Atomfizika feladatok
Az energia kvantumos viselked´ es´ ere utal´ o jelens´ egek Fekete test sug´ arz´ asa Energiaeloszl´ as, Planck-g¨ orbe 1. 4 Milyen tapasztalati t¨ orv´enyek voltak ismertek a fekete test sug´arz´as´ara vonatkoz´olag 1900 el˝ ott? Mi volt az ´erv´enyess´egi k¨ or¨ uk? 2. 4 Milyen feltev´eseket tett Planck, amikor a fekete test sug´arz´as´anak m´ert energiaeloszl´as´at elm´eleti u ´ton is megkapta? 3. 4 Mekkora az 5·1014´es 5.04·1014 Hz frekvenciatarom´anyba es˝o f´eny energias˝ ur˝ us´ege egy 2000o C h˝ om´ers´eklet˝ u fekete test belsej´eben? 4. 4 Mekkora intenzit´ as´ u f´enyt bocs´ at ki egy 2000 K h˝om´ers´eklet˝ u fekete test 595 nm ´es 600 nm k¨ oz¨ ott? 5. Milyen frekvenci´ aig haszn´ alhat´ o a Rayleigh-Jeans t¨orv´eny T=100o C ´es T=5000 K-en? 6. K´et test teljes elektrom´ agneses sug´arz´as´anak intenzit´as-eloszl´as´at megm´ert¨ uk a hull´amhossz f¨ uggv´eny´eben adott t´ersz¨ ogben. Lehet-e mindkett˝o fekete test, ha a k´et g¨orbe alakja azonos de az egyik amplitud´ oja a m´ asik ¨ otsz¨ or¨ ose? 7. Metszheti-e egym´ ast k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝o h˝om´ers´eklet˝ u Planck-g¨orbe? 8. ♣ Vezess¨ uk le a fekete test belsej´eben uralkod´o u energias˝ ur˝ us´eg ´es a kibocs´atott I intenzit´as I= 4c u kapcsolat´ at a k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u esetben. Van egy kocka alak´ u fekete test ´es k¨oz´ept´aj´ekon egy ∆A m´eret˝ u lyuk, ´es a fotonok izotr´ op eloszl´ as szerint benn c sebess´eggel szaladg´alnak, ´es egy r´esz¨ uk r¨ovid ∆t id˝o alatt kij¨ on a lyukon. (K´et kij¨ ov˝ o foton viszont nem f¨ uggetlen r´eszecsk´ek, hanem igaz´ab´ol az E t´erer˝oss´eg vektoraik osszead´ ¨ odnak.) Wien f´ele eltol´ od´ asi t¨ orv´enyek 9. 4 [S-4.40] Vezesd le, hogy milyen λ-n´al van Iλ -nak maximuma egy T h˝om´ers´eklet˝ u fekete test sug´ arz´ asakor? Avagy, mi van a Wien f´ele eltol´od´asi t¨orv´enyek konstansaiban elrejtve? (5-x)ex = 5 egyenlet megold´ asa x = 4.9651. 10. [6.4] A kozmikus h´ att´ersug´ arz´ as egy T = 2.7 K h˝om´ers´eklet˝ u fekete test sug´arz´as´aval egyen´ert´ek˝ u. Milyen λm , νm -n´el kapunk legt¨ obb kibocs´ atott energi´at frekvencia ill. hull´amhossz egys´egre vonatkoztatva? Milyen hull´ amhossz tartozik νm -hez? 11. [S-4.42] Becs¨ ulj¨ uk meg a Nap felsz´ıni h˝om´ers´eklet´et abb´ol, hogy a Napb´ol j¨ov˝o sug´arz´as intenzit´ as´ anak maximuma 4700 ˚ A-n´el van. (Tegy¨ uk fel, hogy a Nap ide´alis fekete test.) ´ 12. ♣ [S-4.41] Milyen hull´ amhosszn´ al van I(λ)-nak maximuma T=2900K-n´el? Altal´ aban egy izz´ osz´ al ilyen h˝ om´ers´ekleten m˝ uk¨ odik. Becs¨ uld meg, hogy a kibocs´atott energia h´anyad r´esze esik a l´athat´o tartom´ anyba? 13. C Ha a Nap felsz´ıne ¨ otsz¨ or melegebb lenne, akkor nagyobb lenne-e az ´altala kibocs´atott l´athat´ o f´eny intenzit´ asa? A l´ athat´ o f´eny hull´ amhossza a λ=[380 nm, 780 nm] tartom´anyba esik. 14. ♣ Milyen frekvenci´ an´ al tapasztaljuk a maxim´alis frekvenciaegys´egre jut´o intenzit´as´at egy olyan fekete testnek, ami v = 0.1·c sebess´eggel centr´alisan t´avolodik t˝ol¨ unk, ´es T = 4000 K h˝om´ers´eklet˝ unek ´erzi mag´ at? 1
Atomfizika feladatok
15. ♣ Mennyivel tol´ odik el egy 6000 K h˝om´ers´eklet˝ u fekete test sug´arz´as´anak hull´amhossz szerinti eloszl´ as´ aban a maximum, ha a test v = 0.3·c sebess´eggel k¨ozeledik ill. ha t´avolodik? 16. ♣ Miben k¨ ul¨ onb¨ ozik egy v = 0.6·c sebess´eggel t´avolod´o T = 4000 K fekete test sug´arz´asa egy 2000 K h˝ om´ers´eklet˝ u´ all´ o fekete test sug´ arz´ as´ at´ol? Sug´ arz´ as intenzit´ asa, energias˝ ur˝ us´ege 17. 4 Hogyan ad´ odik a Stefan-Boltzmann t¨orv´eny a Planck eloszl´asb´ol? 18. 4 Egy ide´ alis fekete test egy nap alatt 548 J energi´at sug´aroz ki szobah˝om´ers´ekleten. Mennyi energi´ at emitt´ alna 1000o C-on 1 nap alatt? 19. 4 Mekkora fel¨ uleten sug´ aroz az el˝oz˝o fekete test? 20. [6.3] A l´ athat´ o f´eny hull´ amhossztartom´any´anak k¨ozepe 550 nm. Mekkora a h˝om´ers´eklete egy ide´ alis fekete testnek amely olyan elektrom´agneses sug´arz´ast bocs´at ki, amelynek maximuma enn´el a hull´ amhosszn´ al van? H´ any wattos lenne ez az “izz´o”? 21. [H-5.11] Sz´ amoljuk ki a Nap h˝om´ers´eklet´et ´es a belsej´eben l´ev˝o sug´arz´as energias˝ ur˝ us´eg´et felt´eve, hogy a Nap egy r=7·108 m sugar´ u g¨ omb alak´ u ide´alis fekete test. A Napb´ol j¨ov˝o sug´arz´as intenzit´ asa a F¨ old¨ on 1.4·103 W/m2 , a F¨ old 1.5·1011 m-re van a Napt´ol. Mekkora a h˝om´ers´eklet becsl´es hib´aja, ha a t´ avols´ agokat 1% pontosan ismerj¨ uk? 22. ♣ [H-5.11] Homog´en-e (hely f¨ uggv´eny´eben) a Napban az energias˝ ur˝ us´eg felt´eve, hogy ide´alis fekete test? 23. [6.9] Egy f´emben A = 2.0 mm2 keresztmetszet˝ u lyuk vezet egy nagy u ¨regbe. Mennyi id˝o alatt sug´ aroz 500 J-t ez a test, ha 100o C h˝ om´ers´eklet˝ u? 24. Egy v´ akumban l´ev˝ o 1 cm2 ter¨ ulet˝ u szilicium detektor 25o C-on u ¨zemel, ´es rajta kicsi ´aram folyik, ami 1 nW (rendezetlen) teljes´ıtm´enyt ´ atad. Kell-e h˝ uteni a detektort? (V´akumban csak sug´arz´assal tud energi´ at vesz´ıteni.) 25. Egy fekete test 400 J energi´ at sug´aroz 1 ´ora alatt 500 K-en. Mekkora frekvenci´an´al van az intenzit´ as´ anak maximuma, ha 25 J-t emitt´al ´or´ank´ent? 26. Egy ide´ alis fekete test 8.72·103 W/m2 -t emitt´al egy m´asodperc alatt. Milyen hull´amhosszn´ al sug´ arozza a legnagyobb egys´egnyi hull´ amhosszra jut´o teljes´ıtm´enyt? 27. Egy fekete test sug´ arz´ as´ anak intenzit´as´anak = 800 nm-n´el van maximuma. Mekkora az energias˝ ur˝ us´eg az u ¨reg belsej´eben? Re´ alis testek sug´ arz´ asa 28. ♣ 2 test teljesen egyforma kiv´eve, hogy az egyik feh´er ´es sima a m´asik ´erdes ´es fekete. a.) Melyik fog hamarabb felmelegedni ill. leh˝ ulni, ha kezdetben a k¨ornyezet¨ ukt˝ol elt´er˝o h˝om´ers´ekleten voltak? b.) A h˝ ut´esi meleg´ıt´esi ar´ anyban fenn´ all´ o k¨ ul¨ onbs´eg v´akumban jobban ´erv´enyes¨ ul. Mi´ert? 29. ♣ Becs¨ ulj¨ uk meg mennyi energi´ at sug´aroz ki egy ember 1 nap alatt!
2
Atomfizika feladatok
R´ eszecske hull´ am kett˝ oss´ eg Az elektrom´ agneses t´ er hull´ am ´ es r´ eszecsketulajdons´ agai Relativisztikus energiak´eplet 30. 4 Vezesd le a teljes energia ´es az impulzus kapcsolat´at ´altal´anos esetben! Egy m0 nyugalmi t¨omeg˝ u r´eszecske p impulzussal mozog ´es a teljes energi´aja E. Transzform´aljuk ´at abba a koordin´atarendszerbe ahol all, k¨ ´ ozben az impulzus n´egyesvektor abszolut ´ert´ek´enek n´egyzete nem v´altozik. 31. 4 Ellen˝ orizd az el˝ obbi k´eplet az m = pm0 v2 kifejez´es alapj´an. (E=mc2 , p=mv) 1−
c2
32. ♣ Mekkora a teljes energi´ aja egy klasszikusan mozg´o r´eszecsk´enek? Fejtsd sorba E-t v/c kicsi eset´en. 33. 4 Mekkora a β =
v c
50 keV, 500 keV, 5 MeV mozg´asi energi´aj´ u elektronok eset´en?
34. ♣ Mi az ultrarelativisztikus k¨ ozel´ıt´es, ´es mikor lehet alkalmazni? Mondj p´eld´akat is! 2
p ¨osszef¨ ugg´est, ha azt akarjuk, hogy az adott p-b˝ ol 35. Milyen energi´ aig haszn´ alhatjuk az Ek = 2m 0 ´ıgy sz´ amolt mozg´ asi energia 5%-kal kevesebbel t´erjen el az igazit´ol?
36. [H-6.4] Mekkora a sebess´ege annak az elektronnak, amelynek mozg´asi energi´aja egyenl˝o a nyugalmi energi´ aj´ aval? 37. Mekkora a boml´ asi impulzus a Λ0 nyugalomb´ol t¨ort´en˝o boml´asakor Λ0 → p + π − ? t¨omegek : − Λ =1115.6, p=938.8, π =139.6 MeV. 0
Fotoelektromos effektus I. 38. 4 [B-2.1] A wolfram fotoelektron emisszi´oj´anak k¨ usz¨ob hull´amhossza 230 nm. Milyen hull´amhossz´ us´ ag´ u f´enyt kell haszn´ alni, hogy a kil´ep˝ o elektronok k¨oz¨ ul a maxim´alis energi´aj´ u ´eppen 1.5 eV-os legyen? 39. 4 Mekkora ellenfesz¨ ults´eggel lehet le´all´ıtani az elektronok ´aram´at akkor, ha egy b´arium lapra 550 nm hull´ amhossz´ us´ ag´ u fotonok esnek? A b´ arium kil´ep´esi munk´aja 2.5 eV. 40. [B-2.3] A n´ atrium kil´ep´esi munk´aja 2.3 eV. Maximum milyen hull´amhossz´ us´ag´ u f´eny tud fotoelektronokat kelteni egy ilyen lapon? Mekkora lesz a fotoelektronok maxim´alis mozg´asi energi´aja, ha 200 nm-es f´eny esik a n´ atrium fel¨ ulet´ere? 41. Melyik anyag alkalmas fotocell´anak a k¨ovetkez˝ok k¨oz¨ ul? Wolfram kil´ep´esi munk´aja 4.3 eV, b´ arium 2.5 eV? 42. [S-4.4] A foton energi´ aj´ anak frekvenciaf¨ ugg´es´et megm´er˝o Einstein-f´ele k´ıs´erletben (pl.) a kalcium fotoelektron emisszi´ oj´ at vizsg´ alt´ ak k¨ ul¨ onb¨oz˝o sz´ın˝ u f´enyeket haszn´alva a k¨ovetkez˝o lez´ar´o fesz¨ ults´egeket kapt´ ak: λ (˚ A) 2536 3132 3650 4047 Vmax (V) 1.95 0.98 0.50 0.14 Mekkora a Planck ´ alland´ o ´ert´eke ezekb˝ol az adatokb´ol? 43. ♣ Mikor van fotoelektromos effektus, ha a Danubius r´adi´o fotonjai C´ezium lapra esnek a Szabads´ ag hegyen, ill. ha gyenge eleml´ amp´ aval vil´ ag´ıtjuk meg egy s¨ot´et pinc´eben? 3
Atomfizika feladatok
44. ♣ [7.25] A magn´ezium kil´ep´esi munk´aja 3.68 eV. Monokromatikus f´eny fotoelektronokat kelt a fel¨ ulet´en 2 fotonos reakci´ okban. A lez´ ar´ o potenci´al ezekre 1.47 V. Mekkora a l´ezer frekvenci´aja? Maximum milyen frekvenci´ aj´ u fotonokkal lehet fotoelektronokat kelteni 2-fotonos mechanizmusban? 45. ♣ V´egbemehet-e fotoeffektus szabad elektronon? Fotoeffektus II. 46. 4 Melyik h´ejon legval´ osz´ın¨ ubb a fotoeffektus? 47. Milyen energi´ aj´ u foton eset´en lesz igaz, hogy a h´ejak k¨oz¨ ul az L h´ejon lesz a legink´abb val´ osz´ın˝ u a fotoeffektus? 48. Milyen energi´ ara tesz szert a visszal¨ok˝od˝o j´od atom, ha egy 300 keV energi´aj´ u foton fotoeffektust szenved a j´ od egy elektronj´ an (azon, amelyiken a legval´osz´ın¨ ubb ez az effektus)? A j´od atom megl¨ok˝ od´ese k¨ ozben nem ´er el relativisztikus sebess´eget, ´es tekints¨ uk azt az esetet, amikor az ioniz´alt atom egyir´anyban halad az elektronnal az effektus ut´ an. Compton effektus 49. 4 [8.24] H´ any sz´ azal´ekot v´ altozik egy s´arga (550 nm) foton hull´amhossza, ha Θ=90o -ban sz´ or´ odik egy szabad elektronon? 50. 4 [H-5.20] Egy 1˚ A hull´ amhossz´ u foton 90o -ban sz´or´odik egy ´all´o szabad elektronr´ol. Mekkora energi´ ara tesz szert az elektron? Az energi´ aj´ anak h´any sz´azal´ek´at veszti el a foton? Milyen sz¨ogben rep¨ ult ki az elektron? 51. [8.26] N´eh´ any 2 MeV-es foton esik egy f´em c´elt´argyra. Milyen sz¨ogben kell elhelyezni a detektort, hogy 0.5 MeV-es fotonokat detekt´ aljunk? 52. [8.28] Tud-e k´et Θ/2 sz¨ og˝ u Compton sz´or´as ugyanakkora hull´amhossz eltol´od´ast okozni, mint egy foton Θ sz¨ ogben? 53. Mekkora az elektron maxim´ alis mozg´asi energi´aja, ha egy 600 keV energi´aj´ u X-foton sz´ or´ odik rajta? (Ennek az energi´ anak a neve Compton ´el, mert enn´el t¨obbet Compton effektussal nem tud ´ atadni egy foton ak´ arhogy is ´erkezik be, az hogy ez mi´ert ´eles hat´ar m´ar egy m´asik k´erd´es.) 54. Egy tetsz˝ oleges energi´ aj´ u foton Compton sz´or´odott egy szabad elektronon ϑ = 90o -ban. Mekkora az elektron energi´ aja maximum? 55. [8.22] Mekkora a maxim´ alis hull´amhossz v´altoz´asa egy fotonnak, ha egy szabad protonon sz´ or´ odik? mp =1836·me 56. Melyik Compton effektusnak van nagyobb val´osz´ın¨ us´ege szabad elektronon, egy l´athat´o f´eny´enek vagy egy r¨ ontgen foton´enak? 57. ♣ Egy kisenergi´ aj´ u foton sz´ or´ odik egy szabad elektronon. Milyen eloszl´asba megy ´at a Compton effektus sz¨ ogeloszl´ asa? 58. ♣ Milyen frekvenci´ aj´ u fotonokat tudunk csin´alni egy s´arga f´enynyal´abb´ol egy 100 eV energi´aj´ u elektronnyal´ ab seg´ıts´eg´evel? (Compton effektus szemben mozg´o elektronra, m´asn´even Inverz Compton effektus, mert az elektron nem nyer hanem vesz´ıt energi´at.) 59. ♣ Mekkora energi´ at tud ´ atadni egy 600 keV energi´aj´ u X-foton egy ´all´o szabad elektronnak ha sz´ or´ odik rajta? (Ennek az energi´ anak a neve Compton ´el, mert enn´el t¨obbet Compton effektussal nem tud ´ atadni 4
Atomfizika feladatok
egy foton ak´ arhogy is ´erkezik be.) Rajzold fel a megl¨ok¨ott elektron energi´aj´anak val´osz´ın¨ us´eg´enek eloszl´ as´ at (p(E)) a Klein-Nishina formula ´es egy sz´am´ıt´og´epes rajzol´oprogram seg´ıts´eg´evel. Legyen az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert hν = 511keV, m0 c2 = 511keV . P´ arkelt´es, annihil´ aci´ o 60. 4 V´egbemehet-e p´ arkelt´es elektrom´agneses t´er (k¨ozelben l´ev˝o t¨olt¨ott r´eszecske) jelenl´ete n´elk¨ ul? 61. [H-5.4] 2 MeV energi´ aj´ u gamma foton e− e+ p´art kelt u ´gy, hogy az elektron ´es a pozitron energi´ ai azonosak. Milyen sebess´eggel halad ez a pozitron? 62. ♣ Becs¨ ulj¨ uk meg az elektron-pozitron p´arkelt´es k¨ usz¨obenergi´aj´at elektron ill. proton ter´eben u ´gy, hogy a r´eszecsk´ek t¨ omegk¨ oz´epponti rendszerben nyugalomban lesznek a p´arkelt´es ut´an. 63. [B-15.5] 1 MeV mozg´ asi energi´aj´ u e− ´es e+ k¨ozelednek egym´ashoz, majd annihil´al´odnak. Milyen hull´ amhossz´ us´ ag´ u γ keletkezik? 64. Egy elektron ´es egy pozitron relat´ıv sebess´ege nulla ´es 1 MeV energi´aval rep¨ ulnek. Tegy¨ uk fel, hogy annihil´ al´ odnak. Ekkor milyen γ fotonok keletkeznek, ´es milyen sz¨ogben rep¨ ulnek?(*) 65. + annihil´ aci´ o val´ oszin¨ us´ege ar´ anyos r0 /v-vel. F´enynyom´ as 66. 4 Mekkora az elektromos t´erer˝ oss´eg maxim´alis ´ert´eke egy I=1W/cm2 intenzit´as´ u f´enynyal´abban? 67. 4 A Napsug´ arz´ as teljes intenzit´ asa a F¨old felsz´ın´en kb. 0.13 W/cm2 . Mekkora a f´enynyom´ as egy teljesen visszaver˝ o s´ık fel¨ uleten, ha a f´eny mer˝olegesen ´erkezik? 68. A holdf´eny intenzit´ asa teliholdkor a F¨old felsz´ın´en 0.82 · 10−3 W/m2 Mekkora er˝ovel nyom egy 2 teljesen fekete 100 m fel¨ ulet˝ u r´ a mer˝ oleges s´ıklapot a holdf´eny? 69. H´ anyszor nagyobb az elektromos t´erer˝oss´eg a Napsug´arban mint a holdf´enyben, ill. egy 10 V-ra felt¨ olt¨ ott C=100 nF s´ıkkondenz´ atorban, aminek a fel¨ ulete 1 cm2 ? 70. ♣ Egy I intenzit´ as´ u kevert sz´ın˝ u f´eny α bees´esi mer˝olegessel esik egy s´ıklapra, ami a f´eny a-ad r´esz´et elnyeli a t¨ obbit visszaveri. Mekkora a f´enynyom´as a lapra? 71. Meg lehet-e magyar´ azni a f´enynyom´ast u ´gy, hogy a fotonoknak csak hull´amterm´eszete van? Fotonok perd¨ ulete 72. 4 Egy 3.2 nW teljes´ıtm´eny˝ u cirkul´arisan pol´aros f´eny (620 nm) esik egy v´ızszintes t¨ok´eletesen visszaver˝ o k¨ orlapra. Mekkora forgat´ onyomat´ekot gyakorol a lapra? 73. + Cirkul´ arisan pol´ aros f´eny, line´ arisan pol´aros f´enynek van e perd¨ ulete? Optikailag akt´ıv, ill. kett˝ osen t¨ or˝ o anyagok. Foton teljes perd¨ ulete ´es terjed´esi ir´anyra vett vet¨ ulete mennyi lehet, mi az a terjed´esi ir´ any? R´ eszecsk´ ek hull´ amterm´ eszete de Broglie hull´ amhossz 74. 4 Semleges pi-mezon nyugalomban van, ´es elbomlik k´et gamma fotonra. Mekkora a hull´amhosszuk? 75. 4 [10.2] Sz´ amold ki egy 1/40 eV mozg´asi energi´aj´ u elektron ´es egy 2 MeV-es proton hull´amhossz´ at! 5
Atomfizika feladatok
76. [10.4] Milyen potenci´ alk¨ ul¨ onbs´eget kell egy elektronnak befutni nyugalomb´ol indulva ahhoz, hogy 100 pm legyen a hull´ amhossza? 77. Mekkora a t¨ omege annak a fotonnak, aminek a hull´amhossza az elektron Compton hull´amhossz´ aval egyenl˝ o? λC = mh0 c 78. [B-3.6] Mekkora a termikus neutronok hull´amhossza? 79. ♣ [H-6.9] Egy ∞ t´ avoli elektron egy proton potenci´alv¨olgy´ebe zuhan 0 kezd˝osebess´eggel. Mekkora lesz a hull´ amhossza r=1m, ´es r= 12 ·10−10 m t´avols´agban a protont´ol? Hasonl´ıtsd ¨ossze ezt a proton m´eret´evel! 80. Egy Eπ = 200 MeV energi´ aj´ u semleges pi-mezon szimmetrikusan elbomlik k´et gamma fotonra. Milyen sz¨ oget z´ arnak be a kirep¨ ul˝ o fotonok? Mikror´eszecsk´ek interferencia tulajdons´agai ˚ r´acs´ 81. [H-6.7] Melyik elektronnyal´ ab szenved legink´abb ´eszrevehet˝o diffrakci´ot egy d=2.15A alland´ oj´ u anyagon? E1 =1eV, E2 =10eV, E3 =1keV, E4 =100keV. Mekkora lehet az elektron mozg´asi energi´ aja , hogy az interferencia-maximum α ≤30o -n´ al legyen? 82. Milyen energi´ aj´ u elektron nyal´ ab eredm´enyez ugyanolyan diffrakci´os k´epet mint egy s´arga foton? 83. ♣ 30o -os bees´esi sz¨ oggel ´erkezik egy elektronnyal´ab egy d=0.5 ˚ A r´acs´alland´oj´ u krist´alyra. Az elektronok energi´ aja 0-5.5 keV tartom´ anyban van. Egy f´em lap u ´gy van a sz´or´odott elektronok u ´tj´aba helyezve, hogy csak a 30o -ban sz´ ort elektronok tudnak ´atmenni rajta. Mekkora lehet az ´atjutott elektronok sebess´ege? (Energia-sz˝ ur˝ o) 84. ♣ Egy 0-t´ ol n´eh´ any eV-ig terjed˝ o energi´aj´ u neutronnyal´ab esik egy d=3.03 ˚ Ar´acs´alland´oj´ u krist´ alyra. Milyen sz¨ ogben tudunk 0.1 eV energi´ aj´ u neutronokat detekt´alni? 85. + Hull´ amcsomag – s´ıkhull´ am v´egtelens´eg´enek felold´asa.
6
Atomfizika feladatok
Atomok fel´ ep´ıt´ ese Atommodellek Magsug´ ar 0. M¨ uon atomok K-alfa energi´ aj´ anak izot´opeltol´od´esa - Atomfizika 86. volna?
Mekkora lenne az 1 elektronra jut´o mozg´asi energia, ha a
12
C magj´aban 12 proton ´es 6 elektron
Rutherford sz´ or´ as 87. 4 [11.2] Milyen mozg´ asi energi´ aj´ u α r´eszecske t¨omegk¨oz´eppontja tudja 9 fm-n´el jobban megk¨ ozel´ıteni egy arany atommag k¨ ozep´et? Az α sugara 1.4 · 41/3 fm. 88. 4 K´et r´eszecske sz´ or´ odik egym´ ason a t¨omegk¨oz´epponti rendszerben. Add meg a kisebb t¨omeg˝ u r´eszecske p´ aly´ aj´ anak elt´er¨ ul´esi sz¨ og´et ´es a minim´alis t´avols´agukat az u ¨tk¨oz´esi param´eter f¨ uggv´eny´eben! 89. 4 Az el˝ oz˝ o feladat els˝ o eredm´eny´eb˝ol sz´amold ki hogy milyen a tiszta Rutherford sz´or´as val´ osz´ın¨ us´eg´enek eloszl´ asa a ϑ f¨ uggv´eny´eben, ha a teljes ϕ sz¨ogben vizsg´aljuk, ill. ha [ϕ, ϕ + dϕ kis tartom´anyban n´ezz¨ uk. 90. 4 Az ¨ osszes Θ = 90o -ban rugalmasan sz´or´odott α r´eszecsk´ek sz´ama 1s alatt 1000 db (ϕ ∈ [0, 2π]). Milyen sz¨ ogben kapunk 5000 be¨ ut´es/sec-t? t´ersz¨og 91. Milyen energi´ aj´ u α r´eszecske fogja el´erni a sugara 1.4 · 121/3 fm.
12
C atom magj´at, ha az α sugara 1.4 · 41/3 fm, a
12
C
92. 10 MeV energi´ aj´ u α r´eszecsk´ek sz´or´od´asa 205 Pb atommagokon nem mutat elt´er´est a tiszta Rutherford sz´ or´ ast´ ol. Mekkora az 205 Pb magj´ anak sugara maximum (ez az egyik legnagyobb mag)? Hasonl´ıtsd ossze ezt az atom m´ereteivel! ¨ 93. 20 MeV energi´ aj´ u α r´eszekkel bomb´azunk tapasztalni a Rutherford sz´ or´ ast´ ol? r0 = 1.3 fm
14
N magokat. Milyen sz¨ogekn´el fogunk anom´ ali´ at
94. ♣ Az el˝ oz˝ o k´ıs´erletet A ill. B magokon is v´egrehajtjuk, ´es ϑA > ϑB . Mit mondhatunk rA ´es rB viszony´ ar´ ol? 95. ♣ Az 1/ sin4 ϑ Rutherford sz¨ ogeloszl´as ϑ ' 0 k¨or¨ uli integr´alja nem l´etezik (divergens). Hogyan lehet feloldani ezt? Hiszen a val´ osz´ın¨ us´eg teljes esem´enyhalmazra vett ¨osszege jobb lenne ha 1 lenne. 96. + Azonos r´eszecsk´ek sz´ or´ od´ asa. Azonos id˝opillanatban egy s´ıkban elind´ıtott r´eszecsk´ek sz´or´ od´ as ut´ an azonos pillanatban elfoglalt fel¨ ulete. (hull´amfront) Bohr f´ele atommodell 97. 4 Milyen frekvenciatartom´ anyban vannak a hidrog´en sz´ınk´ep´enek egyes sorozatai? (r´adi´o, µ, IR, l´ athat´ o, UV, X, γ) Sz´ amold ki a legr¨ ovidebb ´es a leghosszabb hull´amhosszat a Lymann sorozatb´ol. 98. [11.10] A hidrog´en atom melyik gerjesztett ´allapot´anak 12.09 eV az energi´aja? 99. Mekkora a 2p → 1s ´ atmenet hull´amhossz´anak k¨ ul¨onbs´ege a deut´erium ´es a hidrog´en eset´en? 100. [12.3] Mekkora annak a fotonnak az energi´aja, frekvenci´aja, hull´amhossza, amely a H-atom 3. gerjesztett ´ allapot´ anak alap´ allapotba t¨ ort´en˝o legerjeszt´esekor keletkezik? 7
Atomfizika feladatok
101. ♣ [12.5] Sz´ amold ki a m¨ uon-atom reduk´alt t¨omeg´et, alap´allapot´anak energi´aj´at, p´alyasugar´ at, ´es az els˝ o gerjesztett ´ allapotb´ ol alap´ allapoba t¨ort´en˝o ´atmenetben keletkez˝o foton hull´amhossz´at. 102. ♣ Mekkora sugar´ u p´ aly´ akon keringenek a r´eszecsk´ek a t¨omegk¨oz´eppont k¨or¨ ul egy olyan rendszerben, ami egy pozitronb´ ol ´es egy m¨ uonb´ ol a´ll? 103. [B-5.12] A csupasz He2+ ion befog egy elektront ami kezdetben nyugalomban volt. Milyen hull´ amhossz´ us´ ag´ u fotont emitt´ al a rendszer? 104. [12.7] Mekkora a Li2+ els˝ o gerjesztett ´allapot´anak k¨ot´esi energi´aja, gerjeszt´esi energi´aja? Milyen energi´ aj´ u, hull´ amhossz´ u fotont bocs´ at ki az els˝o gerjesztett ´allapot legerjeszt˝od´esn´el? 105. ♣ Mutasd meg, hogy a Bohr modellben az elektron mozg´asi energi´aja a helyzeti energi´aj´ anak -1/2-szerese. (Viri´ al t´etel speci´ alis esete.) Mi a helyzet n>1 eset´en? 1 106. [12.13] Kicsivel Bohr el˝ ott ismert volt a Pickering sorozat: ν = ν0 ( 14 − (n/2) 2) ν0 =3.29·1015 Hz, ´es a hidrog´en atomhoz kapcsol´odott. Bohr ´eszrevette, hogy ez nem a hidrog´en egy sorozata, hanem egy m´ asik ioniz´ alt elem´e, aminek szint´en csak egy elektronja van. Milyen elem volt ez ´es melyik volt a v´eg´ allapota?
107. [B-5.5] Egy elektronnyal´ ab bomb´az hidrog´ent. Milyen potenci´alk¨ ul¨onbs´eggel kell gyors´ıtani az elektronokat ahhoz, hogy a Balmer sorozat els˝o vonala emitt´al´odjon? 108. ♣ [H-8.8] A pozitr´ onium egy k¨ ot¨ott elektron-pozitron p´ar. Mekkora ennek a rendszernek a k¨ ot´esi energi´ aja alap´ allapotban? A hidrog´en atom anal´ogi´aj´ara vizsg´aljuk a rendszert, amint az e− , e+ k¨ oz¨ os t¨ omegk¨ oz´eppont k¨ or¨ ul keringenek ω sz¨ ogsebess´eggel. Mekkora a sz¨ogsebess´eg (Hz), ´es a perd¨ ulet ¯h egys´egekben? 109. ♣ Milyen “sz´ın˝ u” a pozitr´ onium atom? Az elektronok saj´ at-perd¨ ulete ´es az ehhez tartoz´o m´agneses momentumuk 110. 4 Egy ferrom´ agneses anyagot M=500 J/T m´agnesezetts´egre felm´agnesez¨ unk, ezut´an ´atlagosan 10−6 sec alatt az ´ aramir´ anyt megv´ altoztatjuk. Mekkora forgat´onyomat´ekkal lehetett egyens´ ulyban tartani a hengert? alyaperd¨ ulettel rendelkez˝o (mondjuk k¨orp´aly´an kering˝o) elektronnak mekko111. 4 Egy klasszikus L p´ ra a m´ agneses momentum vektora a kering´esb˝ol kifoly´olag? Mekkora a µz ? 112. Hat´ arozd meg a szabad elektron, proton ´es a neutron m´agneses momentum´at ha azok prec´ızi´ os sz¨ ogsebess´ege 10kOe m´ agneses t´erben 1.764 · 1011 Hz, 2.685 · 108 Hz ´es 1.836 · 108 Hz. Milyen egys´egekben m´erj¨ uk ezeket a m´ agneses momentumokat? Mekkor´ak ezen r´eszecsk´ek girom´agneses egy¨ utthat´oi? 113. ♣ Egy Stern-Gerlach m´ agnesben a m´agneses indukci´o B(x)=(0,0,αz) alakban v´altozik. α=0.01 T/m. Milyen hossz´ u m´ agnest kell alkalmazni, hogy az 1050 ◦ C-os k´alyh´ab´ol ´atlagos sebess´eggel kirep¨ ul˝ o ez¨ ust-atomok 10o -kal t´er¨ uljenek el? 114. 4 Vizsg´ ald meg az elektrosztatikus gyors´ıt´as lehet˝os´eg´et! Schr¨ odinger-k´ep Atomi hull´ amf¨ uggv´ enyek A hidrog´en atom (nemrelativisztikus) hull´amf¨ uggv´enyei 8
Atomfizika feladatok
115. 4 [13.31] Magyar´ azd meg mi´ert nem lehet Φ = Ae−αx megold´asa a Schr¨odinger egyenletnek minden x-re. 116. Ismerve a hidrog´en atom 1s ´allapot´anak hull´amf¨ uggv´eny´et, ´es a Hamilton oper´atort (el´eg a radi´ alis r´esze), ´ allap´ıtsd meg az 1s ´ allapot energi´aj´at, ´es a hull´amf¨ uggv´enyben szerepl˝o r0 konstans ´ert´ek´et. 117. 4 Milyen ´ allapotok a k¨ ovetkez˝ ok: n=2,l=0; n=3,l=2; n=5,l=1. H´any csom´os´ıkjuk ill. csom´ og¨ ombj¨ uk van ezeknek? 118. ♣ Milyen fizikai tulajdons´ agokat jellemeznek a hidrog´en hull´amf¨ uggv´enyeinek kvantumsz´ amai? Milyen kvantumsz´ amokban azonosak az elektronok egy p´aly´an, alh´ejon, h´ejon? 119. H´ any elektron f´er el a 2s, 2p, 3d alh´ejakon? 120. [17.8] Hol lesz a ΦΦ∗ = 0 a hidrog´en atom 2s ´allapot´aban? K´esz´ıts egy k¨ozel´ıt˝o ´abr´at ezen allapotban az elektron megtal´ ´ al´ asi val´ osz´ın˝ us´egeloszl´as´ar´ol. 121. Sz´ amold ki egy elektront milyen val´osz´ın˝ us´eggel tal´alunk r1 = 2.97 a0 ´es r2 = 3.03 a0 k¨oz¨ ott a hidrog´en 3d ´ allapot´ aban. (∆r r1 k¨ ozel´ıt´es haszn´alhat´o.) 122. [17.14] Haszn´ alva el˝ oz˝ o feladat k¨ozel´ıt´es´et sz´amold ki mekkora t¨olt´es van ´atlagosan az r1 =0.99·a0 ´es r2 =1.01·a0 g¨ ombh´ejban a hidrog´en 1s ´ allapot´aban. Hasonl´ıtsd ¨ossze az eredm´enyt a Bohr modellel. 123. [17.16] ´Ird fel, hogy a hidrog´en 1s ´allapot´aban az elektron milyen val´osz´ın˝ us´eggel lesz az r1 =0, ´ ekeld ki a k´epletet. r2 =a0 tartom´ anyban. Ert´ 124. [17.21] Mutasd meg, hogy a hidrog´en n=1,2,3 ´allapotainak hull´amf¨ uggv´enyeire igaz, hogy Rn,lmax (r)=C·(r/a0 ) lmax e−r/a0 egyenlettel. Mutasd meg, hogy a norm´al´asi konstans n+ 12 1 −3/2 (2n!)− 2 . C=a0 · n2 125. Milyen az r f¨ ugg´ese azoknak a radi´alis hull´amf¨ uggv´enyeknek ahol l=n-1? Mi´ert nem f¨ uggenek az Rnl (r) f¨ uggv´enyek az m-t˝ ol? 126. Rajzolj le 5 olyan 3d hull´ amf¨ uggv´enyt amelyek ´ert´ekk´eszlete R. Mekkora a mell´ekkvantumsz´ am ezekben az ´ allapotokban? 127. ♣ Mutasd meg, hogy a radi´ alis val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´egnek 1 maximuma van az r=n2 a0 pontban a hidrog´en eset´en, ha l=n-1. 128. [S-6.4] Milyen r eset´en lesz a |Φ|2 · 4πr2 -nek maximuma a hidrog´en 1s ´allapot´aban? 129. Mekkora az r ´ atlag´ert´eke a H-atom 1s ´allapot´aban? 130. [S-6.9] Sz´ amold ki az r ´es az r2 ´atlag´at a H-atom 2p m=0 ´allapot´ara az el˝oz˝o ´ert´ekek felhaszn´ al´ as´ aval. 131. A Ψ21−1 , Ψ211 hidrog´en hull´ amf¨ uggv´enyek komplex ´ert´ek˝ uek, ez´ert a szeml´eletess´eg kedv´e´ert bevezethet˝ ok a k¨ ovetkez˝ o val´ os f¨ uggv´enyek: px : s=± 12 , Φ = A · (r/a0 )e−r/2a0 sin Θ cos φ pz : s=± 12 , Φ = A · (r/a0 )e−r/2a0 cos Θ py : s=± 21 , Φ = A · (r/a0 )e−r/2a0 sin Θ sin φ Hogyan ad´ odnak ezek az eredeti hull´ amf¨ uggv´enyekb˝ol? 132. [S-6.7] Sz´ amold ki A-t az el˝ oz˝o feladatban pz hull´amf¨ uggv´eny eset´ere. 9
Atomfizika feladatok
133. K´esz´ıts szeml´eletes ´ abr´ at az elektron megtal´al´asi val´osz´ın¨ us´eg´er˝ol a Ψ211 , Ψ210 , Ψ21−1 , px , py , pz allapotokban! ´ 134. + Spinkvantumsz´ am hogyan j¨ on be? Atomi elektron´ allapotok finomszerkezete 1., le´arny´ekol´as 135. 4 Milyen k¨ ozel´ıt´es, ha a t¨ obbelektronos atomok elektronjainak hull´amf¨ uggv´enyeit a hidrog´en Ψnlm hull´ amf¨ uggv´enyeivel ´ırjuk le? 136. 4 Mutasd meg, hogy a 6 db 2p ´ allapotra ¨osszeadva a ΦΦ∗ -ot g¨ombszimmetrikus f¨ uggv´enyt kapunk! (tel´ıtett alh´ej) Hogyan f¨ ugg ekkor r-t˝ ol az elektron megtal´al´asi val´osz´ın¨ us´ege ezen a tel´ıtett alh´ejon? 137. A Sr alap´ allapot´ anak m´ asodik 5s elektronj´anak lev´alaszt´as´ahoz 11.027 eV sz¨ uks´eges. Ezzel Sr++ -t kapunk. Mekkora az (´ atlagos) effekt´ıv rendsz´am az 5s p´aly´an, ha a hull´amf¨ uggv´eny t¨obbi r´esze v´ altozatlan (a H-atom´ehoz k´epest)? 1
ugg a rend138. [20.29] 1913-ban H.G.J. Moseley k´ıs´erletileg meghat´arozta, hogy (νKα ) 2 line´arisan f¨ √ sz´ amt´ ol. Magyar´ azd meg mi´ert! Ha ´ abr´ azoljuk a νKα − Z pontokat, mi lesz az egyenes meredeks´ege ´es tengelymetszete? 139. ♣ Hogyan v´ altozik a Na n=3 h´ej´an az (´atlagos) effekt´ıv rendsz´am az l f¨ uggv´eny´eben? Alap´ allapotban, amikor az egyetlen 3s vegy´ert´ekeletron a saj´at hely´en van Es =-5.13 eV. Az els˝o gerjesztett ´allapot ´ azoljuk gerjszt´esi energi´ aja 2.07 eV. A 3d alh´ej energi´aja a hidrog´en 3d energi´aj´an´al 0.1 eV-tal kisebb. Abr´ az n=3 h´ej ezen tapasztalati felhasad´ as´ at. 140. ♣ Konstru´ ald meg az atomt¨ orzs elektronjainak t¨olt´ess˝ ur˝ us´eg´et az 1s, 2s, 2p alh´ejakon, ha ott az elektronok nem hatnak egym´ assal k¨ olcs¨on! Milyen potenci´alt alak´ıtanak ezek ki a maggal k¨oz¨ osen? Z=11, Na eset´en. Hogyan v´ altozik az al´abb defini´alt effekt´ıv rendsz´am f¨ uggv´eny az r f¨ uggv´eny´eben? Zef f (r)e U(mag+1s+2s+2p)(r) = 4πε 0r 141. ♣ Sz´ amold ki az r ´ atlagos ´ert´ek´et a 3s, 3p, 3d alh´ejakon ´es n´ezd meg, hogy ezekn´el a t´avols´agokn´ al mekkora ´eppen a Zef f . Hasonl´ıtsd ezeket o¨ssze a tapasztalati (´atlagos) ´ert´ekekkel. 142. Becs¨ uld meg a K´ alium vegy´ert´ekelektronj´anak 4f ´allapot´anak a gerjeszt´esi energi´aj´at! Ugyanez a Ca+ 4f, Sr+ l=4 eset´ere mennyi? 143. Milyen elektronok energi´ ait tudjuk ezzel az effekt´ıv rendsz´amos m´odszerrel j´ol jellemezni? Teljes impulzusmomentummal jellemzett hull´amf¨ uggv´enyek 144. 4 Legyen egy r´eszecske impulzusmomentuma J= 12 (Ez lehet L, S, J, I, F fajta perd¨ ulet). Mekkora a perd¨ ulet (vektor) abszolut ´ert´eke, tipusa, mekkor´ak lehetnek a 3. komponens´enek ´ert´ekei, h´any fele ´ allhat szeml´eletesen? Van-e olyan, hogy teljesen z ir´anyban ´all a perd¨ ulet vektor? 145. 4 Mekkora lehet az elektron impulzusmomentuma ha a 2s, ill. 2p p´aly´an mozog? Melyik perd¨ uletet le´ır´ o sz´ amra alkalmazhat´ o a szeml´eletes vektor-modell (k´et ilyen ¨osszead´as´an´al)? 146. Milyen kvantumsz´ amai vannak a k¨ovetkez˝o atomi elektron-´allapotoknak? 22 P 12 , 22 P 32 , 32 D 52 , 12 S 12 . 147. Milyen ¨ osszes spin-impulzusmomentuma lehet egy atomp´aly´an l´ev˝o elektronoknak? (max. k´et elektron van egy p´ aly´ an) 148. Milyen az 11 S0 ´ allapot? Mekkora lehet az n, ha n1 D2 ,egy atomi elektronp´aly´at jellemez? Nsb aly´ an, ha max. 2 elektron van ott? Mekkora az Nsb , a 4 D3 p´ 10
Atomfizika feladatok
149. [19.22] Mondd meg minden kvantumsz´am´at a k¨ovetkez˝o elektron-´allapotoknak: 4 2 S 21 , 22 P3/2 , 2 P 21 , 8 2 G7/2 . 2
Atomi elektronok m´ agneses momentuma 150. 4 Mekkora m´ agneses momentum tartozik az l=1 p´alyaperd¨ ulethez, ´es az s= 12 spinhez egy atomi elektron eset´eben? 151. + Lande faktor, girom´ agneses faktor, j,l,s-sel. Atomi elektron´ allapotok finomszerkezete 2., spin-p´alya k¨olcs¨onhat´as 152. 4 H´ any r´eszre hasadnak fel a H atom 2p alh´eja a spin-p´alya k¨olcs¨onhat´as miatt? Mi a spin-p´ alya kcsh. klasszikus ´ertelmez´ese, ´es mi a relativisztikus kvantummechanika v´egeredm´enye erre vonatkoz´oan? 153. 4 H´ any vonalra hasad fel a H-atom n=3 h´eja? Milyen kvantumsz´ammal jellemezhet˝ok ezek a vonalak? 154. Melyik (gerjesztett) ´ allapot energi´aja a nagyobb a H atomban, a 22 S 12 -´e, vagy a 22 P 21 -´e (a Lamb eltol´ od´ as hat´ asa n´elk¨ ul)? Melyikre ker¨ ul a Li atom alap´allapot´anak harmadik elektronja? 155. A H atom Balmer sorozat´ anak els˝o vonala k´et k¨ozeli vonalb´ol ´all, ha nagyon pontosan megn´ezz¨ uk, melyek t´ avols´ aga 1.4 ˚ A. Mekkora effekt´ıv m´agneses t´er van a 3p p´aly´an? Melyik ´atmenet a kisebb energi´ aj´ u? 156. Milyen energi´ aj´ u a 2p, 3d p´ aly´ak finomfelhasad´asa a H atomban? Hasonl´ısuk ezt ¨ossze t¨ obbelektronos atomokeset´en az ´ arny´ekol´ assal magyar´azott felhasad´assal! 157. ♣ Magyar´ azd meg a Na s´ arga vonal´anak dublett szerkezet´et! 158. Mekkora effekt´ıv m´ agneses t´er van a H atom 2p, 3p, 3d p´aly´ain, ill. a Na 3p p´aly´aj´an? Ismerj¨ uk ezen p´ aly´ ak felhasad´ asainak energi´ ait az el˝oz˝o feladatokb´ol. ˚ hull´amhossz´ 159. ♣ 3 P1 → 1 S0 ´ atmenete a higanynak 2537A u fotont emitt´al, E6s =-10.4 eV a higanyban. E3 P1 -E3 P0 =0.2 eV. Mekkora az effekt´ıv m´agneses t´er a 6p p´aly´an, ´es mekkora a 3 P2 ´allapot energi´ aja? Zeemann effektus, anom´ alis Zeemann effektus 160. [19.7] Mekkora az elektron ↑ (fel) ´es ↓ (le) spin´allapotainak energi´aj´ainak k¨ ul¨onbs´ege 0.6 T m´ agneses t´erben? 161. Az alap´ allapot´ u H atom 21 cm hull´amhossz´ u r´adi´osug´arz´ast bocs´at ki. Mekkora a m´agneses t´er az atommag hely´en? 162. A higany 1 P1 gerjesztett ´ allapot´ab´ol alap´allapotba t¨ort´en˝o legerjeszt˝od´esn´el 6.8 eV energi´aj´ u foton l´ep ki. Hogyan m´ odosul ez a sz´ınk´epvonal B=0.02T m´agneses t´erben? (jel¨ol´es:2S+1 p´alyaimp.mom.j S=teljes spin) µB = 5.795·10−5 eV/T
11
