14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell

Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

1

Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: S μ: elvárt hozam σ: volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

(

ΔS 2 ≈ φ μΔt , σ Δt S

)


3

Lognormális áreloszlás: Minthogy G = lnS általánosított Wiener folyamat: 2⎞ ⎡⎛ ⎤ σ 2 ⎟T , σ T ⎥ ln ST − ln S0 ≈ φ ⎢⎜ μ − ⎜ ⎟ 2 ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎠ azaz 2⎞ ⎤ ⎡ ⎛ σ 2 ⎟T , σ T ⎥ ln ST ≈ φ ⎢ln S0 + ⎜ μ − ⎜ ⎟ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠


4

Lognormális áreloszlás:

E ( S T ) = S 0 e μT 2 2 μT

var ( S T ) = S 0 e

(e

σ 2T


− 1)

5

Folytonosan jóváírt hozam xT

ST = S0 e 1 ST x = ln T S0 2 2 ⎛ σ σ ⎞ ⎟ x ≈ φ ⎜⎜ μ − , ⎟ T 2 ⎝ ⎠ Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

6

Folytonosan jóváírt hozam A részvényár várható értéke: S0eμT Ezzel szemben a hozam várható értéke: μ – σ 2/2 Magyarázat:

ln[ E ( ST / S0 )]

≠

E[ln(ST / S 0 )]

ln[E ( ST )] = ln( S 0 ) + μT > E [ln(ST )] Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

7

μ és μ −σ 2/2 μ a hozam várható értéke egy nagyon rövid

Δt időtartam alatt (jóváírás Δt után) μ −σ2/2 isa várható hozam egy hosszú időtartamra folytonos (illetve Δt gyakoriságú) jóváírással


8

Befektetési alapok hozama: Éves hozamok: 15%, 20%, 30%, −20%, 25% (1 éves jóváírás) Számtani átlag: 14% 100 x 1.15 x 1.2 x 1.3 x 0.8 x 1.25 = 179.4 100 x 1.1405 = 192.5 (!!!) 100 x 1.1245 = 179.4 Számtani átlag (14%) felel meg μ-nek Geometriai átlag (12.4%) felel meg μ−σ2/2-nek Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

9

Volatilitás Folytonos jóváírással meghatározott 1 éves hozam standard szórása Egy rövid Δt időtartamra ez közelítőleg

σ Δt Ha az ár $50 és a volatilitás 25% évente: 1 = 1.57 % 365 1 = σ Δt ≈ 30 = 1.89 % 252

σ 1nap = σ Δt ≈ 30 σ 1keresk.na p


10

Volatilitás becslés historikus adatokból 1. Ár adatsorok: S0, S1, . . . , Sn (τ gyakoriság, pl. τ = 1/52 heti záró árakra) 2. Hozam minden egyes lépésre: ⎛ Si ⎞ ⎟ ui = ln⎜ ⎝ Si −1 ⎠ 3. Stadard szórás s az összesített ui adatokra s=

1 n (ui − u ∑ i = 1 n −1

)2

4. Wiener tulajdonság miatt: Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

σˆ =

s

τ 11

Black-Scholes-Merton alapfeltevések A részvény és a részvényopció bizonytalansága ugyanazon tényezőkön alapul (μ és σ konstans). Tudunk rizikómentes portfóliót alkotni részvényből és részvény opcióból. A portfólió hozama rövid távon a rizikómentes befektetés hozamával egyezik meg. Folytonos kereskedés, nincs osztalék, a kamatláb lejárattól független. Nincs adó és tranzakciós költség. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

12

Black-Scholes differenciálegyenlet f a call opció ára, S-től függ

Δ S = μS Δ t + σS Δ z ⎛ ∂ƒ ∂ƒ ∂ 2ƒ 2 2 ⎞ ∂ƒ ⎟ ⎜ Δƒ = ⎜ +½ μS + σ S ⎟Δt + σS Δz 2 ∂t ∂S ∂S ⎝ ∂S ⎠

∆z = ε√ ∆t mindkét egyenletben azonos!! − 1 : opció ∂ƒ + : részvény ∂S Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

13

Black-Scholes differenciálegyenlet A portfólió értéke, Π

∂ƒ Π = −ƒ + S ∂S Változás Δt alatt

∂ƒ ΔΠ = − Δƒ + ΔS ∂S Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

14

Black-Scholes differenciálegyenlet Alapfeltevés : a hozam kockázatmentes ΔΠ = r ΠΔt ∂f ∂f ⎛ ΔS = r ⎜ − f + - Δf + ∂S ∂S ⎝ Helyettesítés, Δƒ és ΔS :

⎞ S ⎟ Δt ⎠

2 ƒ ∂ƒ ∂ƒ ∂ 2 2 + rS +½ σ S = rƒ 2 ∂t ∂S ∂S


Black-Scholes differenciálegyenlet Bármilyen származtatott termék ára a BS egyenlet megoldása. Egy adott termék: peremfeltételek Pl.: határidős szerződés ára ƒ = S – K a lejárati időben (t =T) Behelyettesítés után a megoldás: ƒ = S – K e–r (T – t ) Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

16

Black-Scholes-Merton árazás c = S 0 N (d1 ) − K e − rT N (d 2 ) p = K e − rT N (−d 2 ) − S 0 N (−d1 ) 2 ln(S 0 / K ) + (r + σ / 2)T d1 = σ T ln(S 0 / K ) + (r − σ 2 / 2)T = d1 − σ T d2 = σ T Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012

17

N(x) függvény N(x) annak a valószínűsége, hogy a véletlen változó kisebb x-nél (kumulatív valószínűség eloszlás)


18

Black-Scholes-Merton árazás Ha S0 extrém nagy értékű, c tart S0 – Ke-rT árhoz, és p nullához Fordítva: S0 alacsony értékénél c nullához tart, p határértéke Ke-rT – S0


19

Kockázatmentes értékelés Az elvárt hozam, μ, nincsen benne a BlackScholes-Merton egyenletben! Kockázat-preferenciától teljesen független.


20

Kockázatmentes értékelés 1. Alapfeltevés: a részvények hozama megegyezik a kockázatmentes kamat-hozammal. 2. Számoljuk az opció hozamát. 3. Diszkontálás: kockázatmentes kamatláb.


21

Példa: határidős ügylet Elszámolásnál: ST – K Kockázatmentes esetben: S0erT – K Jelenérték: e-rT[S0erT – K]=S0 – Ke-rT


22

VIX S&P500 volatilitás index


23

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

Recommend Documents