MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2014/2015 tanév
2. forduló 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől, hogy a négyzet alakú mezőkbe számjegyeket kell írni (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9). A sorok előtt, illetve az oszlopok fölött látható számok a sorban illetve oszlopban szereplő számjegyek összegét mutatják. Egy sorba vagy oszlopba több helyre is bekerülhet ugyanaz a számjegy. Néhány mezőt üresen hagytunk. Írj a mezőkbe számjegyeket úgy, hogy valamennyi megadott összeg helyes legyen! Add meg az összes megoldást!
24
32
1 26
6
2 2
27
16
3 2
4
7
5
3
3
8
6
3 2
1
2
4
4
Megoldás: Három lehetséges megoldás van.
26
6
24
32
24
32
1
6
1
5
3
2
2 27
16
26
8
7
6
16
7
26
6
4
8
4
2
2 3
4
27
7
3
4
9
8
3
8
6
3
6
3
1
2
2
24
32
1
7
2
2
3
16
5
8
3
4
7
1
6
3
4
2
2
4
2 4
7
3
8
6
3
1
4
5
2
3
9
7
5
2
2 27
3
2
2
4
Minden jó megoldás 3 pont. Ha egy megoldásban van hiba, akkor az 0 pont. Így maximum: 3×3 pont, azaz Összesen: 9 pont
2. Kis-Nagy Üzletház logisztikai központjából egyforma kamionokkal szállítják ki az árukat az üzletekbe. Az árukat két típusú konténerbe csomagolják, kicsibe és nagyba. Egy kamion egy fuvarban legtöbb 12 kis konténert, vagy 8 nagy konténert tud elszállítani (a kis és nagy konténerek egy szállítmányban kombinálhatók). Minden kamion öt üzletbe szállít havonta árut úgy, hogy azt teljesen megpakolják. Az egyik kamion az októberi hónapban 52 konténert szállít üzleteibe. Hány kis konténert szállított a kamion? Válaszod indokold! Megoldás: Ha csak kis konténereket szállítana, akkor 60 konténert szállítana öt fordulóban. 2 pont Minden alkalommal 3 kis konténer 2 nagyra cserélhető. 2 pont Ilyen konténer cserék során a konténerek száma eggyel csökken. 1 pont Nyolc ilyen csere után elérjük az 52-es konténerszámot. 1 pont Ebben az esetben az öt hét alatt 60 - 8∙3 = 36 kis konténert és 16 nagy konténert kell elszállítani, ami a 3∙12 + 2∙8 = 52 formációban meg is valósítható. 2 pont Több megoldás nincs.
1 pont
A megoldás közlése, annak megmutatása nélkül, hogy több megoldás nincs 4 pont. Összesen: 9 pont
2
3. A 2014 egy olyan négyjegyű szám, melyben az egyes helyi értéken álló számjegy eggyel nagyobb, mint a többi helyi értéken álló számjegyek összege. Hány ilyen tulajdonságú négyjegyű szám van, ha az egyes helyi értéken álló számjegy nem nagyobb 6-nál? Megoldás: Minden helyesen leírt számra 0,25 pont jár, tehát a 35 számra 0,25pont x 35 A mondat megfogalmazása: Összesen 35 szám van.
8,75 pont 2,25 pont
Összesen: 11 pont
4. Egybevágó kockákból olyan testet építettünk, melyet elölről, illetve az egyik oldaláról megnézve az alábbi ábrákat látjuk:
Hány kockából építhettünk ilyen testet. Keress több megoldást! Válaszaid indokold!
Megoldás: A 3×3-as négyzetek mezőire a lehetséges kockák számát írjuk, a nézetek jók legyenek. Adott kockaszám esetén többféle elhelyezés is lehet. A további négyzetek különböző kockaszámra ad egy-egy jó elhelyezést. 0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
2
0
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
6 kocka
7 kocka
8 kocka 1
9 kocka
1
1
1
2
1 1 11 kocka
1
2
10 kocka
A nézeteknek megfelelő testek építéséhez felhasznált kockák száma: 6, 7, 8, 9, 10 és 11 lehet. Számonként egy-egy pont 6 pont A kockák helyes elhelyezése a 3x3-as négyzetrácsba megoldásonként egy-egy pont 6 pont Összesen: 12 pont
3
5. Logikai feladat: Hanoi tornyai A játékban három rúd szerepel, amelyek közül az elsőn négy különböző méretű korong található. A korongok csökkenő méretek szerint vannak egymás tetejére helyezve (lásd ábra). A játék szabályai szerint az első rúdról az utolsóra kell átrakni a korongokat úgy, hogy minden lépésben egy korongot lehet áttenni, nagyobb korong nem tehető kisebb korongra. A középső rudat lehet használni a korongok átmeneti tárolására. Alaphelyzet: Oszlopok betűjele:
A
B
C
Korongok sorszáma: 1. 2. 3. 4.
Add meg a korongok átrakásának lépéssorrendjét az „A” oszlopról a „C” oszlopra. Törekedj a lehető legkevesebb lépésre! Az egymás utáni lépéseket a következő módon írd le: Lépés sorszáma: Alaphelyzet 1. lépés 2. lépés 3. lépés 4. lépés …
A oszlop 4321 432 43 43 4
B oszlop 1 1 3
C oszlop
2 21 21
Az első lépésnél az 1-es számú korongot (a legkisebbet) tettük át az A oszlopról a B oszlopra. A második lépésnél a 2-es számú korongot tettük át az A oszlopról a C oszlopra. A harmadik lépésnél az 1-es számú korongot tettük át a B oszlopról a C oszlopra (a 2-es korong tetejére). A feladat megoldásához segítséget találsz a http://egyszervolt.hu/jatek/jatek-hanoi-tornyai.html vagy http://online-games-2.com/hu/online/21cS/tower-of-hanoi oldalakon.
Megoldás: A feladat minimálisan 15 lépést igényel. (2n-1, ahol n a korongok száma) Egy lehetséges lépéssorozat:
4
Lépés sorszáma
A oszlop
B oszlop
C oszlop
Alaphelyzet
4321
1. lépés
432
1
2. lépés
43
1
3. lépés
43
4. lépés
4
3
21
5. lépés
41
3
2
6. lépés
41
32
7. lépés
4
321
2 21
8. lépés
321
4
9. lépés
32
41
10. lépés
2
3
41
11. lépés
21
3
4
12. lépés
21
13. lépés
2
43
14. lépés
1
43
1
432
15. lépés
4321
Megoldás: Minden jó lépés 1 pont. Ha egy lépés hibás, akkor az 0 pont. Így maximum: 15 pont. Összesen: 15 pont
5
