fés¶-rács . . . . . . . . . . .
3. Összefoglalás
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6 6 7 9 9 10 10 11 11
12
12 14 14 16 19 19 20 21 21 22 23 23 24 24 24
25
5
1. Irodalmi el®zmények 1.1. A Pólya-féle szám klasszikusan Ebben a fejezetben röviden áttekintjük, hogy a klasszikus esetben hogyan de niálták a bolyongást, valamit a Pólya-féle szám fogalmát. A bolyongás annak függvényében, hogy a bolyongó mikor léphet alapvet®en kétfajta lehet: diszkrétvagy folytonos idej¶. Els®ként foglalkozzunk a diszkrét idej¶ bolyongással.
1.1.1. Klasszikus diszkrét idej¶ bolyongás A klasszikus bolyongás legegyszer¶bb esete az egydimenziós rácson történ® bolyongás. A legkézenfekv®bb választás, ha a rácspontoknak az egész számokat feleltetjük meg. Ebben a modellben a bolyongó az origóból indul, és adott id®közönként egyenl®, 12 valószín¶séggel átlép valamelyik szomszédos egész számra. Ebben a pontban [1] és [2] alapján röviden áttekintjük, hogy mi a valószín¶sége annak, hogy a bolyongó visszatér a kiindulás helyére. Ezt a valószín¶séget els®ként Pólya György magyar származású matematikus számolta ki, ezért Pólya-féle számnak is nevezik. Jelöljük a bolyongó helyét az n-ik lépés után Sn -el. Nyilvánvaló, hogy a bolyongó páratlan lépés után csak páratlan, páros számú lépés után pedig csak páros pontban lehet. Nézzük azt az esetet, amikor a bolyongó 2n lépés után a 2k pontba jutott el. Ehhez 2k -szor kellett az adott irányba lépnie, valamint ezen felül még n − k lépést mindkét irányba, utóbbiak sorrendje szabadon választható. Ezen megfontolások alapján annak a valószín¶sége, hogy 2n lépés után a 2k pontban vagyunk: 2n P{S2n = 2k} = 2−2n . (1) n−k Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy ugyanez páratlan lépés esetén: 2n + 1 −(2n+1) P{S2n+1 = 2k + 1} = 2 . n−k
(2)
Jelöljük pn -nel annak a valószín¶ségét, hogy a bolyongó az n. lépés után az origóban van. Ekkor (1) alapján: 2k −2k p2k = P{S2k = 0} = 2 . (3) k A Stirling-formula alapján: 1
p2k ≈ (πk)− 2 .
(4)
Ezek után jelöljük A2k -val azt az eseményt, hogy a 2k -adik lépés után tér vissza el®ször, az ehhez tartozó valószín¶séget pedig jelöljük q2k -val:
q2k = P(A2k ). 6
(5)
Pólya György ezek alapján bebizonyította, hogy annak a valószín¶sége, hogy a bolyongó visszatér a következ®:
P =
∞ X
1 q2k = 1 − P∞
k=1
k=1
p2k
.
(6)
A p2k tagokat tartalmazó szummát (4) alapján alulról tudjuk becsülni, és kapjuk, hogy az összeg divergens, vagyis a bolyongó biztosan visszatér. Az ilyen bolyongást visszatér®nek nevezzük. Magasabb dimenzióban is hasonló gondolatmenetet kell alkalmazni. Ekkor minden lépésben 2d irányba mehet a bolyongó, ahol d a dimenziók számát jelöli, és az egyes lépések számát az egydimenziós tárgyalással analóg módon fel lehet osztani minden irányban. A dimenziófüggés az origóbeli megtalálás valószín¶ségében ez alapján d
pn ∼ n− 2
(7)
módon jelenik meg. Magasabb dimenzióban is (6) alakú összefüggés határozza meg a Pólya-féle P szám értékét. A (7) formula alapján egy és két dimenzióban ekkor is ∞ divergens a k=1 p2k összeg, míg magasabb dimenzióban konvergens. Egy és két dimenzióban a bolyongás tehát visszatér®, ugyanakkor magasabb dimenzióban van valószín¶sége annak, hogy a bolyongó soha nem tér vissza. Az ilyen bolyongást elszök®nek nevezzük.
1.1.2. Klasszikus folytonos idej¶ bolyongás Mint a neve is mutatja, a folytonos idej¶ bolyongás alapvet®en abban tér el a diszkrétt®l, hogy itt a bolyongó bármikor léphet. Az alábbiakban [3] alapján áttekintjük a bolyongás jellemz®it. Tegyük fel, hogy adott egy N pontból álló gráf, Γ(V, E), ahol V a pontok, E pedig az élek halmaza. A bolyongó egy lépésben egyik pontból a másikba léphet át, feltéve, hogy az egyik pontból a másikba el lehet jutni élek mentén. Ha ez nem lehetséges, akkor a bolyongó nem léphet az adott pontba. Két pontot, v1 -et és v2 -t (v1 , v2 ∈ V ) nevezzünk szomszédosnak, ha összeköti ®ket egy él, azaz létezik e ∈ E úgy, hogy e = {v1 , v2 }. Tegyük fel továbbá, hogy adott egy γ id®független konstans, amely annak a valószín¶sége, hogy egységnyi id® alatt a bolyongó a pillanatnyi helyér®l átlép egy másik pontba. Jelöljük a gráf egyes pontjait a = 1 . . . N indexekkel, annak a valószín¶ségét pedig, hogy a bolyongó t id® alatt az a pontból eljut a b pontba pba (t)-vel. Tegyük fel, hogy egy lépés alatt a bolyongó csak a szomszédos pontokba léphet át, és a kés®bbi könnyebb kezelhet®ség szempontjából vezessük be a következ® elemekkel leírható mátrixot: −γ, ha a és b szomszédok, 0, ha a és b nem szomszédok, Hba = (8) kγ, ha a = b. 7
ahol k azt jelöli, hogy egy adott pontnak hány szomszédja van, egy lépésben ennyi pontból érkezhet ide a bolyongó, a negatív el®jel az els® esetben pedig abból ered, hogy a bolyongó elléphet abból a pontból. Annak a valószín¶sége, hogy ε id® alatt a-ból b-be jut a bolyongó, ha εγ 1: −εHba + O(ε2 ), ha a 6= b pba (ε) = . (9) 1 − εHba + O(ε2 ), ha a = b Feltéve, hogy a rendszernek nincs memóriája, azaz a mozgás csak az adott pozíciótól függ, bármely t1 és t2 id®pontra fennáll a X pba (t1 + t2 ) = pbc (t2 )pca (t1 ) (10) c
összefüggés. Ez alapján
pba (t + ε) =
X
pbc (ε)pca (t).
(11)
c
Kis ε értékekre pedig (9) alapján:
pba (t + ε) = pba (t) − ε
X
Hbc pca (t) + O(ε2 ).
(12)
c
Ezt átrendezve:
X pba (t + ε) − pba (t) =− Hbc pca (t). ε c
(13)
Így pba (t)-re egy dierenciálegyenletet kaptunk:
X d Hbc pca (t). pba (t) = dt c Ennek megoldása a pba (0) = δab kezdeti értékkel: pba (t) = e−Ht ba .
(14)
(15)
Tehát a t id® alatt az a pontból a b pontba jutás valószín¶sége az e−Ht mátrix b-edik sorának a-adik eleme. Jelöljük τn -el az n-edik lépés idejét, Xn = X(τn )-el pedig a bolyongó helyét az n-edik lépés után. Ezzel egy folytonos idej¶be ágyazott diszkrét idej¶ bolyongást de niáltunk. Így alkalmazhatjuk a következ® állítást [4]: A folytonos idej¶ bolyongás i állapota akkor és csakis akkor visszatér®, ha a beágyazott diszkrét idej¶ bolyongás i állapota visszatér®. Ez alapján vissza tudjuk vezetni a folytonos idej¶ bolyongás Pólya-féle számát a diszkrét idej¶re, ugyanis a folytonos esetben is minden lépésben csak a szomszédos pontba léphet a bolyongó 21 valószín¶séggel, a diszkrét eset Pólya-féle számának de niálásakor pedig nem használtuk ki, hogy két lépés között azonos id® telik el. Tehát a folytonos idej¶ bolyongás Pólya-féle száma megegyezik a diszkrét idej¶ bolyongás Pólya-féle számával. 8
1.2. A diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle száma A kvantumos bolyongás fogalmát Aharonov, Davidovich és Zagury vezette be [5]. A rendszer unitér id®fejl®dése szempontjából a kvantumos bolyongás kétféle lehet: diszkrét idej¶, amikor egy érmeoperátor fejleszti a rendszert [6, 7, 8]; vagy pedig folytonos idej¶ [3]. El®ször [9] és [10] alapján nézzük meg a diszkrét esetet.
1.2.1. A bolyongás alapvet® tulajdonságai Ez a modell az 1.1.1 pontban de niált modell kvantált változata. Az egyes rácspontoknak egy kvantumállapotot feleltetünk meg. A kvantumrendszer ezen állapotokban lehet, az állapotok pedig a rácsnak való megfeleltetés szerint követhetik egymást. Tekintsünk egy d dimenziós rácson, Zd -n történ® bolyongást [10]. Az állapotok Hilbert tere ekkor a következ®:
H = Hp ⊗ H c ,
(16)
ahol Hp a hely-, Hc pedig az érmetér (coin space). A hely teret az |mi állapotok feszítik ki az alábbi módon:
Hp = Span{|mi : m = {m1 , m2 . . . md } ∈ Zd }.
(17)
A Hc érmeteret a bolyongás topológiája határozza meg. Hc dimenzióját jelölje c, amely azon lehetséges irányok száma, ahová a bolyongó egy lépés során léphet. Jelöljük ezeket az irányokat a következ® módon:
e i ∈ Zd ,
(i = 1 . . . c).
(18)
Ha minden egyes iránynak megfeleltetünk egy |ei i kvantumállapotot, akkor az érmetér
Hc = Span{|ei i : i = 1 . . . c}.
(19)
Egy lépés úgy történik, hogy a következ® operátorral hatunk az állapotra:
U = S(Ip ⊗ C),
(20)
ahol Ip a Hp téren ható egységoperátor, C az érmeoperátor (coin ip), S pedig a léptet® operátor. A C érmeoperátor alakját a kiválasztott érme határozza meg, de kiegyenlített (unbiased) bolyongás esetén C minden elemének azonos abszolút érték¶nek kell lennie. Az S léptet® operátort a következ®képpen de niáljuk:
S=
c X
|m + ei ihm| ⊗ |ei ihei |,
(21)
i=1
amib®l látható, hogy S a bolyongót az |mi állapotból az |m + ei i állapotba lépteti, ha az érme állapota |ei i.
9
1.2.2. A Pólya-féle szám de níciója és tulajdonságai A diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle számát els®ként M. tefa¬ák, T. Kiss és I. Jex de niálták és vizsgálták [9]. A klasszikus esettel összehasonlítva a kvantumos de níció alapjában abban különbözik, hogy egy mérési eljárást is tartalmaz. Ezt az indokolja, hogy a kvantummechanikai rendszerek alapvet® természetéb®l fakadóan a rendszeren végzett mérés megzavarja a rendszer unitér id®fejl®dését. Ennek hatását a következ® mérési eljárással próbálták csökkenteni [9]: a diszkrét bolyongás de níciója miatt adott egy id®tartam, amikor a bolyongó lép. Mérjük meg minden lépés után, hogy a bolyongó az indulás helyén van-e, de ne ugyanazon a rendszeren, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer. Ezáltal elérhet®, hogy minden mérés új, addig zavartalan id®fejl®dés¶ rendszeren történik. A Pólya-féle szám de níciója ez alapján a következ®: jelöljük p0 (t)-vel annak a valószín¶ségét, hogy a bolyongó a t-edik lépés után az indulás helyén van, és az egyszer¶ség kedvéért tegyük fel hogy ez az origó. Annak a valószín¶sége, hogy a bolyongó a t-edik lépés után nincs az origóban nyilván 1 − p0 (t). Azok az események, hogy a t-edik lépés után a bolyongó nincs az origóban független események, így annak a valószín¶sége, hogy a bolyongó n lépés után sem volt még az origóban: n Y P¯n = [1 − p0 (t)]. (22) t=1
Ennek az ellentett eseménye az az esemény, hogy a bolyongó n lépés alatt legalább egyszer visszatért, így véve az n → ∞ határesetet a Pólya-féle szám de níciója: ∞ Y P = 1 − [1 − p0 (t)]. (23) t=1
Bizonyítható [10], hogy a (23) formulában szerepl® produktum akkor nulla, ha az
S=
∞ X
p0 (t)
(24)
t=1
összeg divergens. Megjegyezzük, hogy a klasszikus esetben de niált Pólya-féle szám esetében ugyanilyen alakú szummának a divergenciáját kellett vizsgálni. Klasszikusan kiegyensúlyozott érmével a bolyongás egy- és két dimenzióban visszatér®, magasabb dimenzióban pedig elszök®. A fenti de níció alapján a Pólya-féle szám értéke a diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás esetében függ attól, hogy milyen érmét választunk, valamint az érme kezd®állapotától is [9, 10]. Ezen paraméterek változtatásával elérhet®, hogy a bolyongás már két dimenzióban is elszök® legyen, valamint megfelel® érmét és kezd®állapotot választva magasabb dimenzióban is konstruálható visszatér® bolyongás.
1.3. Elérési id® a folytonos idej¶ kvantumos véletlen bolyongásra Ebben a fejezetben áttekintjük a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás de nícióját és alapvet® tulajdonságait, valamint az elérési id® fogalmát. Erre azért van 10
szükség, mert a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás elérési idejének de niálása során olyan új gondolatmenetet alkalmaztak, amelyet részben én is felhasználtam.
1.3.1. A bolyongás alapvet® tulajdonságai A klasszikus folytonos idej¶ bolyongásból [3] alapján a következ® módon kapjuk meg a bolyongás kvantumos megfelel®jét: a Γ(V, E) gráfban az N pontnak feleltessük meg egy N dimenziós Hilbert-tér ortonormált {|ai : a = 1 . . . N } bázisát, ezek lesznek a kvantumállapotok, amiken a bolyongás történik. A rendszer Hamilton operátorának elemei a klasszikus esetben használt mátrix (8) alapján: −γ, ha |ai és |bi szomszédos állapotok, ˆ 0, ha |ai és |bi nem szomszédosak, ha|H|bi = (25) kγ, ha |ai = |bi. A rendszer id®fejl®dését biztosító operátor
Uˆ (t) = e−iHt
(26)
alakú, így a rendszer állapotát t id® elteltével a következ®képpen határozhatjuk meg:
|Ψ(t)i = e−iHt |Ψ(0)i.
(27)
1.3.2. Az elérési id® de níciója A klasszikus bolyongások esetében a vf ponthoz tartozó τh elérési id® (hitting time) [13] az az átlagos id®tartam, aminek elteltével a bolyongó eljut ebbe a pontba, adott pi kezdeti eloszlás mellett. Matematikai formalizmussal ezt a következ®képpen írhatjuk:
τh =
∞ X
tp(t),
(28)
t=0
ahol p(t) annak a valószín¶sége, hogy a bolyongót a t-edik lépés után találjuk el®ször a vf pontban. Az elérési id® kvantumos de níciója egy mérési eljárást is kell tartalmazzon. Ez azért van, mert ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátértékébe, ezáltal az adott operátor szerinti sajátértékek szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren in nitezimális id® múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er®s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a vf pontban van. A diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás esetében a bolyongás diszkrét jellege miatt a mérési id®pontok adottak, így ezen problémák könnyen kezelhet®ek. Épp ezért a diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás elérési idejének de niálásával és annak tulajdonságaival [11, 12] már több szerz® is foglalkozott, köztük H. Krovi és T.A. Brun is, akik egyik cikkükben [13] leírják, hogy a folytonos idej¶ kvantumos véletlen bolyongás elérési idejének de níciója a 11
fentebb említett problémák miatt nehéz, nem magától értet®d®. Kés®bbi cikkükben [14] M. Varbanovval közösen adtak egy lehetséges de níciót az elérési id®re a folytonos idej¶ esetben. A de níciót alkalmazva megvizsgálták a túl er®s és túl gyenge mérés esetén az elérési id®t, és azt kapták, hogy az mindkét mérési módszer esetén divergens. Ebb®l arra a következtetésre jutottak, hogy a mérés er®sségére bevezethet® egy λ paraméter, amely optimalizálható. Az általuk de niált mérési eljárás a következ®: legyen adott egy δt rövid intervallum, és egy ε valószín¶ség. Ekkor δt id®közönként ε valószín¶séggel megmérjük, hogy a rendszer a |vf i állapotban van-e, 1 − ε valószín¶séggel pedig hagyjuk a rendszert unitér módon tovább fejl®dni. Ezután vegyük az ε → 0, δt → 0 határesetet, miközben ε = λ, (29) lim lim ε→∞ δt→∞ δt ahol 0 < λ < ∞ állandó. Ezzel egy Poisson-folyamatot de niáltak. Az elérési id® pontos de níciójára ezen dolgozat keretei között nem térek ki, mivel a kés®bbiek megértése szempontjából csak a mérési eljárás ismerete szükséges.
2. A folytonos idej¶ kvantumos bolyongás Pólyaféle száma 2.1. A Pólya-féle szám de níciója A klasszikus esetben láttuk, hogy a folytonos idej¶ bolyongásba természetes módon beágyazható egy diszkrét idej¶ bolyongás, ez alapján pedig a folytonos eset Pólya-féle száma visszavezethet® a diszkrét esetére. A kvantumos esetben nincs természetes beágyazás, így nem találunk magától értet®d® de níciót. Ennek zikai oka az, hogy mint azt a korábbi fejezetekben láttuk, a kvantumos diszkrét idej¶ bolyongás esetében az érme egy extra Hilbert-teret jelent, aminek nincs közvetlen megfelel®je a folytonos idej¶ kvantumos esetben. Ugyanezen extra Hilbert-tér miatt nem kapható meg általánosan a folytonos eset a diszkrét eset határeseteként úgy, hogy a lépések közötti id®tartammal nullához tartunk. Néhány nagyon speciális esetben a két bolyongás megfeleltethet® egymásnak, azonban általános megfeleltetés eddig nem ismert, a két bolyongás közötti általános kapcsolat ma is aktívan kutatott terület [17, 18]. A Pólya-szám de níciójának tartalmaznia kell egy mérési eljárást. Ez azért van, mert ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátállapotába, ezáltal az adott operátor szerinti sajátállapotok szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren in nitezimális id® múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er®s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a vf pontban van. Az elérési id®nek folytonos idej¶ kvantumos véletlen bolyongásra való de niálása során a mérés gyakoriságának megválasztása hasonló problémát jelentett. Ott ennek megoldására egy Poisson folyamatot alkalmaztak: δt id®közönként ε valószín¶séggel megmérjük, hogy a rendszer a 12
|vf i állapotban van-e, 1 − ε valószín¶séggel pedig hagyjuk a rendszert unitér módon tovább fejl®dni. Ezután vesszük a δt → 0, ε → 0 határesetben, miközben ε =λ ε→0 δt→0 δt
(30)
lim lim
állandó. Így kapunk mérési id®pontokat, amikor mérünk a rendszeren. A diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle számának de niálásakor[9, 10] gyelembe vették, hogy ha egy kvantumos rendszeren mérünk, akkor a méréssel megzavarjuk a rendszer unitér id®fejl®dését. Ezért a következ® eljárást javasolták: ne ugyanazon a rendszeren, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer. Ezáltal elérhet®, hogy minden mérés új, addig zavartalan id®fejl®dés¶ rendszeren történik. Az általam javasolt Pólya-féle szám de níciója ezek alapján a következ®: δt id®közönként ε valószín¶séggel feljegyezzük az adott ni δt (ni ∈ N) pillanatot egy id®sorba, 1 − ε valószín¶séggel pedig kihagyjuk az id®sorból. Így kapunk egy {ti }∞ i=1 id®sort, azon id®pontokat amikor mérünk. Ezután ezt az eljárást vegyük a δt → 0, ε → 0 határesetet, miközben
ε =λ ε→0 δt→0 δt
(31)
lim lim
állandó. Egy mérés úgy történik, hogy a rendszerre hattatjuk a és
P0 = |v0 ihv0 |
Qf = I − P 0
(32)
operátorokat, ahol |v0 i azt az állapotot jelöli, ahonnan a rendszert indítottuk, az egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy ez az origó volt, |v0 i = |0i. Minden mérés egy ugyanolyan, azonos módon fejlesztett rendszerekb®l álló sokaság egy elemén történik, és minden mérés után új rendszert veszünk. A Pólya-féle számot a diszkrét esettel analóg módon de niáltam. Bevezettem a
P¯n =
n Y [1 − p0 (ti )]
(33)
i=1
mennyiséget, annak a valószín¶ségét, hogy a bolyongó a tn id®pontban végzett mérés után sem volt még az origóban. Ez alapján a Pólya-féle szám:
P =1−
∞ Y
[1 − p0 (ti )].
(34)
i=1
A [10]-ban szerepl® állítás, mely azt mondja ki, hogy a (23)-ban szerepl® produktum akkor nulla, ha az
S=
∞ X
p0 (t)
(35)
t=1
összeg divergens az általam de niált Pólya-féle számra is érvényes, ugyanis az állítás bizonyítása sehol nem használja ki, hogy az egyes mérési id®pontok között azonos 13
id® telik el, vagy hogy t egész. Tehát a bolyongás elszök® vagy visszatér® jellege a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás esetén attól függ, hogy az
S=
∞ X
p0 (ti )
(36)
i=1
összeg divergens-e vagy sem.
2.2. Periodikus lánc Pólya-féle száma Els®ként olyan rendszereket vizsgáltam, melyek N állapotból állnak, amelyek periodikus láncot alkotnak, azaz a bolyongást jellemz® gráf N pontból áll, minden pontnak 2 szomszédja van, az N -edik pontot pedig az els® ponthoz csatlakoztattuk. Ilyen rendszereken már kísérletileg is tanulmányozták a folytonos idej¶ kvantumos bolyongást [19]. Es®ként meghatároztam annak a valószín¶ségét, hogy a ti id®pontban a bolyongó az origóban van, majd beláttam, hogy a bolyongás visszatér®.
2.2.1. Origóbeli valószín¶ség A legkézenfekv®bb reprezentációnak az t¶nt, hogy az N állapotnak egy N dimenziós vektortér bázisvektorait feleltettem meg, az |ii (i = 1 . . . N ) állapotnak az i-edik bázisvektort. Ekkor a Hamilton-operátor mátrixelemei: −γ, ha |ai és |bi szomszédos állapotok, ˆ 0, ha |ai és |bi nem szomszédosak, ha|H|bi = (37) 2γ, ha |ai = |bi. Indítsuk a rendszert az |1i állapotból, azaz a kezdeti hullámfüggvény
|Ψ(0)i = |1i.
(38)
|Ψ(t)i = e−iHt |Ψ(0)i = e−iHt |1i
(39)
Az id®fejl®dés ekkor alakú. Az origóban a megtalálás valószín¶sége
p0 (t) = |h1|e−iHt |1i|2 .
(40)
Ez az e−iHt mátrix (1, 1) eleme abszolútértének a négyzete. Tehát a valószín¶ség kiszámításához ki kell számolnunk ezt a mátrixhatványt. Általában egy N × N -es mátrix hatványát nem lehet általánosan felírni, ebben a reprezentációban azonban mégis egzaktul meg tudtam adni a valószín¶séget az id® függvényében. Mindez azon a felismerésen alapult, hogy a periodikus lánc (37) formulával megadott Hamilton operátora ciklikus mátrix. Az els® sor elemei által egyértelm¶en meghatározott c0 c1 c2 . . . cn−1 cn−1 c0 c1 . . . cn−2 C(c0 , c1 , . . . , cn−1 ) = cn−2 cn−1 c0 . . . cn−3 (41) .. .. .. . . .. . . . . . c1 c2 c3 . . . c0 14
[20]. Egy C szimmetrikus ciklikus mátrix f (C) mátrixfüggvényének általános eleme megadható annak függvényében, hogy a mátrix páros vagy páratlan rend¶ [20]. Ha C páratlan, azaz 2n + 1-edrend¶, akkor ! n X 1 f c0 + 2 cν + {f (C)}pq = 2n + 1 ν=1 ! n n X (p − q)2kπ 2 X 2νkπ cos , (42) + f c0 + 2 cν cos 2n + 1 2n + 1 2n + 1 ν=1 mátrixot ciklikus mátrixnak nevezzük ciklikus mátrixnak
k=1
ha pedig C páros, azaz 2n-edrend¶, akkor ( ! n−1 X 1 {f (C)}pq = f c0 + cν + 2 cν + 2n + 1 ν=1 !) n−1 X (−1)ν cν + +(−1)p+q f c0 + (−1)n cn + 2 ν=1
1 + n
n−1 X
f
k=1
k−1 X
νkπ cos c0 + (−1)k cn + 2 n ν=1
! cos
(p − q)kπ . n
(43)
Mi az e−iHt mátrix (1, 1) elemét szeretnénk meghatározni. Mivel c0 = −2iγt, c1 = iγt, a többi elem pedig 0, az origóban találás valószín¶sége a t id®pontban ekvivalens átalakításokkal az alábbi alakba írható ha páratlan, N = 2n + 1 állapotból álló rendszert vizsgálunk:
p0 (t) =
n X 1 4 + cos(2γtξkj ), (2n + 1)2 (2n + 1)2 i=1,j=0
(44)
ahol
ξkj = cos
2jπ 2kπ − cos , 2n + 1 2n + 1
(45)
ha pedig N = 2n páros: n n−1 1 1 XX 1 p0 (t) = 2 + 2 cos(2γtζkj ) + 2 cos(4γt), 2n n j=0 i=1 2n
(46)
ahol
ζkj = cos
kπ jπ − cos . n n
(47)
Tehát zárt alakban megkaptuk az origóban való megtalálás valószín¶ségét tetsz®leges, N pontból álló periodikus láncra. Az 1. és 2. ábrán erre láthatunk két példát.
15
PHtL 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
t 0
5
10
15
20
25
1. ábra. 40 pontból álló rendszer esetén az origóban találás valószín¶sége az id® függvényében PHtL 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
t 0
10
20
30
40
2. ábra. 61 pontból álló rendszer esetén az origóban találás valószín¶sége az id® függvényében
2.2.2. A Pólya-féle szám értéke A Pólya-féle szám de níciója (2.1 fejezet) alapján az
S=
∞ X i=1
16
p0 (ti )
(48)
összeg konvergenciáját kell meghatározni. Err®l a következ®kben be fogom látni, hogy bár a de niált mérési eljárással elképzelhet® olyan {ti } mérési sorozat amelyre a szumma nem végtelen, de annak a valószín¶sége hogy ilyen mérést végezzünk bármely pozitív számnál kisebb lehet, azaz 0. Ismert matematikai tétel, hogy egy analitikus függvény zérushelyei csak a végtelenben torlódhatnak. p0 (t) analitikus, mivel véges sok koszinusz összege. A koszinusz függvény deriválási szabály alapján könnyen igazolható hogy p00 (t) is analitikus, ugyanis véges sok szinusz összege. Ezért p0 (t) széls®értékei sem torlódhatnak. A koszinusz függvény folytonos, így p0 (t) is folytonos. Mivel p0 (t) véges sok koszinusz összege, ezért csak akkor tarthat nullához t → ∞ esetén, ha azonosan nulla, de ez jelen esetben nem igaz, ugyanis p0 (0) = 1, mert a rendszert az origóból indítottuk. Ezen tulajdonságok alapján most belátjuk, hogy nulla annak a valószín¶sége, hogy az (48) összeg konvergens. Nyilvánvaló, hogy a p(t) függvény két maximuma között lennie kell egy minimumnak is ha a függvény nem konstans. Ha konstans, akkor a szumma mindenképp divergens. Ha a függvény nem konstans, akkor válasszunk egy 0 < ε < 1 értéket. Ennek segítségével a szummát becsülni tudjuk a következ® módon: ∞ X
X
p0 (ti ) ≥
i=1
(49)
p0 (ti ).
p0 (ti )>ε
Jelöljük ni -vel az i-edik minimum helyét. Vezessük be a δi mennyiséget, amely annak az intervallumnak a mérete az i-edik minimum körül, melyen p(t) < ε. Legyen a vizsgált id®tartam t = mN , és ezen id® alatt vegyünk M mintát a függvényb®l. Annak a valószín¶ségét keressük, hogy ezen M pont közül j egy ε értéknél nagyobb. Ez a valószín¶ség nyilván
M P (j) = j
PN −1 i=1
δi
!M −j
t
t−
PN −1 i=1
t
δi
!j .
(50)
A második tényez® nyilván kisebb mint 1, mert a [0, t] intervallum tartalmazza az összes δi intervallumot, és az is nyilvánvaló, hogy nem lehet egyenl® ezen intervallumok összegével, mert ezek az intervallumok nem tartalmazzák a maximumokat. Jelöljük ez a továbbiakban η -val, amir®l tudjuk, hogy η < 1. Hasonló gondolatmenet alapján belátható, hogy az utolsó tényez® is kisebb mint egy, jelöljük ezt µ-vel, µ < 1. Tehát a valószín¶ség a következ® formába írható: M M −j j P (j) = η µ. (51) j Most vegyük azt a határesetet, amikor végtelen sok mérési pontot veszünk, azaz M → ∞, és annak a valószín¶ségét keressük, hogy csak véges sok pont nagyobb az ε értéknél. Azaz a következ® limeszt vesszük: M M −j j P∞ (j) = lim η µ. (52) M →∞ j 17
Az utolsó tényez®ben nincs M függés, valamint µ < 1, ezért M M −j η . P∞ (j) < lim M →∞ j
(53)
A binomiális tagot faktoriálisokra szétbontva:
M! η M −j . M →∞ (M − j)!j!
(54)
M! η M −j . M →∞ (M − j)!
(55)
P∞ (j) < lim Mivel j ≥ 1 ezért
P∞ (j) < lim Írjuk ki a faktoriálisokat is:
M (M − 1)(M − 2) . . . (M − j)! M! = = M (M − 1)(M − 2) . . . (M − j + 1). (M − j)! (M − j)! (56) Az M tényez®b®l M − j darabot elhagytunk, azaz j darab maradt. Így a fenti szorzatot becsülhetjük az alábbi módon:
M! = M (M − 1)(M − 2) . . . (M − j + 1) < M j . (M − j)!
(57)
Ez alapján a valószín¶ség:
M! ηM η M −j < lim M j j . M →∞ (M − j)! M →∞ η
P∞ (j) < lim
(58)
Mivel η > 0, valamint j > 0 és véges, ezért a nevez® kiemelhet® a fenti limeszb®l, a
lim M j η M
M →∞
(59)
limeszr®l pedig látható hogy nullához tart ha M → ∞, ugyanis az els® tényez® polinomiális sebességgel tart végtelenhez, a második tényez® pedig exponenciális gyorsasággal nullához. Az id®függés csak az η és µ mennyiségekben jelent meg. A levezetés során ezekr®l a mennyiségekr®l csak azt használtam ki hogy egynél kisebbek, ez pedig bármely t-re fennáll ha ε > 0. Így megállapíthatjuk, hogy
P∞ (j) = 0.
(60)
Azt kaptuk tehát, hogy ha végtelen sok mérési id®pontot választunk, akkor ezen id®pontokban vett valószín¶ségek között végtelen sok olyan lesz, amely nagyobb egy ε > 0 értéknél. Ezért a (49) egyenl®tlenség miatt az
S=
∞ X
p0 (ti )
i=1
összeg divergens, azaz a bolyongás visszatér®, a Pólya-féle szám értéke 1. 18
(61)
2.3. A visszatérés valószín¶sége egy dimenzióban 2.3.1. Az origóban való megtalálás valószín¶sége A periodikus láncnál alkalmazott módszer használható lenne a végtelen pontú határesetben is, azonban a kés®bbi számítások megkönnyítése érdekében a visszatérés valószín¶ségét a Hamilton operátor sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek segítségével fogom meghatározni. Els®ként most is N pontú egydimenziós periodikus láncot veszünk, majd kés®bb a pontok számával tartunk a végtelenbe. Ezt a határátmenetet könnyíti meg a következ® módszer. Jelöljük λn -el a (37) mátrixelemekkel de niált H mátrix n-edik sajátértékét, Λ-val a bel®lük alkotott sajátértékmátrixot, az ortonormált sajátvektorokból felépített mátrixot pedig jelöljük Q-val, ekkor H = Qe−itγΛ Q−1 . Így annak a valószín¶sége, hogy t id® alatt a rendszer a |ji állapotból eljut a |ki állapotba [30]:
πkj (t) = |αkj (t)|2 = |hk|Qe−itγΛ Q−1 |ji|2 .
(62)
A γ paramétert az egyszer¶ség kedvéért válasszuk egynek, ez a rendszer zikai tulajdonságait nem befolyásolja, tekinthetjük úgy is hogy ezzel egy másik id®skálára tértünk át. A Hamilton operátor hatása a |ji állapotra a következ®:
H = 2|ji − |j − 1i − |j + 1i.
(63)
Az id®független Schrödinger-egyenletet az alábbi módon írhatjuk fel:
H|Φθ i = Eθ |Φθ ,
(64)
N 1 X −iθj e |ji |Φθ i = √ N j=1
(65)
Eθ = 2 − 2 cos θ
(66)
1 X iθj |ji = √ e |Φθ i, N θ
(67)
ahol
és
Belátható, hogy
valamint hogy a sajátállapotok ortogonálisak egymásra, azaz hΦθ0 |Φθ i = δθθ0 . Ekkor az αjk (t) átjutási amplitudó a következ®képpen írható: 1 X 1 X −iEθ t −iθ(k−j) 0 αkj (t) = hΦθ |e−iθk e−iHt eiθ j |Φθ i = e e . (68) N 0 N θ
θθ
A periodikus határfeltétel miatt θ = egyenlet a következ® alakot ölti:
2nπ N
kell legyen, ahol 0 < n ≤ N . Ekkor a fenti
N e−i2t X i2t cos( 2nπ ) −i2πn(k−j) N e N αkj (t) = e N n=1
19
(69)
Véve az N → ∞ határesetet:
e−2it lim αkj (t) = N →∞ 2π
Z
π
dθe−iθ(k−j) ei2t cos θ = ik−j e−2it Jk−j (2t).
(70)
−π
Ezen formula alapján az origóba való visszatérés, azaz annak a valószín¶sége hogy az origóból indítva a rendszert t id® múlva ismét az origóban van:
p0 (t) = π00 (t) = |α00 (t)|2 = J02 (2t),
(71)
ahol J0 a nulladrend¶ els®fajú Bessel-függvény.
2.3.2. A Pólya-féle szám értéke Az origóban való mérés valószín¶ségét már tudjuk, most azt kell meghatároznunk, hogy egy adott {ti }∞ i=1 id®sor mellett a
S=
∞ X
(72)
p0 (ti )
i=1
összeg divergens-e, ugyanis ha divergens akkor a bolyongás visszatér®, ha pedig konvergens, akkor a bolyongás elszök®. A Jm (x) alakú Bessel-függvényekr®l tudjuk, hogy ha x sokkal nagyobb mint m akkor a Bessel-függvény a következ® asszimptotikus alakba írható [35]: r 2 mπ π Jm (x) ∼ cos x − − (73) πx 2 4 Tehát az általunk vizsgált p0 (t) = J02 (2t) függvény burkolója 1t alakú. Vizsgáljuk meg els®ként azt az esetet, hogy nem a p0 (ti ), hanem az t1i értékeket adjuk össze, azaz vizsgáljuk meg az ∞ X 1 S(t) = t i=1 i
(74)
összeg konvergenciáját. Ez az összeg nyilván becsülhet® a következ® módon: jelölje g(t) a [t − 1, t], t ∈ N intervallumban lév® mérési pontok számát, ekkor ∞ X t=1
Tudjuk, hogy a
P∞
1 t=1 t
∞
∞
X 1 X1 1 g(t) ≤ ≤ g(t) . t t t − 1 i t=1 i=1
(75)
összeg divergens, a
∞ ∞ X X 1 1 = t−δ 1+δ t t t=1 t=1
ahol
δ>0
(76)
összeg viszont már konvergens. Tehát ha t → ∞ akkor a g(t) értékeknek nullához kellene tartaniuk, azaz g(t) várható értéke nulla lenne. Ez azonban ellentmond 20
annak, hogy a g(t) várható értéke a Poisson-folyamat λ paramétere, mivel g(t) azt adja meg hogy egy egységnyi intervallumban hány mérési pont van. A vizsgált p0 (t) függvény kisebb 1t -nél, azonban a (73) formula alapján alkalmazható rá a véges rendszereknél alkalmazott gondolatmenet a következ® módosítással: most nem ε-nal becsüljük alulról az egyes értékeket, hanem εt -vel. Így az ott alkalmazott további gondolatmenettel belátható, hogy nulla annak a valószín¶sége, hogy az
S=
∞ X
p0 (ti )
(77)
i=1
összeg konvergens nulla, tehát a bolyongás visszatér®, azaz a Pólya-féle szám egy.
2.4. Többdimenziós négyzetes rács 2.4.1. Origóbeli valószín¶ség A valószín¶ség meghatározásához használjuk az egydimenziós esetben alkalmazott formalizmust, és els®ként vizsgáljunk d dimenziós, N d pontból álló négyzetes rendszereket, azaz minden pontnak 2d szomszédja van. Az egyes kvantumállapotokat jelöljük a következ® módon [25]: |ji = |j1 , j2 . . . jd i ahol ji = 1, 2, . . . N . A Hamilton operátor hatása egy adott |ji állapotra ekkor a következ®:
H|ji = 2d|ji − |j1 + 1, j2 . . . jN i − |j1 − 1, j2 . . . jN i − . . . −|j1 , j2 . . . jN + 1i − |j1 , j2 . . . jN − 1i
(78)
Az id®független Schrödinger egyenletet az alábbi módon írhatjuk:
H|Φθ i = Eθ |Φθ i,
(79)
ahol a (65) formulához hasonlóan
|Φθ i =
1 X N
d 2
e−iθj |ji,
(80)
j
csak most θ is vektor, θ = (θ1 , θ2 . . . θN ). Az egyes energiaértékek pedig a következ®k:
Eθ =
N X
Eθi ,
ahol
Eθi = 2 − 2 cos(θi ).
(81)
i=1
Az el®z® fejezethez hasonlóan a |ji állapotokat most is kifejezhetjük az alábbi formulával: 1 X iθj e |Φθ i. (82) |ji = d N2 θ A πkj (t) valószín¶séget most is az el®z® pontban alkalmazott módszerrel számíthatjuk ki:
πkj (t) == |αkj (t)|2 = |hk|Qe−itγΛ Q−1 |ji|2 . 21
(83)
A periodikus határfeltétel miatt θi = δθθ0 :
αkj (t) =
2nπ , N
valamint kihasználva, hogy hΦθ0 |Φθ i =
1 X −iEθ t −iθ(k−j) e e . Nd θ
(84)
Az N → ∞ határesetben a πkj (t)valószín¶ségre a következ®t kapjuk:
πkj (t) =
d Y
!2 (85)
Jki −ji (2t)
i=1
Tehát annak a valószín¶sége, hogy a t id®pontban a bolyongót az origóban mérjük: (86)
p0 (t) = (J0 (2t))2d
2.4.2. A Pólya-féle szám értéke Az origóban való mérés valószín¶sége a (86) és (73) összefüggés alapján felülr®l alakú függvénnyel becsülhet®. Alkalmazzuk az egydimenziós esetben használt jelöléseket, így most is becsülhetjük az S összeget a következ® módon: 1 td
∞ X t=1
∞
∞
X 1 X 1 1 g(t) d ≤ g(t) . ≤ d d t (t − 1) t i t=1 i=1
(87)
Mivel most olyan esetet nézünk ahol d ≥ 2, ahhoz hogy a fenti összeg divergens legyen a g(t) értékek várható értékének t → ∞ esetben divergálna kéne, ami ellentmond annak, hogy g(t) várható értéke λ < ∞. Tehát a szumma konvergens, a bolyongás visszatér®. Az el®bbi eredményre kicsit más módon is eljuthatunk. Nézzük meg mi a valószín¶sége annak, hogy az összes [t − 1; t], t ∈ N intervallumban t-nél kevesebb pont van. A Poisson-eloszlásról tudjuk, hogy annak a valószín¶sége, hogy egy egységnyi intervallumban t-nél kevesebb pont van:
P (< t) =
t−1 k X λ k=0
k!
(88)
e−λ .
Ez alapján annak a valószín¶sége, hogy minden intervallumban az adott intervallumhoz tartozó t-nél kevesebb pont van: ! ! ∞ t−1 k ∞ ∞ Y X Y X λ −λ λk −λ P (∞, < t) = 1− e = e . (89) k! k! t=1 t=1 k=0
k=t
Az ilyen alakú szorzatról viszont tudjuk [10], hogy akkor 0, ha a ∞ X ∞ X λk t=0 k=t
k!
22
e−λ
(90)
összeg divergens. Alkalmazzuk a következ® jelölést:
f (t) =
∞ X λk k=t
k!
(91)
e−λ .
Vizsgáljuk meg hogy milyen gyorsan csökken az f (t) függvény, azaz képezzük az f (t) − f (t + 1) összeget. Ez nyilván
f (t) − f (t + 1) =
∞ X λk k=t
k!
−λ
e
∞ X λk −λ λt −λ − e = e . k! t! k=t+1
(92)
Err®l látható, hogy nagy t értékekre bármely hatványnál gyorsabban tart nullához, azaz t12 -nél is. Azaz létezik olyat t∗ véges szám, amire f (t) < t12 ha t > t∗ . Tehát (90) összeg a következ® módon becsülhet®: ∞ X
[t∗ +1]
f (t) <
X
f (t) +
t=[t∗ +1]+1
t=0
t=0
∞ X
1 , t2
(93)
ahol [x] az x egészrészét jelöli. Mivel t∗ véges, f (t) pedig korlátos, ezért a (48) összeg konvergens, azaz nem nulla annak a valószín¶sége, hogy minden [t − 1; t] intervallumban t-nél kevesebb pont van. Ekkor azonban √ g(t) becsülhet® t -vel, azaz g(t) < t. A fenti levezetést alkalmazhatjuk t helyett t-re √ is, azaz annak a valószín¶sége sem nulla hogy√minden [t − 1; t] intervallumban t-nél kevesebb pont van. Ekkor azonban g(t) < t módon becsülhet®, így véges valószín¶séggel a ∞ X t=1
∞
X√ 1 1 g(t) < t d (t − 1) (t − 1)d t=1
(94)
összeg konvergens, tehát a bolyongás elszök®, a Pólya-féle szám egynél kisebb.
2.5. Egyéb rendszerek Ebben a fejezetben az eddig elhangzottak alkalmazásaként megvizsgálom néhány, az irodalomban vizsgált gráfon történ® bolyongás Pólya-féle számát.
2.5.1. Teljes gráf Teljes gráfon egy olyan n pontból álló gráfot értünk, amelyben minden pont össze van kötve minden ponttal. Ekkor az origóban való megtalálás valószín¶ségi amplitudója [36]:
1 −it(n−1) e + (n − 1)eit , n ebb®l az origóban való megtalálás valószín¶sége: 1 1 2 2 p0 (t) = |q0 (t)| = 2 1 + (n − 1) + 2(n − 1) cos 1 + t . n n−1 q0 (t) =
(95)
(96)
Err®l látható hogy periodikus, ezért az egydimenziós véges rendszerekhez hasonlóan a bolyongás visszatér®. 23
2.5.2. Hermite gráf Véges sok pontból álló Hermite gráf esetén az origóban való megtalálás valószín¶ségi amplitudója [36]:
1 q0 (t) = 2
q q √ √ cos 3 + 6 t + cos 3− 6 t ,
(97)
ebb®l
q q 2 √ √ 1 p0 (t) = |q0 (t)| = cos 3 + 6 t + cos 3− 6 t . 2 2
(98)
Látható, hogy p0 (t) ismét periodikus függvény, tehát a bolyongás visszatér®. Végtelen sok pontból álló Hermite gráf esetén −t2 2
,
(99)
p0 (t) = e−t .
(100)
q0 (t) = e ebb®l:
2
Végtelen sok pontból álló Hermite-gráf esetén p0 (t) minden hatványnál gyorsabban tart nullához, ezért a többdimenziós négyzetes rácsnál leírt gondolatmenet alapján a bolyongás elszök®.
2.5.3. Csillag-rács A csillag-rácsot úgy kapjuk, hogy N darab egydimenziós, egyik irányban végtelen rácsot (félegyenest) a kezd®pontjaiknál összekapcsolunk. Így például N = 2-re visszakapjuk az egydimenziós rácsot. Ekkor a valószín¶ségi amplitúdó [36]: 4N Γ( 32 ) 1 3π √ cos 2t − (101) q0 (t) ≈ π(N − 2)2 t 4 Ebb®l látható, hogy p0 (t) ∼ 1t , azaz a bolyongás visszatér®.
2.5.4. Kétdimenziós fés¶-rács A kétdimenziós fés¶-rácsot úgy kapjuk a kétdimenziós négyzetes rácsból, hogy az origón átmen® egyenesen található élek kivételével minden y irányú élet elveszünk a gráfból. Ekkor az origóban való mérés valószín¶ségi amplitudója [36]: s √ 2 2 t π q0 (t) ∼ cos √ − . (102) πt 2 4 Ebb®l következik, hogy p0 (t) = |q0 (t)|2 ∼ rendszer kétdimenziós. 24
1 , t
azaz a bolyongás visszatér®, bár a
3. Összefoglalás Dolgozatomban javasoltam egy de níciót a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle számára. Ez alapjában véve klasszikus bolyongásoknál de niált Pólyaféle szám fogalmán alapul. Ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátállapotába, ezáltal az adott operátor szerinti sajátállapotok szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren in nitezimális id® múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er®s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a vf pontban van. Ezért a Pólya-szám kvantumos de níciója egy mérési eljárást is kell tartalmazzon. Az általam javasolt de nícióban a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás elérési idejének de níciójában [14] szerepl® mérési eljárást vettem alapul, azaz egy Poisson-folyamattal generált id®sor pontjaiban mérünk. Ha azonban egy kvantumos rendszeren mérünk, akkor azzal megzavarjuk a rendszer unitér id®fejl®dését. A diszkrét idej¶ kvantumos bolyongás Pólya-féle számának de niálásakor [10, 9] ezért annak érdekében, hogy a mérés a lehet® legkvantumosabb legyen azt javasolták, hogy ne ugyanazon a rendszeren, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer mérjünk. Ezáltal elérhet®, hogy minden mérés új, addig zavartalan id®fejl®dés¶ rendszeren történik. Az elérési id® de níciója szerint minden mérés ugyanazon a rendszeren történik, az kismértékben megzavarja a rendszer unitér id®fejl®dését. Ezért az általam javasolt Pólya-féle szám de níciója szerint a mérések a Poisson-folyamat által generált id®pontokban történnek, de a mérést sokaságon végezzük, és minden rendszeren csak egyszer mérünk, nem pedig egy rendszert fejlesztünk és mérünk rajta többször. A javasolt de níció alapján megvizsgáltam az egydimenziós végtelen négyzetes rács Pólya-féle számát, valamint ez alapján a magasabb dimenziós négyzetes rácsok esetében is megvizsgáltam, hogy a bolyongás visszatér® vagy elszök®. Ehhez el®ször véges, N állapotból álló rendszerek esetén határoztam meg az origóban való mérés valószín¶ségét, majd a véges rendszereknél meg gyelt tulajdonságokat általánosítottam az N → ∞ határesetre. Eredményeim azt mutatják, hogy a bolyongás mind periodikus láncon, mind pedig egydimenziós végtelen négyzetes rácson visszatér®, magasabb dimenziós négyzetes rácson viszont elszök®. A kapott eredmények segítségével a dolgozat utolsó fejezetében néhány, az irodalomban vizsgált gráf esetében határoztam meg, hogy az adott gráfon történ® folytonos idej¶ kvantumos bolyongás visszatér®-e. A kés®bbiekben azt is meg fogom vizsgálni, hogy mi történik akkor, ha a folytonos idej¶ kvantumos bolyongás elérési idejének de nícióját [14] módosítom úgy, hogy ne egy rendszert fejlesszünk az id®ben és azon mérjünk minden egyes, a Poissonfolyamat által generált id®pontban, hanem sokaságon végezzük a mérést, és minden rendszeren csak egyszer mérjünk, ezáltal minden mérés új, addig zavartalan id®fejl®dés¶ rendszeren történik, ezáltal a lehet® legkvantumosabb mérést kapjuk. Az elért eredményeket els®ként a 2008-as Kvantumelektronika szimóziumon publikáltam poszter, és a szimpózium kiadványában szerepl® absztrakt formájában [37]. 25
Hivatkozások [1] G. Pólya,
Über eine Aufgabe der Warscheinlichkeitsrechnung betreend die Irr-
fahrt im Straÿennetz,
Math. Ann.
[2] Pál Révész: Random walk enti c Publishing, 1990 [3] E. Farhi, S. Gutmann, 58, 915 (1998)
84, 149 (1921)
in random and non-random enviroments,
Quantum computation and decision trees,
World Sci-
Phys. Rev. A
[4] Karl Sigman, Elementary Stochastic Processes, lecture http://www.columbia.edu/ ks20/4606-03/4606-07-fall-cvn.html
notes,
[5] Y. Aharonov, L. Davidovich, and N. Zagury, Rev. A 48, 1687 (1993)
Phys.
Quantum Random Walks,
[6] D. Meyer, from Quantum Cellular Automata to Quantum Lattice Gases, J. Stat. Phys. 85, 551 (1996)
223, 337 (1996) J. Watrous, J. Comput. Syst. Sci. 62, 376 (2001)
[7] D. Meyer, Phys. Lett. A [8]
[9] M. tefa¬ák, I. Jex, and T. Kiss, Recurrence and Pólya Quantum Walks, Phys. Rev. Lett. 100, 020501 (2008)
number of
[10] M. tefa‡k, T. Kiss, and I. Jex, Recurrence properties of unbiased coined quantum walks on in nite d-dimensional lattices, Phys. Rev. A 78, 1 (2008) [11] J. Kempe, in Proceedings
of 7th International Workshop on Randomization and
edited by S. Arora, K. Jansen, J. D. P. Rolim, and A. Sahai (Springer, Berlin, 2003), p. 354.
Approximation Techniques in Computer Sciences (RANDOM 2003),
[12] H. Krovi and T. A. Brun, Phys. Rev. A [13] H. Krovi, T. A. Brun, 74, 042334 (2006)
73, 032341 (2006)
Quantum walks with in nite hitting times,
[14] M. Varbanov, H. Krovi, T. A. Brun, Hitting walk, Phys. Rev. A 78, 022324 (2008)
Phys. Rev. A
time for the continuous quantum
[15] M. Guta, L. Bouten, and H. Maassen, J. Phys. A
70, 022314 (2004)
[16] A. Guichardet, Symmetric Hilbert Spaces and Related Topics, Lect. Notes Math. Vol. 261 (Springer, New York, 1972) [17] F. W. Strauch, Connecting the discretePhys. Rev. A 74, 030301 (2006) [18] A. M. Childs, On the relationship tum walk, arXiv:0810.0312v1
and continuous-time quantum walks,
between continuous and discrete-time quan-
[19] J. Du et. all, Experimental implementation rithm, Phys. Rev. A 64, 042316 (2003)
of the quantum random-walk algo-
[20] Rózsa Pál: Lineáris Algebra és Alkalmazásai, Tankönyvkiadó, Budapest 1991 26
[21] Andrew M. Childs, Richard Cleve, Enrico Deotto, Edward Farhi, Sam Gutmann, Daniel A. Spielman, Exponential algorithmic speedup by quantum walk, Proc. 35th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC 2003), pp. 59-68 [22] Andrew M. Childs, Universal computation by quantum walk, arXiv:0806.1972v1 [23] E. Agliari, A. Blumen, O. Muelken, Dynamics of continuous-time walks in restricted geometries, J. Phys. A 41, 445301 (2008) [24] Oliver Muelken, Volker Pernice, Alexander Blumen,
Quantum transport on
small-world networks: A continuous-time quantum walk approach,
E
quantum
76, 051125 (2007)
Phys. Rev.
[25] Oliver Muelken, Antonio Volta, Alexander Blumen, Asymmetries in symmetric quantum walks on two-dimensional networks, Phys. Rev. A 72, 042334 (2005) [26] Oliver Muelken, Volker Pernice, Alexander Blumen, Universal Behavior antum Walks with Long-Range Steps, Phys. Rev. E 77, 021117 (2008) [27] Oliver Muelken, Ine cient quantum of states, arXiv:0710.3453v1
of Qu-
walks on networks: the role of the density
[28] Oliver Muelken, Veronika Bierbaum, Alexander Blumen,
Coherent exciton
transport in dendrimers and continuous-time quantum walks,
124, 124905 (2006)
[29] Oliver Muelken, Alexander Blumen, Continuous space, Phys. Rev. A 73, 012105 (2006)
J. Chem. Phys.
time quantum walks in phase
[30] Oliver Muelken, Alexander Blumen, Spacetime structures quantum walks, Phys. Rev. E 71, 036128 (2005)
of continuous time
[31] Oliver Muelken, Alexander Blumen, Slow transport by continuous time quantum walks, Phys. Rev. E 71, 016101 (2005) [32] Frederic Magniez, Ashwin Nayak, Peter C. Richter, Miklos Santha, hitting times of quantum versus random walks, arXiv:0808.0084v1 [33] S. Chandrasekhar, Stochastic Phys. 15, 1 (1943) [34] A. Peres, Recurrence 1118 (1982)
Problems in Physics and Astronomy,
Phenomena in Quantum Dynamics,
On the
Rev. Mod.
Phys. Rev. Lett.
49,
[35] Korn: Matematikai Kézikönyv M¶szakiaknak, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1975 [36] M. A. Jafarizadeh, S. Salimi,
Investigation of continuous-time quantum walk
via spectral distribution associated with adjacency matrix,
322 (2007) 1005-1033
Annals of Physics,
[37] Darázs Zoltán, Kiss Tamás, Folytonos idej¶ kvantumos véletlen bolyongás Pólya-féle száma, Kvantumelektronika 2008, VI. Szimpózium a hazai kvantumelektronikai kutatások eredményér®l, szerkesztette Ádám Péter, Kiss Tamás, Varró Sándor, P-19 (2008)
27
