2014. Rekenen op het VO

Rekenen op het VO

Rekenen op het VO Het effect van tekst, struikelwoorden en strategiegebruik op de rekenprestaties van onderbouwleerlingen bij contextuele en contextloze bewerkingsopgaven

Nynke Koopmans Afstudeeronderzoek MSc Science Education and Communication 31/10/2014

Delft University of Technology

Science Education and Communication

1

Afstudeeronderzoek // Nynke Koopmans // 31/10/2014

2

Rekenen op het VO

Rekenen op het VO Het effect van tekst, struikelwoorden en strategiegebruik op de rekenprestaties van onderbouwleerlingen bij contextuele en contextloze bewerkingsopgaven

Nynke Koopmans

Contactgegevens

1277111

[email protected]

27/06/2014

0610132398

Graduation

Korte Poten 7, 2511 EB, Den Haag

MSc Science Education and Communication

Lorentzweg 1, 2628 CJ, Delft

Begeleiders M. J. de Vries M. A. F. M. Jacobs W.T.M. Caspers In samenwerking met Johan de Witt Scholengroep

Bureau ICE

Delft University of Technology

Science Education and Communication

3


4

Rekenen op het VO

Samenvatting De landelijke resultaten van de recent ingevoerde rekentoets in het voortgezet onderwijs zijn zeer onder de maat, zo ook die van de leerlingen op de Johan de Witt Scholengroep. Deze resultaten en die van de nationale peilingen geven aan dat er veel winst te behalen is op zowel contextuele als contextloze bewerkingsopgaven. In dit onderzoek zijn de effecten van drie elementen op de rekenprestaties van onderbouwleerlingen met betrekking tot dergelijke opgaven onderzocht. De drie onderzochte elementen zijn tekst, struikelwoorden en strategiegebruik. De bevindingen in dit onderzoek kunnen het Johan de Witt ondersteunen in het verbeteren van hun rekenonderwijs.

Tekst: Voor het element tekst zijn twee schriftelijke testen afgenomen. Scores op bewerkingsopgaven met één bewerking en twee bewerkingen zijn vergeleken met scores op bijbehorende tekstloze opgaven. Leerlingen onder of net op 1F (n=435) hebben significant hogere scores op de tekstuele variant. Dit verschil is groter bij opgaven met twee bewerkingen. Leerlingen net onder of op 2F (n=157) ondervinden alleen een negatief effect van de gekozen tekst bij opgaven met twee bewerkingen. Training in metacognitieve vaardigheden waarbij reflectie en controle een grote rol spelen kunnen een uitkomst bieden voor de gesignaleerde problemen. Het viel daarnaast op dat tekst niet interacteerde met bewerking, maar zoals de resultaten suggereerden wel met het soort getallen. Struikelwoorden: De behaalde scores groepen opgaven met een verschillend aantal struikelwoorden van drie thuistaalgroepen (anderstalig (n=60), anders- en Nederlandstalig (n=85) en Nederlandstalig (n=73)) verschilden, anders dan verwacht, niet van elkaar. Dit betekent dat de scores van anderstalige leerlingen niet afnemen ten opzichte van Nederlandstalige leerlingen naarmate het aantal struikelwoorden in de opgaven toeneemt. De gebruikte opgaven zijn verzameld uit vier door het Johan de Witt geïnitieerde digitale toetsen die alle deelnemende leerlingen hadden gemaakt. Het is de vraag of thuistaal wel de onderscheidende factor is om het effect van struikelwoorden te onderzoeken. Strategiegebruik: De percentages goede antwoorden van groepen leerlingen die een bepaalde strategie gebruikten bij het oplossen van vier contextloze opgaven zijn met elkaar vergeleken (n=631). Leerlingen die de traditionele strategie gebruikten behaalden bij alle vier bewerkingen het hoogste succespercentage. Hoofdrekenaars waren minder succesvol dan leerlingen die de kolomsgewijze strategie gebruikten bij vermenigvuldigen en delen. Echter, bij optellen en aftrekken waren hoofdrekenaars succesvoller. Het zou een goed streven zijn om voor alle leerlingen de traditionele geschreven strategie als eindstation in te zetten. De resultaten uit dit onderzoek zijn van toepassing op leerlingen van het Johan de Witt, maar wellicht te generaliseren naar vergelijkbare scholen uit andere achterstandswijken in Nederland.

5


Inhoudsopgave Samenvatting

5

Voorwoord

9

Introductie

11

1

12

2

3

4

5

6

Rekentoets 1.1

Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen

12

1.2

Aanleiding: Landelijke rekenresultaten

13

1.3

Referentieniveaus in een doorlopende leerlijn

14

1.4

Invoering rekentoets

14

1.5

Huidige rekentoets

15

1.6

Conclusie

16

Rekenonderwijs in Nederland e

17

2.1

Rekenen in de 20 eeuw

17

2.2

Huidig rekenonderwijs

18

2.3

Conclusie

19

Johan de Witt Scholengroep

20

3.1

Het Johan de Witt

20

3.2

Rekenbeleid

20

3.3

Rekenresultaten

21

3.4

Conclusie

21

Theoretisch kader

23

4.1

Onderzoeksvraag

23

4.2

Tekst

23

4.3

Struikelwoorden

25

4.4

Strategiegebruik

26

Tekst

29

5.1

Inleiding

29

5.2

Methode (1a)

29

5.3

Resultaten (1a)

34

5.4

Discussie (1a)

40

5.5

Conclusie (1a)

45

Rekenen op het VO

6

7

8

9

5.6

Methode (1b)

45

5.7

Resultaten (1b)

50

5.8

Discussie (1b)

52

5.9

Conclusie (1b)

54

Struikelwoorden

55

6.1

Inleiding

55

6.2

Methode

55

6.3

Resultaten

60

6.4

Discussie

62

6.5

Conclusie

65

Strategiegebruik

66

7.1

Inleiding

66

7.2

Methode

66

7.3

Resultaten

68

7.4

Discussie

74

7.5

Conclusie

75

Discussie

76

8.1

Inleiding

76

8.2

Tekst

76

8.3

Struikelwoorden

79

8.4

Strategiegebruik

79

8.5

Theoretische implicaties

80

8.6

Vervolgonderzoek

81

8.7

Praktische aanbevelingen

82

8.8

Kanttekeningen

84

Conclusie

86

9.1

Inleiding

86

9.2

Hoofdvraag

86

Literatuur

88

Bijlage 1

93

Bijlage 2

94

Bijlage 3

96

Bijlage 4

97

7


Bijlage 5

99

Bijlage 6

100

Bijlage 7

101

Bijlage 8

103

Bijlage 9

104

Bijlage 10

108

Bijlage 11

110

8

Rekenen op het VO

Voorwoord Het was nooit mijn ambitie om docent te worden. Het was ook nooit mijn ambitie om negen jaar te studeren. Maar het was wel mijn doel om alles wat mogelijk was binnen mijn studententijd aan te grijpen. De laatste jaren waren daardoor een vreemde, drukke, maar ook ontzettend leuke periode. Dankzij het lesgeven bleef de studie interessant en andersom, ik kan echter niet wachten om af te studeren. Er staan namelijk twee dingen op mij te wachten: een volwaardige baan in het onderwijs op een school waar ik me thuis voel met leuke collega’s en fantastische leerlingen en een vrijheid/vrije tijd waar ik u tegen zeg. Er zijn een aantal mensen die me hebben geholpen om dit te bereiken en die ik daar voor wil bedanken. Ten eerste zijn dat de mensen die me het afgelopen jaar hebben geholpen bij dit afstudeeronderzoek. De collega’s die minutieus naar het taalgebruik in de testen hebben gekeken en alle rekendocenten die het werk van hun leerlingen hebben nagekeken. Met Marc van bureau ICE had ik goed overleg over de onderzoeksmogelijkheden met de TOA-gegevens; bedankt voor de moeite die je er in hebt gestopt en de gastvrijheid om met jullie gegevens aan de slag te gaan. En natuurlijk Marc, Wim en Martin, bedankt voor de begeleiding. Ondanks dat er niet veel ontmoetingen zijn geweest, gaven jullie me altijd het volste vertrouwen. Bij het schrijven van het onderzoeksvoorstel was het eerst nog een beetje zoeken maar toen deze uiteindelijk klaar was, dankzij jullie vasthoudendheid, ging het onderzoek doen daarna vanzelf. Zonder de faciliteiten en de medewerking die ik heb gekregen van de directie van het Johan de Witt had ik niet op deze manier kunnen afstuderen, niet naast de baan die ik had. Vooral Anne wil ik bedanken voor het vertrouwen, waardoor mijn testen bijvoorbeeld zonder twijfel werden ingeroosterd. Ik wil haar ook bedanken voor de verantwoordelijkheden die ik het afgelopen jaar heb gekregen en hoe ze mij heeft leren nadenken op een hoger niveau over het rekenonderwijs. Ik heb ontzettend veel geleerd van mijn betrokkenheid bij het rekenbeleid en ben enorm trots op wat we hebben staan. Mijn lieve fijne vrienden wil ik bedanken voor de steun, het luisteren, de gezelligheid, het leven en alle veren die jullie me door de jaren heen hebben gegeven. Ook al mocht het van jullie wel eens wat minder, jullie bleven me energie geven door te benadrukken hoe bijzonder jullie het vonden. Minke en Hilke wil ik speciaal bedanken voor het fanatieke lezen van stukken en het automatische meedenken. Tot slot wil ik mijn ouders en zusje bedanken voor de niet aflatende steun. Anders dan mijn vrienden hadden jullie nooit medelijden, jullie waren trots op wat ik deed en daar moest ik gewoon mee doorgaan. En dat was precies wat ik zelf ook dacht.

9


10

Rekenen op het VO

Introductie De Johan de Witt Scholengroep (JdW) is een instelling voor openbaar voortgezet onderwijs met vestigingen in achterstandswijken in Den Haag. De school stopt veel energie in het wegwerken van de taal- en rekenachterstanden waarmee hun leerlingen binnen komen. Nu de recent ingevoerde rekentoets als verplicht onderdeel van het eindexamen gaat meetellen in de slaag- en zakregeling wordt het belang van kwalitatief goed rekenonderwijs groter dan voorheen. Rekenen op het voortgezet onderwijs is echter pas gaan leven door de invoering van de rekentoets. Daarvoor werd verondersteld dat rekenvaardigheden werden ontwikkeld op de basisschool en vervolgens werden onderhouden in de vakken op de middelbare school. De landelijke resultaten op de eerste rekentoets laten echter zien dat de meeste leerlingen niet beheersen wat er getoetst wordt. Het is voor het rekenonderwijs daarom erg belangrijk om te bepalen welke factoren in het rekenen de prestaties van leerlingen negatief beïnvloeden, zodat kan worden opgevangen. Dit onderzoek focust op een aantal elementen in rekenopgaven die voor problemen kunnen zorgen en is uitgevoerd op het JdW. De hoofdvraag hierbij luidt: Welke elementen met betrekking tot contextuele en contextloze bewerkingsopgaven hebben effect op de rekenprestaties van leerlingen in de onderbouw van de Johan de Witt Scholengroep? Hoofdstuk 1 zet de aanleiding, invoering en inhoud van de rekentoets uiteen, waardoor duidelijk wordt wat de verbeterpunten van leerlingen kunnen zijn. Om te weten hoe leerlingen zich kunnen verbeteren is het nodig om aan te sluiten bij het rekenonderwijs op de basisschool en het JdW wat in de hoofdstukken 2 en 3 wordt beschreven. Uit de literatuur zijn drie elementen naar voren gekomen die de rekenprestaties van leerlingen zouden kunnen beïnvloeden. Deze elementen zijn tekst, struikelwoorden en strategiegebruik en worden toegelicht in het theoretische kader in hoofdstuk 4. Per element zijn deelvragen geformuleerd en is een deelonderzoek uitgevoerd. De methoden, resultaten en conclusies van deze deelonderzoeken zijn uiteengezet in de hoofdstukken 5, 6 en 7. In hoofdstuk 8 wordt in de algemene discussie de belangrijkste bevindingen van de deelonderzoeken samengevat en worden er aanbevelingen gedaan voor vervolgonderzoek en het rekenonderwijs. Tot slot wordt in de conclusie in hoofdstuk 9 antwoord gegeven op de hoofdvraag met betrekking tot de drie onderzochte elementen.

11


1 Rekentoets ‘Help, ik moet dit jaar een rekentoets maken!’ is de titel van een publicatie van onderwijsadviesbureau APS1 die het gevoel verwoordt van scholen, docenten en leerlingen. Naar aanleiding van ogenschijnlijk slechte landelijke rekenresultaten is een rekentoets in het voortgezet onderwijs ingevoerd om het rekenniveau te doen stijgen. De aanleiding, invoering en inhoud van deze toets zijn in dit hoofdstuk uiteengezet. 1.1

Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen Per 1 augustus 2010 is de ‘Wet Referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen’ van kracht. Deze wet behelst de invoering van een referentiekader Nederlandse taal en rekenen in de sectoren primair-, voortgezet- en middelbaar beroepsonderwijs. In dit referentiekader staan de vaardigheden beschreven die leerlingen moeten beheersen op het gebied van Nederlandse taal en rekenen. De regering wil hiermee het niveau op deze twee gebieden verhogen en de doorlopende leerlijn tussen de verschillende onderwijssectoren beter laten aansluiten en monitoren. De directe aanleidingen van deze maatregel waren de eindrapporten van de Commissie Parlementair Onderzoek Onderwijsvernieuwingen (Dijsselbloem, 2008) en de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (Meijerink, 2008a). De commissie Dijsselbloem benadrukte de zorgen die bestaan over de ontwikkeling van de onderwijsresultaten in het primair onderwijs (basisonderwijs / PO) en voortgezet onderwijs (VO), met name op elementaire basisvaardigheden als taal en rekenen. De commissie Meijerink heeft, als onderdeel van een doorlopende leerlijn, deze basisvaardigheden van Nederlandse taal en rekenen beschreven in referentieniveaus. Deze zijn vervolgens toegewezen aan verschillende opleidingen binnen de onderwijssectoren. Volgens de wet referentieniveaus moeten onder andere alle leerlingen in het VO hun toegewezen referentieniveau hebben behaald op de twee gebieden Nederlandse taal en rekenen om hun diploma te halen. Omdat de vaardigheden in de referentieniveaus die zijn toegewezen aan de opleidingen in het VO voor Nederlandse taal overlappen met de eisen in het examen Nederlands, wordt voor het testen hiervan geen extra toets ingevoerd, maar wordt het examen Nederlands geijkt op de gestelde eisen in de wet. Omdat het eindexamen wiskunde echter beperkte ruimte laat voor het toetsen van basisvaardigheden rekenen, is er wel een (digitale) rekentoets ingevoerd voor alle leerlingen in het VO. Het doel van deze toets is

1

12

(Hoogland, Van der Mark, Reeuwijk, Sjoers, Vliegenthart, & Wijk, 2012)

Rekenen op het VO

het testen van de vaardigheden van het referentieniveau dat is toegewezen aan de desbetreffende opleiding door de commissie Meijerink.

1.2

Aanleiding: Landelijke rekenresultaten Verschillende internationale (PISA-2012, TIMSS-2011) en nationale (PPON2011) onderzoeken hebben de basis gevormd voor de commissie Dijsselbloem om te stellen dat de Nederlandse onderwijsresultaten op het gebied van rekenen in het PO en VO achteruitgaan2. Ondanks de discussie in het onderwijsveld over deze interpretatie van de resultaten uit de genoemde onderzoeken (zie bijlage 1), zijn er een aantal feitelijke conclusies te benoemen. Internationaal peilingsonderzoek Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) meet sinds 1995 elke vier jaar de kennis van leerlingen in de exacte vakken met een internationale toets voor het basis- en voortgezet onderwijs. De Programme for International Student Assessment (PISA) is een driejaarlijks internationaal peilingonderzoek naar de leesvaardigheid, wiskundige geletterdheid en natuurwetenschappelijke geletterdheid van 15-jarigen.

2

In het TIMSS onderzoek over de exacte vakken staat Nederland op de tiende plaats 2011, maar in 1995 was dit nog de vierde plaats, een daling ten opzicht van andere landen. Op de PISA-ranglijst van OESOlanden is Nederland voor wiskunde in 2012 gestegen van plaats 6 naar 4, maar met een significant lagere absolute score dan in 2003 (OCW, trends in beeld).

3

Uit het TIMSS-onderzoek blijkt dat Nederlandse leerlingen vooral moeite hebben met het domein geometrische vormen en meten3 (Meelissen, Netten, Drent, Punter, Droop, & Verhoeven, 2012). Dit komt overeen met de resultaten van het PISA-onderzoek. Daar waren de scores op het domein vorm en ruimte3, wat ruimtelijke en geometrische fenomenen en relaties betreft, ook wel meetkunde, het laagst (OECD, 2013).

o Getallen o Geometrische vormen en meten o Gegevensweergave Domeinen PISA-onderzoek: o Vorm en ruimte o Veranderingen en relaties o Hoeveelheid o Onzekerheid

Bij TIMSS was er tussen 2007 en 2011 alleen een significante toename in scores op het domein gegevensweergave (Meelissen et al., 2012). Bij PISA is alleen de absolute score op het domein hoeveelheid, het domein dat gerelateerd is aan rekenvaardigheid, gestegen in 2012 ten opzichte van 2003 (OECD, 2013). Nationaal peilingsonderzoek In opdracht van het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (OCW) voert het Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (Cito) ongeveer elke vijf jaar sinds 1987 een peilingsonderzoek uit in het primair onderwijs (PPON), voornamelijk gericht op leerlingen in groep 8 van de basisschool. Tussen 1987 en 2011 zijn de prestaties gemiddeld niet veranderd, maar binnen de domeinen4 zijn wel stijgingen en dalingen te constateren (Scheltens, Hemker, & Vermeulen, 2013). Deelnemers aan het onderzoek zijn binnen het domein getallen en bewerkingen beter gaan presteren op vier onderwerpen: • Hoofdrekenen • Schattend rekenen • Getallen en getalsrelaties • Rekenen met de rekenmachine. Op het gebied van bewerkingen5 zijn de prestaties fors achteruit gegaan; op drie onderwerpen binnen hetzelfde domein gaan de prestaties bij elke peiling achteruit (Scheltens et al., 2013): • Optellen en aftrekken • Vermenigvuldigen en delen • Samengestelde bewerkingen

Domeinen TIMSS-onderzoek:

4

Domeinen PPON-onderzoek:

o Getallen en bewerkingen o Verhoudingen, breuken en procenten o Meten, meetkunde, tijd en geld o Verbanden

5

Onder bewerkingsopgaven worden contextuele en contextloze opgaven verstaan die niet uit het hoofd opgelost hoeven te worden. Er wordt van de leerling verwacht dat hij of zij de opgave oplost met behulp van een strategie op papier. Dat kan een algoritme zijn of alleen het noteren van tussenoplossingen (Schoot, 2008).

In de peilingen van 1997 en 2004 is aanvullend onderzoek gedaan naar oplossingsstrategieën (Van Putten & Hickendorff, 2006). Hieruit bleek dat

13


leerlingen steeds minder een aangeleerde strategie toepassen bij vermenigvuldiging- en deelsommen. Ze proberen andere strategieën uit of maken helemaal geen aantekeningen, waardoor ze meer fouten maken.

1.3 6 De commissie Meijerink, de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, is door het Ministerie van OCW in 2007 ingesteld.

Referentieniveaus in een doorlopende leerlijn De commissie Meijerink6 is ingesteld met de centrale vraag: “Wat moeten leerlingen van taal en rekenen kennen en kunnen?” Als algemeen advies formuleert de commissie Meijerink: ‘Referentieniveaus’ met beschrijvingen van kennis en vaardigheden die leraren houvast bieden voor het bepalen, volgen en stimuleren van de ontwikkeling van leerlingen. ‘Doorlopende Leerlijnen’ die ervoor zorgen dat het onderwijsresultaat van de ene sector naadloos aansluit op dat van de andere. Er zijn drie fundamentele referentieniveaus opgesteld, 1F, 2F en 3F, en drie streefniveaus, 1S, 2S en 3S, ter verdieping. De fundamentele niveaus richten zich op basale kennis en inzichten en zijn gericht op een toepassinggerichte benadering van rekenen. De streefniveaus bereiden al voor op de meer abstracte wiskunde en omvatten daarom niet per se de fundamentele niveaus, zoals is weergegeven in figuur 1.

Figuur 1 (Schmidt, Den Braber, Spel, & Gademan, 2011): De referentieniveaus en hun overlapping

7

De basis voor de opgaven op 1F niveau zijn opgaven die door 75% van de deelnemende groep 8 leerlingen in het nationale PPONonderzoek beheerst werden.

1.4

De in totaal zes niveaus beschrijven basiskennis en –vaardigheden welke leerlingen voor elk niveau moeten beheersen op vier domeinen binnen rekenen: • Getallen • Verhoudingen • Meten en meetkunde • Verbanden Zowel het fundamentele spoor als het streefspoor wordt gehanteerd in de doorlopende leerlijnen, maar de fundamentele niveaus zijn ingesteld als officiele drempels tussen onderwijsfasen. De eerste drempel bevindt zich aan het eind van het primair onderwijs met 1F als einddoel7. Daarna komt het burgerschapsniveau 2F op 16-jarige leeftijd, welke behaald moet zijn voor elk vmbo-diploma. Leerlingen op de havo of het vwo worden getoetst op 3F. Deze drempels gelden voor elke leerling, ook als diegene geen wiskunde in zijn of haar pakket heeft.

Invoering rekentoets De commissie Dijsselbloem deed onderzoek naar ‘onderwijsvernieuwingen sinds begin jaren negentig’. In hun rapport stelde de commissie dat de overheid vernieuwingen doordrukte zonder te luisteren naar docenten, ouders en leerlingen. De belangrijkste aanbeveling was dat de overheid het zou moeten hebben over het ‘wat’ in het onderwijs, en het onderwijs zelf over het ‘hoe’. Daarnaast pleitte de commissie voor een heldere omschrijving van onderwijsdoelen via leerstandaarden (Dijsselbloem, 2008). In het rapport wordt verwezen naar de commissie Meijerink die op dat moment al bezig is met het vaststellen van leerstandaarden, de referentieniveaus in een doorlopende leerlijn inclusief niveaudrempels voor Nederlandse taal en rekenen voor vrijwel alle sectoren in het onderwijs. Hoe leerlingen die referentieniveaus zich eigen maken is, naar het advies van de commissie Dijsselbloem, aan het onderwijs zelf. Toetsing Vanaf het schooljaar 2013/2014 is de rekentoets in het voortgezet onderwijs

14

Rekenen op het VO

verplicht, zodat het voor het vervolgonderwijs duidelijk is waar de leerlingen op deze basisvaardigheden staan. Hij zal gaan meetellen in de slaag- en zakregeling8 van het VO vanaf het schooljaar 2015/2016. Rekenen in het voortgezet onderwijs ‘Rekenen’ kwam tot voor kort niet voor op het lesrooster in het VO. Men ging ervan uit dat leerlingen leerden rekenen op de basisschool en dat onderhielden in de vakken op de middelbare school. Er werd weinig aandacht geschonken aan algemene rekenvaardigheden die nodig zijn voor functioneren in de maatschappij of voor doorstroom naar beroepsonderwijs of universiteit (Van Groenestijn, Van Dijken, & Janson, 2012). Er zijn in Nederland ver uiteenlopende aanpakken ontstaan om leerlingen de eisen in de referentieniveaus bij te brengen. Veel scholen worstelen nog steeds met de vormgeving van hun rekenonderwijs9.

1.5

Huidige rekentoets De inhoud van de rekentoets op het voortgezet onderwijs is de verantwoordelijkheid van het Cito. Zij baseren de opgaven op de referentieniveaus, maar de inhoud en ook de regelgeving omtrent de rekentoets zijn aan verandering onderhevig10. In 2013/2014 is de inhoud van de rekentoets een combinatie van 36 contextuele en 15 contextloze opgaven, welke zijn onderverdeeld in de vier domeinen (getallen, procenten en verhoudingen, verbanden en meten en meetkunde).

Definitie: Een contextuele rekenopgave bestaat uit bijvoorbeeld tekst/illustraties/foto’s/schema’s, waarbij de leerling zelf de vertaling moet maken naar de onderliggende kale rekenopgave, deze oplossen en eventueel de uitkomsten in termen van de context interpreteren (Schmidt et al., 2011). Niet bij alle contextuele opgaven in de rekentoets moet men daadwerkelijk rekenen. Het gaat ook om het interpreteren van gegevens uit tabellen, grafieken en diagrammen, interpretatie van getallen, redeneren en maateenheden gebruiken (SLO, 2011). Definitie: Onder een contextloze of kale opgave wordt elke opgave verstaan die betrekking heeft op onbenoemde getallen (SLO, 2011). In figuur 2 staan voorbeelden van een contextuele opgave uit het domein meten en meetkunde en een contextloze opgave uit het domein verhoudingen.

8

Rekenen is zelfs meegenomen in de kernvakkenregeling:

Geen 4-en en maximaal één 5 voor de vier kernvakken Nederlands, Engels, wiskunde en rekenen.

9

DUO marketresearch identificeerde in opdracht van onderwijsadviesbureau APS grofweg zes verschillende aanpakken in hun onderzoek naar modellen voor rekenonderwijs in het VO (Van Reeuwijk, Van Wijk, Duursma, & Vliegenthart, 2013): o Rekenen als extra vak, voor iedereen, in het rooster o Rekenen geheel in andere vakken (dan wiskunde) geïntegreerd o Afwachtend-we zien wel model; doen niets extra’s aan rekenen (vaak gymnasium) o Combinatie model; extra uur, bijspijkeren, in andere vakken, intensief en doordacht combinatie (mavo) o Rekenen alleen voor hen die het nodig hebben (zwakke rekenaars, remedial teaching) o Rekenen als onderdeel van wiskunde

10

Er is namelijk veel ophef in de onderwijswereld over de invoering van de rekentoets in het VO. Zowel leden van de commissie Meijerink als directies als docenten spreken zich negatief uit over de digitale rekentoets in de huidige vorm met betrekking tot inhoud en regelgeving. Dat de opgaven in de rekentoets niet eenduidig zouden zijn en geen rekenvaardigheden toetsen zijn bijvoorbeeld twee punten van kritiek op het inhoudelijke vlak.

Figuur 2 (Cito, voorbeeldtoets 2F, 2012): Een contextuele (boven) en contextloze (onder) opgave op 2F niveau

15


11

Bij handig rekenen wordt gebruik gemaakt van bijzondere eigenschapen van getallen en bewerkingen om tot de oplossing te komen. Een standaardalgoritme is daardoor niet noodzakelijk. Voorbeelden bij de bewerking vermenigvuldigen zijn ‘halveren en verdubbelen’ (8 x 12,5 = 4 x 25 = ...) en ‘één keer meer of één keer minder’ (9 x 79 = 10 x 79 – 1 x 79 = 790 – 79 = 711).

De rekentoets is digitaal en stelt een rekenmachine beschikbaar bij alle contextuele opgaven. De contextloze opgaven moeten zonder rekenmachine worden gemaakt, kladpapier is wel toegestaan. Alle contextloze opgaven kunnen door middel van handig rekenen11 worden opgelost. Er zijn meerkeuze opgaven en open opgaven waarbij alleen het eindantwoord ingevoerd kan worden. Het proces en de tussenstappen worden niet beoordeeld. Resultaten pilotrekentoets De behaalde scores van de pilottoets in maart 2013, waaraan landelijk nagenoeg alle scholen met grote aantallen leerlingen aan meededen, waren ver beneden het gewenste niveau. In de vijfde voortgangsrapportage over de invoering referentieniveaus taal en rekenen (Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap [OCW], 2013) staat: Bij vwo behaalde 22% een onvoldoende, bij havo was dit 72% en bij vmbo tussen de 77% (vmbo-basisberoepsgerichte leerweg) en 68% (vmbogemengde/theoretische leerweg). Het gaat hierbij in de meeste gevallen wel om leerlingen die in het voorlaatste jaar zitten: zij hebben dus nog een jaar onderwijs te gaan, waardoor hun resultaten nog kunnen verbeteren. (p. 7) Cito heeft een foutenanalyse gemaakt waaruit blijkt dat de meeste fouten worden gemaakt in het omrekenen van eenheden, afronden en door het overslaan van één of meerdere stappen (Cito, 2014a, 2014b).

1.6

Conclusie Als leerlingen in de toekomst de referentieniveaus beheersen, zou dat verandering kunnen brengen in de achteruitgang in specifieke rekenonderwerpen zoals meetkunde (geconstateerd in de internationale peilingen) en bewerkingen (geconstateerd in de nationale peilingen).

12

Onder bewerkingsopgaven worden contextuele en contextloze opgaven verstaan die niet uit het hoofd opgelost hoeven te worden. Er wordt van de leerling verwacht dat hij of zij de opgave oplost met behulp van een strategie op papier. Dat kan een algoritme zijn of alleen het noteren van tussenoplossingen.

16

De rekentoets toetst op dit moment echter niet allebei, want contextuele en contextloze bewerkingsopgaven12 komen zonder rekenmachine niet voor in de huidige rekentoets. Aangezien de resultaten bij de pilotrekentoets lager zijn dan verwacht, geven contextuele opgaven waarbij de rekenmachine wel is toegestaan ook problemen. Dat betekent dat er winst is te behalen op het oplossen van contextuele opgaven met en zonder rekenmachine. Daarnaast zijn de contextloze opgaven in de rekentoets wel alle zonder rekenmachine, maar op dit moment nog op te lossen met handig rekenen. Vanaf 2015 zullen ook contextloze bewerkingsopgaven opgenomen worden. Gezien de achteruitgang op dit vlak op de basisschool kan dit problemen gaan opleveren in de rekentoets op het voortgezet onderwijs.

Rekenen op het VO

2 Rekenonderwijs in Nederland De discussie over de landelijke rekenresultaten heeft de strijd aangewakkerd tussen aanhangers van het traditionele rekenonderwijs en het huidige realistische rekenonderwijs. Moddergooien wordt daarbij niet geschuwd en het debat werkt daardoor zeer polariserend. De kritiek naar beide kanten zorgt voor hervormingen, terwijl er wetenschappelijk geen uitsluitsel bestaat over de effectiviteit van een bepaalde rekendidactiek (KNAW, 2009). In dit hoofdstuk is de ontwikkeling van het rekenonderwijs in Nederland geschetst. 2.1

Rekenen in de 20e eeuw Toen in de jaren ’60 New Math als formele wiskundemethode uit Amerika door veel andere landen werd geadopteerd, slaagde de Wiskobasbeweging13 er in om deze invoering in Nederland te stoppen. Nadat Hans Freudenthal zich in 1970 bij deze beweging aansloot, ontwikkelde Wiskobas een alternatief voor zowel de New Math als voor het traditionele rekenonderwijs in Nederland. Dit alternatief was het realistische rekenonderwijs (Treffers & Van den Heuvel-Panhuizen, 2009).

13

Wiskobas (wiskunde op de basisschool) was een project voor onderwijsvernieuwing in het basisonderwijs dat actief was tussen ongeveer 1965 en 1985.

Rekenen wordt daarbij geplaatst in een realistische context, waarbij leerlingen hun eigen oplossingsstrategie ontwikkelen en daar samen op reflecteren (Willems, Visser, & Verbeeck, 2011). Met de term ‘realistisch’ wordt niet zozeer bedoeld dat de opgaven gaan over het dagelijkse leven, maar vooral dat de nadruk ligt op het aanbieden van probleemsituaties die leerlingen kunnen herkennen en als zinvol kunnen zien (Prenger, 2001). Dat kunnen ook wiskundige modellen zijn zoals de getallenlijn. Sinds ongeveer 30 jaar wordt er op de basisschool steeds meer, en tot een paar jaar geleden uitsluitend, realistisch rekenen gegeven, waarbij de vaardigheid gecijferdheid14 ontwikkeld dient te worden (Oonk, Van Zanten, & Keijzer, 2007). De term gecijferdheid omvat rekenvaardigheid en ook de vaardigheden om met getallen in verschillende contexten van het dagelijks leven om te gaan en te kunnen reflecteren op eigen wiskundig vermogen (Oonk et al., 2007). Voor de realistische methode het rekenen op de basisschool overnam werd er tot in de jaren ’70 traditioneel gerekend. De uitgangspunten van de ‘traditionele methode’ stonden echter niet vast. Zij zijn pas ontstaan uit beschrijvingen die tegenstanders van de realistische methode geven. Voor de realistische methode bestond er namelijk niet iets als een Nederlandse rekendidactiek, er was geen sprake van een uitgewerkte theorie of een geëxpliciteerde visie (KNAW, 2009). Door het polariserende maatschappelijke debat15 over de twee rekendidactieken is er een ongenuanceerde beschrijving

14

Dat alleen rekenvaardigheid niet meer voldoende was kwam door het nadenken over de gebruikswaarde van rekenenwiskunde in de maatschappij. Moderne maatschappelijke situaties vragen om andere wiskunde; het is in deze tijd met machines die het rekenwerk kunnen doen namelijk belangrijker om de uitkomsten goed te interpreteren. Rekenvaardigheid is daarbij wel belangrijk om inzicht te verwerven, maar routineklussen kunnen worden overgelaten aan machines, vandaar dat gecijferdheid gezien kan worden als ‘rekenvaardigheid plus’ (Oonk et al., 2007).

17


van het ‘traditionele rekenen’ ontstaan. De methode wordt ook wel mechanistisch rekenen of cijferend rekenen genoemd. Volgens de aanhangers van deze zogenaamde traditionele methode reikt de leraar een efficiënte standaardmethode aan om een probleem op te lossen, waarna kinderen dat algoritme intensief en veelvuldig gaan oefenen tot ze dit beheersen (Willems et al., 2011). Contexten worden alleen ter introductie van een nieuw fenomeen gebruikt. 15 Als voorbeeld van het verschil tussen de twee methodes is hier één van de grote strijdpunten in de discussie uitgelicht die gaat over de strategieën waarmee bewerkingen uitgevoerd worden. Aanhangers van de realistische methode vinden het traditionele cijferen van rechts naar links niet inzichtelijk, terwijl aanhangers van de traditionele methode het kolomsgewijs rekenen van de realistische methode geen universeel instrument vinden. Hieronder twee kale rekenopgaven die op ‘de traditionele’ en ‘een realistische’ manier worden uitgerekend.

Traditioneel

Realistisch

704

Traditioneel

10 x 704 = 7040

23 x 2112

32/736\23

Realistisch 736 : 32 = 23

10 x 704 = 7040

64

320 -

3 x 704 = 2112 +

96

416

96

320 -

10 x

0

96 96 0

3x

1408 +

16192

16192

2.2

10 x

Huidig rekenonderwijs Nu de overtuiging heerst, op basis van de peilingsonderzoeken, dat de basisrekenvaardigheden achteruitgaan, wint de traditionele methode weer terrein. Uit onderzoek blijkt dat zwakke rekenaars meer baat hebben bij een sturende didactiek dan bij een realistische waarbij de docent geen strategie hanteert die altijd toegepast kan worden (Timmermans, 2005; Treffers & Van den Heuvel-Panhuizen, 2009). Bij realistisch rekenen wordt op een gegeven moment verwacht dat een leerling een arsenaal aan handige trucjes heeft waaruit hij of zij zelf de keuze kan maken afhankelijk van de type som. Het overgrote deel van de opgaven in realistische rekenmethodes zijn namelijk handig op te lossen (Van de Craats, 2007). Maar er is wellicht inzicht voor nodig om te weten welke truc wanneer toegepast kan worden, en dat is mogelijk niet voor elke leerling weggelegd.

16

Deelnemers aan het PPONonderzoek zijn binnen het domein ‘getallen en bewerkingen’ beter gaan presteren op vier onderwerpen: o Hoofdrekenen o Schattend rekenen o Getallen en getalsrelaties o Rekenen met de rekenmachine En slechter op: o Optellen en aftrekken o Vermenigvuldigen en delen o Samengestelde bewerkingen

18

Evenwichtig rekenen In paragraaf 1.2 kwam naar voren dat er naast rekenonderwerpen waar basisschoolleerlingen slechter op presteerden door de jaren heen, er ook een aantal waren waar ze juist beter op presteerden16. De onderwerpen waarbij de scores omhoog gingen passen goed bij het realistische onderwijs en de slechter scorende onderwerpen krijgen de aandacht bij het traditionele rekenonderwijs. Het KNAW concludeert in 2009 dat de waarheid in het midden ligt (Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen [KNAW], 2009). Onder aanmoediging van OCW deed een commissie onder leiding van Lenstra onderzoek naar de inmiddels maatschappelijke discussie over het rekenonderwijs op de basisschool. Ze constateren namelijk dat de wetenschappelijke kennis over de effectiviteit van rekendidactieken beperkt is.

Rekenen op het VO

Relevante data ontbreken grotendeels om een uitspraak over de relatie tussen rekendidactiek en rekenvaardigheid te kunnen doen (KNAW, 2009). Naar aanleiding van de kritiek op het monopolie van de realistische methode, pasten veel uitgevers in de jaren na 2010 hun rekenmethodes aan. Als kenmerken van de traditionele methode werd extra oefenmateriaal toegevoegd en er werden eenduidige oplossingsstrategieën voor zwakke rekenaars aangeboden. De basis van de methodes bleven echter ongewijzigd op de realistische grondslag17. Invloed docent Binnen een bepaalde rekendidactiek bestaan vaak grotere verschillen in leerlingprestaties dan tussen de verschillende rekendidactieken. De specifieke uitwerking van de didactiek en de interactie tussen leraar en leerling spelen een grotere rol dan de algemene rekendidactische principes (KNAW, 2009). De slechte prestaties van PABO-studenten (Straetmans & Eggen, 2005) op het gebied van rekenen zouden daardoor negatief bijgedragen kunnen hebben aan de rekenprestaties van basisschoolleerlingen. Dat leraren grote invloed hebben op het doorvoeren van traditionele of realistische kenmerken, blijkt uit de gegevens van PPON-2004. Hickendorff (2013a) constateert dat de percentages leerlingen die de traditionele methode gebruiken, grofweg overeen komen met de percentages docenten die uitsluitend de traditionele methode aanbieden18.

17

Malmberg promoot haar twee evenwichtige rekenmethodes als de ultieme combinatie tussen de twee rivaliserende methoden: Bij goed rekenonderwijs is er aandacht voor het verwerven van inzicht: ‘je realiseren wat je doet’ en voor het oefenen van vaardigheden. (Malmberg, para. 2) Onze methodes houden rekening met de eisen van deze tijd. Er is veel meer plaats voor oefenen, herhalen en automatiseren. Tegelijkertijd hebben we de goede dingen van het realistische rekenen behouden, zoals het werken met modellen als de getallenlijn en de verhoudingstabel. (Malmberg, para. 3)

18

2.3

Conclusie Nederlanders leren rekenen op de basisschool, maar in hoeverre dat realistische of traditionele kenmerken heeft en hoe goed dat rekenonderwijs is, hangt sterk af van hun leraar. Daarnaast is het rekenonderwijs in het voortgezet onderwijs nieuw, waardoor de docent zijn of haar eerste houvast zal zoeken in het rekenonderwijs wat hij of zij zelf op de basisschool heeft gehad. Dit zal niet in alle gevallen aansluiten bij wat de leerlingen tegenwoordig kunnen en weten.

Percentages leerlingen en docenten die de traditionele strategie respectievelijk inzetten en instrueren (uit PPON-2004): o Optellen: 69% en 69% o Aftrekken: 74% en 72% o Vermenigvuldigen: 51% en 57% o Delen: 15% en 17%

Hoe goed leerlingen rekenen zou kunnen afhangen van de gekozen didactische methode, maar daar is nog geen wetenschappelijk argument voor gevonden. Rekenzwakke leerlingen lijken wel minder gebaat bij een vrije vorm van instructie en hebben meer behoefte aan een sturende rol van de leraar.

19


3 Johan de Witt Scholengroep De Johan de Witt Scholengroep belandde in 2013 op drie lijsten van Dronkers waarin hij de beste scholen uit achterstandswijken op een rij zette (Dronkers, 2013). Deze school die krap drie jaar bestaat, zet hoog in op op de kernvakken. Hoe ze dat doen met betrekking tot rekenen, is te lezen in dit hoofdstuk. 3.1

19

De verschillende opleidingen op het Johan de Witt:

o Vwo o Havo o Vmbo theoretische leerweg

(vmbo-t) o Vmbo kaderberoepsgerichte

leerweg (vmbo-kbl) o Vmbo basisberoepsgerichte

leerweg (vmbo-bbl)

De Johan de Witt Scholengroep is een instelling voor openbaar voortgezet onderwijs met een groot scala aan opleidingen verspreid over drie locaties in de stadsdelen Centrum en Laak19. Op het Johan de Witt (JdW) staat het onderwijs in de kernvakken centraal. Ongeveer 80% van de leerlingen zit op het vmbo en ongeveer 40% van alle leerlingen komt met een algemene achterstand van anderhalf jaar binnen. 48% Van de leerlingen op de hoofdlocatie Zusterstraat heeft bij binnenkomst twee of meer jaren rekenachterstand, daarnaast komt nog eens 33% met een jaar rekenachterstand binnen. Dat betekent dat 81% van het aantal leerlingen dat in de eerste klas zit, nog niet het referentieniveau 1F van rekenen beheerst. De locaties bevinden zich alle drie in achterstandswijken, wat deels de rekenachterstanden kan verklaren. Het niveau van het rekenen op scholen blijkt namelijk deels af te hangen van de achtergrond van leerlingen (Inspectie van het onderwijs, 2008).

o Praktijkonderwijs (pro) o Entree-onderwijs (AKA) o Onderwijs aan nieuwkomers

3.2 20

Het Johan de Witt

In een gesprek over het rekenonderwijs op het JdW met twee medewerkers van het steunpunt taal en rekenen komt naar voren dat het JdW een voorloper is op het gebied van rekenonderwijs in het voortgezet onderwijs.

Rekenbeleid Rekenen is op het Johan de Witt als regulier vak ingesteld met een vaksectie bestaande uit economie-, wiskunde- en basisschooldocenten. Alle leerlingen krijgen van deze docenten klassikaal een aantal uren rekenen per week. De voortgang wordt diagnostisch getoetst met digitale rekentoetsen. Bij grote achterstand wordt geadviseerd extra rekenen te volgen op de zaterdagschool en tijdens schoolvakanties. Rekenen telt namelijk net als alle andere vakken mee voor de overgang20. Didactiek De rekenlessen zijn ingericht om gedifferentieerd les te kunnen geven. De rekendocent is de eigenaar van de gegevens over de leerlingen en past bijvoorbeeld na elke toets het overzicht met referentieniveaus van de leerlingen aan, zodat ze precies weten waar ze staan. De leerling krijgt les op een passend niveau uit de boeken die bij dat niveau horen. Dat betekent dat niet de hele klas uit hetzelfde boek werkt. Ook het niveau van de rekentoetsen wordt voor elke leerling individueel bepaald. Er zijn (nog) geen schoolbrede vakdidactische afspraken met betrekking tot rekenen ingevoerd. Het is aan de docenten om te kiezen hoe ze bepaalde onderwerpen aanbieden, daarin kunnen ze gebruik maken van de ondersteunende middelen van de lesmethoden.

20

Rekenen op het VO

Toetsing Het niveau van een leerling wordt objectief vastgesteld met methode- en docent-onafhankelijke digitale toetsen van Bureau ICE21. Al hun rekentoetsen staan klaar in de webbased toetsenbank TOA. Deze zijn geijkt op de referentieniveaus en hebben dezelfde cesuur als de landelijke rekentoetsen. Er is een ruime keuze aan toetsen om elke leerling op zijn of haar niveau te bedienen. Zo zijn er 1F toetsen voor leerlingen die dat niveau nog moeten behalen en domeintoetsen voor elk van de vier rekendomeinen op elk referentieniveau. Maar ook bijvoorbeeld 1F-2F toetsen, waarvan de helft van de opgaven op 1F niveau is en de andere helft op 2F niveau. Van elke toets zijn drie versies, die elk jaar worden vernieuwd. De toetsen, antwoorden, resultaten, en beoordelingen zijn alleen in te zien voor docenten van het JdW met toegang.

3.3

21

Bureau ICE is een onafhankelijke aanbieder van toetsen aan basisonderwijs, voortgezet onderwijs, beroepsonderwijs, hoger onderwijs, NT2-onderwijs (Nederlands als tweede taal onderwijs) en bedrijfsleven.

Rekenresultaten Het JdW heeft in het schooljaar 2012/2013 met alle voorexamenklassen meegedaan aan de pilotrekentoets. De deelnemende leerlingen konden een vrijstelling voor de rekentoets in hun examenjaar verdienen als ze een voldoende zouden halen. Belangrijker voor school was het diagnostisch vermogen van de pilot. De scores die werden behaald waren op de havo slechter, en op het vmbo iets beter dan de landelijke resultaten. 76% van de havo leerlingen haalde een onvoldoende en bij het vmbo was dit 62% (vmbo-bbl 63%, vmbo-kbl 73%, vmbo-t 52%)22. TOA resultaten Van de leerlingen die vanaf de basisschool instromen zijn de eerste resultaten ook niet veelbelovend. Zo beheerste slechts 17% van de vmbo-bbl en vmbokbl leerlingen aan het eind van schooljaar 2012/2013 het referentieniveau 1F, Terwijl ze een jaar lang twee uur in de week rekenles hebben gehad op het JdW en elke leerling dat niveau aan het eind van groep 8 had moeten beheersen.

22

Resultaten landelijke rekentoets: bij de havo haalde 72% de pilotrekentoets niet. Bij het vmbo was dit tussen de 77% (vmbo-bbl) en 68% (vmbo-t/vmbo-gl leerweg).

In een jaar tijd is een grote vooruitgang geboekt. Van diezelfde leerlingen hebben in de tweede klas 79% van de vmbo-bbl en 91% van de vmbo-kbl leerlingen wel 1F behaald. Ook de instroom doet het een stuk beter dan vorig jaar; 56% van de vmbo-bbl leerlingen, en zelfs 95% van de vmbo-kbl leerlingen, heeft in de eerste klas in maart al 1F behaald. Wellicht dat deze positieve ontwikkelingen door de groeiende landelijke aandacht voor rekenen komen.

3.4

Conclusie Het Johan de Witt stopt als organisatie veel tijd in het realiseren van het rekenbeleid. Ten gevolge daarvan stoppen ook alle leerlingen veel tijd in het verbeteren van hun rekenvaardigheden. Dit blijkt ook uit de resultaten in schooljaar 2013/2014. Echter, dit zijn enkel resultaten op een beperkt aantal vaardigheden. Dat komt doordat de nationale rekentoets, en daarom ook de toetsen in TOA, bijvoorbeeld geen vaardigheid omtrent bewerkingen toetst. Dit gaat in de toekomst wel gebeuren. Het is voor het JdW interessant om te weten wat de problemen zijn waar hun leerlingen tegen aanlopen bij het maken van rekenopgaven. Op basis van de resultaten uit dit onderzoek kunnen zij gegronde aanpassingen maken

21


binnen hun rekenbeleid en didactiek om die problemen aan te pakken. Want zoals in paragraaf 2.2 naar voren kwam, heeft de instructie van de docent grote invloed op de rekenvaardigheid van leerlingen. Aangezien op didactisch vlak nog geen schoolbrede afspraken bestaan, valt hier veel winst te behalen.

22

Rekenen op het VO

4 Theoretisch kader De discussie over rekendidactiek is oud, maar, nu ook het voortgezet onderwijs en vervolgonderwijs er bij zijn betrokken, zeer relevant. Zowel op contextuele als contextloze bewerkingsopgaven is veel winst te behalen. Voor het Johan de Witt is het interessant om te weten waar hun leerlingen tegen aanlopen bij dit soort rekenopgaven, zodat ze daar op kunnen inspelen. 4.1

Onderzoeksvraag In paragraaf 1.2 kwam naar voren dat de rekenprestaties van Nederlandse leerlingen in het PO en VO volgens internationale en nationale peilingsonderzoeken achteruit gaan. Hoewel er twijfels bestaan over interpretatie dat internationale prestaties achteruitgaan (bijlage 1) en er op bepaalde gebieden juist vooruitgang is, is er een duidelijke achteruitgang op het gebied van contextuele en contextloze bewerkingsopgaven te constateren op basis van het nationale onderzoek. De slechte resultaten van de pilottoets, waarbij het overgrote deel uit contextuele opgaven bestaat waarbij het gebruik van de rekenmachine is toegestaan, wijzen er op dat ook op dit vlak verbetering mogelijk is. Omdat de resultaten van het Johan de Witt bij de pilotrekentoets vergelijkbaar waren met de landelijke, en de docent een sturende rol heeft in hoe leerlingen rekenen, is het JdW geïnteresseerd in wat de problemen zijn van hun leerlingen bij opgaven in de rekentoets. De onderzoeksvraag van dit onderzoek heeft daarom betrekking op contextuele en contextloze opgaven: Welke elementen met betrekking tot contextuele en contextloze bewerkingsopgaven hebben effect op de rekenprestaties van leerlingen in de onderbouw van de Johan de Witt Scholengroep? De volgende elementen worden daarvoor onderzocht: (1) Tekst (2) Struikelwoorden (3) Strategiegebruik De volgende paragrafen gaan dieper in op deze drie elementen, waarbij de bijbehorende deelvragen worden geformuleerd.

4.2

Tekst De heerschappij van het realistische rekenen, hoe dat ook door de basisschooldocent daadwerkelijk is ingevuld, geeft aanleiding tot de verwachting dat contextuele opgaven voor Nederlandse leerlingen bekend terrein zijn23. Gezien de resultaten op de pilotrekentoets, waarin 48 van de 60 opgaven contextueel waren, hadden Nederlandse leerlingen desondanks toch veel moeite met contextuele opgaven.

23

Naast wiskundige schema’s, welke betekenisvolle contexten kunnen zijn volgens de realistische methode, komen ook praktische contexten veel voor op de basisschool.

23


In figuur 3 staan de stappen die doorlopen worden bij het oplossen van een probleem met behulp van wiskunde. In rekenopgaven gaat het om de stappen binnen de rechthoek. De werkelijkheid wordt versimpeld aangeboden in de vorm van een realistisch probleem (Stacey, 2012).

Figuur 3: Oplossen van een probleem met behulp van wiskunde

Niet alleen vanwege de rekenresultaten, maar ook vanwege de taalachterstanden waarmee de meeste leerlingen binnen komen op het JdW, heerst het idee op het JdW dat in de vertaling van context naar het wiskundig probleem, horizontaal mathematiseren, het grootste obstakel zit. Dit idee wordt bevestigd door het protocol voor ernstige rekenwiskundeproblemen en dyscalculie voor het primair onderwijs en anderen (Van Groenestijn, Borghouts, & Janssen, 2011; Kintsch & Greeno, 1985). 24

Zoals bijvoorbeeld in het onderzoek van Hudson (1983), waarbij op de eerste vraag 25% en op de tweede vraag 96% van de 6jarige leerlingen in het onderzoek het juiste antwoord konden geven. o

o

Hier zijn 5 vogels en 3 wormen. Hoeveel vogels zijn er meer dan wormen? Hier zijn 5 vogels en 3 wormen. Hoeveel vogels krijgen geen worm?

25

Uit de literatuur komen verscheidene tekstuele elementen naar voren die in contextuele of puur tekstuele opgaven voor obstakels zorgen (Albedi & Lord, 2001; Cummins, Kintsch, Reusser en Weimer, 1988; De Corte, Verschaffel, & De Win, 1985; Riley, Greeno, & Heller, 1983; Stern & Lehrndorfer, 1992). In veel van deze onderzoeken probeert men door herformuleren van rekenopgaven tekstuele obstakels te constateren. Er wordt daarbij naar elementen binnen de tekst gekeken en niet naar tekst als element zelf24. Bij het kijken naar tekst zelf komt bijvoorbeeld naar voren dat doordat de vertaling van werkelijk probleem naar realistisch probleem al voor de leerlingen is gemaakt in rekentoetsen, schijnbaar vanzelfsprekende onderstellingen niet uitdrukkelijk in de tekst van de opgave worden vermeld en de context vrij is voor interpretatie (Ter Heege, 2010):

Het woord samen in de volgende opgave geeft aanleiding tot de bewerking optellen:

Kale opgave: 10 – 6 = ...? Antwoord: 4 Tekstuele opgave: Als jullie met 10 kinderen op school zijn en 6 kinderen

“Jan heeft 2 knikkers en Eva heeft 8 knikkers. Hoeveel knikkers hebben ze samen?”

krijgen de mazelen, hoeveel komen dan op school? Een mogelijk antwoord: Geen, want de anderen zouden bang zijn voor de mazelen en thuisblijven.

26

Met de term ‘realistisch’ wordt niet zozeer bedoeld dat de opgaven gaan over het dagelijkse leven, maar vooral dat de nadruk ligt op het aanbieden van probleemsituaties die leerlingen kunnen herkennen en als zinvol kunnen zien (Prenger, 2001)

24

Daarnaast sporen opgaven met een uiterst beknopte context überhaupt minimaal aan tot horizontaal mathematiseren. De logisch mathematische relatie tussen de bekende getallen en het onbekende getal dat de oplossing geeft, wordt vaak aangegeven met standaardwoorden en zinsconstructies (De Corte & Verschaffel, 1982)25. De Lange (zoals geciteerd in Gravemeijer, 2005) noemt ze ook wel ‘dressed-up problems’. Hedendaags basisschoolonderwijs heeft nog steeds veel van dit soort sommen, ondanks de bedoelde insteek van het realistische rekenen26. Leerlingen hebben daardoor geleerd te redeneren in

Rekenen op het VO 27

wat De Corte en Verschaffel (1982) de ‘rare wereld van de schoolvraagstukjes’ noemen. Dit levert antwoorden op waardoor er getwijfeld kan worden aan de mate waarmee dit soort opgaven aanzetten tot wiskundig denken27. Cummins et al. (1988) keken ook naar tekst als element zelf en stelden vast dat beknopte tekstuele opgaven moeilijker zijn dan kale opgaven en dat dit verschil inderdaad voortkomt uit onbegrip van de probleemsituatie. Hickendorff (2013a) stelde echter op basis van de resultaten in haar promotieonderzoek dat bij groep 8 leerlingen een beknopte context alleen de moeilijkheid vergroot bij problemen met de bewerking delen en niet bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Rekenopgaven in het voortgezet onderwijs bestaan veelal uit meer dan één bewerking met soms complexe illustraties, maar er zijn geen artikelen gevonden over het element context op dit hogere niveau en leerlingen op het voortgezet onderwijs. Omdat de hierbij benodigde vaardigheid, horizontaal mathematiseren, in het voortgezet onderwijs onvoldoende aandacht krijgt (Van den Boer, 2003), is het interessant of leerlingen op het JdW problemen ondervinden van context. Aangezien tekst en illustraties28 twee verschillende elementen zijn, en ze vanwege de omvang van dit onderzoek niet allebei onderzocht kunnen worden, is er voor gekozen om alleen het element tekst te onderzoeken bij leerlingen op het JdW met behulp van twee deelvragen in hoofdstuk 5: (1a)

Zijn de scores op tekstuele rekenopgaven waarbij één bewerking geïdentificeerd en uitgevoerd moet worden lager dan op tekstloze rekenopgaven waarbij één bewerking uitgevoerd moet worden?

(1b)

Zijn de scores op tekstuele rekenopgaven waarbij twee bewerkingen geïdentificeerd en uitgevoerd moeten worden lager dan op tekstloze rekenopgaven waarbij twee bewerkingen uitgevoerd moeten worden?

Vanwege de resultaten bij de pilotrekentoets wordt verwacht dat scores op tekstuele opgaven lager zijn dan op corresponderende tekstloze opgaven. De verwachting is dat bij opgaven met meer dan twee getallen en meer dan één bewerking het horizontaal mathematiseren moeilijker wordt dan bij opgaven met één bewerking. Waardoor bij dit soort opgaven het verschil in scores tussen tekstuele opgaven en de corresponderende tekstloze opgaven waarschijnlijk groter wordt.

4.3

Struikelwoorden Van Groenestijn et al. (2011) en Van Eerde (2009) zeggen dat door de achterstand in taal aandacht voor de vaardigheid begrijpend lezen en kennis van de vak- en schooltaal essentieel is om überhaupt te begrijpen wat er staat. En inderdaad, uit een onderzoek van Hickendorff (2013b) blijkt dat het element taal een grotere invloed heeft op de vaardigheid probleem oplossen bij contextuele rekenopgaven dan bij kale rekenopgaven. Vooral voor allochtone leerlingen zijn taalvaardigheden onmisbaar voor het oplossen van contextuele opgaven (Van den Boer, 2003). Prenger (2005) onderscheidt drie niveaus waarop er naar taal binnen rekenopgaven gekeken kan worden: • Microniveau: woorden • Mmesoniveau: verbindingen binnen en tussen zinnen • Macroniveau: de hele tekst

Als voorbeeld een vraag die een Frans onderzoeksteam uit Grenoble (zoals geciteerd in Treffers & De Goeij, 2006) in 1980 aan 97 leerlingen stelde:

“Op een boot bevinden zich 26 schapen en 10 geiten. Hoe oud is de kapitein?” 76 van de 97 leerlingen aan het einde van de basisschool gaven als antwoord 36 (26 + 10). Dit komt niet altijd doordat leerlingen lukraak een bewerking op de getallen loslaten, sommige proberen er met wat fantasie een kloppende werkelijke situatie van te maken. Bijvoorbeeld door zo te redeneren: “Als men jarig is dan

krijgt men bijvoorbeeld 30 rozen of zo. Nou, de kapitein heeft 36 dieren gekregen.” (Spiegel & Selter, zoals geciteerd in Treffers & De Goeij, 2006) Als leerlingen vooraf de aanwijzing krijgen dat niet alle vraagstukken zijn op te lossen, proberen veel minder leerlingen een oplossing te vinden, maar stellen ze eerder vast dat de opgave niet gemaakt kan worden (Stern, zoals geciteerd in Treffers & De Goeij, 2006). 28 Berends en Van Lieshout (2009) kijken zowel naar elementen binnen de illustratie als de illustratie zelf als mogelijk obstakel in contextuele rekenopgaven. Zij concluderen dat illustraties in het algemeen en vooral met essentiële informatie, een grote invloed hebben op het beschikbare werkgeheugen van een leerling om de som op te lossen, waardoor de scores omlaag gaan. Van Groenestijn et al. (2011) stellen echter dat voor rekenzwakke leerlingen meer illustraties in plaats van tekst een uitkomst bieden. Uit een grootschalig onderzoek onder meer dan 31 000 leerlingen van de basisschool, middelbare school en het mbo kwam ook naar voren dat geïllustreerde contextuele rekenopgaven hogere aantallen goede antwoorden hadden dan corresponderende tekstuele opgaven (Hoogland, Bakker, De Koning, & Gravemeijer, 2012).

25


De resultaten in Prengers (2005) onderzoek laten laten zien dat er geen verschil is tussen autochtone en allochtone leerlingen in schools tekstbegrip. Dit is volgens Prenger te verklaren doordat

29 De meerderheid van de leerlingen in Van Eerde’s (2009) onderzoek antwoorden met het foutieve ‘de Kameleon’ bij de volgende opgave:

“Bij welke school is de toename van het aantal leerlingen het grootst?” (p.21). Aantal leerlingen De Kameleon Het Anker De Oversteek Sancta Maria

1996

1997

338 182 220 203

273 180 270 227

Dat dit aan een gebrek in woordenschat kan liggen, komt naar voren bij een interview met een leerling over deze opgave: “Soms vergeet ik het. Maar bij deze vraag is het makkelijk, want je hoort al ‘het grootst’. Dan hoef je eigenlijk niet naar toename te kijken. Dan moet je kijken bij welke school is het grootst. Dus toename kun je eigenlijk weglaten en dan kun je het gewoon uitrekenen” (Van Eerde, 2009, p.21).

30

Voorbeelden van potentiële struikelwoorden:

o Laagfrequente dagelijkse woorden: aanboren, fraude, garde o Schooltaalwoorden: categorie, vervoeren, aanbieding o Vaktaalwoorden: percentage, plattegrond, schaal

allochtone leerlingen zich bij algemene schoolteksten redden door op macroniveau compensatiestrategieën toe te passen, zoals de betekenis van onbekende woorden afleiden uit de rest van de tekst. Bij wiskundig tekstbegrip blijken de allochtone leerlingen echter wel een achterstand te hebben. Prenger vermoedt dat dit door de beknoptheid van de wiskundeteksten komt; hierdoor kunnen compensatiestrategieën niet worden toegepast. Allochtone leerlingen kunnen daarom het meest gehinderd worden door hun geringere woordenschat29. Prenger concludeert zelfs dat woordenschat, ook voor autochtone leerlingen, een voorspellende factor is voor tekstbegrip bij wiskunde. Potentiële struikelwoorden zijn volgens Prenger (2005) op te delen in drie groepen: • Dagelijkse woorden: woorden uit de context van het leven van alledag. Vaak zijn de hoogfrequente dagelijkse woorden wel bij de leerlingen bekend, hoewel ze niet alle betekenissen van zo’n woord beheersen. Leerlingen kunnen problemen hebben met bijvoorbeeld onbekende laagfrequente dagelijkse woorden, laagfrequente synoniemen voor een bekend woord, beeldspraak of verbindings- en verwijswoorden (Hajer en Meestringa, 1995) • Schooltaalwoorden: woorden die specifiek zijn voor schoolboeken en die in de interactie in de klas veel gebruikt worden. Dit zijn vaak abstracte begrippen en instructiewoorden (hajer en Meestringa, 1995) • Vaktaalwoorden (wiskundewoorden): woorden die alleen in de context van een schoolvak, in dit geval de wiskunde, gebruikt worden. Deze woorden zijn vaak lastig door hun wetenschappelijk perspectief, maar ook omdat ze in het dagelijks leven vaak een andere betekenis hebben dan in het vak, de wiskunde. Als vaktermen uit moeilijke samenstellingen bestaan kunnen ze voor leerlingen lastig zijn (Hajer en Meestringa, 1995). (pp. 38-39)30 Het verschil in woordenschat tussen allochtone en autochtone leerlingen zal waarschijnlijk te maken hebben met hun verschillende thuistalen. Het is daarom interessant om te onderzoeken of leerlingen van het JdW met een verschillende thuistaal een verschillend effect ondervinden van het element struikelwoorden. De deelvraag die hierbij hoort is: (2)

Gaan de scores van anderstaligen achteruit ten opzichte van de scores van Nederlandstaligen naarmate rekenopgaven meer struikelwoorden bevatten?

Het deelonderzoek over struikelwoorden staat in hoofdstuk 6. Naast het eventuele probleem met tekst in het algemeen wat in hoofdstuk 5 is onderzocht, wordt verwacht dat naarmate er meer struikelwoorden in een rekenopgave zitten, de scores vooral voor anderstaligen omlaag gaan.

4.4

Strategiegebruik De verwerking van het wiskundige probleem dat na het horizontale mathematiseren ontstaat heet verticaal mathematiseren (Freudenthal, zoals geciteerd in Gravemeijer, 2005). Verticaal mathematiseren is volgens Ter Heege (2008) tweeledig, enerzijds kan er binnen de wiskunde

26

Rekenen op het VO

gemathematiseerd worden, van bijvoorbeeld een schematisch plaatje naar een bewerking, en anderzijds het daadwerkelijk uitvoeren van die bewerking31. In figuur 4 zijn de meest voorkomende geschreven strategieën (Hickendorff, Heiser, Van Putten, & Verhelst, 2009), naast hoofdrekenen voor de hoofdbewerking optellen op een rijtje gezet. Die van aftrekken, vermenigvuldigen en delen staan in bijlage 232.

31 Er is sprake van binnen de wiskunde verticaal mathematiseren

wanneer een leerling bijvoorbeeld bedenkt dat je 84 – 29 handig kunt uitrekenen door de som om te schrijven naar 84 – 30 + 1. Waarna de daadwerkelijke bewerkingen als tweede deel van verticaal mathematiseren nog uitgevoerd dient te worden.

32 De drie meest gebruikte strategieën bij optellen zijn cijferen, kolomsgewijs en hoofdrekenen, aftrekken en vermenigvuldigen. Bij delen is dat staartdelen, hapdelen en hoofdrekenen. In bijlage 2 staan voorbeelden.

Figuur 4: De meest gebruikte strategieën voor optellen

Per hoofdbewerking is er één traditionele strategie, maar er zijn meerdere realistische strategieën. De realistische methode heeft namelijk de filosofie dat leerlingen hun eigen oplossingsstrategie ontwikkelen en daar samen op reflecteren (Willems, Visser, & Verbeeck, 2011). Er worden wel volgens sommigen ‘inzichtelijkere’ strategieën aangereikt, de kolomsgewijze voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en de hapdeling voor delen. Maar voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen is de kolomsgewijze strategie oorspronkelijk bedoeld als tussenstation met als eindstation de traditionele methode (Treffers & De Moor, 1990), zie bijlage 3 voor de bedoelde transitie. Omdat in de praktijk veel leerlingen niet tot aan het laatste rekenboek komen voor ze de basisschool verlaten, en de diverse rekenmethodes andere aanpakken en planning hebben is voor sommige leerlingen de kolomsgewijze het eindstation. Harskamp (2007) noemt enkele onderzoeken waarin de traditionele strategie als meest effectief wordt bestempeld, maar ook enkele waarin juist de kolomsgewijze strategie van de realistische rekenmethode als beste uit de bus komt. Hij sluit zich aan bij de conclusie van het KNAW (2009) die stelde dat er niet genoeg onderzoek is om een gegronde uitspraak te doen over of de traditionele of realistische rekendidactiek tot de beste resultaten leidt. Er mag dan geen uitsluitsel zijn over welke rekendidactiek tot de beste resultaten in het algemeen leidt, er zijn wel aanwijzingen dat de traditionele strategieën bij bewerkingsopgaven het meest effectief is. Naast het feit dat de accuraatheid binnen elk van de drie meest gebruikte strategieën om de bewerkingen uit te voeren überhaupt is gedaald (Hickendorff et al., 2009), wijt Hickendorff (2011) de achteruitgang op bewerkingen namelijk aan een verschuiving in gebruik van traditioneel naar zowel realistische (vermenigvuldigen en delen) als hoofdrekenstrategieën (delen) tussen PPON1997 en PPON-200433. Uit ander onderzoek naar de gebruikte strategieën binnen PPON-1997 komt ook naar voren dat de strategieën waarbij niets wordt opgeschreven een grote bijdrage leveren aan de tegenvallende prestaties bij bijvoorbeeld de bewerking delen (Rademakers, 2004). Uit recenter onderzoek is bekend dat \

33 Zelfs bij een typische ‘handig rekenen’-opgave 99 х 99, blijkt dat de traditionele aanpak de meest succesvolle strategie was om de opgave op te lossen. Slechts sterke rekenaars op de basisschool konden zich een realistische of hoofdreken strategie veroorloven (Putten, 2008).

27


huidige basisschoolleerlingen vaak geneigd zijn opgaven uit het hoofd uit te rekenen; ook bij opgaven waarbij dat eigenlijk niet goed mogelijk is (Van der Schoot & Projectleider PPON, 2008). Onderzoek van Van Den HeuvelPanhuizen en Bodin-Baarends (2004) laat zien dat zelfs sterke rekenaars bij het oplossen van complexe opgaven gehinderd worden door het feit dat ze alles uit het hoofd proberen te doen. De strategiekeuze van leerlingen wordt beïnvloed door de instructie van leraren volgens Hickendorff (2013a). Daarnaast stelt Harskamp (2004), als gemeenschappelijke uitkomst van verschillende onderzoeken, dat een consistente didactiek voor het leren uitvoeren van bewerkingen beter is dan de leerlingen zelf een strategie laten kiezen. Als een gekozen strategie van invloed is op de resultaten, betekent dit dat de instructie van de leraar een rol kan spelen in de rekenprestaties van zijn of haar leerlingen. 34

Bij alle contextuele opgaven is namelijk een rekenmachine beschikbaar en de contextloze opgaven zijn met handig rekenen op te lossen, waardoor ze al snel uit het hoofd uitgerekend kunnen worden.

Het daadwerkelijk handmatig uitvoeren van de bewerking wordt in de rekentoets pas vanaf 2015 getoetst34. Aangezien de leerlingen hoogstwaarschijnlijk de strategieën overnemen die de docent aanbiedt, is het voor de docenten van het JdW interessant om te weten hoe succesvol de leerlingen de geleerde strategieën inzetten. De twee deelvragen die hier bij horen zijn: (3a)

Zijn de scores op contextloze opgaven van leerlingen die de traditionele strategie gebruiken hoger dan van leerlingen die een andere strategie gebruiken?

(3b)

Zijn de scores op contextloze opgaven van leerlingen die een geschreven strategie gebruiken hoger dan van leerlingen die hoofdrekenen?

Het wordt verwacht dat traditioneel strategiegebruik effectiever is dan andere strategieen en dat hoofdrekenen voor meer fouten zorgt dan wanneer de strategie opgeschreven wordt. Dit deelonderzoek staat in hoofdstuk 7.

28

Rekenen op het VO

5 Tekst “Piet is 2 seconden langzamer dan Koen, Koen is 5 seconden sneller dan Henk, hoeveel sneller is Henk dan Piet?” 5.1

Inleiding In dit deelonderzoek gaat het om context in de vorm van korte teksten, waarin op micro en meso-niveau problemen kunnen ontstaan (Prenger, 2005)35. Het element struikelwoorden wordt in hoofdstuk 6 bekeken, daarom zullen die bij dit deelonderzoek vermeden worden. Ook illustraties worden vermeden, vanwege de extra belasting op het werkgeheugen (Berends & Van Lieshout, 2009).

35

Het microniveau is gedefinieerd als de analyse op woordniveau, het mesoniveau als het niveau van verbindingen binnen en tussen zinnen, en het macroniveau als het analyseniveau voor de hele tekst.

De deelvragen die dit deelonderzoek tracht te beantwoorden zijn de volgende: (1a)


(1b)


Deze deelvragen zijn in twee verschillende deelonderzoeken met twee verschillende schriftelijke testen onderzocht die speciaal gemaakt zijn ten behoeve van dit onderzoek. Eerst wordt het deelonderzoek betreffende (1a) uiteengezet, daarna die van (1b).

5.2

Methode (1a) Bij 592 leerlingen in de onderbouw van het JdW is een schriftelijke test afgenomen, 435 leerlingen kregen een 1F test en 156 leerlingen een 2F test36. Het rekenniveau (onder of net op 1F voor de 1F test, net onder of op 2F voor de 2F test) is gebaseerd op welk niveau wordt verwacht op basis van leerjaar en schoolniveau. Dit betekent dat de groep 2F leerlingen gemiddeld ouder is dan de groep 1F leerlingen. Voor een aantal leerlingen (minder dan 20) zijn ook de resultaten op gemaakte TOA-testen meegenomen. De leeftijden verschillen van 12 tot en met 19 jaar, zie tabel 1.

36

Leerlingen onder of net op 1F die de 1F test hebben gemaakt worden in dit onderzoek 1F leerlingen genoemd. Hetzelfde geldt voor 2F leerlingen die net onder of op 2F zitten.

Tabel 1

Aantal Deelnemende 1F en 2F Leerlingen per Leeftijdsgroep Leeftijd

12

13

14

15

16-19

1F leerlingen

61

149

109

58

58

2F leerlingen

0

30

44

38

45

In tabel 2 is te zien hoe de leerlingen op beide niveaus zijn verspreid over leerjaar, schoolniveau en de drie locaties (Zusterstraat (ZS), Hooftskade (HK) en Capadosestraat (CS). Er was een grote verscheidenheid in de taal die de 1F leerlingen thuis spreken. 28,5% spreekt thuis Nederlands, 29,7% spreekt thuis zowel

29


Tabel 2

Aantal Deelnemende 1F en 2F Leerlingen per Schoollocatie, Leerjaar en Schoolniveau

37

Ook is in de communicatie naar de leerlingen in het midden gelaten of er een cijfer voor zou worden gegeven dat al dan niet mee telt. Er is alleen gezegd dat de leerlingen en docenten de score nuttig kunnen gebruiken.

38 Gelijkwaardig qua moeilijkheid betekent het ene paar getallen bij de uit te voeren bewerking hetzelfde aantal uitwerkingsstappen opleveren en dat die stappen dezelfde moeilijkheidsgraad hebben als het andere paar getallen. Zoals bijvoorbeeld bij deze twee optellingen:

39

11

11

28,35

39,65

26,8 +

33,4 +

55,15

73,05

Bijvoorbeeld zitten in versie A de twee opgaven:

o In een pak melk van 1 liter zit nog 0,75 liter. Hoeveel liter melk is er uit gedronken? o 1 – 0,25 = Waarbij in versie B de tekst bij de andere twee getallen is gezet: o In een pak melk van 1 liter zit nog 0,25 liter. Hoeveel liter melk is er uit gedronken? o 1 – 0,75 =

30

Leerjaar

1

2

3

Schoolniveau Locatie:

ZS

HK

CS

ZS

HK

CS

ZS

Totaal

Pro +

-

-

14

-

-

7

-

21

Vmbo-bbl

65

42

29

95

-

18

-

249

Vmbo-kbl

59

45

7

-

-

-

-

111

Vmbo-t

26

-

-

-

-

-

-

26

Havo

17

11

-

-

-

-

-

28

Totaal 1F leerlingen

167

98

50

95

-

25

-

435

Vmbo-kbl

-

6

-

51

-

-

-

57

Vmbo-kbl/vmbo-t

-

-

-

25

-

-

-

25

Vmbo-t

-

-

-

23

-

-

-

23

Havo

-

17

-

16

-

-

18

51

Totaal 2F leerlingen

-

23

-

115

-

-

18

156

Nederlands als een andere taal en 39,1% spreekt een andere taal met zijn of haar verzorgers. Van 2,8% was de thuistaal onbekend. Ook onder 2F leerlingen was de spreiding in thuistaal groot. 22,9% spreekt thuis Nederlands, 24,2% spreekt thuis zowel Nederlands als een andere taal en 45,9% spreekt een andere taal met zijn of haar verzorgers. Van 7,0% is de thuistaal onbekend. Testopzet De test is tijdens de tweede toetsweek voor alle klassen van de onderbouw ingeroosterd voor 60 minuten. Hierdoor werd geprobeerd een serieuze instelling bij de leerlingen te bewerkstelligen37. Een rekenmachine was niet toegestaan en ruimte om berekeningen te maken was aanwezig op het antwoordenblaadje. De deelnemende leerlingen maakten ieder 32 rekenopgaven, bestaande uit zestien tweetallen van een tekstuele en een bijbehorende tekstloze opgave. De behaalde score op de zestien tekstuele opgaven werd in de analyse vergeleken met de score op de zestien tekstloze opgaven. Alle opgaven bestonden uit twee getallen en één bewerking. De twee paren getallen (één voor de tekstuele en één voor de tekstloze) waarmee de bewerking uitgevoerd diende te worden, waren gelijkwaardig qua moeilijkheid38. Vanwege tijdgebrek kon niet worden getest of de twee paren getallen ook daadwerkelijk dezelfde moeilijkheidsgraad hebben. Daarom zijn er twee versies van de toets gemaakt. Bij versie A zit het ene paar getallen in de tekstuele opgave en het andere paar in de tekstloze opgave en in versie B is dat omgedraaid39. Bij het analyseren van de resultaten wordt er geen onderscheid in versie A en B gemaakt. Dat betekent dat de tekstuele opgave wordt vergeleken met de tekstloze, ongeacht de getallen die gebruikt zijn. Mocht er bij een tweetal opgaven het ene paar getallen minder moeilijk zijn dan het andere paar, dan wordt hiermee de mogelijke invloed op de resultaten daarvan tegen gegaan.

Bewerkingen De vier bewerkingen die bij het referentieniveau 1F horen, zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Al deze vier bewerkingen moeten

Rekenen op het VO

volgens het referentieniveau kunnen worden uitgevoerd bij gehele en decimale getallen (Meijerink, 2008a). Voor elke bewerking is een opgave aan de makkelijke en een opgave aan de moeilijke kant opgesteld. Deze hoofdbewerkingen komen voor in alle vier domeinen getallen, meten en meetkunde, verbanden en verhoudingen. Er zijn voor deze test echter alleen opgaven opgesteld die binnen het domein getallen passen, omdat anders ook vaardigheden als klokkijken of omgaan met het metrieke stelsel invloed kunnen hebben op de juistheid van een antwoord.

Opgaven De gebruikte opgaven en getallen zijn geïnspireerd op de opgaven uit vier paragrafen van het PPON 2011 (Scheltens et al., 2013): • 4.2 – Basisoperaties: optellen en aftrekken • 4.3 – Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen • 4.7 – Bewerkingen: optellen en aftrekken • 4.8 – Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen40 Dit zijn opgaven voor groep 8 van de basisschool en daarom op 1F niveau. De opgaven uit de paragrafen over basisoperaties hebben de inspiratie gevormd voor de opgaven aan de makkelijke kant en de opgaven uit de paragrafen over bewerkingen voor de opgaven aan de moeilijke kant. Bij het opstellen van de opgaven is voldoende variatie aangebracht in de contexten, zodat niet een groot deel van de opgaven in een zelfde context zoals bijvoorbeeld een context met geld werd gesteld.

Taal Voor het vermijden van struikelwoorden werd de Basislijst Schooltaalwoorden VMBO die is opgesteld door het Instituut voor Taalonderzoek en Taalonderwijs Anderstaligen aangehouden (Verhallen & Alons, 2010). Het idee van deze lijst is dat leerlingen de algemene schooltaalwoorden van de basislijst moeten kennen om met succes te kunnen lezen en naar uitleg kunnen luisteren in bepaalde vaklessen. Het woord kilometer op deze lijst vormt een uitzondering en is wel gebruikt. Liter, meter en kilogram staan namelijk niet op de lijst en mogen daarom als bekend worden verondersteld. Kilometer valt in dezelfde categorie als deze woorden (Meijerink, 2008b) en mag daarom ook als bekend worden verondersteld41. De toets is daarna aan vier docenten Nederlands voorgelegd. Alle vier geven les aan de eerste klas vmbo-bbl en één docent ook aan de eerste klas praktijkonderwijs. Aan de hand van hun commentaar zijn acht opgaven aangepast en opnieuw door hen gekeurd, zodat ook zij van mening waren dat alle deelnemers alle woorden in de opgaven zouden moeten begrijpen. Een woordenboek Nederlands-Nederlands was toegestaan.

40

Onder basisoperaties verstaan ze (Scheltens et al., 2013):

“de vaardigheid om snel en vaardig bepaalde opgaven uit te rekenen door gebruik te maken van basiskennis, automatismen, getalrelaties en eigenschappen van getallen en bewerkingen” (p. 69). Bij bewerkingen gaat het om: “het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van gehele getallen en kommagetallen, waarbij de leerling uitrekenpapier kan gebruiken om bijvoorbeeld tussenuitkomsten op te schrijven van hoofdrekenprocedures of om een cijferprocedure uit te voeren” (p. 116 en p. 125).

41 Afkortingen zoals L., cm. en kg. stonden alle op de lijst, daarom zijn alle eenheden voluit geschreven. De eenheid is ook in de vraag herhaald zodat antwoorden zonder eenheid ook goed zijn. Zoals bijvoorbeeld: Hoeveel liter shampoo gebruikt de kapper nu per week?

Testmateriaal In tabel 3 staan de opgaven die gebruikt zijn voor de bewerking optellen in de versies A van de testen voor 1F en 2F. De opgaven voor de andere drie bewerkingen staan in bijlage 4. In de B versies is de tekst van de tekstuele opgave naar de bijbehorende tekstloze opgave verhuisd. Een tweedegraads wiskundedocent heeft ter controle bij alle tekstuele opgaven de bijbehorende kale rekenopgave geschreven. Deze kwamen allemaal overeen met de bedoelde kale opgave.

Referentieniveau 2F De test is voor de leerlingen die op 2F zitten aangepast, zodat de docenten

31


42

Hierbij zijn de eigenschappen geheel en decimaal wel behouden. Zo is bijvoorbeeld in een opgave het getal 3,2 vervangen door 1,4 miljard.

een toets op niveau van de leerling konden analyseren. Aan deze 2F test deden leerlingen mee die volgens hun docent of TOA-resultaten het niveau 1F al beheersten. Op 2F niveau zijn de vier bewerkingen hetzelfde. Alleen moeten leerlingen deze bewerkingen kunnen toepassen op vier in plaats van twee soorten getallen (Meijerink, 2008b). Onder 2F vallen namelijk ook negatieve getallen en grote getallen (zoals 200 miljoen en 2,5 miljard), naast de gehele en decimale getallen. Daarom zijn alle getallen in de opgaven bij de basisoperaties optellen en aftrekken vervangen door negatieve of grote getallen42. Ook is het tweetal opgaven bij de basisoperatie delen met decimale getallen vervangen door een tweetal opgaven met grote getallen. Hierbij is niet de decimale eigenschap behouden. Door het veranderen van de getallen moest soms de context aangepast worden om de problemen realistisch te houden.

Tabel 3

De Vier Paren Optelopgaven in de 1F en 2F Test Optellen

Gehele getallen

Decimale getallen

Basis

O1

O2

Tekstloos

556 + 299 =

3,2 + 0,9 =

Tekstueel

Boer Frank heeft een grote kippenboerderij in Australië met 836 kippen. Ook heeft hij nog een kleine boerderij met 199 schapen. Hoeveel dieren heeft hij?

Een kapper gebruikt 4,6 liter shampoo per week. Door advertenties heeft hij meer klanten gekregen. Daardoor gebruikt hij nu 0,8 liter shampoo meer per week. Hoeveel liter shampoo gebruikt de kapper nu per week?

O1

O2

Tekstloos

-29 + 53 =

1,4 miljard + 0,75 miljard =

Tekstueel

De temperatuur in IJsland tijdens de winter kan –19 graden Celsius zijn. In de zomer is de temperatuur vaak 42 graden Celsius hoger. Hoeveel graden Celsius is het dan?

De mensen in een grote stad gebruikten vroeger samen 1,2 miljard milliliter shampoo per jaar. Ze gebruiken nu 0,85 miljard milliliter meer. Hoeveel miljard milliliter shampoo gebruiken ze nu samen per jaar?

O3

O4

Tekstloos

3425 + 7359 =

28,35 + 26,8 =

Tekstueel

De afstand tussen Den Haag en Istanbul is 2234 kilometer. De afstand tussen Istanbul en Tokyo is 8944 kilometer. Welke afstand in kilometers moet je reizen als je vanaf Den Haag via Istanbul naar Tokyo gaat?

Jan en Marie zijn samen uit eten geweest. Ze betalen allebei een deel. Jan betaalt 39,65 € en Marie maar 33,4 €. Hoeveel betalen ze samen?

1F

Basis 2F

Bewerking 1F en 2F

Volgorde De opgaven zijn systematisch over de test verdeeld ter vermijding van leereffecten bij bijvoorbeeld meerdere optelsommen na elkaar. De verdeling is voor versie A van de 1F test in tabel 4 weergegeven. De letters O, A, V, D staan respectievelijk voor de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. In combinatie met de getallen 1 t/m 4 is duidelijk om welke opgave het gaat in de tabellen. De gearceerde hokjes geven aan dat de opgave tekstueel was. Alle niet-gearceerde opgaven waren tekstloos.

32

Rekenen op het VO

Tabel 4

Volgorde van 32 Opgaven in Versie A van de 1F Test 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

O1

A2

V3

D4

O2

A3

V4

D1

O3

A4

V1

D2

O4

A1

V2

D3

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

O1

A2

V3

D4

O2

A3

V4

D1

O3

A4

V1

D2

O4

A1

V2

D3

In de test op 2F niveau is een aanpassing gemaakt in de volgorde, omdat anders de opgaven met de negatieve getallen direct na elkaar gesteld zouden worden. Deze aanpassing staat in bijlage 5. Testafname Op de test stond een instructie voor de leerlingen, waarin werd verteld dat ze hun niveau, versie en begin-en eindtijd43 op hun antwoordenblaadje moesten schrijven. Het antwoordenblaadje was regulier toetspapier met hokjes van het JdW. Ook stond in de instructie dat kladblaadjes niet nodig waren, want als ze een berekening wilden opschrijven dan kon dat op het antwoordenblaadje.

43 Deze instructie was in verband met een geplande deelvraag over de tijd die leerlingen nemen om een toets te maken. Deze deelvraag is later geschrapt.

Om te zorgen dat deze instructies werden opgevolgd, is een mail gestuurd naar de rekendocenten waarin hen werd gevraagd hun klassen de volgende vier punten mee te geven voor de test: • De test gaat over het domein getallen • De test is schriftelijk • Kladblaadjes zijn niet nodig, alles kan op het antwoordenblaadje zelf • Een rekenmachine is niet toegestaan Daarnaast is in elke envelop een bijlage voor de surveillant gestopt, zodat ook hij of zij deze punten kon benadrukken en controleren. De versies A en B zijn willekeurig door de surveillant uitgedeeld zó dat de helft van de klas versie A en de andere helft versie B had. Gegevens Alle testen zijn eerst door de rekendocent van de desbetreffende klas nagekeken, daarna zijn alle testen een tweede keer nagekeken door één persoon. Niet gemaakte opgaven zijn fout gerekend. De gegevens van leerlingen die vanaf opgave 30 of eerder (van de 32) zijn gestopt, zijn verwijderd. Van deze leerlingen kan namelijk niet gezegd worden of ze daar zijn gestopt doordat ze te weinig tijd of geen zin meer hadden, of omdat ze de opgaven niet konden maken en ze daardoor fout hadden. Antwoorden waarbij duizendtallen met een punt of komma zijn aangegeven zijn alleen goed gerekend als dat door dezelfde leerling bij alle andere duizendtallen ook is gedaan. Data analyse Om te controleren of de opgaven ongeveer hetzelfde testen, is een cronbach’s alpha berekend de desbetreffende test. Deze moet minstens 0.70 zijn (Field, 2009). Als de onderlinge correlatie van een opgavelager dan 0.30 was, werd gekeken naar de nieuwe cronbach’s alpha als deze opgave uit te test verwijdert zou worden. Als dit een aanzienlijk hogere cronbach’s alpha was, zou het opgavenpaar eventueel verwijdert moeten worden. Er zijn twee onafhankelijke variabelen ingezet, de aanwezigheid van tekst en het type bewerking in de opgave. Op de resultaten is daarom een two-way repeated measures ANOVA uitgevoerd om het effect van tekst en het

33


44

Om de ANOVA te mogen uitvoeren moeten een aantal voorwaarden gelden: a) De data moet op minstens het interval-level gemeten zijn. b) Leerlingen mogen geen invloed op elkaars werk hebben gehad. c) Er mogen geen significante outliers in de data zitten. Het was een outlier als de studentized residuals lager dan -3 of hoger dan 3 was (Laerd). d) De scores van de leerlingen moeten uit een normale verdeling komen. Dit is visueel te beoordelen met QQ-plots en preciezer met de z-scores voor skewness en kurtosis. Hiervoor is het interval [-3,29; 3,29] aangehouden, want waarden daarbuiten zitten buiten 99,9% van alle z-score (Field, 2009) e) De varianties van de verschillen tussen de verschillende condities moeten ongeveer gelijk zijn, dit heet sphericity en is gecontroleerd met Mauchly’s test (Field, 2009).

interactie-effect tussen de tekst en bewerking ten aanzien van de scores te berekenen44. Voor dit onderzoek is het effect van bewerking zelf niet interessant. De scores op tekstueel en tekstloos per bewerking lopen van 0 tot 4, omdat er van elke bewerking vier tekstuele en vier tekstloze opgaven waren. In alle testen is een significantieniveau van 0,05 aangehouden, dat betekent dat de resultaten significant verschillen als p < 0.05. Als het interactie-effect tussen de twee variabelen niet significant was, werd naar de hoofdeffecten van de twee afzonderlijke variabelen gekeken. Als dit effect wel significant was, werden one-way repeated measures ANOVA’s uitgevoerd op elke bewerking met tekst als onafhankelijke variabele, om de simpel-effecten van tekst per bewerking te achterhalen.

Gemaakte fouten Na het uitvoeren van de analytische testen is dieper ingegaan op de mogelijke oorzaken van de fouten die zorgen voor verschillende scores op tekstuele en tekstloze opgaven. Hiertoe zijn de antwoorden op de paren opgaven onderzocht die de grootste verschillen in scores hadden ten gunste van de tekstuele en ten gunste van de tekstloze variant.

Vergelijking van 1F en 2F leerlingen Om hierna de resultaten van 1F en 2F leerlingen te kunnen vergelijken zijn opnieuw behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven berekend voor alle leerlingen, maar dan alleen op de opgaven die de 1F en 2F test gemeen hebben. Dat waren twee paren optelopgaven, twee paren aftrekopgaven, vier paren vermenigvuldigsopgaven en drie paren deelopgaven. Om de tekstuele en tekstloze scores op de vier bewerkingen met elkaar te kunnen vergelijken, is het percentage van het aantal goede antwoorden als score gebruikt in plaats van het absolute aantal goede antwoorden.

5.3

Resultaten (1a) In deze paragraaf staan de resultaten van de analytische testen op de behaalde tekstuele en tekstloze scores van de 1F en 2F leerlingen. Daarnaast is ook gekeken naar de antwoorden op de opgaven met de grootste verschillen in scores tussen de tekstuele en tekstloze variant. Referentieniveau 1F Van de 435 leerlingen heeft 51% versie A gemaakt en de rest versie B. Er was een goede onderlinge consistentie tussen de opgaven, =0.858. Er waren meerdere opgaven waarbij de correlatie met de andere opgaven lager dan 0.30 was. Maar verwijdering van deze opgaven leverde nergens een grotere cronbach’s alpha’s op. Geen van deze opgaven is daarom verwijdert. De enige voorwaarde die problemen opleverde was de afwijking van normaliteit in zeven van de acht condities (tekstueel en tekstloos per vier bewerkingen)45, zie bijlage 6 voor een overzicht van de z-scores . Omdat de ANOVA vrij robuust is wat betreft afwijkingen van normaliteit (Field, 2009), is deze toch uitgevoerd op deze data. Dit kan mogelijk invloed hebben gehad op de resultaten. Er is geen significant interactie-effect tussen de variabelen bewerking en tekst, F(2.96, 1284.65) = 1.57, p = 0.20. Dit betekent dat de aanwezigheid van tekst geen verschillend effect heeft per bewerking. Er is wel een significant hoofdeffect van de aanwezigheid van tekst op de scores, F(1, 434) = 92.28, p < 0.0005. Als de bewerking wordt genegeerd, verschillen de scores op tekstuele en tekstloze opgaven significant. Een paarsgewijze vergelijking, gecorrigeerd met een Bonferroni aanpassing, geeft

34

Rekenen op het VO

aan dat het een verschil is ten gunste van de tekstloze opgaven met een verschil in gemiddelde van 0.28 punten, 95% CI [0.22; 0.33]. In figuur 5 zijn de gemiddelde scores in de acht condities schematisch weergegeven. Hierin zijn de resultaten zoals genoemd nog eens af te lezen. De scores zijn bij alle vier de bewerkingen hoger op de tekstloze opgaven dan op de tekstuele opgaven.

Figuur 5: Gemiddelde scores van 1F leerlingen op tekstuele en tekstloze opgaven per bewerking

Gemaakte fouten Om meer inzicht te krijgen in de oorzaak van het verschil in behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven, is gekeken naar de antwoorden bij de paren opgaven met de grootste verschillen in aantal goede antwoorden. Deze aantallen van de afzonderlijke opgaven zijn weergegeven in figuur 6. In slechts drie van de zestien paren opgaven zorgde de tekstuele opgave juist voor meer goede antwoorden. Er zijn vier paren waarbij het verschil in het aantal goede antwoorden tussen de tekstuele en tekstloze variant meer dan 10% van het totaal aantal antwoorden (435) is. Bij alle vier is dat ten gunste van de tekstloze opgave46.

45

Controle van de voorwaarden om een ANOVA te mogen uitvoeren:

a) De data is op minstens het interval-level gemeten, namelijk het ratio-level. b) Leerlingen kunnen alleen invloed op elkaar hebben gehad door af te kijken. Vanwege de serieuze toetsopstelling zal dit minimaal zijn geweest. c) De scores in de acht condities (tekstueel en tekstloos per vier bewerkingen) zitten allemaal tussen de 0 en 4, maar de conditie optellen en tekstloos had zes outliers. Deze outliers een score van 0, terwijl de rest van de leerlingen 1 of hoger had. De ANOVA is daarom tweemaal uitgevoerd, eenmaal met en eenmaal zonder de leerlingen met de outlierscores, maar dit had geen grote invloed op de resultaten. Hierom, en omdat de scores van de leerlingen hun werkelijke scores waren, zijn de zes leerlingen wel meegenomen in de verdere analyse. d) Visueel gezien kwamen de scores in de acht condities grofweg uit een normale verdeling. Echter, volgens de zscores weken de scores in zeven van de acht condities af van normaliteit, zie bijlage 6. Alleen de conditie tekstloos en optellen week op zowel skewness en kurtosis behoorlijk af, dit kwam waarschijnlijk door de zes outliers die daar in waren opgenomen. e) Mauchly’s test gaf aan dat de sphericity-voorwaarde niet was nagekomen bij het hoofdeffect 5 = 15.64, van bewerking p = 0.008, en het interactieeffect tussen tekst en bewerking, 5 = 14.47, p = 0.013. Daarom zijn de vrijheidsgraden aangepast door de Huyn-Feldt correctie toe te passen (ε = 0.983 voor het hoofdeffect van bewerking en ε = 0.987 voor het interactieeffect tussen tekst en bewerking).

De grootste verzameling foute antwoorden bij deze vier waren antwoorden die slechts door één of twee leerlingen werden gegeven. Een specifieke oorzaak kon bij deze opgaven vaak niet achterhaald worden; er werden waarschijnlijk fouten in uitrekenstappen gemaakt, zoals 7 + 5 = 13.

35


46

De vier paren met meer dan 10% verschil in aantal goede antwoorden tussen de tekstuele en tekstloze variant, alle ten gunste van de tekstloze, waren:

500

400

O2: Een kapper gebruikt 4,6 liter shampoo per week. Door advertenties heeft hij meer klanten gekregen. Daardoor gebruikt hij nu 0,8 liter shampoo meer per week. Hoeveel liter shampoo gebruikt de kapper nu per week?

300

O3: De afstand tussen Den Haag en Istanbul is 2234 kilometer. De afstand tussen Istanbul en Tokyo is 8944 kilometer. Welke afstand in kilometers moet je reizen als je vanaf Den Haag via Istanbul naar Tokyo gaat?

0

A4: Piet en Koen houden samen een hardloopwedstrijd. Koen werd tweede met een eindtijd van 25,27 seconden. Piet was 2,68 seconden sneller. Wat is de eindtijd van Piet? V3: Eva heeft in de maand oktober 165 uur gewerkt. Ze verdient 7 € per uur. Hoeveel geld krijgt ze voor de maand oktober?

200

100

O1

O2 O3 O4

A1

A2

A3

A4

V1

V2

V3

V4

D1

D2

D3

D4

-100 Tekstueel

Tekstloos

Verschil (tekstloos - tekstueel)

Figuur 6: Aantal goede antwoorden van 1F leerlingen op de tekstuele en tekstloze opgaven en het verschil daartussen

Van de oorzaken van fouten die hoogstwaarschijnlijk wel goed geïdentificeerd konden worden, zorgde het kiezen van de verkeerde bewerking bij de vier tekstuele opgaven van deze paren voor het grootste aantal47. Bij twee van de drie paren opgaven waarbij de tekstuele variant een hoger aantal goede antwoorden had, was de enige te identificeren oorzaak hiervan het vaker overslaan van de tekstloze opgave dan te tekstuele. Bij de twee deelparen is dit 55 tegenover 27 en 140 tegenover 84 maal. De grootste oorzaak van fouten bij de tekstuele variant is wederom het uitvoeren van een verkeerde bewerking.

47

Bij de A4-opgaven was het aantal fouten door het kiezen van een verkeerde bewerking veruit het grootst. Daar telden minstens 87 van de 435 leerlingen de getallen bij elkaar op in de tekstuele opgaven, terwijl ze de getallen van elkaar af moesten trekken. Bij de tekstloze opgaven gebeurde dat slechts zeven keer. Bij de andere drie opgaven lag dit aantal fouten tussen de tien en dertig bij de tekstuele opgave tegenover minder dan drie bij de tekstloze opgave. Fouten die waren veroorzaakt door het kiezen van een verkeerde bewerking konden alleen worden geïdentificeerd als die foute bewerking goed was uitgevoerd. Het echte aantal fouten door deze oorzaak kan daarom hoger liggen.

36

Andersom werd bij drie van de vier eerder genoemde paren, waar het verschil het grootste was ten gunste van de tekstloze opgave, de tekstuele opgave het vaakst overgeslagen.

Samenvatting resultaten 1F Leerlingen op 1F niveau hebben significant lagere scores op tekstuele opgaven dan op tekstloze opgaven. Het kiezen van de verkeerde bewerking zorgde als één van de geïdentificeerde oorzaken bij zeven onderzochte paren voor de meeste fouten bij de tekstuele variant. Daarnaast werd bij vijf paren de variant die het slechts was gemaakt het vaakst overgeslagen. Referentieniveau 2F Van de 157 leerlingen heeft 47,8% versie A gemaakt en de rest versie B. Er was een goede onderlinge consistentie tussen de opgaven, =0.813. Bij meerdere opgaven was de correlatie met de andere opgaven lager dan 0.30 was. Maar verwijdering van deze opgaven leverde een maximale stijging van 0.001 in de nieuwe cronbach’s alpha’s op. Geen van deze opgaven is daarom verwijdert. Er werd bij deze leerlingen in vijf van de acht condities afgeweken van normaliteit48, zie bijlage 6 voor de z-scores. Wederom is de ANOVA toch uitgevoerd op deze data vanwege de robuuste omgang met dit soort afwijkingen (Field, 2009).

Rekenen op het VO

In tegenstelling tot de 1F leerlingen, is bij de 2F leerlingen wel een significant interactie-effect tussen de variabelen bewerking en tekst, F(2.92, 454.58) = 5.06, p = 0.002. Dat betekent dat het effect van tekst verschilt per bewerking. Er was een significant verschil in scores bij optellen ten gunste van de tekstuele opgave, F(1, 155) = 4.40, p = 0.038, r = 0.17, met een verschil in gemiddelde van 0.18 punten, 95% CI [0.01; 0.35], terwijl er ook een significant verschil aanwezig was bij vermenigvuldigen, maar dan juist ten gunste van de tekstloze opgave, F(1, 155) = 9.28, p = 0.003, r = 0.24, met een verschil in gemiddelde van 0.22 punten, 95% CI [0.08; 0.37]. Daarnaast was er geen significant verschil in scores afhankelijk van de aanwezigheid van tekst bij aftrekken en delen, respectievelijk F(1, 155) = 0.28, p = 0.595, r = 0.04 en F(1, 155) = 3.06, p = 0.082, r = 0.14. In figuur 7 zijn de gemiddelde scores in de acht condities weergegeven. In het diagram is te zien dat de scores op opgaven met de bewerking vermenigvuldigen hoger zijn op de tekstloze opgaven dan op de tekstuele. Voor optellen zijn de scores op de tekstloze opgaven juist lager dan op tekstuele. Bij aftrekken en delen is in het diagram ook een verschil te zien, maar dat is als niet significant beoordeeld.

48

Controle van de voorwaarden om een ANOVA te mogen uitvoeren: a) & b) Aangezien het om ongeveer dezelfde test gaat is de data weer op ratio-level gemeten en hebben de leerlingen minimaal invloed op elkaars resultaten gehad. c) De scores in de acht condities zitten allemaal weer tussen de 0 en 4, maar verspreid over drie verschillende condities waren er vier outliers. Zij hadden net als bij de 1F leerlingen een score van 0 in die conditie, terwijl de rest van de leerlingen een 1 of hoger had. Toen deze vier leerlingen waren verwijdert kwamen er achtereenvolgens nog twee outliers bij. De uitkomsten van de ANOVA op de data zonder de zes outliers verschilden niet veel van de ANOVA op de data inclusief de outliers. De leerlingen die voor deze outliers zorgden zijn daarom wel meegenomen in de verdere analyse. d) Op basis van de z-scores van skewness werd in vier van de acht condities afgeweken van normaliteit, zie bijlage 6. e) Mauchly’s test gaf aan dat er niet aan de sphericityvoorwaarde was voldaan bij het interactie-effect tussen tekst en 5 = 11.56, p = bewerking, 0.041. Daarom zijn de vrijheidsgraden aangepast door de Huyn-Feldt correctie toe te passen (ε = 0.973).

Figuur 7: Gemiddelde scores van 2F leerlingen op tekstuele en tekstloze opgaven per bewerking

Gemaakte fouten In figuur 8 staat een overzicht van de aantallen goede antwoorden van de 156 leerlingen op 2F niveau op de 32 opgaven. Er zijn nu zeven paren waarbij het verschil in aantal ten gunste van de tekstuele variant is, in plaats van drie

37


bij de 1F leerlingen. Vier daarvan zijn onderdeel van de vijf opgaven die anders waren vormgegeven voor de 2F test.

160 140 120 100 80 49

De twee paren met meer dan 10% verschil in aantallen goede antwoorden ten gunste van de tekstuele variant waren: A2: Sanne heeft een schuldenstand van -73,50 €. Ze neemt nog een lening van 5 € om eten te kopen. Wat is haar nieuwe schuldenstand? Bij deze opgave werd 43 keer bij de tekstloze tegenover 16 keer bij de tekstuele variant 78,5 in plaats van -78,5 en 69,5 in plaats van -69,5 als antwoord gegeven. D2: Een autohandelaar koopt voor 20 miljoen € hele dure auto’s van 500 000 € per stuk. Hoeveel auto’s koopt de autohandelaar? Op deze tekstuele variant werd een grotere verscheidenheid aan onwerkelijke antwoorden zoals 500 000 en 15 miljoen gegeven dan op de tekstuele.

50

De twee paren met meer dan 10% verschil in aantallen goede antwoorden ten gunste van de tekstloze variant waren: A4: Piet en Koen houden samen een hardloopwedstrijd. Koen werd tweede met een eindtijd van 25,27 seconden. Piet was 2,68 seconden sneller. Wat is de eindtijd van Piet? V1: De groenteboer krijgt 48 kistjes met elk 25 appels. Hoeveel appels zijn dat?

51

Fouten die waren veroorzaakt door het kiezen van een verkeerde bewerking konden alleen worden geïdentificeerd als die foute bewerking goed was uitgevoerd. Het echte aantal fouten door deze oorzaak kan daarom hoger liggen.

38

60 40 20 0 -20

O1 O2 O3 O4 A1 A2 A3 A4 V1 V2 V3 V4 D1 D2 D3 D4

-40 Tekstueel

Tekstloos


Figuur 8: Aantal goede antwoorden van 2F leerlingen op de tekstuele en tekstloze opgaven en het verschil daartussen

Er waren weer vier paren waarbij het verschil in aantal goede antwoorden meer dan 10% van het totaal aantal antwoorden (156) was. Alleen was dat nu bij twee ten gunste van de tekstloze opgave49, en bij de andere twee ten gunste van de tekstuele opgave50. De oorzaak van het verschil bij de A4-opgaven was hetzelfde als bij de 1F leerlingen. Veel leerlingen tellen de getallen in de tekstuele variant op in plaats van ze van elkaar af te trekken; minstens51 34 van de 156 leerlingen. Er is echter geen specifieke oorzaak van het verschil aan te wijzen bij de V1opgaven. Er was bij dit paar een grote spreiding in antwoorden bij zowel de tekstuele als tekstloze variant; veel antwoorden kwamen maar één keer voor. Hetzelfde gold voor twee andere paren. (Dit waren de O3- en V3-opgaven; deze opgaven waren onderzocht bij de 1F leerlingen en hadden ook bij de 2F leerlingen nog een verschil ten gunste van de tekstloze opgave, het O2-paar niet meer.) De paren opgaven waarbij het verschil het grootst was ten gunste van de tekstuele opgaven, zaten beide niet in de 1F test. Bij de tekstloze varianten van deze paren werd vaker een onwerkelijk antwoord gegeven dan bij de tekstuele.

Samenvatting resultaten 2F Voor leerlingen van de 2F zijn de verschillen tussen scores op tekstuele en tekstloze opgaven verschillend afhankelijk van de bewerking. Bij optellen zijn de scores op de tekstuele variant significant beter, en bij vermenigvuldigen is dat juist bij de tekstloze. Bij de andere twee bewerkingen is er geen significant verschil in scores tussen de tekstuele en tekstloze opgaven. Bij één paar opgaven is de fout door een verkeerde bewerking bij de tekstuele opgave nog aanwezig. Bij de andere onderzochte opgave met een

Rekenen op het VO

hoger aantal goede antwoorden op de tekstloze variant, zijn geen aanwijsbare oorzaken gevonden waardoor de scores op die variant beter gaan. De enige oorzaak van fouten die naar voren kwam bij de twee onderzochte paren waarbij de tekstloze variant slechter ging dan de tekstuele, was het geven van meer onwerkelijke antwoorden op de tekstloze. Vergelijking van 1F en 2F leerlingen Dezelfde two-way repeated measures ANOVA is nogmaals uitgevoerd op de scores van de 1F leerlingen en de 2F leerlingen, maar dan alleen op de opgaven die de 1F test en 2F test gemeen hebben. Omdat er niet van elke bewerking evenveel opgaven overbleven is gewerkt met percentages goede antwoorden per bewerking. Alleen de samenvatting van de gevonden resultaten is gegeven.

Samenvatting resultaten 1F leerlingen Er komt uit deze ANOVA voor de 1F leerlingen wel een significant interactieeffect tussen de variabelen bewerking en tekst, F(2.86, 1241.77) = 4.01, p = 0.008. Dat betekent dat het effect van de aanwezigheid van tekst dit keer wel verschilt per bewerking. Dit verschil is echter niet een verschil in richting, maar in grootte; het verschil in scores is significant groter bij de overgebleven paren opgaven van aftrekken dan bij de andere bewerkingen. Bij alle bewerkingen is er namelijk nog steeds een significant verschil in scores ten gunste van de tekstloze opgave52. In figuur 9 zijn de genoemde resultaten nog eens grafisch weergegeven.

52

De gemiddelde procentuele score op tekstloze opgaven is significant hoger dan tekstuele opgaven bij alle vier bewerkingen: o Optellen: F(1, 434) = 1.75, p = 0.001, r = 0.16, verschil in gemiddelde van 5.75 procentpunt, 95% CI [2.45; 9.04] o Aftrekken: F(1, 434) = 45.72, p < 0.0005, r = 0.31, verschil in gemiddelde van 13.22 procentpunt, 95% CI [9.38; 17.06] o Vermenigvuldigen: F(1, 434) = 35.56, p < 0.0005, r = 0.28, verschil in gemiddelde van 7.64 procentpunt, 95% CI [5.12; 10.16] o Delen: F(1, 434) = 24.83, p < 0.0005, r = 0.23, verschil in gemiddelde van 7.82 procentpunt, 95% CI [4.73; 10.90].

Figuur 9: Gemiddelde scores van 1F leerlingen op tekstuele en tekstloze opgaven die de 1F en 2F test gemeen hebben, per bewerking

39


Samenvatting resultaten 2F leerlingen Er is wederom een significant interactie-effect tussen de variabelen bewerking en tekst, F(2.71, 420.69) = 4.44, p = 0.006. Maar in tegenstelling tot de eerste analyse was er dit keer geen significant verschil in scores op de tekstuele en tekstloze opgaven bij optellen, F(1, 155) = 0.78, p = 0.379, r = 0.07. Terwijl er juist wel een significant verschil aanwezig was bij aftrekken, ten gunste van de tekstloze opgave, F(1, 155) = 8.75, p = 0.004, r = 0.23, met een verschil in gemiddelde van 9.62 procentpunt, 95% CI [3.19; 16.04]. Er is wel weer een significant verschil in scores ten gunste van de tekstloze opgave bij vermenigvuldigen, F(1, 155) = 9.28, p = 0.003, r = 0.24, met een verschil in gemiddelde van 5.61 procentpunt, 95% CI [1.97; 9.25]. En ook weer geen significant verschil bij delen, F(1, 155) = 0.07, p = 0.795, r < 0.0005. In figuur 10 zijn de resultaten zoals beschreven nog eens weergegeven. In tegenstelling tot de eerste analyse van de 2F leerlingen is er nu bij geen enkele bewerking meer een significant verschil in scores ten gunste van de tekstuele opgave.

Figuur 10: Gemiddelde scores van 2F leerlingen op tekstuele en tekstloze opgaven die de 1F en 2F test gemeen hebben, per bewerking

5.4

Discussie (1a) Dit deelonderzoek is opgezet om te testen of scores op tekstuele opgaven met één bewerking verschillen van scores op corresponderende tekstloze opgaven. Hiertoe hebben 592 leerlingen uit de onderbouw van het JdW

40

Rekenen op het VO

zestien paren opgaven gemaakt met vier verschillende bewerkingen, waarbij een paar opgaven bestond uit één tekstuele en één tekstloze opgave met dezelfde bewerking en gelijkwaardig qua getallen. De behaalde scores op de tekstuele opgaven zijn daarna vergeleken met die op de tekstloze opgaven. Testopzet Vanwege tijdgebrek is van te voren niet getest of alle tweetallen paren getallen, waarvan het ene paar in de tekstuele en het andere paar in de bijbehorende tekstloze opgave gebruikt is, daadwerkelijk dezelfde moeilijkheidsgraad hebben. Er is daarom getracht paren getallen uit te zoeken die dezelfde aantal stappen en moeilijkheid bij een bepaalde bewerking zouden opleveren. Achteraf gezien is dit niet voor alle paren gelukt53. Aangezien er twee versies zijn gebruikt, waardoor elk paar getallen zowel tekstueel als tekstloos aan bod komt, is een eventueel verschil in moeilijkheid als oorzaak voor een verschil in het aantal goede antwoorden op die twee varianten geminimaliseerd. Een ander op te merken element in de testopzet is de maximum tijdsduur van 60 minuten waarin de test is afgenomen. Bij bijvoorbeeld Hickendorffs (2013a) onderzoek werd geen tijdsduur gegeven, de leerlingen mochten er zo lang over doen als ze zelf nodig vonden. Sommige leerlingen waren in dit deelonderzoek eerder klaar, maar niet iedereen. Dit kan invloed hebben gehad op de antwoorden van de laatste opgaven, doordat deze misschien bij sommige leerlingen in tijdsnood en stress zijn gemaakt54. Omdat in beide helften van de test tekstloze en tekstuele opgaven zaten, welke in de versies A en B zelfs gewisseld zijn, zal dit minimale invloed hebben gehad op de verschillen in aantal goede antwoorden op tekstuele en tekstloze opgaven. Deze mogelijke effecten hadden vermeden kunnen worden als elke leerling de 32 opgaven in een willekeurige volgorde had gekregen. In de opzet is bewust rekening gehouden met de vaardigheden binnen het domein getallen. Er zijn daarbij twee elementen over het hoofd gezien die mogelijk invloed hebben gehad op de resultaten. Ten eerste hebben het gebruik van eenheden zoals kg invloed gehad op de uitwerking van een klein groepje leerlingen. Zo heeft een leerling 2 kg en 10 gram geantwoord in plaats van 2,1 op een tekstuele opgave55. Ten tweede heerste bij het maken van de test de veronderstelling dat leerlingen ook met getallen met één decimaal om moeten kunnen gaan in geldcontexten. Dit ligt echter iets gecompliceerder. De leerlingen mogen zelf hun antwoorden op één decimaal afronden als het tweede decimaal een 8, 9, 0, 1 of 2 is en er in de context met contant geld betaald wordt. Maar de getallen in de opgaven zelf horen allemaal twee decimalen te hebben. Eén tekstuele opgave past daarom niet binnen de referentieniveaus56. Het is verrassend dat de fouten die hierdoor te verwachten zijn ongeacht de aanwezigheid van tekst worden gemaakt. Daarom heeft dit waarschijnlijk geen invloed op het verschil in aantal goede antwoorden op tekstuele en tekstloze opgaven gehad. Testmateriaal In beide testen zitten dezelfde twee deelopgaven waarbij na de deling een rest overblijft. Hoe een leerling moet omgaan met deze rest hangt van de vraag af en kan op een aantal verschillende manieren57. Bij een tekstloze opgave zonder aanwijzing over hoe een leerling antwoord moet geven zijn alle soorten antwoorden goed. Maar bij de tekstuele opgave in deze testen

53

Als ze nu nog eens beoordeeld worden is het proces van de bewerking uitvoeren voor minstens 10 van de 16 paren getallen van de 1F test en 9 van de 16 in de 2F test niet gelijk. Zo is bijvoorbeeld bij opgave O1 niet rekening gehouden met het feit dat bij de optelling 836 + 199 = 1035, de honderdtallen een duizendtal opleveren. Iets was niet voorkomt bij het getallenpaar 556 + 299 = 855.

54

Daarnaast kan het zelf moeten noteren van de begin- en eindtijd voor extra stress hebben gezorgd, een leerling gaf namelijk aan dat ze dacht dat de tijd meetelde in de beoordeling.

55

Zonder eenheid was de leerling wellicht gestopt bij 2,1 zonder het om te zetten naar kg en gram als antwoord op de volgende opgave: Joost koopt 3 zakken hondenvoer van 0,7 kilogram per stuk. Met hoeveel kilogram hondenvoer gaat hij naar huis?

56

De getallen 33,4 en 26,8 werden elk zowel bij de tekstuele als bij de tekstloze variant door minstens 25 van de 592 leerlingen als respectievelijk 33,04 en 26,08 geinterpreteerd. Ongeveer de helft van deze leerlingen maakt deze fout bij beide varianten van de deze opgave: Jan en Marie zijn samen uit eten geweest. Ze betalen allebei een deel. Jan betaalt 39,65 € en Marie maar 33,4 €. Hoeveel betalen ze samen?

41


57

De rest kan als rest worden geidentificeerd, de rest kan gedeeld worden door de deler wat een breuk oplevert en de rest kan gebruikt worden om een aantal decimalen op te leveren. Bijvoorbeeld 139 : 8 = ... geeft 17 rest 3 of

17 of 17,4 of 17,38 of 17,375 of een getal met nog meer decimalen.

58

Een digitale afname had veel ervaren problemen kunnen voorkomen. Opgaven kunnen dan niet door de leerling per ongeluk worden gewisseld, of onbewust worden overgeslagen. Komma’s voor duizendtallen kunnen automatisch verboden worden, de vorm van het antwoord bij deelopgaven met rest kan dan gegeven worden en de leesbaarheid van de antwoorden is geen probleem.

kon uit de context worden afgeleid in welke vorm het antwoord gegeven moest worden. Zoals bij de opgave: Er worden 139 balpennen verpakt in doosjes.

Hoeveel doosjes kun je maken met 8 pennen in elk doosje? En hoeveel pennen hou je dan over? Het antwoord is dan 17 doosjes en 8 pennen, of 17 en 8 of 17 rest 8. Maar de decimale getallen betekenen hier niets en zijn in principe geen antwoord op de vraag en daarom fout gerekend. Achteraf gezien zouden de antwoorden op deze twee paren opgaven, ongeacht de aanwezigheid van tekst in alle vormen goed gerekend moeten worden om dezelfde vaardigheden te testen. Nu is een goed antwoord op het rekenprobleem fout gerekend omdat het geen passend antwoord is in het tekstuele probleem. Daarmee wordt niet alleen het effect van tekst op het oplossen van het een rekenprobleem getest zoals in dit deelonderzoek de bedoeling was, maar ook het terugvertalen van het antwoord naar de context Testafname Er is bij de test niets vermeld over het gebruik van punten en komma’s. Dit heeft er voor gezorgd dat veel leerlingen een punt of een komma gebruikten om een duizendtal aan te geven. Dit wordt in de TOA-toetsen fout gerekend, maar bij deze testen is besloten om dat per leerling en daardoor subjectief te beoordelen. Dit is gedaan omdat in deze test het verschil in oplossen van een rekenopgave met of zonder tekst voorop staat58. Data analyse Er zijn een aantal variabelen die van mogelijke invloed zijn geweest op de behaalde scores, welke niet zijn meegenomen in de analyse. Het gaat dan om bijvoorbeeld geslacht, schoolniveau, leerjaar, schoollocatie en thuistaal. Deze hadden als covariaat meegenomen kunnen worden. Naast de twee onderzochte variabelen tekst en bewerking is er nog een derde onafhankelijke variabele ingezet in de test. Dit was de getaleigenschap decimaal of geheel en bij 2F behoorden ook de eigenschappen negatief en groot tot de mogelijkheid. Deze variabele is buiten beschouwing gelaten, omdat de data anders in te kleine groepjes versplinterd zou worden en de keuze voor de variabele bewerking beter aansloot op de literatuur. Twee opvallendheden wijzen er echter op dat er een mogelijke interactie bestaat tussen tekst en het soort getallen. Ten eerste zorgden precies de twee paren opgaven met negatieve getallen voor de grootste verandering in het aantal goede antwoorden ten gunste van de tekstuele opgaven bij de 2F leerlingen ten opzicht van de 1F resultaten. Net als bij de tekstloze opgaven met de grote getallen, waarbij ook de tekstuele varianten hogere aantallen goede antwoorden hadden, waren er meer onwerkelijke antwoorden bij de tekstloze opgave dan bij de tekstuele. Ten tweede was er bij de paren opgaven waarin de getallen geldbedragen zijn een verschil te zien tussen de opgaven met verschillende soorten getallen. Bij de drie paren waarbij de tekstuele variant beter ging werden decimale en grote getallen gebruikt, maar waar de tekstloze variant beter ging waren dat gehele getallen. Dit wijst er op dat leerlingen bij moeilijkere getallen dan gehele getallen baat hebben bij een context. Resultaten 1F leerlingen hebben in het algemeen hogere scores op tekstloze opgaven dan op tekstuele. Bij 2F leerlingen is er echter geen verschil in scores gevonden. Vier van de zeven paren opgaven in de 2F test waarbij de

42

Rekenen op het VO

tekstuele opgave een hoger aantal goede antwoorden had dan de tekstloze, zaten niet in de 1F test. Het zou daarom alleen door deze paren kunnen komen dat 2F leerlingen beter zijn in tekstuele opgaven ten opzichte van tekstloze in vergelijking met 1F leerlingen. Maar ook bij de tweede analyse met alleen de opgaven die zowel in de 1F als 2F test zaten, kwam hetzelfde beeld naar voren. 1F leerlingen hebben ongeacht de bewerking in het algemeen hogere scores op tekstloze opgaven. Terwijl bij 2F leerlingen dat verschilt per paar opgaven, maar niet per se per bewerking. Dat leerlingen op een hoger rekenniveau minder grote verschillen laten zien tussen scores op tekstuele en tekstloze opgaven kwam ook naar voren bij Hickendorffs (2013a) vergelijking tussen groep 5 en groep 8 leerlingen, waarmee ze aansloot bij de resultaten uit een onderzoek van Vermeer (zoals geciteerd in Hickendorff, 2011). Dit verschil naarmate leerlingen ouder worden is te verklaren door de toenemende schoolervaring waardoor leerlingen meer cognitieve schema’s ontwikkelen om tekstuele problemen op te lossen (Vicente, Orrantia, & Verschaffel, 2007). De leerlingen uit dit deelonderzoek zijn één of twee jaar ouder dan basisschoolleerlingen en zouden volgens deze theorie minder problemen met tekstuele rekenopgaven moeten hebben ten opzichte van bijvoorbeeld groep 8 leerlingen59. De achterstanden waarmee de leerlingen op het JdW instromen, waardoor ze soms het rekenniveau van groep 5, 6 of 7 hebben bij binnenkomst zou deze discrepantie kunnen verklaren60. Daarnaast hebben leerlingen na de zomervakantie een terugval in vaardigheden, vooral op wiskundige berekeningen (Cooper, Nye, Charlton, Lindsay, & Greathouse, 1996). In combinatie met het slechte onderhoud van de kale rekenvaardigheden op het voortgezet onderwijs (Van den Boer, 2003), kan dit een verklaring zijn voor het feit dat de 1F leerlingen hetzelfde beeld laten zien als de onderbouwleerlingen van de basisschool in Hickendorffs onderzoek. Het aandeel dat thuis Nederlands sprak was groter bij Hickendorffs onderzoek (~80%), dan bij deze deelonderzoeken (~60%). Aangezien anderen schrijven over de slechtere prestaties van allochtone leerlingen bij tekstuele opgaven (Van den boer, 2003; De Wit, 2000), zou dat ook een verklaring kunnen zijn van de slechtere prestaties van de leerlingen in de eerste klas bij tekstuele opgaven ten opzichte van de groep 8 leerlingen in Hickendorffs onderzoek. Het zou daarom interessant zijn om te kijken of er bij de resultaten van dit deelonderzoek verschil is in scores tussen verschillende groepen qua thuistaal zoals in hoofdstuk 6 is gedaan. De resultaten uit hoofdstuk 6 wijzen er voorzichtig op dat leerlingen met een andere thuistaal dan Nederlands echter niet slechter presteren op contextuele opgaven dan Nederlandstalige leerlingen. Oorzaken rekenfouten Bij tekstuele opgaven is één fout als waarschijnlijk gevolg van de aanwezigheid van tekst geidentificeerd61; het kiezen van de verkeerde bewerking. Deze fout werd aanzienlijk vaker gemaakt door 1F leerlingen dan door 2F leerlingen en bij tekstuele opgaven dan bij tekstloze. Dit was verwacht, want bij tekstloze opgaven hoeven leerlingen niet zelf de stap van context naar rekenprobleem te maken, de bewerking is daar al gegeven. Een reden hiervoor kan zijn dat leerlingen op zoek gaan naar signaalwoorden om zo snel mogelijk de opgave op te lossen. Hegarty, Mayer en Monk (1995) noemen dit de ‘direct-translation approach’, en ze refereren

59 Vijf van de acht opgaven in Hickendorffs (2013a) onderzoek bevatten, in tegenstelling tot de opgaven in dit onderzoek, extra informatie zoals een tabel of een illustratie. Dit kan de leerlingen in haar onderzoek hebben geholpen bij het oplossen (Van Eerde, 2009; Hoogland et al., 2012). Terwijl uit onderzoek van Berends en Van Lieshout (2009) juist naar voren kwam dat illustraties in rekenopgaven een extra belasting zijn op het werkgeheugen en daardoor een obstakel zijn. Het verschil tussen de twee onderzoeken is de vormgeving en functie van de gebruikte illustraties. Bij Berends en Van Lieshout zijn deze erg beknopt, net als de bijbehorende tekst. Terwijl die in het onderzoek van Hoogland et al. meer tot de verbeelding proberen te spreken door foto’s te gebruiken om zo de context tot leven te roepen. De illustraties in het onderzoek van Hickendorff zitten er tussen in.

De enige bewerking waar bij alle twee opgaven in haar onderzoek een illustratie bevatten was de deling. Hierbij hadden juist de tekstloze opgaven hogere aantallen goede antwoorden. Het gebruik van illustraties is daarom niet meteen een verklaring voor het feit dat er bij haar geen verschil is tussen tekstuele en tekstloze opgaven, en in dit onderzoek wel.

60

Instroomgegevens 2013-2014 basis en kader van locatie Zusterstraat op rekenen:

o 11% adequaat o 32% 1 jaar achterstand o 34% 2 jaar achterstand o 18% 3 jaar achterstand o 5% meer dan 3 jaar achterstand

61

Oorzaken van rekenfouten kunnen niet met absolute zekerheid worden gesteld. Het denkpatroon van de leerlingen wat tot hun antwoord heeft geleid is namelijk niet meegenomen in dit onderzoek.

43


62

In het onderzoek van hoofdstuk 6 kwam een typisch opgave voor waarbij dit fout gaat: Ruud gaat

met 3 vrienden naar een popconcert. Hij koopt bij de ingang 24 muntjes en verdeelt deze over zichzelf en zijn 3 vrienden. Iedereen krijgt evenveel muntjes. Hoeveel muntjes krijgt Ruud? Dit is een opgave waarbij de juiste bewerking delen waarschijnlijk vaak direct wordt toegepast op de twee gegeven getallen. Ze verdelen dan de 24 muntjes over de 3 personen, terwijl het om 4 personen gaat.

63

Piet en Koen houden samen een hardloopwedstrijd. Koen werd tweede met een eindtijd van 25,27 seconden. Piet was 2,68 seconden sneller. Wat is de eindtijd van Piet?

64

Zoals bijvoorbeeld een kleiner getal als eindantwoord geven bij een optelling van twee grotere getallen.

naar andere benamingen voor deze strategie: “compute first think later (Stigler et al., 1990), the keyword method (Briars & Larkin, 1984) and number grabbing (Littlefiel & Rieser, 1993)” (p. 19)62. Volgens Hegarty et al. maken leerlingen zich het realistische probleem niet eigen en vertrouwen ze op signaalwoorden. Dit vertrouwen hebben ze gekregen door een jarenlange ervaring met beknopte tekstuele problemen (ook wel redactiesommen) waarbij deze aanpak vaak werkt. De enige opgave waarbij dit duidelijk naar voren kwam in hoofdstuk 5 was een vergelijkopgave63, waarvan Riley et al. (1983) zeggen dat het interpreteren van signaalwoorden in een dergelijke opgave grote problemen kan opleveren. Deze opgave was de enige vergelijkopgave in het eerste deelonderzoek van hoofdstuk 5. Het uitvoeren van de verkeerde bewerking bij de tekstuele opgave kwam bij 2F leerlingen vrijwel niet meer voor. Dit is niet vreemd, aangezien goede probleemoplossers relatief veel tijd besteden aan een strategie om een nieuw probleem op te lossen, een rekenmodel te construeren en het kiezen van een oplossingsplan, waarbij ze tegelijkertijd hun prestatie monitoren. Vooral zwakke probleemoplossers springen snel naar berekeningen voordat ze het probleem goed hebben geanalyseerd (Hegarty et al., 1995). Bij 2F leerlingen werd er wel vaker een algemene fout gemaakt bij de tekstloze opgaven. Zij geven op deze variant vaker een onwerkelijk antwoord64. Dit zou kunnen komen doordat er door het ontbreken van een context een aanleiding en mogelijkheid mist tot reflectie (Van Groenestijn et al., 2011). Ook bij tekstuele opgaven wordt deze fout gemaakt, maar aanzienlijk minder vaak. Verder viel op dat de variant die het minst aantal goede antwoorden had ook het vaakst werd overgeslagen. Leerlingen laten zich blijkbaar terecht afschrikken door een voor hen lastig lijkende context of kale rekenopgave. Of andersom maakt context een lastige lijkende kale rekenopgave toegankelijk. Naast de twee algemene fouten met betrekking tot tekstuele en tekstloze opgaven, vielen een aantal elementen binnen de tekst op die hoogstwaarschijnlijk hebben geholpen of voor obstakels hebben gezorgd. Omdat er binnen dit onderzoek niet specifiek naar elementen binnen tekst is gekeken, alleen naar het element tekst zelf, kunnen alleen de kenmerken van tekst besproken worden die uit zichzelf opvielen.

Helpende tekst Sommige contexten kunnen bij opgaven waar één bewerking wordt bedoeld, ook leiden naar een ander stappenplan met meerdere bewerkingen. Zoals bij bijvoorbeeld de opgave 10: 0,2 =. De tekstuele opgave die daar bij hoort luidt:

Tim heeft dozen van 0,2 meter hoog. Hoeveel dozen heeft hij nodig om een toren van 10 meter te bouwen?. Deze is ook op te lossen met meerdere bewerkingen. Zo kan een leerling bedenken dat er 5 dozen in een meter passen, en dan maal 10 doen. Of dat 0,2 meter gelijk is aan 20 centimer en 10 meter gelijk aan 1000 centimeter, waarna de deling niet meer met een decimaal getal uitgevoerd hoeft te worden.

Tekstuele obstakels De opgave met het grootste verschil, bij zowel 1F als 2F leerlingen, tussen het aantal juiste antwoorden op de tekstuele en tekstloze opgaven ten gunste van de tekstloze opgave, is: Piet en Koen houden samen een hardloopwedstrijd.

Koen werd tweede met een eindtijd van 25,27 seconden. Piet was 2,68 seconden sneller. Wat is de eindtijd van Piet?. De grootste fout die bij deze

44

Rekenen op het VO

opgave werd gemaakt, is dat leerlingen de twee getallen hebben opgeteld in plaats van afgetrokken. Dit zou kunnen komen doordat de deel-geheel relatie in deze opgave, in vergelijking met de andere opgaven, lastig is verwoord. Cummins (1991) vatte op basis van een aantal onderzoeken samen, dat kinderen in de onderbouw van de basisschool een grote bron van moeilijkheid ondervinden in het correct interpreteren van bepaalde woorden en zinsdelen in termen van verzamelingen en logische relaties daar tussen. In deze opgave wordt eerst het geheel 25,27 genoemd en daarna met het woord sneller de relatie van 2,68 tot het geheel aangeduid. Ook al wordt deze relatie ook door het zinsdeel Koen werd tweede ingeleid, heeft dit bij veel leerlingen niet tot de juiste interpretatie dat 2,68 een deel is van 25,27 geleid. Dit tekstuele probleem is te classificeren als een vergelijkprobleem. Volgens Riley (zoals geciteerd in Cummins, 1991) zijn er drie categorieën waarin de meest simpele woordproblemen onder te verdelen zijn. Dat zijn combineer-, vergelijken veranderproblemen. Een groot probleem bij vergelijkproblemen is het interpreteren van de signaalwoorden waarmee de vergelijking wordt aangegeven, zoals sneller in deze opgave, hoger en minder. Er zaten geen andere vergelijkopgaven in de testen om dit verder te kunnen bekijken. Vergelijkopgaven met een andere bewerking dan aftrekken had hetzelfde grote verschil kunnen opleveren, het soort bewerking interacteert waarschijnlijk niet met tekst. Een verschil in aantallen goede antwoorden op tekstuele en tekstloze opgaven lijkt meer af te hangen van de gebruikte getallen en zinsconstructie, dan van de gebruikte bewerking.

5.5

Conclusie (1a) Dit deelonderzoek is opgezet om de volgende deelvraag te beantwoorden voor leerlingen in de onderbouw van het JdW: (1a)


Voor de leerlingen onder of net op 1F niveau in de onderbouw van het JdW zijn de gemiddeld behaalde scores op tekstuele opgaven met één bewerking inderdaad lager dan op tekstloze. Dit komt vooral doordat leerlingen de verkeerde bewerking kiezen bij tekstuele opgaven. Echter, bij leerlingen net onder of op 2F in de onderbouw van het JdW gaat soms de tekstuele en soms de tekstloze opgave beter, waardoor er in het algemeen geen verschil in gemiddeld behaalde score op tekstuele en tekstloze opgaven is. De verschillen ten gunste van de tekstloze opgaven kwamen bij deze leerlingen ook doordat leerlingen vaker de verkeerde bewerking kozen bij de tekstuele opgave dan bij de tekstloze. Als er een verschil ten gunste van de tekstuele opgave was, werd vaker een onwerkelijk antwoord gegeven bij de tekstloze opgave dan bij de tekstuele.

5.6

Methode (1b) Voor het beantwoorden van deze deelvraag is een schriftelijke test op 1F niveau bij 632 leerlingen in de onderbouw van het JdW afgenomen65. De 583 leerlingen, van wie de antwoorden als serieus beoordeeld zijn, zijn tussen de 12 en 19 jaar oud, zie tabel 5.

65

Omdat dit keer de gehele onderbouw dezelfde test zou maken is het referentieniveau 1F aangehouden, aangezien het overgrote deel van de leerlingen op dat niveau zit. Er zijn geen aparte opgaven op 2F niveau, die leerlingen maken dit keer precies dezelfde opgaven als de 1F leerlingen.

45


Tabel 5

Aantal Deelnemende Leerlingen per Leeftijdsgroep Leeftijd

12

13

14

Aantal leerlingen

41

163

157

15 16-19 105

117

In tabel 6 is te zien hoe de leerlingen op beide niveaus zijn verspreid over leerjaar, schoolniveau en de drie locaties (Zusterstraat (ZS), Hooftskade (HK) en Capadosestraat (CS). Tabel 6

Aantal Deelnemende Leerlingen per Schoollocatie, Leerjaar en Schoolniveau

66

De vier tekstloze opgaven waren opgaven met één bewerking en twee getallen, deze zijn vooraan in de test toegevoegd ten behoeve van deelvragen (3a) en (3b).

67

Met twee getallen moest één bewerking worden uitgevoerd, waarna met de uitkomst en het derde getal de tweede bewerking uitgevoerd diende te worden.

68

Geen enkele opgave zal precies even moeilijk zijn met verschillende getallen. Dat komt doordat de ene leerling 7+8 makkelijker zal vinden dan 7+6 en andersom.

69

De vier hoofdbewerkingen:

o Optellen o Aftrekken o Vermenigvuldigen o Delen

70 Bijvoorbeeld de combinatie aftrekken en delen komt twee maal in de test voor, één maal met eerst de aftrekking en daarna de deling en één maal met eerst de deling en dan de aftrekking.

46

Leerjaar

1

2

3

Schoolniveau\Locatie:

ZS

HK

CS

ZS

CS

ZS

Totaal

Pro +

-

-

12

-

8

-

20

Vmbo-bbl

58

56

23

89

16

-

242

Vmbo-kbl

51

53

7

61

-

-

172

Vmbo-kbl/Vmbo-t

-

-

-

20

-

-

20

Vmbo-t

24

-

-

23

-

-

47

Havo

16

-

-

19

-

47

82

Totaal

149

109

42

215

24

47

583

25,9% Van de leerlingen spreekt thuis Nederlands, 26,0% spreekt thuis zowel Nederlands als een andere taal en 42,0% spreekt een andere taal met zijn of haar verzorgers. Van 6,0% is de thuistaal onbekend. Testopzet De test is tijdens de derde toetsweek voor alle klassen van de onderbouw wederom ingeroosterd voor 60 minuten. Ook bij deze test is geen rekenmachine toegestaan, ruimte voor berekeningen was bij elke opgave op de test aanwezig. De leerlingen maakten 24 opgaven; vier tekstloze66 en tien paren bestaande uit een tekstuele en een bijbehorende tekstloze opgave. Deze tien paren opgaven bestonden alle uit drie getallen en twee bewerkingen67. In één paar opgaven waren de twee uit te voeren bewerkingen gelijk en de twee drietallen getallen, waarmee die bewerkingen uitgevoerd dienden te worden, weer gelijkwaardig qua moeilijkheid. Dit keer is de moeilijkheid van de getallen gecontroleerd door een collega rekenen, hierbij is gelet op het aantal en soort stappen68. Ook nu zijn twee versies gehanteerd om de eventuele invloed van toch een verschil in moeilijkheid op de resultaten tegen te gaan. De combinatie van twee hoofdbewerkingen69 zijn tweemaal in een opgave in de test vertegenwoordigd. In de ene opgave is de volgorde waarin de bewerkingen uitgevoerd dienen te worden tegengesteld aan de volgorde bij de andere opgave70. Vanwege een gebrek aan afnametijd, konden niet alle combinaties in de test verwerkt worden. Er is voor gekozen om alleen combinaties van twee bewerkingen in de test te verwerken waarbij de opgave alleen opgelost kan worden als er ook daadwerkelijk twee bewerkingen worden uitgevoerd. Alle combinaties tussen optellen en aftrekken zijn daarom niet in de test verwerkt. Deze opgaven zouden ook met één bewerking op drie getallen tegelijk op te lossen zijn. Omdat deze combinaties van dezelfde bewerkingen niet zijn opgenomen, zijn ook de twee combinaties waarin tweemaal vermenigvuldigd of gedeeld diende te worden niet verwerkt in de test.

Rekenen op het VO

Er zijn een aantal opgaven waarbij andere bewerkingen of een andere volgorde van bewerkingen dezelfde uitkomsten geven als de bedoelde bewerkingen en volgorde. Zoals de opgave met eerst een bewerking delen en dan vermenigvuldigen, waarbij 45 : 9 x 16 dezelfde uitkomst geeft als 45 x 16 : 9. Daarom is elke opgave zo opgesteld dat er op de bedoelde volgorde van bewerkingen werd aangestuurd. Bij de tekstloze opgaven betekent dit dat er altijd haakjes om de twee getallen van de eerste bewerking is gezet, ook al is dat volgens de regels van de volgorde van bewerkingen niet nodig71. Bij de tekstuele opgaven wordt op de volgorde aangestuurd doordat de twee getallen van de eerste bewerking altijd als eerste worden genoemd. Er kan echter niet worden voorkomen dat een leerling een andere bewerking of volgorde toepast die ook correct is. Dit heeft geen invloed op de resultaten, omdat er in die gevallen nog steeds meerdere bewerkingen met meerdere getallen uitgevoerd worden. Leerlingen moeten in deze test 44 bewerkingen (vier enkele bewerkingsopgaven en twintig maal twee bewerkingen) in dezelfde tijd als de 32 bewerkingen in de test van deelvraag (1a) uitvoeren. Er zijn daarom alleen gehele getallen gebruikt, en geen decimale72. Door gebrek aan tijd is er geen ruimte voor een makkelijke en moeilijke opgave per type opgave. Er zijn voor deze test wederom alleen opgaven opgesteld die binnen het domein getallen passen, zodat bijvoorbeeld de mate van kennis van het metrieke stelsel geen invloed heeft.

71

Er zijn noodzakelijke haakjes gezet, zoals bij (5 + 7) x 16 = wat niet hetzelfde is als 5 + 7 x 16 =

En onnodige haakjes die extra aansturen op welke bewerking eerst uitgevoerd moet worden, zoals bij (24 x 17) + 112 = wat wel hetzelfde is als 24 x 17 + 112 =

72

Opgaven met gehele getallen zijn waarschijnlijk makkelijker te maken. Het totaal aantal goede antwoorden bij de 1F test op de zestien opgaven met gehele getallen was namelijk 4703, en bij de zestien opgaven met decimale getallen was dat 3852.

Opgaven De gebruikte opgaven zijn geïnspireerd op de opgaven uit paragraaf 4.9 – Bewerkingen: toepassingen van het PPON 2011(Scheltens et al., 2013)73. Dit zijn opgaven voor groep 8 en daarom op 1F niveau. Alle opgaven zijn zo opgesteld dat ze voldoen aan de eisen van 1F in het rapport van de commissie Meijerink (2008b). Bij het opstellen van de opgaven is voldoende variatie aangebracht in de contexten, zodat niet een groot deel van de opgaven in een zelfde context werd gesteld. In tegenstelling tot de opgaven bij deelvraag (1a) zijn er geen contexten gebruikt waarin eenheden een rol spelen. Uit de resultaten van dat deelonderzoek is namelijk gebleken dat geldcontexten in sommige gevallen makkelijker kunnen zijn dan andere contexten, bovendien zorgden andere eenheden zoals kilogram soms voor mogelijk onnodige fouten. Daarnaast zijn deelopgaven waarbij een rest overbleef vermeden, aangezien er dan bij de tekstloze variant meer goede antwoorden zijn dan bij de tekstuele.

Taal Voor het vermijden van struikelwoorden werd dezelfde lijst aangehouden als bij deelvraag (1a), de Basislijst Schooltaalwoorden VMBO (Verhallen & Alons, 2010). De toets is daarna aan drie docenten Nederlands voorgelegd en één docent rekenen/wiskunde die lesgeeft aan nieuwkomers. Alle vier geven les aan de eerste klas basis en één docent ook aan de eerste klas pro. Aan de hand van hun commentaar zijn alle tien tekstuele opgaven aangepast en opnieuw gekeurd, totdat ook zij van mening waren dat alle deelnemende leerlingen alle woorden in de opgaven zouden kunnen begrijpen.

73

Onder bewerkingen: toepassingen verstaan ze (Scheltens et al., 2013): De opgaven bij het onderwerp Bewerkingen: toepassingen zijn allemaal contextopgaven. De gegevens worden in een tekst, een tabel of schema aangeboden. De leerling moet bij deze opgaven meerdere getalsmatige gegevens met elkaar in verband brengen en relevante gegevens uit de context of uit de afbeelding afleiden. De voorgelegde problemen doen een beroep op het gecombineerde gebruik van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Bij de opgaven gaat het naast het berekenen ook om de keuze van de relevante bewerkingen. (p. 140)

Op aanraden van de docenten is besloten om één woord dat in de woordenlijst staat toch te gebruiken. Dat woord is ‘evenveel’. De alternatieven ‘hetzelfde aantal’ of ‘een gelijk aantal’ zou volgens de docenten namelijk meer moeilijkheden opleveren. Een beter alternatief wat niet ook in de woordenlijst

47


stond is niet gevonden. Een woordenboek Nederlands-Nederlands was toegestaan. Testmateriaal In tabel 7 staan de opgaven die gebruikt zijn met eerst een optelling in versie A van de test. De opgaven met de andere drie bewerkingen als eerste bewerking staan in bijlage 7. In de B versies is de tekst van de tekstuele opgave naar de bijbehorende tekstloze opgave verhuisd. Een tweedegraads wiskundedocent heeft wederom ter controle bij alle tekstuele opgaven de bijbehorende kale rekenopgave geschreven. Deze kwamen allemaal overeen met de bedoelde kale opgave. Tabel 7

De Twee Paren Opgaven met als Eerste Bewerking een Optelling Bewerking #1

Bewerking #2

Optellen

Vermenigvuldigen

Opgave Tekstloos

(5 + 7) x 16 =

Tekstueel

(6 + 7) x 14 = Aan een spelshow op televisie doen groepen mensen mee. Elke groep heeft 6 vrouwen en 7 mannen. Er doen 14 groepen mee. Hoeveel mensen doen mee aan de spelshow?

Delen

Tekstloos

(45 + 46) : 7 =

Tekstueel

(57 + 39) : 6 = Een aantal klassen gaan op schoolreisje met twee bussen. In de ene bus zitten 57 leerlingen en in de andere bus 39. Bij aankomst worden 6 groepen gemaakt. Deze groepen zijn allemaal even groot. Hoeveel leerlingen zitten in elke groep?

Volgorde Na de vier tekstloze opgaven voor deelvragen (3a) en (3b) zijn de twintig opgaven uit de tien paren systematisch verdeeld in de test ter vermijding van leereffecten als er bijvoorbeeld meerdere soortgelijke opgaven na elkaar gemaakt moesten worden. Opgaven die bijvoorbeeld als eerste bewerking optellen hebben, worden gescheiden door minstens twee opgaven die een andere bewerking dan optellen als eerste bewerking hebben. De verdeling is voor versie A in tabel 8 weergegeven. O, A, V, D staan respectievelijk voor de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met OV wordt bijvoorbeeld bedoeld dat in de desbetreffende opgave eerst de bewerking optellen en daarna de bewerking vermenigvuldigen uitgevoerd dient te worden. De gearceerde hokjes geven aan dat de opgave tekstueel was, alle niet-gearceerde opgaven waren tekstloos. Tabel 8

Volgorde van Laatste Twintig Opgaven in Versie A

48

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

OV

VA

DV

AV

OD

VO

DA

AD

VD

DO

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

OV

VA

DV

AV

OD

VO

DA

AD

VD

DO

Rekenen op het VO

Testafname De versies A en B zijn willekeurig door de surveillant uitgedeeld zó dat de helft van de meisjes en de helft van de jongens versie A had en de andere helft versie B. Op elke bladzijde van de test stonden vier opgaven met een afgeschermde ruimte voor het antwoord en een ruimte voor kladberekeningen, kladblaadjes waren niet toegestaan. Zie bijlage 8 voor een voorbeeld. Op het voorblad is vermeld dat punten om duizendtallen aan te geven niet is toegestaan. Deze instructie is gekopieerd van de voorbeeldrekentoetsen van cito (2012). Omdat een mail naar de rekendocenten, bijlage voor de surveillant en instructie op de toets van de leerling zelf bij de test van deelvraag (1a) niet genoeg was om te voorkomen dat er kladblaadjes werden gebruikt die daarna zijn weggegooid, is dit keer bovenop al deze maatregelen een bericht in de wekelijkse nieuwsbrief voor alle docenten en leerlingen gezet. Ook is daarna nog een mail naar alle surveillanten gestuurd. Deze berichten zijn ook aangegrepen om te benadrukken dat de test serieus gemaakt dient te worden. Dit werd nodig geacht, omdat verwacht werd dat de leerlingen deze test minder serieus zouden nemen dan de test van deelvraag (1a). De leerlingen wisten nu namelijk dat de resultaten alleen diagnostisch gebruikt zouden worden. Gegevens Alle testen zijn door één persoon nagekeken. Opgaven die zijn overgeslagen zijn fout gerekend. Deelnemers die zijn gestopt voor opgave 22 of eerder zijn uit de groep gehaald, omdat daarvan niet gezegd kan worden of dat kwam omdat ze te weinig tijd hadden, of omdat ze de opgaven niet konden maken en daarom fout hadden. Antwoorden waarbij de duizendtallen met een punt of komma zijn aangegeven zijn fout gerekend. Ondanks de maatregelen die zijn genomen om de leerlingen de toets serieus te laten maken, was het aantal overgeslagen opgaven een stuk groter dan bij de testen van deelvraag (1a). In totaal zijn 49 leerlingen verwijderd uit de data, omdat bij deze leerlingen de overtuiging groot was dat ze de test niet serieus hebben gemaakt74. Data analyse Om te controleren of de opgaven ongeveer hetzelfde testen, is wederom een cronbach’s alpha berekend. Deze moet minstens 0.70 zijn (Field, 2009). Als de onderlinge correlatie lager dan 0.30 was, werd gekeken naar de cronbach’s alpha als deze opgave uit te test verwijdert zou worden. Als dit een aanzienlijk hogere cronbach’s alpha was, zou het opgavenpaar eventueel verwijdert moeten worden. Omdat elke opgave twee bewerkingen bevat, was de variabele bewerking niet meer op te splitsen in de vier elementen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Als het verschil in bewerkingen werd meegenomen zou er een three-way repeated measures ANOVA uitgevoerd moeten worden, die kijkt naar de interactie van twee variabelen afhankelijk van de derde. Omdat het voor dit deelonderzoek niet interessant is wat bijvoorbeeld de interactie tussen de twee variabelen optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen is afhankelijk van de aanwezigheid van tekst, is besloten om het verschil in bewerkingen niet mee te nemen in deze analyse. Dat betekent dat er één ingezette onafhankelijke variabele overbleef, de aanwezigheid van tekst. Op de data is daarom een gepaarde t-test uitgevoerd

74 Dit zijn leerlingen die meer dan vijf opgaven hebben overgeslagen, maar ook bijvoorbeeld leerlingen die alleen de eerste paar opgaven goed hadden en daarna naar alle waarschijnlijkheid willekeurige getallen hebben ingevuld zoals 20, 30, 40, 50, enzovoort.

75

Voor het uitvoeren van een gepaarde t-test moeten twee voorwaarden gelden. De verschillen tussen de scores op tekstuele en tekstloze opgaven moeten ongeveer normaal verdeeld zijn, en die verschillen mogen geen outliers bevatten. Voor het controleren van normaliteit is wederom met zscores voor skewness en kurtosis gewerkt. Hiervoor is het interval [3,29; 3,29] aangehouden, aangezien waarden daarbuiten buiten 99,9% van alle z-scores zitten (Field, 2009). Mogelijke outliers zijn gedecteerd door te kijken naar boxplotten van de verschillen in behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven in de tien condities. Bij een afwijking van meer dan een anderhalve boxlengte van de staarten is het als een outlier beoordeeld (Field, 2009).

49


om te bepalen of de behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven van elkaar verschillen75. Deze scores lopen van 0 tot 10. Naast de gepaarde t-test zijn de verschillen in aantal goede antwoorden op de tekstuele en tekstloze varianten van alle paren nader bekeken. met de grootste verschillen gegaan kan worden om mogelijke oorzaken van die verschillen te vinden. Om de resultaten te kunnen vergelijken met die van deelvraag (1a) zullen eerst de testen op de resultaten van de gehele groep uitgevoerd worden, waarna de groep leerlingen gesplitst zal worden in de twee groepen die bij de testen van deelvraag (1a) de 1F en de 2F test hebben gemaakt.

5.7

Resultaten (1b) Van de jongens heeft 51,6% versie A gemaakt en van de meisjes is dat 52,9%. Van de gehele groep deelnemende leerlingen heeft 52,3% versie A gemaakt en de rest versie B. Er was een goede onderlinge consistentie tussen de opgaven, =0.818. Bij meerdere opgaven was de correlatie met de andere opgaven lager dan 0.30 was. Verwijdering van deze opgaven leverde slechts een maximale stijging van 0.006 in de nieuwe cronbach’s alpha’s op. Geen van de opgaven is daarom verwijdert.

76

Er zijn zeven outliers gevonden in de verschillen tussen tekstuele en tekstloze scores. In alle gevallen ging het om een verschil van groter of gelijk aan 8 punten ten gunste van de tekstloze opgave.

Daarnaast zijn de verschillen in behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven niet normaal verdeeld, aangezien de z-score voor skewness 3.76 was (die van kurtosis was -0.228). De gepaarde t-test is daarom nogmaals uitgevoerd zonder de zeven outliers om te kijken of de verschillen dan wel normaal verdeeld zijn en of dit invloed heeft op de uitkomsten van de t-test. De verschillen zijn dan inderdaad normaal verdeeld, maar omdat er geen groot verschil in uitkomsten was, waarschijnlijk vanwege het grote aantal deelnemers, en omdat de t-test vrij robuust is voor afwijkingen in skewness (Field, 2009), zijn de outliers behouden.

De behaalde scores op de tekstloze opgaven (gemiddelde = 7.65, SD = 2.17) zijn significant hoger dan de scores op de tekstuele opgaven (gemiddelde = 5.86, SD = 2.70) met een gemiddeld verschil van 1.79 punten, 95% CI [1.62; 1.97], t(582) = 19.83, p < 0.0005 (two-tailed), d = 0.8276.

Grootste verschillen In de verschillen in aantallen goede antwoorden op de tekstuele en tekstloze varianten van de afzonderlijke paren opgaven, zoals weergegeven in figuur 11, is duidelijk te zien dat twee opgaven met de bewerking aftrekken voor de grootste verschillen ten gunste van de tekstloze variant zorgen. 600 500 400 300 200 100 0 OV

VO

OD Tekstueel

DO

AV

Tekstloos

VA

AD

DA

VD


Figuur 11: Aantal goede antwoorden op de tekstuele en tekstloze opgaven en het verschil daartussen

50

DV

Rekenen op het VO

1F leerlingen Van de 435 leerlingen die voor deelvraag (1a) de 1F test hebben gemaakt, hebben 383 (serieus) met deze test meegedaan. 21 leerlingen van deze 383 zijn ondertussen overgestapt naar een klas op 2F niveau, maar voor deze analyse zijn die in deze groep gehouden. Het werd verwacht dat de uitkomsten van deze t-test hetzelfde beeld zouden geven, aangezien de 1F leerlingen 66% van de gehele groep in dit deelonderzoek beslaat. De scores op de tekstloze opgaven (gemiddelde = 7.38, SD = 2.24) zijn inderdaad significant hoger dan de scores op de tekstuele opgaven (gemiddelde = 5.35, SD = 2.59) met een gemiddeld verschil van 2.03 punten, 95% CI [1.81; 2.25], t(382) = 18.15, p < 0.0005 (two-tailed), d = 0.9377. Wat opvalt is dat het verschil in behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven groter is dan bij de gehele groep, een gemiddeld verschil van 2.03 tegenover 1.79. Deze gemiddelde verschillen hebben geen overlappende 95%-confidence intervallen, wat betekent dat dit vrij waarschijnlijk zelfs significant groter is.

Grootste verschillen Bij deze groep leerlingen is ook in de aantallen goede antwoorden hetzelfde beeld te zien als bij de gehele groep, zoals te zien is in figuur 12.

77

De verschillen tussen scores op de tekstuele en tekstloze opgaven zijn bij deze leerlingen normaal verdeeld. Er is wel één outlier, maar omdat het geen extreme outlier is en de data normaal verdeeld is, zal dit minimale invloed hebben op de uitkomsten van een dergelijk grote groep deelnemers. Deze is daarom niet verwijderd.

400 350 300 250 200 150 100 50 0 OV

VO

OD Tekstueel

DO

AV

Tekstloos

VA

AD

DA

VD

DV


Figuur 12: Aantal goede antwoorden op de tekstuele en tekstloze opgaven van de 1F leerlingen en het verschil daartussen

2F leerlingen Van de 156 leerlingen die de 2F test voor deelvraag (1a) hebben gemaakt, hebben 134 deze test (serieus) gemaakt. Omdat de 1F leerlingen in dit deelonderzoek een groter verschil in behaalde scores ten gunste van de tekstloze opgaven hadden dan de gehele groep, was het aannemelijk dat de 2F leerlingen een minder groot verschil, of juist een verschil ten gunste van de tekstuele opgaven hadden. De scores op de tekstloze opgaven (gemiddelde = 8.52, SD = 1.56) zijn weer significant hoger dan de scores op de tekstuele opgaven (gemiddelde = 7.60, SD = 2.02) met gemiddeld verschil van 0.93 punten, 95% CI [0.62; 1.24], t(133) = 5.89, p < 0.0005 (two-tailed), d = 0.5178.

78

Net als bij de 1F leerlingen zijn de verschillen tussen de behaalde scores op de tekstuele en tekstloze opgave normaal verdeeld. Om dezelfde redenen als bij de 1F leerlingen worden de nu twee aanwezige outliers meegenomen in de analyse.

51


Dit verschil is inderdaad minder groot dan dat bij de 1F leerlingen en de gehele groep. Dit is ook te zien aan de effectgroottes die bij de gehele groep en de 1F leerlingen groot zijn, respectievelijk d = 0.82 en d = 0.93, en bij de 2F leerlingen middelgroot, d = 0.51 (Field, 2009).

Grootste verschillen Net als bij deelvraag (1a) zijn de verschillen in aantallen goede antwoorden op tekstuele en tekstloze opgaven minder groot dan bij 1F leerlingen, zie figuur 13. De twee grootste verschillen ten gunste van de tekstloze opgaven blijven bij dezelfde opgaven met een aftrekking bestaan, maar deze en de andere verschillen zijn alle kleiner geworden. Bij de bewerking optellen zijn er zelfs twee kleine verschillen ten gunste van de tekstuele variant. 140 120 100 80 60 40 20 0 OV

VO

OD

DO

AV

VA

AD

DA

VD

DV

-20 Tekstueel

Tekstloos


Figuur 13: Aantal goede antwoorden op de tekstuele en tekstloze opgaven van de 2F leerlingen en het verschil daartussen

5.8

Discussie (1b) Dit tweede deelonderzoek is opgezet om te testen of er hogere scores worden gehaald op tekstloze rekenopgaven met twee bewerkingen dan op tekstuele opgaven met twee bewerkingen. Hiertoe zijn de scores van 583 leerlingen uit de onderbouw van het JdW op tien paren opgaven bekeken, waarbij een paar opgaven bestond uit één tekstuele en één tekstloze met gelijke bewerkingen en gelijkwaardige getallen. De scores op de tekstuele opgaven zijn daarvoor vergeleken met de scores op de tekstloze opgaven. Resultaten Aangezien de vertaling van context naar kale rekenopgave nu meerdere stappen omhelsde dan bij deelvraag (1a) was de verwachting dat er een groter verschil in scores ten gunste van de tekstloze opgave zou zijn. De scores voor de 1F leerlingen zijn inderdaad overtuigend hoger op tekstloze opgaven in vergelijking met tekstuele opgaven. Dit verschil is 20 procentpunt, wat groter is dan het verschil van 7 procentpunt bij deelvraag (1a). Ook bij 2F leerlingen, in tegenstelling tot de resultaten bij deelvraag (1a), is het verschil ten gunste van de tekstloze opgaven significant. Het verschil van 9 procentpunt blijft bij de 2F leerlingen echter wel minder groot dan bij de 1F leerlingen.

52

Rekenen op het VO

Omdat er extra onnodige haakjes zijn neergezet, zouden leerlingen meer moeite met reguliere kale rekenopgaven met meerdere bewerkingen kunnen hebben dan in dit onderzoek, aangezien dan ook kennis van de volgorde van bewerkingen er bij komt kijken. Oorzaak rekenfouten Vanwege tijdgebrek zijn niet alle antwoorden geïnspecteerd om er achter te komen wat voor soort fouten er zijn gemaakt zoals bij deelvraag (1a). Wel zijn de drie paren opgaven die voor de grootste verschillen ten gunste van de tekstloze variant zorgden nader bekeken om een mogelijke verklaring voor die verschillen te achterhalen. Bij de opgave met eerst de bewerking aftrekken en daarna vermenigvuldigen is de context als volgt: In 2010 wilde Nederland 38 sporters

naar de Olympische Winterspelen sturen. Net voor vertrek vielen er 3 sporters af door blessures. Zij gingen dus niet mee. Er gingen per sporter 4 trainers mee. Hoeveel trainers gingen er in 2010 mee?. Bij het nakijken kwam regelmatig het antwoord 39 voorbij. Dit komt waarschijnlijk door de voor leerlingen misschien vreemde verhouding van 4 trainers op 1 sporter, waardoor ze wel 3 sporters er af hebben getrokken, maar in totaal maar 4 trainers er bij op hebben geteld79. Deze opgave is een goed voorbeeld van een context die niet aansluit bij de belevingswereld van de leerling. Stern en Lehrndorfer (1992) toonden aan dat niet alleen het taalgebruik een bron voor moeilijkheid is, maar dat een relateerbare context met hetzelfde taalgebruik als in het dagelijkse leven minder moeilijk was dan onrelateerbare contexten.

79

Dit is een voorbeeld waarbij ‘number grabbing’ een verkeerd resultaat geeft. Leerlingen verdiepen zich niet genoeg in de context.

Het is daarom ook bij deze test te betwijfelen of het soort bewerking interacteerd met de aanwezigheid van tekst ten aanzien van het verschil in aantal goede antwoorden op tekstloze en tekstuele opgaven. Als de aftrekking in de genoemde opgave door een optelling zou worden vervangen, dan zou er bij de optelling waarschijnlijk een groter aantal goede antwoorden op de tekstloze variant verschijnen ten opzichte van de tekstuele dan nu het geval is. Het lijkt er meer op dat taalgebruik in plaats van bewerking met het verschil tusen de twee varianten te maken heeft , en dat deze per opgave en daardoor per bewerking toevallig is toebedeeld. De tweede opgave had eerst de bewerking delen en dan aftrekken en luidde: Een groep van 27 vrienden wil naar een discotheek. Ze gaan naar

binnen in groepjes van 3. 2 groepjes vinden het te lang duren en gaan naar huis. Hoeveel groepjes gaan wel naar binnen?. Tijdens het nakijken viel op dat veel leerlingen als antwoord 1 groepje gaven. Dit komt waarschijnlijk door het zinsdeel ‘groepjes van 3’. Leerlingen kunnen dit hebben opgevat als ‘in 3 groepjes’80. Bij deze twee opgaven is duidelijk waar de moeilijkheid in de tekst waarschijnlijk vandaan komt. Dit is echter niet zo bij de derde opgave: Elisa

80

Deze opgave is ook niet eenduidig gesteld. Er staat namelijk dat ze in groepjes naar binnen gaan; dit kan ook betekenen dat ze allemaal naar binnen zijn gaan, waarna er twee groepjes weer zijn vertrokken.

verkoopt aan 8 mensen elk 7 armbanden. Ze had 84 armbanden. Hoeveel armbanden heeft ze nog over?. Een verdere analyse van de gegeven antwoorden zou hier een verklaring voor kunnen geven.

53


5.9

Conclusie (1b) Dit deelonderzoek is opgezet om de volgende deelvraag te beantwoorden voor leerlingen in de onderbouw van het JdW: (1b)


Voor leerlingen onder of net op 1F niveau in de onderbouw van het JdW zijn de gemiddelde behaalde scores op tekstuele opgaven met twee bewerkingen inderdaad lager dan op tekstloze. Ook voor leerlingen net onder of op 2F in de onderbouw van het JdW zijn dit keer de scores op tekstuele opgaven lager dan op tekstloze. Het verschil in gemiddelde behaalde scores op tekstuele en tekstloze opgaven is wel kleiner dan bij de 1F leerlingen.

54

Rekenen op het VO

6 Struikelwoorden “Als jij vier potloden hebt en ik zeven appels, hoeveel pannenkoeken passen er dan op het dak?” 6.1

Inleiding Een contextuele rekenopgave bestaat vrijwel niet zonder gebruik van taal81. Omdat er bij dit soort opgaven vaak door de beknoptheid niet op macroniveau gecompenseerd kan worden (Prenger, 2005), kunnen problemen op op micro- en meso-niveau van invloed zijn op de getoetste rekenvaardigheid (Van Eerde, 2009; Van Groenestijn et al, 2011; Hickendorff, 2013b; Prenger, 2005)82. Prenger (2005) vermoedt dat vooral allochtone leerlingen op micro-niveau gehinderd worden bij het begrijpen van wiskundeteksten door hun geringere woordenschat. De potentiële struikelblokken waren vooral laagfrequente dagelijkse woorden, schooltaalwoorden en vaktaalwoorden die wellicht niet bij alle leerlingen bekend zijn (Prenger, 2006). Of dit daadwerkelijke struikelblokken zijn is niet onderzocht. Aangezien thuistaal vermoedelijk bij allochtone leerlingen voor een eventuele geringere Nederlandse woordenschat zorgt, wordt in dit onderzoek onderzocht of het verschil in scores tussen niet-Nederlandstalige (hierna anderstalige) leerlingen en Nederlandstalige leerlingen op het JdW vergroot naarmate er meer woorden uit deze drie struikelblokken (hierna struikelwoorden) in rekenopgaven zitten. De deelvraag die hierbij hoort is: (2)

6.2

81

Contextloze opgaven zijn in de rekentoets gedefinieerd als opgaven met onbenoemde getallen. Een opgave als 2 x €4,- = € … ? is daarom contextueel, maar zonder tekst.

82

Het microniveau is gedefinieerd als de analyse op woordniveau, het mesoniveau als het niveau van verbindingen binnen en tussen zinnen, en het macroniveau als het analyseniveau voor de hele tekst.

Gaan de scores van anderstaligen achteruit ten opzichte van de scores van Nederlandstaligen naarmate rekenopgaven meer struikelwoorden bevatten?

Methode Voor het beantwoorden van deze deelvraag is gebruik gemaakt van de opgaven en scores uit vier digitale TOA-toetsen83 die elk een van de vier domeinen (getallen, meten en meetkunde, verbanden en verhoudingen) testen. Van de 64 opgaven (zestien per toets) bleven 49 bruikbare beknopte rekenopgaven over84 waarvan het aantal struikelwoorden en andere elementen zoals soort illustratie is gedocumenteerd. Het complete overzicht staat in bijlage 9. De toetsen zijn op 1F niveau en in oktober en november van 2013 afgenomen bij 231 leerlingen in de onderbouw van het vmbo op het JdW. Zes leerlingen meer dan vijf opgaven in één test overgeslagen en van acht leerlingen is de thuistaal niet bekend. Er bleven 218 leerlingen over, waarvan 60 leerlingen thuis een andere taal dan Nederlands spreken, 85 spreken thuis zowel Nederlands als een andere taal spreken en 73 leerlingen spreken thuis alleen Nederlands. De leeftijden van de deze leerlingen verschillen van 11 tot en met 16 jaar, zie tabel 9.

83

Toetsen uit de toetsenbank TOA zijn docent-onafhankelijke digitale toetsen van Bureau ICE. Deze zijn geijkt op de referentieniveaus en hebben dezelfde cesuur als de landelijke rekentoetsen.

84

Er vielen vijftien opgaven (zie bijlage 9) af vanwege:

o Het feit dat ze niet om het uitvoeren van bewerkingen vragen, maar bijvoorbeeld de vaardigheid klokkijken testen o Fouten in de vraagstelling

55


Tabel 9

Aantal Deelnemende Leerlingen per Leeftijdsgroep Leeftijd Aantal leerlingen

11

12

13

14

15

16

4

40

175

60

26

13

In tabel 10 is te zien hoe de leerlingen zijn verspreid over leerjaar en schoolniveau, alle leerlingen zijn van de locatie Zusterstraat. Tabel 10

Aantal Deelnemende Leerlingen per Leerjaar en Schoolniveau Schoolniveau

Leerjaar 1

Leerjaar 2

Totaal

Vmbo-bbl

38

91

129

Vmbo-kbl

56

9

65

Vmbo-t

24

-

24

Totaal

118

100

218

Elke domeintoets bestaat uit zestien opgaven, waarvan de eerste drie in vaste volgorde en de rest in een willekeurige volgorde worden aangeboden. Een rekenmachine is bij geen enkele opgave toegestaan, kladblaadjes wel. De leerlingen kregen voor elke toets 60 minuten. Testopzet 85

Mogelijke struikelwoorden zijn:

o Schooltaalwoorden o Laagfrequente dagelijkse woorden o Vaktaalwoorden

Om een objectieve telling te maken van het aantal struikelwoorden85 in de 49 overgebleven opgaven zijn twee woordenlijsten gebruikt. Voor het mogelijke struikelblok schooltaalwoorden is de Basislijst Schooltaalwoorden VMBO aangehouden (Verhallen & Alons, 2010). Deze is opgesteld door het Instituut voor Taalonderzoek en Taalonderwijs Anderstaligen in opdracht van de gemeente Amsterdam. Het idee van deze lijst is dat leerlingen de schooltaalwoorden van de basislijst moeten kennen om met succes te kunnen lezen en naar uitleg kunnen luisteren in bepaalde vaklessen. De basislijst bevat 1600 schooltaalwoorden die veel voorkomen in schoolboeken en andere teksten van de vakken biologie, wiskunde, natuurkunde, Nederlands, economie en mens & maatschappij. Echter, de echte vaktaalwoorden, een ander struikelblok, zijn niet in deze lijst opgenomen. Soortelijk gewicht als natuurkundig vakbegrip staat bijvoorbeeld niet in de lijst, maar afkoelen als schooltaalwoord in de natuurkundige context wel. Om ook vaktaalwoorden en laagfrequente dagelijkse woorden te identificeren, is gebruik gemaakt van de Streefwoordenlijst voor de Basisvorming, ontwikkeld door het Cito en het Expertisecentrum Taal, Onderwijs en Communicatie (Cito & Etoc, 2010). Dit is een lijst met de 13 724 meest voorkomende woorden in een representatief schoolboekencorpus voor de eerste twee jaren van het voortgezet onderwijs. Al deze woorden zijn toegewezen aan een sluis welke de moeilijkheid van het desbetreffende woord aangeeft. Er zijn daartoe vijf sluizen gedefinieerd, 1 tot en met 5, welke oplopend zijn in moeilijkheid. De toewijzing is gebaseerd op de frequentie van een woord in het geanalyseerde schoolboekencorpus, gecombineerd met een docentenoordeel. Deze grote verzameling woorden bevat zowel dagelijkse woorden zoals deelnemer (sluis 1), naar (sluis 2), zwemverbod (sluis 3), zuurkoolschotel (sluis 4) en wenen (sluis 5) als

56

Rekenen op het VO

vaktaalwoorden zoals plattegrond (sluis 1), schatting (sluis 2), cirkeldiagram (sluis 3), urbanisatie (sluis 4) en natriumlicht (sluis 5). Aangezien alleen laagfrequente dagelijkse woorden geïdentificeerd moesten worden en niet ook alle hoogfrequente dagelijkse woorden, zijn de woorden uit sluizen 1 en 2 niet meegenomen als indicatie voor een struikelwoord. Er is daarbij op gelet dat er eventuele vaktaalwoorden uit sluizen 1 en 2 wel geteld zouden worden; dit ingrijpen is echter niet nodig geweest. Daarnaast werden schooltaalwoorden als vervoeren en tekort uit respectievelijke sluizen 1 en 2 al door het gebruik van de eerder genoemde Basislijst geïdentificeerd. De keuze om woorden uit sluizen 1 en 2 van de Streefwoordenlijst niet mee te nemen was gedeeltelijk gebaseerd op Prengers (2006) onderzoek en deels intuïtief86. Ter controle is nog twee maal hetzelfde onderzoek uitgevoerd met ook alle woorden uit sluis 2, en daarna met alle woorden uit sluizen 1 en 2 ter identificatie van struikelwoorden. Er ontstond dan een nieuwe rangorde in het aantal schooltaalwoorden, en nieuwe groepen opgaven. De resultaten van deze analyses was hetzelfde, vandaar dat alleen de analyse zonder de woorden uit sluizen 1 en 2 hier is beschreven.

86

Prenger (2006) voegt alleen sluis 1 toe om de moeilijkheidsgraad van de teksten in haar onderzoek in de onderbouw van het VO te meten, omdat die als bekend verondersteld mogen worden. Dat betekent dat in dit deelonderzoek sluis 1 ter identificatie van struikelwoorden juist uitgesloten moet worden. Maar woorden die door sluis 2 als struikelwoord zouden worden bestempeld, stonden dat in schril contrast met woorden uit hogere sluizen. Een woord als naar (voorzetsel) uit sluis 2 kwam in vrij veel opgaven voor, vaak ook meerdere keren, waardoor het idee ontstond dat de aantallen struikelwoorden te veel beïnvloed zou worden door dit ene woord, en zo waren er meerdere.

Er zijn twee woorden als vaktaalwoorden en één als laagfrequente dagelijkse woord bestempeld. Deze stonden in geen van beide lijsten, maar het was aannemelijk dat ze er in hadden kunnen staan. De twee woorden die als vaktaalwoorden zijn bestempeld waren ton en driekwart. Deze komen namelijk terug in de concretisering van de referentieniveaus rekenen als vereiste begrippen (Meijerink, 2008b). Entreeprijs werd een laagfrequente dagelijkse woord geacht, het woord entree zat namelijk al in sluis 1. Testmateriaal De opgaven zijn opgedeeld in negen groepen met hetzelfde aantal struikelwoorden. De aantallen per groep staan in tabel 11. Twee groepen bestonden uit contextloze opgaven. De ene groep was compleet tekstloos zoals 45 + 26 = .... De andere groep opgaven bevatte een minimaal aantal woorden, waarbij de getallen onbenoemd bleven zoals bij ¼ is gelijk aan: ... . Tabel 11

Aantal Opgaven per Aantal Struikelwoorden Contextloos

Contextueel

Aantal struikelwoorden

Tekstloos

Minimale tekst

0

1

2

3

4

5

6

Aantal opgaven

6

5

8

9

13

3

5

0

1

Er is een te klein aantal opgaven waarbij de onderliggende kale rekenopgave hetzelfde is. Het was daarom niet mogelijk om scores op opgaven te vergelijken waarvan alleen het aantal struikelwoorden als variabele verschillend is. Om toch een vergelijking te kunnen maken op basis van deze variabele zijn er groepen opgaven met een verschillend aantal struikelwoorden gemaakt, die zo veel mogelijk overlappen qua vaardigheid en onderwerp. In tabel 12 staat een voorbeeld met vijf opgaven die een verschillend aantal struikelwoorden en tegelijk een gemeenschappelijk onderwerp hebben. In de meest linker kolom staat het aantal struikelwoorden, deze zijn onderstreept in de opgave. In de derde kolom is aangegeven of de vraag open is of dat het een meerkeuzevraag (MC) is. In de laatste kolom staat aangegeven of er extra informatie zoals een illustratie of tabel gegeven was

57


naast de geschreven tekst. De complete tabel met gebruikte opgaven en hun overlappende onderwerpen staat onderaan in bijlage 10. Tabel 12

Vijf Opgaven met Hetzelfde Onderwerp en een Verschillend Aantal Struikelwoorden

Onderwerp: Aflezen in grafieken/diagrammen/schema’s #

Domein

Open/MC

Opgave

Extra informatie

0

Verbanden

MC

Dit is het lesrooster van Doortje.

Lesrooster

Hoeveel uur Nederlands heeft Doortje per week? 1

Verbanden

MC

In de grafiek staat het aantal ijsjes dat snackbar De Strandkrab in de zomermaanden heeft verkocht.

Grafiek

Hoeveel ijsjes heeft snackbar De Strandkrab in de maand september verkocht? 2

Verbanden

Open

3

Verbanden

MC

Cirkeldiagram

In het cirkeldiagram staat het loon dat Bas, Erik, Jerney en Lois hebben verdiend in een maand. Hoeveel euro hebben ze samen verdiend? Bas, Milan, Samuel en Zoë doen mee aan een sponsorloop.

Drie staafdiagrammen als mogelijke antwoorden

Bas rent 2 rondjes, Milan rent 5 rondjes, Samuel rent 3 rondjes en Zoë rent 2 rondjes. Welk staafdiagram geeft correct weer hoeveel iedereen gerend heeft? 4

Verbanden

MC

Rien vraagt zich af of hij voor zijn lengte op een goed gewicht zit.

Schema

Rien is 1,75 meter en weegt 90 kilogram. In welke categorie valt Rien?

87

Het eventuele voor- of nadeel door meerkeuze of open vragen in de groep maakt in deze opzet niet uit. Het gaat namelijk om verschillen tussen scores op de groepen opgaven, niet om de absolute scores op de groepen opgaven.

88

Het is niet gelukt om bij elke opgave een soortgelijke opgave in alle andere groepen te vinden. Dit is opgevangen door zo veel mogelijk overlap in het algemeen te creëren. Echter, niet elke groep opgaven dat onderzocht is heeft daardoor evenveel opgaven, zoals te zien is in tabel 13.

58

Er konden vijf groepen opgaven met 0, 1, 2, 3 en 4 struikelwoorden gemaakt worden; groepen opgaven met 5 of 6 struikelwoorden vielen af door een gebrek aan opgaven. Naast dat de onderwerpen van deze groepen zo veel mogelijk overlappen, is ook zo veel mogelijk geprobeerd om andere elementen overeen te laten stemmen. Zoals open of meerkeuze en of er wel of geen extra informatie zoals een illustratie onderdeel is van de opgave87. Ook de twee groepen contextloze opgaven zijn meegenomen in de vergelijking. In tabel 13 staat het aantal opgaven van de zeven groepen dat na de koppeling van de onderwerpen overbleef88. Tabel 13

Aantal Opgaven per Groep met Hetzelfde Aantal Struikelwoorden Aantal struikelwoorden

Tekstloos

Minimale tekst

0

1

2

3

4

Aantal opgaven

6

5

3

4

5

3

4

Het aantal koppelingen tussen de groepen met een verschillend aantal struikelwoorden staan in tabel 14. Wat opvalt is dat de groepen met 1 en 2 struikelwoorden vier opgaven hebben die qua onderwerp hetzelfde zijn, terwijl die met 0 en 3 struikelwoorden slechts op één opgave overlappen.

Rekenen op het VO

Tabel 14: Het Aantal Koppelingen Tussen de Groepen Opgaven door Opgaven met Hetzelfde Onderwerp89 Groepen

0

Groepen

0

1

2

3

4

2

2

1

3

4

2

3

3

3

1

2

2

2

4

3

1

2

3

4

3

3

3

2 2

Test afname

89

De koppeling van de opgaven kan ook anders. De gebruikte opgaven in combinatie met de achttien andere bruikbare opgaven, die niet zijn meegenomen in dit deelonderzoek, zijn er een aantal andere verschillende groepen te maken. Ter controle is daarom nog twee maal hetzelfde onderzoek uitgevoerd. Eenmaal met een andere koppeling en eenmaal op alle 48 opgaven. Hier kwamen dezelfde resultaten uit als de resultaten bij deze koppeling.

Het gemiddelde cijfer van de vier digitale toetsen kwam op het rapport voor het vak rekenen. De leerlingen zullen daardoor veelal een serieuze instelling hebben gehad. Het betekent ook dat de toetsen in toetsopstelling zijn afgenomen met een surveillant die de kladblaadjes uitdeelde. Elke toets duurde 60 minuten en de leerlingen konden die tijd op hun scherm zien aflopen. Alle toetsen zijn afgenomen gedurende twee maanden. Sommige leerlingen zullen de vier toetsen op vier verschillende momenten hebben gemaakt, andere op twee of zelfs alle vier tegelijk. Deze toetsen zijn namelijk ingezet voor de bepaling van een cijfer op het rapport en ingeroosterd waar dat voor de desbetreffende klassen schikte. Gegevens Vanwege de digitale afname zijn de scores automatisch berekend. Elk antwoord was goed (1 punt) of fout (0 punten); overgeslagen opgaven zijn fout gerekend. Omdat niet alle groepen opgaven met hetzelfde aantal struikelwoorden uit evenveel opgaven bestaat is per leerling de relatieve score per groep berekend90. Leerlingen die meer dan vijf opgaven in één test hebben overgeslagen zijn net als bij de andere deelonderzoeken buiten de analyse gelaten.

90

Zo bestaat bijvoorbeeld de groep opgaven met één schooltaalwoord uit vier opgaven. Een leerling met in totaal één goed antwoord in deze groep heeft daarom een score van 1 / 4 = 0,25.

Data analyse Om te controleren of de opgaven ongeveer hetzelfde testen, is de cronbach’s alpha berekend. Deze moet minstens 0,70 zijn (Field, 2009). Als de onderlinge correlatie lager dan 0,30 was, werd gekeken naar de cronbach’s alpha als deze opgave uit te test verwijdert zou worden. Als dit een aanzienlijk hogere cronbach’s alpha was, zou het opgavenpaar eventueel verwijdert moeten worden. De cronbach’s alpha van de afzonderlijke groepen zegt in deze opzet niets, aangezien de opgaven in de groepen niet dezelfde rekenopgave testen. Er zijn twee onafhankelijke variabelen ingezet, het aantal struikelwoorden en de thuistaal van de leerling. Van de meeste leerlingen is bekend welke taal ze thuis spreken. Deze variabele is opgedeeld in drie categorieën, anderstalig, Nederlandstalig en gemixt als leerlingen zowel Nederlands als een andere taal (of talen) thuis spreken. Op de resultaten is een two-way mixed91 ANOVA uitgevoerd om het interactie-effect tussen de twee variabelen ‘aantal struikelwoorden’ en ‘thuistaal’ ten aanzien van de scores te berekenen92. Het interactie-effect zegt namelijk of het aantal struikelwoorden in een opgave een verschillend effect heeft op de scores afhankelijk van de thuistaal van een leerling. Daarnaast is het effect van thuistaal interessant om te zien of een andere thuistaal een

91 Het aantal struikelwoorden is een within-subjects-variabele, alle leerlingen hebben namelijk alle opgaven met verschillend aantal struikelwoorden gemaakt. De thuistaal van de leerling is echter een between-subjects-variabele, elke leerling behoort bij één thuistaalgroep.

59


92

Om de mixed ANOVA te mogen uitvoeren moeten een aantal voorwaarden gelden:

a) De data moet op minstens het interval-level gemeten zijn. b) Leerlingen mogen geen invloed op elkaars werk hebben gehad. c) Er mogen geen significante outliers in de data zitten. Het was een outlier als de studentized residuals lager dan -3 of hoger dan 3 was (Laerd). d) De scores van de leerlingen moeten uit een normale verdeling komen. Dit is visueel te beoordelen met QQ-plots en preciezer met de z-scores voor skewness en kurtosis. Hiervoor is het interval [-3,29; 3,29] aangehouden, want waarden daarbuiten zitten buiten 99,9% van alle z-scores (Field, 2009).

6.3 vervolg 92

e) Er moet homogeniteit binnen de varianties van de condities zijn. Dit is met een Levene’s test gecontroleerd (Field,2009). f) Er moet homogeniteit binnen de covarianties tussen de condities zijn. Dit is met de Box’s test of equality covariance matrices gecontroleerd (Field, 2009). g) De varianties van de verschillen tussen de within-group condities moeten ongeveer gelijk zijn, dit heet sphericity. Aangezien er niet naar het hoofdeffect van de withingroup variabele struikelwoorden wordt gekeken, is dit hier niet van belang.

93

Controle van de voorwaarden om een mixed Anova te mogen uitvoeren:

a) De data is op minstens het interval-level gemeten, namelijk het ratio-level. b) Leerlingen kunnen alleen bij de eerste drie vaste opgaven bij hun buren hebben afgekeken en daarna als ze toevallig dezelfde willekeurige opgave tegelijk aangeboden kregen. Vanwege de serieuze toetsopstelling en surveillant zal dit minimaal zijn geweest.

60

andere score oplevert, onafhankelijk van het aantal struikelwoorden. In alle testen is een significantieniveau van 0,05 aangehouden, wat betekent dat de resultaten significant verschillen als p < 0.05. Er is voorzichtig omgegaan met het effect van het aantal struikelwoorden, onafhankelijk van de thuistaal. In deze opzet hoeft dat namelijk niets te betekenen. Als bijvoorbeeld de scores op de groep met vier struikelwoorden lager is dan die op de groep met drie struikelwoorden, kan dat betekenen dat de groep opgaven met vier struikelwoorden gewoonweg moeilijker is. De elementen in de opgaven zijn over de groepen heen wel zo veel mogelijk op elkaar afgestemd, zodat een mogelijk interactie effect zo veel mogelijk te herleiden is naar het aantal struikelwoorden in plaats van andere elementen in de opgaven. Echter, de werkelijke moeilijkheid van de groepen met een verschillend aantal struikelwoorden komt niet overeen. Een absoluut verschil in scores op deze groepen opgaven kan daarom aan meer redenen liggen dan alleen het aantal struikelwoorden, zoals bijvoorbeeld het soort getallen. Na het uitvoeren van de analytische testen is dieper ingegaan op de specifieke opgaven die voor de grootste verschillen in scores tussen de groepen met een verschillende thuistaal hebben gezorgd.

Resultaten De onderlinge consistentie van de opgaven was redelijk goed, =0.743. Er waren meerde opgaven waarbij de correlatie met de andere opgaven onder de 0.30 zat, maar de maximale stijging in de waarde van cronbach’s alpha na verwijdering van de desbetreffende opgaven was 0.007. Er is daarom geen opgave verwijdert. Een afwijking in de homogeniteit van varianties93 zorgt vooral bij verschillende groottes van groepen door de between-group variabele voor problemen (Laerd). Dat is hier het geval door de variabele thuistaal, daarom is de mixed ANOVA nogmaals uitgevoerd met de vijf groepen opgaven die overbleven als de twee groepen die deze voorwaarde aantasten (die met 0 en 1 struikelwoorden) buiten de analyse worden gelaten94. Er is geen significant interactie-effect tussen de twee variabelen thuistaal en het aantal struikelwoorden, F(12, 1290) = 0.898, p = 0.548, r = 0.09. Ook niet bij de tweede analyse met vijf groepen qua aantal struikelwoorden, F(8, 860) = 1.13, p = 0.343, r = 0.10. Dit betekent dat er afhankelijk van de thuistaal geen verschillend effect is op de zeven groepen met betrekking tot het aantal struikelwoorden. Met andere woorden, de verhouding tussen de scores op de zeven groepen opgaven verschillen bij de drie soorten leerlingen niet van elkaar. Er is daarnaast ook geen significant hoofdeffect van de thuistaal op de scores gevonden bij zowel de analyse van de zeven groepen, F(2, 215) = 1.49, p = 0.227, r = 0.12, als van de vijf groepen, F(2, 215) = 0.99, p = 0.373, r = 0.09. Dit betekent dat als het aantal struikelwoorden wordt genegeerd, de scores van de drie groepen leerlingen gebaseerd op thuistaal niet verschillen.

Rekenen op het VO

In figuur 14 zijn de gemiddelde scores in de 21 condities (drie thuistaal maal zeven groepen opgaven) schematisch weergegeven. De absolute hoogtes van de scores zijn niet van belang, omdat de groepen opgaven verschillende moeilijkheidsgraden kunnen hebben. Dat de groep opgaven met één schooltaalwoord hogere scores heeft dan de andere groepen kan daarom niet alleen aan het aantal struikelwoorden worden toegewezen.

Figuur 14: Gemiddelde scores van drie thuistaalgroepen op zeven groep opgaven

De richting van de lijnstukken is wel van belang. Dat deze bij alle drie groepen leerlingen ongeveer hetzelfde is, geeft aan dat de verschillende thuistaalgroepen geen verschillend effect ondervinden van het aantal struikelwoorden. Daarnaast liggen de lijnen ook nog eens vrij dicht naast elkaar. Dat betekent dat de verschillen tussen de scores van de groepen leerlingen met een andere thuistaal in het algemeen klein zijn. Juist bij de drie groepen opgaven zonder struikelwoorden, de tekstloze, die met minimale tekst, en die met 0 struikelwoorden, scoren de groep anderstalige leerlingen relatief lager dan de gemixte groep. Ook is te zien dat er geen daling is in de gemiddelde scores naarmate het aantal struikelwoorden toeneemt. Dit wordt ondersteund door te kijken naar de effecten van de variabele omtrent struikelwoorden. Het hoofdeffect van het aantal struikelwoorden is namelijk significant, F(5.37, 1154.46) = 67.47, p < 0.0005, r = 0.4995. De contrasten die zijn uitgevoerd geven aan dat er een significant verschil in scores is tussen alle opvolgende condities van links naar rechts in figuur 14, alle p < 0.002. Dat betekent dat er een significant verschil is tussen de condities met 0 en 1 struikelwoorden, maar ook tussen de condities met 1 en 2 struikelwoorden, waarbij in beide gevallen de groep met 1 struikelwoord de hoogste scores heeft. Grootste verschillen Dat er geen verschil is tussen de scores van de groepen leerlingen met een

vervolg 93

c) De scores in de 21 condities (drie thuistaalgroepen per zeven groepen opgaven) zitten allemaal tussen de 0 en 1. Er zijn wel zeven outliers gevonden, deze hadden alle een 0 of 1 opgave van de desbetreffende groep opgaven goed, terwijl de rest van de leerlingen een hoger aantal goed had. Omdat dit hun echte scores waren zijn ze wel meegenomen in de verdere analyse, maar dit kan invloed hebben gehad op de resultaten. d) Visueel gezien kwamen de scores in de 21 condities grofweg uit een normale verdeling. Echter, volgens de zscores werd er in vier condities afgeweken van normaliteit, zie bijlage 11. Dat zou mogelijk kunnen komen door de meegenomen outliers. Daarnaast is de mixed ANOVA vrij robuust met betrekking tot afwijkingen van normaliteit (Field, 2009). e) Levene’s test gaf aan dat er geen homogeniteit binnen de varianties van de condities met betrekking tot de groepen met 0 en 1 struikelwoorden was, respectievelijk p = 0.003 en p = 0.030, wel met betrekking tot de andere groepen, alle p > 0.05. f) Er heerste wel homogeniteit binnen de covarianties, als beoordeeld door Box’s test of equality covariance matrices, p = 0.096.

94

Controle van de voorwaarden van de tweede mixed ANOVA:

De enige voorwaarde die niet is nagekomen is de afwijking van normaliteit in twee van de vijftien overgebleven condities (drie thuistaalgroepen per vijf groepen opgaven), zie bijlage 11. Homogeniteit binnen de covarianties was aanwezig volgens de Box’s test of equality covariances matrices, p = 0.713.

95

Hierbij zijn de vrijheidsgraden aangepast door de Huyn-Feldt correctie toe te passen voor sphericity (ε = 0.895), omdat Mauchly’s test aangaf dat de sphericity-voorwaarde niet was 20 = 92.12, p < nagekomen 0.0005.

61


verschillende thuistaal, zou kunnen komen doordat het verschil bij één opgave de verschillen bij de andere opgaven in dezelfde groep compenseert. Om te kijken welke opgaven de grootste verschillen in scores opleveren tussen de thuistaalgroepen zijn de percentages juiste antwoorden op de zeven groepen opgaven. Er wordt alleen dieper ingegaan op opgaven waarbij tussen twee thuistaalgroepen meer dan 10 procentpunt verschil zit in het percentage goede antwoorden. Dit is het geval bij acht van de 30 opgaven, waarvan bij zes opgaven het de groep anderstalige leerlingen de laagste scores had. Het ging om twee tekstloze opgaven, drie contextloze opgaven met minimale tekst en drie contextuele opgaven. Bij de twee tekstloze opgaven ging het allebei om breuken die opgeteld of afgetrokken moeten worden. De groep met een andere thuistaal dan Nederlands is daar 16 en 19 procent minder succesvol dan de gemixte groep; de Nederlandstaligen zitten daar ongeveer tussen in. Om te kijken of de anderstaligen ook bij andere opgaven over breuken relatief scoren is gekeken naar alle 64 opgaven. Bij alle tien opgaven die over breuken gaan scoorde de anderstalige groep lager dan de andere twee groepen. Terwijl ze in het algemeen bij 31 van de 64 opgaven het laagst scoren.

96

Bij de opgave met 0 struikelwoorden is dat de gemixte groep, de anderstalige groep is dat bij de opgave met 2 struikelwoorden en de Nederlandstaligen hebben bij de opgave met 3 struikelwoorden het hoogste aantal juiste antwoorden.

Twee van de drie contextloze opgaven waarbij de anderstalige leerlingen een relatief lage score hadden ten opzichte van de andere twee groepen leerlingen, gaan over het omzetten van eenheden (de derde opgave gaat ook over breuken). Er is één andere opgave die niet is opgenomen in de zeven onderzochte groepen, die ook over het omzetten van eenheden gaat. Daarbij heeft juist de groep met meerdere thuistalen inclusief Nederlands het laagste percentage juiste antwoorden. Bij de drie contextuele opgaven heeft bij elke opgave een andere thuistaalgroep het hoogste percentage juiste antwoorden96. Nadere inspectie van de opgaven met soortgelijke onderwerpen geven niet per se hetzelfde beeld. Elke thuistaalgroep heeft opgaven in alle zeven groepen zitten waarbij ze het hoogste percentage juiste antwoorden hebben. Er is geen thuistaalgroep die het bij een van de zeven groepen in het algemeen beter doet dan de andere groepen leerlingen.

Opvallend De opgave met de één na laagste scores, met als percentage goede antwoorden: anderstaligen 25%, gemixt 22% en Nederlandstaligen 25%, was een opgave met 0 schooltaalwoorden:

Céline verdient de helft van wat haar moeder verdient. Haar moeder verdient € 10,- per uur. Céline heeft vier keer gewerkt: twee keer 2 uur en twee keer 2,5 uur. Hoeveel heeft Céline verdiend? Er zijn slechts zes opgaven van de 64 waarbij van elke thuistaalgroep het percentage goede antwoorden onder de 50% zat. Al deze zes opgaven bevatten hoogstens twee schooltaalwoorden.

6.4

Discussie Dit deelonderzoek is opgezet om te testen of de verschillen tussen scores van groepen leerlingen met een andere thuistaal veranderen bij rekenopgaven afhankelijk van het aantal struikelwoorden. Hiertoe hebben 218 leerlingen uit de onderbouw van het JdW 64 opgaven gemaakt, waarvan 30 opgaven zeven groepen met een verschillend aantal struikelwoorden hebben gevormd. De

62

Rekenen op het VO

gemiddelde scores op deze groepen opgaven met zijn vergeleken ten opzichte van de thuistaal. Testopzet De identificatie van struikelwoorden is bepaald aan de hand van twee woordenlijsten en deze overlapten niet bij alle woorden. Als er andere woordenlijsten waren gebruikt, was de identificatie wellicht anders geweest, deze zijn echter niet gevonden. Bij het tellen van het aantal struikelwoorden is er geen rekening gehouden met het aantal keer dat die in dezelfde opgave voorkwam. Het kan zo zijn dat hoe vaker een onbekend struikelwoord voorkomt, hoe meer verwarring er ontstaat bij de leerling. Maar aan de andere kant betekent een hogere frequentie van een struikelwoord in een opgave niet per se dat het dan ook belangrijker wordt om dat woord te kennen. Een struikelwoord dat één maal voorkomt kan net zo essentieel zijn. Het zou daarom interessant zijn om te kijken naar hoe nodig het voor een leerling is om de betekenis van het woord te kennen om de opgave te kunnen oplossen. Zo zitten er in de volgende opgave twee struikelwoorden, waarvan kennis van de betekenis misschien niet even essentieel is:

In een klas zijn 6 van de 24 leerlingen niet aanwezig. Welk percentage van de leerlingen is niet aanwezig? Het woord aanwezig is in principe niet van belang, omdat het wordt herhaald in de uiteindelijke vraag. Kennis van het woord percentage daarentegen is nodig om überhaupt te weten wat je moet uitrekenen. Als er meer onderscheid was gemaakt in het belang van de kennis van bepaalde woorden, dan zouden leerlingen met een andere thuistaal dan Nederlands door essentiële struikelwoorden misschien wel een groter obstakel ervaren dan Nederlandssprekende leerlingen. Testmateriaal Een betere test voor deze deelvraag zou bestaan uit groepen opgaven met precies evenveel opgaven, waarin alle opgaven precies met elkaar corresponderen qua onderliggende kale opgave, waarbij het enige verschil het aantal struikelwoorden was. Maar dat was binnen het tijdsbestek van dit onderzoek niet mogelijk. Vandaar dat er verschillende toetsen zijn gebruikt, waaruit opgaven zijn gepakt die op z’n minst dezelfde soort vaardigheden testen. De koppeling van de opgaven tussen de groepen is niet volledig dekkend; met andere woorden, de groepen overlappen elkaar niet compleet qua onderwerp, want niet in elke groep zitten precies dezelfde onderwerpen en vaardigheden als in de andere groep. Dat betekent dat andere elementen dan het aantal struikelwoorden mogelijk invloed hebben gehad op de verschillen in scores van de thuistaalgroepen. Maar er zijn geen verschillen tussen alle zeven groepen. De andere mogelijke elementen zouden er dan omgekeerd juist voor moeten hebben gezorgd dat de aanwezige verschillen door thuistaal precies gecompenseerd zijn. Dit wordt echter vrij onwaarschijnlijk geacht. Data analyse Uit hoofdstuk 5 is gebleken dat leerlingen met een verschillend rekenniveau een verschillend effect ondervinden van de aanwezigheid van tekst in een rekenopgave. Al zaten de leerlingen in dit deelonderzoek allen op of onder het 1F niveau, wat één groep was in hoofdstuk 5, de individuele rekenniveaus zullen binnen en tussen de thuistaalgroepen niet gelijk zijn. Dit rekenniveau

63


97

Er zijn een aantal voorwaarden voor de mixed ANOVA die niet volledig zijn nagekomen. Er zijn zeven outliers meegenomen, vijf van de 21 condities weken af van normaliteit en in twee van de zeven groepen met een verschillend aantal struikelwoorden was geen homogeniteit van varianties met de andere condities. Omdat vooral de homogeniteit van varianties een probleem is door de verschillende grootte van de thuistaalgroepen, is de analyse nogmaals gedaan zonder de twee groepen die deze voorwaarde overtraden. Maar er weken dan nog steeds twee van de overgebleven vijftien condities af van normaliteit. Ook al is de mixed ANOVA vrij robuust voor afwijkingen van normaliteit, kan dit invloed hebben gehad op de resultaten.

98

Wat opvalt is dat de grootste verschillen ten nadele van de anderstalige groep bij de drie groepen opgaven waar geen struikelwoorden in voorkomen (de tekstloze, contextloze en de tekstuele met 0 struikelwoorden). Ook al is dit verschil niet significant, het is tegen de verwachting in en zou verder onderzocht kunnen worden.

99

Dat is zowel het optellen en aftrekken van breuken, als het plaatsen van een breuk op de getallenlijn, als het omzetten van een breuk naar een percentage, als een deel nemen van een geheel, enzovoort.

100

De volgende opgave wordt relatief slecht gemaakt:

Céline verdient de helft van wat haar moeder verdient. Haar moeder verdient € 10,- per uur. Céline heeft vier keer gewerkt: twee keer 2 uur en twee keer 2,5 uur. Hoeveel heeft Céline verdiend? Deze opgave vraagt om veel stappen. Eerst moet het uurloon van Céline worden uitgerekend, en daarna een verwarrende twee keer twee keer een aantal uur, wat weer maal dat uurloon moet.

64

had als covariaat meegenomen kunnen worden in de analyse, zodat voor de variantie die hierdoor mogelijk is veroorzaakt was gecontroleerd. Ook variabelen als geslacht, leeftijd, het tijdstip waarop ze de toets hebben gemaakt kunnen invloed hebben gehad op de scores en de resultaten van dit deelonderzoek. Deze zijn echter in dit onderzoek niet meegenomen. Resultaten97 Vanwege de opzet die de invloed van andere elementen in de opgaven op de scores niet uitsluit, moeten de resultaten voorzichtig worden geïnterpreteerd. De verhoudingen tussen de scores op de zeven groepen opgaven verschillen niet afhankelijk van de thuistaal. Dat betekent dat leerlingen met verschillende thuistalen geen verschillend effect ondervinden van het aantal struikelwoorden. Dit effect is er echter niet, alle drie de thuistaalgroepen ondervinden geen effect van het aantal struikelwoorden. De significante verschillen tussen de scores op de groepen opgaven, en het niet toenemende of dalende verband tussen de scores en het aantal struikelwoorden, geeft aan dat het aantal struikelwoorden in ieder geval niet de invloed van andere elementen in een opgave overheerst en leidend is voor het voorspellen van de scores98. Daarnaast presteren leerlingen met verschillende thuistalen even goed op de zeven onderzochte groepen opgaven. Er blijkt bij geen enkele groep opgaven een significant verschil in scores te zijn tussen de drie thuistaalgroepen. Dit moet verder onderzocht worden, aangezien anderstaligen wel bij 21 van de 49 contextuele opgaven de laagste scores van de drie thuistaalgroepen hadden. De onderzochte leerlingen zijn niet aselect uitgekozen, de vraag is daarom of deze resultaten te generaliseren zijn. Wat wel opvalt is dat de deelnemende leerlingen uit dit onderzoek allemaal uit de laagste niveaus qua opleiding en klassen van de locatie Zusterstraat van het JdW komen. Als verschil in thuistaal bij deze leerlingen al geen invloed heeft op de scores, dan is dat waarschijnlijk ook niet het geval bij leerlingen die op een hoger niveau zitten en/of al langer op school zitten en daarom meer in aanraking zijn gekomen met struikelwoorden.

Grootste verschillen Er is één element in de rekenopgaven gevonden waarbij het lijkt alsof thuistaal wel een verschil maakt. Dit element is het soort getallen dat wordt gebruikt in de opgave, in dit geval namelijk breuken. Bij alle twaalf opgaven waar een breuk onderdeel van is scoort de anderstalige groep lager dan beide andere groepen. De twaalf opgaven bestrijken vrijwel het gehele subdomein breuken99, het lijkt daarom dat deze anderstalige leerlingen veel moeite hebben met breuken in vergelijking met de andere twee groepen leerlingen, de oorzaak hiervan zou verder onderzocht kunnen worden.

Opvallend Er zijn zes opgaven waar bij alle drie groepen leerlingen minder dan 50% van de leerlingen een goed antwoord heeft gegeven. Deze opgaven hebben alle zes hoogstens twee struikelwoorden. Ze hebben bijzonder veel moeite met een opgave zonder struikelwoorden100, terwijl de gebruikte getallen, bewerkingen en geldcontext van deze opgave van redelijk basisniveau zijn. Waarschijnlijk komen de slechte scores door de vele (denk)stappen die gevraagd worden. Dit geeft aanleiding tot de gedachte dat problemen op meso-niveau, welke betrekking

Rekenen op het VO

heeft op de verbanden tussen zinsdelen en zinnen, misschien zwaarder tellen dan eventuele problemen door struikelwoorden.

6.5

Conclusie Dit deelonderzoek is opgezet om de volgende deelvraag te beantwoorden voor leerlingen in de onderbouw van het JdW: (2)

Gaan de scores van anderstaligen achteruit ten opzichte van de scores van Nederlandstaligen naarmate er meer struikelwoorden in een rekenopgave worden gebruikt?

Voor de onderzochte groep leerlingen onder of op 1F niveau in de onderbouw van het JdW is dit niet het geval. De scores van de anderstalige groep, de groep leerlingen die thuis zowel Nederlands als een andere taal of talen spreken en de Nederlandse groep verschillen niet van elkaar, ongeacht het aantal struikelwoorden in een opgave. De anderstalige leerlingen lijken wel op het subdomein breuken slechter te scoren dan de leerlingen die thuis Nederlands spreken.

65


7 Strategiegebruik “Robert, 8 jaar: Mama, zou het niet onzinnig zijn om 5000 min 637 te doen met lenen?” (Torrence, 2002) 7.1

Inleiding De discussie over welke strategieën een leerling het beste aangeleerd kan worden, met als stokpaardje de staartdeling, is in de media heetgebakerd. Er is echter weinig empirisch onderzoek dat een van de standpunten ondersteunt (KNAW). Uit verschillende onderzoeken komen verschillende conclusies over de geschreven strategieën naar boven (Harskamp, 2007). Daarnaast lijkt hoofdrekenen in opmars te zijn (Hickendorff et al., 2009), terwijl dat niet voor de beste resultaten zorgt (Hickendorff et al., 2009; Hickendorff, 2011). Aangezien de docent van grote invloed is op de gebruikte strategie (Hickendorff 2013a), is het voor het Johan de Witt interessant om inzicht te krijgen in de strategieën die hun leerlingen inzetten en hoe succesvol ze daarin zijn. De deelvragen die dit deelonderzoek daarom tracht te beantwoorden zijn de volgende:

7.2

(3a)


(3b)


Methode In de test voor deelvraag (1b) zitten vier kale opgaven met een enkele bewerking. Deze opgaven zijn gemaakt door 631 leerlingen tussen de 12 en 19 jaar oud uit de onderbouw van het JdW, zie tabel 15. Tabel 15

Aantal Deelnemende Leerlingen per Leeftijdsgroep Leeftijd

12

13

14

15

16-19

Aantal leerlingen

58

184

172

102

115

De deelnemende leerlingen kunnen in groepen worden opgedeeld qua niveau, leerjaar en de drie schoollocaties Zusterstraat (ZS), Hooftskade (HK) en Capadosestraat (CS), zie tabel 16.

66

Rekenen op het VO

Tabel 16

Aantal Deelnemnde Leerlingen over de Schoollocatie, Leerjaar en Schoolniveau Leerjaar

1

2

3

Niveau\Locatie

ZS

HK

CS

ZS

CS

ZS

Totaal

Pro +

-

-

19

-

9

-

28

Vmbo-bbl

63

59

30

99

19

-

270

Vmbo-kbl

51

57

7

62

-

-

177

Vmbo-kbl/Vmbo-t

-

-

-

21

-

-

21

Vmbo-t

25

-

-

24

-

-

49

Havo

18

-

-

19

-

49

86

Totaal

157

116

56

225

28

49

631

Testopzet De deelnemende leerlingen maakten vier kale rekenopgaven met elk een verschillende hoofdbewerking101. De opgaven zijn zo opgesteld dat er geen directe aanleiding is om handig rekenen toe te passen. Ook zijn de getallen bij de optelopgave zo gekozen dat de eenheden opgeteld meer dan een tiental zijn Bij de aftrekopgave moet er van een tiental een eenheid geleend worden. Alle getallen en bewerkingen voldoen aan de eisen van referentieniveau 1F (Meijerink, 2008).

101

De vier hoofdbewerkingen:

o Optellen o Aftrekken o Vermenigvuldigen o Delen

Testmateriaal en –afname In tabel 17 zijn de vier eerste opgaven van de test uit het deelonderzoek voor deelvraag (1b) weergegeven. Deze vier opgaven zijn niet voor dat onderzoek gebruikt, maar waren toegevoegd voor dit deelonderzoek. Na de vier opgaven kwamen de twintig opgaven voor deelvraag (1b). Meer informatie over de testafname is daarom in de methode van deelvraag (1b) te lezen, zie bijlage 7 voor een voorbeeldbladzijde van de test. Tabel 17

De Vier Opgaven 1

Optellen

234 + 527 =

2

Aftrekken

867 – 238 =

3

Vermenigvuldigen

32 x 47 =

4

Delen

238 : 14 =

Gegevens Het leerlingenwerk is door één persoon nagekeken en in een categorie die de gebruikte strategie aangeeft geplaatst. Antwoorden waarbij de duizendtallen met een punt of komma zijn aangegeven zijn fout gerekend. Overgeslagen opgaven zijn ook fout gerekend. De categorieën voor de strategieën zijn geïnspireerd op de categorieën uit drie andere onderzoeken over dit onderwerp (Van Groenestijn & Kenniscentrum Educatie 2009; Van Putten & Hickendorff, 2006; Hickendorff, 2011). Er zijn zeven algemene categorieën die bij elke bewerking van toepassing kunnen zijn. Bijvoorbeeld hoofdrekenen is zo’n strategie102, maar ook de traditionele strategie is een algemene categorie, aangezien er één traditionele strategie is per bewerking. Daarnaast zijn er voor elk van de vier bewerkingen realistische categorieën opgesteld, er zijn namelijk meerdere realistische strategieën per bewerking. In feite zijn dat er oneindig veel,

102

Bij hoofdrekenen is geen onderscheid gemaakt in de mogelijke strategieën die de leerlingen in hun hoofd gebruiken.

67


aangezien de filosofie van het realistische rekenonderwijs is dat leerlingen hun eigen strategie vormgeven. De realistische strategieën in dit onderzoek zijn daarom de strategieën die worden aangeboden in het realistische rekenonderwijs. De categorieën zijn als volgt, deze staan in figuur 15 afgebeeld:

Algemeen a) 103

Een vermenigvuldigingsschema is een overzicht van een aantal veelvouden, van in dit geval 14, welke de leerling voor zichzelf maakt als hulpmiddel bij het oplossen van de opgave. Zoals:

b) c) d) e)

De traditionele strategie (cijferen bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen; staartdelen bij delen, met en zonder vermenigvuldigingsschema103) Hoofdrekenen (een antwoord zonder geschreven berekening) Andere goede strategie (valt niet onder een van de andere categorieën) Een foute strategie (een strategie die het goede antwoord niet kan opleveren) Onduidelijk welke strategie is gekozen of onduidelijk wat het antwoord is De vraag is overgeslagen

1x

14

2x

28

f)

4x

56

Realistische strategieën voor optellen en aftrekken

8x

112

12x

168 Enzovoort.

g) h)

De kolomsgewijze strategie De splitsstrategie (kolomsgewijs, maar niet onder elkaar)

Realistische strategieën voor vermenigvuldigen i) j) k) l)

Eén getal splitsen Twee getallen splitsen Kolomsgewijs Kolomsgewijs, ook bij de optelling in de tweede stap

Realistische strategieën voor delen m) Herhaald aftrekken op een laag niveau (De eerste stap is minder dan 10 maal 17) n) Herhaal aftrekken op een laag niveau met vermenigvuldigingsschema o) Herhaald aftrekken op een hoog niveau (De eerste stap is minstens 10 maal 17) p) Herhaald aftrekken op een hoog niveau met vermenigvuldigingsschema q) Splitsen r) Opvermenigvuldigen Onder opvermenigvuldigen vallen ook alle strategieën waarbij met vermenigvuldigen in plaats van delen tot het juiste antwoord is gekomen. Bijvoorbeeld 20 x 14 – 3 x 14 of door verschillende getallen proberen in te vullen bij 14 x ... om op 238 te komen. Data analyse Nadat de 631 strategieën per opgave in categorieën zijn geplaatst, is het percentage goede antwoorden per categorie berekend. Met behulp van deze percentages wordt zichtbaar welke groep leerlingen met een bepaalde strategie het meest succesvol is.

7.3 104

De optel- en aftrekopgave zijn geen enkele keer overgeslagen, de vermenigvuldigings- en delingsopgave respectievelijk negen en 48 maal. In totaal is er zes keer, verdeeld over drie verschillende opgaven, een andere bewerking uitgevoerd.

68

Resultaten De traditionele strategie werd in totaal vaker ingezet als de gehele verzameling aan andere strategieën, respectievelijk 1519 en 945 maal104. Vooral de strategieën bij de bewerkingen optellen en aftrekken zorgen voor dit grote verschil. Bij vermenigvuldigen wordt de traditionele manier ook nog het meest gebruikt, maar dat aantal ligt al dichter bij het totaal aantal andere strategieën. Bij delen is het omgeslagen, daar is de verzameling andere strategiën drie maal zo groot als het aantal traditionele strategieën. In figuur 16 zijn deze aantallen in percentages van het totaal aantal strategieën

Rekenen op het VO

a) De traditionele strategie per bewerking

g) De kolomsgewijze strategie voor optellen en aftrekken

i) Eén getal splitsen bij vermenigvuldigen

h) Splitsen bij optellen en aftrekken

j) Twee getallen splitsen bij vermenigvuldigen

k) De kolomsgewijze strategie voor vermenigvuldigen

q) Splitsen bij delen

m) Herhaald aftrekken op een laag niveau bij delen

o) Herhaald aftrekken op een hoog niveau bij delen

r) Opvermenigvuldigen bij delen

Figuur 15 : Voorbeelden van uitwerkingen van strategieën

weergegeven, als ook het percentage goede antwoorden per strategie en bewerking. 69


Optellen

Aftrekken % van 631

Vermenigvuldigen

Andere strategie

Traditioneel

Andere strategie

Traditioneel

Andere strategie

Traditioneel

Andere strategie

Traditioneel

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Delen

% Goed

Figuur 16: Percentage traditionele en niet-traditionele strategieën per bewerking inclusief het succespercentage

Bij alle vier de bewerkingen geeft de traditionele strategie het hoogste percentage goede antwoorden ten opzichte van de verzameling andere strategieën. Dit verschil is het kleinst bij optellen en het grootst bij vermenigvuldigen. Het kan echter zo zijn dat één van de andere strategieën minstens net zo succesvol is als de traditionele strategie, maar dat die wordt overschaduwt door andere niet succesvolle strategieën binnen de totale verzameling. Bij de bewerking optellen is dat niet het geval, zie figuur 17. De traditionele strategie heeft met 95% het grootste succespercentage. De kolomsgewijze en splitstrategie, welke allebei soortgelijke realistische strategieën zijn, komen op de tweede plek samen met hoofdrekenen. Optellen 234 + 527 = 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

van de 631

Goede antwoorden per strategie

Figuur 17: Percentages gebruikte strategieën voor optellen inclusief het percentage goede antwoorden per strategie

70

Rekenen op het VO

De kolomsgewijze aftrekking wordt door een ongeveer even grote groep leerlingen als bij de optelling ingezet, maar dit keer is hij bij alle negen succesvol, zie figuur 18. Splitsen werk daarentegen een stuk minder goed dan bij de optelling, in maar ongeveer de helft van de gevallen leiden die nu tot een goed antwoord. De traditionele strategie komt nu na de kolomsgewijze strategie, maar wel weer voor hoofdrekenen in de rangschikking van succes. Aftrekken 867 - 238 = 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

van de 631


Figuur 18: Percentages gebruikte strategieën voor aftrekken inclusief het percentage goede antwoorden per strategie

Er zijn zowel meer verschillende strategieën als meer spreiding in de toegepaste strategieën bij de vermenigvuldigingsopgave, zoals te zien is in figuur 19. Bij deze opgave wordt de traditionele variant nog maar door 58% van de leerlingen gebruikt, maar hij is wel het meest succesvol, op de elf leerlingen na die twee andere strategieën correct toepassen. Na deze drie strategieën komen de kolomsgewijze en splitsstrategie, waarna nu hoofdrekenen het laagste succespercentage heeft. Wat opvalt bij deze opgave is dat 48 leerlingen een foute strategie hebben toegepast. Het overgrote deel van deze groep koos voor 30 x 40 + 2 x 7 als strategie.

71


Vermenigvuldigen 32 x 47 = 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

van de 631


Figuur 19: Percentages gebruikte strategieën voor vermenigvuldigen inclusief het percentage goede antwoorden per strategie

Bij de delingsopgave is de traditionele strategie in het meest succesvol. Na de traditionele staartdeling komt het realistische herhaald aftrekken. Daartussen zit nog een kleine groep van acht leerlingen die een andere goede strategie toepassen, zie figuur 20. Bij zowel de traditionele als realistische strategie gebruikt ongeveer de helft van de leerlingen een vermenigvuldigingsschema. Het percentage goede antwoorden van de leerlingen die wel en geen schema is ongeveer hetzelfde bij beide strategieën. Alleen bij de leerlingen die herhaald aftrekken op een laag niveau met vermenigvuldigingsschema is het percentage goede antwoorden hoger dan bij de leerlingen die bij deze strategie geen schema gebruiken. 105

Een noemenswaardig aantal is gezet op ongeveer 10% van het totaal aantal leerlingen, ongeveer 60.

72

Na deze twee strategieën (en het niet noemenswaardige aantal met een andere goede strategie105) komt opvermenigvuldigen als derde succesvolste en op de laatste plek met een noemenswaardig aantal uitwerkingen staat hoofdrekenen.

Rekenen op het VO

Delen 238 : 14 = 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

van de 631


Figuur 20: Percentages gebruikte strategieën voor delen inclusief het percentage goede antwoorden per strategie

In figuur 21 staan de drie meest gebruikte correcte106 strategieën per bewerking en hun percentages goede antwoorden. 100%

106

Bij vermenigvuldigen stond de incorrecte strategie 32 x 47 = 20 x 40 + 2 x 7 = op de derde plek.

80% 60% 40% 20% 0% Optellen Traditioneel

Aftrekken

Vermenigvuldigen

Splitsen/Kolomsgewijs/ Herhaald aftrekken

Delen

Hoofdrekenen

Figuur 21: Percentages goede antwoorden van de drie meest gebruikte correcte strategieën

In de middelste kolom staat de verzameling realistiche strategieën. De splitsen kolomsgewijze strategie zijn voor de bewerkingen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen samen genomen, omdat de kolomsgewijze strategie de volgende stap is na splitsen in de realistische leerlijn. Bij delen staat deze kolom voor herhaald aftrekken. Hoofdrekenen heeft bij optellen en aftrekken een percentage goede antwoorden dat niet ver onder die van de traditionele strategie ligt, en zelfs boven de realistische strategie. Hoofdrekenen zakt echter wel snel in succes als er naar de vermenigvuldigings- en delingsopgave wordt gekeken. Ook de traditionele zakt in succes, terwijl de realistische methode juist bij vermenigvuldigen en delen meer goede antwoorden oplevert dan bij aftrekken.

73


Opvallend Meer dan de helft van de leerlingen van de Hooftskade gebruikten bij alle vier de bewerkingen de traditionele strategie. Terwijl bij de Capadosestraat en de Zusterstraat maar 10% van de leerlingen dat doen. In totaal van alle drie locaties waren dat 124 leerlingen. 89 hiervan hadden alle vier de opgaven goed, nog eens 27 hadden drie van de vier opgaven goed.

Samenvatting De traditionele strategie werd bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen het meeste gebruikt. Alleen bij de bewerking delen was het aandeel realistisch strategieën groter dan de traditionele strategie. Hoofdrekenen had geen overtuigend aandeel, behalve bij de bewerking delen. De deelopgave is relatief vaak overgeslagen of niet gemaakt. De strategieën anders dan de traditionele die het meest gebruikt werden, hadden bij alle vier de bewerkingen een lager percentage goede antwoorden dan de traditionele strategie. Alleen specifieke andere strategieën die door groepjes van tien of minder leerlingen werden gebruikt hadden soms een hoger succespercentage dan de traditionele strategie. Leerlingen die hoofdrekenden waren bij optellen en aftrekken succesvoller dan leerlingen die daar realistische strategieën gebruikten, maar minder succesvol bij vermenigvuldigen en delen.

7.4

107

Oorspronkelijk zouden de uitwerkingen van deelvraag (1a) te gebruikt worden voor dit onderzoek. Deze zijn echter na de afname van de test onbedoeld weggegooid.

108 Alleen strategieën die door minder dan tien leerlingen werden gebruikt waren bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen succesvoller. Daar tegenover staan incorrecte strategieën die door kleine groepjes zijn ingezet. Al deze strategieën zijn hoogstwaarschijnlijk door de leerling zelf bedacht of afgeleid van de gangbare strategieën. Waardoor het succes van de uitvoering waarschijnlijk samenhangt met hetzelfde rekenkundige inzicht waarmee de strategie bedacht is. In dat geval is het geen wonder dat de bedachte strategieën die correct zijn ook hoge percentages goede antwoorden hebben.

74

Discussie Dit vierde deelonderzoek is opgezet om inzicht te geven in de verschillende strategieën die leerlingen inzetten bij opgaven met een enkele bewerking, en hoe succesvol ze daarin zijn. Hiertoe hebben 631 leerlingen uit de onderbouw van het JdW vier opgaven gemaakt, elk met een van de vier hoofdbewerkingen; optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen. Daarna zijn de aantallen leerlingen per strategie en het percentage goede antwoorden per strategie met elkaar vergeleken. Wat belangrijk is om op te merken, is dat dit deelonderzoek maar vier opgaven bevat107. Alle vier hebben een andere bewerking en zijn daarom qua strategieën niet samen te nemen. De conclusies die hier op basis van de resultaten bij één enkele opgave worden getrokken zijn daarom alleen te beschouwen als voorbodes, en moeten nog onderbouwd worden door verder onderzoek. Resultaten De leerlingen die de traditionele strategie hanteren hebben bij alle bewerkingen het hoogste percentage goede antwoorden108. Bij vermenigvuldigen en delen kwam dit ook naar voren bij basisschoolleerlingen in de resultaten van het PPON-1997 en PPON-2004 (Van Putten & Hickendorff, 2006). In die peilingen kwam vermenigvuldigen en delen ook naar voren dat leerlingen met geschreven strategieën hogere percentages goede antwoorden hadden dan leerlingen die hoofdrekenden. De resultaten uit dit onderzoek sluiten daarbij aan. Echter, bij de andere twee bewerkingen, optellen en aftrekken, heeft de groep leerlingen met hoofdrekenen een hoger succespercentage dan de realistische (geschreven) strategieën. Vooral bij aftrekken zijn de hoofdrekenaars een stuk succesvoller. Dit kan liggen aan de derde stap van de realistische methode die leerlingen tegenkomen bij de aftrekking in dit

Rekenen op het VO

deelonderzoek109. Hier worden de eenheden van elkaar worden afgetrokken en komt er een negatief getal in het spel. De stap met 7 – 8 geeft namelijk een -1 welke ze bij de rest moeten optellen. Tijdens het nakijken viel op dat veel leerlingen er +1 van maken. Er waren ook leerlingen die vanaf deze stap opnieuw zijn begonnen, maar dan met de traditionele strategie.

109

Het viel op dat vooral de leerlingen van de Hooftskade (nieuwkomers) de traditionele strategie gebruiken. Het is onbekend of deze leerlingen dat allemaal in hun land van herkomst hebben geleerd. Het kan ook zijn dat de docenten op de Hooftskade dit hen aanleren. Een hoger percentage goede antwoorden betekent niet per se dat die strategie effectiever is. Het kan ook zo zijn dat de groep leerlingen die de desbetreffende strategie gebruiken beter zijn in rekenen, en daarom vaker een goed antwoord geven. Dat de traditionele strategie het meest succesvol blijkt, kan bijvoorbeeld liggen aan het feit dat die strategie als eindstation kan worden gezien (Treffers & De Moor, 1990). Als leerlingen daar nog niet zijn aanbeland, zijn ze wellicht zwakker in rekenen en maken daarom meer fouten. Als de betere rekenaars gedwongen zouden worden om de realistische methoden te hanteren, zouden die percentages omhoog kunnen gaan. En andersom, als de zwakke rekenaars de traditionele strategie moesten gebruiken, zouden die percentages kunnen zakken. Het zou daarom interessant zijn om dezelfde leerlingen alle strategieën te laten uitvoeren en dan naar het aantal goede antwoorden per strategie te kijken. Ook omdat de groepen leerlingen die een strategie gebruiken dan even groot zijn voor een betere vergelijking110. Hickendorff (2011) heeft in een deelonderzoek dit bijvoorbeeld gedaan in haar ‘choice/no-choice’ studie onder 362 basisschoolleerlingen uit groep 6 met deelopgaven. In dit onderzoek stond het verschil tussen geschreven en niet geschreven strategieën centraal. Daaruit bleek dat geschreven strategieën effectiever waren dan hoofdrekenen, ook bij een zelfde individuele leerling.

7.5

110

Nu wordt een groep van 500 leerlingen die de traditionele strategie gebruiken bijvoorbeeld vergeleken met een groep van 50 leerlingen met een andere strategie.

Conclusie Dit deelonderzoek is opgezet om twee deelvragen te beantwoorden voor leerlingen in de onderbouw van het JdW. De eerste luidde: (3a)


Bij alle vier bewerkingen heeft de groep leerlingen die de traditionele strategie gebruiken het grootste percentage goede antwoorden ten op zichte van andere noemenswaardige geschreven strategieën en hoofdrekenen111.

111

Een noemenswaardig aantal is ongeveer 10% van het totaal aantal leerlingen, ongeveer 60.

De tweede deelvraag was: (3b)


De hoofdrekenaars zijn bij alle vier bewerkingen minder succesvol dan de leerlingen die de traditionele geschreven strategie gebruiken. Bij vermenigvuldigen en delen zijn de hoofdrekenaars ook minder succesvol dan leerlingen die een noemenswaardige geschreven strategie gebruiken. Maar bij optellen en aftrekken hebben leerlingen die hoofdrekenen een hoger percentage goede antwoorden dan leerlingen die een realistische strategie gebruiken.

75


8 Discussie Vier deelonderzoeken over de elementen tekst, struikelwoorden en strategiegebruik geven veel informatie over de mogelijke effecten op de rekenprestaties van onderbouwleerlingen bij contextuele en contextloze bewerkingsopgaven. Dit hoofdstuk vat de bevindingen samen en gaat in op de theoretische en praktische implicaties hiervan. 8.1

Inleiding Dit onderzoek is opgezet vanwege de actuele relevantie van rekenvaardigheden in het voortgezet onderwijs. Scholen zijn verantwoordelijk voor het onderwijzen van deze rekenvaardigheden en baseren zich in het VO op de inhoud van de recent ingevoerde rekentoets, welke voornamelijk uit contextuele opgaven bestaat. Het overgrote deel van de leerlingen haalt deze toets op dit moment, zowel landelijk als op het Johan de witt, niet. Vandaar dat de focus van de eerste drie deelonderzoeken op contextuele elementen heeft gelegen, twee met betrekking tot tekst in het algemeen en één over struikelwoorden. Het vierde deelonderzoek ging over strategiegebruik van leerlingen bij contextloze opgaven. Het doel van deze onderzoeken was om subjectieve gevoelens omtrent rekenen objectief te ondersteunen of te ontkrachten, zodat het JdW dit mee kan nemen in hun rekendidactiek. De overkoepelende onderzoeksvraag die hierbij hoorde was: Welke elementen met betrekking tot contextuele en contextloze bewerkingsopgaven hebben effect op de rekenprestaties van leerlingen in de onderbouw van de Johan de Witt Scholengroep? In dit hoofdstuk zijn de belangrijkste resultaten van de drie onderzochte elementen samengevat en verbanden daartussen gelegd. In de discussie van de deelonderzoeken betreffende deze elementen is meer informatie op detailniveau te vinden. Tot slot is een voorzet gedaan over mogelijk vervolgonderzoek en worden de theoretische en praktische implicaties, ook voor het JdW, naar aanleiding van dit onderzoek besproken.

8.2

Tekst De twee deelonderzoeken betreffende het element tekst draaiden om beknopte contextuele rekenopgaven zonder illustraties. Naast illustraties werden ook andere elementen zoals struikelwoorden in de testopgaven buiten beschouwing gelaten, zodat tekst als meest elementaire kenmerk van contextuele rekenopgaven centraal stond. De verwachting was dat scores op tekstuele opgaven met één bewerking lager zouden zijn dan op tekstloze rekenopgaven met dezelfde moeilijkheidsgraad. En dat dit verschil groter zou worden bij opgaven met twee bewerkingen. Opgaven met één bewerking Voor de eerste deelvraag met opgaven met één bewerking zijn twee testen

76

Rekenen op het VO

op gesteld, één op 1F niveau voor 435 leerlingen en één op 2F niveau voor 156 leerlingen. De testen bestonden allebei uit zestien paren opgaven met een tekstuele en bijbehorende tekstloze opgave. De twee testen overlapten op elf paren opgaven, vijf paren waren verschillend en zorgden voor het niveauverschil.

1F leerlingen Leerlingen op het laagste rekenniveau, onder of net op 1F, hadden hogere scores op tekstloze opgaven met één bewerking dan op tekstuele opgaven, met een gemiddeld verschil van 7 procentpunt. Dit verschil is groter dan werd verwacht, aangezien er uit ander onderzoek bij leerlingen van ongeveer dezelfde leeftijd alleen een klein verschil bij opgaven met een deling was gevonden (Hickendorff, 2013a). Dit kan komen doordat veel leerlingen op het JdW met een forse rekenachterstand binnenstromen en thuis een andere taal dan Nederlands spreken (Van den boer, 2003; De Wit, 2000). Ook is er vaak een terugval in rekenvaardigheden na de zomervakantie (Cooper et al, 1996). Bij een nadere inspectie van de antwoorden die werden gegeven, bleek dat deze leerlingen bij de tekstuele opgaven relatief vaak een foute bewerking uitvoerden. Het horizontaal mathematiseren van een realistisch probleem naar een kaal rekenprobleem gaat daarbij mis.

2F leerlingen Bij leerlingen net onder of op 2F niveau was er geen significant verschil in scores tussen tekstuele en tekstloze opgaven. Er waren per bewerking zowel paren opgaven waarbij de tekstuele opgave een hoger aantal goede antwoorden had, als paren waarbij de tekstloze opgave dat had. Het uitvoeren van de verkeerde bewerking bij de tekstuele opgave kwam bij deze leerlingen vrijwel niet meer voor. Bij de tekstloze opgaven was er wel een fout die relatief vaak voor kwam, het geven van een onwerkelijk antwoord. Onwerkelijk betekent bijvoorbeeld een antwoord van een andere ordegrootte of teken als het juiste antwoord. Dit kan komen doordat leerlingen een houvast voor reflectie missen bij de tekstloze opgave. Door te reflecteren op hun antwoord met behulp van de gegeven context zullen ze hun onwerkelijke antwoord bij tekstuele opgaven eerder ook als zodanig beschouwen en wellicht aanpassen. Het zou interessant zijn om te testen of leerlingen eerst ook een onwerkelijk antwoord op de tekstuele opgave geven en dat door te reflecteren met behulp van de context verbeteren, of dat ze al tijdens het berekenen rekening houden met de context. Opgaven met twee bewerkingen Zoals verwacht was het verschil tussen tekstuele en tekstloze opgaven bij beide groepen leerlingen groter in het tweede deelonderzoek bij rekenopgaven met twee bewerkingen. De leerlingen onder of op 1F hadden nu een gemiddeld verschil van 20 procentpunt ten gunste van de tekstloze opgaven. En bij de leerlingen onder of op 2F was er nu ook een verschil ten gunste van de tekstloze opgaven, een gemiddeld verschil van 9 procentpunt. Zodra er meerdere stappen en bewerkingen nodig zijn om een opgave op te lossen zal ‘number grapping’ minder goed werken. De leerling moet namelijk eerst zelf twee getallen uitkiezen waarmee de eerste bewerking uitgevoerd moet worden. Hiervoor is meer inleving in de context voor nodig112. De meeste opgaven in de 2F en 3F rekentoetsen zijn van deze complexere aard dan rekenopgaven met twee getallen en één bewerking (SLO, 2011). Of

112

Dit is te illustreren met een opgave uit hoofdstuk 6. Deze werd het op één na slechtst gemaakt van de in totaal 59 opgaven door alle drie de thuistaalgroepen:

Céline verdient de helft van wat haar moeder verdient. Haar moeder verdient € 10,- per uur. Céline heeft vier keer gewerkt: twee keer 2 uur en twee keer 2,5 uur. Hoeveel heeft Céline verdiend? In deze opgave zitten vijf getallen en het begrip de helft waarmee via vijf bewerkingen de oplossing te berekenen is.

77


leerlingen onder of op 1F toch ook bij dit soort opgaven relatief vaak de verkeerde bewerkingen uitvoeren of dat er juist andere fouten worden gemaakt is niet onderzocht vanwege tijdgebrek. Verschil in rekenniveau Dat leerlingen die ouder zijn met een hoger rekenniveau minder grote verschillen laten zien tussen scores op tekstuele en tekstloze opgaven kwam in beide deelonderzoeken naar voren. Dit is te verklaren door de toenemende schoolervaring waardoor leerlingen meer cognitieve schema’s ontwikkelen om tekstuele problemen op te lossen (Vicente et al., 2007). Bewerking en getaleigenschappen Op basis van Hickendorffs et al. (2009; 2013a) onderzoeken is de keuze gemaakt om naast tekst de variabele bewerking mee te nemen in de analyse. Nu blijkt dat er geen verschil is in de scores afhankelijk van de bewerking. De bewerking lijkt ondergeschikt te zijn aan de complexiteit van het taalgebruik in een opgave. Per toeval is bijvoorbeeld in het eerste deelonderzoek een vergelijkopgave gebruikt met een aftrekking, welke voor het grootste verschil in het aantal goede antwoorden op de tekstuele en tekstloze opgave zorgde. Dit verschil was ten gunste van de tekstloze opgave, maar dat betekent niet dat opgaven met een aftrekking voor deze leerlingen beter te maken zijn als ze tekstloos zijn. Er had waarschijnlijk net zo goed een dergelijke opgave met een optelling in kunnen zitten. 113

Gebruikte (combinaties van) getaleigenschappen in de 1F test: o Geheel o Decimaal En 2F test: o Geheel o Decimaal o Decimaal en negatief o Decimaal en groot o Groot

114

Bij de leerlingen onder of op 1F waren de getallen in alle drie de paren opgaven waar de tekstuele variant beter ging decimaal.

Bij leerlingen op 2F niveau hadden zes van de zeven paren opgaven met een dergelijk verschil in scores ook de eigenschap decimaal, en/of de eigenschappen groot en/of negatief.

De conclusie die Hickendorff (2013a) trekt betreffende deelopgaven op basis van twee opgaven in haar onderzoek, dat deze tekstueel slechtere scores hebben dan tekstloos, is wellicht iets te snel getrokken. Deze twee opgaven zouden wel eens complexer kunnen zijn qua taalgebruik dan de opgaven die zijn gebruikt bij de andere drie bewerkingen. De variabele met betrekking tot getaleigenschappen was niet meegenomen in de analyse, maar lijkt in tegenstelling tot de variabele bewerking juist wel te interacteren met de variabele tekst113. In negen van de tien paren uit de twee testen van deelvraag (1a) waarbij de tekstuele variant een hoger aantal goede antwoorden had, bevatte de opgaven getallen met andere eigenschappen dan geheel114. Waarschijnlijk vinden leerlingen dit soort getallen moeilijker dan gehele getallen en helpt de tekst bij het oplossen er van of als extra reflectiemiddel om hun antwoord te controleren. Een nadere inspectie van de resultaten uit hetzelfde onderzoek van Hickendorff met twee paren opgaven per bewerking geeft eenzelfde beeld. Bij optellen en aftrekken waren de getaleigenschappen decimaal, bij vermenigvuldigen één maal geheel en één maal decimaal en bij delen bij alle twee paren opgaven geheel. De gemiddelde scores uit tabel 18 laten zien dat bij de paren met uitsluitend decimale getallen (optellen en aftrekken) de contextuele variant hogere aantallen goede antwoorden hadden, en het paar met uitsluitend gehele getallen (delen) juist de contextloze. Haar conclusie met betrekking tot bewerkingen had misschien ook met betrekking tot getaleigenschappen getrokken kunnen worden. Aangezien in beide onderzoeken, die van Hickendorff en deze, getaleigenschappen geen onderwerp van onderzoek waren, is verder onderzoek gewenst.

78

Rekenen op het VO

Tabel 18 Beschrijvende Statistische Gegevens van Prestatie (Proportie Correct) op Contextloze en Contextuele Problemen, per Bewerking en Thuistaal contextloos

contextueel

M

SD

M

SD

N

optellen

.70

.36

.72

.33

685

aftrekken

.72

.35

.73

.35

685

proportie correct

bewerking

vermenigvuldigen

.69

.36

.68

.36

685

delen

.75

.36

.70

.37

685

thuistaal Nederlands

.72

.24

.71

.25

563

niet-Nederlands

.72

.21

.71

.22

80

Aangepast van “The Effects of Presenting Multidigit Mathematics Problems in a Realistic Context on Sixth Graders' Problem Solving,” door Hickendorff, M. (2013a). Cognition and Instruction, 31(3), 314-344.

8.3

Struikelwoorden Voor dit deelonderzoek zijn meerdere soorten contextuele opgaven gebruikt met een verschillend aantal struikelwoorden. Onder struikelwoorden vielen schooltaalwoorden, laagfrequente dagelijkse woorden en vaktaalwoorden. De behaalde scores van drie thuistaalgroepen115 op zeven verschillende groepen opgaven met betrekking tot het aantal (struikel)woorden in de opgaven werden met elkaar vergeleken. De verwachting was dat leerlingen die thuis niet Nederlands spreken lagere scores zouden hebben in vergelijking met Nederlandstalige leerlingen naarmate het aantal struikelwoorden in de opgaven toenam116. Dit is niet het geval, sterker nog, de scores tussen de drie thuistaalgroepen verschilden überhaupt niet van elkaar op geen enkele groep opgaven. Dit laatste is tegenstrijdig met de bewering dat allochtone leerlingen slechter zijn in contextuele rekenopgaven dan autochtone leerlingen (Van den boer, 2003; De Wit, 2000). Het kan zijn dat leerlingen met een verschillende thuistaal op het JdW naar elkaar toe zijn getrokken qua taalniveau. Of de anderstalige leerlingen trekken zich op aan de Nederlandstalige leerlingen, of de Nederlandstalige leerlingen presteren minder goed dan de gemiddelde Nederlandse leerling, waardoor er in dit onderzoek geen verschil blijkt te zijn in de prestaties op contextuele rekenopgaven bij leerlingen met een andere thuistaal.

115

De drie thuistaalgroepen waarvan de behaalde scores zijn vergeleken, zijn leerlingen met: o een andere thuistaal dan Nederlands o zowel Nederlands als een andere thuistaal of -talen o Nederlands als thuistaal

116

Het valt zelfs op dat de grootste (maar niet significante) verschillen ten nadele van de anderstalige groep bij drie groepen opgaven zonder struikelwoorden naar voren kwamen (de tekstloze, de groep met minimale tekst en de die met 0 struikelwoorden).

De gelijke gemiddelde scores uit tabel 18 van leerlingen met een verschillende thuistaal (563 Nederlandstalige versus 80 anderstalige leerlingen) uit Hickendorffs (2013a) onderzoek wijzen bij haar in ieder geval op het eerste. Een andere verklaring is dat het verschil tussen allochtonen en autochtonen op de basisschool naar voren komt, en dat leerlingen op het voortgezet onderwijs meer ervaring hebben met de Nederlandse taal.

8.4

Strategiegebruik Het deelonderzoek uit hoofdstuk 7 ging over het strategiegebruik bij contextloze opgaven. In deze opgaven stonden dezelfde vier bewerkingen als in hoofdstukken 5 en 6 centraal. De verwachting was dat leerlingen die de

79


traditionele strategie gebruikten bij het oplossen van een opgave succesvoller zouden zijn dan de leerlingen die een andere strategie inzetten. Daarnaast werd ook verwacht dat leerlingen die hun berekeningen opschreven succesvoller zouden zijn dan de groep die dat niet doen en uit hun hoofd rekenen. Traditioneel versus niet traditioneel De groep met leerlingen die de traditionele strategie gebruikte was inderdaad bij elke bewerking het meest succesvol. Deze groep was bij elke bewerking het grootst, behalve bij delen. Bij delen werd herhaald aftrekken het meest ingezet (maar minder succesvol). De leerlingen die bij alle vier bewerkingen de traditionele strategie gebruikten, hadden een relatief hoge totaalscore op die vier opgaven. Als de traditionele strategie als eindstation (Treffers & De Moor, 1990) wordt gezien, bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, zou het op basis van deze resultaten een streven kunnen zijn om elke leerling deze strategie uiteindelijk te laten beheersen voor deze vier bewerkingen. Volgens Treffers en De Moor (1990) is deze betrekkelijk makkelijk te leren juist na de kolomsgewijze aanpak. Geschreven strategieën versus hoofdrekenen Bij vermenigvuldigen en delen had de groep leerlingen die hoofdrekenden inderdaad een lager succespercentage dan leerlingen die andere noemenswaardige strategieën gebruikten. Maar bij optellen en aftrekken waren de hoofdrekenaars succesvoller dan de groep die geschreven realistische strategieën gebruikten . Bij de aftrekking kwam een mogelijke verklaring hiervoor naar voren. Om de realistische strategieën daar correct uit te voeren moet de leerling met negatieve getallen kunnen rekenen117. Aangezien dit bij het overgrote deel van de leerlingen niet tot de leerstof behoort, kan dit voor verwarring hebben gezorgd. De vraag rijst dan ook of bijvoorbeeld de realistische kolomsgewijze aftrekking wel een voorstation is qua begrip voor het traditionele eindstation met betrekking tot aftrekken.

117

8.5

Theoretische implicaties De verwachtingen bij elke deelvraag, gebaseerd op bestaande literatuur, zijn deels uitgekomen. Daar waar de verwachtingen niet zijn uitgekomen kan er reden zijn om te onderzoeken waar dit verschil met bevindingen van anderen vandaan komt. Tekst Of leerlingen meer fouten maken bij tekstuele opgaven dan bij tekstloze opgaven, hangt volgens dit onderzoek niet af van de bewerking. Kenmerken in de tekst, het aantal bewerkingen en het soort getallen lijken wel samen te hangen met verschillen in scores op tekstuele en tekstloze opgaven. De bewerking is in combinatie met deze kenmerken waarschijnlijk niet de bepalende factor voor of de tekstuele of tekstloze variant een hoger aantal goede antwoorden oplevert. Struikelwoorden Leerlingen met een andere thuistaal dan Nederlands presteren op de onderzochte contextuele opgaven in het deelonderzoek van hoofdstuk 6, anders dan verwacht, niet slechter (of beter) dan Nederlandstalige leerlingen. En daarom ook niet naarmate het aantal struikelwoorden in de opgaven toeneemt.

80

Rekenen op het VO

Verschillen in thuistaal zijn niet per se hetzelfde als verschillen in afkomst en of iemand allochtoon of autochtoon is. Leerlingen met een andere thuistaal dan Nederlands die in Nederland zijn geboren en sindsdien leven, hoeven geen geringere woordenschat te hebben dan leerlingen met Nederlands als thuistaal. Maar dit geldt ook voor leerlingen die heel jong naar Nederland zijn geïmmigreerd. En in beide gevallen kan iemand allochtoon of autochtoon zijn118. Het is daarom de vraag of allochtoon versus autochtoon en thuistaal de goede variabelen zijn om onderscheid te maken in woordenschat. Het taalniveau of zelfs het daadwerkelijke woordenschatniveau van een leerling is wellicht een betere variabele om te onderzoeken of struikelwoorden een probleem opleveren bij rekenopgaven.

118

De definitie van allochtoon volgens CBS:

Persoon die in Nederland woonachtig is en van wie ten minste één ouder in het buitenland is geboren. Wie zelf in het buitenland is geboren, hoort tot de eerste generatie, wie in Nederland is geboren, hoort tot de tweede generatie.

Strategiegebruik Op basis van het laatste deelonderzoek is geen conclusie te trekken over welke strategie het beste werkt, aangezien verschillende leerlingen verschillende strategieën gebruikten. Maar dat leerlingen die hoofdrekenen in het algemeen slechtere scores hebben dan leerlingen die geschreven strategieën gebruiken zoals in andere onderzoeken, komt hier niet overduidelijk naar voren. Bij optellen en aftrekken hadden deze leerlingen zelfs meer goede antwoorden dan de leerlingen met de geschreven realistische strategieën. Dit draagt enigszins bij aan de twijfel die bestaat over de effectiviteit van de realistische strategieën.

8.6

Vervolgonderzoek De resultaten van dit onderzoek werpen interessante vragen en vermoedens op. In de verschillende discussies zijn een aantal mogelijkheden voor vervolgonderzoek al voorbij gekomen. In deze paragraaf staat een samenvatting van de belangrijkste bevindingen. Tekst Het rekenniveau van de leerlingen in de eerste drie deelonderzoeken (onder of op 1F en onder of op 2F) is gebaseerd op wat wordt verwacht op basis van leerjaar en schoolniveau. Voor een aantal leerlingen (minder dan 20 leerlingen) zijn ook de resultaten op gemaakte TOA-testen meegenomen, welke voornamelijk uit contextuele opgaven bestaan. Het is daarom niet vreemd dat leerlingen die op basis van deze testen een hoger rekenniveau hebben, minder moeite hebben met tekst. Het aandeel van de groep geteste leerlingen is echter relatief klein, wat betekent dat in het algemeen leerlingen die langer op het Johan de Witt zitten minder moeite hebben met tekstuele rekenopgaven. Althans, ten opzichte van tekstloze opgaven. Het zou zo kunnen zijn dat leerlingen naarmate ze langer op het JdW zitten niet beter worden in tekstuele opgaven, maar juist slechter in tekstloze opgaven. Aangezien er voor dat het vak rekenen bestond en nu ook in het vak rekenen zelf vrijwel alles met de rekenmachine mag worden uitgerekend, zou het niet vreemd zijn als de kale rekenvaardigheden achteruit gaan door slecht onderhoud gedurende de middelbare school. Of leerlingen in hogere klassen beter worden in tekstuele opgaven, of dat ze minder goed worden in tekstloze is in deze onderzoeken niet bepaald. Al lijken de gemiddelde scores van de twee groepen qua rekenniveau er wel op te duiden dat oudere leerlingen beter zijn in beide soorten opgaven119. Leerlingen lijken bij opgaven met getallen die eigenschappen als decimaal, groot en/of negatief hebben, baat te hebben bij tekst. Deze getallen vinden

119

Gemiddelde scores van 1F en 2F leerlingen op dezelfde tekstuele (T) en tekstloze (TL) opgaven: Deelvraag (1a) (1b)

1F 2F 1F 2F

T 53% 72% 54% 78%

81

TL 62% 75% 76% 85%


zij waarschijnlijk lastiger dan gehele getallen, waardoor een extra controlemiddel door te reflecteren op de context waarschijnlijk van pas komt. Of ze kunnen door de tekst via andere en misschien makkelijkere stappen tot de juiste oplossing komen dan de bedoelde bewerking. Wat het precies is dat er voor zorgt dat leerlingen opgaven met dergelijke getallen beter kunnen oplossen als de rekensom gehuld is in tekst is een interessante vraag. De moeilijkheid van getallen kan van invloed zijn op het verschil tussen de aantallen goede antwoorden op tekstuele en tekstloze opgaven, maar dat betekent niet dat de moeilijkheid van de vraag zelf dat ook is. Leerlingen lijken bij opgaven met meerdere getallen en bewerkingen juist geen baat te hebben bij de aanwezigheid van tekst. ‘Number grabbing’ werkt bij opgaven met meerdere stappen niet, waardoor leerlingen zich nog meer moeten inleven in de context dan bij opgaven met één bewerking. Het zou interessant zijn om te zien wat er gebeurt als leerlingen op één of andere manier worden verplicht de context van zulke opgaven in zich op te nemen en rustig de tijd nemen voor alle stappen. Wellicht zijn er nog meer van dit soort kenmerken aanwezig die niet naar voren zijn gekomen. Een uitgebreidere foutenanalyse, welke in dit onderzoek alleen bij het deelonderzoek (1a) is uitgevoerd, zou hieraan kunnen bijdragen. Struikelwoorden De resultaten uit het deelonderzoek over struikelwoorden geven aan dat het aantal struikelwoorden in een rekenopgave in dit onderzoek in ieder geval niet bepalend is voor het succes. Maar daarbij is niet gekeken naar hoe essentieel het voor de leerling is om die woorden te kennen. Vervolgonderzoek waarbij dit onderscheid wel wordt gemaakt, geeft misschien verdere inzichten in mogelijke obstakels die struikelwoorden kunnen opwerpen. Omdat er geen verschil in prestaties is gevonden tussen groepen met een verschillende thuistaal op het JdW is het interessant om te weten hoe een vergelijking met leerlingen van een school met voornamelijk Nederlandstalige leerlingen er uit zou zien. Strategiegebruik De conclusies uit dit hoofdstuk zijn een voorbode, aangezien het maar vier opgaven betreft. Het waren typische opgaven, die niet met handig rekenen op te lossen waren, welke door 631 leerlingen zijn gemaakt. Dat leerlingen die de traditionele strategie gebruiken het meest succesvol zijn hoeft daarom misschien niet verder onderzocht te worden. Het is interessanter om te onderzoeken wat er gebeurt als leerlingen worden verplicht een bepaalde strategie te gebruiken. Is het namelijk een keuze om een andere strategie te gebruiken, of beheersen ze de traditionele strategie (nog) niet. Daarnaast is het nog de vraag of die wel aan iedereen aan te leren is en is de kolomsgewijze strategie wel een station voor de traditionele strategie?

8.7

Praktische aanbevelingen Aangezien het overgrote deel van de leerlingen uit de onderbouw van het JdW heeft meegedaan aan de onderzoeken, zijn de aanbevelingen het meest voor hen van toepassing. In deze paragraaf staan een aantal aanbevelingen voor het JdW met betrekking tot hun didactiek in contextuele en contextloze rekenopgaven. Contextuele opgaven In de eerste twee deelonderzoeken waren contextuele opgaven onderdeel

82

Rekenen op het VO

van de testen, in hoofdstuk 5 waren dat uitsluitend tekstuele opgaven. Zowel tekstuele als meer contextuele opgaven komen voor in de huidige rekentoets, welke meestal uit meerdere stappen en bewerkingen bestaan. Op basis van de resultaten uit dit onderzoek is het waarschijnlijk dat opgaven met meerdere bewerkingen problemen op gaan leveren. Het is daarom nodig om leerlingen te helpen bij het structureren van hun oplosproces van dergelijke opgaven. Hierbij komen metacognitieve vaardigheden van pas (Mayer, 1998)120. Daarmee monitoren en reguleren leerlingen bewust hun eigen voortgang. Dit gaat echter niet vanzelf. Slechte probleemoplossers scannen naar getallen en signaalwoorden, aangezien deze methode bij de meeste tekstuele rekenopgaven werkt. Het is aan de leraar om voorbeelden aan de zwakkere probleemoplossers te laten zien waar hun methode niet werkt (Hegarty et al., 1995). Leerlingen moeten leren dat reflecteren onderdeel is van het oplosproces. Er is namelijk een hardnekkige praktijk ontstaan door alleen op de bewerking te focussen, en niet het terugvertalen (Hoogland et al., 2012). Uit een onderzoek onder basisschoolleerlingen bleek dat deze metacognitieve vaardigheden getraind kunnen worden (Jacobs, 2012; Verschaffel, De Corte, Lasure, Van Vaerenbergh, Bogaerts, & Ratinckx, 1999). Jacobs (2012) gebruikte begeleide digitale training, waarbij de leerling controle heeft over wanneer en hoe hulp in te zetten is. Hiermee leren ze te reflecteren op hun aanpak in plaats van het herkennen van typen problemen en het onthouden van bijbehorende stappenplannen, wat een andere methode voor metacognitieve training voorschrijft. Verschaffel et al. (1999) hebben ingezet op het creëren van een leeromgeving waarin heuristieken aangeleerd worden om problemen aan te pakken en dit te monitoren. Uit beide onderzoeken bleken de interventies een positief effect op het probleemoplossend vermogen van leerlingen op de basisschool te hebben. Jacobs vond bovendien dat metacognitieve training de vaardigheid in het oplossen van tekstuele rekenopgaven aanzienlijk verbeterde. Het aanleren van metacognitieve vaardigheden bij leerlingen vraagt van docenten om een andere aanpak dan die regulier is (Hoogland et al., 2012). In plaats van de directe methode waarbij oplossingen voor een probleem of type probleem worden aangereikt, zouden docenten structureel de denkprocessen moeten begeleiden. Dit betekent niet dat instructie overbodig is, maar dat instructie ook op het metacognitieve niveau nodig is121. Waarbij van de leerling een actieve, strategische en gemotiveerde houding wordt verwacht bij het oplossen van rekenopgaven (Verschaffel et al., 1999). Dit zou bijvoorbeeld betekenen dat er klassengesprekken moeten worden gevoerd over het interpreteren en mathematiseren van toepassingssituaties (Gravemeijer, 2003). Maatschappelijke situaties waarin het functioneren van rekenen & wiskunde naar voren komt zijn lastig te illustreren via rekenopgaven (Meijerink, 2008)122. Naarmate leerlingen meer ervaringen opdoen in de concrete werkelijkheid en deze beter leren benoemen is de kans op een goede ontwikkeling van taal en rekenen groter (Van Groenestijn et al., 2012). Projectmatig en probleem georiënteerd rekenonderwijs zou de ervaring met deze situaties kunnen vergroten, zodat leerlingen zich een beter beeld kunnen vormen bij de geschreven situaties in rekenopgaven123. Contextloze opgaven Nu een recente verandering van de inhoud van de rekentoets betekent dat er

120

Stappen als de tekst goed lezen, het probleem analyseren, een uitrekenplan bedenken, het plan uitvoeren en het antwoord controleren zijn zelf cognitief, maar de keuze om dit te doen is metacognitief (Jacobs, 2012).

121

Pressley (1986) baseert zich op Polya’s theorie betreffende problemen oplossen en adviseert docenten vijf doceerprincipes met betrekking tot rekendidactiek:

o Doceer strategieën o Doceer wanneer, waar en hoe deze strategieën in te zetten o Doceer algemene kennis over factoren die strategiegebruik bevorderen o Doceer non-strategische basisfeiten die snel in te zetten zijn o Laat leerlingen oefenen met componenten van goede strategieën en de coördinatie van deze componenten

122

Denk voor dit soort situaties onder andere aan:

Omgaan met geld (schuld, rente, kosten/tijdeenheid); reizen (tijd, geld, afstand); aanschaf en bedienen van apparaten (vaste kosten, korting, gebruikskosten, aflezen displays); huis en tuin inrichten en onderhoud (plattegrond, werktekening, schaal, meetinstrumenten, maten, materiaal); voeding en gezondheid (kosten, koken, calorieën, maten, geld); planningen in de tijd. (Meijerink 2008b, p.44)

123

Aangezien de situaties van toetsopgaven niet altijd even goed overeenkomen met de werkelijkheid (Ter Heege, 2010), zal ervaring in de praktijk niet bij alle contexten helpen. Maar het kan geen kwaad om überhaupt in aanraking te komen met de praktische situaties in rekenopgaven.

83


meer kale bewerkingsopgaven in opgenomen worden, is het voor het JdW van belang om meer aandacht te geven aan het bevorderen en onderhoud van de kale rekenvaardigheden. Het lijkt er namelijk op dat leerlingen beter worden in tekstuele opgaven ten opzichte van tekstloze. Vooral bij opgaven met getallen welke de eigenschappen als decimaal, groot en/of negatief hebben, worden veel onwerkelijke antwoorden gegeven. Daarom kan ook bij deze opgaven een kritische en reflecterende houding geen kwaad. Net als bij contextuele opgaven kunnen leerlingen een generiek stappenplan aangeboden krijgen. Zo zouden leerlingen kunnen leren van te voren het antwoord te schatten en zichzelf te controleren door bijvoorbeeld een tegengestelde bewerking uit te voeren met het verkregen antwoord. Hierbij hoort ook het opschrijven van de berekening om mogelijke fouten daarin te kunnen ontdekken. Ook al kwam uit dit onderzoek dat hoofdrekenaars hoger scoorden op optellen en aftrekken dan leerlingen met de realistische strategieën, bij vermenigvuldigen en delen, waarbij meer stappen nodig zijn, was dat niet zo. In tegenstelling tot contextuele opgaven is voor het eindige aantal soorten kale opgaven een directe oplossingsprocedure aan te leren. Reflectie daarop komt van pas om te controleren of in de procedure geen fouten zijn gemaakt. Maar de focus van het rekenonderwijs met betrekking tot kale opgaven kan wel meer op het uitvoeren van de bewerking liggen dan bij contextuele opgaven. Harskamp (2004) concludeert als gemeenschappelijke uitkomst van de onderzoeken die hij noemt dat een consistente didactiek voor het leren uitvoeren van bewerkingen beter is dan de leerlingen zelf een strategie laten kiezen. Vooral bij zwakke rekenaars is duidelijkheid in oplossingsstrategieën nodig (Timmermans, 2005; Treffers & Van den Heuvel-Panhuizen, 2009). In totaal zijn er acht traditionele strategieën voor de vier hoofdbewerkingen voor gehele en decimale getallen (Van de Craats, 2007). Deze zouden de docenten zich eigen kunnen maken en aan moeten bieden, aangezien de leerling de strategieën overneemt van de docent (Hickendorff, 2013a). Daarbij moet rekening gehouden worden met het feit dat de traditionele strategieën eindstations zijn. Niet alle leerlingen op het JdW zijn daar al aan toe. Het is daarom nodig dat docenten met elkaar een doorlopende leerlijn afspreken qua strategieën om bewerkingen uit te voeren. Zodat docenten kunnen signaleren waar een leerling zich in die leerlijn bevindt, en de draad vanaf daar kunnen oppakken.

8.8

Kanttekeningen In de discussies van de verschillende deelonderzoeken is ingegaan op de kanttekeningen van de desbetreffende methoden. Er zijn daarnaast een aantal algemene bedenkingen. Deelnemers Alle deelnemers in dit onderzoek zijn leerlingen in de onderbouw van het Johan de Witt. De resultaten zijn daarom niet direct generaliseerbaar voor de gehele populatie vmbo-onderbouwleerlingen in Nederland. De resultaten zeggen wellicht wel iets over andere soortgelijke scholen met leerlingen uit achterstandswijken en met veel verschillende etnische achtergronden en thuistalen in de randstad. Vooral het onderzoek over struikelwoorden is op dat vlak interessant en zou meer verdieping behoeven.

84

Rekenen op het VO

Binnen de groep deelnemende leerlingen is geen onderscheid gemaakt op bijvoorbeeld leeftijd, schoolniveau, geslacht. De gegevens waren wel aanwezig, maar de keuze om dit niet te doen is vanwege de kleine groepjes die zouden ontstaan met bepaalde eigenschappen. En dan was er niet eens gekeken naar andere variabelen als docent, locatie, aantal jaren in Nederland, of thuistaal. De groep onderbouwleerlingen is daarom als één groep beschouwd met dezelfde rekenmethode, hetzelfde aantal uren rekenen en dezelfde toetsen, net als bij basisschoolonderzoeken waar ook alle niveaus bij elkaar in één groep zitten. In hoofdstuk 5 is wel onderscheid gemaakt op rekenniveau. Methode Het nakijken van leerlingenwerk, en bij hoofdstuk 6 het omzetten van data naar scores, is mensenwerk en zal daarom hoogstwaarschijnlijk fouten bevatten. Door het grote aantal deelnemers zal dit waarschijnlijk geen substantiële invloed hebben gehad op de resultaten. Tijdens het nakijken zijn overgeslagen opgaven in alle deelonderzoeken fout gerekend. Maar overgeslagen betekent niet per se dat de leerling de opgave heeft geprobeerd te maken. Dit valt eigenlijk in een andere categorie dan een foute berekening en had daarom ook zo behandelt kunnen worden. Misschien waren de resultaten dan anders geweest. In hoofdstuk 5 zijn niet alle twee woordenlijsten gebruikt om potentiële struikelwoorden in de tekstuele opgaven te vermijden. De resultaten in hoofdstuk 6 geven aan dat dit misschien geen vergaande gevolgen heeft in de resultaten van hoofdstuk 5. Tot slot, dit onderzoek heeft maar een beperkt aantal aspecten van de rekentoets het rekenen op het voortgezet onderwijs belicht. De focus van dit onderzoek lag op bewerkingsopgaven. Wellicht zijn er andere vondsten die het rekenen effectiever op niveau kunnen brengen.

85


9 Conclusie Op basis van de conclusies betreffende de drie onderzochte elementen bij contextuele en contextloze bewerkingsopgaven, en de verbanden daartussen, kan een antwoord op de hoofdvraag worden gegeven. 9.1

Inleiding Uit nationale peilingen en de resultaten van de landelijke rekentoets bleek dat er zowel op contextuele als contextloze rekenopgaven winst was te behalen. Dit onderzoek ging daarom over elementen in dergelijke opgaven die mogelijk effect hebben op de prestaties van onderbouwleerlingen. Alle testen zijn uitgevoerd bij leerlingen van de Johan de Witt Scholengroep. Op basis van literatuuronderzoek zijn drie elementen uitgekozen ter verdieping. Dit waren tekst in het algemeen met twee deelvragen, struikelwoorden met één deelvraag en strategiegebruik met twee deelvragen. De uitgebreide discussies en conclusies per element staan in de hoofdstukken 5 t/m 7. In dit hoofdstuk wordt antwoord gegeven op de hoofdvraag op basis van die conclusies.

9.2

Hoofdvraag De elementen tekst, struikelwoorden en strategiegebruik zijn onderzocht om antwoord te kunnen geven op de hoofdvraag: Welke elementen met betrekking tot contextuele en contextloze bewerkingsopgaven hebben effect op de rekenprestaties van leerlingen in de onderbouw van de Johan de Witt Scholengroep?

124

Verschil in scores tussen tekstuele en tekstloze opgaven ten gunste van de tekstloze variant in procentpunten:

1F 2F

Aantal bewerkingen één Twee 7 20 9

Tekst Leerlingen onder of net op 1F hebben significant hogere scores op tekstuele opgaven met één bewerking dan op bijbehorende tekstloze opgaven. Dit verschil is groter bij opgaven met twee bewerkingen. Leerlingen net onder of op 2F ondervinden alleen een negatief effect van de gekozen tekst bij opgaven met twee bewerkingen124. Dat de grote van het verschil naast het aantal bewerkingen samenhangt met het rekenniveau van een leerling is te verklaren door de toenemende schoolervaring waardoor leerlingen meer cognitieve schema’s ontwikkelen om tekstuele problemen op te lossen (Vicente et al., 2007). Vooral bij opgaven met meerdere bewerkingen werken ‘number grabbing’ methodes minder goed en moeten leerlingen zich inleven in de context en daarop reflecteren (Hegarty et al., 1995). Training in metacognitieve vaardigheden waarbij reflectie en controle een grote rol spelen bieden hiervoor een uitkomst (Jacobs, 2012). Ook voor leerlingen op het lage rekenniveau kan dit helpen aangezien zij relatief vaak de verkeerde bewerking uitvoerden bij tekstuele opgaven met één bewerking. De verschillen in scores op tekstuele en tekstloze varianten waren onafhankelijk van de soort bewerking. Wat opviel was het verschil ten gunste van de tekstuele varianten bij negen van de tien paren met decimale, grote

86

Rekenen op het VO

en/of negatieve getallen. Misschien interacteert tekst wel met het soort getallen in de opgave ten aanzien van de scores. Struikelwoorden125 Het daadwerkelijke effect van struikelwoorden in rekenopgaven is niet onderzocht, wel het effect van een toenemend aantal struikelwoorden op de verschillen in scores tussen groepen leerlingen met een verschillende thuistaal126. Er is bij geen van de zeven groepen opgaven qua struikelwoorden een verschil in scores tussen de drie groepen leerlingen met een andere thuistaal. Dit betekent dat de scores van anderstalige leerlingen ook niet afnemen ten opzichte van Nederlandstalige leerlingen naarmate het aantal struikelwoorden in de opgaven toeneemt. Aangezien er volgens anderen wel verschil zou zijn in de absolute prestaties van autochtone en allochtone leerlingen (Van den Boer, 2003), en dat allochtone leerlingen vooral last zouden hebben van struikelwoorden (Prenger, 2005), is de eerste vraag of thuistaal wel hetzelfde onderscheid maakt. Daarna rijst de vraag of onderscheid in afkomst überhaupt een goede variabele is om te testen of struikelwoorden in rekenopgaven problemen opleveren, en of dat niet taalniveau moet zijn. Wellicht dat leerlingen met een kleine woordenschat wel problemen ondervinden door struikelwoorden.

125

De drie potentiële struikelwoorden zijn: o Laagfrequente dagelijkse woorden o Schooltaalwoorden o Vaktaalwoorden

126 De drie thuistaalgroepen waarvan de behaalde scores zijn vergeleken, zijn leerlingen met:

o een andere thuistaal dan Nederlands o zowel Nederlands als een andere thuistaal of -talen o Nederlands als thuistaal

Een andere verklaring is dat de leerlingen met een verschillende thuistaal op het Johan de Witt naar elkaar toe zijn getrokken qua taalniveau. Daarom is een vergelijking met een school met voornamelijk Nederlandstalige leerlingen gewenst. Over het effect van struikelwoorden is meer onderzoek gewenst. Misschien leveren niet alle drie potentiële struikelwoorden problemen op. Ook is er bijvoorbeeld niet gekeken naar hoe essentieel het is voor een leerling om het woord te kennen om de opgave te kunnen oplossen. Strategiegebruik Bij alle vier bewerkingen zijn de leerlingen die de traditionele strategie gebruiken het meest succesvol. Hoofdrekenaars zijn tegen de verwachtingen in succesvoller dan leerlingen die geschreven realistische strategieën gebruiken bij optellen en aftrekken. Bij vermenigvuldigen en delen is dat wel andersom. Mits het elke leerling aan te leren valt, zou het een streven kunnen zijn om leerlingen de geschreven traditionele strategie aan te leren voor de vier hoofdbewerkingen. Voor docenten is het belangrijk om te weten hoe de leerlijn voor het uitvoeren van deze bewerkingen opgebouwd is, zodat leerlingen vanaf elk niveau meegenomen kunnen worden.

87


Literatuur Abedi, J., & Lord, C. (2001). The language factor in mathematics tests. Applied Measurement in Education, 14(3), 219-234. Berends, I. E., & Lieshout, E. C. van (2009). The effect of illustrations in arithmetic problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and Instruction, 19(4), 345-353. Boer, C. J. E. M. van den (2003). Als je begrijpt wat ik bedoel. Een zoektocht naar verklaringen voor achterblijvende prestaties van allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs. Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). Definitie allochtonen. Geraadpleegd op 19 oktober 2014, van http://www.cbs.nl/nlNL/menu/themas/dossiers/allochtonen/methoden/begrippen/default.htm?ConceptID=37 Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (2014). Foutenanalyse rekentoets 2F voortgezet onderwijs. Arnhem. Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (2014). Foutenanalyse rekentoets 3F voortgezet onderwijs. Arnhem. Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (2012). Voorbeeldtoets 2F voortgezet onderwijs. Arnhem. Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling & Expertisecentrum taal, onderwijs en communicatie (2010). Streefwoordenlijst voor de basisvorming (versie 2010). Opvolger van de streefwoordenlijst voor de eerste fase van het voortgezet onderwijs (Haquebord & Struiving, 1998). Arnhem. Corte, E. de, & Verschaffel, L. (1982). Analyse en beïnvloeding van het probleemoplossend denken. Een bijdrage tot het ontwikkelend onderwijs.Tijdschrift voor Orthopedagogiek, 13, 449-464. Corte, E. de, Verschaffel, L., & de Win, L. (1985). Influence of rewording verbal problems on children’s problem representation and solutions. Journal of Educational Psychology, 77, 460-470. Cooper, H., Nye, B., Charlton, K., Lindsay, J., & Greathouse, S. (1996). The effects of summer vacation on achievement test scores: A narrative and meta-analytic review. Review of Educational Research, 66(3), 227-268. Craats, J. van de (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Nieuw Archief voor Wiskunde, 8(2), 132 Cummins, D. D., Kintsch, W., Reusser, K., & Weimer, R. (1988). The role of understanding in solving word problems. Cognitive psychology, 20(4), 405-438. Cummins, D. D. (1991). Children's interpretations of arithmetic word problems.Cognition and instruction, 8(3), 261-289. Dekker, T., Lagerwaard, K., Lange, J. de, Limpens, G., & Wijers, M. (2006). Wiskundige geletterdheid volgens PISA - Hoe staat de vlag erbij? Utrecht/Arnhem: Freudenthal Instituut-PISA/Cito-groep. Dijksma, S. (2007). Scholen voor morgen. Samen op weg naar duurzame kwaliteit in het primair onderwijs. Dijsselbloem, C. (2008). Tijd voor onderwijs. Eindrapport parlementair onderzoek onderwijsvernieuwingen. Dronkers, J. (2013). Dronkers-lijst van schoolprestaties 2013. Geraadpleegd in november 2013, van http://www.volkskrant.nl/vk/nl/11968/Dronkers-lijst-van-schoolprestaties/index.dhtml Eerde, H. A. A. van (2009). Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo.Panamapost. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 28 (3), 19, 32. 88

Rekenen op het VO

Field, A. (2009). Discovering statistics using SPSS. Sage publications. Jacobse, A. E. (2012). Can We Improve Children's Thinking?: A Metacognitive Approach to Word Problem Solving. GION, Gronings Instituut voor Onderzoek van Onderwijs. Laerd Statistics. Geraadpleegd in juli 2014, van https://statistics.laerd.com Gravemeijer, K. (2003). Betekenisvol rekenen. Willem Bartjens, 22(4), 5-8. Gravemeijer, K. (2005). Revisiting ‘Mathematics education revisited’. Utrecht: Freudenthal Instituut. Gravemeijer, K. (2007). Reken-wiskundeonderwijs anno 2007. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 26(4), 3-10. Groenestijn, M. van, & Kenniscentrum Educatie (2009). Rekenen over de drempel van PO naar VO. Over de muurtjes heen kijken, 65. Groenestijn, M. van, Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie.(BAO, SBO, SO). Koninklijke Van Gorcum, Assen. Groenestijn, M. van, Dijken, G. van, & Janson, D. J. (2012). Protocol ernstige rekenwiskunde-problemen en dyscalculie: VO en VSO. Koninklijke Van Gorcum, Assen. Harskamp, E. (2007). Reken-wiskunderesultaten van leerlingen aan het einde van de basisschool. Advies ten behoeve van de werkgroep rekenen-wiskunde van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Harskamp, E. (2004) Analyseren en verhelpen van rekenproblemen.Groningen: GION Heege, J. ter (2010). Het werkelijkheidsgehalte van toetsitems. Panama-post, 29(3), 27-36. Hegarty, M., Mayer, R. E., & Monk, C. A. (1995). Comprehension of arithmetic word problems: A comparison of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of educational psychology, 87(1), 18. Heuvel-Panhuizen, M. van den, & Bodin-Baarends, C. (2004). Alles of niets. Probleem oplossen door goede rekenaars. Volgens Bartjens..., 24(2), 12-14. Hickendorff, M., Heiser, W. J., Putten, C. M. van, & Verhelst, N. D. (2009). Solution strategies and achievement in Dutch complex arithmetic: Latent variable modeling of change. Psychometrika, 74(2), 331-350. Hickendorff, M. (2011). Explanatory latent variable modeling of mathematical ability in primary school: crossing the border between psychometrics and psychology. Departement Psychology, Faculty of Social and Behavioural Sciences, Leiden University. Hickendorff, M. (2013). The Effects of Presenting Multidigit Mathematics Problems in a Realistic Context on Sixth Graders' Problem Solving. Cognition and Instruction, 31(3), 314-344. Hickendorff, M. (2013). The Language Factor in Elementary Mathematics Assessments: Computational Skills and Applied Problem Solving in a Multidimensional IRT Framework. Applied Measurement in Education, 26(4), 253-278. Hickendorff, M. (2013). Over de peilingen rekenen-wiskunde – Cito. Presentatie op het symposium 25 jaar PPON. Geraadpleegd in april 2014, download van www.cito.nl/~/media/cito_nl/.../cito_peilingen_rekenen_wiskunde.ashx Hoogland, K., Bakker, A., Koning, J. de, & Gravemeijer, K. (2012, July). Comparing students’ results on word problems with their results on image-rich numeracy problems. In 12th International

Congress on Mathematical Education 8 July–15 July, 2012, COEX, Seoul, Korea.

89


Hoogland, K., Mark, J. van der, Reeuwijk, M., Sjoers, S., Vliegenthart, M., & Wijk, P. van (2012). Help, ik moet dit jaar een rekentoets maken! Didactische tips om leerlingen voor te bereiden op de rekentoets 2F. Utrecht: APS. Inspectie van het Onderwijs (2008). Basisvaardigheden rekenen-wiskunde. Utrecht. Janssen, J., Schoot, F. van der., & Hemker, B. (2005). PPON (periodieke peiling van het onderwijsniveau). Balans (32) van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Kintsch, W., & Greeno, J. G. (1985). Understanding and solving word arithmetic problems. Psychological Review, 92, 109-129 KNAW (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Malmberg. Evenwichtig rekenen. Geraadpleegd in april 2014, van http://www.malmberg.nl/Basisonderwijs/Methodes/Rekenen/Evenwichtig-rekenen.htm Mayer, R. E. (1998). Cognitive, metacognitive, and motivational aspects of problem solving. Instructional science, 26(1-2), 49-63. Meelissen, M.R.M., Netten, A., Drent, M., Punter, R.A., Droop, M. & Verhoeven, L. (2012). PIRLS- en TIMSS-2011 : trends in leerprestaties in lezen, rekenen en natuuronderwijs. Nijmegen: Radboud Universiteit Nijmegen / Enschede: Universiteit Twente Meijerink, H.P. (2008a). Over de drempels met taal en rekenen. Eindrapport expertgroep doorlopende leerlijn taal en rekenen. Meijerink, H.P. (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhou den, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Ministerie van onderwijs, cultuur en wetenschap (2013). Voortgangsrapportage invoering referentieniveaus taal en rekenen 2013, Den Haag. OCW, trends in beeld. Geraadpleegd in april 2014, van http://www.trendsinbeeld.minocw.nl/vervolg.php?h_id=1&s_id=2&v_id=10&titel=(Internation aal)_behaalde_prestaties OECD (2013). PISA 2012 Results: what students know and can do. Student performance in mathematics, reading and science. Volume I. Paris: OECD Publishing. Oonk, W., Zanten, M. van, & Keijzer, R. (2007). Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 26(3), 3-18 Plas, L. van der. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskundeonderwijs. Geraadpleegd in december 2013, download van http://liesbethvanderplas.com/node/14 Prenger, J. (2006). Woorden tellen mee. Een onderzoek naar talige struikelblokken in het wiskundeboek. Levende Talen Tijdschrift, 7(3), 17-24. Prenger, J. (2005). Taal telt!: een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskundeonderwijs. Prenger, J. (2001). Vocabulaire hindernissen bij wiskunde. Toegepaste Taalwetenschap in Artikelen, 66, 53-68 Pressley, M. (1986). The relevance of the good strategy user model to the teaching of mathematics. Educational Psychologist, 21(1-2), 139-161.

90

Rekenen op het VO

Putten, C. M. van (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987.

Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs: Panama-post, 27(1), 35-40. Putten, C. M. van, & Hickendorff, M. (2006). Strategieën van leerlingen bij het beantwoorden van deelopgaven in de periodieke peilingen aan het eind van de basisschool van 2004 en 1997. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 25(2), 16-25. Rademakers, G., Putten, C. V., Beishuizen, M., & Janssen, J. (2004). Traditionele en realistische algoritmen bij het oplossen van deelsommen in groep 8. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 23 (4), 3-7. Reeuwijk, M. van, Wijk van, P., Duursma, J., & Vliegenthart, M. (2013). Onderzoek naar modellen voor rekenen in het VO. Utrecht: DUO marketresearch. In opdracht van onderwijsadviesbureau APS door Riley, M.S., Greeno, J.G., & Heller, J.I. (1983). Development ofchildren’s problem solving ability in arithmetic. H.P. Ginsberg (Ed.), The development of mathematical thinking. New York: Academic Press. Scheltens, F., Hemker, B., Vermeulen, J. (2013). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5. Uitkomsten van de vijfde peiling in 2011. Arnhem: Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling. Schmidt, V., Braber, N. den, Spel, W., & Gademan, J. (2011). Concretisering referentieniveau 2F rekenen. Enschede: SLO. Schoot, F. van der, & Projectleider, P. P. O. N. (2008). Onderwijs op peil. Arnhem: Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling. SLO (national expertisecentrum leerplanontwikkeling), 2011. Rekentoetswijzer 2F voortgezet onderwijs. Eschede: SLO afdeling vmbo-mbo. Stacey, K. (2012). The international assessment of mathematical literacy: PISA 2012 framework and items. In Proceedings of The 12th International Congress on Mathematical Education (pp. 756772). Stern, E., & Lehrndorfer, A. (1992). The role of situational context in solving word problems. Cognitive Development, 7, 259-268. Straetmans, G. J. J. M., & Eggen, T. J. H. M. (2005). Afrekenen op rekenen: over de rekenvaardigheid van pabo-studenten en de toetsing daarvan.Tijdschrift voor Hoger Onderwijs, 23(3), 123-139. ‘ Timmermans, R. (2005). Addition and subtraction strategies: assessment and instruction. Proefschrift Radboud Universiteit, Nijmegen. Treffers, A., & Goeij, E. de (2006). Anders naar kinderen kijken. Panama-post, 25(3), 11-14. Treffers, A., & Heuvel-Panhuizen, M. van den (2009). Rekenen toen en nu. Mensenkinderen, tijdschrift voor en over jenaplanonderwijs, 117, mei, 3-6. Treffers, A. & Moor, E. de (1990). Proeve van een nationaal programma voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool. Deel II: Basisvaardigheden en cijferen. Tilburg: Zwijsen Verhallen, S., & Alons, L. (2010). Handleiding basislijst schooltaalwoorden vmbo. Amsterdam: ITTA Instituut voor Taalonderzoek en Taalonderwijs Anderstaligen Universiteit van Amsterdam Verschaffel, L., Corte, E. de, Lasure, S., Vaerenbergh, G. van, Bogaerts, H., & Ratinckx, E. (1999). Learning to solve mathematical application problems: A design experiment with fifth graders. Mathematical thinking and learning, 1(3), 195-229.

91


Vicente, S., Orrantia, J., & Verschaffel, L. (2007). Influence of situational and conceptual rewording on word problem solving. British journal of educational psychology, 77(4), 829-848 Vos, P. (2007). Rekenen door Nederlandse tweedeklassers in internationaal perspectief (1982-2003): Zijn de prestaties voor- of achteruit gegaan? In opdracht van de commissie Meijerink. Willems, W., Visser, J., Verbeeck, K. (2011), De leraar als regisseur: opbrengstgericht rekenonderwijs bij de invoering van de referentieniveaus in PO en VO. ’s Hertogenbosch: KPC Groep. Wit, W. (2000). Zwart-wit in het wiskundeonderwijs. Vernieuwing, tijdschrift voor onderwijs en opvoeding, 1(2), 16-8.

92

Rekenen op het VO

Bijlage 1 Diepere inspecties van de resultaten van de internationale peilingsonderzoeken (PISA-2012 en TIMSS2011), en het nationale peilingsonderzoek (PPON-2011) leveren een interessante discussie op. Zo komt bijvoorbeeld de mening naar voren dat op basis van de internationale onderzoeken niets over het Nederlandse rekenonderwijs in het algemeen gezegd kan worden. Internationaal peilingsonderzoek Van der Plas stelt dat van de 38 opgaven in PISA-2003 (gesteld aan 15 jarige leerlingen) er slechts drie zijn die enige wiskundige scholing op het niveau van de brugklas (12 jarige leerlingen) eisen (Van der Plas). Van de Craats (2007) sluit zich hier bij aan door te stellen dat de opgaven in TIMSS en PISA die als ‘rekenopgaven’ bestempeld worden, geen representatieve afspiegeling vormen van het domein rekenen. In tegenstelling tot het nationale PPON-onderzoek, dat wel het gehele terrein van rekenen op de basisschool in Nederland bestrijkt. Daar komt bij dat vanwege sterk verschillende nationale leerplannen, er überhaupt weinig over de kwaliteit van het onderwijs in een land gezegd kan worden op grond van deze internationale vergelijkingen. Het ene land zal het beter doen dan het andere, omdat de opgaven beter bij het onderwijs in dat land aansluiten. Het is bijvoorbeeld zo dat de toetsopgaven van PISA mede zijn opgesteld door het Cito en aansluiten bij het Nederlandse onderwijsprogramma (Dekker, Lagerwaard, De Lange, Limpens, & Wijers, 2006; Dijsselbloem, 2008) Vos (2007) concludeert in haar rapport over TIMSS in opdracht van de commissie Meijerink, dat de Nederlandse tweedeklassers juist goed scoren op rekenen. Dat de scores voor Nederland binnen TIMSS over de jaren heen dalen is volgens haar een schijnbare daling, omdat deze scores niet volgens een absolute norm zijn berekend. Elke peiling worden relatieve scores geproduceerd ten opzichte van alle landen die mee doen. Als er rekening wordt gehouden met de verschillende schalen uit de verschillende peilingen, is er tussen geen enkel paar peilingen een significant verschil te constateren op het gebied rekenen. Dijksma (2007) brengt in haar beleidsnota tegen dit argument weer in dat stilstaan hetzelfde is als achteruitgang, aangezien andere westerse landen wel vooruitgang boeken. Maar zelfs de commissie Meijerink (2008) zegt over de resultaten van TIMSS en PISA dat er geen reden voor zorgen is: “Op grond van deze twee internationaal geaccepteerde vergelijkende onderzoeken concluderen wij dat er over de gehele breedte geen reden is om aan te nemen dat de kwaliteit van het Nederlandse onderwijs in rekenen & wiskunde beneden de maat is van wat van een ontwikkelde natie mag worden verwacht” (p. 10). Nationaal peilingsonderzoek Hickendorff (2013c) laat in haar presentatie op het symposium ‘25 jaar PPON’ zien wat de afwijking is tussen de gestelde doelen in de wet referentieniveaus en de realiteit zoals die door de resultaten uit PPON-2011 worden geschetst. Zo is het de ambitie dat 75% van de basisschoolleerlingen het fundamentele niveau en 50% het streefniveau zoals beschreven door de commissie Meijerink beheerst. Als de PPON-2011 gegevens worden geijkt op die niveaus, wordt daar maar tussen de -5% en +15% respectievelijk -5% en +23% van afgeweken.

93


Bijlage 2 De cijferstrategieën bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, en staartdelen bij delen, vallen onder wat men traditionele strategieën noemt. Kolomsgewijs, splitsen en herhaald aftrekken horen bij de realistische rekendidactiek.

94

Rekenen op het VO

95


Bijlage 3 Uit ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel II: Basisvaardigheden en cijferen’:

Nu ligt de weg naar het standaardalgoritme open. Eerst de volgorde van werken veranderen, namelijk van rechts naar links, vervolgens het kolomsgewijze rekenen bekorten.

(p. 186)

96

Rekenen op het VO

Bijlage 4 In tabellen 19 t/m 21 staan de opgaven die gebruikt zijn voor de bewerkingen aftrekken, vermenigvuldigen en delen in de versies A van de testen voor 1F en 2F. Tabel 19

De Vier Paren Aftrekopgaven in de 1F en 2F Test Aftrekken

Gehele getallen

Decimale getallen

Basis

A1

A2

Tekstloos

200 – 17 =

1 – 0,25 =

Tekstueel

Bij een dansvoorstelling komen 500 mensen kijken. Er moeten 13 mensen staan. Hoeveel mensen kunnen zitten?

In een pak melk van 1 liter zit nog 0,75 liter. Hoeveel liter melk is er uit gedronken?

A1

A2

Tekstloos

328 miljoen – 40 miljoen =

-64,50 – 5 =

Tekstueel

Het best bekeken filmpje op internet is bekeken door 537 miljoen mensen. Daarvan wonen er 50 miljoen in China. Hoeveel miljoen kijkers wonen er niet in China?

Sanne heeft een schuldenstand van -73,50 €. Ze neemt nog een lening van 5 € om eten te kopen. Wat is haar nieuwe schuldenstand?

A3

A4

Tekstloos

11245 – 4285 =

38,36 – 3,78 =

Tekstueel

Een vrachtwagen met zand is 10324 kilogram. Zonder zand is de vrachtwagen 3374 kilogram. Hoeveel kilogram zand zit er in de vrachtwagen?

Piet en Koen houden samen een hardloopwedstrijd. Koen werd tweede met een eindtijd van 25,27 seconden. Piet was 2,68 seconden sneller. Wat is de eindtijd van Piet?

1F

Basis 2F

Bewerking 1F en 2F

97


Tabel 20

De Vier Paren Vermenigvuldigingsopgaven in de 1F en 2F Test Vermenigvuldigen

Gehele getallen

Decimale getallen

Basis

V1

V2

Tekstloos

34 x 25 =

3 x 0,7 =

Tekstueel

De groenteboer krijgt 48 kistjes met elk 25 appels. Hoeveel appels zijn dat?

Joost koopt 5 zakken hondenvoer van 0,8 kilogram per stuk. Met hoeveel kilogram hondenvoer gaat hij naar huis?

V3

V4

Tekstloos

6 x 135 =

16 x 16,4 =

Tekstueel

Eva heeft in de maand oktober 165 uur gewerkt. Ze verdient 7 € per uur. Hoeveel geld krijgt ze voor de maand oktober?

Een groepje wielrenners traint voor een wedstrijd waarbij ze 17 rondjes van 14,2 kilometer moeten fietsen. Hoeveel kilometer gaan ze tijdens de wedstrijd fietsen?

1F en 2F

Bewerking 1F en 2F

Tabel 21

De Vier Paren Deelopgaven in de 1F en 2F Test Delen

Gehele getallen

Decimale getallen

Basis

D1

D2

1F en

Tekstloos

240 : 40 =

20 : 0,5 =

2F (alleen D1)

Tekstueel

Gerard koopt 30 boeken en hij moet 150 € betalen. Hoeveel € kost 1 boek?

Tim heeft dozen van 0,2 meter hoog. Hoeveel dozen heeft hij nodig om een toren van 10 meter te bouwen?

Basis 2F (alleen D2)

D2 Tekstloos

10 miljoen : 200 000 =

Tekstueel

Een autohandelaar koopt voor 20 miljoen € hele dure auto’s van 500 000 € per stuk. Hoeveel auto’s koopt de autohandelaar?

Bewerking 1F en 2F

98

D3

D4

Tekstloos

178 : 7 =

60 : 3,25 =

Tekstueel

Er worden 139 balpennen verpakt in doosjes. Hoeveel doosjes kun je maken met 8 pennen in elk doosje? En hoeveel pennen hou je dan over?

De juf heeft stukken touw nodig. Ze heeft een lang stuk touw van 80 meter. Hoeveel stukken van 2,75 meter kan ze daar van maken?

Rekenen op het VO

Bijlage 5 In versie A van 2F is opgave 2 (A2 tekstloos) gewisseld met opgave 10 (A4 tekstloos), en 18 (A2 tekstueel) met 26 (A4 tekstueel), omdat anders de opgaven met negatieve getallen direct na elkaar gesteld werden. De volgorde van de opgaven in versie A van de 2F test staan in tabel 22. Tabel 22

Volgorde van 32 Opgaven in Versie A van de 2F Test 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

O1

A4

V3

D4

O2

A3

V4

D1

O3

A2

V1

D2

O4

A1

V2

D3

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

O1

A4

V3

D4

O2

A3

V4

D1

O3

A2

V1

D2

O4

A1

V2

D3

99


Bijlage 6 Als de z-score (statistic gedeeld door standard error) voor skewness of kurtosis buiten het interval [3,29; 3,29] ligt, duidt dat op een afwijking van normaliteit van de desbetreffende conditie (tekst of tekstloos in combinatie met een bewerking). Dit is het geval in zeven van de acht condities bij de 1F test en bij vier van de acht conditities in de 2F test. In tabel 23 zijn deze z-scores en condities dikgedrukt. Tabel 23

De Z-scores van de Acht Condities in de 1F en 2F Test Skewness Statistic 1F Tekstueel

Tekstloos

2F Tekstueel

Tekstloos

100

Std. Error

z-score

Kurtosis Statistic

Std. Error

z-score

Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen

-0.806 -0.476 -0.132 0.181 -1.271 -0.897 -0.349 0.103

0.117

-6.889 -2.034 -1.128 0.774 -10.863 -3.833 -2.983 0.440

-0.076 -0.458 -0.943 -0.842 1.485 0.224 -0.756 -0.795

0.234

-0.650 -1.957 -8.060 -3.598 12.692 0.957 -6.462 -3.397

Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Delen

-1.021 -0.808 -0.659 -0.098 -0.713 -0.499 -0.759 -0.114

0.194

-5.263 -2.093 -3.397 -0.254 -3.675 -1.293 -3.912 -0.295

0.801 0.040 -0.504 -0.816 -0.005 -0.578 -0.178 -0.575

0.386

4.129 0.104 -2.598 -2.114 -0.026 -1.497 -0.918 -1.490

Rekenen op het VO

Bijlage 7 In tabellen 24 t/m 26 staan de opgaven die gebruikt zijn met aftrekken, vermenigvuldigen en delen als eerste bewerking in de versies A van de test. Tabel 24

De Twee Paren Opgaven met als Eerste Bewerking een Aftrekking Bewerking #1

Bewerking #2

Aftrekken

Vermenigvuldigen

Opgave Tekstloos

(49 – 4) x 4 =

Tekstueel

(38 – 3) x 4 = In 2010 wilde Nederland 38 sporters naar de Olympische Winterspelen sturen. Net voor vertrek vielen er 3 sporters af door blessures. Zij gingen dus niet mee. Er gingen per sporter 4 trainers mee. Hoeveel trainers gingen er in 2010 mee?

Delen

Tekstloos

(441 – 65) : 8 =

Tekstueel

(427 – 85) : 9 = Kees moet voor zijn werk 427 mails versturen. Hij heeft al 85 mails verstuurd. Voor de rest van de mails heeft hij nog 9 dagen de tijd. Hij verstuurt iedere dag evenveel mails. Hoeveel mails verstuurt hij per dag?

Tabel 25

De Twee Paren Opgaven met als Eerste Bewerking een Vermenigvuldiging Bewerking #1

Bewerking #2

Vermenigvuldigen

Optellen

Opgave Tekstloos

(24 x 17) + 112 =

Tekstueel

(23 x 16) + 123 = Piet heeft een grote doos met 23 zakjes waarin elk 16 knikkers zitten. Hij heeft ook een kleine doos met 123 knikkers. Hoeveel knikkers heeft Piet?

Aftrekken

Tekstloos

76 – (7 x 4) =

Tekstueel

84 – (8 x 7) = Elisa verkoopt aan 8 mensen elk 7 armbanden. Ze had 84 armbanden. Hoeveel armbanden heeft ze nog over?

Delen

Tekstloos

(30 x 9) : 90 =

Tekstueel

(60 x 6) : 120 = Op een schoolfeest wordt gratis cola uitgedeeld. Er zijn 60 flessen cola gekocht en uit elke fles kunnen 6 glazen cola. Er komen 120 leerlingen naar het schoolfeest. Hoeveel glazen cola kan elke leerling drinken?

101


Tabel 26

De Twee Paren Opgaven met als Eerste Bewerking een Deling Bewerking #1

Bewerking #2

Delen

Optellen

Opgave Tekstloos

(490 : 70) + 8 =

Tekstueel

(560 : 80) + 6 = Er worden 560 nieuwe stiften uitgedeeld aan 80 docenten. Alle docenten krijgen evenveel stiften. Alle docenten hadden zelf al 6 stiften. Hoeveel stiften heeft elke docent na het uitdelen?

Aftrekken

Tekstloos

(32 : 4) – 3 =

Tekstueel

(27 : 3) – 2 = Een groep van 27 vrienden wil naar een discotheek. Ze gaan naar binnen in groepjes van 3. 2 groepjes vinden het te lang duren en gaan naar huis. Hoeveel groepjes gaan wel naar binnen?

Vermenigvuldigen

Tekstloos

(45 : 9) x 16 =

Tekstueel

(40 : 8) x 14 = 40 dozen met eten worden aan 8 arme gezinnen gegeven. Alle gezinnen krijgen evenveel dozen. In elke doos zitten 14 appels. Hoeveel appels krijgt elk gezin?

102

Rekenen op het VO

Bijlage 8

103


Bijlage 11 Als de z-score (statistic gedeeld door standard error) voor skewness of kurtosis buiten het interval [3.29; 3.29] ligt, duidt dat op een afwijking van normaliteit van de desbetreffende conditie (één van de drie thuistaalgroepen in combinatie met een groep opgaven). Dit is het geval in vier van de 21 condities, in tabel 31 zijn deze z-scores en condities dikgedrukt. Vanwege gebrek aan homogeniteit binnen de varianties van de condities met betrekking tot de groepen met 0 en 1 struikelwoorden was, is de analytische test nog eenmaal uitgevoerd zonder de condities met deze groepen. Er zijn dan twee condities over die afwijken van normaliteit. Tabel 31

De Z-scores van de 21 Condities

Anderstalig

Gemixt

Nederlandstalig

.

110

Tekstloos Minimale tekst 0 1 2 3 4 Tekstloos Minimale tekst 0 1 2 3 4 Tekstloos Minimale tekst 0 1 2 3 4

Skewness Statistic -0.279 -0.746 -0.100 -1.204 -0.281 -0.292 -0.823 -0.242 -1.013 -0.014 -1.307 -0.451 -0.338 -1.826 -0.378 -0.919 -0.367 0.250 -0.547 -0.453 -0.872

Std. Error 0.309

0.261

0.281

z-score -0.903 -2.414 -0.325 -3.900 -0.909 -0.945 -2.663 -0.927 -3.881 -0,054 -5.008 -1.728 -1.300 -7.000 -1.345 -3.270 -1.306 0.900 -1.947 -1.612 -3.103

Kurtosis Statistic -0.236 -0.174 -0.301 0.702 -0.504 -0.630 0.214 -1.051 0.481 0.107 0.640 0.151 -0.972 4.086 -0.676 0.317 0.227 -1.764 0.683 -0.615 0.347

Std. Error 0.608

0.517

0.555

z-score -0.388 -0.286 -0.495 1.154 -0.829 -1.036 0.352 -2.033 0.930 0.207 1.238 0.292 -1.880 7.903 -1.218 0.566 0.409 -3.178 1.231 -1.108 0.625

2014. Rekenen op het VO

Recommend Documents