4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

Diktat Aljabar Linear

Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3

4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3 4.1. PENGANTAR DEFINISI 4.1: VEKTOR Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama dikatakan ekivalen. Dua vektor v,w ekivalen, dapat dituliskan sebagai v = w B titik terminal V

W

Z

→

V = AB

V=W=Z ketiganya ekivalen (b) Vektor Ekivalen

A titik awal Gb.4.1 (a) Vektor DEFINISI 4.2: 1. Penjumlahan Vektor W V V+W

V

2. Vektor Negatif

Besar V= Besar(-V) Namun arahnya Berlawanan.

Gb.4.2 (a) Penambahan Vektor

-V

(b) Vektor negatif

3. Pengurangan Vektor

V-W

V

V

W -W (c) Pengurangan Vektor

V-W

W

DEFINISI 4.3: Jika v adalah vektor tak nol, k-skalar, k ∈ℜ, k ≠ 0, maka k v didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v , jika k > 0 , arah k v searah dengan arah v k < 0 , arah k v berlawanan dengan arah v k v = 0, jika k = 0 atau v = 0 v

-v

2v

½v Gb. 4.2 Perkalian Vektor dengan skalar Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 15



4.1.1 VEKTOR DI RUANG-2 Jika V – Vektor pada bidang Titik awal adalah titik asal koordinat V = (v1,v2) , W = (w1,w2) v1,v2 – Komponen-komponen dari V Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-2 adalah Ekivalen bila v1=w1 dan v2=w2 Penjumlahan : V + W = (v1+w1, v2+ w2) Perkalian scalar: kV =(kv1,kv2) Pengurangan : V-W = (v1 - w1, v2 - w2) (v1+w1,v2+w2) Y W V+W

(v1,v2)

V X

X Gb.4.3 Vektor-vektor di ruang-2 4.1.2 VEKTOR DI RUANG-3 Jika V – Vektor di ruang berdimensi 3 V = (v1,v2,v3) W =(w1,w2,w3) Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-3adalah Ekivalen bila v1=w1 ; v2 =w2 dan v3=w3 Penjumlahan : V + W = (v1+w1, v2+ w2,v3+w3) Perkalian scalar: kV =(kv1,kv2, kv3) Pengurangan : V-W = (v1 - w1, v2 - w2, v3-w3)

4.2. NORM VEKTOR DEFINISI 4.4 : NORM VEKTOR n + n • : ℜ →ℜ 0 adalah norm vektor jika ∀x,y ∈ℜ , α ∈ ℜ (a) x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x=0 (b) αxx = α x (c) x + y ≤ x + y (Pertidaksamaan segitiga)

Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 16



CONTOH 4.5 • Euclidean Norm in ℜ2 V = (v1,v2) V 2 = v12 + v 22 •

Jika P1 (x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di ruang-3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah norm vector P1P2 →

P1 P2

= (x2-x1, y2-y1,z2-z1)

d = (x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 z

P2 P1 y

x Gb. 4.3 Jarak antara dua vektor

4.3. HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI 4.3.1 HASIL KALI TITIK DEFINISI 4.6: HASIL KALI TITIK Jika u dan v adalah vector- vektor di ℜ2 atau ℜ3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau Euclidean Inner Product u.v didefinisiakan oleh  u v cos θ u.v =  0

jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 Jika u = 0 atau v = 0

(4.1)

TEOREMA 4.7: Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3 (a) v.v = v 2, i.e., v = (v.v)1/2 (b) Jika u ≠ 0 dan v ≠ 0, θ sudut antara kedua vektor tersebut, maka θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0 θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 θ = π/2 jika dan hanya jika u.v = 0 Bukti : (a) karena sudut θ diantara v dan v adalah 0, maka dapat diperoleh : v.v = v v cos θ = v 2 cos 0 = v 2 (b) karena u > 0 , v > 0 dan u.v = u v cos θ u.v < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇒ θ tumpul berarti u.v > 0 ⇔ cos θ > 0 ⇒ θ lancip u.v = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇒ θ = π/2 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 17



CATATAN 4.8 Jika u ⊥ v maka u dan v dikatakan orthogonal TEOREMA 4.9: Jika u,v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka (a) u.v = v.u (b) u.(v+w) = u.v + u.w (c) k (u.v) = (ku).v = u.(kv) (d) v.v > 0 jika v ≠ 0 dan v.v = 0 jika v = 0

4.3.2 PROYEKSI

u

w2

w2

w1

a

u

a

u

w1

w2

w1

a

w1 Gb.4.4 proyeksi vektor u w1 // a w2 ⊥ a

w1 + w2 = u w2 = u – w1

w2

u

w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a (komponen vektor u sepanjang a) Proya u w2 dinamakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - Proya u TEOREMA 4.10 Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau di ruang-3, dan jika a≠ 0, maka (w1 = ) Proya u =

u.a a

2

a

(w2 = ) u- Proya u = u -

u.a a

2

a

Bukti Diketahui jika w1 // a maka w1 = k a, k – skalar u = w1 + w2 = k a + w2 ⇒ u . a = (k a + w2) . a = k a 2 + w2 . a (w2 . a = 0, karena w2 ⊥ a ) ⇒ k=

u.a a

2

⇒ w1 =

u.a a

2

a




Panjang komponen vector u sepangan vektor a dapat diperoleh dengan menarik norm sebagai berikut : Pr oy a u =

u.a a

=

a =

2

a

u.a a

u.a 2

a

( a 2 > 0}

a

2

Pr oy a u =

u.a

(4.2)

a

Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka u.a = u a cos θ maka persamaan (4.2) dapat dituliskan menjadi : Pr oy a u = u

cos θ

(4.3)

4.4. HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT) DEFINISI 4.11 Jika U = (u1,u2,u3) dan V = (v1,v2,v3) adalah vektor di ruang-3, maka hasil kali silang U x V adalah vektor yang didefinisikan oleh : u u u u u u  U x V =  2 3 , − 1 3 , 1 2   v2

v3

v1

v3

v1

(4.4)

v3 

TEOREMA 4.12 Jika u dan v adalah vektor di ruang-3 maka (a) u.(u x v) = 0 (u x v ortogonal ke u) (b) v.(u x v) = 0 (u x v ortogonal ke v) 2 2 2 2 (Identitas Lagrange) (c) u x v = u v − (u.v)

TEOREMA 4.13 Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3, dan k adalah sebarang skalar, maka : (a) u x v = - (v x u) (b) u x (v+w) = (u x v) + (u x w) (c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) (d) k (u x v) = (k u) x v = u x (kv) (e) u x 0 = 0 x u = 0 (f) u x u = 0




4.4.1 UNIT VEKTOR i = (1, 0, 0)

j = (0,1,0)

k = (0,0,1) ixi=jxj=kxk =0 i x j = k, j x k = i , k x i = j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j

z

i

j

k

⇒ u x v = u1 u 2 u 3

k = (0,0,1)

v1

j = (0,1,0)

v2

v3

y

i = (1,0,0) x Gb.4.5 Unit Vektor Makna dari cross product uxv

Jika θ menyatakan sudut antara u dan v, maka u.v = u v cos θ u xv

2

= u

=u

2

v 2

2

v

− (u.v) 2 2

v cos θ)

2

–( u

= u 2 v 2 (1 – cos 2 θ) = u 2 v 2 sin2 θ

u θ

⇒ uxv = u

v sin θ

v Gb. 4.6 Ilustrasi Cross Product

v

Luas = Alas Tinggi = u v sin θ v sin θ

v

= uxv

θ u Gb. 4.7 Jajaran Genjang (Paralel Epipedum )




4.5. RUANG VEKTOR UMUM DEFINISI 4.14 : RUANG VEKTOR UMUM Jika V adalah sebuah ruang vektor (a) Jika u,v ∈ V, maka u + v ∈ V (b) u+v = v+u (c) u+(v+w) = (u+v)+w (d) Jika 0 ∈ V sehingga 0 + u = u+ 0, ∀ u ∈ V (e) ∀ u ∈ V , ∃ - u ∈ V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (f) Jika k,l ∈ ℜ, u ∈ V, maka k u ∈V (g) k (u + v) , k u + k v (h) (k+l) u = k u + l u (i) k(l u) =(kl) u (j) 1 u = u CONTOH 4.15 1. Himpunan semua tripel bilangan riil (x,y,z) dengan operasi –operasi (x,y,z) + (x’,y’,z’) = (x+x’, y+ y’, z + z’) dan k (x,y,z) = (kx, y,z) BUKAN merupakan ruang vector, karena (f) TIDAK terpenuhi. 2. Himpunan semua pasangan bilangan riil (x,y ) , x ≥ 0 dengan operasi-operasi baku pada ℜ2 BUKAN merupakan ruang vector karena (e) dan (f) TIDAK terpenuhi.


4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

Recommend Documents