03/08/2015
Sistem Bilangan Riil
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
2
1
03/08/2015
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
3
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
4
2
03/08/2015
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
5
Sistem bilangan N: 1,2,3,…. Z: …,-2,-1,0,1,2,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real
Q:
q
a , a, b Z , b 0 b
R Q Irasional Contoh Bil Irasional
2 , 3,
6
3
03/08/2015
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) 2
-3
0 1
Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
7
Sifat–sifat bilangan real Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian
x + y = y + x dan x y = y x Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian (x + y) + z = x + (y + z) dan (x y ) z = x (y z) Distributif, perkalian terhadap penjumlahan (x + y) z = x z + y z Unsur identitas Terhadap operasi jumlah yaitu x + 0 Terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x 1 = x Invers Terhadap penjumlahan yaitu –x sehingga x + (-x) = 0 Terhadap perkalian yaitu 1/x sehingga x 1/x = 1
8
4
03/08/2015
Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Penambahan x
yz 9
Selang Jenis-jenis selang
xx
Himpunan a
selang
, a , a
xxa b
a, b
xa x b
a, b
xx
b
b,
xxb
b,
x x
,
xa
x
Grafik a a a
b
a
b b b
10
5
03/08/2015
Sistem Bilangan Real Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang
berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang: disebut selang tutup disebut selang buka
keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup keduanya disebut selang tak terbatas 11
Supremum Infimum a. Definisi unsur maksimum dan unsur minimum
b. Definisi batas atas dan batas bawah c. Definisi supremum infimum
12
6
03/08/2015
Supremum Infimum Supremum bisa juga disebut batas atas terkecil
Infimum bisa juga disebut batas bawah terbesar
13
Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan :
A x D x Bx E x dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom)
dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
14
7
03/08/2015
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP : 1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x) 0 , dengan cara : Q( x)
15
Pertidaksamaan
2.
3.
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
16
8
03/08/2015
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1
13 2 x 3 5 13 3 2 x 5 3 16 2 x 8
8 x4 4 x8 Hp = 4,8
4
8
17
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 2
2 6 4x 8 8 4 x 2
8 4 x 2 2 4x 8
1 x2 2
Hp
1 ,2 2
12
2
18
9
03/08/2015
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 3
2x 2 5x 3 0
2 x 1x 3 0
Titik Pemecah (TP) : x ++
--
1 2
dan
x3
++ 3
12 1 2
Hp = ,3 19
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x 4 6 7 x 3x 6 dan 6 7 x 3x 6 2x 4 6 7 x
2x 7x 6 4 9 x 10 10 x 9 10 x 9
dan 7 x 3x 6 6
dan
10 x 0
dan
10 x 0
dan
x0
20
10
03/08/2015
Hp =
10 , 0, 9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp =
10 0, 9
21
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5.
1 2 x 1 3x 1 1 2 0 x 1 3x 1
3x 1 2 x 2 0 x 13x 1
22
--
++ -1
Hp =
-1
3
++ 3
,1 1 ,3 3
x 3 0 x 13x 1 1 ,3 TP : -1, 3
11
03/08/2015
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 6.
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 0 2 x 3 x
x 13 x x2 x 0 2 x 3 x 2x2 2x 3 0 2 x x 3 23
Untuk pembilang 2 x 2 2 x 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. --
++ -3
Hp =
-2
,3 2,
24
12
03/08/2015
Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat
pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :
x ,x 0 x x , x 0
25
Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak:
x2
1 2
x
4
x y
5
x x y y
x a, a 0 a x a 3 x a, a 0 x a atau x a x2 y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x y x y
x y x y 26
13
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 2 x 5 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3 2 x 5 3 5 3 2x 3 5 2 2x 8 1 x 4 Hp = 1,4
1
4
27
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2.
2x 5 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2 x 5 9 4 x 2 20 x 16 0 2
4 x 2 20 x 25 9 2 x 2 10 x 8 0
2 x 2x 4 0
++
1
--
4
++
Hp = 1,4
TP : 1, 4 28
14
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3. 2 x 3 4 x 5 Kita bisa menggunakan sifat 4
2 x 3 4 x 5 2
2
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25 12 x 2 28x 16 0
3x 2 7 x 4 0 3x 4x 1 0
29
TP :
4 , -1 3
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++
-4
3
++ -1
Hp = 4 , ,1 3
30
15
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian x 7 2 2
4.
x 7 2 2 x 5 2
atau atau
x 10
atau
x 7 2 2 x 9 2
x 18
Hp = 10, ,18
31
-18
-10
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x 2 x 1 2 Kita definisikan dahulu : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x 2 x 2 x2 2 x x 2
Jadi kita mempunyai 3 interval : I ,1
II
III
1,2 -1
2, 2
32
16
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x 1 atau ,1 3 x 2 x 1 2 32 x x 1 2
6 3x x 1 2 7 2 x 2 2 x 9 2x 9 x
9 2
9 , 2
atau
33
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = , ,1 2
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah ,1 sehingga Hp1 = ,1
34
17
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval 1 x 2
atau
1,2
3 x 2 x 1 2
32 x x 1 2 6 3x x 1 2 5 4 x 2 4 x 7
4x 7 x
7 4
7
atau , 4
35
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = , 1,2 4
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7 bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
7 sehingga Hp2 = 1, 4
1, 4
36
18
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian x 2 atau 2,
III. Untuk interval
3 x 2 x 1 2 3x 2 x 1 2
3x 6 x 1 2
2 x 7 2 2x 5 x
5 2
5 2 ,
atau
37
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = 5 , 2,
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga 2 , 5 Hp3 = ,
2
38
19
03/08/2015
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp 2 Hp3 7 5 Hp ,1 1, , 4 2 Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
39
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7
-1
4
-1
7
-1
7
4
4
7
5
2
5
5
2
2
5
Jadi Hp = , , 4 2
40
20
03/08/2015
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 x 2 1 x 4 2x
2
x 2 x 1 x2 x3
3 2 x 3 2x 3 4 x 12 2 x 2 2 5 2x 3 4x 5 6 x 3x 2 41
21
