Doorlopende leerlijn rekenen in het vo

Machteld Schölvinck

Doorlopende leerlijn rekenen in het vo

Zes kwaliteitskenmerken voor het vormgeven van het rekenonderwijs

1612_Int_Leerlijn_Rekenen_deel2.indd 1

19-11-10 12:07

Colofon Ten behoeve van de leesbaarheid, is in deze publicatie in veel gevallen bij de verwijzing naar personen gekozen voor het gebruik van ‘hij’. Het spreekt vanzelf dat hier ook ‘zij’ gelezen kan worden.

© CPS Onderwijsontwikkeling en advies, november 2010 Eindredactie: Jarise Kaskens Vormgeving: Digitale klerken Druk: Ipskamp drukkerij CPS Onderwijsontwikkeling en advies Postbus 1592 3800 BN Amersfoort Telefoon (033) 453 43 43 www.cps.nl

Deze publicatie is tot stand gekomen met subsidie van het Ministerie van OC&W in het kader van SLOA of R&D 2010. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt in enige vorm, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

2


19-11-10 12:07

Inhoud Managementsamenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inleiding

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

Referentieniveaus voor (taal en) rekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

Goed rekenonderwijs in het voortgezet onderwijs in het kort

2.1

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

De zes kwaliteitskenmerken in het kort

2.3

Rekenbeleid op schoolniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Samenvatting

3

Hoe staat het met de vaardigheden van leerlingen

in het voortgezet onderwijs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2

Het rekenniveau gemeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3

Uitkomsten Cito-monitor in percentages

3.4

Voorzichtige conclusies uit de monitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5

Wat betekenen de niveauverschillen voor het rekenen

in het vmbo-, havo- en vwo-onderwijs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6

Kenmerken van rekenzwakke leerlingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7

Welke vorm van onderwijs hebben rekenzwakke

leerlingen nodig?

3.8

Verschillen tussen primair en voortgezet onderwijs . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4

Zes kenmerken van effectief rekenonderwijs nader uitgewerkt . . 33

4.1

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2

Tijd en extra tijd

4.3

Doelen

4.4

Goed aanbod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

. . . 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Inhoud


3

19-11-10 12:07

4.5

Convergente differentiatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6

Effectieve instructie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7

Effectieve instructie: de inhoud

4.8

Vroegtijdig signaleren en reageren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5

Rekenbeleid op schoolniveau

5.1

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2

Uitkomsten van onderzoek naar onderwijsvernieuwing . . . . . . . . . . . . 49

5.3

Aandachtspunten voor het opstellen van rekenbeleid . . . . . . . . . . . . . . 52

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Dankwoord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Literatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bijlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1

Concrete automatiseringsoefeningen basisvaardigheden . . . . . . . . . . 58

2

Aandachtspunten directie voor doorlopende leerlijn rekenen

in het voortgezet onderwijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4


Inhoud

19-11-10 12:07

Managementsamenvatting Inleiding In april 2010 heeft de Tweede Kamer met algemene stemmen het wetsvoorstel ‘Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen’ aangenomen. Door de r eferentieniveaus probeert men op het gebied van taal en rekenen de overgangen van primair naar voortgezet onderwijs en van voortgezet onderwijs naar mbo/hbo/wo te vergemakkelijken. Het doel is om te komen tot een algemene niveauverhoging. De referentieniveaus worden getoetst in de examens. Door de aandacht voor deze referentieniveaus is er meer aandacht voor het rekenen in het voortgezet onderwijs (vo). De aandacht die vo-scholen hebben voor het rekenen is betrekkelijk nieuw. Deze publicatie wil vo-scholen op weg helpen om gecijferdheid binnen hun school een plek te geven en hun rekenonderwijs zo in te richten dat leerlingen de kans krijgen om een hoger rekenniveau te behalen. Deze publicatie geeft niet alleen aan wat daar voor nodig is op schoolniveau, maar ook op groeps- en leerlingniveau. C entrale ingrediënten in dit proces zijn enerzijds directie en docent en anderzijds r ekentijd en -instructie en inzicht in de opbouw van rekenkundige kennis en vaardigheden. Ieder hoofdstuk sluit af met een reflectievraag voor de lezer.

Hoofdstuk 1: Referentieniveaus voor (taal en) rekenen Niveau 1F is het minimale niveau dat leerlingen bereikt moeten hebben als ze de basisschool verlaten. 1S is het streefniveau. Leerlingen die het vmbo verlaten, moeten minimaal 2F beheersen. Leerlingen die de havo en het vwo verlaten, moeten niveau 3F beheersen.

Managementsamenvatting


5

19-11-10 12:07

Hoofdstuk 2: Goed rekenonderwijs in het voortgezet onderwijs in het kort Bakker en Cijvat (2009) onderscheiden zes kwaliteitskenmerken voor effectief rekenonderwijs: tijd en extra tijd, doelen, goed aanbod, effectieve instructie, convergente differentiatie en vroegtijdig signaleren en reageren. Wij voegen er nog een belangrijke aan toe, die voorwaardelijk is voor onderwijsvernieuwing: rekenbeleid op schoolniveau.

Hoofdstuk 3: Hoe staat het met de vaardigheden van leerlingen in het voortgezet onderwijs? Uit de Monitor taal en rekenen van Cito (2009) kan de volgende conclusie worden getrokken: hoe hoger het schoolniveau, hoe kleiner het percentage rekenzwakke leerlingen. Ofwel: in het vmbo-bbl zijn de meeste rekenzwakke leerlingen, in het vwo de meeste rekensterke leerlingen. Dit betekent dat hoe kleiner het percentage dat het referentieniveau behaalt, hoe meer aandacht voor rekenen gewenst is. 100 90 80

Percentage

70 60 50 40 30 20 10 0 gr. 8: 1F

vmbo bbl: 2F

vmbo kbl: 2F vmbo gl/tl 2F havo 3F

vwo 3F

Schoolniveau Figuur 1: Percentage leerlingen dat het beoogde referentieniveau behaalt.

6



19-11-10 12:07

In het vmbo-bbl en -kbl moet relatief meer aandacht worden besteed aan rekenen. Uit onderzoek blijkt dat rekenzwakke leerlingen gebaat zijn bij eenduidige voorbeelden, het activeren van voorkennis, aanbieden van één rekenbewerking per keer, aanbieden van adequate oefening en geven van adequate feedback. Deze vorm van instructie is het meest effectief wanneer ze wordt aangeboden binnen het IGDI-model (Interactief, Gedifferentieerd, Directe Instructiemodel). Dit model is een aangepaste versie van het directe instructiemodel en geschikt voor het aanleren van basisvaardigheden zoals taal, lezen en rekenen.

Hoofdstuk 4: Zes kenmerken van effectief rekenonderwijs nader uitgewerkt Tijd en extra tijd Uit allerlei onderzoeken komt naar voren dat het organiseren van tijd en extra tijd voor zwakke rekenaars een van de belangrijkste pijlers is voor het repareren van hiaten en het onderhouden van rekenkennis en –vaardigheden. Er zijn verschillende manieren waarop het rekenen aan bod kan komen. In de wiskundelessen, in aparte rekenlessen, in modules (leerlingen die op bepaalde onderdelen uitvallen, krijgen gerichte lessen) en in het rekengerichte vakonderwijs. Bij alle varianten van aandacht in het curriculum voor rekenen geldt, dat het rendement toeneemt, naarmate er meer aandacht is voor rekenen en er wekelijks vaker gericht aandacht wordt besteed aan rekenen. Doelen De school formuleert niet alleen einddoelen, maar ook tussendoelen per leerjaar. Het einddoel is minimaal niveau 2F. Van dat niveau kunnen de tussendoelen worden afgeleid: de school geeft per leerjaar aan welke bewerkingen leerlingen moeten beheersen om uiteindelijk het beoogde eindniveau te behalen. Goed aanbod Er kan alleen sprake zijn van een goed aanbod voor rekenzwakke leerlingen als docenten inzicht hebben in de opbouw van de rekenvaardigheden van leerlingen en er afstemming heeft plaatsgevonden tussen de verschillende vakgebieden.



7

19-11-10 12:07

Met andere woorden: het moet duidelijk zijn bij welk vak en in welk schooljaar een bepaalde rekenvaardigheid aan de orde komt. Convergente differentiatie Uit onderzoek blijkt dat leerlingen het meeste van de rekenles profiteren als alle leerlingen groepsinstructie krijgen en als er tijdens de verwerking rekening wordt gehouden met de verschillen tussen rekensterke en rekenzwakke leerlingen. Effectieve instructie Wanneer de docent de instructie organiseert volgens het IGDI-model krijgen alle leerlingen eenzelfde aanbod. Rekensterke leerlingen krijgen de m ogelijkheid om meer te presteren en rekenzwakke leerlingen kunnen extra instructie krijgen van de docent. In het voortgezet onderwijs wordt bij verschillende vakken gerekend. Veel vo-docenten bieden het rekenen op een formele manier aan (abstracte strategie). In de praktijk wordt vaak besloten dat alle docenten het rekenen op dezelfde formele manier aanbieden. Deze benadering is een grote valkuil. Zij zorgt bij rekenzwakke leerlingen juist voor méér rekenproblemen in plaats van dat zij hun rekenproblemen helpt oplossen. Rekenzwakke leerlingen zijn juist gebaat bij modelondersteunde instructie, bijvoorbeeld door het gebruik van een lijn of verhoudingstabel of zelfs concrete instructie. De oplossing is níét dat alle docenten dezelfde formele rekenwijze aanbieden, maar dat ze leren aanvoelen wanneer leerlingen gebaat zijn bij een model of concrete vorm van instructie. Juist het aanbieden van deze instructie in de context van een vak (bijvoorbeeld techniek of v erzorging) helpt rekenzwakke leerlingen om reken hiaten te dichten. Vroegtijdig signaleren en reageren Hierbij gaat het niet alleen om het in kaart brengen van rekenproblemen (met behulp van een toets) en het daarop afstemmen van het aanbod. Het gaat óók om de integratie van deze gegevens in de kwaliteitscyclus. Anders gezegd: toetsuitslagen hebben niet alleen consequenties voor het aanbod aan individuele leerlingen maar ook op het aanbod en de instructie op groeps-, docent-, jaaren schoolniveau. Wat vraagt dit alles van de betrokken docenten:

8



19-11-10 12:07

• Wordt rekengericht vakonderwijs aangeboden om de parate r ekenkennis en rekenvaardigheden te onderhouden of te vergroten? Met andere woorden: worden alle vakken waarbij rekenen aan de orde is, gebruikt om hiaten te repareren en vaardigheden te onderhouden? • Kunnen docenten operationele doelen stellen voor rekenonderwijs naar aanleiding van hun eigen observaties en toetsen? • Hebben docenten kennis van de leerstof die in voorgaande leerjaren is aangeboden (inclusief de leerstof van het basisonderwijs)? En hebben zij ook kennis van de leerstof die komende leerjaren wordt aangeboden? • Kennen docenten de cumulatieve structuur van het vakgebied waarin begrippen en rekenprocedures op elkaar voortbouwen? • Kunnen docenten hun uitleg afstemmen op de rekenvaardigheid van de leerlingen? • Kunnen docenten het directe instructiemodel inzetten om alle leerlingen goed rekenonderwijs te bieden? • Kunnen docenten variëren in werkvormen (variatie ten behoeve van inhoud, maar ook ten behoeve van zelfstandigheid, betrokkenheid, oplossend vermogen en reflectie)?

Hoofdstuk 5: Rekenbeleid op schoolniveau Het invoeren van rekenbeleid kan voor het team en individuele docenten een grote verandering teweegbrengen. Om iedereen betrokken te maken en te houden is het belangrijk hier tijd en ruimte voor uit te trekken.

Bijlage 1: Concrete automatiseringsoefeningen basisvaardigheden Bijlage 2: Aandachtspunten directie voor doorlopende leerlijn rekenen in het voortgezet onderwijs Checklist met vragen die behulpzaam kunnen zijn voor de directie bij het organiseren van een doorlopende leerlijn rekenen in het voortgezet onderwijs.



9

19-11-10 12:07

Inleiding In april 2010 heeft de Tweede Kamer met algemene stemmen het wetsvoorstel ‘Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen’ aangenomen. De referentieniveaus, zoals geformuleerd door de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (commissie Meijerink), leggen vast wat leerlingen op een bepaald moment in hun schoolloopbaan moeten kennen en kunnen op het gebied van taal en rekenen. De taal- en rekenniveaus gaan dienen als referentiepunt bij de overgang van het primair naar het voortgezet onderwijs en van het voortgezet onderwijs naar het middelbaar of hoger onderwijs. Daarnaast maken de referentieniveaus een doorlopende leerlijn mogelijk. In 2014 vinden de eerste officiële examens plaats waarin gebruik gemaakt wordt van de referentieniveaus, in het voortgezet onderwijs en mbo-niveau 4. In 2015 gebeurt dit ook bij mbo-niveau 2 en niveau 3. De taal- en rekenvaardigheidniveaus zijn voor de volgende domeinen beschreven: Taalvaardigheid

Rekenvaardigheid

Mondelinge taalvaardigheid Luistervaardigheid

Getallen

Leesvaardigheid

Verhoudingen

Schrijfvaardigheid

Meten en meetkunde

Taalverzorging en taalbeschouwing

Verbanden

Referentieniveaus rekenen: Voor rekenen zijn er drie niveaus beschreven. Bij rekenen is er, anders dan bij taal, geen invulling gegeven aan het vierde niveau omdat men daar geheel in het domein van de wiskunde komt. Bij de referentieniveaus rekenen gaat het om van elkaar onderscheiden fundamentele en streefniveaus, welke beide op drie niveaus zijn beschreven. De fundamentele niveaus (1F, 2F en 3F) richten zich op

10


Inleiding

19-11-10 12:07

basale kennis en inzichten en zijn gericht op een meer toepassinggerichte benadering van rekenen. De streefniveaus (1S, 2S en 3S) bereiden al voor op de meer abstracte wiskunde. Voor het po en so zijn voor zowel Nederlandse taal als rekenen twee referentieniveaus vastgesteld vanwege de (vrij grote) niveauverschillen tussen leerlingen. Bij taal gaat het om de niveaus 1F en 2F, bij rekenen om 1F en 1S, zie figuur hieronder. (S)BAO / WEC

PRO

vmbo

vmbo

bb/kb

gt/tl

Nederlands

1F/2F

Rekenen/ wiskunde

1F/1S

havo

vwo

mbo

mbo 4

1F

2F

2F

3F

4F

2F

3F

1F

2F

2F

3F

3F

2F

3F

1,2,3

Voor het voortgezet onderwijs krijgen de referentieniveaus een duidelijke positie in de examenprogramma’s vanwege de vertaling naar examen opgaven en toetsen. Voor rekenen betekent dit het volgende: De fundamentele referentieniveaus 2F en 3F vormen voor het vo de basis voor de rekentoets. Beheersing van basisvaardigheden - vaardigheden die elke leerling zou moeten beheersen, ongeacht de gekozen richting of profiel - staat voorop. Voor rekenen zijn de niveaus 2F en 3F de wettelijke ondergrens. De streefniveaus 2S en 3S vervullen eventueel een rol in de (wiskunde) examens voor havo en vwo. Dit wordt echter niet in wetgeving vastgelegd. In het MBO worden de in de eindtermen opgenomen referentieniveaus vertaald naar examenopgaven en toetsen op een zodanige wijze dat deze inzicht geven of de leerling het desbetreffende referentieniveau 2F of 3F minimaal beheerst. Bij rekenen/wiskunde gaat het om de toepassing in de beroepspraktijk. Niveau 2F wordt beschouwd als maatschappelijk minimumniveau.

Inleiding


11

19-11-10 12:07

In de niveaus staat aangegeven welke kennis en vaardigheden leerlingen moeten kennen, kunnen toepassen en kunnen beredeneren. De niveaus maken duidelijk wat leerlingen moeten kennen als ze het basisonderwijs, het vmbo, de havo en het vwo verlaten. Voor basisscholen en vo-scholen (vmbo, havo en vwo) is het dus duidelijk waar ze naartoe moeten werken en het geeft hen inzicht vanuit welk startpunt zij kunnen beginnen. Met deze niveaus is het makkelijker voor scholen om vast te stellen wat leerlingen beheersen (en wat nog niet) en om het onderwijs daarop aan te passen. Het biedt hen een handvat om hiaten te repareren en vaardigheden te onderhouden. Scholen kunnen daar gericht beleid op gaan voeren. Het feit dat de referentieniveaus een onderdeel gaan vormen van de examens, is een van de redenen om op schoolniveau gericht beleid op de referentie niveaus te voeren. Een andere reden is dat we graag willen dat leerlingen zich straks (na het verlaten van het voortgezet onderwijs) kunnen redden in de geletterde samenleving, waarin zij bijvoorbeeld te maken hebben met verkeersborden, internet en gratis dagbladen. We willen ook dat ze zich kunnen redden in een gecijferde samenleving, dat ze tijdens het winkelen een beeld hebben van het geld dat ze uitgeven, afgezet tegen wat er in hun portemonnee zit. Dat ze afstanden tussen auto’s kunnen inschatten, dat ze bijvoorbeeld begrip hebben van afstanden bij het berijden van wegen. Wanneer het gaat om specifieke referentieniveaus voor rekenen betekent dit voor toekomstige bouwvakkers dat ze bijvoorbeeld redelijk precies kunnen inschatten hoeveel stenen ze nodig hebben voor het metselen van muren, dat ze de schalen uit de constructietekeningen kunnen toepassen in hun werk. Voor toekomstig winkelpersoneel betekent dit dat ze goed k unnen uitrekenen hoeveel geld ze terug moeten geven aan klanten en goed moeten kunnen schatten om te controleren of hun berekening klopt. Ook voor toekomstig verplegend personeel is het van levensbelang dat ze goed kunnen rekenen en bijvoorbeeld weten wat het verschil is tussen dl, cl en ml. Kortom, het afleveren van leerlingen die op rekengebied bekwaam zijn, is niet alleen van belang voor hun privéleven, maar ook voor de bijdrage die zij met hun werk leveren aan de maatschappij.

12


Inleiding

19-11-10 12:07

De aandacht van vo-scholen voor het rekenen is betrekkelijk nieuw. Deze publicatie wil vo-scholen op weg helpen om gecijferdheid binnen hun school een plek te geven en om het rekenonderwijs zo in te richten dat leerlingen de kans krijgen om een hoger rekenniveau te behalen. Deze publicatie geeft niet alleen aan wat daar voor nodig is op schoolniveau, maar ook op groeps- en leerlingniveau. Belangrijke factoren in dit proces zijn enerzijds directie en docent en anderzijds rekentijd en -instructie en inzicht in de opbouw van rekenkundige kennis en vaardigheden.

Inleiding


13

19-11-10 12:07

14


Hoofdstuk 1

19-11-10 12:07

Hoofdstuk 1 Referentieniveaus voor (taal en) rekenen De referentieniveaus zijn in het onderwijs een belangrijke leidraad. Ook voor rekenen staat nauwkeurig beschreven wat kinderen op verschillende momenten in hun schoolcarrière moeten kennen en kunnen. De referentie niveaus hebben als doel om een ijkpunt te bieden voor een structurele verhoging van het niveau van de basisvaardigheden van leerlingen. Er wordt onderscheid gemaakt tussen fundamenteel niveau (F) en streefniveau (S). De fundamentele niveaus (1F-2F-3F) gaan in op alledaagse en beroeps situaties. Het gaat om het zogenaamde functioneel rekenen. Kenmerkend is het functionele gebruik van kennis en vaardigheden in situaties die voor leerlingen concreet zijn. De streefniveaus (1S-2S-3S) bevatten meer algemene regels en sluiten meer aan bij de algemeen vormende wiskunde. De S-stroom is gericht op leerlingen die met een meer theoretische basis (vmbo-tl, havo, vwo) een vervolgopleiding instromen. 1 1F

2

1S

2F 2S

3 3F 3S

4 4F 4S

Algemeen maatschappelijk niveau

Referentieniveaus voor (taal en) rekenen


Drempels

15

19-11-10 12:07

Leerlingen moeten aan niveau 1F voldoen als ze 12 jaar zijn en naar het vo gaan. Aan 2F moeten leerlingen voldoen die van het vmbo afkomen en mbo niveau 1 en 2, omstreeks hun 16e. Leerlingen die de havo verlaten of mbo niveau 3 of 4 (rond hun 18e) moeten niveau 3F hebben.

12 jaar eind basisonderwijs

16 jaar 18 jaar

eind vmbo bb/kb mbo1/2 eind vmbo gl/tl

eind havo mbo-4 eind vwo hbo wo

Naast het formuleren van kennis- en vaardigheidsdoelen zijn de referentie niveaus ook geformuleerd ter verbetering van het (taal- en) rekenonderwijs. In het kader van de structurele verhoging van het niveau van de basis vaardigheden van leerlingen is gesteld dat alle leerlingen in principe met niveau 1F de basisschool en met niveau 2F het vmbo of mbo niveau 1, 2 of 3 zouden moeten verlaten. Dat is een interessant punt. Ook aanbeveling 6 van de commissie Meijerink, die betrekking heeft op het gebruik van rekenen wiskundevaardigheden in andere leergebieden, is relevant voor het vo. De commissie formuleert het als volgt: “Het gebruiken en onderhouden van vaardigheden op het gebied van rekenen en wiskunde moet plaatsvinden tijdens het toepassen in andere leergebieden en praktijksituaties. De aanpak die in rekenen en wiskunde is aangeleerd, moet bij docenten van deze vakken bekend zijn en zoveel mogelijk worden gebruikt.”

16


Hoofdstuk 1

19-11-10 12:07

Vragen: • Hoe leven de referentieniveaus binnen uw school? • Zijn er al doelen geformuleerd in het beleidsplan van uw school met betrekking tot deze referentieniveaus? • In hoeverre zijn de docenten wiskunde, natuurkunde, economie, aardrijkskunde, verzorging en techniek zich bewust van hun invloed op de rekenvaardigheid van leerlingen?

Referentieniveaus voor (taal en) rekenen


17

19-11-10 12:07

18


Hoofdstuk 2

19-11-10 12:07

Hoofdstuk 2 Goed rekenonderwijs in het voortgezet onderwijs in het kort 2.1 Inleiding Het organiseren van effectief onderwijs in zijn algemeenheid vraagt om goed leiderschap, het stellen van doelen en effectieve instructie. Het organiseren van effectief rekenonderwijs in het vo vraagt om meer dan het aanbieden van rekenen in het rooster. Bakker en Cijvat (2009) onderscheiden zes kwaliteitskenmerken voor effectief rekenonderwijs: tijd en extra tijd, doelen, goed aanbod, effectieve instructie, convergente differentiatie en vroegtijdig signaleren en reageren. We voegen er nog een belangrijke aan toe, die voorwaardelijk is voor onderwijsvernieuwing: rekenbeleid op schoolniveau. Hoofdstuk 4 gaat in op de manier waarop deze kenmerken georganiseerd kunnen worden en zichtbaar zijn in het onderwijs. In dit hoofdstuk beperken we ons tot een korte uiteenzetting ervan.

2.2 De zes kwaliteitskenmerken in het kort 1. Tijd en extra tijd Uit allerlei onderzoek blijkt dat leerlingen wel kunnen leren rekenen, als zij daar maar tijd, en zo nodig extra tijd, voor krijgen. Dit betekent dat er in het vo daadwerkelijk tijd moet worden ingeruimd als blijkt dat leerlingen met een rekenachterstand binnenkomen. De manier waarop deze tijd wordt benut, is van cruciaal belang. Zwakke rekenaars hebben met name behoefte aan een uitbreiding van de instructietijd.



19

19-11-10 12:07

2. Doelen Over het algemeen worden de doelen gerelateerd aan de referentieniveaus. Bij de start in het vo hebben we het dan over 1F/S, bij het verlaten ervan over minimaal 2F. Bij het formuleren van doelen hoort ook het hebben van hoge verwachtingen. Dit betekent dat scholen de verwachting hebben dat leerlingen het niveau 2F kunnen behalen, tenzij blijkt dat ze dat niveau niet kunnen behalen, ondanks het uitgebreide, intensieve en kwalitatief hoogwaardige rekenonderwijs. 3. Goed aanbod Voor alle docenten die rekenen aanbieden, moet helder zijn welke (deel) vaardigheden in rekenen voorafgaan aan andere vaardigheden. Met andere woorden: over welke kennis en inzicht moet een leerling beschikken en welke vaardigheden moeten worden beheerst om de aangeboden leerstof onder de knie te krijgen? Wat betekent dit voor de school? De inhoud van de doorgaande leerlijn voor rekenen moet helder zijn en het moet duidelijk zijn wat in welk jaar aangeboden zou moet worden. Dit betekent ook dat er afspraken moeten worden gemaakt over het taalgebruik, de notatiewijzen en het strategiegebruik (voorkeursstrategie). Bovendien moet voor alle leraren helder zijn wat de status is en welke afspraken er zijn over het noteren van berekeningen. Maar niet alleen de leerlijn moet helder zijn. Om tot een goede afstemming te komen, moet ook zicht zijn op de kennis, inzicht en vaardigheden (waaronder automatiseren) van groepen leerlingen en individuele leerlingen. 4. Convergente differentiatie Onderzoek toont aan dat leerlingen het meeste baat hebben bij een gezamenlijk aanbod en differentiatie in de instructie voor zwakke of goede rekenaars. Vernooy (2008) geeft aan dat convergente differentiatie betekent dat er doelgericht onderwijs wordt gegeven om alle leerlingen in de groep minstens de gestelde minimumdoelen voor de basisvaardigheden te laten bereiken. Hierbij is het streven dat alle leerlingen profiteren van

20


Hoofdstuk 2

19-11-10 12:07

de groepsinstructie, maar dat er tijdens de verwerking rekening wordt gehouden met de verschillen tussen leerlingen. In de klas ziet dat er als volgt uit. De goede en gemiddelde leerlingen gaan na gezamenlijke instructie zelfstandig of in duo’s aan het werk met verdiepingsstof, terwijl zwakke rekenaars verlengde, meer intensieve instructie krijgen in een groepje van drie tot vijf leerlingen. Tijdens deze verlengde instructie wordt rekening gehouden met hun leerbehoeften en kan gericht feedback worden gegeven. Anders gezegd: bij convergente differentiatie wordt met name tijdens de verwerking rekening gehouden met de verschillen tussen leerlingen. 5. Effectieve instructie Om deze convergente differentiatie goed toe te passen, is het IGDI-model voor rekenen zeer geschikt (Houtveen e.a. (2005)). IGDI staat voor: Interactief, Gedifferentieerd, Directe Instructie. Binnen het IGDI-model zijn de fasen van het directe instructiemodel aangepast. Hierdoor ontstaat er meer differentiatie in uitleg en instructietijd tussen de leerlingen. Het model heeft een aantal fasen dat doorlopen wordt. Hierdoor krijgen alle leerlingen hetzelfde aanbod, maar met instructie op maat. 6. Vroegtijdig signaleren en reageren Als scholen leerlingen gecijferd willen afleveren, moeten zij ervoor zorgen dat de leerlingen inzicht hebben in de hoofdbewerkingen, in de samenhang tussen bewerkingen en de bewerkingseigenschappen. De vaardigheden hoofdrekenen en schattend rekenen zijn voorwaardelijk voor gecijferdheid. Om de juiste instructie te kunnen geven, is het nodig om leerlingen regelmatig te toetsen. Op basis van deze toetsgegevens moet de instructie afgestemd worden. Als leerlingen binnenkomen in de brugklas hebben ze op rekengebied al een voorgeschiedenis. In hoeverre wordt deze voorkennis benut om het aanbod aan deze leerlingen aan te passen? Wachten we tot leerlingen vastlopen of reageren we vroegtijdig op signalen uit het basisonderwijs en toetsgegevens?



21

19-11-10 12:07

2.3 Rekenbeleid op schoolniveau Bovenstaande kwaliteitskenmerken vragen om acties op docent-, team- of directieniveau. Het is belangrijk om deze acties in te bedden binnen het algemene schoolbeleid en de algemene kwaliteitscyclus. Vanuit het algemene schoolbeleid kan het rekenbeleid geformuleerd worden. In het rekenbeleid wordt onder meer vastgelegd welke doelen men nastreeft, hoe deze omgezet kunnen worden in activiteiten, hoe de evaluatie van deze activiteiten eruit ziet en wat de randvoorwaarden zijn. Hoofdstuk vijf gaat hier uitgebreider op in.

2.4 Samenvatting In dit hoofdstuk kwamen zes kwaliteitskenmerken aan bod. Het gaat om algemene kenmerken van goed rekenonderwijs. Om te weten hoe zij in het vo verder uitgewerkt kunnen worden, is het interessant om eerst de rekenvaardigheden van leerlingen in het vo onder de loep te nemen. In het volgende hoofdstuk kijken we daarom eerst naar de rekenvaardig heden en vervolgens naar de betekenis daarvan voor het aanpakken van rekenhiaten en het onderhouden van rekenvaardigheden.

Vraag: • Is er rekenbeleid op uw school? Bent u daar tevreden over?

22


Hoofdstuk 2

19-11-10 12:07

Hoofdstuk 3 Hoe staat het met de vaardigheden van leerlingen in het voortgezet onderwijs? 3.1 Inleiding Cito heeft in het schooljaar 2008/2009 toetsen afgenomen om in kaart te brengen of leerlingen de beoogde referentieniveaus behalen. Wij halen de resultaten van dit onderzoek kort aan. Vervolgens gaan we in op de betekenis van de niveauverschillen voor het vmbo, havo en vwo, op de kenmerken van zwakke rekenaars, de begeleidingsmogelijkheden en de inhoudelijke verschillen tussen primair en voortgezet onderwijs.

3.2 Het rekenniveau gemeten Vanwege de zorg voor het kennisniveau van leerlingen op het gebied van taal en rekenen heeft het ministerie van OCW een Expertgroep ingesteld. Zij heeft de opdracht om te adviseren over de vraag wat leerlingen op het gebied van taal en rekenen moeten kennen en kunnen. Aan het vaststellen van de basiskennis en basisvaardigheden werden twee doelen verbonden: • Een samenhangend curriculum voor taal en rekenen, binnen en over onderwijssectoren heen. • Verbeteren van de taal- en rekenprestaties van leerlingen.

Hoe staat het met de vaardigheden van leerlingen in het voortgezet onderwijs?


23

19-11-10 12:07

Met het formuleren van de referentieniveaus voor taal en rekenen ontstaan: • Doorlopende leerlijnen die ervoor zorgen dat het onderwijsresultaat van de ene sector naadloos aansluit op dat van de andere. • Referentieniveaus met beschrijvingen van kennis en vaardigheden die docenten houvast bieden voor het bepalen, volgen en stimuleren van de ontwikkeling van leerlingen (commissie Meijerink, 2008). De referentieniveaus geven geen houvast voor de didactiek van de kennis en vaardigheden. Daar gaan we in deze publicatie, voor zover mogelijk, op in. Nadat de referentieniveaus in kaart waren gebracht, kon een start gemaakt worden met het meten van de (taal- en) rekenvaardigheden van leerlingen. In het schooljaar 2008/2009 heeft een groot aantal scholen in Nederland Cito-toetsen afgenomen die alleen het doel hadden om het niveau van taal en rekenen in kaart te brengen (Diagnostische toetsen voor Taal en Rekenen). Bij het lezen van de scores uit deze Monitor Taal en Rekenen (Cito, 2009) is het goed om zich te realiseren dat voor rekenen niveau 2F uit niveau 1F plus een aantal aanvullingen bestaat (zie figuur hieronder).

Taal

Rekenen

1S 2F 1F

1F

2F

Figuur 2: Onderlinge samenhang tussen 1F en 2F met 1S voor taal en rekenen.

24


Hoofdstuk 3

19-11-10 12:07

Let op: Voor taal is het niveau 1S gelijk aan 2F; voor rekenen geldt dat niet. Het 1S-niveau bij rekenen bestaat uit 1F, een deel van 2F en een deel met moeilijkere leerstof. 2F heeft daarnaast leerstof die niet tot 1S behoort. In dat gedeelte zit bijvoorbeeld rekenen met negatieve getallen. Het onderwerp moeilijkere breuken bijvoorbeeld behoort wel tot 1S en niet tot 1F of 2F (het roze gedeelte boven). (Bron: R. Brandt, 2010). Voor taal is het niveau 1S gelijk aan 2F; voor rekenen geldt dat niet. Bij rekenen bestaat het niveau 1S niveau uit 1F in combinatie met een deel van 2F - naast uitbreiding naar een abstracter niveau. Bijvoorbeeld negatieve getallen horen wel binnen niveau 2F, maar niet binnen 1S; moeilijkere breuken horen bij de uitbreiding. Om de gegevens uit de Monitor Taal en Rekenen van Cito (figuur 3) te interpreteren is het eveneens belangrijk om te weten dat de Expertgroep heeft vastgesteld dat niveau 1F door 75 procent van de leerlingen wordt behaald (op basis van gegevens uit PPON). Daarom is het ijkpunt voor niveau 1F: het minimale niveau dat 75 procent van de leerlingen in groep 8 haalt. Voor niveau 2F is het ijkpunt: de toetsscore waarboven 50 procent van de leerlingen in het vierde jaar van vmbo-kbl scoort. IJkpunt voor niveau 3F: de score waarop 75 procent van de havo 5-leerlingen scoort. Deze ijkpunten zijn dik gedrukt terug te vinden in de tabel (figuur 3). Omdat deze ijkpunten van tevoren zijn afgesproken is het niet zinvol deze percentages te interpreteren. De interpretatie van de overige percentages is wel zinvol en informatief.

3.3 Uitkomsten Cito-monitor in percentages Van de vmbo-leerlingen die de basisberoepsgerichte leerweg (bbl) volgden, beheerste slechts de helft in het vierde leerjaar het niveau dat zij al zouden moeten beheersen bij hun start in het vo. Slechts 13 procent beheerste niveau 2F. Van de vmbo-leerlingen die de kaderberoepsgerichte leerweg (kbl) volgden, beheerste 16 procent in het vierde leerjaar niveau 1F nog



25

19-11-10 12:07

niet. Zij zouden dit al vier jaar eerder moeten beheersen. De leerlingen die de gemengde of theoretische leerweg (gl/tl) volgden, beheersten gelukkig bijna allemaal de basiskennis van rekenen en driekwart behaalde het referentieniveau 2F. Het niveau 2F wordt gezien als maarschappelijk minimumniveau.

3.4 Voorzichtige conclusies uit de monitor Landelijk gezien lijken de bbl- en kbl-leerlingen het vo binnen te komen met een flinke rekenachterstand. Deze rekenachterstand lijkt door de jaren heen groter te worden. Hoe lager het opleidingsniveau, hoe meer rekenzwakke leerlingen, zo lijkt het. Een van de oorzaken van de achterstanden is de (cognitieve) mogelijkheden van de betreffende leerlingen. Dat is echter niet de enige oorzaak. Meer en meer komen we erachter wat rekenzwakke leerlingen in het basisonderwijs nodig hebben. Helaas werden veel rekenzwakke leerlingen in het verleden na groep 5 op een aparte leerlijn gezet, zonder al te veel instructie van de leerkracht. Daarom denken we dat er ook sprake kan zijn van didactische verwaarlozing (in de vorm van inadequate instructie voor rekenzwakke leerlingen, de keuze voor een individuele leerlijn rekenen en een groot tekort aan extra instructie- en oefentijd die rekenzwakke leerlingen juist extra nodig hebben). Zie in dit verband ook hoofdstuk 4. Wanneer het streven is om alle leerlingen met een goede rekenbasis (2F) de school te laten verlaten, zal daar zeker voor de bbl- en kbl-leerlingen een stevige investering tegenover moeten staan. Immers, de achterstand die in acht jaar rekenonderwijs in het basisonderwijs kan zijn opgelopen, vereist ook van het vo dat extra tijd moeten worden uitgetrokken om deze leerlingen alsnog de achterstanden in te laten lopen. Ook voor vmbo-gl en –tl en de havo is een kwaliteitsimpuls op het gebied van rekenen noodzakelijk, gezien de scores op de diagnostische toetsen van rekenen (Cito).

26


Hoofdstuk 3

19-11-10 12:07

Figuur 3: Percentage leerlingen dat de niveaus 1F,2F en 3F behaalt*

Rekenen totaal (getallen,

1F

2F

3F

groep 8 basisonderwijs

75

49

17

vmbo-bbl 4

52

13

0

vmbo-kbl 4

84

50

9

vmbo-gl/-tl 4

96

76

22

havo 5

100

97

75

vwo 6

100

100

97

mbo 2

82

49

10

mbo 4

98

87

44

verhoudingen, meten en meetkunde, verbanden)

Bron: Monitor taal en rekenen (Cito, 2009).

3.5 Wat betekenen die niveauverschillen voor het rekenen in het vmbo-, havo- en vwoonderwijs? Om niveau 2F/S, 3F/S of 4F te behalen, is in alle vormen van het vo aandacht voor het onderhouden van de basisrekenvaardigheden van belang. In het kader van het repareren van hiaten is het relevant om vast te stellen dat bbl- en kbl-leerlingen een grotere achterstand lijken te hebben dan leerlingen in de andere vormen van voortgezet onderwijs, ondanks evenveel jaren basisonderwijs. Het lijkt erop dat hoe hoger het schoolniveau, hoe kleiner het percentage rekenzwakke leerlingen. Oftewel: in vmbo-bbl zijn de meeste rekenzwakke leerlingen, in het vwo de meeste rekensterke leerlingen. Dit betekent dat hoe kleiner het percentage dat het referentieniveau behaalt, hoe meer aandacht er gewenst is voor het rekenen.



27

19-11-10 12:07

100 90 80

Percentage

70 60 50 40 30 20 10 0

gr. 8: 1F

vmbo bbl: 2F

vmbo kbl: 2F vmbo gl/tl 2F havo 3F

vwo 3F

Referentieniveau Figuur 4: Percentage leerlingen dat het beoogde referentieniveau behaalt.

Vragen: • Is het in het schoolbeleid opgenomen dat er meer aandacht aan rekenen besteed moet worden naarmate het aantal leerlingen dat de referentieniveaus niet haalt groter is? • Wordt er in het rekenbeleid een koppeling gelegd met het instroomniveau van leerlingen?

3.6 Kenmerken van rekenzwakke leerlingen Uit het onderzoek van Cito blijkt dat er relatief meer rekenzwakke leerlingen lager onderwijs volgen. Het lijkt er op dat deze leerlingen veel meer gericht rekenonderwijs nodig hebben om de beoogde niveaus te behalen. Het is in dit verband interessant om in beeld te krijgen wat de kenmerken van deze leerlingen zijn, zodat het rekenonderwijs daarop afgestemd kan worden.

28


Hoofdstuk 3

19-11-10 12:07

Uit onderzoek blijkt dat rekenzwakke leerlingen op een aantal punten problemen ervaren. Ze hebben moeite met het aanleren van feiten, moeite met het conceptualiseren van (reken)problemen, moeite met het snel verwerken van informatie en moeite met het inzetten van de juiste rekenstrategie. Rekenzwakke leerlingen hebben ook problemen op het gebied van de inzet van metacognitieve vaardigheden; ze zetten bijvoorbeeld bij rekenproblemen eerder strategieën in die doorgaans jongere leerlingen inzetten. Ofwel: ze hebben moeite met de inzet van effectieve cognitieve strategieën en de inzet van de juiste metacognitieve oplossingsstrategieën. Ze hebben ook moeite met verschillende geheugenprocessen en met het veralgemeniseren en vertalen van specifieke rekenopdrachten naar andere situaties (Kroesbergen en Van Luit, 2002). In de begeleiding van deze leerlingen bij het repareren van hiaten en het onderhouden van rekenvaardigheden, moet hier expliciet rekening mee worden gehouden. Een ander soort rekenonderwijs dan ‘gewoon rekenonderwijs’ is hiervoor nodig. Uit onderzoek van onder andere Kroesbergen blijkt dat het directe instructiemodel hiervoor goed werkt.

3.7 Welke vorm van onderwijs hebben rekenzwakke leerlingen nodig? Leerlingen met rekenproblemen hebben gestructureerde en gedetailleerde instructie nodig, expliciete taakanalyse en expliciete instructie om het geleerde te generaliseren en te automatiseren (Kroesbergen en Van Luit, 2002). Dit betekent onder andere dat deze leerlingen gebaat zijn bij eenduidige voorbeelden, het activeren van voorkennis, het aanbieden van één rekenbewerking per keer, het aanbieden van adequate oefening en het geven van adequate feedback (Fuchs, 2001). Houtveen e.a. (2005) noemen het model voor deze aanpak Interactieve Gedifferentieerde Directe Instructie. Het is een geschikt instructiemodel voor het aanleren van basisvaardigheden zoals taal, lezen en rekenen. Binnen het IGDI-model zijn de fasen van het directe instructiemodel aangepast. Hierdoor ontstaat er meer differentiatie in uitleg en instructietijd



29

19-11-10 12:07

tussen de leerlingen, wat voor alle leerlingen prettig is. Voor leerlingen met rekenproblemen betekent het dat er meer tijd besteed kan worden aan expliciete uitleg en begeleide oefening. Met dit instructiemodel kan de leraar de instructie variëren en afstemmen op de behoefte van in principe elke leerling in de klas. Verderop wordt dit model uitgebreid toegelicht.

3.8 Verschillen tussen primair en voortgezet onderwijs De referentieniveaus geven een beschrijving van kennis en vaardigheden. Deze niveaus bieden leraren houvast voor het bepalen, volgen en stimuleren van de ontwikkeling van leerlingen (commissie Meijerink, 2008). Ze geven daarmee grote houvast voor de overgang van primair naar voortgezet onderwijs. Ze bieden geen houvast voor de didactiek van de kennis en vaardigheden. In hoofdstuk 4 geven we, voor zover mogelijk, handvatten voor de didactiek. In dit kader zijn de resultaten boeiend van het onderzoek dat Buijs (2008) uitvoerde naar de verschillen die leerlingen ervaren tussen primair en voortgezet onderwijs. Uit dit onderzoek blijkt dat zwakke leerlingen in het bijzonder een drempel ervaren bij de overgang van rekenen (po) naar wiskunde (vo). Buijs ontdekte dat deze leerlingen het meest moesten wennen aan de sommen die inhoudelijk enorm verschillen met de rekensommen in het basisonderwijs. De leerlingen geven ook aan dat het werken aan gwa-opdrachten (geïntegreerde wiskunde activiteit - hierbij passen de leerlingen geleerde wiskundige vaardigheden toe in een andere context) of kleine praktische opdrachten nieuw voor hen was. Ze geven aan dat ze deze opdrachten weliswaar vaak leuk vinden, maar er ook wel enige moeite mee hebben. De meeste zwakke leerlingen geven aan minder blij te zijn met het wiskundeboek dan met het rekenboek op de basisschool. Reden hiervoor is het gebruik van meer moeilijke woorden en sommen. Verder vinden de zwakke leerlingen dat ze voor wiskunde veel meer huiswerk moeten maken dan ze op de basisschool bij rekenen gewend waren. In de vergelijking tussen het primair en voortgezet onderwijs komt Buijs verder nog tot de volgende opsomming:

30


Hoofdstuk 3

19-11-10 12:07

1. Rekenmachine

Primair onderwijs

Voortgezet onderwijs

Incidenteel,

Volledige

op aangeven van

beschikbaarheid.

de methode. 2. Notaties

Geheugensteun die

Volwaardig onderdeel

niet wordt bewaard.

waar bij proefwerken punten aan worden toegekend.

3. Uitleg

Leraar is de bron.

Boek, medeleerling en leraar zijn bronnen.

4. Ordening

Mix van onderwerpen

Per hoofdstuk wordt

leerstof

in één hoofdstuk waar

één onderwerp sterk

bij alle onderwerpen

uitgediept.

een stap(je) vooruit wordt gedaan. 5. Rekenen in het

Één vak dat binnen

Een kennisgebied

schoolbrede

specifieke uren wordt

waarop bij veel vakken

curriculum

beoefend.

op gezette tijden een beroep wordt gedaan.

6. Monitoring van

Structureel ingebouwd

Alleen op initiatief van

het beheersings

bij het ingaan van een

docent.

niveau

volgend traject.

Figuur 5: Contrasten tussen pvo en vo in de manier waarop rekenen aan bod komt (Buijs e.a., 2008).

Het grote verschil tussen po en vo is uiteraard dat in het vo meerdere docenten het rekenen in meerdere vakken aan dezelfde leerling aanbieden. Aan de ene kant biedt dit veel mogelijkheden tot oefenen, ook voor rekenzwakke leerlingen. Maar aan de andere kant kan het ertoe leiden dat het rekenen op veel verschillende manieren wordt aangeboden. En dat is júist



31

19-11-10 12:07

voor rekenzwakke leerlingen funest. Al eerder gaven wij aan dat rekenzwakke leerlingen gebaat zijn bij eenduidige voorbeelden, het activeren van voorkennis, het aanbieden van één rekenbewerking per keer en effectieve oefening en het geven van adequate feedback. Als antwoord op de verschillen in didactische aanpak klinkt op veel vo-scholen de roep om het rekenen in alle vakken op dezelfde manier te gaan aanbieden. Men gaat er daarbij van uit dat het probleem eenvoudig opgelost kan worden door alle docenten op dezelfde manier, volgens hetzelfde algoritme bepaalde bewerkingen te laten toepassen. Buijs waarschuwt scholen nadrukkelijk om niet in deze valkuil te stappen. Hij geeft aan dat het voor zwakke rekenaars van groot belang is om het rekenen in echte contexten aan te bieden. Dat geeft hen veel meer kansen om eigen strategieën toe te passen, dan in situaties die bedacht zijn om het rekenen met (semi)formele strategieën te beoefenen. In hoofdstuk 4 lichten we dit principe nader toe in de paragraaf over effectieve instructie.

Vraag: • Op welke manier ziet u dat er op uw school rekening wordt gehouden met bovengenoemde kenmerken van rekenzwakke leerlingen en instructiewijzen?

32


Hoofdstuk 3

19-11-10 12:07

Hoofdstuk 4 Zes kenmerken van effectief rekenonderwijs nader uitgewerkt 4.1 Inleiding In hoofdstuk 3 is toegelicht dat er in het vmbo-bbl en –kbl relatief veel rekenzwakke leerlingen zitten, in het vmbo-tl en de havo een matige hoeveelheid en in het vwo relatief weinig. Daar moet in het (reken)onderwijs rekening mee worden gehouden. Hoe dat kan, werken we aan de hand van de zes kenmerken van effectief rekenonderwijs nader uit.

4.2 Tijd en extra tijd Uit eigenlijk al het onderzoek naar effectief rekenonderwijs voor rekenzwakke leerlingen komt naar voren dat het investeren van tijd en het bieden van extra tijd één van de belangrijkste pijlers is. Dit betekent dat rekenen in alle leerjaren op het rooster zou moeten staan, in alle vormen van voortgezet onderwijs. Het is vastgesteld dat hoe lager men in het onderwijs komt, hoe groter de rekenachterstand is. Anders gezegd: hoe lager men in het onderwijs komt, des te groter de kans op rekenzwakke leerlingen met rekenhiaten. Dit betekent dat het aantal uren waarin aandacht wordt besteed aan rekenbewerkingen in vmbo-bbl, -kbl, -gl en -tl groter zal moeten zijn dan op de havo en het vwo. En op het vmbo-bbl en -kbl zijn er weer meer rekenuren nodig dan in vmbo-tl.

Zes kenmerken van effectief rekenonderwijs nader uitgewerkt


33

19-11-10 12:07

Sowieso is het nodig om rekenen als speerpunt te zien bij alle vakken die leerlingen hebben. Op momenten waarop leerlingen op school te maken krijgen met rekenkundige handelingen besteedt de docent daar dus aandacht aan, ongeacht het vak dat de docent geeft. Naarmate het onderwijsniveau lager is, zal men meer en gerichter rekenen in alle lessen moeten aanbieden. Er zijn verschillende manieren waarop dat kan: in de wiskundelessen, in aparte rekenlessen, in modules (leerlingen die op bepaalde onderdelen uitvallen, krijgen gerichte lessen) en in het rekengerichte vakonderwijs. Er zijn ook verschillende combinaties mogelijk. In de combinatie rekengericht vakonderwijs/aparte rekenlessen zijn twee varianten denkbaar: de rekenlessen ondersteunen de rekenkundige bewerkingen uit de vaklessen, of de vaklessen ondersteunen de rekenlessen. Voor alle varianten waarop in het curriculum aandacht is voor rekenen geldt: bij leerlingen met rekenachterstand neemt het rendement toe als er wekelijks vaker gericht aandacht wordt besteed aan rekenen. Juist bij leerlingen met een grote rekenachterstand rendeert die gerichte aandacht het meest.

Vraag: • Hoeveel aandacht wordt er momenteel aan rekenen voor uw leerlingen besteed? Is dit voldoende gezien hun prestaties op rekengebied?

4.3 Doelen Wanneer we het over doelen hebben, bedoelen we niet alleen de einddoelen die de school voor haar leerlingen formuleert, maar ook de tussendoelen per leerjaar. Wat betreft de einddoelen gaat het minimaal over niveau 2F. Van niveau 2F (of 3F voor havo-leerlingen en vwo-leerlingen) kunnen de tussendoelen worden afgeleid. De school geeft per leerjaar aan welke bewerkingen leerlingen moeten beheersen om uiteindelijk het beoogde eindniveau te behalen.

34


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

Vraag: • Zijn er einddoelen en tussendoelen voor rekenen op uw school geformuleerd? Zo ja, hoe zijn deze tot stand gekomen? Zo nee, wat is nodig om die doelen te formuleren en breed gedragen in uw school te organiseren?

4.4 Goed aanbod Kroesbergen en Van Luit (2003) hebben een meta-analyse uitgevoerd in het kader van onderzoek naar effectief rekenonderwijs aan rekenzwakke leerlingen. Zij concluderen dat leerlingen met leerstoornissen, (milde) gedragsstoornissen of een (lichte) verstandelijke handicap alle gebaat zijn bij dezelfde soort instructie. Dit betekent dus dat een zeer groot aantal zwakke rekenaars gebaat is bij dezelfde soort instructie van de leraar, ongeacht hun andere problemen. Vertaald naar het vo betekent dit dat rekenzwakke leerlingen, rekenzwakke leerlingen met een LWOO-indicatie, leerlingen met milde ASS of ADHD en leerlingen met een rekenstoornis gebaat zijn bij dezelfde instructie. Dit is een belangrijke vaststelling, omdat alleen gedifferentieerd hoeft te worden naar rekenzwakke en rekensterke leerlingen en dus niet nog eens apart naar leer- of gedragsstoornis. Kroesbergen en Van Luit onderscheiden in hun onderzoek drie aandachtsgebieden voor interventies: 1. Interventies op het gebied van ontluikende gecijferdheid. Leerlingen hebben getalbegrip en nummerconstantie en leerlingen beheersen het seriëren. We gaan ervan uit dat de meeste leerlingen in het vo dit niveau beheersen. 2. Interventies die erop gericht zijn om de basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) te automatiseren. Het gaat dan niet alleen om het automatiseren van deze vier basisbewerkingen onder de 20, maar ook onder de 100 en zelfs 1000. Met betrekking tot



35

19-11-10 12:07

het automatiseren van de basisvaardigheden maakt de meta-analyse duidelijk dat directe instructie (door de leraar) effectiever is dan bijvoorbeeld instructie door klasgenootjes, zelfinstructie of instructie uit rekencomputerprogramma’s. Opvallend is dat de interventies gericht op basisbewerkingen voor oudere leerlingen effectiever waren. 3. Het is nodig dat leerlingen deze vier basisbewerkingen paraat hebben. Zo kunnen zij namelijk al hun aandacht goed richten op het oplossen van rekenvraagstukken. Wederom bleek hierbij uit meta-analyse van interventies dat instructie door klasgenootjes of door rekencomputerprogramma’s minder effectief is. Om te bepalen op welk aandachtsgebied de docent zich in de begeleiding van leerlingen gaat richten, hebben zij goede informatie nodig over het functioneren van hun leerlingen (Fuchs, 2001). Hiervoor kunnen zij toetsen gebruiken of observeren hoe de leerlingen bepaalde rekenproblemen oplossen. Voor een juiste observatie is het noodzakelijk dat leraren goed inzicht hebben in de leerlijnen rekenen en in mogelijke oplossingsmanieren. Het is nodig dat leraren over een makkelijk in te zetten lesstructuur beschikken, waarin zij de instructie kunnen aanpassen. Om rekenzwakke leerlingen een goed aanbod te kunnen doen, moet er allereerst een rekenlijn zijn uitgezet. Dit houdt in dat (op basis van de referentieniveaus) is geformuleerd wat er op het gebied van rekenen in welk jaar aan bod komt. Bij voorkeur is voor alle vakgebieden waarin rekenen aan bod komt (bijvoorbeeld wiskunde, biologie, aardrijkskunde, scheikunde, techniek, verzorging, tekenen en handvaardigheid) per jaar bekeken hoe de rekenkundige bewerkingen uit de leerlijn in de methode aan de orde komen. Zo ontstaat er een hoofdlijn rekenen door de leerjaren heen en subleerlijnen vanuit de verschillende vakgebieden. Deze leerlijnen en subleerlijnen zijn de basis voor het rekenaanbod binnen de school. Vervolgens is het van groot belang dat het voor alle docenten die zich bezighouden met het rekenen, helder is welke notatiewijzen en welk strategiegebruik (en met name de voorkeursstrategie voor rekenzwakke leerlingen) gewenst zijn.

36


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

Daarnaast moet iedere docent de kennis, het inzicht en de vaardigheden hebben om deze leerlijnen over te brengen op de leerlingen. Samengevat: bij het aanbod van rekenonderwijs gaat het er niet zozeer om rekenmethoden te (gaan) gebruiken, maar om zich te beraden wat er op welk moment wordt aangeboden en welke kennis, inzicht en vaardigheden docenten nodig hebben om dit aanbod daadwerkelijk te kunnen realiseren. Wanneer de leerlijn helder is en de docenten kennis hebben van het rekenonderwijs, kan nader worden ingezoomd op het aanbod. Zoals eerder aangegeven, onderscheiden Kroesbergen & Van Luit drie aandachtsgebieden voor het rekenen: ontluikende rekenvaardigheid, de basisbewerkingen en het probleemoplossend vermogen bij het oplossen van rekenvraagstukken. In het vo wordt vooral een beroep gedaan op het probleemoplossend vermogen bij rekenvraagstukken. Dit is uiteraard terug te vinden bij wiskunde, maar ook in (bijna) alle andere vakken. Denk aan aardrijkskunde, geschiedenis, natuurkunde, scheikunde, biologie en techniek. Voor de rekenopgaven moeten leerlingen de basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) geautomatiseerd hebben en houden; zij moeten deze basisbewerkingen makkelijk kunnen oproepen om de rekenvraagstukken op te lossen. Aandacht voor automatiseren (tot 1000) is van belang. Nogmaals onderstrepen we dat voor automatiseren en het onderhouden van de basisvaardigheden directe instructie (door de leraar) effectiever is dan bijvoorbeeld instructie door klasgenootjes, zelfinstructie of instructie uit rekencomputerprogramma’s. Binnen het IGDI-model is er ruimte om de basisbewerkingen die zelfstandig verwerkt worden eerst goed op te frissen door middel van een oefenles of een automatiseringsoefening. Bij een oefenles worden de stappen die leerlingen later (tijdens het zelfstandig werken) moeten kunnen zetten om de sommen uit te kunnen voeren, klassikaal geoefend. Kenmerken van een goede oefenles zijn: • Vaart. De docent zorgt ervoor dat het tempo er tijdens de instructie flink in zit. Als hij vermoedt dat een aantal leerlingen dermate zwak is dat zij het tempo niet kunnen volgen, zoekt hij eerder op de dag een moment waarin hij hen in een kwartiertje pre-teaching kan aanbieden.



37

19-11-10 12:07

• Iedereen doet mee. Er is sprake van convergente differentiatie: alle leerlingen krijgen hetzelfde aanbod. • Opbouw in opgaven. De docent doorziet de moeilijkheidsgraad in de oefenopgaven past zijn instructie daarop (in stapjes) aan. • Oplossingsmanieren komen aan de orde. De docent laat de verschillende oplossingsstrategieën allereerst uit de leerlingen zelf komen. Hij vult de eventueel ontbrekende strategieën aan. Wanneer er echter sprake is van (een groep) zeer zwakke rekenaars, kan beter één strategie of oplossingswijze gebruikt worden. Onderzoek van Milo en Ruijssenaars (2003a, 2003b) naar hoofdrekenen in het speciaal basisonderwijs toont aan dat de vrijheid van strategiekeuze en de bespreking van verschillende oplossingsstrategieën voor een aantal leerlingen verwarrend is. Het is aan te bevelen om te streven naar de beheersing van in ieder geval één oplossingsprocedure. Ze komen tot de conclusie dat de directieve rijginstructie tot de beste resultaten leidt. De rijgstrategie gaat uit van het ‘in tact’ laten van het eerste getal en trekt er vervolgens tienen en eenheden vanaf, bijvoorbeeld:

65-23 = ?

65-20 = 45

45-3 = 42.

De splitsstrategie rekent met tientallen en eenheden apart en neemt uiteindelijk de uitkomsten weer samen:

65-23 = ?

60-20 = 40

5-3 = 2

40+2 = 42.

• Oplossingswijzen worden vergeleken. De docent vraagt aan de leerlingen waarin de oplossingswijzen verschillen of overeenkomen en welke manier hun voorkeur heeft en waarom.

38


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

• Strategieën krijgen een naam. De docent licht duidelijk toe hoe de verschillende strategieën heten en waarom ze zo heten. Dit ondersteunt het inslijpen en draagt eraan bij dat leerlingen ze later makkelijker paraat hebben. Het is de bedoeling dat leerlingen via het automatiseren uiteindelijk de basisvaardigheden memoriseren. Met automatiseren wordt bedoeld dat de leerling, soms met behulp van één of enkele handige tussenstappen, binnen vier seconden het antwoord kan geven. Met memoriseren wordt bedoeld dat het antwoord op sommen voor de leerling memootjes (rekenfeiten) zijn geworden; een leerling kan dan direct het antwoord geven, zonder tussenstappen te nemen. Met de automatiseringsoefening wordt niet het klassikaal opdreunen van bijvoorbeeld tafels bedoeld, maar het gericht klassikaal oefenen: korte, felle, mondelinge oefensessies. Leerlingen hebben hierbij een grote eigen inbreng. De leerlingen krijgen korte, klassikale interactieve oefensessies aangeboden, waarbij gericht de aandacht wordt gevestigd op getalsrelaties of waarbij één (of enkele) strategie(ën) worden ingeoefend. In bijlage 1 zijn voorbeelden van automatiseringsoefeningen opgenomen.

Vraag: • Hebben uw collega-docenten de kennis en vaardigheden om goed rekenonderwijs te verzorgen? Wat hebben zij nog nodig?

4.5 Convergente differentiatie Wanneer het niveau van alle leerlingen in kaart is gebracht, ziet men vaak grote verschillen in het rekenniveau van leerlingen. Terwijl de een grote moeite heeft met het rekenaanbod, kan een andere leerling uit dezelfde klas zich stierlijk zitten te vervelen, omdat hij of zij de betreffende rekenvaardigheid juist wel onder de knie heeft. Vaak besluiten scholen alleen zwakke leerlingen rekenen aan te bieden of ze organiseren niveaugroepen. Uit onderzoek is echter gebleken dat leerlingen het meeste baat hebben



39

19-11-10 12:07

bij een gezamenlijk aanbod en differentiatie in de instructie voor zwakke of goede rekenaars. Anders gezegd: alle leerlingen steken het meeste op van convergente differentiatie. Hierbij is het streven dat alle leerlingen van de groepsinstructie profiteren en dat er tijdens de verwerking rekening wordt gehouden met de verschillen tussen leerlingen.

Vraag: • Geven uw collega-docenten groepsinstructie en aparte instructie aan rekenzwakke leerlingen of bieden zij hen hulp bij de verwerking?

4.6 Effectieve instructie Effectieve instructie: de vorm is het IGDI-model Zoals in paragraaf 3.7 al is beschreven hebben rekenzwakke leerlingen gestructureerde en gedetailleerde instructie nodig. Zij hebben een expliciete taakanalyse en instructie nodig om het geleerde te generaliseren en te automatiseren. Het IGDI-model is al enkele keren genoemd als een passend instructiemodel voor het aanleren van basisvaardigheden. Leerlingen met rekenproblemen hebben een intensievere aanpak nodig dan de overige leerlingen. De intensiteit krijgt gestalte in extra tijd voor instructie en meer begeleiding bij het inoefenen. Met dit instructiemodel kan de leraar de instructie variëren, ofwel afstemmen op de behoeften van in principe elke leerling in zijn klas. Het IGDI-model kent de volgende lesfasen:

40


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

Lesfase

Inhoud

1. Automatiseringsoefening

• Start elke rekenles met een

± 5 minuten

korte, intensieve interactieve automatiseringsoefening.

2. Start van de les

• Terugblik op de vorige les.

± 2,5 minuten

• Aangeven van het lesdoel. • Duidelijk maken van verwachtingen. • Actualiseren van voorkennis.

3. Interactieve groepsinstructie

• Uitleg in kleine stappen.

± 10 minuten

• Geven van concrete voorbeelden. • Voordoen, demonstreren. • Hardop denken.

4a. Groep: Zelfstandig of in duo’s toepassen ± 15 minuten 4b. Risicoleerlingen:

• De gemiddelde en goede rekenaars gaan individueel of in tweetallen aan het werk met activiteiten die aansluiten bij de instructie. • Risicoleerlingen werken

Verlengde instructie

onder begeleiding van de docent

± 15 minuten

(ongeveer 15 minuten); zij krijgen nogmaals instructie, maar op maat.

5. Feedback ± 5 minuten 6. Afsluiting ± 2,5 minuten

• Docent maakt ronde en geeft feedback op het werk. • Inhoudelijke afronding van de les, zowel voor de instructiegroep als voor de groep die zelfstandig werkt.



41

19-11-10 12:07

Risicoleerlingen krijgen verlengde instructie en begeleide oefening Zwakke leerlingen zijn voor het rekenen afhankelijk van de instructie en begeleiding van de leraar. In het rekenonderwijs in het vo streven we ernaar deze leerlingen zoveel mogelijk te laten oefenen (het liefst dagelijks oefenen met de leraar). Het IGDI-model laat zien dat dit tijdens de fase van de verlengde instructie gebeurt. Tijdens de verlengde instructie zit een kleine groep leerlingen met de leraar aan de instructietafel. Als het nodig is, herhaalt de leraar de instructie in kleine stappen. Veelal hebben de leerlingen de instructie echter wel begrepen, maar hebben ze moeite met het toepassen. Het accent ligt daarom op de begeleide oefening, waarbij de leraar veel voordoet en de leerlingen zelf oefenen, waarbij ze veel directe, concrete feedback van de leraar krijgen (Cijvat e.a., 2009).

4.7 Effectieve instructie: de inhoud Niet alleen voor rekenen, maar voor alle vakken geldt dat een redelijk hoog tempo, met gevarieerde instructie, grotere betrokkenheid oplevert. Het stellen van hoge (maar toch op maat geformuleerde) doelen, het geven van fysieke en visuele voorbeelden van gecijferdheid en probleem oplossingssituaties, en het aanreiken van methodieken om sommen zelf te verbaliseren zijn effectief gebleken manieren voor leerlingen die moeite hebben om zich de rekenstof eigen te maken. Jarenlang heeft de nadruk gelegen op het aanleren van verschillende procedures, terwijl het begrijpen van de inhoud van die procedures voor rekenzwakke leerlingen niet vanzelf gaat en daarom heel belangrijk is. Uit onderzoek van Fuchs (2001) blijkt dat het doorlopen van een concrete naar representatieve naar abstracte instructie voor wat betreft het aanleren van de tafels bij rekenzwakke leerlingen veel beter werkt. Ook Kettelin-Geller e.a. (2008) en Kroesbergen en Van Luit (2002) geven aan dat graduele instructie in de vorm van concreet, naar representatief naar abstract (zogenaamde CRA) zowel bij leerlingen in het basisonderwijs als bij leerlingen in de onderbouw van het vo succesvol is. We noemen deze fasen ook wel van concreet, naar model, naar formeel niveau van leren. Buijs en Zwaart (2006) leggen de verschillen

42


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

tussen deze niveaus met sprekende voorbeelden uit. Een rekenkundig probleem bij economie wordt op concreet niveau, model niveau en formeel niveau als volgt uitgelegd:

De kostprijs van een artikel is € 46,00. De ondernemer berekent zijn verkoopprijs door de kostprijs met 30% te verhogen. Wat wordt de verkoopprijs?

Concreet niveau Hoe vind je 10% van € 46,00? Door letterlijk € 46,00 in tienen te verdelen. 10% is 4 euro en 60 cent.

30% is drie keer zo veel dus 12 euro en 1 euro 80, is 13 euro en 80 cent.

Dat bedrag bij 46 euro optellen geeft 130% en dat is 59 euro en 80 cent, dus € 59,80.



43

19-11-10 12:07

Model niveau Bij het model niveau wordt gebruikgemaakt van modellen die de rekenbewerking inzichtelijk maken. Modellen die bij rekenen worden gebruikt zijn bijvoorbeeld lijnmodellen, verhoudingsmodellen en strookmodellen. 130%

€.........?

100%

€ 46,00

50%

€ 23,00

30%

€ 13,80

20%

€ 9,20

10%

€ 4,60

Als 100% € 46,00 is, dan is 10% € 4,60, 20% is € 9,20 en 30% is € 13,80. 130% is dan dus € 46,00 + € 13,80 = € 59,80.

Formeel niveau • kostprijs = 100% winstopslag = 30% verkoopprijs = 130% • 130% = 130/100 = 1,3 • verkoopprijs = 1,3 x kostprijs = 1,3 x € 46,00 = € 59,80

44


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

In het vo komt het rekenen in veel verschillende vakken aan de orde. Veel docenten bieden het rekenen op een formele wijze aan. In de praktijk stelt men vaak voor dat alle docenten op dezelfde formele manier het rekenen aanbieden. Dit is echter een grote valkuil, die bij rekenzwakke leerlingen juist meer rekenproblemen zal oproepen in plaats van dat het hen helpt hun rekenproblemen op te lossen. Rekenzwakke leerlingen zijn gebaat bij model-niveau of bij instructie op concreet niveau. Het werken met deze instructie in de contextrijke situatie van vakken als techniek en verzorging helpt hen bij het dichten van rekenhiaten. Docenten zouden hun energie het best kunnen steken in het (gezamenlijk) leren hanteren van de verschillende soorten instructie en zich verdiepen in rekendidactiek en niet in het vinden van overeenstemming over de aan te bieden strategie! Het besef dat er verschillende manieren zijn om het rekenen aan te bieden is voor docenten die zich gaan bezighouden met rekenonderwijs één van de eerste stappen. Vervolgens is het van belang dat zij weten welke leerlingen moeite hebben met rekenen en welke vorm van instructie (concreet of model) zij nodig hebben.

Vragen: • Bieden uw collega-docenten rekeninstructie volgens de fasen van het IGDI-model? • In hoeverre kunnen de docenten bij rekenen, wiskunde, natuurkunde, economie, techniek, verzorging en aardrijkskunde hun instructie afstemmen op rekenzwakke leerlingen? • Kunnen zij, indien nodig, uitleg geven op concreet, model en formeel niveau? • Wat hebben de docenten nodig om dit te kunnen?



45

19-11-10 12:07

4.8 Vroegtijdig signaleren en reageren Wanneer er wordt gesproken over het vroegtijdig signaleren van rekenproblemen gaat het in veel gevallen om het zoeken naar een test of toets die de rekenhiaten in kaart brengt. Een test of een toets is slechts een onderdeel van het proces van vroegtijdig signaleren en reageren. Het is belangrijk om helder te hebben wanneer wat gesignaleerd wordt en welke (procedurele) actie dan wordt ondernomen. Om de valkuilen en succesfactoren van vroegtijdig signaleren en reageren inzichtelijk te maken, schetsen we dit proces aan de hand van de vier momenten die in de schoolsituatie te onderscheiden zijn op het gebied van vroegtijdig signaleren en reageren. Signaleringsmoment 1 Een eerste signaleringsmoment doet zich voor als een school het beleid heeft om als schoolteam regelmatig te onderzoeken of het aanbod effectief is en/of algemene verbeteringen wenselijk zijn. Dit geldt voor verbeteringen op schoolniveau, jaarniveau en groepsniveau. Het eerste moment hoort ook een beetje bij het al eerder genoemde kenmerk, het stellen van doelen. Door het effect van het aangeboden onderwijs te monitoren, worden doelen geëvalueerd en verbeteringen aangebracht. Een verbetering op schoolniveau is bijvoorbeeld het bijstellen van de leerlijn rekenen, nadat is gebleken dat een groot aantal leerlingen toch blijft uitvallen op het deelgebied ‘breuken omzetten naar bijbehorende percentages’. Er wordt gekeken hoe er in ieder jaar extra aandacht aan kan worden besteed, bij voorkeur in ieder vak waarin deze bewerking aan de orde komt. Wanneer het gaat om vroegtijdig signaleren, reageren en het maken van aanpassingen op leerjaarniveau, betekent dit bijvoorbeeld dat er in het aanbod van het derde leerjaar aanpassingen worden gedaan ten behoeve van een betere aansluiting op leerjaar vier. Als het gaat om vroegtijdig signaleren op groepsniveau, dan kan er op basis van de Cito-toets worden gesignaleerd dat groepjes leerlingen een lage percentielscore hebben of uitvallen op bepaalde rekenkundige vaardigheden. In het eerste geval

46


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

is dit een aanwijzing dat leerlingen met een lagere percentielscore veel instructiegevoeliger zijn en daarom in aanmerking komen voor begeleide instructie. In het tweede geval zou het kunnen betekenen dat deze groepjes leerlingen (extra) lessen volgen om deze hiaten te repareren. Signaleringsmoment 2 De docent signaleert tijdens de instructie of begeleiding dat een leerling een bepaalde rekenstrategie niet goed beheerst en past zijn instructie daarop aan. Het tweede moment doet zich vooral voor tijdens het toepassen van het directe instructiemodel. Signaleringsmoment 3 De docent of rekencoördinator signaleert problemen aan de hand van methodegebonden toetsen of proefwerken die eens in de zoveel tijd worden afgenomen. Op basis van deze constateringen kan extra ondersteuning, extra lessen of remedial teaching worden ingezet. Signaleringsmoment 4 De docent signaleert op basis van methode-onafhankelijke toetsgegevens (bijvoorbeeld Cito-VAS) of een rapportvergadering (collegiale overeenstemming) dat het op rekengebied niet goed gaat met een leerling. Ook op basis van deze constateringen kunnen extra ondersteuning, extra lessen of remedial teaching worden ingezet. Het verschil tussen de signaleringsmomenten 1 en 2 en de signalerings momenten 3 en 4 is dat de eerste twee een wezenlijk onderdeel vormen van de kwaliteitsbewaking van het gehele onderwijsproces. Als leerlingen uitvallen, wordt er gekeken wat er binnen het onderwijsproces veranderd kan worden om deze leerlingen alsnog kansen te bieden. De signaleringsmomenten 3 en 4 stellen op geen enkele wijze vraagtekens bij het reguliere onderwijsproces en zoeken de oplossing in het organiseren van extra aanbod naast het reguliere aanbod. Omdat de signaleringsmomenten 1 en 2 voor alle leerlingen een duidelijke en expliciete kwaliteitsverbetering opleveren ten aanzien van het rekenonderwijs, gaat de voorkeur uit naar het inzetten van vroegtijdig signaleren en reageren op deze momenten.



47

19-11-10 12:07

Sterker nog, het uitsluitend inzetten van signaleringsinstrumenten op moment 3 en 4 levert op den duur alleen maar meer uitvallers op, omdat er louter aandacht is voor het herstellen van rekenproblemen en er geen aandacht is voor het voorkomen ervan.

Vragen: • Van welke vier signaleringsmomenten maakt uw school gebruik? • Van welke momenten wordt nog niet of onvoldoende gebruikgemaakt? • Wat is er nodig om het gebruik van deze momenten in uw school goed te organiseren?

48


Hoofdstuk 4

19-11-10 12:07

Hoofdstuk 5 Rekenbeleid op schoolniveau 5.1 Inleiding Het opstellen van rekenbeleid op schoolniveau is voorwaardelijk voor de invoering van de zes kwaliteitskenmerken van rekenonderwijs. Het aanbieden van effectief en kwalitatief goed rekenonderwijs kan behoorlijke consequenties hebben voor collega’s binnen de school. Daarom gaat dit hoofdstuk in op het thema onderwijsvernieuwing. Ook geven we aandachtspunten voor het opstellen van rekenbeleid op school-, team- en docentniveau.

5.2 Uitkomsten van onderzoek naar onderwijsvernieuwing Het vormgeven van rekenbeleid op schoolniveau kan zeker gezien worden als een onderwijsvernieuwing. In dat licht is het interessant om aandacht te hebben voor belangrijke uitkomsten van onderzoek naar onderwijsvernieuwingen. Zo noemt Fullan (2001, 2008) de volgende aandachtspunten en aanbevelingen: • De directeur is de sleutelfiguur in de verandering. • Een onderwijsvernieuwing neemt drie tot vijf jaar in beslag. • Elke school is uniek, dus een blauwdruk voor verandering bestaat niet.



49

19-11-10 12:07

directie= sleutelfiguur

deelnemers

drie tot

voelen

vijf jaar

succes onderwijs vernieuwing

deelnemers

iedere school

doen mee

is uniek

25% weten, 75% proberen en behouden

• 25 Procent is weten wat te doen tijdens de verandering; 75 procent is bezig zijn, uitproberen en het beste behouden. • Mensen veranderen niet als ze zich geen eigenaar voelen van de verandering. Zeker wanneer het gaat om het invoeren van rekenbeleid in het vmbo-bbl of -kbl - en alle vakdocenten moeten veranderen teneinde een forse rekeninhaalslag teweeg te brengen – moet iedereen zich betrokken gaan voelen. Iedereen moet meedoen, meebeslissen, meedenken, uitproberen en aanpassen, want dat levert veel betrokkenheid en commitment op. Er dient daarom ruime aandacht te zijn voor het creëren van emotionele betrokkenheid en het scheppen van voorwaarden voor verandering (tijd en ruimte). Het is makkelijker om

50


Hoofdstuk 5

19-11-10 12:07

over kleine of grote weerstanden heen te stappen, maar duizend keer effectiever om ermee aan de slag te gaan en behoudende mensen mee te krijgen. • Docenten moeten het succes zien en voelen. De zes bovengenoemde punten geven aan waarom en op welke manier de directie aanjager moet zijn bij het invoeren van rekenbeleid. Het gebeurt frequent dat de directie een rekencoördinator of rekengroep aanwijst, die het beleid voorbereidt en uitvoert. Uiteraard heeft de rekencoördinator c.q. de rekengroep een sleutelrol bij de invoering van het rekenbeleid. Toch moet de directie een belangrijk aandeel hebben en houden bij de invoering en verankering van het rekenbeleid. Het uitzetten en uitvoeren van onderwijs vernieuwing kan en mag een directeur niet uit handen geven (Cole, 2005). In sommige gevallen kan de rekencoördinator c.q. de rekengroep de rol krijgen om het rekenbeleid uit te denken. De eindverantwoordelijkheid kan echter niet bij hen neergelegd worden. Zelfs het informeren van het team kan de directeur het beste zelf doen. Zo wordt voorkomen dat teamleden het rekenbeleid en hun nieuwe rol en verantwoordelijkheden enkel en alleen associëren met de rekencoördinator of de rekengroep. Wanneer de nieuwe werkwijze is ingevoerd, wordt deze onderdeel van de functionerings- en kwaliteitscyclus en daarmee van het integraal personeelsbeleid. Ook de onderwijsvernieuwing rondom het rekenen moet hier onderdeel van worden. Zo voorkomt de directie dat de rekencoördinator c.q. de rekengroep de rol van controleur krijgt toebedeeld in plaats van uitvoerder van de vernieuwing. Voorkomen moet worden dat de rekencoördinator of de rekengroep, die collega’s ondersteunt in het beter omgaan met rekenzwakke leerlingen en verschillen in rekenniveaus, dezelfde collega’s moet gaan ‘verklikken’ bij de directie. In een goed werkende functioneringscyclus zijn eventuele aanwijzingen voor disfunctioneren, ook op rekengebied, allang bij de docent bespreekbaar gemaakt door de directie. In het proces van het verbeteren van het rekenonderwijs is het daarnaast belangrijk om te weten dat voor een



51

19-11-10 12:07

onderwijsvernieuwing over het algemeen drie tot vijf jaar wordt uitgetrokken! De invoering en verankering van rekenbeleid moet dus gedurende een periode van drie tot vijf jaar op de agenda staan.

5.3 Aandachtspunten voor het opstellen van rekenbeleid Bij het in gang zetten van de kwaliteitsverbetering van het rekenonderwijs is het van belang om rekening te houden met stappen op school-, team- en docentniveau. Vragen die behulpzaam kunnen zijn bij het vormgeven van het rekenbeleidsplan zijn opgenomen in bijlage 2, achterin deze publicatie (Aandachtspunten directie voor doorlopende leerlijn rekenen in het vo). Aandachtspunten op schoolniveau Het voornemen om de kwaliteit van het rekenen te gaan verbeteren, kan worden opgenomen in de missie en visie van de school. (Bijvoorbeeld: “Wij streven ernaar om alle leerlingen op niveau 2F onze school te laten verlaten.”) De doelstellingen en de uitwerking van het rekenbeleid kunnen worden opgenomen in het schoolplan. Vergeet niet over het plan te communiceren met bijvoorbeeld ouders, leerlingen en toeleverende basisscholen. De vernieuwing moet expliciet gefaciliteerd worden op team- en docentniveau. Voor wat betreft het samenstellen van de rekengroep en/of het aanwijzen van een rekencoördinator geeft Buijs (2008) aan dat de wiskundesectie zich niet als geheel verantwoordelijk moet voelen voor het onderhouden en uitbouwen van de rekenvaardigheden. Hij zegt hierover: “Binnen de wiskundeles en binnen andere vakken die een beroep doen op reken vaardigheden zal op eenzelfde manier met de betreffende inhouden en vaardigheden om moeten worden gegaan als binnen de reken-/wiskundeles, willen de leerlingen in het ene gebied kunnen profiteren van wat ze in het andere hebben geleerd. Maar dan wel aansluitend bij het begrips- en vaardigheidsniveau van deze leerlingen.” In deze laatste zin verwijst Buijs

52


Hoofdstuk 5

19-11-10 12:07

naar het contextgebonden, modelondersteunde, formele niveau van de instructie. Dit betekent dat vooral ook docenten die rekenen geven in andere vakken dan wiskunde, deel uitmaken van de groep die het beleid ontwikkelt. In het beleidsplan moeten doelstellingen geformuleerd worden: Waar willen we naartoe werken en hoe pakken we dat aan? Inhoudelijk kan bijvoorbeeld worden ingegaan op: Wat is de vereiste kennis van referentieniveaus bij alle docenten? Wat moeten leerlingen op welk moment kennen en kunnen? Welke gegevens krijgen we van de aanleverende basisscholen en wat wordt daar vervolgens door wie mee gedaan? Hoeveel tijd wordt ingeruimd voor het aanbieden van het rekenen en door wie? Hoe gaan we de onderwijsvernieuwing monitoren? Waarmee gaan we leerlingen volgen en toetsen en hoe gaan we toetsresultaten gebruiken? Wat hebben teamleden nodig hebben om het beoogde rekenonderwijs aan te bieden? Aandachtspunten op teamniveau Uit bovenstaande blijkt dat teamleden zullen veranderen als ze zich eigenaar voelen van de verandering. Bij leerlingen zal alleen een forse verbetering in de rekenprestaties te zien zijn als in alle lessen waarbij rekenen aan bod komt, op eenzelfde manier met de betreffende inhouden en vaardigheden wordt omgegaan (vakdoorbroken leerlijnen rekenen; inzet van het IGDI-model; adequaat inzetten van concreet, model dan wel formeel niveau van instructie, et cetera). Dit betekent dat de directie en de rekencoördinator of de rekengroep weliswaar stappen kunnen voorbereiden in het rekenbeleid, maar dat de teamleden betrokken moeten worden bij de manier waarop het rekenbeleid wordt uitgevoerd en dat moet worden geïnventariseerd wat zij daarvoor nodig hebben. Aandachtspunten op docentniveau Het is belangrijk dat docenten kennis hebben of krijgen van de leerstof die in de voorgaande leerjaren is aangeboden op het gebied van rekenen. Datzelfde geldt voor de kennis over de manier waarop leerlingen bepaalde routines aangeleerd hebben gekregen en over de routines die het beste passen bij rekenzwakke leerlingen. Ook is het van belang dat zij weten



53

19-11-10 12:07

wat leerlingen de komende jaren krijgen aangeboden. In dit kader is het verstandig om te inventariseren welke docenten welke bijscholing op het gebied van rekenonderwijs nodig hebben. De combinatie van training en coaching (door middel van klassenconsultaties) is een krachtig middel om docenten de mogelijkheid te bieden om vaardiger te worden in het geven van rekeninstructie aan rekenzwakke leerlingen. Daarnaast is het zinvol om te inventariseren of kennis en kunde kunnen worden uitgewisseld, bijvoorbeeld door middel van collegiale consultatie, lesbezoeken, intervisie en uitwisseling met leerkrachten uit het primair onderwijs op het gebied van didactische kennis en vaardigheden.

54


Hoofdstuk 5

19-11-10 12:07

Dankwoord Over rekenen in het voortgezet onderwijs is veel minder gepubliceerd dan over rekenen in het basisonderwijs. Door de aandacht voor doorlopende leerlijnen en daarmee samenhangend de wettelijke invoering van de referentieniveaus, ontstaat er meer belangstelling voor rekenen in het voortgezet onderwijs. Met deze publicatie wil ik bijdragen aan de ontwikkeling in het denken over de plek die rekenen in het voortgezet onderwijs kan krijgen. Mijn dank gaat uit naar mijn CPS-collega’s Marije Bakker, Ria Brandt, Pieter Gerrits, Jarise Kaskens en Bert Moonen voor hun inhoudelijke commentaar. Machteld Schölvinck

Dankwoord


55

19-11-10 12:07

Literatuur Bakker, M. & Cijvat, I. (2009). Kenmerken van effectief rekenonderwijs. Amersfoort: CPS (interne rapportage). Buijs, K., Scherpenzeel, P. van, M. ten Voorde, M. ten & Zwaart, P. van der (2008). Werken aan een doorlopende leerlijn rekenen/wiskunde van po naar vo. Enschede: SLO. Buijs, K. & Zwaart, P. van der (2006). Aandachtsgebieden voor een doorgaande lijn rekenen-wiskunde van PO naar VMBO. Enschede: SLO. Cijvat, I., Dijk, M., Förrer, M. & With, T. de (2009). Toolkit borging effectief technisch leesonderwijs. Amersfoort: CPS. Cito (2009). Monitor taal en rekenen. Eerste meting: een indicatie van leerprestaties in termen van het referentiekader. Arnhem. Cole, B.A. (2005) Mission impossible? Special educational needs, inclusion and the re-conceptualization of the role of the SENCo in England and Wales. In: European Journal of Special Needs Education, 20, no. 3 (august 2005), page 287-307. Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (Commissie Meijerink) (2008). Over de drempels met taal en rekenen. Enschede: SLO. Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (Commissie Meijerink) (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Enschede: SLO. Fullan, M. (2001). The new meaning of educational change. New York: Teachers College Press. Fullan. M. (2008). The six secrets of change. What the best leaders do to help their organization survive and thrive. San Francisco: Jossey-Bass.

56


Literatuur

19-11-10 12:07

Fuchs, L. & Fuchs, D. (2001). Principles for the prevention an intervention of mathematics difficulties. In: Learning Disabilities Research & Practice, vol. 16 (2), page 85-95. Houtveen, T., Koekebacker, E., Mijs, D. & Vernooy, K. (2005). Succesvolle aanpakken van risicoleerlingen. Wat kan de school doen? Antwerpen/ Apeldoorn: Garant. Kettelin-Geller, L.R., Chard, D.J. & Fien, H. (2008). Making connections in math; conceptual mathematics interventions for low-performing students. In: Remedial and special Education, volume 29, nr. 1, page 33-45. Kroesbergen, E. & Luit, J.E.H. van (2002). Teaching multiplication to low performers: guided versus structured instruction. In: Instructional science, vol. 30, page 361-378. Milo, B.F. & Ruijssenaars, A.J.J.M. . (2002). Strategiegebruik van leerlingen in het speciaal basisonderwijs bij optellen en aftrekken tot 100: begeleiden of sturen? In: Pedagogische Studiën, 79, p. 117-129. Milo, B.F. & Ruijssenaars, A.J.J.M. (2003a). Rekeninstructie op scholen voor speciaal basisonderwijs, wat is realistisch? In: Tijdschrift voor orthopedagogiek, 42, p. 423-435. Milo, B.F. & Ruijssenaars, A.J.J.M. (2003b). Instructie en leerlingkenmerken - (on)mogelijkheden van realistische instructie in het SBO. In: Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 22(1), p. 27-33. Maccini, P., Mulcahy, C.A. & Wilson, M.G. (2007). A follow-up of mathematics interventions for secondary students with learning disabilities. In: Learning disabilities Research & Practise, 22 (1), page 58-74. Szwed, C. (2007). Reconsidering the role of the primary special educational needs co-ordinator: policy, practice and future priorities. In: Britisch Journal of Special Education, Volume 34, no 2, page 96-104. Vernooy, K. (2008). Omgaan met verschillen nader bekeken. Wat werkt? www.onderwijsmaakjesamen.nl www.taalenrekenen.nl

Literatuur


57

19-11-10 12:07

Bijlage 1 Concrete automatiseringsoefeningen basisvaardigheden Op http://www.fi.uu.nl/zoefi/Voorbeeldactiviteiten.html staan allerlei automati seringsoefeningen, die circa tien minuten duren. Bij deze oefeningen is het ook mogelijk om het digibord te gebruiken (indien u een abonnement neemt). Hieronder enkele suggesties die morgen in de praktijk gebruikt kunnen worden:

Positie van waarden Burenbingo (1) Leerlingen krijgen bingokaarten en de docent kiest de getallen. De leerlingen strepen niet de getallen weg die de docent opnoemt (bijvoorbeeld 52), maar de getallen ervoor (51) en erna (53). Hiermee automatiseren of memoriseren leerlingen de getallen. Voor de betere leerlingen is een variatie mogelijk (zie optellen, aftrekken en vermenigvuldigen). Raad mijn getal Leerlingen krijgen een post-it met een getal op hun rug. De docent geeft aan binnen welke waarden het getal ligt, bijvoorbeeld tussen 750 en 1250. De leerlingen lopen rond in de groep en stellen vragen aan hun medeleerlingen. Een leerling kan bijvoorbeeld vragen: “Ligt mijn getal tussen de 750 en de 1000?” Na het antwoord gaat de leerling naar een volgende klasgenoot en stelt weer een nieuwe vraag om het getal te positioneren. Het is ook mogelijk om deze oefening met breuken te doen. Optellen en aftrekken onder de 20, 100 en 1.000

58


Bijlage 1

19-11-10 12:07

Burenbingo (2) De leerlingen schrijven niet het getal ervoor of erna op, maar moeten een optelsom toepassen. Bijvoorbeeld: 52+13 = 65 en 52-13 = 39. Dit biedt mogelijkheden om te variëren voor sterkere en zwakkere leerlingen; de moeilijkheidsgraad van de som wordt aangepast aan wat leerlingen net niet beheersen (naar een idee van M. Bakker, 2008). Sommendomino Elk duo maakt vijf domino’s met een som. In de instructie kan de docent differentiëren naar het niveau van de duo’s. De instructie kan bijvoorbeeld luiden dat een duo moet optellen of aftrekken tot 1.000 (of 10.000). Ofwel: de uitkomsten moeten in dat geval dus onder de 1.000 (c.q. 10.000) blijven. Het duo bedenkt dan bijvoorbeeld de volgende som: 250+38 = 288. De som van de volgende domino begint dan met deze uitkomst (288), dus bijvoorbeeld: 288–115 = 173. Enzovoort. Van de vijf domino’s met sommen, is er eentje waarin een fout zit. De docent neemt alle sommen in en bedenkt telkens tussen de setjes van vijf sommen een domino/som die de twee verschillende dominosetjes aan elkaar linkt. Vervolgens schudt de docent de domino’s en deelt ze onder de duo’s uit. De duo’s leggen de domino aan die past, maar moeten eerst checken of de som klopt. Met dit spel wordt een dubbelslag gemaakt: leerlingen oefenen tijdens het maken van een domino en nogmaals bij het leggen van de domino. Vermenigvuldigen en delen - onder de 20, 100 en 1000. Burenbingo (3) De leerlingen schrijven niet het getal ervoor of erna op, maar moeten een vermenigvuldiging toepassen. Bijvoorbeeld: 52x1,5 = 78. Of omgekeerde tafels: 52:1,5 = 35. Nota bene: de regel is dat leerlingen dan wel naar boven mogen afronden. Ook deze oefening biedt mogelijkheden om te variëren voor de sterkere en zwakkere leerlingen; de moeilijkheidsgraad van de som wordt aangepast aan wat leerlingen net niet beheersen.

Concrete automatiseringsoefeningen basisvaardigheden


59

19-11-10 12:07

Met flitskaarten Op de kaarten staat aan de ene kant de som en aan de andere kant het antwoord. Leerlingen kunnen deze oefening in tweetallen doen; zij gaan tegenover elkaar zitten of staan. De ene leerling zegt de som en direct daarna het antwoord. De tweede leerling leest mee en kijkt of het antwoord goed is. Eventueel kan dit met een stopwatch op tijd worden gedaan om tempo in het automatiseren te krijgen. In een kring (naar een idee van J. Kaskens, 2008): de leerlingen staan in een kring en één leerling krijgt het stapeltje kaartjes met tafels. Tussen die kaartjes zit een aantal kaartjes met het woord STOP erop. Eén leerling start met het stapeltje, leest de som voor, geeft het antwoord en pakt het volgende kaartje. Wanneer de volgende kaart een STOP-kaart is, mag de leerling het stapeltje aan een andere leerling doorgeven. Deze leerling moet dan de laatste som die de vorige leerling heeft opgenoemd (bijvoorbeeld 3x6 = 18) in omgekeerde volgorde opnoemen (6x3 = 18). Deze STOP-kaart zorgt ervoor dat leerlingen alert moeten blijven, omdat ze anders niet snel antwoord kunnen geven. Met deze groepsflits oefenen leerlingen niet alleen de tafels, maar ook de omkeerstrategie met tafels. Wanneer er grote niveauverschillen in de klas zijn, is het mogelijk om leerlingen te groeperen rondom stapeltjes sommen. Elk stapeltje met tafelsommen heeft dan zijn eigen moeilijkheidsgraad. Delen onder de 20, 100 en 1000. Sommen bedenken De docent schrijft een getal op het bord en de leerlingen bedenken allerlei sommen erbij. De sommen gaan over de stof die later wordt behandeld. Bijvoorbeeld, wanneer de stof bij het zelfstandig werken het ‘werken met breuken’ en ‘de hele eruit halen’ is, dan maken leerlingen sommen vanuit 1 2/12e (14/12, 8/12+4/12, 3/12+ 9/12 et cetera.) Bij deze oefening kunnen de leerlingen zelfstandig sommen bedenken, in tweetallen of in viertallen (op flap).

60


Bijlage 1

19-11-10 12:07

Bijlage 2 Aandachtspunten directie voor doorlopende leerlijn rekenen in het voortgezet onderwijs Beleid Welke interventies worden er op schoolniveau gedaan om aan alle leerlingen goed rekenonderwijs te bieden? • Is er rekenbeleid? • Is er zicht op hetgeen nodig is om goed rekenonderwijs te bieden? • Is er een visie op rekenonderwijs? • Is er een rekenbeleidsplan? • Is het niveau dat de leerlingen op rekengebied moeten bereiken geëxpliciteerd? • Zijn deze doelen gekoppeld aan toetsresultaten? Worden deze valide getoetst? • Is er sprake van een doorgaande lijn in de rekenontwikkeling van leerlingen? • En vooral ook: hoe is deze terug te zien in de school? • Worden de basisvaardigheden van rekenen bij andere leergebieden gebruikt en onderhouden? • Is er sprake van extra onderwijstijd voor rekenen? • Is er sprake van zorg voor leerlingen die problemen hebben met rekenonderwijs? • Is er sprake van verdieping voor leerlingen die op rekengebied beter zijn dan de gemiddelde leerlingen in hun groep/klas? • Is er sprake van nascholing op rekenvaardigheid van leraren?

Aandachtspunten directie voor doorlopende leerlijn rekenen in het voortgezet onderwijs


61

19-11-10 12:07

Onderwerpen die centraal staan bij afspraken over rekenen • Zijn er duidelijke afspraken over de wijze waarop het rekenonderwijs wordt gegeven (didactiek, inhoud, et cetera)? • Zijn er duidelijke afspraken gemaakt over wie wat en wanneer behandelt? • Zijn er duidelijke afspraken gemaakt over de onderwerpen die aan bod komen? Rekenen in de klas • Wordt het IGDI-model gebruikt om goed rekenonderwijs aan alle leerlingen te bieden? • Wordt rekengericht vakonderwijs geboden om de parate rekenkennis en rekenvaardigheden te onderhouden of te vergroten? • Beschikken de docenten over de competenties om goed rekenonderwijs te geven? Competenties. Docenten: • Kunnen operationele doelen stellen voor rekenonderwijs naar aanleiding van hun eigen observaties en toetsen. • Hebben kennis van de leerstof die in voorgaande leerjaren is aangeboden (inclusief leerstof van het basisonderwijs), en van de leerstof die in de komende leerjaren wordt aangeboden. • Kennen de cumulatieve structuur van het vakgebied waarin begrippen en rekenprocedures op elkaar voortbouwen. • Kunnen hun uitleg afstemmen op de rekenvaardigheid van de leerlingen. • Kunnen variëren in werkvormen (variatie ten behoeve van inhoud, zelfstandigheid, betrokkenheid, oplossend vermogen en reflectie). • Kunnen bij het rekenen een actieve rol van leerlingen creëren. Inhoud rekenles • Worden in het rekenonderwijs de leerstofgebieden van 1F/S aangeboden (getallen, verhoudingen, meten en meetkunde, verbanden, begrippen, rekenfeiten, automatismen en routines)? • Komen in het rekenonderwijs de volgende kennis, vaardigheden en activiteiten aan de orde?

62


Bijlage 2

19-11-10 12:07

• Paraat hebben (volledige beheersing van feiten, begrippen, routines en technieken). • Functioneel gebruiken (kunnen toepassen en gebruiken van kennis en vaardigheden in allerlei situaties waarin gerekend en geredeneerd moet worden). • Weten waarom (inzicht in principes, formaliseren, abstraheren en overzicht). • Consolideren van een kern aan kennis en vaardigheden tot op een hoog niveau van beheersing. • Blijvend onderhouden van de kennis en vaardigheden binnen de school en bij de overgang van primair naar voortgezet onderwijs. • Gebruiken van de verworven kennis en vaardigheden - juist ook buiten de lessen rekenen en wiskunde. • Realiseren van mogelijkheden tot verdiepen voor leerlingen die (veel) meer aankunnen dan het huidige onderwijsaanbod hen aanreikt. Volgen van groepen/individuele leerlingen • Gebruik van toetsen die informatie geven over de mate waarin gewenste kennis en vaardigheden op het gebied van rekenen (1F/S) zijn verworven. • Gebruik van toetsgegevens om eventuele leerachterstanden op het gebied van rekenen in te halen. • Gebruik van toetsgegevens om het aanbod van rekenonderwijs bij te stellen op leerlingniveau, klassenniveau, jaarniveau en schoolniveau. • Gebruik van methode-onafhankelijke toetsen zoals Cito VAS en/of ABC Toets rekenen wiskunde (Hogeschool Utrecht). Over de overgang tussen de basisschool en het voortgezet onderwijs • Overleggen de leerkrachten uit het basisonderwijs met de teamleider, afdelingsleider of rekencoördinator van het voortgezet onderwijs over de overgang? • Komt de informatie van het basisonderwijs over het rekenonderwijs terecht bij de betrokken rekenen vakdocenten? • Overleggen onderbouwdocenten regelmatig met leerkrachten van de basisscholen?

Aandachtspunten directie voor doorlopende leerlijn rekenen in het voortgezet onderwijs


63

19-11-10 12:07

• Wordt het beleid op het gebied van doorlopende leerlijnen tussen het basis- en voortgezet onderwijs jaarlijks geëvalueerd? • Sluit de inhoud van de leerstof in het basisonderwijs aan bij de onderbouw van het voortgezet onderwijs? • Sluiten de moeilijkheidsgraad van de leerstof, de didactiek en het werktempo in het basis- en voortgezet onderwijs op elkaar aan? • Zijn er schoolbrede afspraken over de begeleiding van leerlingen met leer- en gedragsproblemen? • Hoe wordt gewerkt aan een soepele overgang?

64


Bijlage 2

19-11-10 12:07

Doorlopende leerlijn rekenen in het vo

Recommend Documents