Dit studiemateriaal is ontwikkeld in het kader van een aansluitingsproject wo-vwo voor het wiskundeonderwijs in de tweede fase. Andere titels zijn: Foutje? Dat verbeteren we toch! Kun je de code kraken? Kun je me de kortste weg vertellen? Dynamische modellen in de biologie, scheikunde en natuurkunde Meer informatie: website: http://www.win.tue.nl/math/onderwijs/vwo/ e-mail:
[email protected]
Geef je leven meer dimensie Syllabus van de masterclass op 15 maart 2002 J. Molenaar/J. Essers Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
2
Geef je leven meer dimensie
Inhoud 0. Inleiding 1. Wiskundig modelleren 2. Fysische dimensies 3. Fysische voorbeelden 4. Opgaven 5. Antwoorden
3
Geef je leven meer dimensie 0. Inleiding Punten, lijnen, oppervlakken en volumes hebben verschillende ruimtelijke dimensies, die we respectievelijk aangeven met 0, 1, 2, en 3. De term dimensie wordt echter ook anders gebruikt. Bijvoorbeeld, afstanden hebben de dimensie ‘lengte’ en geschiedenisperioden hebben de dimensie ‘tijd’. Van het gegeven dat alle waarneembare verschijnselen fysische dimensies hebben kunnen we dankbaar gebruik maken bij het modelleren ervan. We noemen dat ‘dimensie-analyse’.
1. Wiskundig modelleren Om ´e´en of ander verschijnsel te kunnen begrijpen, helpt het geweldig als we er een wiskundig model voor kunnen opstellen. Zo’n model beschrijft het waargenomen verschijnsel en kan gebruikt worden om voorspellingen te doen en technische toepassingen te realiseren. Lang geleden bedacht Newton een model voor de planeetbewegingen in ons zonnestelsel. De zwaartekrachtwet (de aantrekkingskracht tussen twee massa’s is omgekeerd evenredig met hun afstand in het kwadraat) en zijn bewegingswet (kracht is gelijk aan massa maal versnelling oftewel F = ma) vormden daarvan de kern. Datzelfde model wordt gebruikt om het verschijnen van kometen te voorspellen en om een raket naar de maan te sturen. In een wiskundig model geven we alle grootheden die van belang zijn aan met een symbool en beschrijven we de relaties ertussen door middel van wiskundige vergelijkingen. Het is bij wiskundig modelleren de grote kunst om de goede vergelijkingen te vinden. Ze moeten zo eenvoudig mogelijk zijn, maar wel alle waargenomen verschijnselen kunnen beschrijven. Een voorbeeld van wiskundig modelleren luidt als volgt: Voorbeeld 1. Katapultschieten. We schieten met een katapult een steen loodrecht omhoog en meten hoe hoog hij komt en hoe lang het duurt voordat hij terug is, waarbij we de beginsnelheid vari¨eren. We merken op dat als we de lanceersnelheid van de steen 2 maal zo groot maken, de steen niet 2 maal zo hoog komt, maar wel 2 maal zo lang wegblijft. Om dit te begrijpen stellen we een wiskundig model op. De positie van de steen geven we aan met z. Het is een functie van de tijd, dus z = z(t). Tijdens de reis ondervindt de steen de zwaartekracht met grootte mg (naar beneden gericht) met g de constante zwaartekrachtsversnelling.
4
Figuur 1: Baan van een verticaal omhoog gesloten massa in het (t, z) vlak. De beroemde tweede wet van Newton (kracht is massa maal versnelling) vertelt ons dat (1)
−mg = ma .
Hierin is a de versnelling, die gelijk is aan de tweede afgeleide van de plaats naar de tijd, dus a = d2 z/dt2 . De snelheid v wordt gegeven door de eerste afgeleide: v = dz/dt. We zien in (1) dat de massa eruit valt en we houden over: (2)
d2 z = −g . dt2
Omdat g constant is, kunnen we deze differentiaalvergelijking supergemakkelijk integreren. Daarvoor zijn nodig de positie en snelheid op tijdstip t = 0. Daarvan weten we: z(0) = 0. De beginsnelheid noteren we als v(0) = v0 . Als we (2) ´e´en keer integreren vinden we de snelheid: (3)
v(t) =
dz = v0 − gt . dt
Nogmaals integreren geeft de positie: (4)
z(t) = v0 t − 12 gt2 .
Ons model bestaat uit vergelijking (2) en in dit geval is de oplossing (4) uiterst simpel te vinden. We kunnen nu allerlei vragen beantwoorden. Hoe lang duurt het voordat het projectiel z’n hoogste punt bereikt? Op het hoogste punt, dat bereikt wordt na tmax seconden, geldt v(tmax ) = 0. Uit (3) volgt dan direct: (5)
tmax =
v0 . g
5
Hoe hoog komt de steen? De maximale hoogte zmax volgt uit het invullen van tmax in (4): (6)
zmax = z(tmax ) =
2 1 v0 2 g
.
Hoe lang duurt het voordat de steen terug is? Dit volgt uit z(tterug ) = 0. Vergelijking (4) geeft 2 oplossingen: tterug = 0 en (7)
tterug =
2v0 . g
De oplossing in (7) is uiteraard degene die we bedoelen. Uit (6) leren we dat zmax evenredig is met het kwadraat van v0 . We zeggen dan: zmax ‘schaalt’ met v02 , en we noteren: (8)
zmax ∼ v02 .
Uit (7) zien we dat tterug ∼ v0 en uit (5) dat dit ook geldt voor tmax . Bovendien geldt er tmax = 12 tterug . In voorbeeld 1. kwamen we alle standaardingredi¨enten van een wiskundig model tegen: variabelen, parameters, vergelijkingen, oplossing. In dit speciale geval komen voor:
(9)
variabelen parameters vergelijking oplossing
: : : :
z, t v0 , g, m d2 z/dt2 = −g z(t) = v0 t − 12 gt2 .
In het algemeen is het niet zo eenvoudig om de oplossing van een wiskundig model te vinden. Toch is het mogelijk om allerlei ‘schalingseigenschappen’ van de oplossing te voorspellen zonder de oplossing zelf te bepalen. Deze krachtige techniek heet dimensie-analyse. In het volgende hoofdstukje passen we deze techniek toe op het katapultschieten.
2. Fysische dimensies In dimensie-analyse gaat het om de fysische dimensies van de variabelen en parameters van een model. De meest voorkomende dimensies zijn lengte, tijd en massa, die we in deze volgorde aangeven met L, T en M . De dimensie van een grootheid a geven we aan met [a]. Voor een dimensieloze grootheid zoals bijvoorbeeld een hoek ϕ geldt [ϕ] = 1. In voorbeeld 1. treden de volgende dimensies op:
(10)
[z] = L [t] = T [m] = M [v0 ] = L/T [g] = L/T 2 6
Een belangrijk principe is dat in iedere vergelijking de dimensies van alle termen gelijk moeten zijn. Anders ben je appels met peren aan het vergelijken. Kontroleer zelf maar dat dat in vergelijkingen (1)-(7) steeds klopt. In de dimensie-analyse maak je er gebruik van dat voor ieder model het mogelijk is de variabelen en parameters zo te transformeren dat er alleen dimensieloze grootheden overblijven. De modelvergelijkingen kun je dan ook schrijven in termen van deze dimensieloze grootheden en het model als geheel is zodoende ‘dimensieloos’ te maken. Dit heeft vele voordelen die zullen blijken uit de voorbeelden die we zullen geven. De volgende stelling speelt een centrale rol: Stelling van Buckingham: Als we in een mathematisch model het aantal variabelen en parameters tezamen aangeven met N1 en het aantal fysische dimensies met N2 , dan kunnen we alle eigenschappen van het model beschrijven met behulp van N1 − N2 dimensieloze grootheden. De dimensieloze grootheden, die we met een bovenindex ∗ zullen aangeven, krijg je door de variabelen en parameters zodanig met elkaar te vermenigvuldigen en op elkaar te delen, dat de fysische dimensies wegvallen. Voor het model in voorbeeld 1. is dit eenvoudig te demonstreren. Als variabelen en parameters hebben we (zie (9)): z, t, v0 , g, m dus N1 = 5. De fysische dimensies die optreden zijn (zie (10)): M , L en T , dus N2 = 3. Kortom, er moeten N1 − N2 = 2 dimensieloze grootheden zijn. Hieruit blijkt meteen een groot voordeel van dimensieloze grootheden: een model met slechts 2 grootheden is heel wat eenvoudiger dan een model met 5 grootheden. Er is een systematische manier om de dimensieloze grootheden te vinden zoals we later zullen demonstreren. Vaak lukt het ook met proberen. In voorbeeld 1. leidt het tot: (11)
t∗ =
gt v0
,
z∗ =
gz . v02
Controle van de eerste grootheid:
[t∗ ]
L T L T 2 T = =1 = L T L T
Ga zelf na dat [z ∗ ] = 1. Opmerking: De dimensieloze grootheden zijn niet uniek! Door bekende dimensieloze grootheden met elkaar te vermenigvuldigen of op elkaar te delen vind je andere mogelijke keuzes. Bijvoorbeeld: q1∗ =
1 v0 = t∗ gt
of
q2∗ =
t∗ gt/v0 tv0 = = z∗ z gz/v02
of
q3∗ = t∗ z ∗ =
gt gz g 2 tz = 3 . 2 v0 v 0 v0
Wat opvalt is dat de massa m nooit voorkomt in de dimensieloze grootheden. Uit (10) zie je onmiddellijk dat m met [m] = M met geen enkele andere grootheid te combineren valt zodanig dat de dimensie M wegvalt. Hieruit kunnen we direct concluderen dat het model onafhankelijk is 7
van m. Het gewicht van de steen heeft geen enkele invloed op zijn beweging! Dit correspondeert met het feit dat m wegvalt uit (1) en dus niet voorkomt in de oplossing (4). Dat hadden we dus al kunnen voorspellen zonder vergelijking (1) op te schrijven, laat staan op te lossen. De stelling van Buckingham impliceert dat de oplossing van het katapultmodel te schrijven is als een vergelijking waar alleen t∗ en z ∗ in voorkomen. De stelling zegt absoluut niet hoe die vergelijking er uitziet, maar wel dat er ´e´en bestaat en dat is op zich al heel waardevol. We kunnen er namelijk allerlei schalingseigenschappen mee afleiden. We schrijven de vergelijking in de vorm (12)
z ∗ = f (t∗ ) ,
waarbij de vorm van de functie f ons onbekend is. Deze vorm is onafhankelijk van de waarden van de parameters v0 , g (en m). Als we bedenken dat z ∗ en t∗ niet veel anders voorstellen dan positie en tijd vermenigvuldigd met zekere factoren, dan kunnen we op grond van de waarnemingen de grove vorm van f wel ongeveer tekenen:
Figuur 2: Verband tussen z ∗ en t∗ . ∗ en t∗terug dat ook niet. Het verband tussen Omdat f niet afhangt van v0 en g, doen t∗max , zmax deze dimensieloze getallen en de ‘echte’ zmax , tmax en tterug is:
(13)
∗ = zmax
g zmax v02
,
t∗max =
g tmax v0
t∗terug =
,
en we lezen bijvoorbeeld direct af dat
(14)
zmax =
v02 ∗ z g max
oftewel (15)
zmax ∼ v02 . 8
g tterug , v0
Op soortgelijke wijze concluderen we ook uit (13) dat zowel tmax en tterug schalen met v0 : (16)
tmax ∼ v0
,
tterug ∼ v0 .
Wat we niet kunnen vinden op grond van dimensie-analyse alleen is dat tterug = 2tmax . Deze gedetailleerde informatie kun je alleen afleiden door modelvergelijking (2) echt op te lossen. Vraag: Op de maan is de zwaartekrachtsversnelling ongeveer 6 maal kleiner dan op aarde. Wat voor consequenties heeft dat voor katapultschieten uit voorbeeld 1? Dimensie-analyse is ook toepasbaar als je de stelling van Pythagoras wilt bewijzen: Voorbeeld 2. Stelling van Pythagoras. We beschouwen een rechthoekige driehoek (zie Fig. 3) met hypothenusa (schuine zijde) c en rechthoekszijden a en b.
Figuur 3: Dimensie-analyse en de stelling van Pythagoras. Volgens het bovenstaande moet iedere eigenschap van de driehoek geformuleerd (en bewezen) kunnen worden met behulp van dimensieloze grootheden. In die driehoek hebben we als variabele de oppervlakte O en als parameters bijvoorbeeld a en c. Bedenk dat een rechthoekige driehoek vastligt als je 2 zijden specificeert. In de stelling van Buckingham is N1 = 3 en N2 = 1. Er moeten dus N1 − N2 = 2 dimensieloze grootheden zijn. We kiezen (17)
∗ = OABC
OABC , c2
q∗ =
a . c
∗ Analoog aan de redenering in voorbeeld 1, geldt nu dat OABC een functie is van q ∗ en die functie hangt niet af van a en c. Er geldt dus
9
∗ OABC = f (q ∗ )
oftewel OABC = c2 f (q ∗ ) . We merken op dat q ∗ voor alle gelijkvormige driehoeken hetzelfde is. De factor f (q ∗ ) is dus hetzelfde voor alle driehoeken die gelijkvormig zijn met driehoek ABC. Passen we dit inzicht toe op de driehoeken DBC en DAC, die gelijkvormig zijn met driehoek ABC, dan geldt ODBC = a2 f (q ∗ ) (18)
ODAC = b2 f (q ∗ ) .
Uit OABC = ODBC + ODAC volgt dan onmiddellijk (19)
a2 + b2 = c2 .
In fysische problemen kom je allerlei grootheden tegen. Hieronder zie je een aantal bekende grootheden met bijbehorende SI-eenheid en dimensie. grootheid snelheid versnelling kracht energie druk dichtheid temperatuur
SI-eenheid m/s m/s2 N = kg m/s2 J = kg m2 /s2 N/m2 = kg/m/s2 kg/m3 K
dimensie L/T L/T 2 M L/T 2 M L2 /T 2 M/(LT 2 ) M/L3 Θ
3. Toepassingen Voorbeeld 3. Energie van explosies. Een voorbeeld waarbij de kracht van dimensie-analyse op verrassende wijze duidelijk wordt is het schatten van de kracht van een explosie uit een filmopname van het schokfront. De details van de kracht van de eerste experimentele atoomboom (in 1945) werden uiterst geheim gehouden door de Amerikanen. Een britse fysicus G.T. Taylor kreeg de beschikking over een filmopname van de vorming van de beruchte ‘paddestoelwolk’ en kon op grond daarvan zeer nauwkeurig de kracht van de explosie schatten. Zijn methode is recent ook gebruikt om de vuurwerkexplosie in Enschede te analyseren. Ook daarvan was een filmopname beschikbaar. Rond een krachtige explosie vormt zich een schokgolf die zich met grote snelheid uitbreidt. Op films van explosies is de voortplanting van zo’n golf zeer goed te volgen. In het algemeen is de schokgolf bolvormig met straal R en van de film is af te lezen hoe R toeneemt als functie van de tijd t. Dit zijn de variabelen van het fenomeen. De parameters zijn de energie E die instantaan vrijkomt, en de luchtdichtheid ρ en luchtdruk p buiten de schokgolf. 10
Figuur 4: Explosie.
Figuur 5: Een schokgolf die zich uitbreidt. De dimensies zijn: (20)
[R] = L, [t] = T, [E] =
M M L2 M , [ρ] = 3 , [p] = . 2 T L LT 2
Kortom, in de stelling van Buckingham geldt voor dit geval N1 = 5, en N3 = 3, zodat er 5 − 3 = 2 dimensieloze grootheden moeten zijn. Een systematische manier om deze te vinden gaat als volgt. We beschouwen al de producten (21)
R r 1 t r 2 E r 3 ρr 4 pr 5 ,
waarbij r1 tot en met r5 rationale getallen zijn, die we nog niet kennen. Vervolgens vervangen we de variabelen en parameters door hun dimensies: (22)
Lr1 T r2
L2 M r3 M r4 M r5
T2
L3
LT 2
= Lr1 +2r3 −3r4 −r5 · M r3 +r4 +r5 · T r2 −2r3 −2r5
Vervolgens vragen we ons af voor welke waarden van r1 , . . . , r5 deze combinatie dimensie 1 heeft. Uit het rechterlid van (22) volgt dat dit het geval is als
(23)
r1 + 2r3 − 3r4 − r5
=0
r3 + r4 + r5
=0
r2 − 2r3 − 2r5
=0 11
Dit zijn drie lineaire vergelijkingen voor vijf onbekenden. Zo’n onderbepaald stelsel heeft oneindig veel oplossingen. Dat betekent dat we twee van de vijf onbekenden kunnen kiezen en dan liggen de drie andere vast. Dit principe geldt algemeen: het vinden van de dimensieloze grootheden van een systeem komt neer op het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen en dat is niet zo moeilijk. In de praktijk kan het nog wel leiden tot een hoop gepruts om grootheden te vinden die handig zijn voor het trekken van conclusies. Voor de eerste dimensieloze grootheid koos Taylor: r1 = 0 en r5 = 1 Het stelsel dat je dan moet oplossen is:
(24)
2r3 − 3r4 − 1
=0
r3 + r4 + 1
=0
r2 − 2r3 − 2
=0
Dit stelsel heeft als oplossing r3 = − 25 , r4 = −1 − r3 = − 35 en r2 = 2 + 2r3 = grootheid wordt dan:
(25)
6
2
3
q1∗ = t 5 E − 5 ρ− 5 p = p
t6 1/5
E 2 ρ3
6 5
. De dimensieloze
.
Voor de tweede dimensieloze grootheid koos hij: r4 = 1 en r5 = 0 . Het stelsel dat je dan moet oplossen is:
(26)
r1 + 2r3 − 3
=0
r3 + 1
=0
r2 − 2r3
=0
Dit stelsel heeft als oplossing r3 = −1 , r2 = 2r3 = 2·(−1) = −2 en r1 = 3−2r3 = 3−2·(−1) = 5 . De dimensieloze grootheid wordt:
(27)
q2∗ = R5 t−2 E −1 ρ =
R5 ρ . Et2
Ga zelf na dat deze grootheden inderdaad dimensieloos zijn. De voortplanting van de schokgolf, oftewel R als functie van t, moet dus gegeven worden door een relatie tussen q1∗ en q2∗ . Bijvoorbeeld, (28)
q2∗ = f (q1∗ ) ,
waarbij we de functie f niet kennen. Als we (28) een beetje herschrijven vinden we 12
Figuur 6: R tegen t op dubbellogaritmisch papier.
(29)
R=
Et2
ρ
1/5
f (q1∗ )
.
Dus de functie R = R(t) moet deze vorm hebben. Het is jammer dat de tijd t ook in q1 voorkomt, anders wisten we meteen hoe R schaalde met t. Wat deed Taylor? Hij mat op de filmopnamen op vele tijdstippen hoe R afhing van t. Vervolgens zette hij dat logaritmisch uit in een grafiek. Uit (29) volgt
(30)
log R =
2 5
log t + 15 log
Ef (q ∗ ) 1
ρ
.
Wat bleek: de gemeten punten lagen prachtig op een rechte lijn met helling 25 . Daaruit concludeerde hij dat de factor f (q1∗ ) dus niet of nauwelijks van de tijd afhing. Dus kun je f (q1∗ ) vervangen door een constante f (0), z’n waarde op het begintijdstip. Aangezien ρ bekend is, zijn er nu nog 2 onbekende parameters in het systeem: E en f (0). Vervolgens deed Taylor nog een klein experimentje met een explosie waarbij hij E goed kende en kwam daaruit de waarde van f (0) te weten. Het bleek dat f (0) ≈ 1. Hiermee vereenvoudigt (30) dus tot: (31)
log R =
2 5
log t + 15 log
E
ρ
.
Met behulp van deze relatie is het eenvoudig uit gemeten R(t) waarden de waarde van E/ρ, en dus van E, te schatten! Zie figuur 6.
13
Voorbeeld 4. Biedt het spoor van een regendruppel genoeg informatie om de treinsnelheid te schatten? Je zit in een trein. Het regent. De regendruppels op het raam glijden schuin naar beneden. Hoe harder de trein rijdt, hoe schuiner de baan van de druppels. De vraag bekruipt je of je met de hoek die banen maken met de horizon een betrouwbare schatting van de snelheid van de trein kunt verkrijgen. Daarvoor moet de situatie in een mathematisch model gegoten worden.
Figuur 7: Hoe de treinsnelheid te schatten. Je bedenkt eerst dat de baan van een druppel bepaald wordt door de krachten die erop werken. Dat zijn de zwaartekracht Fzw en de kracht die Fwind van de langsstrijkende wind die de druppel probeert mee te slepen. Van Fzw weten we alles: die is verticaal naar beneden gericht en er geldt Fzw = mg met m de massa van de druppel en g de zwaartekrachtversnelling. Van Fwind - die in het Engels de ‘dragforce’ genoemd wordt - weten we dat die horizontaal naar achteren gericht is. De grootte van Fwind is echter niet duidelijk. Naast Fzw en Fwind is er de cohesiekracht die de druppel tegen het raam laat plakken. Deze kracht zorgt voor wrijving als de druppel beweegt. De cohesiekracht heeft wel invloed op de snelheid waarmee de druppel naar beneden glijdt, maar niet op de wrijving. Vandaar dat we deze kracht verder buiten beschouwing kunnen laten.
Figuur 8: Krachten op een druppel op het treinraam.
14
Uit de figuur zien we dat: (32)
tan ϕ =
Fzw . Fwind
Fzw is bekend, ϕ meten we, dus als we een relatie kunnen afleiden tussen Fwind en vtrein dan kunnen we uit (32) de treinsnelheid vtrein berekenen. Laten we eens nagaan hoe ver we kunnen komen met dimensie-analyse. De grootheden die een rol spelen zijn: ML T2 L • vtrein met [vtrein ] = T • diameter D van de druppel met [D] = L M • dichtheid ρ van de lucht met [ρ] = 3 L M • viscositeit η van de lucht met [η] = LT
• Fwind met [Fwind ] =
De viscositeit van een stroming is een maat voor de ‘stroperigheid’ ervan. Je kunt de viscositeit meten door bijvoorbeeld een bol in de vloeistof of het gas te laten vallen en te meten welke snelheid de bol na enige tijd heeft. Die snelheid wordt bepaald door het evenwicht van de zwaartekracht en de ‘dragforce’ die de vloeistof of het gas uitoefent op de bol. Parachutisten maken hier dankbaar gebruik van. Er zijn dus 5 relevante grootheden waarin 3 dimensies optreden. Het aantal dimensieloze grootheden is dus 2. Controleer dat we hiervoor bijvoorbeeld kunnen kiezen: (33)
F =
Fwind 2 ρ vtrein D2
en
Re =
vtrein D ρ . η
We laten de bovenindex ∗ hier weg en onthouden dat F en Re dimensieloos zijn. De grootheid Re, die het Reynoldsgetal genoemd wordt, speelt een grote rol in alle stromingsproblemen. Voor een (nog onbekende) functie f zal gelden: F = f (Re) . Uit (33) volgt dan (34)
2 D2 f (Re) . Fwind = ρ vtrein
Als Re niet afhing van vtrein , zouden we hiermee precies weten hoe Fwind schaalt 2 met vtrein , namelijk Fwind ∼ vtrein . De werkelijkheid is echter niet zo simpel.
15
Men heeft f moeten bepalen uit metingen waarin de waarde van Re varieerde. Daaruit is gebleken dat: 1 η = als Re < 100 , Re vtrein Dρ
(35a)
f∼
(35b)
f is constant als Re > 1000 .
Het gebied 100 < Re < 1000 is een overgangsgebied. Uit (35) en (34) volgt nu: (36a)
Fwind ∼ vtrein als Re < 100
(36b)
2 als Re > 1000 Fwind ∼ vtrein
Voor 100 < Re < 1000 is er een overgang van een lineair naar een kwadratisch schalingsgedrag. Om te weten welke waarden van Re realistisch zijn voor onze treinsituatie moeten we een schatting maken voor de waarde van Re. Uit tabellenboeken vinden we voor lucht: η = 1, 5 10−3 Pa.s en ρ = 1, 3 kg/m3 . De druppeldiameter is ongeveer 5 millimeter, dus D = 5 10−3 m. Als de trein 100 km/uur rijdt, geldt er vtrein ≈ 30 m/s. Uit formule (33) volgt dan dat: Re =
30 · 5 · 10−3 · 1, 3 = 1, 3 · 104 1.5 · 10−5
2 Kortom, voor realistische treinsnelheden is Re groot en geldt dus Fwind ∼ vtrein . Als we nu formules (32) en (34) combineren met dit inzicht, kunnen we schrijven:
(37)
tan ϕ =
mg . 2 c ρ D2 vtrein
waarin c een nog onbekende constante voorstelt die niet afhangt van ρ, D of vtrein . Uit (37) vinden we tenslotte het resultaat waarnaar we op zoek waren:
(38)
vtrein =
mg . c ρ D2 tan ϕ
We kunnen dit nog een beetje vereenvoudigen door aan te nemen dat de druppel 3 een halve bol is met diameter D. Dan geldt m = πD 12 (ga dat na!) waarbij we de dichtheid van water gelijk aan 1 genomen hebben. De constante c, zal eens en voor altijd bepaald moeten worden uit een meting. Aangezien ρ niet veel varieert en de druppeltjes meestal ongeveer dezelfde grootte hebben is een handige vuistregel: (38)
vtrein = c2 √
1 , tan ϕ
waarbij de constante c2 ´e´en keer uit een experiment bepaald moet worden. Vraag: Schets vtrein als functie van de hoek ϕ. Voor welke ϕ denk je dat de schatting het nauwkeurigst is?
16
4. Opgaven Opgave 4.1. Stelsels oplossen In de tekst heb je gezien hoe je twee oplossingen bepaalt van: r1 + 2r3 − 3r4 − r5
=0
r3 + r4 + r5
=0
r2 − 2r3 − 2r5
=0
Alle oplossingen kun je schrijven als functies van 2 willekeurig gekozen variabelen. Dat gaat als volgt: noem r4 = α en r5 = β . Dan volgt uit de tweede vergelijking: r3 = −α − β. Vervolgens volgt uit de eerste vergelijking: r1 = −2r3 + 3r4 + r5 = α − β. En uit de derde vergelijking volgt: r2 = 2r3 + 2r5 = −2α − β. Alle oplossingen worden dus gegeven door:
r1 = α − β r2 = −2α − β r3 = −α − β r4 = α r5 = β Bij iedere waarde die je kiest voor het tweetal (α , β), vind je hiermee een oplossing van het gegeven stelsel. Men zegt dan: ’de oplossingen zijn geparametriseerd m.b.v. r4 en r5 ’. We hadden ook andere variabelen als parameters kunnen kiezen. a) Bepaal op een soortgelijke manier de oplossingen van het stelsel: x+y−z
=1
x + 2z
=3
b) Bepaal op een soortgelijke manier de oplossingen van het stelsel: 2a + 3b − c + d + 2e
=0
a + 2c − d
=1
3a + 2b − 3c + e
=0
17
Opgave 4.2. Dimensies bepalen Dimensies van een fysische grootheid kun je bepalen als je een formule kent waarin de grootheid voorkomt en waarvoor je de dimensies van de andere grootheden kent. De dimensie van de grootheid kracht bepaal je bijvoorbeeld met de bekende formule F = m · a. De dimensie van kracht is volgens deze formule: [F ] = [m] · [a] = M ·
L ML = 2 . 2 T T
a) Laat zien dat de dimensie van energie M L2 /T 2 is. b) Bepaal de dimensie van de grootheid ’vermogen’. Opgave 4.3. Froudegetal voor schepen Beschouw eens een schip dat vaart in diep water. We verwaarlozen het effect van de wind. Doordat het schip het water in beweging zet ontstaan er golven. Een flink gedeelte van de voortstuwingsenergie van het schip wordt gebruikt om deze golven op te wekken. Het andere deel gaat verloren doordat het schip wrijving ondervindt van het water. Laten we ons concentreren op de golfopwekking. Het schip is goed gestroomlijnd. De breedte en diepte zijn dan voor de golfopwekking niet belangrijk maar wel de lengte . En natuurlijk de snelheid v. De beweging van de golven wordt helemaal bepaald door de zwaartekracht. Vandaar dat de belangrijke parameter van de golven de zwaartekrachtsversnelling g is. Kortom, de belangrijke grootheden zijn , v en g met:
[] = L, [v] =
L L , [g] = 2 . T T
a) Vind de bijbehorende dimensieloze grootheid; die wordt het Froudegetal genoemd. b) Er wordt onderzoek gedaan voor een schip van 100 m lang dat kan varen met snelheid 35 km/uur. Daarvan bouwt men een schaalmodel waarmee in een grote watertank experimenten worden gedaan. In het laboratorium kan het schaalmodel maximaal 7 km/uur varen. Hoe lang moet het schaalmodel minimaal zijn om realistische resultaten te krijgen voor de golfopwekking? Bedenk dat het Froudegetal behouden moet blijven.
Figuur 9: Houtvolume bepalen. 18
Opgave 4.4. Houtproductie Bij de productie van hout is het van groot belang het volume V van een boom te kennen door de hoogte h en diameter d te meten. Er zijn vele formules in gebruik geweest, die bedacht waren zonder te beseffen dat de stelling van Buckingham gold. Ze bleken in de praktijk dan ook slecht te voldoen. a) Laat zien dat moet gelden V = h3 f
d
h
voor zekere (onbekende) functie f . b) Laat zien dat V toeneemt met een factor 8 als zowel d als h toenemen met een factor 2. Opmerking:
d d 2 +c2 prima. De constanten In de praktijk voldoet het model V = h3 c0 +c1 h h c0 , c1 en c2 in deze formule moeten voor iedere boomsoort apart geschat worden uit gemeten data.
Opgave 4.5. Slinger In figuur 8 is een massa m aan een touw ter lengte getekend.
Figuur 10: Een wrijvingsloze slinger. Als je de massa een stukje uit de laagste stand trekt en loslaat gaat hij heen en weer slingeren. Bij die beweging spelen een aantal grootheden een rol: de tijd t, de lengte van het touw, de massa m, de zwaartekrachtsversnelling g en de hoek φ. Deze laatste grootheid is dimensieloos en we kiezen deze als dimensieloze grootheid: q1 = φ. Volgens de stelling van Buckingham is er echter nog een andere dimensieloze grootheid. a) Ga dat na en bepaal een tweede dimensieloze grootheid. Noem hem q2 . b) Ga na dat de beweging onafhankelijk is van de grootte van de massa. c) De tijd nodig voor een volledige zwaai heet de slingertijd of periode P . Hoe schaalt P met de lengte ? d) Een slinger heeft een slingertijd van P seconden. Wat gebeurt er met die tijd als je de slinger naar de maan verplaatst?
19
5. Antwoorden Opgave 4.1. Stelsels oplossen a) x = 3 − 2α y = −2 + 3α z=a b) a = 1 − 2α + β b = −5 + 15α + β c=α d=β e = 7 − 21α + 5β Opgave 4.2. Dimensies bepalen a) [E] = [F ] · [s] = b) [P ] =
ML M L2 · L = T2 T2
M L2 [E] = T T3
Opgave 4.3 Froudegetal voor schepen a) Froude =
g v2
b) 4 m Opgave 4.4. Houtproductie a) Er zijn 3 grootheden met daarin slechts 1 dimensie. Er zijn dus twee dimensieloze grootheden. Kies als dimensieloze grootheden q1 = hd en q2 = hV3 . Uit q2 = f (q1 ) volgt het gevraagde verband. b) [f ( hd )] = 1 dus V ∼ g 3 . Als h 3 keer zo groot wordt, dan wordt het volume 23 = 8 keer zo groot. Opgave 4.5. Slinger a) Er zijn 5 grootheden waarin 3 dimensies optreden. Dus zijn er 5-3=2 dimensieloze grootheden. Als tweede kun je bijvoorbeeld kiezen: q2 = √t . /g
b) q1 = f (q2 ) = f c) P ∼
√
t , de hoek (q2 = ϕ) is onafhankelijk van m. /g
.
1 d) P ∼ √ . Op de maan is g ongeveer 6 maal kleiner dan op de aarde, de slingertijd wordt g √ dan 6 ≈ 2,4 keer zo groot. 20
