13 Wiener folyamat és az Itô lemma
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
1
Markov folyamatok „Memória” nélküli sztochasztikus folyamatok, a következő lépés csak a pillanatnyi helyzettől függ Feltevés: részvényárak mozgása Markov folyamat Következmény: technikai analízis nem működhet! Hatékony piac hipotézis (gyenge formában): a pillanatnyi ár minden információt tartalmaz a múltbeli viselkedésről φ(m,v): normál eloszlás, m átlag, v variancia (= σ2 ) Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
2
Variancia & standard szórás Markov folyamatnál az egymást követő lépések függetlenek Átlag és variancia additív Standard szórás nem additív Pl. φ(m,v): φ(0,1) 2 év után: φ(0,2) σ = 1.414 6 hónap után: φ(0,0.5) σ = 0.707 3 hónap után: φ(0,0.25) σ = 0.5 Δt év után: φ(0, Δt) σ = Δt 1/2 Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
3
Wiener folyamatok Egy z véletlen változó Wiener folyamat, ha z megváltozása egy kicsi Δt intervallumban: Δz Δz tetszőleges 2 különböző (nem átfedő) periódusban független Δ z = ε
Δ t
ε ∈ ϕ (0,1)
ahol
[z (T ) – z (0)] =
N
∑εi i =1
Δt
átlaga 0
[z (T ) – z (0)] varianciája T [z (T ) – z (0)] standard szórása T Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
4
Általánosított Wiener folyamatok Drift: átlagos változása x-nek egységnyi idő alatt a Variancia: egységnyi idő alatt b2
Δx = a Δt + b ε Δt
dx = a dt + b dz x = x0 + at
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
5
Itô folyamat Egy Itô folyamatnál a drift és a variancia idő és állapot függő: dx=a(x,t) dt+b(x,t) dz Véges időlépés esetén: Δ x = a ( x, t ) Δ t + b ( x, t )ε Δ t
pontos eredmény, ha Δt zéróhoz tart rejtett feltevés: Δt alatt a és b nem változik!
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
6
Általánosított Wiener folyamat és a részvények ára Várakozás: árak változása százalékosan állandó (elvárt hozam nem függ az ártól) Az árak változékonysága arányos az ár nagyságával
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
7
Részvények árváltozása: Itô folyamat dS = μ S dt + σ S dz itt μ az elvárt hozam (return) σ a volatilitás. Diszkrét időlépés: ΔS = μSΔt + σSε Δ t
Geometriai Brown mozgás dS = μ dt + σ dz ~ ϕ ( μ dt , σ 2 dt ) S
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
S T = S 0 e μT 8
Monte Carlo szimuláció Véletlen szám generálás: ε Pl.: μ = 0.15, σ = 0.30, és Δt = 1 hét (= 1/52 azaz 0.0192 év), ekkor ΔS = 0.15 × 0.0192 S + 0.30 × 0.0192 ε or
ΔS = 0.00288 S + 0.0416 Sε Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
9
Monte Carlo szimuláció: Week
Stock Price at Random Start of Period Sample for ε
Change in Stock Price, ΔS
0
100.00
0.52
2.45
1
102.45
1.44
6.43
2
108.88
−0.86
−3.58
3
105.30
1.46
6.70
4
112.00
−0.69
−2.89
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
10
Itô lemma Ha ismerjük egy x folyamat részleteit, Itô lemmája megadja egy G (x, t ) sztochasztikus függvény viselkedését. Minthogy minden származékos termék függ az eszköz árától és az időtől, az Itô lemma fontos szerepet játszik minden árazási problémánál.
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
11
Taylor sorfejtés: Egy G(x, t) függvény Taylor sora ∂G ∂G ∂ 2G 2 ΔG = Δx + Δt + ½ Δ x ∂x ∂t ∂x 2 ∂ 2G ∂ 2G 2 + Δx Δt + ½ Δt + K 2 ∂x∂t ∂t
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
12
Levágás rendje: Δt Szokásos függvény kalkulus :
∂G ∂G ΔG = Δx + Δt ∂x ∂t Sztochaszt ikus kalkulus esetén :
∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 ΔG = Δx + Δt + Δx 2 ∂x ∂t 2∂x Δx egyik komponense ~ Δt !! Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
13
Ha Δx Itô folyamat: ekkor dx = a ( x , t ) dt + b ( x , t ) dz diszkrét id ő Δx = a Δt + b ε Δt Δ t - nél levágás :
∂G ∂G ∂ 2G 2 2 ΔG = Δx + Δt + ½ b ε Δt 2 ∂x ∂t ∂x Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
14
Az ε2Δt tag Minthogy ε ≈ φ (0,1), E (ε ) = 0 E (ε 2 ) − [ E (ε )]2 = 1 E (ε 2 ) = 1 E (ε 2 Δt ) = Δt Δt varianciája ~ Δt 2 emiatt
∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 b Δt ΔG = Δx + Δt + 2 ∂x ∂t 2 ∂x Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
15
Infinitezimális határérték ∂G ∂G ∂ G 2 dG = dx + dt + ½ 2 b dt ∂x ∂t ∂x 2
dx = a dt + b dz ⎛∂G ∂G ∂ G 2 ⎞ ∂G dG = ⎜⎜ a+ + ½ 2 b ⎟⎟dt + b dz ∂t ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂x ez Itolemmája 2
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
16
Itô lemma és részvény árak A részvény ár Ito folyamat d S = μ S dt + σ S d z G függvény megváltozása ( S és t függvénye) : ⎛∂G ∂G ∂G ∂ 2G 2 2 ⎞ +½ σ S dz σ S ⎟⎟ dt + μS + dG = ⎜⎜ 2 ∂S ∂t ∂S ⎝∂S ⎠
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
17
Példák
2 ⎛∂G ∂ G ∂ G 2 2 ⎞⎟ ∂G ⎜ dG = μ S + +½ σ S dt + σ S dz 2 ⎜∂S ⎟ ∂ t ∂ S ∂S ⎝ ⎠
1. Forward ára (lejárati idő T ) G = S e r (T − t )
∂G = e r (T − t ) ∂S
dG = ( μ − r )G dt + σG dz 2. Részvény ár logaritmus a G = ln S ∂G 1 = ∂S S
2 ⎛ σ ⎜ dG = μ − ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ dt + σ dz ⎟ ⎠
∂ 2G =0 2 ∂S
1 ∂ 2G = − S2 ∂ S2
∂G ∂t
= − re r (T − t )
∂G ∂t
=0
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
