6 Funkce funkcí, kořen funkce

6 Funkce funkcí, kořen funkce Studijní cíl Tento blok je prvním ze tří, ve kterých se budeme zabývat čtyřmi důležitými matematickými úlohami 1 , pro které v MATLABu existuje obecné řešení. Všech‐ na tato obecná řešení jsou ve formě funkce a vyžadují jako jeden z parametrů uživatelem vytvořenou funkci popisující konkrétní řešenou úlohu. Proto se v šestém bloku budeme nejprve zabývat způsoby jak předat funkci jako para‐ metr do další funkce. Druhá část šestého bloku je pak věnována první matema‐ tické úloze – hledání kořene funkce jedné proměnné.

Doba nutná k nastudování

1 – 1,5 hodiny

Průvodce studiem Předpokládá se, že čtenář je seznámen s prostředím MATLABu, základními příkazy, tvorbou grafů a tvorbou skriptů a funkcí v rozsahu prvních čtyř bloků. Při studiu je vhodné mít spuštěný MATLAB a jednotlivé příkazy či funkce hned vyzkoušet a případně získat podrobnější informace využíváním nápovědy k programu. Na závěr jsou uvedeny řešené příklady na procvičení. V textu jsou použity následující typografické konvence: Calibri 11, Bold, Italic nové pojmy či informace k zapamatování Calibri 11 označení klávesy Courier New 10, Bold názvy nástrojů MATLABu Courier New 10, Bold upřesnění nápovědy (help téma) Courier New 10 názvy příkazů, funkcí a objektů Courier New 10 označení části příkazu, která se může vynechat Courier New 10, Italic názvy proměnných použitých v programu Courier New 9 příkaz příkazové řádky / výpis programu Courier New 9 výpis programu – klíčová slova Courier New 9 výpis programu – řetězec Courier New 9 výpis programu – komentář

6.1 Co označujeme pojmem funkce funkcí? Všechny čtyři matematické úlohy, kterými se budeme v blocích 6‐8 zabývat mají společné to, že jejich řešení je formulováno pro obecnou 2 funkci 3 popisu‐

1

a) úloha hledání kořene funkce b) úloha výpočtu určitého integrálu (včetně výpočtu dvojného a trojného) c) úloha numerického výpočtu soustavy obyčejných diferenciálních rovnic d) úloha hledání extrému funkce více proměnných

2

Např. postup (algoritmus) numerického výpočtu určitého integrálu je stejný bez ohledu na to jaký vztah integrujeme.

KŘP/IMSW Modelování ve výpočtových software

6‐1 (11) 15.9.11

František Dušek KŘP FEI Univerzita Pardubice

jící daný typ úlohy. Pro řešení každé úlohy je v MATLABu připravena samostat‐ ná funkce. Všechny tyto řešící funkce pak mají společné to, že vyžadují jako první vstupní parametr informaci o konkrétním popisu problému (dodaném uživatelem), pro který se má daná úloha řešit. V MATLABu je požadovaný předpis realizován nějakou funkcí, což znamená, že je potřeba předat odkaz na funkci (handle funkce). Samozřejmě možnost předat odkaz na funkci jako pa‐ rametr jiné funkci je obecně využitelná a lze ji použít i ve vlastních funkcích tj. nejen v již v MATLABu existujících.

Pokud je vstupní parametr jedné (řekněme vnější) funkce odkaz na jinou (řek‐ něme vnitřní) funkci, pak musí být zajištěno, aby vnější funkce volala vnitřní funkci se správným počtem vstupních parametrů. Pokud vytváříme obě funkce sami, pak to není problém. Pokud je však vnější funkce jednou vytvořená, pak je potřeba při tvorbě vnitřní funkce vědět jaký počet vstupních parametrů (a v jakém významu) vnější funkce vyžaduje (konvence). To znamená, že při tvorbě vnitřní uživatelské funkce určené pro použití jako parametr vnější funkce mu‐ síme dodržet počet a význam parametrů vnější funkcí vyžadovaných. Protože je často potřeba dodat do vnitřní funkce ještě další parametry, existuje mecha‐ nismus jak informovat vnější funkci, aby při volání vnitřní funkce předala doda‐ tečné parametry. O možnostech jak v MATLABu předávat odkaz na funkci po‐ jednává následující kapitola.

6.2 Funkce jako parametr jiné funkce V MATLABu existují tři možností jak předat informaci o funkci, která se má použít (odkaz na funkci), jako parametr jiné funkci. Všechny tři možnosti uká‐ žeme na stejném příkladě. Máme řešit úlohu výpočet přibližné hodnoty určité‐ ho integrálu obecné spojité funkce f(x) na zadaném intervalu lichoběžní‐ kovou metodou podle vztahu

⎡1 ⎣2

Oint = ⎢ f (a) +

N −1

⎤

∑ f (x ) + 2 f (b)⎥⎦h i =1

1

i

xi = a + i.h h =

b−a . N

kde parametr N ovlivňuje přesnost výpočtu. Řešení představuje (vnější) funkce nazvaná OInt (viz kapitola 6.2.5) se syntaxí

oi=OInt(fce,a,b,N)

kde první parametr fce je odkaz na (v době vytváření funkce OInt neznámou) vnitřní funkci. Jediné co o vnitřní funkci víme je, že pro hodnotu (jediného) vstupního parametru vrací jeden výstupní parametr tj. je ve tvaru y=fce(x).

6.2.1 Použití názvu souboru obsahujícího funkci Nejjednodušší způsob jak předat vnější funkci odkaz na vnitřní funkci je tradiční způsob – jako skutečný parametr vnější funkce je použít název souboru (řetě‐ zec) obsahujícího vnitřní funkci. Vnitřní funkce musí mít přesně předpokládaný

3

Pojem funkce v této souvislosti představuje známý předpis, který pro zadané vstupní parametry vypočítá výstupní parametr.


6‐2 (11) 15.9.11


počet parametrů. Potom výpočet určitého integrálu z uživatelské funkce ulo‐ žené v souboru SiCo.m

SiCo.m ======================================================= function v=SiCo(t) v=sin(t)+cos(t); ========================================================SiCo.m

na intervalu 0,2π pro N=20 se provede voláním funkce OInt >> vys=OInt('SiCo',0,2*pi,20);

Tento způsob volání je možné použít i pro standardní funkce MATLABu (pokud splňují požadavky na předpokládaný počet vstupních a výstupních parametrů), např. >> vys=OInt('sin',0,2*pi,20);

6.2.2 Použití handle existující funkce Druhý způsob předání odkazu na funkci je pomocí handle (reference) funkce (function handle). Ačkoliv tento způsob vypadá velmi podobně jako předchozí, jde o podstatně univerzálnější způsob využívající možnosti objektového přístu‐ pu. Využijeme‐li tento způsob pro řešení předchozích příkladů, jsou možné následující volání >> vys=OInt(@SiCo,0,2*pi,20);

nebo >> fh=@SiCo; >> vys=OInt(fh,0,2*pi,20);

Protože je handle funkce objektem je možné získat jeho vlastnosti pomocí funkce functions(handler) >> functions(fh) ans = function: 'SiCo' type: 'simple' file: 'C:\Dokumenty\MATLAB\SiCo.m' >> functions(@sin) ans = function: 'sin' type: 'simple' file: ''

6.2.3 Použití anonymní funkce Třetí způsob předání odkazu na funkci je pomocí tzv. anonymní funkce. Jde o rozšíření volání pomocí handle funkce. Rozšíření spočívá v tom, že na místě parametru vnější funkce se definuje nová bezejmenná 4 (anonymous function) funkce včetně hlavičky, parametrů a těla funkce. Hlavička anonymní funkce je tvořena znakem @ následovaným seznamem parametrů v kulatých závorkách. Pak, za mezerou, následuje příkaz tvořící tělo funkce. Odkaz na definici ano‐ 4

Název bezejmenná (anonymní) funkce je zvolen proto, že mezi znakem @ a následujícím se‐ znamem parametrů, kde by měl být název funkce, není nic


6‐3 (11) 15.9.11


nymní funkce je také možné uložit do proměnné a tu pak používat ve významu funkce

>> f=@(x) sin(x)+cos(x) f = @(x)sin(x)+cos(x) >> functions(f) ans = function: '@(x)sin(x)+cos(x)' type: 'anonymous' file: '' workspace: {[1x1 struct]} >> f(1) ans = 1.3818

Protože v rámci těla funkce můžeme volat další funkce je použití tohoto typu předání odkazu na funkci pro řešení předchozích příkladů přímočaré. Dále je uvedeno několik rovnocenných variant výpočtu výše uvedeného příkazu využí‐ vajících anonymní funkci >> >> >> >>

vys=OInt(@(x) SiCo(x),0,2*pi,20); vys=OInt(@(x) sin(x)+cos(x),0,2*pi,20); f=@(x) sin(x)+cos(x); vys=OInt(f,0,2*pi,20);

6.2.4 Použití anonymní funkce s rozšířeným předáváním parametrů Pomocí odkazu na anonymní funkci lze do vnitřní funkce předat další paramet‐ ry, se kterými vytvořená vnější funkce nepočítá. Pokud bude uživatelská funkce SiCoP závislá na dalším parametru např. SiCoP.m ======================================================= function v=SiCoP(t,c) v=sin(c*t)+cos(t/c); ========================================================SiCoP.m

pak lze využít existující funkci OInt pro výpočet určitého integrálu. Je potřeba při volání vnější funkce OInt použít odkaz na anonymní funkci např. ve tvaru >> par=2; >> vys=OInt(@(x) SiCoP(x,par),0,2*pi,20); >> vys=OInt(@(x) sin(par*x)+cos(x/par),0,2*pi,20);

6.2.5 Návrh vnější funkce Pokud bychom vytvářeli funkci, která má jako parametr další funkci je potřeba v těle funkce rozlišit zda funkce v parametru je určená pomocí názvu souboru nebo pomocí odkazu. K tomuto účelu je možné využít logickou funkci isa(obj,class) dávající odpověď na otázku, zda příslušná proměnná (ob‐ jekt) je určeného typu (třídy). Pokud obsahuje příslušný parametr název soubo‐ ru (řetězec) je nutné ho pro další použití převést na odkaz na funkci (function handle) pomocí funkce str2func(string). Při kontrole parametrů je využita funkce error(text), která vrací řízení do příkazového řádku (předčasně ukončuje funkci) a vypisuje chybové hlášení s textem dodaným jako parametr. Funkce OInt pro výpočet určitého integrálu ze zadané funkce umožňující všechny varianty předání odkazu na funkci včetně kontroly platnosti parametru může vypadat např. jako KŘP/IMSW Modelování ve výpočtových software

6‐4 (11) 15.9.11


OInt.m ======================================================= function p=OInt(fce,a,b,N) % výpočet určitého integrálu funkce y=fce(x) % na intervalu a<=x<=b v N+1 bodech

% !!! zjištění jak je předaný odkaz na funkci fce % a) je fce řetězec obsahující název souboru s funkcí if isa(fce,'char'), % je fce řetězec (pole znaků)? f=str2func(fce); % ano, vytvoř handle funkce if ~isa(f,'function_handle'), % je handle? error('nelze převést na handler funkce'); %není, konec end % b)je fce handler funkce elseif isa(fce,'function_handle'), % je fce handler f=fce; else error('parametr není odkaz na funkci'); % konec end % !!! výpočet určitého integrálu obdélníkovou metodou h=(b-a)/N; s=(f(a)+f(b))/2; for k=1:N-1, x=a+k*h; s=s+f(x); end p=s*h; ========================================================OInt.m

6.3 Výpočet kořene funkce Matematická úloha hledání kořene funkce f(x) představuje nalezení všech hodnot nezávisle proměnné x takových, pro které je funkční hodnota nulová tj. f(x)=0. Obecně může jít o komplexní funkci komplexní proměnné. My se ome‐ zíme na reálnou 5 funkci reálné proměnné. Kořeny (řešení) můžeme hledat v celém definičním oboru nebo jen pro zadaný interval nezávisle proměnné. Žádný kořen nemusí existovat, může být právě jeden, může jich být konečný počet či může být nekonečné mnoho kořenů. Obecné řešení, které by pro ja‐ koukoliv funkci našlo všechny kořeny, neexistuje 6 . Existuje ale řešení úlohy jak se zvolenou přesností nalézt kořen libovolné funkce pokud začneme s vyhledá‐ váním dostatečně blízko hledaného kořene. Toto řešení je v MATLABu realizo‐ váno pomocí funkce funkcí fzero (viz help fzero). x=fzero(fce,x0) určení kořene x* funkce fce(x) v okolí bodu x0 Úloha je‐li známa funkce y=fce(x) a hodnota x0 * urči takové x*, pro které je funkční hodnota nu‐ fce( x ) = 0 lová a vzdálenost x0 a x* je minimální Příklad fce( x ) = cos( x ) − x 5 Řešení >> f=@(x) cos(x)-x/5;

min x * − x0 * x

5

Funkční hodnoty reálné funkce nabývají hodnot pouze z oboru reálných čísel i pro hodnoty nezávisle proměnné z oboru komplexních čísel.

6

Výjimkou je určení kořenů speciálního typu komplexní funkce komplexní proměnné – polyno‐ mu. V MATLABu je funkce roots pro určení všech kořenů polynomu včetně polynomu s kom‐ plexními koeficienty.


6‐5 (11) 15.9.11


>> x=fzero(f,1) x = 1.3064 >> y=f(x) y = 5.5511e-017

Nalezené řešení je sice správné, ale je však jediné? Jak určit počet kořenů a jak odhadnout přibližnou polohu jednotlivých kořenů? Je možné využít prostředky MATLABu pro vizualizaci – nakreslit si průběh funkce a počet a přibližnou polo‐ hu kořenů odhadnout. Pro danou funkci je potřeba určit interval, na kterém se mohou vyskytovat kořene a tento použít pro vykreslení průběhu funkce. V našem příkladu může funkce cos(x) nabývat pouze hodnot mezi ±1 a tudíž zbý‐ vající část – pro dosažení nuly při odečtení – musí též nabývat hodnot pouze mezi ±1. Z toho plyne, že stačí vyšetřovat pouze rozsah nezávisle proměnné ‐5 ≤ x ≤ 5. Po nakreslení průběhu funkce zjistíme, že existují tři kořeny s přibližnou polohou ‐4, ‐2 a 1. Kompletní řešení daného příkladu včetně „zkoušky“ a za‐ kreslení výsledků tedy může být např. >> f=@(x) cos(x)-x/5; >> t=-5:0.1:5; >>plot(t,f(t),'LineWidth',2) >> grid, hold on % odhad počtu, polohy kořenů >> x1=fzero(f,-4) x1 = -3.8375 >> y1=f(x1) y1 = -2.2204e-016 >> x2=fzero(f,-2) x2 = -1.9774 >> y2=f(x2) y2 = 0 >> x3=fzero(f,1) x3 = 1.3064 >> y3=f(x3) y3 = 5.5511e-017 >> h(1)=plot(x1,y1,'ro'); >> h(2)=plot(x2,y2,'ro'); >> h(3)=plot(x3,y3,'ro'); >> set(h,'MarkerSize',12) >> set(h,'LineWidth',2)

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


6‐6 (11) 15.9.11


6.4 Příklady na procvičení V kapitole 6.4.1 jsou zadání a v kapitole 6.4.2 řešení jednoduchých příkladů na probíranou problematiku. Pro řešení příkladů jsou nutné znalosti z prvních pěti bloků. Předpokládá se, že při řešení příkladů má čtenář k dispozici MATLAB a aktivně využívá nápovědu k programu.

6.4.1 Zadání příkladů Př01. Grafické řešení rovnice. S využitím pouze grafu nalezněte všechna řešení rovnice xe − x = x 2 − 1 s přes‐ ností na 0.01. Návod: nakreslete do jednoho grafu průběh funkce na levé a pravé straně rov‐ nice a pomocí zoomu zvětšete okolí jednotlivých průsečíků pro odhad jejich poloh. Jako řešení vykreslete okolí každého průsečíku ve vhodném měřítku, aby šlo vizuálně odečíst řešení s požadovanou přesností. Př02. Nalezněte všechny kořeny funkce: a)

(

)

2 1−sin( x ) − x3 y ( x) = x − 2 x + 2 e

b) y ( x ) =

5

∑ (− 1)

k

cos (n arccos ( x )) na intervalu ‐1 ≤ x ≤ 1

n =1

a hodnoty kořenů vypište jako text do grafu Návod: pro převedení čísla na řetězec použijte funkci sprintf a pro umístění textu do grafu použijte funkci text Př03. Řešení rovnice s parametrem. 2

Vyneste do grafu závislost řešení rovnice xp x+1 = 1 v závislosti na hodnotách parametru 0.2 ≤ p ≤ 4 pro volitelný počet parametrů rovnoměrně rozmístěný na uvedeném intervalu. Zároveň do druhého grafu vyneste průběh levé stra‐ ny rovnice a všechny průběhy levých stran pro zadané parametry a opatřete popisy a legendou obsahující hodnoty parametrů příslušných křivek. Průběh křivek vykreslete na intervalu 0 ≤ x ≤ 3. Návod: pro vektor zvolených hodnot parametru p v cyklu pro každou hodnotu parametru vykreslete levé strany a vyhledejte kořen anonymní funkce s předávanou hodnotou parametru. Legendu vytvořte pomocí pole buněk (cell array, funkce cell) s využitím funkce sprintf


6‐7 (11) 15.9.11


Řešení příkladů 3

Př01. Grafické řešení rovnice xe − x = x 2 − 1 >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

x=-1:0.01:2; ls=x.*exp(-x); ps=x.^2-1; subplot(2,1,1) plot(x,ls,x,ps,'LineWidth',2) grid subplot(2,2,3) plot(x,ls,x,ps,'LineWidth',2) title('Prvni koren') axis([-.48,-.475,-.8,-.73]) grid subplot(2,2,4) plot(x,ls,x,ps,'LineWidth',2) title('Druhy koren') axis([1.165,1.17,0.3,0.4]) grid

2 1 0 -1 -2 -3 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Druhy koren

Prvni koren 0.4 -0.74

0.38 0.36

-0.76

0.34 -0.78 0.32 -0.8 -0.48

-0.479

-0.478

-0.477

-0.476

0.3 1.165

-0.475

1.166

1.167

1.168

1.169

1.17

Př02. Nalezněte všechny kořeny funkce.

(

)

2 1−sin( x ) − x3 a) y ( x) = x − 2 x + 2 e

>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

f=@(x) (x.^2-2*x+2).*exp(1-sin(x))-x.^3; x=0:0.1:5.3; h=plot(x,f(x),[0,5.3],[0,0]); hold on x1=fzero(f,1); y1=f(x1); h(3)=plot(x1,y1,'ro'); x1s=sprintf('x_1=%5.3f',x1); ht(1)=text(x1,5,x1s); x2=fzero(f,4); y2=f(x2); h(4)=plot(x2,y2,'ro'); x2s=sprintf('x_2=%5.3f',x2); ht(2)=text(x2-1,5,x2s); x3=fzero(f,5); y3=f(x3); h(5)=plot(x3,y3,'ro'); x3s=sprintf('x_3=%5.3f',x3); ht(3)=text(x3,5,x3s); set(h,'LineWidth',2) set(h(3:5),'MarkerSize',12) set(ht,'FontSize',12) set(ht,'FontWeight','bold') grid

b) y ( x ) =

5

∑ (− 1)

k

10

x1=1.047

5

x2=4.243

x3 =4.901

0

-5

-10

-15

-20

-25

-30

0

1

2

3

4

5

6

cos (n arccos ( x )) na intervalu ‐1 ≤ x ≤ 1

n =1

funkce, jejichž kořeny se hledají Ceby5.m ===================================================== function y=Ceby5(x) y=0; for k=1:5, y=y+(-1)^k*cos(k*acos(x)); end ====================================================== Ceby5.m

skript pro výpočet kořenů včetně zakreslení výsledků a výpisu textu, hodnoty odhadů x0 jsou doplněny po vykreslení grafu KŘP/IMSW Modelování ve výpočtových software

6‐8 (11) 15.9.11


skript.m ===================================================== x=-1:0.01:1; 3 h=plot(x,Ceby5(x),[-1,1],[0,0]); 2.5 hold on % z grafu odečteno 5 přibližných poloh kořenů 2 x0=[-.9,-.3,0,0.8,0.9]; x3=0.000 1.5 for k=1:length(x0), x=fzero(@Ceby5,x0(k)); y=Ceby5(x); x2=-0.309 1 h(2+k)=plot(x,y,'ro'); x1=-0.866 xs=sprintf('x_%1d=%5.3f',[k,x]); 0.5 ht(k)=text(x,0.1+k/2,xs); 0 end

x5=0.866 x4=0.809

-0.5

set(h,'LineWidth',2) -1 set(h,'MarkerSize',12) set(ht,'FontSize',12) -1.5 set(ht,'FontWeight','bold') -2 grid -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 axis([-1,1.1,-2,3]) ===================================================== skript.m

0.4

0.6

0.8

1

Př03. Řešení rovnice s parametrem. skript.m ===================================================== % skript pro výpočet a vykreslení řešení rovnice s parametrem % anonymní funkce pro hledání kořenu rovnice f=@(x,q) x.*q.^(2./(x+1))-1; % anonymní funkce pro kreslení průběhu levé strany fp=@(x,q) x.*q.^(2./(x+1)); n=9; % počet hodnot parametru p=linspace(0.2,4,n); % hodnoty parametrů hl=zeros(1,n); % pro handlery křivek ko=zeros(1,n); % pro kořeny funkcí te=cell(1,n+1); % pole buněk pro text legendy x=0:0.01:3; % rozsah kreslení křivek % průběhy křivek subplot(1,2,1) plot([0,3],[1,1],'g'); % y(x)=1 (pravá strana) te{1}='y(x)=1'; % !!! složené závorky xlabel('x'), ylabel('y') title('Levá a pravá strana rovnice') hold on % další křivky přidávej for k=1:n, % křivky levé strany if k==1, ba='r'; % první červeně elseif k==n, ba='b'; % poslední modře else ba='k'; % ostatní černě end hl(k)=plot(x,fp(x,p(k)),ba); % kresli ko(k)=fzero(@(t) f(t,p(k)),1); % kořen te{k+1}=sprintf('p_{%02d}=%04.3f',[k,p(k)]); % text legendy end set(hl,'LineWidth',2) % všechny křivky tloušťka 2 legend(te,'Location','NorthWest') % legenda vlevo nahoře grid % kořeny v závislosti na parametru subplot(1,2,2), h=plot(p,ko,'v'); title('Řešení rovnice') xlabel('parametr p'), ylabel('řešení') set(h,'LineWidth',2) set(h,'MarkerSize',10) grid ===================================================== skript.m


6‐9 (11) 15.9.11


Levá a pravá strana rovnice

Řešení rovnice

6

3 y(x)=1 p01=0.200 p02=0.675

5

2.5

p03=1.150 p04=1.625 p05=2.100

4

2

p06=2.575 p07=3.050 řešení

y

p08=3.525 3

p09=4.000

1.5

2

1

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5 x

2

2.5

3

0

0

1

2 parametr p

3

4


6‐10 (11) 15.9.11


Pojmy k zapamatování Okruhy problémů: funkce jako parametr jiné funkce, odkaz na funkci, anonymní funkce, ukončení funkce s výpisem chybového textu, kontrola typu proměnné, úloha hledání kořene funkce, umístění textu do grafu, použití pole buněk Použité nástroje:

Příkazy a funkce: cell, str2func, text

error,

fzero,

isa,

sprintf,

Otázky na procvičení 1. 2. 3. 4. 5.

Co mají společného „funkce funkcí“? Jak vytvoříme odkaz na funkci? Co zajišťuje funkce str2fcn? Jak naleznete graficky řešení rovnice? Kolik kořenů má polynom n‐tého stupně a jakou funkci MATLABu použije‐ te pro jejich nalezení? 6. Kolik kořenů, případně který kořen nalezne funkce MATLABu fzero? 7. Co je to anonymní funkce?

Odkazy a další studijní prameny • •

on‐line dokumentace k programu nebo www.mathworks.com/help/ – části „Types of Functions“, „Anonymous Functions“, „Function Handles“, „Data Types“ elektronická učebnice Learning MATLAB 7– www.mathworks.com/academia/student_version/learnmatlab_sp3.pdf (část „Cell Arrays“, „Types of Functions“)


6‐11 (11) 15.9.11


6 Funkce funkcí, kořen funkce

Recommend Documents