Diplomová práce. Použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Inženýrská informatika a automatizace

Diplomová práce

Použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů Vypracoval:

Miroslav Kij

Vedoucí práce:

Ing. Olga Davidová, Ph. D

Obor:

Inženýrská informatika a automatizace

Specializace:

Automatizace

2006

Strana 3

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav: Automatizace a informatika Akademický rok 2005/2006

ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE pro:

Miroslava KIJE

který/která studuje v magisterském studijním programu obor: M3917 Inženýrská informatika a automatizace

Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce: POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK PŘI ANALÝZE A SYNTÉZE REGULAČNÍCH OBVODŮ

a anglickém jazyce: Analysis and synthesis of control systems using frequency characteristic

Stručná charakteristika problematiky úkolu diplomové práce: K řešení analýzy a syntézy regulačních obvodů lze použít také metody, které využívají frekvenční charakteristiky. Cílem diplomové práce je provést jednak ucelený přehled těchto metod a jednak je aplikovat na příkladech. Doporučená osnova práce: 1. Popsat frekvenční charakteristiky spojitých a diskrétních systémů 2. Zpracovat metody stability regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky 3. Zpracovat metody syntézy regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky 4. Vybrané metody uvést na příkladech

Strana 4

Rozsah grafických prací: --Rozsah průvodní zprávy: cca 60 stran Seznam odborné literatury: Balátě, J. Automatické řízení. Praha : Nakladatelství BEN-technická literatura, 2003. 664s. ISBN 80-7300-020-2. Kachaňák, A. Teória automatického riadenia II. Bratislava : Edičné středisko SVŠT v Bratislavě, 1987. 334s. Kubík, S., Kotek, Z., Strejc, V. & štacha, J. Teorie automatického řízení I - Lineární a nelineární systémy. Praha : SNTL Praha, 1982. 528s. Švarc, I. Teorie automatického řízení I. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1992. 210s. ISBN 80-214-0516-3. Švarc, I. Teorie automatického řízení II. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1993. 231s. ISBN 80-214-0550-3. Švarc, I. Automatizace - Automatické řízení. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 2005. 262s. ISBN 80-214-2943-7. Švec, J. Šiška, I. & Vavřín, P. Teorie řízení I - Lineární systémy. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1982. 208s. Zítek, P., Hofreiter, M. & Hlava, J. Automatické řízení. Praha : ČVUT Praha, 2001. 148s. ISBN 80-01-02044-4.

Vedoucí diplomové práce: Ing. Olga Davidová, PhD.

Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2005/2006. V Brně dne 21. listopadu 2005 L.S.

Doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, PhD. ředitel ústavu

Prof. Ing. Josef Vačkář, CSc. děkan

Strana 5

ANOTACE Diplomová práce je zaměřena na analýzu a syntézu regulačních obvodů s využitím frekvenčních charakteristik. Zabývá se zjišťováním stability spojitých a diskrétních regulačních obvodů a rovněž návrhem optimálních parametrů regulátoru z hlediska kvality regulace, a to vše za pomocí frekvenčních charakteristik.

ANNOTATION The diploma work is focused on the analysis and synthesis of control systems using frequency characteristic. It is dealt with pinpoint stability of the uninterrupted and unobtrusive control systems and also the proposition of the optimum parameters of the regulator from the aspect of the regulation quality, and that all by means of the frequency characteristics.

Strana 7

PODĚKOVÁNÍ Na úvod mé diplomové práce bych rád poděkoval mé vedoucí práce Ing. Olze Davidové, Ph.D, za poskytnutí studijních podkladů, absolvování přínosných konzultací s cennými radami a připomínkami, čímž mě vytvořila optimální podmínky pro její vypracování.

Strana 9

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně dle rad a pokynů vedoucího diplomové práce, s použitím odborné literatury a článků uvedených na internetových stránkách.

23.5.2006

………………………………………...

Strana 11

OBSAH Seznam použitých symbolů .........................................................................................13 1 Úvod .....................................................................................................................15 2 Analýza a syntéza................................................................................................17 3 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů ...............................21 3.1 Frekvenční popis spojitých systémů ............................................................21 3.1.1 Frekvenční přenos............................................................................21 3.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ..............................22 3.1.3 Logaritmické frekvenční charakteristiky.........................................24 3.2 Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami ...................................26 3.2.1 Stabilita regulačních obvodů ...........................................................26 3.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................27 3.2.3 Nyquistovo kritérium.......................................................................29 3.3 Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami....................................36 3.3.1 Ukazatele kvality regulace...............................................................36 3.3.2 Frekvenční metody syntézy .............................................................41 3.3.2.1 Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu....................41 3.3.2.2 Sériové korekční členy ...........................................................42 3.3.2.3 Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky .42 4 Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů ...........................45 4.1 Frekvenční popis diskrétních systémů .........................................................45 4.1.1 Frekvenční přenos............................................................................45 4.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ..............................46 4.1.3 Logaritmická frekvenční charakteristika .........................................46 4.2 Analýza diskrétních systému frekvenčními metodami ................................47 4.2.1 Stabilita regulačních obvodů ...........................................................47 4.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................49 4.2.3 Nyquistovo kritérium.......................................................................51 4.3 Syntéza diskrétních systémů frekvenčními metodami.................................51 4.3.1 Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika .52 4.3.2 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik ..................55 5 Použití vybraných metod na příkladech...........................................................59 5.1 Příklady pro spojité regulační obvody .........................................................59 5.1.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................59 5.1.2 Nyquistovo kritérium.......................................................................61 5.2 Příklady pro diskrétní regulační obvody......................................................62 5.2.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................62 5.2.2 Nyquistovo kritérium.......................................................................64 5.2.3 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik ..................66 6 Závěr ....................................................................................................................69 Seznam použité literatury............................................................................................71

Strana 13

SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ a0 ai Aw Ar A e eT(t) G0 GR GS k0 k0opt n r0 r1 r-1 tr tmax T T95 Td TD TI v w y yhom ymax ypart

δ ϕ ω ωd ωTd ωř ωr ωh Ω Ωř

činitel autoregulace koeficient jmenovatele přenosu modul (amplituda) kmitočtového přenosu řízení uzavřeného regulačního obvodu rezonanční převýšení amplituda regulační odchylka trvalá regulační odchylka přenos rozpojeného regulačního obvodu přenos regulátoru přenos regulované soustavy zesílení rozpojeného regulačního obvodu optimální zesílení rozpojeného regulačního obvodu stupeň charakteristického polynomu zavřeného regulačního obvodu proporcionální složka regulátoru derivační složka regulátoru integrační složka regulátoru doba regulace čas perioda kmitů přechodové charakteristiky doba, za kterou přechodová charakteristika regulované soustavy dosáhne 95% ustálené hodnoty dopravní zpoždění derivační časová konstanta integrační časová konstanta poruchová veličina řídicí veličina regulovaná veličina homogenní rovnice maximální překmit partikulární integrálγ fázová bezpečnost amplitudová bezpečnost fáze frekvenčního přenosu úhlová frekvence používaná pro spojité systémy šířka pásma používaná pro spojité systémy fázové zpoždění úhlová frekvence řezu používaná pro spojité systémy rezonanční frekvence používaná pro spojité systémy šířka pásma propustnosti používaná pro spojité systémy úhlová frekvence používaná pro diskrétní systémy frekvence řezu používaná pro diskrétní systémy

Strana 15

1

ÚVOD

Bavíme-li se o regulačních obvodech, pak nedílnou součástí se stává posuzování (analýza) jejich stability, tj. schopnosti obvodu ustálit se a vykazovat tak správnou funkci. Pro zjišťování této stability využíváme několika metod. V této práci se zaměřím na metody využívající frekvenční charakteristiky. Aby byla jasná podstata, je nejprve potřeba rozebrat frekvenční charakteristiky pro spojité i diskrétní systémy a teprve poté se zaměřit na jednotlivé metody. Rovněž zde uvedu, jakým způsobem se nastavují parametry regulátoru (syntéza). Pro analýzu regulačního obvodu je vypracována řada metod, díky kterým lze snadno určit stabilitu regulačního obvodu, aniž bychom museli provádět složité výpočty, na které v dnešní době využíváme téměř výhradě výpočetní techniku. Pro návrh regulačního obvodu nejsou prozatím vypracovány exaktní metody, které by jednoznačně vedly k cíli. Stále zde tedy hraje důležitou roli intuice plynoucí ze zkušenosti a citu navrhovatele. V drtivé většině spočívá metoda návrhu v přímé extrapolaci nebo interpolaci z již realizovaných a vyzkoušených řešení. V oblasti syntézy je však zpracována celá řada dobře využitelných metod. Rozhodující je, aby bylo dosaženo převedení požadavků na regulační obvod, které formuluje provozovatel, konstruktér a projektant regulovaného projektu na matematickou formulaci požadavků, kritérií a cílů, vhodných pro další zpracování. Dosud v praxi převládají jednoduché metody syntézy bez velkých matematických nároků. V poslední době se rozvíjejí metody syntézy regulačních obvodů, u kterých určování vlastností řízeného systému a jeho řízení probíhá podle jediného algoritmu, nebo se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují výchozí přesnou identifikaci řízeného systému a tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení. Náplní této diplomové práce je využití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Vybrané metody analýzy a syntézy pak budou aplikovány na příkladech, kde jednak bude zkontrolována stabilita regulačního obvodu a také budou navrženy parametry jednotlivých regulátorů (P, I, PI, PD, PID). Výsledky budou prezentovány formou tabulek a grafů a následně vysvětlujícím textem se závěrem o stabilitě či nestabilitě regulačního obvodu a s výsledkem návrhu parametrů regulátoru.

Strana 17

2

ANALÝZA A SYNTÉZA

I přesto, že je v úvodu (kap. 1) naznačen popis pojmů analýza a syntéza, zdá se být na místě uvést podrobnější popis, který nás hlouběji vtáhne do problematiky a pomůže nám pochopit níže popsané skutečnosti. Analýza a syntéza patří mezi základní a nejčastěji užívané vědecké metody. Původní význam řeckého slova analýza znamenalo rozložení nějakého komplexu na části a syntéza měla význam spojení rozmanitostí k jednotě v celku. Z metodologického hlediska jsou tato slova používána ve smyslu metod k získávání nových poznatků, nebo ve smyslu metody výkladu poznatků. Syntéza je proti analýze proces opačný, nebo doplňující. Jde o sjednocování, složení nějakého předmětu, jevu či procesu z jeho základních prvků ať již myšlenkově, či fakticky v nějaký celek. Toto sjednocování nemusí být jen u jednotlivých částí, které byly předtím vyděleny analýzou. Syntéza má však jako metodologický princip analýzu vždy doplňovat. Tím syntéza umožňuje poznání předmětu v jeho úplnosti. Pomocí syntézy nalézáme vztahy nějakého jevu k jiným jevům, zařazujeme jev, nebo proces do většího celku a objasňujeme vztahy a mechanismus funkcí u tohoto jevu. Syntézou lze rozumět také takový proces, při němž hledáme spojováním části v celek takovou strukturu, která by měla námi předem požadované chování. V tomto případě syntéza není pouhou skladbou jednotlivých jevů čí procesů, ale je to zároveň kreace nových celků, případně jejich proměna. Syntéza tedy může být hledáním nejvhodnější varianty dosahované kombinací jednotlivých prvků a jejich vlastností. Jednoduše řečeno pojmem "syntéza" rozumíme stanovení takové struktury a parametrů regulačního obvodu, aby byly splněny požadavky, které klademe na regulační pochod. Syntéza je první etapou návrhu regulačního obvodu. Dalšími etapami návrhu regulačního obvodu je volba jednotlivých členů regulačního obvodu. Při návrhu regulačního obvodu vycházíme z provozních podmínek, kladených na regulační obvod. Do provozních podmínek zahrnujeme např. požadavky na rozměry a hmotnost zařízení (zvláště u létajících objektů - letadel, družic apod.), dále požadavky na pracovní prostředí (vlhkost, agresivita, nevýbušnost), režim provozu (dlouhodobý, krátkodobý), požadavky na typizaci s ohledem na jednoduchost údržby celého zařízení a také požadavky, zda regulační obvod má být složen z přístrojů elektrických, pneumatických nebo hydraulických. Pro tyto fáze návrhu nejsou zatím vypracovány žádné exaktní metody, které by jednoznačně vedly k cíli. Zde stále ještě hraje důležitou roli intuice, zkušenost a konstruktérský cit navrhovatele. V praxi metoda návrhu spočívá především v tom, že přímo extrapolujeme z již realizovaných a vyzkoušených řešení. V otázkách syntézy regulačního obvodu se však můžeme opřít o řadu dobře vypracovaných metod, kterými se zde budeme zabývat. Při syntéze regulačního obvodu je velmi důležité převést požadavky na regulační obvod, které formuluje provozovatel regulovaného objektu (technolog u technologického procesu, pilot letounu apod.), na matematickou formulaci požadavků, kritérií a cílů, vhodnou pro další zpracování. Dosud v praxi převládají jednoduché metody syntézy bez velkých matematických nároků. Výchozí předpoklady pro syntézu mohou být zadány různě: 1. Můžeme volit libovolně strukturu i parametry regulačního obvodu a jsme omezeni jen splněním podmínek fyzikální realizovatelnosti.

Strana 18

Analýza a syntéza

2. Je zadána část struktury i část parametrů regulačního obvodu 3. Je plně zadána struktura a jsou zadány některé parametry regulačního obvodu S případem 1 se v praxi setkáváme zřídka. Vyskytuje se např. při syntéze filtrů. Prakticky všechny úlohy syntézy regulačního obvodu lze zahrnout pod body 2 a 3. Pod bod 3 patří velké množství průmyslových regulací, u kterých lze regulační obvod rozdělit na regulátor a regulovaný systém. Regulátory pro průmyslové regulace se vyrábějí jako univerzální regulátory s pevnou strukturou - obvykle spojitý regulátor PID. Úloha syntézy se zde redukuje pouze na určení nastavitelných parametrů regulátoru. Vhodnost správné volby typu regulátoru ověříme po provedené syntéze regulačního obvodu jeho simulací na matematickém modelu regulačního obvodu a později provozními zkouškami na regulovaném objektu přímo v provozu. Pod bod 2 patří regulační obvody, u kterých neprovádíme rozdělení na regulátor a řízený systém. Jsou to např. servomechanismy, což jsou regulační obvody sloužící k vlečné regulaci polohy nebo jejích derivací. U těchto regulačních obvodů navrhujeme jak jejich strukturu, tak i jejich parametry.

ϕ1

ϕ

+

ovladač

servomotor

ϕ2

−

ϕ2 Obr. 2.1 - Polohový servomechanismus Servomechanismus je tedy regulační obvod, který je tvořen tzv. ovládačem a servomotorem s převodovkou (obr. 2.1). Ovladač působící na servomotor je tvořen výkonovým zesilovačem, předzesilovačem s korekcemi a měřícím členem. Při návrhu servomechanismu navrhujeme všechny jeho členy. Servomotor a jeho převodovku navrhujeme podle výkonu požadovaného na výstupní hřídeli. Typem servomotoru je určen výkonový zesilovač, kterým u elektrických servomotorů bývá obvykle tyristorový měnič. Volba měřícího členu je ovlivněna požadovanou přesností servomechanismu. Předzesilovač s jeho korekčními členy navrhujeme podle požadavků na dynamické vlastnosti servomechanismu. Při syntéze servomechanismu vycházíme obvykle z daných vlastností výkonového zesilovače, servomotoru s převodovkou a měřícího členu a určujeme vlastnosti předzesilovače s korekcemi. Při syntéze regulačního obvodu potřebujeme znát 1. vlastnosti regulovaného objektu, 2. předpokládaný průběh řídicí veličiny, 3. předpokládané průběhy poruchových veličin a místa jejich vstupu do řízeného systému, 4. omezení akčních veličin, 5. požadavky na kvalitu regulace. Vlastnosti regulovaného objektu určujeme buď analýzou objektu, nebo rozborem experimentálně získaných průběhů veličin v objektu. Obě tyto metody identifikace vedou na sestavení matematického modulu - řízeného systému. Přitom se ukazuje, že některá

Analýza a syntéza

Strana 19

zjednodušení, která provádíme při analýze vlastností objektu, se v uzavřeném regulačním obvodu nepříznivě projeví tím, že model a reálný objekt se v uzavřeném regulačním obvodu chovají odlišně. Proto jsou výhodné ty metody identifikace, při kterých je identifikovaný objekt zapojen přímo v regulačním obvodu (např. identifikace pomocí adaptivního modelu). Uvedené potíže vedly k tomu, že se v poslední době rozvíjejí syntézy regulačního obvodu, u kterých určování vlastností objektu a jeho řízení probíhá současně podle jediného algoritmu, nebo se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují přesnou identifikaci objektu. Tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení. Rozborem fyzikálních jevů, které nastanou během regulačního pochodu, určíme podstatu regulované veličiny i případných poruchových veličin a odhadneme jejich průběh v čase. Fyzikální podstata regulované veličiny bude ovlivňovat volbu čidla, které převádí regulovanou veličinu na signál vhodný k dalšímu zpracování. Časová funkce, podle které se bude měnit regulovaná veličina, bude především ovlivňovat požadavky na kvalitu a přesnost regulace, tj. požadavky na dynamiku regulačního pochodu. Někdy požadujeme, aby regulovaná veličina přesně sledovala řídicí veličinu. Např. u polohových servomechanismů (obr. 2.1) požadujeme, aby výstupní poloha ϕ2 hřídele servomechanismu co nejvěrněji sledovala průběh žádané hodnoty ϕ1 a vliv poruchových veličin (zatěžovacích momentů) často ani neuvažujeme. Naopak při regulaci teploty, napětí, síťového kmitočtu apod. je často žádaná hodnota trvale konstantní a úkolem regulace je kompenzovat poruchy vstupující do regulovaného objektu. Ve skutečnosti můžou mít žádané hodnoty regulovaných veličin i poruchy vstupující do regulovaného objektu zcela obecný průběh. Pro zjednodušení výpočtu uvažujeme jako vstupní veličiny tzv. typizované funkce, jejichž matematické vyjádření je snadné a z odezvy regulačního obvodu na tyto funkce můžeme soudit na přesnost a kvalitu regulace. Nejčastěji používané typizované funkce jsou jednotkový skok, Diracův impuls, skok rychlosti a zrychlení vstupního průběhu a harmonický průběh. Akční veličina je výstupní veličinou regulátoru a zároveň vstupní veličinou řízeného systému. Velikost akční veličiny je vždy omezena. Omezení akční veličiny je způsobeno jednak tím, že výstupní signál z regulátoru nemůže nabývat libovolně velké hodnoty, a jednak tím, že vstupní signál do regulovaného objektu se může měnit pouze v dovoleném rozsahu, který je dán fyzikální podstatou objektu i ekonomickými omezeními. Omezení jsou v podstatě dvojího druhu. Pro názornost je označíme jako omezení typu "skála" a "propast". Omezení typu "skála" je omezení na dorazech; toto omezení nemůžeme nikdy přesáhnout. Např. regulační ventil má krajní polohy, kdy je plně otevřen nebo uzavřen. Omezení typu "propast" je omezení, jehož překročení může způsobit poruchu zařízení. Proto musíme zajistit, abychom hodnotu tohoto omezení nikdy nepřekročili. Např. napětí nebo proud kotvy motoru nesmí nikdy přesáhnout velikost plynoucí z izolační pevnosti vinutí, popř. jeho přípustného oteplení., Respektování omezení veličin značně komplikuje úlohu syntézy. Proto nejčastěji provádíme syntézu regulačního obvodu bez respektování omezení a potom kontrolujeme, zda při dané velikosti řídicích a poruchových veličin nastane omezení signálů a jak se omezení projeví na dynamických vlastnostech celého regulačního obvodu. [Kubík, 1982] Jak již jsme uvedli výše, syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti vychází ze struktury regulačního obvodu, kde není možné respektovat místo a tvar vstupující poruchové veličiny, ale je možno dosáhnout pouze požadovaných frekvenčních vlastností obvodu.

Strana 21

3

POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK U SPOJITÝCH SYSTÉMŮ

K řízení reálných objektů se rozvíjí metody automatické regulace. Aby tyto metody byly použitelné pro širokou třídu reálných objektů, jsou vytvořeny abstraktní modely reálných objektů, které se nazývají systémy. Abstrakcí velmi široké třídy reálných modelů vznikly spojité systémy, u nichž jsou všechny veličiny funkcemi času t. [Kubík, 1982]

3.1

Frekvenční popis spojitých systémů

V této části třetí kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem spojitých regulačních obvodů. Vysvětlím zde, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci frekvenčních charakteristik.

3.1.1 Frekvenční přenos Frekvenční přenos se získá tak, že je na vstup systému přiveden harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh u (t ) = u0 sin ωt

amplituda vstupního signálu

(3.1)

úhlová frekvence

Na výstupu systému se dostane podle obr. 3.1 (po odeznění přechodového jevu) opět sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázově proti vstupnímu signálu posunutý y (t ) = y0 sin (ωt + ϕ )

y(t)

(3.2)

u(t) u0

y0

t

t

Lépe se ale jeví vyjádřit vstupní i výstupní funkci v komplexním tvaru

T ϕ u(t)

S Obr. 3.1

T

(t ) = u 0 e jωt ; (3.3)

y(t)

(t ) = y0 e j (ωt +ϕ )

Strana 22

Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů

To jsou v komplexní rovině vektory, které se otáčí úhlovou rychlostí ω. Poměr těchto vektorů nám definuje frekvenční přenos

G ( jω ) =

kde

y (t ) y 0 e j ( ω t + ϕ ) = = 0 e jϕ jωt (t ) u0 u0e

(3.4)

y0 je poměr amplitud a ϕ je fázové posunutí. u0

Základem všeho je důležitý vzorec pro výpočet přenosu z diferenciální rovnice

G (s) =

bm s m + ... + b1 s + b0 a n s n + ... + a1 s + a 0

(3.5)

Pro výpočet frekvenčního přenosu z koeficientů diferenciální rovnice lze odvodit následující vztah bm ( jω ) m + ... + b1 jω + b0 G ( jω ) = a n ( jω ) n + ... + a1 jω + a0

(3.6)

Vztah je formálně stejný jako vztah (3.5) pro přenos G(s), pouze místo komplexní proměnné s v něm figuruje výraz jω. Tím je zároveň dána relace mezi přenosem a frekvenčním přenosem, která spočívá ve formální záměně s za jω eventuálně naopak

G ( j ω ) = G ( s ) s = jω ;

G ( s ) = G ( jω )

jω = s ;

(3.7)

Zavedení frekvenčního přenosu má velký praktický význam pro řešení regulačních problémů. Frekvenční přenos je základem pro používání frekvenčních metod. Znázornění frekvenčního přenosu ve tvaru frekvenčních charakteristik umožní řešit otázky stability regulačních obvodů, kvalitu regulace i syntézu regulačních obvodů. Také je možno používat experimentálně zjištěné a naměřené frekvenční charakteristiky.

3.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Použití frekvenčních charakteristik v komplexní rovině se dá považovat za nejčastější způsob při určování stability regulačních obvodů. Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(jω) v komplexní rovině, když se za úhlovou frekvenci ω dosazují hodnoty 0 až ∞. [Švarc, 2002]


Strana 23

Při praktickém sestrojování frekvenční charakteristiky si frekvenční přenos G(jω) ještě v obecném tvaru (před dosazením hodnot ω) upravím na složkový tvar komplexního čísla (rozšířením zlomku číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli). G ( jω ) = Re[G ( jω ) ] + j Im[G ( jω )]

(3.8)

Při pohledu na obr. 3.2a je možné vidět sestrojení frekvenční charakteristiky G ( jω ) podle (3.8), kde za ω byla dosazena zvolená čísla. Druhým způsobem, jak lze sestrojit frekvenční charakteristiku v komplexní rovině je z exponenciálního tvaru komplexního čísla (obr. 3.2b). Číslo a + jb se vyjádří ve složkovém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru. Po úpravách díky Eulerova vztahu [Švarc, 2002] pro převod goniometrického tvaru na exponenciální se dostaneme vztah G ( jω ) = A(ω ) ⋅ e jϕ (ω ) .

(3.9)

Odvozování Eulerových vztahů zde uvádět nebudu. Uvedu zde pouze dva vztahy. První (3.10) v podstatě vyplývá z Pythagorovy věty a slouží k určení velikosti amplitudy A . Druhým vzorcem (3.11) zjistím fázi ϕ . Oba údaje se uvádí do tabulky při sestrojování frekvenční charakteristiky v komplexní rovině.

A = a 2 + b2

(3.10)

b a

(3.11)

ϕ = arctg

a)

Im

b)

ω =∞ ω = 20 ω =5

b = A sin α a = A cos α

G( jω )

ω=2

ω =1

Re ω =0 ω = 20

ω = 0,5

Im

ω =∞ ϕ A

ω =5

G( jω )

ω=2

Re ω =0

ω = 0,5 a + jb ω =1

Obr. 3.2 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině

Pro názornost takovou tabulku uvedu a k ní pak sestrojím frekvenční charakteristiku v komplexní rovině. Ke zvoleným hodnotám ω na kalkulačce dopočítám hodnoty Re a Im a výsledky doplním do tabulky 3.1.

Strana 24


Tabulka 3.1 Re(ω) ω 0 1,5 0,1 1.39 0,2 1,14 0,3 0,83 0,4 0,54 0,5 0,3 0,7 0,01 0,8 -0,07 1,0 -0,15 1,5 -0,16 2 -0,12 10 -0,01 0 ω

Im(ω) 0 -0,43 -0,74 -0,91 -0,95 -0,90 -0,71 -0,62 -0,45 -0,21 -0,11 -0,01 0

A(ω) 1,5 1,46 1,37 1,23 1,09 0,95 0,71 0,62 0,47 0,26 0,16 0,1 0

ϕ(ω) 0° -17°01' -33°07' -47°40' -60°28' -71°34' -89°27' -96°49' -108°26' -127°52' -139°24' -171°33' -180°

Podle této tabulky pak frekvenční charakteristiku zkonstruuji. Hodnoty ω jsem dosazoval do rovnice, kterou zde neuvádím, ale pro názornost je dobré si ukázat, jak taková tabulka vypadá a hlavně jak vypadá frekvenční charakteristika (obr. 3.3) sestrojená z těchto hodnot. Im

ω =∞

Re

ω =0

2 1,5 1 0,8

0,1 0,2

G( jω ) 0,5

0,3 0,4

Obr. 3.3 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině sestrojená podle tabulky 3.1

3.1.3 Logaritmické frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiku v komplexní rovině se také někdy nazývá amplitudofázovou frekvenční charakteristikou. Z jednoho bodu této charakteristiky se pro danou frekvenci odečte amplitudu A i fázi ϕ frekvenčního přenosu (3.9)


Strana 25

G ( jω ) = A(ω ) ⋅ e jϕ (ω )

Tím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky, amplitudovou A=A (ω) a fázovou ϕ=ϕ (ω), jak je ukázáno na obr. 3.4. Vhledem k úzkému frekvenčnímu pásmu se lineární souřadnice, uvedené na obr. 3.4, příliš nepoužívají. Pokud bych chtěl toto pásmo rozšířit, pak nejdůležitější část charakteristiky s podstatnou změnou amplitudy by byla nahuštěna v úzkém rozsahu frekvencí [Švarc, 2002]. Také pracnost konstrukce těchto charakteristik je poměrně velká (stejně jako předchozích charakteristik v komplexní rovině).

amplitudo-fázová frekvenční charakteristika A v komplexní rovině [–] Im Re

amplitudová v logaritmických souřadnicích

10

ω[1/s]

ϕ A

amplitudová v lineárních souřadnicích A [dB] 20

0

ω = 0,15 ϕ [°]

0,1

0,2

ω[1/s] 0 0,1

0,3

ϕ [°]

-20°

1

10

100

-45°

-40°

-90°

-60°

-135° -180°

fázová v lineárních souřadnicích

fázová v logaritmických souřadnicích

Obr. 3.4 - Frekvenční charakteristiky v amplitudových a fázových souřadnicích

Proto se začalo upřednostňovat použití těchto charakteristik v logaritmických souřadnicích. Na vodorovné ose obou charakteristik, amplitudové i fázové, je vynesena frekvence v logaritmickém měřítku. Tím se dosáhne velkého rozmezí frekvencí ω. U amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích se na svislou osu vynáší amplituda frekvenčního přenosu G(jω) a to v jednotkách decibel [dB.]

A(ω ) = G ( jω ) =

y 0 jϕ y e = 0 u0 u0

(3.12)

Decibel je dvacetinásobek dekadického logaritmu zesílení. Amplituda A je podíl amplitud výstupního a vstupního sinusového signálu y0/u0 tedy zesílení označené A[dB] vyjádřené vzorcem (3.13) y A[dB] = 20 log A[−] = 20 log 0 u0 U fázových frekvenčních logaritmických charakteristik je fáze vynášena na svislou osu v lineárním měřítku (ve stupních nebo radiánech).

Strana 26

3.2


Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami

V této kapitole budou analyzovány vlastnosti spojitých řízených systémů. Budou analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení vlastností a stability systému. Nejprve zde vysvětlím pojem stabilita regulačního obvodu a poté se zaměřím na jednotlivá kritéria stability.

3.2.1 Stabilita regulačních obvodů Stabilita je jedním ze základních požadavků, které se kladou na regulační obvod. Regulační obvod je stabilní, jestliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného stavu a odeznění vnějších sil, které tuto odchylku způsobily, se regulační obvod během času znovu vrátí do původního rovnovážného stavu. Jinak řečeno je stabilita vlastnost regulačního obvodu udržet se v okolí rovnovážného stavu nebo se do něj vrátit po odeznění vnějších působících sil. Z hlediska stability se regulační obvod rozlišuje na stabilní, na mezi stability a nestabilní (obr. 3.5). Regulační obvod na mezi stability se obecně považuje za stabilní a vždy se vyžaduje, aby regulační obvod byl za všech okolností stabilní. Zatímco parametry a dynamické vlastnosti regulované soustavy jsou dány konstrukcí soustavy, technologickým procesem apod. a nemůžeme je tudíž měnit, můžeme měnit dynamické vlastnosti regulátoru nastavováním volitelných parametrů regulátoru. Tím lze dosáhnout stability (a dalších vlastností) regulačního obvodu. y hom (t )

y hom (t )

a)

t

stabilní obvod

y hom (t )

b)

c)

t

obvod na hranici stability

t

nestabilní obvod

Obr. 3.5 - Určení stability regulačního obvodu

Jak je uvedeno v [Balátě, 2004], nutnou a postačující podmínkou pro stabilitu uzavřeného lineárního regulačního obvodu je, aby všechny kořeny charakteristické rovnice obvodu měly zápornou reálnou část. Z této definice jasně vyplývá, že aby byl regulační uzavřený lineární obvod stabilní, musí všechny kořeny charakteristické rovnice ležet v levé polorovině komplexní roviny "s" (obr. 3.6). Vzhledem ke skutečnosti, že samotné určení stability je pracné i s použitím výpočetní techniky, protože je zapotřebí vyčíslení kořenů charakteristické rovnice vyššího


než druhého stupně, byla sestavena matematická kritéria, tzv. kritéria stability, která umožňují z charakteristické rovnice určit, zdali jsou její kořeny se zápornou reálnou částí nebo ne, a tím stabilitu obvodu, aniž by se musela daná rovnice řešit. Kritéria stability lze rozdělit na algebraická a frekvenční. Vzhledem k tématu mé práce se budu věnovat jen frekvenčním, mezi něž patří dvě nejpoužívanější, a to MichajlovLeonhardovo kritérium a Nyquistovo kritérium.

3.2.2

Strana 27

Im stabilní oblast nestabilní oblast

Re

hranice stability Obr. 3.6

Michajlov-Leonhardovo kritérium

Jedná se o frekvenční kritérium, které vychází z charakteristické rovnice uzavřeného regulačního obvodu (3.14) a n s n + ... + a1 s + a0 = 0 Pro označení Michajlov-Leonhardovy křivky se používají symboly N nebo H. V této práci budu používat symbol H. Kritérium hodnotí stabilitu podle křivky, kterou opíše koncový bod charakteristického vektoru H(jω) v komplexní rovině při změně frekvence ω od 0 do ω. Vektor H(jω) vznikne z charakteristické funkce dosazením s = jω

H ( jω ) = an ( jω ) + ... + a1 ( jω ) + a0 n

(3.15)

Tato křivka se nazývá křivkou H(jω) nebo také Michajlovov-Leonhardovou křivkou. (A.V. Michajlov, ruský matematik, jeho práce uveřejněna v roce 1938; A. Leonhard, německý technik, práce uveřejněna v roce 1943). Křivku H(jω) není nutné vždy kreslit celou, postačí jen vypočítat polohu jejich průsečíků se souřadnými osami. V tom případě se reálná a imaginární část výrazu H(jω) položí rovna nule a z toho se vypočítají frekvence zmíněných průsečíků. Z frekvencí se pak určí jejich poloha a z polohy snadno určíme průběh celé charakteristiky. [Švarc, 2002]

Definice Michajlov-Leonhardova kritéria stability: Uzavřený regulační obvod je stabilní tehdy a jen tehdy, když Michajlova charakteristika H(jω) začíná na kladné reálné poloose [H(0) = a0 > 0] a při změně úhlového kmitočtu ω od 0 do ∞ postupně v kladném smyslu (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček) projde n kvadranty (ke n je stupeň charakteristického polynomu zavřeného regulačního obvodu).

Strana 28


Začíná-li Michajlovova charakteristika H(jω) v počátku souřadnic, pak charakteristický mnohočlen uzavřeného regulačního obvodu H(s) má nejméně jeden nulový kořen a regulační obvod je na nekmitavé mezi stability. Na obr. 3.7 je uveden případ, kdy n = 3 . Zde je možné pozorovat průběh křivky H ( jω ) pro stabilní či nestabilní obvod nebo pro obvod na hranici stability. Im

a)

Im

b)

Re

ω =0

H ( jω ) ω =∞

c)

Re

ω =0

H ( jω )

ω =∞

Im

Im

d)

ω =∞

H ( jω )

ω =0

Re

H ( jω )

Re

ω =0

ω =∞

e)

ω = ∞ Im H ( jω )

ω =0

Re

Obr. 3.7 - a) stabilní obvod; b) obvod na hranici stability; c), d), e) nestabilní obvod


3.2.3

Strana 29

Nyquistovo kritérium

Budu-li rozebírat toto kritériu, je na úvod potřeba říci, že mezi jeho výhody patří to, že není třeba znát přenos nebo diferenciální rovnici rozpojeného regulačního obvodu, ale stačí vycházet z experimentálně zjištěné frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu. Na rozdíl od algebraických kritérií, kde se zkoumá regulační obvod pouze z pohledu stability, lze za pomoci Nyquistova kritéria určit také kvalitu regulačního obvodu, jednoduše řečeno jak moc je obvod stabilní. Na základě frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu umožňuje Nyquistovo kritérium stability ověřovat stabilitu uzavřeného regulačního obvodu. Frekvenční charakteristika může být k dispozici i v podobě grafu či tabulky získané experimentálně. Nyquistovo kritérium vychází z přenosu rozpojeného regulačního obvodu, který si vyjádřím ve tvaru podílu polynomů M (s ) G0 (s ) = G S (s )G R (s ) = (3.16) N (s ) Na obr. 3.8a je ukázka rozpojeného regulačního obvodu. Pokud se na některém místě obvod fiktivně rozpojí, získají se tím samostatné dva regulační členy a také člen s otáčením znaménka v sériovém zapojení. Na vstup se přivede sinusový signál. Na výstupu lze pozorovat stejný signál, který má ovšem jinou amplitudu A a je fázově posunut o hodnotu ϕ. Pokud se fiktivně rozpojený obvod opět spojí, pak kmity, které byly poslány na vstup, se udrží a to i bez opětovného přivedení sinusového signálu. A právě teď se rozhoduje o stabilitě regulačního obvodu. Pokud se totiž tyto kmity po určité době zmírní, jedná se o stabilní regulační obvod. Pokud se naopak zesílí, jedná se o nestabilní regulační obvod. Rozhodujícím případem je posouzení regulačního obvodu na hranici jeho stability. Tento případ nastane, pokud je na vstup fiktivně rozpojeného regulačního obvodu přiveden sinusový signál a na výstupu se objeví přesně ten stejný. Jak je vidět na obr. 3.8b, regulační obvod je v sériovém zapojení s G0(s) a s členem otáčejícím znaménko. Na výstupu z G0(s) je sinusový signál stejný jako na vstupu, se stejnou amplitudou, ale fázově posunutý o 180°. Poté je signál přiveden do členu otáčejícího znaménko, kde je znovu posunut o 180° a tím pádem je na výstupu totožný, a to co se týče amplitudy i fázového posunu. Budu-li uvažovat regulační obvod bez členu otáčejícího znaménko a vstupní i výstupní signál bude mít stejnou amplitudu o fázové posunutí o 180°, pak frekvenční charakteristika G0(s) musí procházet tzv. kritickým bodem [-1, 0]. Jestliže frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu prochází kritickým bodem [-1, 0], pak se tedy jedná o obvod na hranici stability. Jestliže při frekvenci, kde je na výstupu signál posunut o 180° oproti vstupu a amplituda výstupních kmitů je větší než vstupních, pak nedochází ke zmírnění signálu a obvod je nestabilní.

Strana 30


a) v=0

y GR(s) w=0 GS(s) m1

m2

b)

GS(s)

m1

GR(s)

y

-y

m2

G0(s) Obr. 3.8 - a) rozpojený regulační obvod; b) regulační obvod v sériovém zapojení s G0(s) a s členem otáčejícím znaménko

Im

ω =0

ω =∞

Re −1

0

1

nestabilní na hranici stability

G0 ( jω )

stabilní Obr. 3.9 - Průběhy amplitudo-fázové frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu G0(jω)


Strana 31

Pro stabilní rozpojený regulační obvod lze již nyní zformulovat Nyquistovo kritérium stability: Aby byl rozpojený regulační obvod stabilní, pak jeho frekvenční charakteristika G0(jω) musí ležet vlevo od kritického bodu [-1, 0], a to pro frekvence ω od 0 do ∞ (obr. 3.9). Toto kritérium pojaté pro rozpojený regulační obvod se může použít pouze pro stabilní obvod. U uzavřeného regulačního obvodu nastává určité omezení použitelnosti Nyquistova kritéria. Jmenovatel přenosu N(s) nesmí obsahovat kladné kořeny (kořeny v pravé komplexní polorovině [Švarc, 2002]). Pak je možné napsat, že je-li rozpojený regulační obvod nestabilní, uzavřený regulační obvod stabilní být může. Tuto stabilitu lze vyšetřit jen zobecněným Nyquistovým kritériem.

Řešení stability obvodu s dopravní zpožděním použitím zjednodušeného Nyquistova kritéria Beru-li v úvahu obvody s dopravním zpožděním, je dobré si stručně vysvětli charakter těchto obvodů. Existují situace, kdy na vstup regulačního obvodu přivedu nějaký signál, ale na výstupu se nic neobjeví. Teprve až po uplynutí určité doby se začne výstupní veličina měnit. Tomuto jevu se říká dopravní zpoždění Td. Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním má tvar 1 + G0 ( s ) e − sT d = 0.

(3.17)

Dopravní zpoždění způsobuje fázové zpoždění o úhel ωTd. Modul G0(s) se nemění, protože modul GTd (s ) = 1 . Vyjádřím-li si frekvenční přenos rozpojeného regulačního

obvodu (3.20) ve smyslu rovnic (3.18 a 3.19)

G ( jω ) = Re[G ( jω )] + j Im[G ( jω )],

(3.18)

G ( jω )A(ω )e jϕ (ω ) = G ( jω ) e j arg G ( jω ) ,

(3.19)

G0 ( jω ) = A0 (ω )e jϕ 0 (ω ) ,

(3.20)

potom frekvenční proces rozpojeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním bude G 0Td ( jω ) = G0 ( jω )GTd ( jω ) = A0 (ω ) ⋅ 1 ⋅ e

j [ϕ O (ω )+ϕ T d (ω )]

.

(3.21)

Pro zjednodušené Nyquistovo kritérium je podmínkou stability uzavřeného regulačního obvodu bez dopravního zpoždění splnění podmínky

Strana 32


Re[G0 ( jω )] > −1,

Im[G0 ( jω )] = 0 ⇒ ω .

(3.22a) (3.22b)

Z podmínky (3.22b) se určí úhlová frekvence ω (obr. 3.10), při které amplitudová a fázová frekvenční charakteristika G0(jω) protínají reálnou osu roviny "G0(jω)". Při výskytu dopravního zpoždění v regulačním obvodu se vztahy (3.22) změní analogicky na

[ Im[G

] ] = 0 ⇒ ω.

Re GR ( jω )GS ( jω )e − jωTd > −1, − jω T R ( jω )G S ( jω )e

d

(3.23)

Při určitém dopravním zpoždění projde frekvenční charakteristika G0Td ( jω ) kritickým bodem [-1, 0] a uzavřený obvod bude na hranici stability, jak je naznačeno na obr. 3.10. Při dalším zvětšování Td je obvod již nestabilní, frekvenční charakteristika neponechává bod [-1, 0] vlevo od svého průběhu. Hodnoty ω a Td, při kterých frekvenční charakteristika G0Td ( jω ) prochází kritickým bodem [-1, 0], se nazývá kritickými hodnotami s označením ωk a Tdk.

Obr. 3.10 - K řešení stability uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním zjednodušeným Nyquistovým kritériem

Kritický modul má tedy vztah

Ak ≡ 1 = Re 2 [Go ( jω k )] + Im 2 [Go ( jω k )], a pro kritickou fázi platí: − π = ϕ k (ω k ) + ϕ Td (ω k ),

(3.24)


− π = arctg

Im[G0 ( jωk )] − ωkTdk . Re[G0 ( jωk )]

Strana 33

(3.25)

Ze vztahu (3.24) vypočítám kritickou úhlovou frekvenci ωk a z kritické fáze ϕ k (ω k ) (3.25) kritické dopravní zpoždění Tdk. Jak už jsem uvedl v kapitole 3.1.3, při zjišťování stability regulačních obvodů využívám i frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích. Tím se zabývá i Nyquistovo kritérium, které zde uvedu nyní, ale ve zjednodušené formě.

Zjednodušené Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicích Verzi zjednodušeného Nyquistova kritéria zde uvedu v logaritmických souřadnicích. Předpokladem je, že přenos rozpojeného regulačního obvodu nemá žádný pól v pravé polorovině roviny kořenů "s". Je-li přenos rozpojeného regulačního obvodu ve tvaru

Go (s ) = tj. s1 = −

1 < 0, T1

s2 = −

kO , s(T1s + 1)(T2 s + 1)

1 < 0, T2

(3.26)

s3 = 0,

(nulový pól je zahrnut do levé poloroviny), přitom lze uvažovat relaci koeficientů přenosu (zesílení) ko1< ko3< ko2. Amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky přenosu (3.26) jsou zobrazeny v části obr. 3.10a. Pro zesílení k01 přenosu rozpojeného regulačního obvodu je uzavřený regulační obvod stabilní, pro k03 je na mezi stability a pro kO2 je uzavřený regulační obvod nestabilní. Rozhodl jsme tak podle polohy bodu [-1, 0] vzhledem k průběhu jednotlivých amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik rozpojeného regulačního obvodu. Z obr. 3.11 vyplývá souvislost průběhů frekvenčních charakteristik rozpojeného regulačního obvodu v komplexní rovině a v logaritmických souřadnicích. V části obr. 3.11b je amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika, v části obr. 3.11c je zakreslena fázová logaritmická frekvenční charakteristika. Frekvenčním bodem pro rozhodování o stabilitě zjednodušeným Nyquistovým kritériem v komplexní rovině byl bod [-1, 0]. V tomto bodě modul frekvenčního přenosu rozpojeného regulačního obvodu má hodnotu

GO ( jω ) = 1,

(3.27)

a fáze má hodnotu ϕ (ω ) = −180°. V logaritmických souřadnicích si zobrazím odpovídající kritický bod výpočtem

A[dB ] = 20 log 1 = 0.

(3.28)

Strana 34


Jednotková kružnice v komplexní rovině se tedy zobrazí do přímky s hodnotou 0 dB (viz obr. 3.11b). Fáze má hodnotu stejnou, zůstává nezměněna. Kritickým bodem pro rozhodování o stabilitě zjednodušeným Nyquistovým kritériem v logaritmických souřadnicích je bod v amplitudové logaritmické frekvenční charakteristice s amplitudou A[dB] = 0 a nazývá se úhlovým kmitočtem řezu ωř. Při praktické aplikaci teorie automatického řízení je možné narazit na systémy, u kterých je splněna silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, tj. n > m. Z toho plyne, že stupeň jmenovatele přenosu rozpojeného regulačního obvodu je vyšší než stupeň čitatele a tedy fáze ϕ má zápornou hodnotu. To je případ i přenosu (3.26), který představuje integrační člen se setrvačností 2. řádu. Jeho fázová logaritmická frekvenční charakteristika je zobrazena na obr. 3.11c. Porovnáním hodnot fáze kritického bodu v částech obr. 3.11c a obr. 3.11a je vidět, že je možné fázi kritického bodu stanovit na hodnotu

ϕ (ω ) = −180°.

(3.29)

Potom pro ϕ (ω ) > −180° (tj. např. pro − 160°, …) bude uzavřený obvod stabilní a naopak pro ϕ (ω ) < −180° (tj. např. pro − 200° , …) bude uzavřený regulační obvod nestabilní.

Definice stability podle zjednodušeného Nyquistova kritéria v logaritmických souřadnicích Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže pro úhlovou frekvenci řezu ωř, při které; amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu protíná osu 0 dB, bude ϕ (ω ) > −180° . Důsledkem je, že amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika protíná osu 0 dB vlevo od úhlové frekvence, při němž má fáze hodnotu ϕ (ω ) = −180° (viz obr. 3.11). Z uvedeného je zřejmá výhoda používání frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích. Jestliže vím, že místa lomu amplitudové charakteristiky jsou definována převrácenou hodnotou časových konstant přenosu, snadno poznám, kterou z časových konstant přenosu rozpojeného regulačního obvodu musím změnit, aby uzavřený regulační obvod byl stabilní.


Strana 35

a)

b)

c)

Obr. 3.11 - Souvislost zjednodušeného Nyquistova kritéria v komplexní rovině a v logaritmických souřadnicích: a) v komplexní rovině; b) amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika; c) fázová logaritmická frekvenční charakteristika

Strana 36

3.3


Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami

Byla vypracována celá řada metod syntézy regulačního obvodu. Jedny z metod tvoří klasické metody syntézy pomocí frekvenčních charakteristik. Tyto metody se používají pro syntézu struktury i parametrů regulátorů v regulačních obvodech. Při syntéze regulačního obvodu pomocí frekvenčních charakteristik se vychází z dané frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu nebo jeho části. Syntéza se provádí v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích. Frekvenční metody syntézy v podstatě využívají toho, že nevhodné póly i nuly přenosu rozpojené smyčky se kompenzují nulami a póly přenosu korekčních členů (korekčními členy bývají nejčastěji standardní lineární regulátory typu P, PI, PD, PID apod.).

3.3.1 Ukazatele kvality regulace Kvalitu regulace je možné posuzovat podle ukazatelů v časové, frekvenční nebo obrazové oblasti [Davidová, 2004]. Z průběhu přechodové charakteristiky se kvalita regulace v časové oblasti určuje z odezvy regulačního obvodu na skokový signál. Právě z této přechodové charakteristiky se určí kvantitativní ukazatele, díky kterým lze hodnotit chování regulačního obvodu. Mezi kvantitativní ukazatele patří maximální překmit ymax regulované veličiny, doba regulace t r , trvalá regulační odchylka eT a perioda kmitů T přechodové charakteristiky. Pro určení kvality regulace v obrazové oblasti je zásadní poloha pólů uzavřeného regulačního obvodu v komplexní rovině. Kvantitativní ukazatele, které jsem zmínili výše, jsou zobrazeny na obr. 3.12 a ve stručnosti si zde uvedeme jejich popis. • maximální překmit ymax regulované veličiny = maximální hodnota, kterou dosáhne regulovaná veličina • doba regulace tr = doba, za kterou trvale klesne regulační odchylka pod 5% ustálené hodnoty • trvalá regulační odchylka eT(t) = rozdíl mezi požadovanou a skutečnou hodnotou regulované veličiny • perioda kmitů T přechodové charakteristiky. Někdy se také používají další ukazatele kvality regulace, jako např.: • čas tmax = doba, kdy dochází k největšímu překmitu • počet kmitů. Tyto ukazatelé kvality dávají přímou informaci o časovém průběhu regulačního pochodu, což je jejich výhodou, ale zároveň platí podmínka, že přechodová charakteristika musí mít kmitavý průběh, nikoliv aperiodický, jinak maximální překmit ani periodu kmitů nelze určit.


Strana 37

y(t)

+5% y(∞) y(∞) ymax

–5% y(∞) T

t

tmax tr Obr. 3.12 - Ukazatele kvality regulace na přechodové charakteristice

Pro kvalitu regulace v obrazové oblasti je zásadní poloha pólů uzavřeného regulačního obvodu v komplexní rovině. Mezi všemi uvedenými ukazateli kvality existuje jednoznačná souvislost. Především jsou důležité dvě hodnoty, a to maximální překmit ymax regulované soustavy a doba regulace tr. Je dobré si představit, že jsou regulovány např. otáčky nějakého točivého stroje, pak ymax je hodnotou, na kterou musí být stroj ještě pevnostně dimenzován a otáčky ymax nesmí např. padnout do kritických otáček stroje. Dalším požadavkem je, aby doba regulace tr nebyla příliš dlouhá a perioda kmitů T také někdy nesmí padnout do určitého pásma. Při regulačním pochodu v podstatě dochází k výměně energie. V oblasti podregulování má regulovaná soustava nedostatek energie a je zapotřebí jí energii dodávat, aby se hodnota regulované veličiny zvýšila na požadovanou hodnotu. V oblasti přeregulování má naopak přebytek energie a tu předává okolí, aby se hodnota regulované veličiny snížila na požadovanou hodnotu. To pochopitelně není možné vzhledem např. k setrvačným hmotám apod., tedy je alespoň požadováno, aby výměna energie byla co nejmenší – aby regulační plocha byla minimální. Regulační plocha, zmíněná v předešlém odstavci, je podle obr. 3.13 vyšrafovaná plocha nad a nebo pod průběhem regulované veličiny. Minimum regulační plochy znamená také kompromis mezi protichůdnými požadavky na minimální ymax a minimální tr. Tam se totiž ukazují protiklady požadavků na tyto dvě hodnoty. Čím větší je např. zesílení regulátoru r0, tím kratší je sice doba regulace, ale tím větší je maximální překmitnutí. Optimum mezi těmito dvěma protichůdnými požadavky je minimum regulační plochy. V praxi se kvalita regulace hodnotí podle charakteristických parametrů regulačního pochodu (viz obr. 3.13).

Strana 38


y(t)

+

+

y(∞) –

–

t Obr. 3.13 - Ukázka regulační plochy Vzhledem k tématu mé diplomové práce, ve které se zabývám frekvenčními metodami, bude dále má pozornost upřena na ukazatele kvality regulace ve frekvenční oblasti.

Ukazatelé kvality regulace ve frekvenční oblasti Pro hodnocení kvality řízení budu na frekvenční charakteristice uzavřené smyčky definovat následující míry: • rezonanční převýšení Ar = maximální hodnota zesílení (maximální hodnota amplitudy frekvenčního přenosu). Velké rezonanční převýšení znamená velký překmit na přechodové charakteristice. • rezonanční frekvence ωr = frekvence, při níž frekvenční charakteristika dosahuje hodnoty rezonančního převýšení Ar a rozhoduje o relativní stabilitě uzavřeného obvodu • šířka pásma propustnosti ωh = frekvence, na níž poklesne zesílení o 3 dB oproti zesílení na nízkých frekvencích. Širší propustné pásmo znamená rychlejší odezvu systému, tj. kratší dobu náběhu přechodové charakteristiky (dobu, za kterou přejde výstup z 10% na 90% ustálené hodnoty). Na druhou stranu vyšší mezní frekvence však znamená, že systém může reagovat i na vysokofrekvenční rušení zpravidla přítomné na vstupech systému. Tyto ukazatele kvality jsou zobrazeny na obr. 3.14, kde je vynesena typická frekvenční charakteristika uzavřeného regulačního obvodu.


Strana 39

Existuje souvislost mezi rezonančním převýšením Ar amplitudové charakteristiky a maximálním překmitem ymax na přechodové charakteristice. I přes to, že platí čím větší je rezonanční převýšení, tím větší je maximální překmit, tak většina regulačních obvodů se v praxi navrhuje tak, aby Ar ∈ (1.1,1.5) , resp. ArdB ∈ (1dB,3dB ) , a to z důvodu urychlení odezvy. Stejně tak existuje souvislost mezi dobou regulace tr a šířkou pásma propustnosti ωh, kde platí nepřímá úměrnost. Čím větší je šířka pásma propustnosti, tím rychlejší je přechodový děj a tím pádem je kratší doba regulace. Doba regulace je omezena vztahem, neboli nerovností π 4π < tr < . (3.30) ωř ωř Pro připomenutí ωř je úhlová frekvence řezu, při níž je absolutní hodnota frekvenčního přenosu rovna jedné. A [dB] Ar

ωh

ωr

3dB ω

Obr. 3.14 - Ukazatele kvality regulace z frekvenční charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu

Pro frekvenční návrh uzavřeného regulačního obvodu jsou na frekvenční charakteristice rozpojeného regulačního obvodu definovány ukazatele kvality regulace uvedené v [Davidová, 2004]. Jsou to tyto: • amplitudová bezpečnost δ říká, kolikrát se ještě může zvětšit zesílení v rozpojené smyčce, než se zpětnovazební systém dostane na mez stability • fázová bezpečnost γ je dána úhlem frekvenční charakteristiky γ otevřeného regulačního obvodu při frekvenci ωř, při kterém se amplituda frekvenční charakteristiky rovná jedné. Fázová bezpečnost je záporně vzatá změna fáze otevřeného obvodu, která přivede uzavřený regulační obvod na hranici stability. Tyto ukazatele kvality regulace jsou znázorněny na obr. 3.15, kde je vyobrazena frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu.

Strana 40


a)

A [dB]

Im 1/ δ

–1

ω

0

0 Re

γ

b)

ωř

δ

–20 –40

ωř

ωf

ω

–120°

G0 ( jω )

γ

–150° –180° –210° ϕ [°]

Obr. 3.15 - a) frekvenční charakteristika v komplexní rovině; b) amplitudová a fázová charakteristika v logaritmických souřadnicích

A [dB] –40 dB/dek –20 dB/dek –20 dB/dek

∆L

ω1

ωř

ω2 ∆L

ω

–40 dB/dek –60 dB/dek

Obr. 3.16 - Logaritmická frekvenční charakteristika ve formě asymptot Na obr. 3.16 je vyobrazena logaritmická frekvenční charakteristika ve formě asymptot. V této formě je to nejčastěji používaná logaritmická charakteristika, protože její konstrukce je jednoduchá a rychlá. Frekvence ω1 a ω2 se nazývají lomové frekvence, tvoří průsečíky asymptot a jsou na frekvencích, které jsou převrácenými hodnotami časových konstant regulátoru nebo regulované soustavy.


3.3.2

Strana 41

Frekvenční metody syntézy

U syntézy uzavřeného regulačního obvodu se upravuje frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu tak, aby výsledná frekvenční charakteristika uzavřené smyčky měla požadovaný průběh, tedy aby byly splněny ukazatele kvality regulace. Frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu můžeme upravovat dvojím způsobem: • Volbou zesílení rozpojeného regulačního obvodu. Tím vlastně určím konstantu proporcionálního regulátoru (kap. 3.3.2.1). • Sériovými korekčními členy. Ideálním sériovým korekčním členem jsou vlastně regulátory P, PD, PI, popř. PID (kap. 3.3.2.2).

3.3.2.1

Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu

Pro zvolené rezonanční převýšení Ar frekvenčního přenosu uzavřeného regulačního obvodu můžu určit odpovídající zesílení rozpojeného regulačního obvodu. V komplexní rovině provedu jednoduchou konstrukci (Brown - Campbellova konstrukce). Brown - Campbellova konstrukce je zobrazena na obr. 3.17. Nakreslím frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu se zvoleným zesílením ko. Z počátku vedu tečnu ke kružnici zvoleného rezonančního převýšení Ar. Pak snadno odvodím, že pro úhel α se zápornou reálnou poloosou platí 1 α = arcsin , . (3.31) Ar ≥ 1 Ar Sestrojím kružnici se středem na záporné reálné ose tak, aby se dotýkala v jednom bodě nakreslené frekvenční charakteristiky (bod A) a měla tečnu sestrojenou v bodě B. V bodě dotyku kružnice a tečny (bod B) vedu kolmici na reálnou osu, přečtu její vzdálenost od počátku, označím ji x a zesílení přenosu rozpojeného obvodu vyjádřím vztahem k oopt = k o

1 x

.

(3.32)

Im

0

x S

A

–1 α

B G0 ( jω ) Obr. 3.17 - Brown - Campbellova konstrukce

Re

Strana 42


Ještě snadněji určím zesílení rozpojené smyčky v logaritmických souřadnicích. Sestrojím frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu pro zvolené zesílení k v logaritmických souřadnicích. Tuto charakteristiku přenesu do Nicholsova diagramu. Frekvenční charakteristiku kreslím na průsvitku položenou na Nicholsův diagram. Poté posunu průsvitku s nakreslenou charakteristikou ve směru osy, na nichž je vynesena amplituda v decibelech přenosu rozpojené smyčky tak, až se v Nicholsově diagramu dotkne izoplety s hodnotou ArdB. Stejně jako v předchozím případě velikost posunu označím x [dB]. Optimální zesílení přenosu rozpojené smyčky je

nebo

(k )

opt dB

= k dB + x dB

k opt = kx

(3.33) (3.34)

Zde se hodí uvést také zjednodušený postup. Vyhovující hodnotu zesílení rozpojené smyčky určím přibližně také tak, že zajistím, aby amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika rozpojené smyčky procházela osou 0 dB při fázi ϕ = −135° . Tím zajistím fázovou bezpečnost 45° a hodnota rezonančního převýšení tak bude kolem 1,3. Při tomto zjednodušení nemusím ani používat Nicholsův diagram. Posun o x decibelů provedu přímo v logaritmických amplitudových souřadnicích rozpojeného regulačního obvodu.

3.3.2.2

Sériové korekční členy

Jak jsem již zmínil v kapitole 3.3.2, sériovým korekčním členem jsou regulátory P, PD, PI, popř. PID nebo jimi také mohou být obecné korekční členy nahrazující tyto regulátory. Jsou to členy, které jsou zapojeny v sérii s ostatními členy a tvoří přímou větev regulačního obvodu. Syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti využívá vlastností typizované logaritmických amplitudových frekvenční charakteristik (TLAFCH), především však skutečnosti, že výsledná (TLAFCH) je dána geometrickým součtem (TLAFCH) jednotlivých členů zařazených do série. Tato skutečnost nám umožňuje snadné určení korekčního členu.

3.3.2.3

Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky

Vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu jsou plně určeny frekvenčními charakteristikami jeho rozpojeného obvodu [Davidová, 2004]. Při návrhu regulačního obvodu se bere často v úvahu metody využívající frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích, díky kterým je k dispozici lepší náhled na chování systému v případě, že se některý z jeho parametrů bude měnit. Nevýhodou této i ostatních frekvenčních metod je fakt, že na časové závislosti (přechodová charakteristika apod.) lze usuzovat pouze podle nepřímých ukazatelů a k získání odezev je nutné volit zdlouhavý postup [Suchna, 2005]. Nyní zkusím uvést stručný popis metody. Základem je tzv. žádaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu, která předem splňuje stanovené požadavky na přesnost a kvalitu regulačního obvodu.


Strana 43

Podle pravidel, která uvedu dále, můžu sestrojit logaritmickou amplitudovou charakteristiku rozpojeného obvodu G0(jω)dB. Ta splňuje dané požadavky na regulaci (obr. 3.18). Vezmu-li v úvahu přenos rozpojeného regulačního obvodu G0(jω), pro který platí vztah

G0 ( jω ) = GR ( jω )GS ( jω )

(3.35)

a z toho

GR ( jω ) =

G0 ( jω ) . GS ( jω )

(3.36)

Pak pro logaritmické souřadnice platí vztahy

GR ( jω ) dB = G0 ( jω ) dB − GS ( jω ) dB ,

(3.37)

ϕ R = ϕ0 − ϕ S

(3.38)

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika se tedy stanoví z rozdílů těchto charakteristik pro rozpojený regulační obvod a regulovanou soustavu. Metoda typizované logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky je vhodným příkladem toho, jak lze frekvenční charakteristiku využít pro návrh spojitého regulačního obvodu. A [dB]

–20 dB/dek G0(jω) 0 dB/dek

–20 dB/dek

GS(jω)

–40 dB/dek

ω1 –20 dB/dek

–20 dB/dek

ω2

ωř 0 dB/dek

ω

ω3

–20 dB/dek +20 dB/dek

GR(jω)

–40 dB/dek

–60 dB/dek

Obr. 3.18 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika Jak je znázorněno na obr. 3.19, typizovanou logaritmickou amplitudovou frekvenční charakteristiku lze rozdělit na tři oblasti, a to nízkofrekvenční, středofrekvenční a vysokofrekvenční. Nízkofrekvenční oblast je úsek v rozsahu úhlových frekvencí ω ∈< 0, ω1 > , kde ω1 = 1 / Tmax je první zlom frekvenční charakteristiky. Tato část je v logaritmických

Strana 44


souřadnicích kreslena se sklony 0 dB/dek, –20 dB/dek, –40 dB/dek. Asymptota nízkofrekvenční části charakteristiky musí procházet hodnotou 20 log k0 při frekvenci ω = 1 , kde k0 je zesílení rozpojeného regulačního obvodu. Tato část charakteristiky určuje typ regulačního obvodu a mé vliv na přesnost regulačního obvodu v ustáleném stavu. Středofrekvenční oblast určuje kvalitu přechodového děje. Je to úsek v okolí průsečíku amplitudové frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu s osou 0 dB při úhlové frekvenci ω ř . Na obr. 3.18 je šířka této části omezena úhlovými frekvencemi ω ∈< ω 2 , ω 3 > . Z důvodu optimálního průběhu přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu, je požadovaný skon charakteristiky v okolí úhlové frekvence ω ř –20 dB/dek. Úhlovou frekvenci ω ř stanovíme přibližně podle vztahu

ωř =

4π , tr

(3.39)

kde tr je požadovaná doba regulace. Šířka středofrekvenční oblasti se volí v rozsahu 0,5 až 0,9 dekády. Čím je šířka oblasti větší, tím je regulační obvod více tlumen a zároveň je větší i jeho fázová bezpečnost γ. Vysokofrekvenční oblast začíná pro úhlové frekvence ω = (6 až 8)ωř. Tato část nemá podstatný vliv na průběh přechodového děje uzavřeného regulačního obvodu. Její sklon bývá obvykle –40 dB/dek nebo –60 dB/dek. Spojení nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti bývá se sklonem asymptoty –40 dB/dek až –60 dB/dek. Stejně tak spojení středofrekvenční a vysokofrekvenční části mívá sklon asymptot –40 dB/dek až –60 dB/dek. Metoda typizované amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu se spíše aplikuje při návrhu servomechanismů než u klasických regulačních obvodů složených z dvojice regulátor - regulovaná soustava. V tomto případě je totiž struktura obvodu plně dána a volba typu regulátoru a jeho parametrů je omezen. A [dB]

–40 dB/dek –20 dB/dek 0 dB/dek

–40 dB/dek –20 dB/dek

∆L

ω1

ω2

ωř

ω3

ω4 ∆L

ω

–40 dB/dek

nízkofrekvenční oblast

středofrekvenční oblast

–60 dB/dek vysokofrekvenční oblast

Obr. 3.19 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Strana 45

4

POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK U DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ

Diskrétní regulační obvody jsou takové, v nichž alespoň jeden člen pracuje diskrétně, tj. informaci přijímá nebo vydává, eventuálně obojí, v diskrétních časových okamžicích (zpravidla rovnoměrných - ekvidistantních). Jinými slovy, alespoň jedna veličina obvodu má tvar posloupnosti diskrétních hodnot. [Švarc, 2002] Při analýze a syntéze diskrétních regulačních obvodů se zpravidla pracuje s diskrétními modely spojitých částí regulačních obvodů.

4.1

Frekvenční popis diskrétních systémů

V této části čtvrté kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem diskrétních regulačních obvodů. Vysvětlím, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci frekvenčních charakteristik.

4.1.1 Frekvenční přenos Nejprve je vhodné uvažovat lineární diskrétní systém, jehož Z - přenos má tvar s kladnými mocninami z b z m + ... + b1 z + b0 G (z ) = m n (4.1) a n z + ... + a1 z + a 0 Frekvenční přenos diskrétního systému se potom definuje vztahem

G ( j ωT ) =

Y ( jωT ) U ( jωT )

(4.2)

což je podíl Fourierova obrazu výstupní a Fourierova vstupní funkce. Tento frekvenční přenos je komplexní funkce bezrozměrné frekvence ωT. Získáme ho ze Z - přenosu G(z) dosazením (4.3) z = e jω T tedy (4.4) G ( j ω T ) = G ( z ) z = e jω T Frekvenční přenos diskrétního systému je (na rozdíl od frekvenčního přenosu spojitého systému) periodická funkce frekvence ωT s periodou 2π

G ( jωT ) = G[ j (ωT + 2kπ )]

(4.5)

Strana 46

Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů

4.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Frekvenční charakteristika diskrétního systému v komplexní rovině je grafické znázornění frekvenčního přenosu G(jωT) v závislosti na bezrozměrné frekvenci ωT, která se mění obecně od 0 do 2π (z důvodu toho, že se jedná o periodickou funkci, její průběh by se opakoval) a znázorňuje se v komplexní rovině. Snadno lze zjistit, že frekvenční charakteristika je souměrná podle reálné osy [Švarc, 2002]. Vzhledem k této souměrnosti a k periodičnosti G(jωT) ji stačí znázorňovat a počítat v rozsahu

0 ≤ ωT ≤ π

(4.6)

Na obr. 4.1 je právě znázorněn příklad zobrazení frekvenční charakteristiky v komplexní rovině diskrétního regulačního obvodu.

a)

b)

Im

ωT=2

Im

ωT=π/2

Re

ωT=0

ωT=π/2

Re

ωT=π

Obr. 4.1 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině

4.1.3 Logaritmická frekvenční charakteristika Jak je uvedeno v [Davidová, 2002], k sestrojení amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích se využívá vztah

z=

1 + jΩ , 1 − jΩ

(4.7)

pak

G ( jΩ ) = G ( z )

z=

1+ jΩ 1− jΩ

(4.8)

Pro vyjádření amplitudové části frekvenční charakteristiky G ( jΩ ) dB lze použít asymptot jako u spojitých systémů, protože


Ω = tg a frekvenčnímu rozsahu ωT ∈< 0, π > frekvence Ω ∈< 0, ∞ > .

4.2

ωT

Strana 47

(4.9)

2

odpovídá frekvenční rozsah modifikované

Analýza diskrétních systémů frekvenčními metodami

V této kapitole budou analyzovány vlastnosti diskrétních systémů. Stejně jako u spojitých sytému, analýza diskrétních systémů se orientuje na stabilitu regulačního obvodu. Budou analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení vlastností a stability systému.

4.2.1 Stabilita regulačních obvodů Pro diskrétní systémy platí stejná definice stability jako pro každý lineární systém: Systém je stabilní, jestliže se po odeznění budicího signálu vrátí do rovnovážného stavu. Názorně zobrazeno je to na obr. 4.2 a matematicky zapsáno (už pro diskrétní systémy) lim y hom (k ) = 0

(4.10)

k →∞

yhom(k)

k

Obr. 4.2

Tato definice bývá pro diskrétní systémy často uváděna v trochu odlišné formě, a to: Obvod je stabilní, jestliže odezva na omezenou (konečnou) vstupní veličinu je opět omezená (konečná) výstupní veličina. Vezmu-li v úvahu diskrétní regulační obvod podle obr 4.3., jeho přenos řízení je dán vztahem

Strana 48


Gw( z ) =

G R ( z )G S ( z ) Y (z ) = U ( z ) 1 + G R ( z )G S ( z )

(4.11)

T T w(t)

e(t)

T GR(z)

GS(s)

y(k) y(t)

Obr. 4.3 Tento vztah je možné si vyjádřit jako podíl polynomů s kladnými mocninami z

Gw (z ) =

Y (z ) G R ( z )G S ( z ) b z m + ... + b1 z + b0 = = m n U (z ) 1 + G R ( z )G S ( z ) a n z + ...a1 z + a 0

(4.12)

Pro odvození obecné podmínky stability, převedu Z - přenos řízení (4.12) na diferenční rovnici řízení

a n y (k + n ) + ... + a1 y (k + 1) + a 0 y (k ) = bm w(k + m ) + ... + b1 w(k + 1) + b0 w(k ) (4.13) Na základě této rovnice mohu stanovit průběh regulované veličiny y(k) při různých změnách řídicí veličiny eventuálně poruchy. Přechodný děj při těchto změnách je dán řešením této rovnice a toto řešení má tvar y (k ) = y hom (k ) + y part (k )

(4.14)

kde y hom (k ) je řešení homogenní rovnice a y part (k ) je partikulární integrál daný pravou stranou rovnice (4.13). Partikulární integrál závisí čistě na vstupující řídicí nebo poruchové veličině a na stabilitu nemá vliv, protože stabilita je posuzována až po skončení působení vzruchu, který vyvedl regulační obvod z rovnovážného stavu. Důležitá je tedy pouze první část řešení diferenční rovnice a to je y hom (k ) . Řeším tedy homogenní rovnici k rovnici (4.13) a n y (k + n ) + ... + a1 y (k + 1) + a 0 y (k ) = 0

(4.15)

K získání tohoto řešení nejprve sestavím charakteristickou rovnici k dané diferenční rovnici (budu zde používat symbol z) a n z n + ... + a1 z + a0 = 0

(4.16)


Strana 49

a určím kořeny z1, z2, … zn. Charakteristická rovnice (4.13) respektive její levá strana se objevuje ve jmenovateli přenosu řízení (4.12) a proto je charakteristická rovnice také 1 + G R ( z )G S ( z ) = 0

(4.17)

Jsou-li kořeny charakteristické rovnice všechny různé (násobné kořeny), je řešení homogenní diferenční rovnice (4.15) dáno rovnicí y hom (k ) = C1 z1k + C 2 z 2k + ... + C n z nk

(4.18)

Vztah pro limitu tohoto řešení je

lim yhom (k ) = C1 lim z1k + C2 lim z 2k + ... + Cn lim z nk

k →∞

k →∞

k →∞

(4.19)

k →∞

Aby byla splněna podmínka stability lim y hom (k ) = 0 , musí být kořeny charakteristické k →∞

rovnice

zi < 1 Určením kořenů z1 , z2 , … zn. je možné vyslovit obecnou podmínku stability diskrétních regulačních obvodů, která se trochu liší od obecné podmínky stability spojitých obvodů a je uvedena v [Švarc, 2003]: Diskrétní obvod je stabilní, ležíli kořeny charakteristické rovnice 1 + GR(z)GS(z) = 0 uvnitř jednotkové kružnice. Tato definice je graficky znázorněna na obr. 4.4

pro i = 1, 2, … n

nestabilní oblast

–1

Im

j

stabilní oblast

(4.20) na hranici stability

1

Re

–j

Obr. 4.4

4.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium Michajlov - Leonhardovo kritérium pro diskrétní regulační obvod se také někdy označuje jako křivkové kritérium. Stejně jako u spojitých systému je z charakteristické rovnice (4.16) sestavena charakteristická funkce diskrétního regulačního obvodu H ( z ) = a n z n + ... + a1 z + a 0

(4.21)

Strana 50


U Michajlov-Leonhardova kritéria pro spojité obvody se do charakteristické funkce H (s ) = a n s n + ... + a 0 spojitého obvodu za proměnnou s dosadí s = jω, tj. mez stability. Podobně je tomu u charakteristické funkce H(z) diskrétního obvodu, kdy se za proměnnou z příslušné hranice stability dosazuje jednotková kružnice, jak je uvedeno v (4.22)

z = e sT = e jωT = cos ωT + j sin ωT

(4.22)

Touto substitucí lze dostat funkce bezrozměrné proměnné ωT

H ( jω T ) = a n e j

n ωT

+ ... + a1e j

n ωT

+ a0 = a n (cos nωT + j sin nωT ) + ... + a1 (cos ωT + j sin ωT ) +

+ a0 = an cos nωT + ... + a1 cos ωT + a0 + j (a n sin nωT + ... + a1 sin ωT ) 1444442444443 14444244443 Re (ω T )

(4.23)

Im (ωT )

ke které se sestrojí křivka H(jωT), podobně jako se sestrojovala frekvenční charakteristika k jakémukoliv frekvenčnímu přenosu spojitého systému. Skutečnost, zda je regulační obvod stabilní, lze zjistit podle definice uvedené v [Švarc, 2003]: Diskrétní obvod je stabilní, když křivka H(jωT) začíná na kladné reálné poloose a průvodič H opíše v kladném smyslu úhel πn (n.180°) (n je stupeň charakteristické rovnice) - (obr. 4.5).

Im H(jωT)

Re

π

0

Obr. 4.5


4.2.3

Strana 51

Nyquistovo kritérium

Z frekvenčních kritérií se u spojitých systémů nejčastěji používá kritérium Nyquistovo. Také diskrétní regulační obvody se mohou pyšnit tímto kritériem, nicméně se diskrétní verze Nyquistova kritéria stability používání spíše zřídka, protože je k výpočtu a konstrukci křivek zapotřebí vhodný software. Ten ovšem není podmínkou, ale bez něj se stává výpočet příliš pracný. Proto zde řešení Nyquistova kritéria jen nastíním. Jedná se pochopitelně o frekvenční charakteristiku rozpojeného obvodu, sestrojovanou pro bezrozměrnou frekvenci ωT od 0 do π, protože pak je od π do 2π symetrická podle reálné osy a dál se její průběh periodicky opakuje. Pokud je uvažován jednoduchý diskrétní regulační obvod uvedený na obr. 4.6, pak pro určení stability je potřeba stanovit přenos sériového zapojení regulátor - tvarovač regulovaná soustava, a to jako z-přenos G(z). tvarovač

T

w

y

1 − e − sT GT (s ) = s

GR(z)

GS(s)

T Obr. 4.6 - Diskrétní regulační obvod

Po odvození uvedeném v [Davidová, 2002] je výsledný vztah pro z-přenos rozpojeného diskrétního regulačního obvodu

 G (s )  G0 ( z ) = GR ( z ) ⋅ GS ( z ) = GR ( z ) ⋅ 1 − z −1 ⋅ Z  S   s 

(

)

(4.24)

Aby bylo možné sestrojit frekvenční charakteristiku nutnou k určení stability, je třeba za hodnotu z dosadit výraz (4.22), čímž se stanoví frekvenční přenos diskrétního systému G(jωT) a z něho se vykreslí frekvenční charakteristika buď v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích. Při určováni stability diskrétního regulačního obvodu Nyquistovým kritériem platí stejná pravidla, jako pro spojité regulační obvody, tedy o stabilitě rozhoduje poloha kritického bohu –1 vzhledem k této charakteristice. Pro představu, jak diskrétní verzi Nyquistova kritéria řešit, pro názornost uvedu v kapitole 5 příklad.

4.3

Syntéza regulačních obvodů

Na rozdíl od spojitých obvodů, v diskrétních regulačních obvodech je zapotřebí brát v úvahu další důležitý parametr. Je to vzorkovací perioda T a její velikost se obvykle volí na základě dynamických vlastností regulované soustavy. Pro určení hodnoty vzorkovací periody se využívá některý z těchto empirických vztahů [Balátě, 2003]

Strana 52


T1 , 10  1 1 T ≈  ÷ T95 ,  15 6  T≈

1 1 T ≈  ÷ ∑ τ j , 4 2

(4.25) (4.26) (4.27)

kde T1 je největší časová konstanta regulované soustavy, T95 je doba, za kterou přechodová charakteristika regulované soustavy dosáhne 95% ustálené hodnoty a ∑τ j je součet časových konstant regulované soustavy. Vztah (4.26) se používá pro nekmitavou proporcionální regulovanou soustavu. V případě velkého dopravního zpoždění regulované soustavy se vzorkovací perioda stanovuje podle vzorce [Isermann, 2003] 1 1 T ≈  ÷ Td , 8 3

(4.28)

nebo vztahu [Vítečková, 1998] T < 0,32Td ,

(4.29)

kde Td je hodnota dopravního zpoždění. Za vhodnou se považuje taková velikost vzorkovací periody, při které nedojde ke zhoršení kvality regulace o více než 15% ve srovnání s použitým analogickým spojitým regulátorem. Pokud je vzorkovací perioda příliš malá, zvyšuje se nárok na rychlost nejen číslicového regulátoru, ale rovněž převodníků a měřícího a akčního členu. Naopak zvětšováním vzorkovací periody dochází ke ztrátě informace v regulované veličině mezi jednotlivými okamžiky vzorkování, což vede k destabilizaci regulačního obvodu [Balátě, 2003]. Při návrhu diskrétního regulačního obvodu uvažujeme jednoduchý obvod, uvedený na obr. 4.6, který obsahuje spojitou regulovanou soustavu a před ní umístěný tvarovač. Spojitá regulovaná soustava je popsána z-přenosem, jež bude v dalším textu označován GS(z) a určí se podle vztahu uvedeném např. v [Balátě, 2003] a také v kapitole 4.2.3 a po zjednodušení je sejný jako vztah (4.24).

4.3.1 Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika Metodu typizované logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky (TLAFCH) pro spojité regulační obvody jsem zpracoval v kapitole 3.3.2.3. Zde jsem uvedl návrh parametrů spojitých regulátorů. V této kapitole se pokusím zpracovat tuto metodu pro diskrétní regulační obvod. Tato metoda byla takto zpracována a publikována pouze v [Davidová, 2004].


Strana 53

Princip metody (TLAFCH) pro diskrétní regulační obvody je stejný jako v kapitole 3.3.2.3, kde je tato metoda zpracována pro spojité regulační obvody. Je-li frekvenční přenos rozpojeného regulačního obvodu určen vztahem G0 ( jΩ ) = GR ( jΩ )GS ( jΩ ) , pak přenos regulátoru je dán

GR ( j Ω ) =

G0 ( jΩ ) GS ( jΩ )

(4.30)

,

(4.31)

což se v logaritmických souřadnicích vyjádří vztahem

GR ( jΩ ) dB = G0 ( jΩ ) dB − GS ( jΩ ) dB

.

(4.32)

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika se tedy stanoví z rozdílů těchto charakteristik pro rozpojený regulační obvod a regulovanou soustavu. Typ a parametry regulátoru lze určit podle frekvencí zlomů a sklonů asymptot frekvenčního přenosu GR(jΩ), který se převede na z-přenos číslicového korekčního členu. Při sestrojování amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích vycházíme z frekvenčního přenosu GS(jΩ). Pro určení frekvenčního přenosu je možné použít metodiku, která vychází z toho, že frekvenční charakteristiku lze rozdělit na dvě oblasti. První je charakteristika v oblast nízkých frekvencí a druhá v oblasti vysokých frekvencí. V oblasti nízkých frekvencí je dle odvozených vzorců uvedených v [Davidová, 2004] zřejmé, že logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika spojité regulované soustavy se v této oblasti shoduje s logaritmickou amplitudovou frekvenční charakteristiku spojité regulované soustavy s tvarovačem na vstupu. Proto je možné použít metodiku sestrojování frekvenční charakteristiky, která byla použita pro spojité systémy. Začátek logaritmické frekvenční charakteristiky v oblasti vysokých frekvencí splývá s koncem této charakteristiky v oblasti vysokých frekvencí. Nyní zde popíšu sestrojení typizované logaritmické frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu. Stejně jako u spojitých systémů platí, že průběh nízkofrekvenční části charakteristiky určuje přesnost regulace v ustáleném stavu (velikosti trvalé regulační odchylky) a středofrekvenční část charakteristiky určuje dynamické vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu. Na obr. 4.7 je uveden příklad tvaru charakteristiky se zakreslenými významnými lomovými frekvencemi. Snahou je, aby zvolený postup konstrukce této charakteristiky byl co možná nejjednodušší. Nejprve tady vypočítám frekvenci řezu Ω ř , při které asymptota protíná osu 0 dB. Tu stanovím na základě předpokládané doby regulace tr podle vztahu

π . (4.33) tr Tímto bodem vedu asymptotu se sklonem –20 dB/dek, která tvoří středofrekvenční oblast typizované charakteristiky. K určení frekvencí ohraničujících středofrekvenční oblast použiji vztahy pro spojité systémy aplikované na diskrétní systémy Ω ř = (1 ÷ 4 )

Strana 54


Ω 3 ≈ (2 ÷ 4 )Ω ř

(4.34)

Ω 2ř Ω3

(4.35)

Ω2 ≈

A [dB] 0 dB/dek –40 dB/dek –20 dB/dek

Ω1

Ω2

Ω3 2 /(T − 2T∑ )

Ωř

Ω –40 dB/dek –60 dB/dek

Obr. 4.7 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Podle vztahu (4.34) určím lomovou frekvenci Ω3 z rozmezí hodnot, což umožňuje volit fázovou bezpečnost, neboť ta je na šířce středofrekvenční oblasti závislá. Čím se volí větší hodnota koeficientu z intervalu od 2 do 4, tím je větší také fázová bezpečnost. Podle vztahu (4.38) se stanoví lomová frekvence Ω2. Jelikož výraz neobsahuje rovnítko, i zde je možná případná úprava hodnoty této frekvence. Pokud totiž některá z převrácených hodnot časových konstant regulované soustavy se této vypočítané hodnotě blíží, je lepší použít tuto. Totéž platí i pro lomovou frekvenci Ω3. Je to z důvodu toho, že čím více se typizovaná frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu svým tvarem blíží k tvaru charakteristiky regulované soustavy, tím je navrhovaný korekční člen jednodušší. Z bodu tvořícího začátek středofrekvenční oblasti se sestrojí asymptota o sklonu – 40 dB/dek, případně –60 dB/dek. Její průsečík s frekvenční charakteristikou regulované soustavy určí lomovou frekvenci Ω1, která tvoří konec nízkofrekvenční oblasti. Sklon asymptoty v nízkofrekvenční oblasti se volí na základě požadovaného řádu integrace rozpojeného regulačního obvodu. Jestliže je regulovaná soustava proporcionální a chceme dosáhnout regulace s nulovou regulační odchylkou, pak je třeba volit sklon charakteristiky v nízkofrekvenční oblasti –20 dB/dek. Je-li však regulovaná soustava integrační s řádem integrace 1, případně 2, pak je výhodné, aby nízkofrekvenční část typizované charakteristiky splývala s počátkem charakteristiky regulované soustavy a měla tedy sklon –20 dB/dek, resp. –40 dB/dek.


Strana 55

Sklon asymptot ve vysokofrekvenční oblasti se ukázalo vhodné volit stejný jako u asymptot frekvenčních charakteristik regulované soustavy. Při určování parametrů číslicového regulátoru, popř. korekčního členu, se provede grafické sestrojení logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky podle vztahu (4.32), tedy jako rozdíl amplitudové frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu (typizované) a regulované soustavy, jak je vyobrazeno na obr. 4.8. Na základě tvaru této charakteristiky, podle frekvencí zlomů a sklonů asymptot, se stanoví frekvenční přenos GR(jΩ).

A [dB] GS(jω)

Ω4 Ω1

Ω2

Ω3

Ω5

Ω6

Ωř

Ω

GR(jω) G0(jω)

Obr. 4.8 - Sestrojení logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky číslicového regulátoru

4.3.2

Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik

Mezi metody syntézy diskrétních regulačních obvodů, které jsou vhodné i pro průmyslovou praxi, patří metoda transformovaných frekvenčních charakteristik uvedená v [Černý, 1984], [Zeman, 1987]. Pro regulační obvod na obr. 4.6 se na základě vztahu (4.32) určí z-přenos spojité regulované soustavy GS(z). Vzájemný vztah mezi operátorem s a operátorem z je dán rovnicí T 1+ s 2 z = e sT ≈ (4.36) T 1− s 2

Strana 56


Vzhledem k tomu, že frekvenční charakteristika soustavy je transcendentní funkcí proměnné jω, je znesnadněno přímé sestrojení frekvenční charakteristiky diskrétního systému pouhým dosazením s=jω. Proto se zavádí operátor q, který je definován transformací

T q 2 z= T 1− q 2 1+

q=

2 z −1 . T z +1

(4.37a,b)

Vztahy (4.36) a (4.37) představují vzájemné zobrazení komplexních rovin Z, S a Q. Pomocí těchto transformací se levá komplexní polorovina roviny S převede do vnitřní části jednotkové kružnice roviny Z. Body s=jω, které leží na imaginární ose roviny S, se transformují na body q=jΩ, které leží rovněž na imaginární ose, ovšem roviny Q. Transformovaný přenos v proměnné q se stanoví ze vztahu (4.32) dosazením transformace (4.37a) za hodnotu

 G (s )  GS (q ) = 1 − z −1 ⋅ Z  S  T  s  z =1+ 2 q

(

)

(4.38)

T 1− q 2

Při praktickém výpočtu se přenos GS(s) rozloží na parciální zlomky a potom lze pro výpočet transformovaného přenosu GS(q) použít tabulku 4.1 převzatou z [Černý, 1984]. V ní jsou uvedeny základní typy přenosů a jim příslušející jednotlivé transformované přenosy. Transformovaný frekvenční přenos se určí dosazením q = jΩ

(4.39)

do transformovaného přenosu GS(q). Z něho se sestrojí amplitudová, případně fázová transformovaná logaritmická frekvenční charakteristika stejným postupem jako v případě spojitých systémů.


Strana 57

Tabulka 4.1 - Transformované přenosy Č.

GS(s)

1

1 s

1−

2

1 s2

1−

3

1 1 + T1 s

GS(q)

T q 2 q2

T q 2 1 + T1* q 1−

1 4

(1 + T1 s )

T q 2 q

 *  T    T T T  − β 1 − q  1 +  2    2T1 2T1*   

2

(1 + T q ) * 1

5

6

7

8

2

1 s (1 + T1 s )

 T  1 − q (1 + T1 βq ) 2   q 1 + T1* q

1 s (1 + T1 s )

 T  2 2 1 − q  1 + T1 β q − T1 β q 2   q 2 1 + T1* q

1 (1 + T1 s )(1 + T2 s )

 TT  T  1 − q 1 + 1 2 (β 2 − β 1 )q  2  T1 − T2   1 + T1* q 1 + T2* q

1 s (1 + T1 s )(1 + T2 s )

  T β − T2 β 2   T  T1T2 q 2  1 − q  1 + (T1 β 1 + T2 β 2 )q +  β 1 β 2 + 1 1 2  T1 − T2    

(

)

(

2

(

(

)

)(

(

)(

)

q 1 + T1* q 1 + T2* q Poznámka:

Ti* =

T 2

h

T 2Ti

)

β=

Ti −1 Ti *

)

Strana 58


Pokud je splněna podmínka

ωT ≤ 0,25 , 2

(4.40)

pak je ω ≈ Ω a současně platí přibližný vztah G S ( j Ω ) ≈ GS ( j ω ) .

(4.41)

To znamená, že transformovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH)souhlasí přibližně s touto charakteristikou spojitého systému bez vzorkování při dané době vzorkování T při frekvencích 2 . (4.42) T Při určování parametrů číslicového regulátoru se vychází z jeho LAFCH, která se stanoví na základě LAFCH rozpojeného regulačního obvodu G0(jΩ), jež musí mít požadovaný průběh v nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti (podobně jako u spojitých systémů) a LAFCH regulované soustavy GS(jΩ) podle vztahu (4.32). Podle tvaru frekvenční charakteristiky regulátoru se určí transformovaný přenos regulátoru GR(q), do něhož se dosadí transformační vztah (4.40b) a získá se tak z-přenos regulátoru Ω ≤ 0,25

GR ( z ) = GR ( z )

(4.43) q=

2 z −1 T z +1

Z LAFCH rozpojeného regulačního obvodu lze odečíst frekvenci řezu Ωř, z které je možné stanovit dobu regulace tr vztahem 1,5 tr ≈ (4.44) Ωř Velikost překmitu σ na přechodové charakteristice, udávaná v procentech, je dána fázovou bezpečností γ podle rovnice . σ = 70 − γ (4.45)

Strana 59

5

POUŽITÍ VYBRANÝCH METOD NA PŘÍKLADECH

V této kapitole uvedu příklady použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Ukážu zde i příklady, na kterých budu demonstrovat diskrétní verze metod, které jsem v předchozí kapitole uvedl, kvůli jejich náročnosti, jen stručně. Uvedu zde tyto metody: • Michajlov-Leonhardovo kritérium pro spojité regulační obvody • Nyquistovo kritérium pro spojité regulační obvody • Michajlov-Leonhardovo kritérium pro diskrétní regulační obvody • Nyquistovo kritérium pro diskrétní regulační obvody • Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik Z důvodu omezeného rozsahu diplomové práce, mohu uvést příklady pouze v omezeném množství. Rovnice a grafy byly zpracovány v programu Microsoft Office Excel 2003, tyto poznámky jsou na přiloženém CD uvedeny v souboru (Výpočty a grafy.doc).

5.1

Příklady pro spojité regulační obvody

Zde uvedu dvě kritéria na analýzu regulačního obvodu, a to MichajlovLeonhardovo a Nyquistovo.

5.1.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium Příklad 5.1: Podle obr. 5.1 určete stabilitu regulačního obvodu podle pomocí MichajlovLeonhardova kritéria.

v

1 GS (s ) = s (0,1s + 1)(0,5s + 1) 1   G R (s ) = 401 + + 0,1s   0,5s 

y

w

Obr. 5.1

Řešení:

Nejprve určím přenos rozpojeného obvodu, který ze známého vztahu G0 (s ) = G S (s ) ⋅ G R (s ) je 1 1 4 s 2 + 40 s + 80   G 0 (s ) = 401 + + 0,1s  = 4 3 2 s (0,1s + 1)(0,5 s + 1)  0,5 s  0,05 s + 0,6 s + s

Strana 60

Použití vybraných metod na příkladech

Dále vyjádřím charakteristickou rovnici 0,05 s 4 + 0,6 s 3 + 5 s 2 + 40 s + 80 = 0 Michajlův-Leonhardův vektor je H ( jω ) = 0,05( jω ) + 0,6( jω ) + 5( jω ) + 40( jω ) + 80 = 4

3

2

(

)

4 = 01 ,05 ω 24+4 80 + j 40ω − 0,6ω 3 4ω4 4−254 3 144244 3 Re

Im

Tabulka 5.1

ω

Re 0 0,5 1 2 3 5 7 8 9 9,5 10 10,2

K tomuto výrazu sestrojím na základě tabulky 5.1 Michajlov.Leonhardovu křivku H(jω) - obr. 5.2. Protože stupeň charakteristické rovnice je n=4 a křivka prochází v kladném smyslu čtyřmi za sebou jdoucími kvadranty, je regulační obvod stabilní.

Im 80 78,75 75,05 60,8 39,05 -13,75 -44,95 -35,2 3,05 36,00 80 101

0 19,93 39,4 75,2 103,8 125 74,2 12,8 -77,4 -134,43 -200 -228,73

Im

150 100 50

Re

0 -60

-40

-20

0

20

40

60

80

-50 -100 -150 -200 -250

Obr. 5.2 - Michajlov-Leonhardova křivka H(jω)

100

120


Strana 61

5.1.2 Nyquistovo kritérium Příklad 5.2: Určete stabilitu regulačního obvodu podle obr. 5.3 pomocí Nyquistova kritéria. v y 1 G S (s ) = (s + 1)(12s + 1) w

1 G R (s ) = s Obr. 5.3

Řešení:

Nejprve určím, stejně jako v 5.1.1, přenos rozpojeného obvodu, který ze známého vztahu G0 (s ) = G S (s ) ⋅ G R (s ) je

1 1 = 3 s (s + 1)(10 s + 1) 10 s + 11s 2 + s 1 1 − 10 jω 3 + 11ω 2 + jω G0 ( jω ) = = ⋅ = 3 2 10 ( jω ) + 11( jω ) + jω − 10 jω 3 − 11ω 2 + jω − 10 jω 3 + 11ω 2 + jω

G0 (s ) =

=

− 10 jω 3 + 11ω 2 + jω = 100 j 2ω 6 − 110 jω 5 − 10 j 2ω 4 + 110 jω 5 − 121ω 4 − 11 jω 2 − 10 j 2ω 4 + 11 jω 2 + j 2ω 2

=

− 10 jω 3 + 11ω 2 + jω − 10 jω 3 + 11ω 2 + jω = = 100 j 2ω 6 − 10 j 2ω 4 − 121ω 4 − 10 j 2ω 4 + j 2ω 2 − 100ω 6 + 10ω 4 − 121ω 4 + 10ω 4 − ω 2

=

ω − 10ω 3 − 10 jω 3 + 11ω 2 + jω 11ω 2 = + j 4 6 − 100ω 6 − 101ω 4 − ω 2 1 − 100 ω 64−2 101 − ω32 1−4 100 ω 44 −4 ω32 44 4ω44 4ω 4 4− 2101 44

(

)

Re

Tabulka 5.2

ω

Kořeny jmenovatele jsou 0, -0,1, -1. Žádný z

Re 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 0,4 0,5 0,6 1

Im

Im -2,12 -1,80 -1,54 -1,33 -1,15 -1,01 -0,56 -0,34 -0,22 -0,05

-0,58 -0,38 -0,25 -0,15 -0,08 -0,03 0,08 0,09 0,09 0,04

nich není kladný (neleží v pravé komplexní polorovině), rozpojený obvod je tedy stabilní, a proto je možno Nyquistova kritéria použít. Frekvenční přenos G0(jω) rozdělím na reálnou a imaginární

část

charakteristiku

a

sestrojím

rozpojeného

frekvenční obvodu

v

komplexní rovině (tab. 5.2, obr. 5.4). Kritický bod

[–1,

0]

leží

vlevo

od

frekvenční

charakteristiky G0(jω)a proto je obvod stabilní.

Strana 62


0,20

Im

0,10

Re -2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00 0,00 -0,10 -0,20 -0,30 -0,40 -0,50 -0,60

Obr. 5.4

5.2

-0,70

Příklady pro diskrétní regulační obvody

Zde opět uvedu dvě kritéria na analýzu regulačního obvodu, a to MichajlovLeonhardovo a Nyquistovo a také příklad na syntézu regulačního obvodu, tedy metodu typizované logaritmické frekvenční charakteristiky.

5.2.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium Příklad 5.3: Na základě charakteristické rovnice určete stabilitu diskrétního regulačního obvodu: z 3 − 0,3z 2 + 0,7 z − 0,5 = 0 Řešení: Do charakteristické funkce obvodu H (z ) = z 3 − 0,3z 2 + 0,7 z − 0,5 dosadím za z vztah z = e sT = e jωT = cos ωT + j sin ωT

H( jωT ) = e 3 jωT − 0,3e 2 jωT + 0,7e jωT − 0,5 =

= cos 3ωT + j sin 3ωT − 0,3(cos 2ωT + j sin 2ωT ) + 0,7(cos ωT + j sin ωT ) − 0,5 =

= cos 3ω −4 0,34cos 2ω +4 0,4 7 cos ωT4−4 03 ,5 + j(sin 3ωT − 0,3 sin 2ωT + 0,7 sin ωT ) 14 4T4 44 2T4 44 144444424444443 Re

Im


Tabulka 5.3

ωΤ

Re 0,00 0,52 1,05 1,57 1,83 2,09 2,36 2,62 3,14

Im 1,00 0,06 -0,90 -0,10 0,39 0,40 -0,19 -1,16 -2,40

0,00 1,09 0,35 -0,30 0,12 0,87 1,50 1,61 0,00

Strana 63

Pokračuji výpočtem, který je uveden v tab. 5.3 a následně vykreslením grafu (obr. 5.5). Podle definice stability regulačního obvodu, uvedené v kapitole 4.2.2, se dle obr. 5.5 jedná o obvod stabilní, protože křivka H(jωT) začíná na kladné reálné poloose a průvodič H opsal v kladném smyslu úhel πn (n.180°). Vzhledem k tomu, že stupeň charakteristické rovnice n=3, pak 3.180° = 540°, což podle grafu na obr. 5.5 souhlasí.

2,00

Im

1,50

1,00

0,50

Re -3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00 0,00 -0,50

Obr. 5.5

0,50

1,00

1,50

Strana 64


5.2.2 Nyquistovo kritérium Příklad 5.4: Pomocí Nyquistova kritéria vyšetřete stabilitu diskrétního regulačního obvodu uvedeném na obr. 5.6. T=1[s]

T=1[s] w(t)

1 − e − sT s

1 (2s + 1)(s + 1)

y(k) y(t)

Obr. 5.6

Základem je nejprve vyjádření přenosu řízení daného rovnicí

Řešení:

G w (z ) =

G R (z )G S (z ) Y(z ) = W (z ) 1 + G R (z )G S (z )

Vzhledem k tomu, že G R (z ) = 1 , stačí na základě vztahu (4.24) vyjádřit G S (z ) a

dosadit ho do G w (z ) .

  1 2 1  1 −1 + G S (z ) = 1 − z −1 Z  = 1 − z Z − =  s s + 0,5 s + 1  s(2s + 1)(s + 1)  z −1  z 2z z  2 1  1  = − + = (z − 1) − + = −0, 5 T −T   z z −1 z − e z−e   z − 1 z − 0,607 z − 0,368 

(

)

(

)

0,154z + 0,094 z − 0,975z + 0,223 K získání Z-obrazů byl použit slovník Z-transformace uvedený v [Švarc, 2002]. Přenos řízení je tedy 0,154z + 0,094 2 0,154z + 0,094 z − 0,975z + 0,223 G w (z ) = = 2 0,154z + 0,094 z − 0,821z + 0,317 1+ z 2 − 0,975z + 0,223 =

2

Teď využiji vztahu (4.22) pro vyjádření G ( jωT )


Strana 65

0,154e jωT + 0,094 = e 2 jωT − 0,975e jωT + 0,223 0,154(cos ωT + j sin ωT ) + 0,094 = = (cos 2ωT + j sin 2ωT ) − 0,975(cos ωT + j sin ωT ) + 0,223 = ....................... = Re 6444444444444447 444444444444448  (cos 2ωT − 0,975 cos ωT + 0,223) ⋅ (0,154 cos ωT + 0,094 ) + (0,154 sin ωT )  ⋅ 2 2   ( cos 2ωT − 0,975 cos ωT + 0,223) + (sin 2ωT − 0,975 sin ωT ) = + ( sin 2 T − 0 , 975 sin T ) ω ω ⋅  1  

G ( jωT ) =

 (sin 2ωT − 0,975 sin ωT ) ⋅ (− 0,154 cos ωT − 0,097 ) + (0,154 sin ωT )   j (cos 2ωT − 0,975 cos ωT + 0,223)2 + (sin 2ωT − 0,975 sin ωT )2 ⋅ +  ⋅ (cos 2ωT − 0,975 cos ωT + 0,223)   1 444444244444444444443 14444444 Im

Tabulka 5.4

ωΤ

Re 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,7 1 1,2 1,5 2 2,5 3 3,14

Im 1,00 0,94 0,79 0,60 0,42 0,09 -0,02 -0,04 -0,05 -0,04 -0,03 -0,03 -0,03

0,000 -0,333 -0,571 -0,681 -0,684 -0,439 -0,207 -0,111 -0,030 0,017 0,018 0,005 0,000

Vzhledem k velmi pracnému výpočtu zde uvádím pouze výsledek, do kterého jsou dosazeny hodnoty ωT (viz. tab. 5.4). Kritický bod [–1, 0] leží vlevo od této charakteristiky a proto je obvod stabilní.

Strana 66


0,100 0,000 -0,20 0,00 -0,100

Im Re 0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-0,200 -0,300 -0,400 -0,500 -0,600 -0,700 -0,800

Obr. 5.7

5.2.3 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik Příklad 5.5: Navrhněte parametry číslicového metodou transformovaných frekvenčních charakteristik pro regulovanou soustavu 1 G S (s ) = (1 + 4s )(1 + 0,5s ) je-li vzorkovací perioda T = 1s. V tomto příkladu využiji tabulku 4.1 uvedenou v kapitole 4.3.2. Uvedený přenos odpovídá v této tabulce výrazu č. 7. Časové konstanty regulované soustavy jsou T1 = 4s a T2 = 0,5s a její zesílení K = 1. Nejprve určím jednotlivé dílčí hodnoty T T 1 1 1 cot gh = cot gh = ⋅ 8,042 ≈ 4,021s 2 2T1 2 2⋅4 2 T T 1 1 1 T2* ≈ cot gh = cot gh = ⋅ 1,313 ≈ 0,675s 2 2T2 2 2 ⋅ 0,5 2

T1* ≈

β1 =

T1* 4,021 −1 = − 1 = 0,00525 T1 4

β2 =

T2* 0,657 −1 = − 1 = 0,314 T2 0,5


T3 =

Strana 67

T1T2 (β 2 − β1 ) ≈ 4 ⋅ 0,5 (0,314 − 0,00525) ≈ 0,176s T1 − T2 4 − 0,5

Dosadím tyto číselné hodnoty a stanovím tím transformovaný přenos regulované soustavy G S (q ) =

(1 − 0,5q )(1 + 0,176q ) . (1 + 4,021q )(1 + 0,657q )

Z něho potom za pomoci vztahu (4.42) určím transformovaný frekvenční přenos G S ( jΩ ) =

(1 − 0,5 jΩ )(1 + 0,176 jΩ ) . (1 + 4,021 jΩ )(1 + 0,657 jΩ )

Pro sestrojení transformované LAFCH regulované určím hodnotu amplitudy

A[dB] = 20 log 1 − 20 log 1 + 4,0212 Ω 2 − 20 log 1 + 0,657 2 Ω 2 + + 20 log 1 + 0,5 2 Ω 2 + 20 log 1 + 0,176 2 Ω 2 Při sestrojení vlastní charakteristiky dále postupuji podle postupu pro konstrukci amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky. Na obr. 5.8 je zobrazena černou barvou.

A [dB]

20

Ω1*

Ω 2*

Ωř –20

G0(jΩ)

Ω3

2/T GR(jΩ) GS(jΩ)

Obr. 5.8 - Transformované frekvenční charakteristiky

Ω

Strana 68


Jestliže použiji číslicový PI regulátor, jehož transformovaný přenos je v obecném tvaru

  1 + Ti q  1   = r0   , G R (q ) = r0 1 +  Ti q   Ti q  pak při volbě časové konstanty regulátoru Ti rovnající se transformované časové konstantě regulované soustavy T1* je transformovaný přenos rozpojeného obvodu G O (q ) = 0,8

(1 − 0,5q )(1 + 0,176q ) . 4,021q (1 + 0,657q )

Amplituda odpovídající jeho logaritmické frekvenční charakteristiky je

A[dB] = 20 log 0,8 − 20 log 4,021Ω − 20 log 1 + 0,657 2 Ω 2 + + 20 log 1 + 0,5 2 Ω 2 + 20 log 1 + 0,176 2 Ω 2 Na obr. 4.4 je průběh LAFCH rozpojeného regulačního obvodu uveden červenou čarou. Pro zvolené zesílení r0 = 0,8 a integrační časovou konstantu Ti = 4,021s protíná tato charakteristika osu 0dB pod sklonem –20dB/dek při frekvenci Ω ř = 0,209s −1 a tomu odpovídá doba regulace podle vztahu (4.47) hodnotě tr ≈

1,5

Ωř

≈ 7,18s .

Na závěr do transformovaného přenosu regulátoru s využitím vztahů (4.40b) a (4.46) určím z-přenos regulátoru G R (z ) = 0,8 ⋅

9,042z − 7,042 (z − 0,779) . = 0,899 8,042z − 8,042 z −1

Strana 69

6

ZÁVĚR

Tématem této diplomové práce bylo použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Cílem úvodní a druhé kapitoly bylo získání uceleného obecného přehledu o pojmech analýza a syntéza. Tyto pojmy zde byly rozebrány podrobně, takže má o nich čtenář dokonalý přehled a informovanost. Třetí kapitola se zabývala použitím frekvenčních charakteristik u spojitých systémů. Kapitola byla rozdělena do tří důležitých podkapitol, kde se první věnuje obecnému popisu frekvenčních charakteristik u spojitých systémů, druhá popisuje analýzu regulačních obvodů, tedy určování jejich stability a třetí rozebírá jejich syntézu, tedy návrh parametrů regulátoru. To vše samozřejmě pro spojité regulační obvody. U každé z metod byly uvedeny buď kompletní metody, nebo zkrácené včetně výpočtových vztahů a grafů. Ve čtvrté části byly, obdobně jako u třetí, zdůrazněny tři podkapitoly, které se věnují diskrétním regulačním obvodům. Obecné pojetí frekvenčních charakteristik plynule navazuje na druhou a třetí podkapitolu věnující se analýze a syntéze regulačních obvodů. Metody stability regulačních obvodů jsou podobné jako pro spojité obvody, ale byly upraveny pro obvody diskrétní. U každé z metod byly uvedeny, stejně jako u spojitých regulačních obvodů, buď kompletní metody, nebo zkrácené včetně výpočtových vztahů a grafů. V poslední, páté kapitole, byly některé uvedené metody aplikovány na vhodných příkladech, díky kterým je možné snadno pochopit danou metodu. Grafy a postupy výpočtu u jednotlivých příkladů pomohou pochopit problém a jeho řešení. Po vypracování této diplomové práce jsem dospěl k závěru, že frekvenční charakteristiky jsou dobrým nástrojem pro analýzu i syntézu regulačních obvodů. Vzhledem k tomu, že se ale jedná o grafické vyjádření, doporučuji pro vykreslování grafů a výpočet rovnic použít počítač a software typu Microsoft Office Excel.

Strana 71

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY 1. BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 2. přepracované vydání Praha : BEN, 2004. 664 stran. ISBN 80-7300-148-9. 2. ČERNÝ, M. Číslicová regulace elektrických pohonů. Praha : SNTL, 1984. 208s. 3. DAVIDOVÁ, O. Využití frekvenčních metod při navrhování diskrétních systémů řízení. Brno, 2004. 106s. Disertační práce na FSI VUT v Brně na Ústavu automatizace a informatiky. Vedoucí disertační práce Doc. Ing. Ivan Švarc, CSc. 4. FENCLOVÁ, M. Teorie automatického řízení - Návody ke cvičení. Praha : Vydavatelství ČVUT, 1996. 152s. 5. ISERMANN, R. Digital Control Systems. Berlin : Springer-Verlag, 1981. 6. KUBÍK, S. Teorie automatického řízení I. Praha : SNTL, 1980. 528 s. pod. č.j. 12 037/80-30. 7. SUCHNA, J. Metody syntézy spojitých regulačních obvodů. Brno, 2005. 74s. Diplomová práce na FSI VUT v Brně na Ústavu automatizace a informatiky. Vedoucí diplomové práce Ing. Olga Davidová, Ph.D. 8. ŠVARC, I. Automatizace: Automatické řízení. 1. vydání Brno : CERM, 9. 2002. 201 s. ISBN 80-214-2087-1. 10. ŠVARC, I. Teorie automatického řízení I. 1. vydání Brno : Skriptum VUT, 11. 1987. 210 s. 12. VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. Ostrava : VŠB Technická univerzita Ostrava, 1998. 56s. ISBN 80-7078-628-0. 13. ZEMAN, K. Automatická regulace v elektrických pohonech I. Plzeň : Ediční středisko VŠSE Plzeň, 1987. 220s. 14. ZÍTEK, P. Automatické řízení. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2001. 148s. 15. ZÍTEK, P. Matematické a simulační modely 1 - Modely v komplexním oboru. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2001. 111s. 16. HAVEL, P. Frekvenční metody syntézy. Praha, 2004. Dostupné na WWW: http://dce.felk.cvut.cz/sri2/ss/Synteza/Havel_frekv_met2.pdf. 17. Internetová učebnice na Katedře řídicí techniky ČVUT-FEL Praha. Dostupná na WWW: http://dce.felk.cvut.cz/sri2/ss/ 18. MINÁR, K. Vyhledávací služba Gogole začala indexovat soubory ANALÝZA. VSB [online]. Dostupné na WWW: http://www.fs.vsb.cz/books/Analyza/prvni.html 19. MODRLÁK, O. Analýza diskrétních regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné na WWW: http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/modrlak/pdf/cr_analyza.pdf 20. MODRLÁK, O. Teorie automatického řízení I - Syntéza regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné na WWW: http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr1/tar1_syn.pdf 21. MODRLÁK, O. Teorie automatického řízení I - Syntéza ve frekvenční oblasti a citlivost a robustnost regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné na WWW: http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr1/tar1_K5.9-10.pdf 22. PSTRUŽINA, K. Atlas filosofie vědy. Dostupné na WWW: http://nb.vse.cz/kfil/win/atlas1/analyza.htm

Diplomová práce. Použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Inženýrská informatika a automatizace

Recommend Documents