Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Martin Kalousek Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu Katedra matematické analýzy
Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: Matematická analýza Praha 2011
Na tomto místě chci poděkovat vedoucímu práce Mgr. Petru Kaplickému, Ph.D za veškerou jeho pomoc při tvorbě práce.
Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne. . . . . . . . . . . . podpis 2
Obsah 1 Úvod
5
2 Značení
6
3 Pomocná tvrzení
8
4 Existence řešení 12 4.1 Řešitelnost systému s aproximativním potenciálem . . . . . . . . . 12 4.2 Vylepšení regularity řešení aproximativní úlohy . . . . . . . . . . 21 4.3 Limitní přechod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Hölderovská spojitost gradientů řešení 40 5.1 Částečná regularita pro d = 3, q0 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Úplná regularita ve 2D, q0 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Literatura
59
3
Název práce: Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu Autor: Martin Kalousek Katedra: Katedry matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. e-mail vedoucího:
[email protected] Abstrakt: V předložené práci studujeme existenci a vlastnosti řešení systému nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, které popisují ustálené proudění newtonovské tekutiny. Pro tento systém uvažujeme disipativní potenciál s anizotropním růstem. Ukážeme, že existuje slabé řešení systému, a jeho částečnou C 1,α -regularitu ve 3D a úplnou C 1,α -regularitu ve 2D. Klíčová slova: potenciál s anizotropním růstem, částečná a úplná regularita Title: Systems of equations with anisotropic dissipative potential Author: Martin Kalousek Department: Department of mathematical analysis Supervisor: Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. Supervisor’s e-mail address:
[email protected] Abstract: In the present work we study the existence a properties of solution of the system of partial differential equations describing steady flow of Newtonian fluid. We consider that this system has anisotropic dissipative potential. We prove existence of weak solution to this system and its partial C 1,α -regularity in 3D and full C 1,α -regularity in 2D. Keywords: potential with anisotropic growth, partial and full regularity
4
Kapitola 1 Úvod V předložené práci budeme studovat systém parciálních diferenciálních rovnic ∂u − div T (ε(u) + uk + ∇P = g v Ω, ∂xk (1.1) div u = 0 v Ω, u = u0 na ∂Ω, který pochází z mechaniky kontinua. Množina Ω ⊂ Rd , d = 2 nebo d = 3 bude omezená oblast s lipschitzovskou hranicí. Funkce P představuje tlak, g : Ω → Rd vnější síly a u0 : ∂Ω → Rd je zadaná okrajová podmínka. Budeme uvažovat g ∈ L∞ (Ω; Rd ),
u0 = 0.
(1.2)
O tenzoru T předpokládáme, že je gradientem potenciálu f : Sd → [0, ∞), který je třídy C 2 a splňuje podmínku anizotropního růstu ∃λ, Λ > 0, ∃p, q0 , 1< p ≤ q0 ≤ ∞, q0 ≥ 2 ∀τ, σ ∈ Sd : λ(1 + |τ |2 )
p−2 2
|σ|2 ≤ D2 f (τ )(σ, σ) ≤ Λ(1 + |τ |2 )
q0 −2 2
|σ|2 .
(1.3)
Pro exponenty p, q0 vyskytující se v anizotropní růstové podmínce (1.3) budeme uvažovat 6 pro d = 2 d+2 2≥p> 5 a zároveň 2 ≤ q0 < p . (1.4) 9 d pro d = 3 5 Pro takto zadaná data ukážeme ve Větě 4.11 existenci slabého řešení systému (1.1), ve Větě 5.5 částečnou regularitu slabého řešení pro d = 3 a ve Větě 5.8 jeho úplnou regularitu pro d = 2. 5
Kapitola 2 Značení Číselné množiny N, R Rd Sd B(x, r)
přirozená a reálná čísla d-dimenzionální eukleidovský prostor nad R s bází {e1 , . . . , ed } d × d symetrické matice koule se středem v bodě x a poloměrem r
Prostory funkcí. Nechť Ω je oblast v Rd . W k,p (Ω) Sobolevův prostor C k,ν (Ω) prostor funkcí s hölderovsky spojitými parciálními derivacemi řádu k Matice a vektory Nechť u, v ∈ Rd u·v skalární součin vektorů u, v u⊗v tenzorový součin vektorů u, v u v symetrická část u ⊗ v 1 jednotková matice Nechť σ, ρ ∈ Rd×d σ :ρ skalární součin matic σ, ρ |σ| norma matice σ
P u · v = di=1 ui vi u ⊗ v = (ui vj )di,j=1 u v = 12 (u ⊗ v + v ⊗ u)
P σ : ρ = di,j=1 σij ρij √ |σ| = σ : σ
6
Derivace ∂k ∇ ε D
parciální derivace podle k-té proměnné gradient symetrická část gradientu derivace podle maticové proměnné
Nechť X je Banachův prostor a X ∗ jeho duál. Pro F ∈ X ∗ a x ∈ X bude hF, xi značit hodnotu F v x. Druhý diferenciál potenciálu f v ε ∈ Sd definuje bilineární formu D2 f (ε) : Sd × Sd → R, její vyčíslení na prvcích ρ, σ ∈ Sd budeme značit D2 f (ε)(ρ, σ). Oscilací funkce h na množině U ⊂ Rd definujeme jako oscU g := sup {|g(x) − g(y)|}. x,y∈U
Na V ⊂⊂ U definujeme pro h < dist(V, ∂U ) a k ∈ {1, 2 . . . , d} diferenční podíl g ve směru ek jako g(x + hek ) − g(x) . ∆h g(x) := h c bude značit univerzální konstantu.
7
Kapitola 3 Pomocná tvrzení V této kapitole je uvedeno několik tvrzení, na která se budeme několikrát odvolávat v dalších kapitolách. Nejdříve uvedeme [16, Theorem 1.10 (a)], tvrzení (b) je odvozeno během důkazu (a) tamtéž. Lemma 3.1. Nechť 1 < p < ∞, Ω ⊂ Rd je omezená, otevřená a má lipschitzovskou hranici. Potom existují konstanty c1 = c1 (p, Ω) a c2 = c2 (p, Ω) taková, že (a) pro každou v ∈ W01,p (Ω, Rd ) platí kvkW 1,p (Ω;Rd ) ≤ c1 kε(v)kLp (Ω;Rd ) .
(3.1)
(b) pro každou v ∈ W 1,p (Ω, Rd ) platí kvkW 1,p (Ω;Rd ) ≤ c2 (kvkLp (Ω;Rd ) + kε(v)kLp (Ω;Rd ) ).
(3.2)
Následující Lemma odpovídá na otázku, jak vypadá jádro operátoru ε. Jedná se o upravenou verzi věty [14, Theorem 3.2], která je formulována pro W 1,2 (Ω; R3 ). Lemma 3.2. Nechť u ∈ W 1,q (Ω; Rd ), Ω je oblast v Rd . Pak ε(u) = 0 v Ω právě když u ∈ T := {v = a + Bx; a ∈ Rd , B je antisymetrická matice d × d}. Důkaz. Zřejmě pro každou u ∈ T je ε(u) = 0. Ukažme opačnou implikaci. Zvolme Ω0 ⊂⊂ Ω konvexní. A pro u takovou, že ε(u) = 0, ukážeme u = a + Bx na Ω0 . Pro h < 21 dist(∂Ω0 , ∂Ω) definujeme Z 1 x−y uh (x) := d ϕ u(y) dy, (3.3) h Rd h 8
h→0
kde ϕ je regularizátor s nosičem v B(0, 1). Potom uh ∈ C ∞ (Ω0 ; Rd ) a uh → u ve W 1,q (Ω0 ; Rd ). Navíc je ε(uh ) = 0 v Ω0 , neboť Z 1 x−y i ∂j ui (y) dy. (3.4) ϕ ∂j uh (x) := d h Rd h Tvrzení dokážeme pro v ∈ C ∞ (Ω0 ; Rd ). Z předpokladu ε(v) = 0 vyplývá ∂i v i = 0 i = 1, . . . , d
(3.5)
∂i v j = −∂j v i i, j = 1, . . . , d.
(3.6)
Nyní uvažujme d = 3. Z (3.5) a 3.6 vyplývá ∂j ∂k v i = 0,
(3.7)
pokud i = j nebo i = k nebo j = k. Z (3.5) musí mít v tvar v 1 = a1 + w1 (x2 , x3 ) v 2 = a2 + w2 (x1 , x3 ) v 3 = a3 + w3 (x1 , x2 ). Z faktu ∂i2 wk = 0, což je speciální případ (3.7), dostaneme po integraci ˜ 3 ) = C(x2 )x3 + C(x ˜ 2) w1 (x2 , x3 ) = B(x3 )x2 + B(x ˜ 3 ) = E(x1 )x3 + E(x ˜ 1) w2 (x1 , x3 ) = D(x3 )x1 + D(x
(3.8) (3.9)
˜ 1 ). w3 (x1 , x2 ) = F (x2 )x1 + F˜ (x2 ) = G(x1 )x2 + G(x Derivací (3.9) podle x2 obdržíme B(x3 ) = C 0 (x2 )x3 + C˜ 0 (x2 ), odkud je okamžitě ˜ 2 ) lineární. vidět, že C 0 (x2 ) a C˜ 0 (x2 ) jsou konstantní a proto jsou C(x2 ) a C(x ˜ ˜ ˜ F, F˜ , G, G ˜ Potom je zřejmě i B(x3 ) lineární. Podobně se ukáže, že i B, D, D, E, E, jsou ve svých proměnných lineární. Dohromady proto dostaneme v 1 = a1 + b12 x2 + b13 x3 + c1 x2 x3 2 2 v = a + b21 x1 + b23 x3 + c2 x1 x3 (3.10) 3 3 v = a + b31 x1 + b32 x2 + c3 x1 x2 Po aplikaci (3.5) v (3.10)získáme c1 = c2 = c3 = 0. Navíc je matice (bij )di,j=1 antisymetrická, protože pro i 6= j bij = ∂i v j = −∂j v i = −bji . Tedy v má požadovaný tvar. Pokud d = 2 můžeme podobně jako v případě d = 3 odvodit, že v 9
má požadovaný tvar. T0 (v definici T vezmeme Ω = Ω0 ) je konečně dimenzionální podprostor W 1,q (Ω0 ; R3 ) h→0 a je tudíž uzavřený. Je-li {uh } ⊂ T a uh → u ve W 1,q (Ω0 ; Rd ) pak i u ∈ T0 . A jelikož byla Ω0 zvolena libovolně je u ∈ T . V důkazu odhadu Cacciopoliho typu použijeme nerovnost z [10, Lemma 3.1], kde je ale uvažována pouze pro funkce z W 1,2 (Ω; Rd ). V následujícím lemmatu bude tato nerovnost dokázána pro funkce z W 1,q (Ω; Rd ) q ∈ (1, ∞). Lemma 3.3. Nechť Ω je oblast v Rd . Potom existuje c > 0 tak, že pro každou v ∈ W 1,q (Ω; Rd ) q ∈ (1, ∞) existuje w ∈ T kv − wkLq (Ω;Rd ) ≤ ckε(v)kLq (Ω;Rd ) .
(3.11)
Důkaz. Uvažujme prostor T , ten je konečně dimenzionálním podprostorem ve W 1,q (Ω; Rd ), proto existuje jeho topologický doplněk S ve W 1,q (Ω; Rd ). Zřejmě stačí dokázat kvkLq (Ω;Rd ) ≤ ckε(v)kLq (Ω;Rd ) (3.12) pro v z S. Tvrzení ukažme sporem. Nechť ∀k ∈ N existuje vk ∈ S tak,že kvk kLq (Ω;Rd ) > kkε(vk )kLq (Ω;Rd ) . Přejdeme k přeškálované posloupnosti vk :=
vk kvk kLq (Ω;Rd )
(3.13) a z (3.13) dostaneme
1 . (3.14) k Podle Kornovy nerovnosti (3.2) je posloupnost vk omezená ve W 1,q (Ω; Rd ) a z reflexivity tohoto prostoru existuje v0 a podposloupnost ve {vk } (značená stejně) tak, že vk * v0 slabě ve W 1,q (Ω; Rd ). Slabá zdola polospojitost normy a (3.14) implikuje ε(v0 ) = 0 a podle Lemmatu 3.2 je v0 ∈ T . Konvexita a uzavřenost S implikují slabou uzavřenost S, tedy speciálně v0 ∈ S. Již víme, že v0 ∈ T , a proto je v0 = 0. Z kompaktního vnoření W 1,q (Ω; Rd ) do Lq (Ω; Rd ) dostaneme silnou konvergenci vk → v0 v Lq (Ω; Rd ) a tudíž kv0 kLq (Ω;Rd ) = 1 a to je spor s v0 = 0. kε(vk )kLq (Ω;Rd ) <
Dále uvedeme [17, Theorem 3.6.8]. Věta 3.4. Nechť ϕ ∈ Ls (Ω; Rd ), D ⊂⊂ Ω. Pro h ∈ (− 21 dist(∂Ω, D), 12 dist(∂Ω, D), ) definujeme Z 1 ψ h (x) := ϕ(x + thei ) dt 0 h→0
Potom platí ψ h ∈ Ls (D; Rd ) a ψ h → ϕ v Ls (D; Rd ). 10
Dále použijeme variantu Brouwerovy věty o pevném bodě z knihy [6, p.493]. Věta 3.5. Nechť P : RN → RN je spojité zobrazení. Nechť existuje r > 0 takové, že ∀ξ ∈ RN , |ξ| = r : P (ξ) · ξ ≥ 0. (3.15) Pak existuje ξ0 ∈ B(0, r), pro které je P (ξ0 ) = 0. Následují lemmata [12, Chapter III Lemma 2.1., Chapter V Lemma 3.1.] Lemma 3.6. Nechť A, B, α, β > 0, α > β a nechť ϕ : [0, R0 ] → [0, ∞) je neklesající funkce taková, že " # α ρ ∀ρ, R ∈ (0, R0 ), ρ < R : ϕ(ρ) ≤ A + ε ϕ(R) + BRβ R Pak existuje konstanta ε0 = ε0 (A, α, β) taková, že pro všechna ε ∈ (0, ε0 ) existuje konstanta c závisející na ε, A, α, β taková, že " # β ρ ∀ρ, R ∈ (0, R0 ), ρ < R : ϕ(ρ) ≤ c ϕ(R) + Bρβ . R Lemma 3.7. Nechť f (t) : [τ0 , τ1 ] → [0, ∞) 0 ≤ τ0 < τ1 . Nechť pro s, t, τ0 ≤ t < s ≤ τ1 platí f (t) ≤ [A(s − t)−α + B] + θf (s), kde A, B, α, θ jsou nezáporné konstanty, θ ∈ [0, 1). Potom existuje c = c(α, θ) taková, že pro τ0 ≤ ρ < R ≤ τ1 platí f (ρ) ≤ c[A(R − ρ)−α + B].
11
Kapitola 4 Existence řešení Nejdříve se budeme zabývat definicí slabého řešení úlohy (1.1). Od slabého řešení (1.1) je přirozené požadovat splnění Z Z Z Df (ε(u)) : ε(ϕ) dx − (u ⊗ u) : ε(ϕ) dx = g · ϕ dx, (4.1) Ω Ω Ω div u = 0 v Ω, u = 0 na ∂Ω. pro každou ∞ ϕ ∈ C0,div (Ω; Rd ) = {v ∈ C ∞ (Ω; Rd ); spt v ⊂ Ω; div v = 0}.
Pokud bychom dále vyžadovali pouze u ∈ W 1,p (Ω; Rd ) dostaneme další podmínku pro q0 . Pro splnění Df (ε(u)) ∈ L1 (Ω; Sd ) je totiž třeba q0 < p + 1, což je pro p uvažované v (1.4) silnější podmínka než q0 < p d+2 . Abychom se této d podmínce vyhnuli, nebudeme proto teď psát do jakého prostoru má slabé řešení patřit. V následující sekci budeme studovat existenci a vlastnosti slabého řešení modifikované úlohy a ve Větě 4.11 ukážeme v jakém smyslu řešení této modifikované úlohy konverguje k řešení systému (1.1).
4.1
Řešitelnost systému s aproximativním potenciálem
Zvolme q ≥ q0 splňující p
d+2 > q > d, d 12
(4.2)
existenci takového q zaručuje (1.4). Pro δ ∈ (0, 1) položme q
fδ (σ) := δ(1 + |σ|2 ) 2 + f (σ), k·k1,q
1,q ∞ (Ω; Rd ) a hledáme uδ ∈ W0,div (Ω; Rd ) := C0,div
Z
σ ∈ Sd , , které řeší
Z Dfδ (ε(uδ )) : ε(ϕ) dx −
Ω
g · ϕ dx,
Z (uδ ⊗ uδ ) : ε(ϕ) dx =
Ω
∀ϕ ∈
(4.3)
Ω ∞ C0,div (Ω, Rd ).
(4.4)
1,q Poznámka 1. Na množině s lipschitzovskou hranicí platí W0,div (Ω; Rd ) = {u ∈ W 1,q , u = 0 ve smyslu stop na ∂Ω, div u = 0 s.v. v Ω} viz [11, Theorem 1.4]. 1,q Potom je W0,div (Ω; Rd ) uzavřený podprostor reflexivního prostoru W 1,q , tudíž je 1,q i W0,div (Ω; Rd ) reflexivní.
Lemma 4.1. Pro fδ definované v (4.3) platí: (a) fδ ∈ C 2 (Sd ), ∀σ, ρ ∈ Sd : D2 fδ (σ)(ρ, ρ) = δq[(q − 2)(1 + |σ|2 )
q−4 2
|σ|2 +(1 + |σ|2 )
q−2 2
]|ρ|2 +D2 f (σ)(ρ, ρ) (4.5)
(b) ∃c1 , c2 > 0, ∀δ ∈ (0, 1), ∀σ, ρ ∈ Sd : c1 max{(1 + |σ|2 )
p−2 2
, δ(1 + |σ|2 )
|D2 fδ (σ)| ≤ c2 (1 + |σ|2 )
q−2 2
}|ρ|2 ≤ D2 fδ (σ)(ρ, ρ)
q−2 2
(4.6) (4.7)
(c) ∃c3 , c4 > 0, ∀δ ∈ (0, 1), ∀σ, ρ ∈ Sd : c3 max{δ(1 + |σ|2 )
q−2 2
, (1 + |σ|2 )
|Dfδ (σ)| ≤ c4 (1 + |σ|2 )
q−1 2
p−2 2
}|σ|2 ≤ Dfδ (σ) : σ
(4.8) (4.9)
(d) Definujeme operátor K, který funkci σ : Ω → Sd přiřadí funkci K(σ) : Ω → Sd , předpisem K(σ)(x) := Dfδ (σ(x)). Potom K je spojitý operátor q z Lq (Ω; Sd ) do L q−1 (Ω; Sd ). 13
Důkaz. Identitu (4.5) pro D2 fδ v (a) obdržíme okamžitě dvojím zderivováním fδ , spojitost D2 fδ je zřejmá. Všechny členy v (4.5) jsou kladné, proto zřejmě platí (4.6). Nerovnost (4.7) je důsledkem q−2 0 ≤ D2 fδ (σ)(τ, τ ) ≤ c(1 + |σ|2 ) 2 |τ |2 a |D2 fδ (σ)| = max{D2 fδ (σ)(τ, τ )}. |τ |≤1
Tato nerovnost platí díky symetrii D2 fδ Tvrzení (c) plyne z Z 1 Dfδ (σ) : σ = D2 fδ (sσ)(σ, σ) ds 0
a odhadů v (b). Důkaz (d) je založen na Větě o spojitosti Němyckého operátoru [18, Theorem 10.58]. Definujme funkci h(x, ρ) pro x ∈ Ω a ρ ∈ Sd předpisem h(x, ρ) := Dfδ (ρ). Funkce h je zřejmě pro každé x ∈ Ω spojitá v ρ, pro každé ρ ∈ Sd měřitelná v x a platí K(σ)(x) = h(x, σ(x)). Navíc z (iii) máme odhad |K(σ)| ≤ (1 + |σ|q−1 ). Operátor K splňuje předpoklady Věty o spojitosti Němyckého operátoru, podle q q d q−1 které je K spojitý operátor z L (Ω; S ) do L (Ω; Sd ). 1,q Lemma 4.2. Pro v ∈ W0,div (Ω; Rd ) je Z v⊗v : ε(v) dx = 0. Ω
Důkaz. Díky symetrii tenzorového součinu v⊗v máme Z Z Z Z 1 v⊗v : ε(v) dx = v⊗v : ∇(v) dx = vi vj ∂i vj dx = vi ∂i |v|2 dx. 2 Ω Ω Ω Ω Integrujme per partes a dostaneme Z Z 1 2 1 vi |v| ni dS − div v |v|2 dx. 2 2 ∂Ω Ω Tvrzení dostaneme použitím předpokladů v = 0 na ∂Ω ve smyslu stop a div v = 0 s.v. v Ω. 14
Věta 4.3. Nechť f splňuje (1.3) s p ∈ (1, 2) a jistým q0 ≥ 2, nechť je q > d, q ≥ q0 1,q a data úlohy jsou daná v (1.2). Potom existuje slabé řešení uδ ∈ W0,div (Ω; Rd ) úlohy (4.4). Navíc platí sup kuδ kW 1,p (Ω;Rd ) < ∞.
(4.10)
δ∈(0,1)
Důkaz. V důkazu jsou použity techniky z [15]. 1,q d KROK 1 Nechť {wj }∞ j=1 lineárně nezávislá množina ve W0,div (Ω; R ) splňující 1,q (Ω; Rd ). Pro pevné N ∈ N definujme Galerkinovy aproximace Lin{wj } = W0,div vN předpisem N X N j v (x) = cN (4.11) j w (x), j=1
přičemž koeficienty cN ∈ RN řeší soustavu rovnic Z Z Z N j N N j Dfδ (ε(v )) : ε(w ) dx − v ⊗ v : ε(w ) dx = g · wj dx, j = 1, . . . , N. Ω
Ω
Ω
(4.12) Nyní ukažme, že pro pevné N ∈ N existuje řešení soustavy (4.12). Definujme zobrazení P : RN → RN předpisem Z Z Z j j Pj (c) := Dfδ (ε(v)) : ε(w ) dx − v ⊗ v : ε(w ) dx − g · wj dx , Ω
kde v(x) =
Ω N X
Ω
cj wj (x), j = 1, . . . , N.
j=1
Abychom mohli použít Větu 3.5, musíme ukázat, že P je spojité a splňuje podmínku (3.15). N N l l→∞ Nejdříve dokažme spojitost P . Nechť {cl }∞ R , c ∈ R , c → c. Kažl=1 ⊂ PN l j l l dému c , l ∈ N, je přiřazena funkce v (x) := j=1 cj w (x) a c je přiřazena PN j v(x) := j=1 cj w (x). Potom Z l j |Pj (cl ) − Pj (c)| ≤ (Dfδ (ε(v )) − Dfδ (ε(v))) : ε(w ) dx Z Ω l l j + (v ⊗ v − v ⊗ v) : ε(w ) dx =: I1 + I2 . Ω
15
l→∞
1,q (Ω; Rd ), Ukažme I1 → 0. Definujme K(ε(u))(x) := Dfδ (ε(u(x))) pro u ∈ W0,div q podle Lemmatu 4.1 (d) je K spojitý operátor z Lq (Ω; Sd ) do L q−1 (Ω; Sd ). V našem l→∞ případě ε(vl ) → ε(v) v Lq (Ω; Sd ), potom z Hölderovy nerovnosti dostaneme
I1 ≤ kK(ε(vl )) − K(ε(v))k
l→∞
q
L q−1 (Ω;Sd )
kε(wj )kLq (Ω;Sd ) → 0.
l→∞
Ještě zbývá ukázat, že I2 → 0. X Z N l l j i k I2 = (ci ck − ci ck ) w ⊗w : w dx Ω
i,k=1
l→∞
Z konvergence cl → c v RN okamžitě plyne, že I2 jde k nule, a tudíž zobrazení P je spojité. Nyní ověříme, že P splňuje podmínku (3.15), c ∈ RN je přiřazena funkce v = P N j j=1 cj w . Z Z Z P (c) · c = Dfδ (ε(v)) : ε(v) dx − v ⊗ v : ε(v) dx − g · v dx Ω
Ω
Ω
Po použití (a) Lemmatu 4.1, Lemmatu 4.2 a Kornovy nerovnosti (3.1) dostáváme Z Z Z q−2 P (c) · c = Dfδ (ε(v)) : ε(v) dx− g · v dx ≥ δq (1 + |ε(v)|2 ) 2 |ε(v)|2 dx Ω
Ω
Ω
−kgk∞ kvk1 ≥ ckε(v)kqq −kgk∞ kvk1 ≥ ck∇vkqq − kgk∞ kvk1
N
q
N
X cj
X cj j q j
≥ c|c| ∇w −kgk∞ |c| w
. |c| |c| q 1 j=1 j=1
(4.13)
Ukažme, že existuje konstanta M > 0 taková, že pro všechna c ∈ Rd , c 6= 0
N
q
X cj
j
≥ M. ∇w
|c|
(4.14)
q
j=1
P j q Jelikož je funkce H(α) := k N j=1 αj ∇w kLq (Ω;Rd×d ) spojitá pro α ∈ S = {y ∈ RN , |y| = 1}, nabývá funkce H na kompaktní množině S minima a minimální hodnotu označme M . Ukažme, že je toto minimum kladné. K tomu bude stačit ukázat, že ∀α ∈ S je H(α) > 0. Pro spor předpokládejme, že existuje α ˜ ∈ S tak, 16
že H(˜ α) = 0. Z ekvivalence norem k∇ · kq a k · k1,q na W01,q (Ω; Rd ) dostaneme PN ˜ j wj = 0 s.v. na Ω. To implikuje α ˜ j = 0 j = 1, · · · , N , jelikož množina j=1 α j N Máme tedy spor s předpokladem α ˜ ∈ S a (4.14) {w }j=1 je z lineárně nezávislá. cj platí. Dále zřejmě |c| ≤ 1 a protože |c|q jde pro q > 1 k nekonečnu rychleji než |c| plyne z (4.13) podmínka (3.15). KROK 2 Ukážeme, že vN je omezená ve W01,q (Ω; Rd ). Násobením j-té rovnice v (4.12) koeficientem cN j a součtem přes j obdržíme, při použití Lemmatu 4.2, Z Z N N Dfδ (ε(v )) : ε(v ) dx = g · vN dx. (4.15) Ω
Ω
Levou stranu (4.15) odhadneme zdola, použijeme přitom bod (a) Lemmatu 4.1 a Kornovu nerovnost z Lemmatu 3.1 Z Z q−2 N N Dfδ (ε(v )) : ε(v ) dx ≥ c (1 + |ε(vN )|2 ) 2 |ε(vN )|2 dx ≥ ck∇vN kqq . (4.16) Ω
Ω
Pravou stranu (4.15) odhadneme shora pomocí Poincarého a Youngovy nerovnosti Z g · vN dx ≤ ckgk∞ kvN k1 ≤ ckgk∞ kvN k1,q ≤ ckgk∞ k∇vkq Ω q q−1 . ≤ γk∇vN kqq + c(γ −1 )kgk∞
(4.17)
Pro γ ∈ (0, 1) dostatečně malé pak z (4.16) a (4.17) dostáváme sup kvN kW 1,q (Ω;Rd ) ≤ c < ∞. N
0
(4.18)
1,q KROK 3 Díky reflexivitě W0,div (Ω; Rd ) implikuje (4.18) existenci podposloup1,q nosti {vNk } ⊂ {vN } a uδ ∈ W0,div (Ω; Rd ) takových, že
) 1,q vNk * uδ ve W0,div (Ω; Rd ) vNk → uδ v Lq (Ω; Rd ) pro k → ∞.
17
(4.19)
Definujme operátor T předpisem Z hT u, ϕi := Dfδ (ε(u)) : ε(ϕ) dx Ω 1,q 1,q Potom T : W0,div (Ω; Rd ) → (W0,div (Ω; Rd ))∗ . Nejdříve ukažme spojitost T . Nechť k→∞
1,q uk → u ve W0,div (Ω; Rd ), opět položíme K(ε(uδ ))(x) := Dfδ (ε(uδ (x)), podle q (d) Lemmatu 4.1 je K spojitý operátor z Lq (Ω; Sd ) do L q−1 (Ω; Sd ) a můžeme provést odhad D E k→∞ k T u − T u, ϕ ≤ kK(ε(uk )) − K(ε(u))k q kε(ϕ)kLq (Ω;Sd ) → 0. L q−1 (Ω;Sd ) 1,q Dále z (4.18) plyne kT vN k(W 1,q (Ω;Rd ))∗ ≤ c < ∞. Pro ϕ ∈ W0,div (Ω; Rd ), kϕk1,q ≤ 0,div 1 totiž platí D Z E Z N T vN , ϕ = Dfδ (ε(vN )) : ε(ϕ) dx ≤ c (1 + |ε(vN )|2 ) q−2 2 |ε(v )||ε(ϕ)| dx Ω
Ω
Z
N
(1 + |ε(v )|)
≤c
q−1
Z
N
q
(1 + |ε(v )|) dx
|ε(ϕ)| dx ≤ c
q−1 q kε(ϕ)kLq (Ω) ,
Ω
Ω
tedy N
kT v k(W 1,q
d ∗ 0,div (Ω;R ))
=
sup 1,q ϕ∈W0,div (Ω;Rd ),kϕk
W
D E N T v , ϕ ≤ c < ∞.
≤1 1,q (Ω;Rd ) 0,div
Předchozí odhad implikuje existenci podposloupnosti {T vNk } ⊂ {T vN } a Ψ ∈ ∗ 1,q W0,div (Ω; Rd ) takových, že 1,q T vNk * Ψ ve (W0,div (Ω; Rd ))∗ .
(4.20)
Navíc je operátor T je monotónní, neboť Z Z 1 d Dfδ ε(v) + sε(u − v) : ε(u − v) ds dx hT u − T v, u − vi = ds ZΩ Z0 1 = D2 fδ (ε(v) + sε(u − v) (ε(u − v), ε(u − v)) ds dx Ω 0 Z Z 1 q−2 2 (1 + |ε(v) + sε(u − v)|2 ) 2 ds dx ≥ 0. ≥ c |ε(u − v)| Ω
0
18
KROK 4 Nyní máme vše připraveno k provedení limitního přechodu v systému q Nk q−1 rovnic (4.12). S využitím silné konvergence {v } v L (Ω; Rd ) a vnoření W 1,q do L∞ proveďme v konvektivním členu limitní přechod k → ∞. Z j N N (v k ⊗v k −uδ ⊗uδ ) : ε(w ) dx Ω Z Z j Nk Nk ≤ |v ||v − uδ ||ε(w )| dx+ |uδ ||vNk −uδ ||ε(wj )| dx Ω
Ω
≤ kv
Nk
k∞ kv
Nk
−uδ k
q q−1
j
j q kε(w )k , kε(w )kq +kuδ k∞ kvNk −uδ k q−1 q (4.21)
q což jde k nule, neboť pro námi uvažované q ≥ 2 je q−1 ≤ q. Nyní zbývá ukázat, že pro Ψ z (4.20) je Ψ = T (uδ ). Se znalostí (4.19), (4.20) a (4.21) obdržíme limitním přechodem k → ∞ v (4.12) Z D E Z j j Ψ, w − uδ ⊗ uδ : ε(w ) dx = g · wj dx ∀j ∈ N, Ω
Ω
tudíž platí také Z Z 1,q g · ϕ dx ∀ϕ ∈ W0,div (Ω; Rd ), hΨ, ϕi − uδ ⊗ uδ : ε(ϕ) dx =
(4.22)
Ω
Ω
a speciálně pro ϕ = uδ díky Lemmatu 4.2 Z hΨ, uδ i = g · uδ dx.
(4.23)
Ω
Z monotonie T dostáváme D E 1,q T vNk − T v, vNk − v ≥ 0, ∀v ∈ W0,div (Ω; Rd ), a z (4.15) již víme, že D
Tv
Nk
,v
Nk
E
Z =
g · vNk dx,
Ω
proto platí Z D E D E 1,q 0≤ g · vNk dx − T vNk , v − T v, vNk − v ∀v ∈ W0,div (Ω; Rd ). Ω
19
Pro k → ∞ plyne z předchozí nerovnosti Z 1,q 0≤ g · uδ dx − hΨ, vi − hT v, uδ − vi ∀v ∈ W0,div (Ω; Rd ). Ω
Rovnost (4.23) implikuje 1,q (Ω; Rd ). 0 ≤ hΨ, uδ − vi − hT v, uδ − vi = hΨ − T v, uδ − vi ∀v ∈ W0,div 1,q (Ω; Rd ) je libovolná, λ ∈ R, potom Zvolme v = uδ ± λϕ, kde ϕ ∈ W0,div
0 ≤ ± Ψ − T (uδ ± λϕ), ϕ Nechť λ → 0 potom spojitost T implikuje 1,q 0 = hΨ − T uδ , ϕi ∀ϕ ∈ W0,div (Ω; Rd )),
odtud Ψ = T uδ . Dosazením T uδ namísto Ψ v (4.22) zjistíme, že uδ je slabé řešení úlohy 4.4. KROK 5 Nyní zbývá ukázat stejnoměrný odhad 4.10. Pro ϕ = uδ ve slabé formulaci (4.4) je s využitím odhadu (c) Lemmatu 4.1 a Lemmatu 4.2 Z Z p −1 |ε(uδ )| dx ≤ c 1 + Dfδ (ε(uδ )) : ε(uδ ) dx Ω ZΩ −1 (4.24) =c 1 + g · uδ dx . Ω
Proveďme odhad posledního členu na pravé straně. Z Z g · uδ dx ≤ ckgk∞ kuδ k1,p ≤ ckgk∞ k∇uδ kp ≤ γ |ε(uδ )|p dx+c(γ −1 ) Ω
Ω
Pro γ dostatečně malé potom z (4.24) a Kornovy nerovnosti (3.1) je sup kuδ kW 1,p (Ω;Rd ) ≤ c < ∞. δ∈(0,1)
20
4.2
Vylepšení regularity řešení aproximativní úlohy
Nejprve provedeme rekonstrukci tlaku pδ . K tomu využijeme Lemma o existenci tlaku [11, Lemma 1.1]. d Lemma 4.4. Nechť Ω ⊂ R má lipschitzovskou hranici, q ∈ (1, ∞) a nechť 1,q d ∗ F ∈ W0 (Ω; R ) je takový, že 1,q (Ω; Rd ) : hF, ϕi = 0. (4.25) ∀ϕ ∈ W0,div n o R 0 Pak existuje právě jedna funkce p ∈ v ∈ Lq (Ω); Ω v dx = 0 taková, že
Z hF, ϕi =
p div ϕ dx, ∀ϕ ∈ W 1,q (Ω; Rd ).
Ω
S využitím minulého lemmatuo ukážeme existenci funkce pδ : Ω → R takové, n R q že pδ ∈ v ∈ L q−1 (Ω); Ω v dx = 0 splňující Z
Z
σδ − uδ ⊗ uδ : ε(ϕ) dx − Ω
Z g · ϕ dx =
Ω
pδ div ϕ dx.
(4.26)
B(x, R)
Označme σδ = Dfδ (ε(uδ )). Definujme funkcionál Φ předpisem Z Z hΦ, ϕi := σδ − uδ ⊗ uδ : ε(ϕ) dx − g · ϕ dx. B(x0 ,R)
(4.27)
B(x0 ,R) q
q
Růstová podmínka (4.9) implikuje σδ ∈ L q−1 (Ω; Sd ). Zřejmě je uδ ⊗uδ ∈ L q−1 (Ω; Rd×d ) a připomeňme, že g ∈ L∞ (Ω; Rd ). Z těchto informací plyne Φ ∈ (W01,q (B(x0 , R); Rd ))∗ . 1,q Pro každou ϕ ∈ W0,div (Ω; Rd ) vychází díky (4.4) hΦ, ϕi = 0. Následující [2, Lemma 3.1] bychom získali po otestování rovnice (4.26) funkcí ∂k uδ , k ∈ {1, . . . , d}. Tento postup by ale nebyl korektní, neboť nevíme zda ∂k uδ je vhodná testovací funkce v (4.26). Za testovací funkci v (4.26) je třeba vzít vhodný diferenční podíl a poté ukázat, že je možné ho nahradit příslušnou derivací. Podobné úvahy provedeme v Lemmatu 4.7 Lemma 4.5. Za předpokladů Věty 4.3 platí: 2,2 (i) uδ ∈ Wloc (Ω; Rd );
21
q
1,2 (Ω) a (ii) (1 + |ε(uδ )|2 ) 4 ∈ Wloc q q−4 q ∇(1 + |ε(uδ )|2 ) 4 = (1 + |ε(uδ )|2 ) 4 |ε(uδ )|∇|ε(uδ )|; 2
1,
q
(iii) Dfδ (ε(uδ )) ∈ Wlocq−1 (Ω; Sd ) a ∀ρ ∈ Sd ∂k [Dfδ (ε(uδ ))] : ρ = D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ρ),
k = 1, . . . , d.
Ještě uveďme [2, Lemma 3.2], ze kterého plyne stejnoměrná omezenost uδ v vzhledem k δ ∈ (0, 1).
d L∞ loc (Ω; R )
Lemma 4.6. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 4.3 a platí (1.4). Potom pro Ω0 ⊂⊂ Ω existuje c nezávislá na δ tak, že Z dp |∇uδ | d−p ≤ c. (4.28) Ω0
Poznámka 2. Jelikož exponent
dp v minulém d−p dp 1, d−p ∞
(1.4) větší než d, díky vnoření W do L konstanta c nezávislá na δ tak, že platí
kuδ kL∞ (Ω0 ;R) ≤ c.
lemmatu je pro p uvažované v existuje pro každou Ω0 ⊂⊂ Ω
(4.29)
V důkazu věty se stejnoměrným odhadem uδ využijeme nerovnost Caccioppoliho typu obsaženou v následujícím lemmatu, citujeme [2, Lemma 3.3]. V jeho důkazu jsou použity techniky z důkazů [2, Lemma 3.1, Lemma 3.3]. Lemma 4.7. Nechť B(x0 , R) ⊂⊂ Ω a 0 < r < r0 < R < 1, k ∈ {1, . . . , n}. Pak existuje γ > 0 takové, že Z D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) dx B(x0 ,r) Z q−2 0 −2 ≤ c1 (r − r) Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx + c2 (r0 )γ , (4.30) B(x0 ,r0 )
kde Γδ = 1+|ε(uδ )|2 , c1 , c2 jsou konstanty nezávislé na δ a Q ∈ Rd×d je libovolná matice.
22
Důkaz. KROK 1 Slabou formulaci (4.26) použijeme v důkazu nerovnosti (4.30). Nejdříve ukažme, že můžeme vylepšit regularitu tlaku. Formulace v (4.26) a (iii) v Lemmatu 4.5 implikují s.v. v Ω ∇pδ = div(σδ − uδ ⊗ uδ ) + g.
(4.31)
Z (iii) Lemmatu 4.5 a předpokladu g ∈ L∞ (Ω; Rd ) vyplývá 1,
q
pδ ∈ Wlocq−1 (Ω).
(4.32)
Díky regularitě z Lemmatu 4.5 víme, že klasická formulace rovnice v (4.4) platí bodově s.v. v Ω a je možné ji derivovat ve slabém smyslu. Pro získání nerovnosti (4.42) bychom chtěli otestovat výslednou (4.31) s ∆uδ , ale informace v Lemmatu 4.5 pro tento postup nestačí, jelikož pro pevné k ∈ {1, . . . , d} není zřejmé, že ∂k σδ : ε(∂k uδ ) ∈ L1loc (Ω). Budeme proto pracovat s diferenčními podíly a později ukážeme, že je možné diferenční podíly nahradit derivací. Zvolme libovolnou d×d matici Q a funkci η ∈ C0∞ (B(x0 , r0 )) takovou, že η ≡ 1 v B(x0 , r) a |∇η| ≤ c(r0 − r)−1 , kde r, r0 jsou z předpokladu lemmatu. Volbou ϕ = ∆−h η 2 ∆h (uδ − Qx) pro h < 21 (R − r0 ), to je vhodná testovací funkce v (4.26), dostaneme Z Z 2 ∆h σδ − uδ ⊗uδ : ε η ∆h (uδ − Qx) dx + g·∆−h η 2 ∆h (uδ − Qx) dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z = ∆h pδ div η 2 ∆h (uδ − Qx) dx. (4.33) B(x0 ,r0 )
23
Navíc platí ε(∆h uδ ) = ε ∆h (uδ − Qx) , div ∆h (uδ − Qx) = 0 a z (4.33) vyplývá Z Z 2 η ∆h σδ : ε(∆h uδ ) dx = η 2 ∆h σδ : ε ∆h (uδ − Qx) dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z ∆h σδ : ε η 2 ∆h (uδ − Qx) dx = B(x0 ,r0 ) Z ∆h σδ : ∇η ∆h (uδ − Qx) η dx −2 B(x0 ,r0 ) Z ∆h (uδ ⊗ uδ ) : ε η 2 ∆h (uδ − Qx) dx = B(x ,r0 ) Z 0 − g · ∆−h η 2 ∆h (uδ − Qx) dx B(x ,r0 ) Z 0 + ∆h pδ div η 2 ∆h (uδ − Qx) dx B(x0 ,r0 ) Z −2 ∆h σδ : ε ∇η ∆h (uδ − Qx) η dx B(x0 ,r0 ) Z = −2 ∆h σδ : ∇η ∆h (uδ − Qx) η dx B(x0 ,r0 ) Z + ∆h (uδ ⊗ uδ ) : ε η 2 ∆h (uδ − Qx) dx B(x ,r0 ) Z 0 − g · ∆−h η 2 ∆h (uδ − Qx) dx B(x0 ,r0 ) Z +2 ∆h pδ 1 : ∇η ∆h (uδ − Qx) η dx. (4.34) B(x0 ,r0 )
KROK 2 Nyní proveďme limitní přechod h → 0. Začněme u členu na levé straně rovnosti (4.34). Platí ∆h σδ : ε(∆h uδ ) ≥ 0, (4.35) neboť Z
1
∆h σδ : ε(∆h uδ ) = D2 fδ (ε(uδ ) + thε(∆h uδ ))(ε(∆h uδ ), ε(∆h uδ )) dt 0 Z 1 p−2 ≥ (1 + |ε(uδ ) + thε(∆h uδ )|) 2 |ε(∆h uδ )|2 dt 0
a člen na pravé straně poslední nerovnosti je zřejmě nezáporný, odtud dostáváme 24
(4.35). Dále s.v. v B(x0 , r0 ) platí h→0
∆h σδ : ε(∆h uδ ) → ∂k σδ : ε(∂k uδ ).
(4.36) 1,
q
K důkazu tohoto tvrzení použijeme Větu 3.4. Podle Lemmatu 4.5 je σδ ∈ Wlocq−1 (Ω; Sd ) 2,2 a uδ ∈ Wloc (Ω; Rd ). Zvolíme nejdřív ϕ = ∂k σδ , ψ h = ∆h σδ a poté ϕ = ε(∂k uδ ), ψ h = ε(∆h uδ ) dostáváme konvergenci q
h→0
∆h σδ → ∂k σδ v L q−1 (B(x0 , r0 ); Sd ) respektive h→0
ε(∆h uδ ) → ε(∂k uδ ) v L2 (B(x0 , r0 ); Rd ). Odtud plyne bodová konvergence pro s.v. x v B(x0 , r0 ) h→0
h→0
∆h σδ (x) → ∂k σδ (x) a ε(∆h uδ (x)) → ε(∂k uδ (x)), což implikuje (4.36). Použitím Fatouova lemmatu, v (4.35) a (4.36) jsou ověřeny jeho předpoklady, dostaneme Z Z 2 η 2 ∆h σδ : ε(∆h uδ ) dx. (4.37) η ∂k σδ : ε(∂k uδ ) dx ≤ lim inf h→0
B(x,r0 )
B(x,r0 )
V prvním a posledním členu na pravé straně v (4.34) provedeme limitní přechod zároveň. Označme τδ = σδ − pδ 1, pak z (iii) v Lemmatu 4.5 a (4.31) je zřejmě 1,
q
τδ ∈ Wlocq−1 (Ω; Rd ). Odhadněme Z |η∆h τδ : (∇η ∆h (uδ − Qx)) − η∂k τδ : (∇η ∂k (uδ − Qx))| dx B(x0 ,r0 ) Z = |η∆h τδ : ∇η (∆h (uδ − Qx) − ∂k (uδ − Qx)) B(x0 ,r0 )
+ η(∆h τδ − ∂k τδ ) : (∇η ∂k (uδ − Qx)))| dx q−1 Z Z q q 0 −1 q−1 ≤ c(r − r) |∆h τδ | dx B(x0 ,r0 ) 0
−1
|∆h τδ − ∂k τδ |
q q−1
1
|∆h uδ − ∂k uδ | dx
q−1 Z q
q
1q
|∂k (uδ − Qx)| dx
dx
B(x0 ,r0 ) q−1
1q
B(x0 ,r0 )
Z
+ c(r − r)
q
B(x0 ,r0 ) q−1
1
=: c(r0 − r)−1 (I1 q I2q + I3 q I4q )
(4.38) 25
q
Jelikož je τδ ∈ W 1, q−1 (B(x0 , R); Rd ), máme I1 omezený stejnoměrně vzhledem h→0 h→0 1,q k h a I3 → 0. Protože je uδ ∈ W0,div (Ω; Rd ), máme I2 → 0 a omezenost I4 . Ukázali jsme tedy Z Z h→0 η∆h τδ : ∇η ∆h (uδ −Qx) dx → η∂k τσ : ∇η ∂k (uδ −Qx) dx. B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
(4.39) Nyní proveďme limitní přechod ve druhém členu na pravé straně (4.34). Nejdřív odhadněme Z |∆h (uδ ⊗ uδ ) : ε(η 2 ∆h uδ ) − ∂k (uδ ⊗ uδ ) : ε(η 2 ∆h uδ )| dx 0 B(x0 ,r ) Z |∆h (uδ ⊗ uδ ) : ε(η 2 ∆h uδ ) − ε(η 2 ∂k uδ ) = B(x0 ,r0 ) + ∆h (uδ ⊗ uδ ) − ∂k (uδ ⊗ uδ ) : ε(η 2 ∂k uδ ) dx 12 Z 21 Z 2 2 2 2 ≤ |∆h (uδ ⊗ uδ )| dx |ε(η ∆h uδ ) − ε(η ∂k uδ )| dx B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
Z
|∂k (uδ ⊗ uδ ) − ∆h (uδ ⊗ uδ )|2 dx
+ B(x0
,r0 )
≤
B(x0
B(x0
,r0 )
B(x0
Z
21
2
|ε(∆h uδ ) − ε(∂k uδ )| dx
+
|ε(η 2 ∂k uδ )|2 dx
12
,r0 )
|∆h uδ − ∂k uδ |2 dx ,r0 )
Z +c
B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
|ε(η 2 ∂k uδ )|2 dx
12 Z 2 0 −1 c(r − r) |∆h uδ ||uδ | dx
Z
Z
12 Z
2 |∆h uδ − ∂k uδ ||uδ | dx
12
B(x0 ,r0 )
21
1
1
1
1
=: cI12 ((r0 − r)−1 I2 + I3 ) 2 + cI42 I52 .
Z (i) Lemmatu 4.5 víme, že uδ ∈ W 2,2 (B(x0 , R); Rd ), to implikuje stejnoměrnou omezenost vzhledem k h pro I1 a I5 . Dále to implikuje, že členy I2 , I3 , I4 jdou k nule pro h → 0. Máme dokázáno Z Z h→0 2 ∆h (uδ ⊗uδ ) : ε(η ∆h uδ ) dx → ∂k (uδ ⊗uδ ) : ε(η 2 ∂k uδ ) dx. (4.40) B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
Proveďme limitní přechod ve zbývajícím členu na pravé straně (4.34). Nejdříve
26
odhadněme Z Z 2 2 |g∆−h (η ∆h uδ ) − g∂k (η ∂k uδ )| dx = B(x0 ,r0 ) + η 2 (∆h (∆−h uδ )
|g||∆−h (η 2 )(∆h uδ − ∂k uδ )
B(x0 ,r0 ) 2 ∂k uδ (∆−h (η ) − ∂k (η 2 ))
− ∂k (∆−h uδ )) + Z 2 + η (∆−h ∂k uδ − ∂k ∂k uδ )| dx ≤ c
2
|∆−h η |
q q−1
q−1 q dx
B(x0 ,r0 )
Z
q
1q
|∆h uδ − ∂k uδ | dx
Z
|∆h (∆−h uδ ) − ∂k (∆−h uδ )| dx
+
B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
Z
q
1q Z
2
q−1 q
q q−1
dx
B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
Z
2
12
q
1
1
1
q−1
1
= c(I1q−1 I2q + I32 + I4q I5 q + I62 )
|∆−h ∂k uδ − ∂k ∂k uδ | dx
+
2
|∆−h (η ) − ∂k (η )|
|∂k uδ | dx
+
12
2
B(x0 ,r0 )
Hladkost η zaručuje stejnoměrnou omezenost vzhledem k h pro I1 a dále také h→0 h→0 1,q to, že I5 → 0. Ze znalosti uδ ∈ W0,div (Ω; Rd ) dostaneme I2 → 0 a omezenost h→0
h→0
I4 , z uδ ∈ W 2,2 (B(x0 , R); Rd ) dostaneme I3 → 0, I6 → 0. Ukázali jsme tedy Z Z h→0 2 g · ∆−h η ∆h uδ dx → g · ∂k η 2 ∂k uδ dx. (4.41) B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
Celkem dostaneme z (4.37), (4.39), (4.40) a (4.41) Z Z 2 η ∂k σδ : ε(∂k uδ ) dx ≤ −2 ∂k σδ 1 : ∇η ∂k (uδ − Qx) η dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z + ∂k (uδ ⊗ uδ ) : ε η 2 ∂k (uδ − Qx) dx B(x ,r0 ) Z 0 − g · ∂k η 2 ∂k (uδ − Qx) dx B(x0 ,r0 ) Z +2 ∂k pδ 1 : ∇η ∂k (uδ − Qx) η dx (4.42) B(x0 ,r0 )
KROK 3 Postupně odhadneme všechny členy na pravé straně nerovnosti (4.42). Pro odhad prvního si nejdříve odvodíme následující nerovnost 2−q 4
Γδ
|∇σδ | ≤ c
d X k=1
27
1 ∂k σδ : ε(∂k uδ ) 2 .
(4.43)
Podle formule z Lemmatu 4.5 (iii) a odhadu z Lemmatu 4.1 (b) dostaneme 2−q
2−q
2−q
Γδ 2 |∂k σδ |2 = Γδ 2 ∂k σδ : ∂k σδ = cΓδ 2 D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k σδ ) 2−q 1 1 ≤ cΓδ 2 D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) 2 D2 fδ (ε(uδ ))(∂k σδ , ∂k σδ ) 2 2−q 1 ≤ cΓδ 4 D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) 2 |∂k σδ |, tedy (4.43). V odhadu prvního členu na pravé straně (4.42) použijeme Youngovu nerovnost. Z ∂k σδ : ∇η ∂k (uδ − Qx) η dx B(x0 ,r0 ) Z Z 2−q q−2 2 2 2 ≤α η |∇σ| Γδ dx + c(α) |∇η|2 Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx B(x0 ,r0 )
Z
(4.43)
≤ cα
B(x,r0 )
Z
2
q−2
η ∂k σδ : ε(∂k uδ ) dx + c(α) B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
|∇η|2 Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx (4.44)
α zvolíme tak malé, aby bylo možné zahrnout první integrál na pravé straně poslední nerovnosti do levé strany (4.42). Nyní proveďme odhad druhého členu na pravé straně (4.42). Z 2 ∂k (uδ ⊗ uδ ) : ε η ∂k (uδ − Qx) dx B(x0 ,r0 )
(4.29)
Z
Z
2
≤ c |∇uδ |η|∇η||∇uδ − Q| dx + |∇uδ |η |∇ε(uδ )| dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z Z 2 0 2 |∇uδ | dx + (r − r) |∇uδ − Q|2 dx ≤c B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z p−2 2−p 2 4 4 η |∇uδ |Γδ |∇ε(uδ )|Γδ dx + B(x0 ,r0 )
Na poslední integrál použijeme Youngovu nerovnost s β, dále růstovou podmínku
28
v (4.6) a (b) z Lemmatu 4.1 Z 2 ∂k (uδ ⊗ uδ ) : ε η ∂k (uδ − Qx) dx 0 B(x0 ,r ) Z Z 2 0 −2 ≤c |∇uδ | dx + (r − r) |∇uδ − Q|2 dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z Z 2−p 2 2 +β η ∂k σδ : ε(∂k uδ ) dx + c(β) Γδ dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z 2 =: c I1 + I2 + β η ∂k σδ : ε(∂k uδ ) dx + I3 , B(x0 ,r0 )
kde Z |∇uδ |
I1 ≤ c
dp d−p
2(d−p) pd dx
(r0 )
pd−2(d−p) p
(4.28)
≤ c(r0 )
pd−2(d−p) p
,
B(x0 ,r0 ) q−2
připomeňme, že Γδ 2 ≥ 1, odhadujme Z 0 −2 I2 ≤ (r − r)
q−2
B(x0 ,r0 )
Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx,
na I3 použijeme Hölderovu nerovnost a dostaneme Z B(x0 ,r0 )
2−p 2
Γδ
0 d
dx ≤ c(r )
2(p−1) p
Z
p 2
B(x0 ,r0 )
Γδ dx
2−p 2
(4.10)
≤ c(r0 )d
2(p−1) p
.
Celkem vychází Z 2 ∂k (uδ ⊗ uδ ) : ε η ∂k (uδ − Qx) dx 0 B(x0 ,r ) Z q−2 2(p−1) 0 −2 ≤ c(r − r) Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx + (r0 ) p + βI0 ,
(4.45)
(4.46)
B(x0 ,r0 )
protože β je voleno tak, aby člen s β bylo možné zahrnout do levé strany (4.42). Odhadneme třetí člen na pravé straně (4.42). Z Z 2 2 2 g · ∂k η ∂k (uδ − Qx) dx ≤ c η|∇η||∇uδ − Q| + η |∇ uδ | dx B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
=: c(I1 + I2 ), 29
kde
I1 ≤ c (r − r) |∇uδ − Q| dx + |B(x, r )| B(x0 ,r0 ) Z q−2 2 0 d 0 −2 2 ≤ c (r − r) Γδ |∇uδ − Q| dx + (r ) , 0
−2
Z
0
2
B(x0 ,r0 )
Z
Z
2
I2 ≤ c
η |∇ε(uδ )| dx ≤ γ B(x0 ,r0 )
p−2 2
2
B(x0 ,r0 )
η Γδ
2
Z
2−p
|∇ε(uδ )| dx+c(γ) B(x0 ,r0 )
Γδ 2 dx.
Nerovnost |∇2 uδ | ≤ c|∇ε(uδ )|
(4.47)
plyne okamžitě z identity ∂j ∂k uiδ = ∂j εik (uδ ) + ∂k εij (uδ ) − ∂i εjk (uδ ). Poslední integrál odhadneme stejně jako v (4.45) a dostaneme Z 2(p−1) 2 g · ∂k η ∂k (uδ − Qx) dx ≤ c(r0 ) p + c(r0 )d B(x0 ,r0 ) Z Z q−2 2 0 −2 : η ∂k σδ ε(∂k uδ ) dx + c(r − r) Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx, +γ B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
(4.48) opět volíme γ tak, aby bylo možné člen s γ zahrnout do levé strany (4.42). Odhadněme ještě zbylý člen na pravé straně (4.42), použijeme rovnici v (4.31). Z ∂k pδ 1 : ∇η ∂k (uδ − Qx) η dx B(x0 ,r0 ) Z Z ≤c |∇σδ ||∇η||∇uδ − Q|η dx + c |∇(uδ ⊗uδ )||∇η||∇uδ − Q|η dx B(x0 ,r0 ) B(x0 ,r0 ) Z +c |g||∇η||∇uδ − Q|η dx =: I1 + I2 + I3 . B(x0 ,r0 )
Z I1 ≤ cβ B(x0 ,r0 )
2
2
2−q 2
η |∇σ| Γδ
Z dx + c(β) B(x0 ,r0 )
30
q−2
|∇η|2 |∇uδ − Qx|2 Γδ 2 dx.
Odtud dostaneme použitím (4.43) stejný odhad jako pro první člen v nerovnosti q−2
(4.42). Připomeňme, že Γδ 2 ≥ 1, odhadujme Z
(4.29)
0
2
−2
Z
|∇uδ − Q|2 dx
|∇uδ | dx + c(r − r)
I2 ≤ c B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r0 )
Z ≤
|∇uδ |
dp d−p
2(d−p) pd
0
(r )
dx
pd−2(d−p) p
0
−2
+ c(r − r)
B(x0 ,r0 ) (4.28)
≤ c(r0 )
Z B(x0 ,r0 )
pd−2(d−p) p
+ c(r0 − r)−2
Z
q−2 2
B(x0
,r0 )
Γδ
q−2
Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx
|∇uδ − Q|2 dx
a nakonec Z
0
I3 ≤ c
dx + c(r − r) B(x0 ,r0 ) Z 0 d 0 −2 ≤ c(r ) + c(r − r)
−2
Z
B(x0 ,r0 )
q−2
B(x0 ,r0 )
Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx
q−2
Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx,
konečně máme Z ∂k pδ 1 : ∇η ∂k (uδ − Qx) η dx B(x0 ,r0 ) Z q−2 dp−2(d−p) 0 −2 0 d 0 ≤ c(r ) + c(r ) p Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx + c(r − r) B(x0 ,r0 ) Z η 2 ∂k σδ : ε(∂k uδ ) dx. + cβ
(4.49) (4.50)
B(x0 ,r0 )
Z nerovností (4.42),(4.44),(4.46),(4.48),(4.50) zřejmě plyne nerovnost (4.30). Věta 4.8. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 4.3 a platí (1.4). Potom uδ ∈ 1,˜ q Wloc (Ω; Rd ) stejnoměrně vzhledem k δ ∈ (0, 1), kde q˜ = 3p v případě d = 3, pokud d = 2 je q˜ libovolné konečné číslo větší než 1. Důkaz. V důkazu použijeme hlavní kroky důkazu [4, Lemma 4.4]. Nejdříve se 3
p
2 (Ω). budeme zabývat případem d = 3. V tomto případě ukážeme Γδ ∈ Lloc 1 0 Buď B(x0 , 2R) ⊂⊂ Ω a R < 2 . Zvolme libovolně 0 < r < r < 2R. Uvažujme 0 0 funkci η ∈ C ∞ (B(x0 , r 2−r )) s kompaktním nosičem v B(x0 , r 2−r ) takovou, že
η ≡ 1 na B(x0 , r) a |∇η| ≤
c r0 −r
p
na B(x0 , 2R). Definujme funkci hδ := Γδ4 na Ω. 31
Odhadujme Z Z 3p 2 Γδ dx ≤
(ηhδ )6 dx ≤ c
B(x0 ,2R)
B(x0 ,r)
!3
Z
|∇(ηhδ )|2
dx
B(x0 ,2R)
Z
|∇(η)|2 h2δ dx +
≤c
!3
Z
η 2 |∇hδ |2 dx
=: c(I1 + I2 )3
B(x0 ,2R)
B(x0 ,2R)
Potom zřejmě k∇ηk2L∞ (B(x0 ,2R)
I1 ≤
Z
h2δ ) dx.
B(x0 ,2R)
Ještě zbývá odhad 2 Z 2 p 2 p4 −1 I2 = η (1 + |ε(uδ )| ) |ε(uδ )|∇|ε(uδ )| dx 2 B(x0 ,2R) Z p−2 2 ≤c Γ |∇ε(uδ )|2 dx δ 0 B(x0 , r
+r ) 2
(4.30)
≤ c (r0 − r)−2
Z
q−2 2
B(x0
,r0 )
Z 0 −2 ≤ c (r − r)
Γδ q 2
B(x0 ,r0 )
! |∇uδ − Q|2 dx + (r0 )γ
! q−2 q
! 2q
Z
|∇uδ − Q|
Γδ
+ (r ) . 0 γ
q
B(x0 ,r0 )
Podle Lemmatu 3.3 k uδ existuje antisymetrická matice B a a ∈ Rd tak, že kuδ − Bx − akLq (B(x0 ,r0 )) ≤ ckε(uδ )kLq (B(x0 ,r0 )) .
(4.51)
Potom po použití Kornovy nerovnosti (3.2) získáme k∇(uδ − Bx − a)kLq (B(x0 ,r0 )) = k∇uδ − BkLq (B(x0 ,r0 )) ≤ c kuδ − Bx − akLq (B(x0 ,r0 )) + kε(uδ )kLq (B(x0 ,r0 )) ≤ ckε(uδ )kLq (B(x0 ,r0 )) . Volbou Q = B dostaneme 0
−2
Z
I2 ≤ c (r − r)
B(x0 ,r0 )
q Γδ2 dx + (r0 )γ .
(4.52)
Tedy celkem Z
3p 2
Γδ dx B(x0 ,r)
! 13 0
−2
Z
p 2
≤ c(r − r)
Γδ dx + B(x0 ,2R)
Z B(x0 ,r0 )
q 2
Γδ dx + c0 (r0 )γ . (4.53)
32
Nyní odhadneme druhý člen na pravé straně. Předpoklad q > p a fakt, že z (4.2) plyne q < 3p, zaručuje existenci θ ∈ (0, 1) takového, že 1 θ 1−θ = + . q p 3p
(4.54)
Toto θ použijeme v interpolační nerovnosti 1
1
kΓδ2 kLq (B(x0 ,r0 );Rd ) ≤ kΓδ2 kθLp (B(x
1
0
,r0 );Rd
2 1−θ ) kΓδ kL3p (B(x0 ,r0 );Rd ) ,
ze které dostaneme Z
Z
q 2
B(x0 ,r0 )
Γδ dx ≤
!θ pq
p 2
Z
Γδ dx
B(x0 ,r0 )
3p 2
B(x0 ,r0 )
!(1−θ) 3pq
Γδ
.
(4.55)
v (1.4) respektive q < p d+2 je volena tak, aby platilo Podmínka q0 < p d+2 d d q (1 − θ) < 1. p
(4.56)
Pravou stranu (4.55) potom můžeme odhadnout pro δ ∈ (0, 1) za pomoci Youngovy nerovnosti výrazem ! 13 !κ Z Z 3p
δ
p
+ cδ −β
Γ 2 dx B(x0 ,r0 )
Γ 2 dx B(x0 ,r0 )
pro jisté β > 0 a κ > 0. Volbou δ = δ 0 (r0 − r)2 , δ 0 ∈ (0, 1) dostaneme ! 13 ! 31 Z Z Z 3p 3p 0 0 0 −β˜ 2 2 Γδ dx ≤cδ Γδ dx + c(δ )(r − r) B(x0 ,r0 )
B(x0 ,r) 0
−2
p 2
!κ
Γδ dx
+
B(x0 ,2R)
Z
p
c(r − r)
Γδ2 dx + C, B(x0 ,2R)
kde β˜ > 0. Nakonec položíme cδ 0 = Z
3p 2
Γδ dx B(x0 ,r)
13
Z
1 ≤ 2
3p 2
B(x0 ,r0 ) ˜ − max{β,2}
+ c(δ 0 )(r0 − r)
1 2
a jelikož |r0 − r| < 1, obdržíme ! 31
Γδ dx
( Z max B(x0 ,2R)
33
!κ Z Γδ dx , p 2
B(x0 ,2R)
p 2
Γδ dx
) + C.
Funkce f (t) definovaná předpisem Z
! 31
3p 2
f (t) :=
Γδ dx
pro t ∈ (0, 2R)
B(x0 ,t)
splňuje předpoklady Lemmatu 3.7, podle kterého dostáváme ∀r ∈ (0, R) ! 13 !κ Z ) ( Z Z p p 3p ˜ Γδ2 dx +C. ≤ c(R−r)− max{β,2} max Γ 2 dx Γδ2 dx , B(x0 ,r)
B(x0 ,2R)
B(x0 ,2R)
Integrál vyskytující se na pravé straně předchozí nerovnosti můžeme odhadnout ! Z Z p c (1 + |ε(uδ )|2 ) 2 dx ≤ c˜ 1 + |ε(uδ )|p dx . B(x0 ,2R)
B(x0 ,2R)
Podle Lemmatu 4.10 je pravá strana odhadnuta stejnoměrně vzhledem k δ, tedy i pro kuδ kW 1,3p (B(x0 ,R);Rd ) máme stejnoměrný odhad vzhledem k δ. Ještě zbývá případ kdy d = 2. Zvolíme χ > 1, pak ! 2χt Z Z Z pχ
(ηhδ )2χ dx ≤ c
Γδ2 dx ≤ B(x0 ,r)
B(x0 ,2R)
|∇(ηhδ )|t dx
,
B(x0 ,2R)
2t . Použitím Hölderovy nerovnosti v pokde t ∈ (1, 2) volíme tak, aby 2χ = 2−t sledním členu předchozí nerovnosti dostaneme !χ Z Z pχ Γδ2 dx ≤ c |∇(ηhδ )|2 dx , B(x0 ,r)
B(x0 ,2R)
dále pokračujeme jako v případě d = 3. Pro ověření (4.56) nejdříve poznameχ q−p pχ−q . Požadujeme tedy χ−1 = ( pq (1 − θ) < 1. Z (4.2) víme nejme, že θ = q(χ−1) p q−p p
< 1, dále p χ > 2p−q .
χ χ→∞ → χ−1
1 a tudíž (4.56) platí pro dostatečně velká χ. Stačí zvolit
Nakonec tohoto oddílu uveďme triviální důsledek [2, Corollary 3.1] předchozí věty. 3p Lemma 4.9. Nechť α ∈ 1, p+1 pro d = 3, α ∈ 1, 2 v případě d = 2. Potom pro každou Ω0 ⊂⊂ Ω existuje konstanta c nezávislá na δ tak, že kuδ kW 2,α (Ω0 ;Rd ) ≤ c.
34
4.3
Limitní přechod
Nyní se budeme zabývat existencí řešení systému (1.1). Ukážeme, že s využitím odhadů z Věty 4.8 můžeme provést limitní přechod δ → 0 v rovnici (4.4). Lemma 4.10. Pro f : Sd → [0, ∞) splňující podmínku anizotropního růstu (1.3) je Df homeomorfismus Sd na Sd . Důkaz. Nejdříve ukažme, že Df je prosté. Pokud jsou σ, ρ ∈ Sd , potom Z 1 d D(ρ + s(σ − ρ)) : (σ − ρ) ds (Df (σ) − Df (ρ)) : (σ − ρ) = 0 ds Z 1 Z 1 p−2 2 = D f (ρ + s(σ − ρ))(σ − ρ, σ − ρ) ds ≥ c(1 + |ρ + s(σ − ρ)|2 ) 2 ds|σ − ρ|2 . 0
0
A aplikací Cauchy-Schwarzovy nerovnosti obdržíme odhad Z 1 p−2 (1 + |ρ + s(σ − ρ)|2 ) 2 ds|σ − ρ|. |Df (σ) − Df (ρ)| ≥ c
(4.57)
0
Tedy Df (σ) = Df (ρ) implikuje σ = ρ a Df je tudíž prosté. Nyní ukažme, že Df je na. Nechť ρ ∈ Sd , ukážeme, že existuje σ0 ∈ Sd tak, že Df (σ0 ) = ρ. Pro důkaz tohoto tvrzení použijeme Větu 3.5. Definujme zobrazení P : Sd → Sd předpisem P (σ) := Df (σ) − ρ. Ověřme splnění podmínky (3.15). Použijeme odhad (4.8) a Cauchy-Schwartzovu nerovnost, dostaneme P (σ) : σ = (Df (σ) − ρ) : σ ≥ c(|σ|p − 1) − ρ : σ ≥ c|σ|p − |ρ||σ| − c. Jelikož je p > 1 a |σ|p jde k nekonečnu rychleji než σ, určitě existuje r tak, že pro |σ| = r je výraz na pravé straně poslední nerovnosti nezáporný a podle Věty 3.5 tedy existuje σ0 takové, že Df (σ0 ) − ρ = 0 a máme dokázáno, že Df je na. Nakonec ověřme, že (Df )−1 je spojité zobrazení. Z předpokladu f ∈ C 2 (Sd ) zřejmě vyplývá Df ∈ C 1 (Sd ; Sd ). Z podmínky (1.3) plyne, že ∀σ, ρ ∈ Sd , ρ 6= 0 : D2 f (σ)(ρ, ρ) > 0, to znamená, že D2 f je pozitivně definitní matice pro libovolné σ ∈ Sd a nutně musí být regulární. Podle Věty o inverzním zobrazení dostaneme (Df )−1 ∈ C 1 (Sd , Sd ). Ukázali jsme dokonce, že Df je difeomorfismus. 35
Věta 4.11. Za předpokladů Věty 4.3 existuje posloupnost {uδn }∞ n=1 řešení (4.4) 0 s δ = δn taková, že pro δn → 0, ∀Ω ⊂⊂ Ω ¯ ve W 1,˜q (Ω0 ; Rd ) uδn * u ¯ ve W 2,α (Ω0 ; Rd ) uδn * u q
Dfδn (ε(uδn )) * Df (ε(¯ u)) ve W 1, q−1 (Ω0 ; Sd ), 3p kde pro d = 3 máme q˜ = 3p, α ∈ (1, p+1 ), pro d = 2 je q˜ ∈ (1, ∞) a α ∈ (1, 2). ¯ je slabé řešení úlohy (4.1). Navíc u
Důkaz. V důkazu jsou použity hlavní kroky důkazu [2, Theorem 1.3]. Existence slabě konvergentní posloupnosti {uδn }∞ n=1 plyne ze stejnoměrného odhadu ve Větě 4.8, Lemmatu 4.9, reflexivity W 1,˜q (Ω0 ; Rd ) a W 2,α (Ω0 ; Rd ) pro každou Ω0 ⊂⊂ 1,˜ q 1,q 1,˜ q Ω. Díky vnoření Wloc (Ω; Rd ) do Wloc (Ω; Rd ), kompaktnímu vnoření Wloc (Ω; Rd ) q d do Lloc (Ω; R ) máme existenci vybrané posloupnosti {uδn }, že pro δn → 0 a pro každou Ω0 ⊂⊂ Ω ) ¯ ve W 1,q (Ω0 ; Rd ) uδn * u (4.58) ¯ v Lq (Ω0 ; Rd ). uδn → u Ještě ukažme
δ →0
˜ ε(uδn ) n* ε(¯ u) v Lqloc (Ω; Sd ).
(4.59)
q˜0
Zvolme B(x, R) ⊂ Ω a F ∈ L (B(x, R)); Sd ) potom Z Z X 1 F : ε(uδn ) dx = Fij (∂i ujδn + ∂j uiδn ) dx 2 B(x,r) B(x,r) i,j Z Z X 1 δn →0 j i Fij (∂i u¯ + ∂j u¯ ) dx = F : ε(¯ u) dx → 2 B(x,r) i,j B(x,r) a (4.59) platí. Odvoďme nerovnost 1 1 ∇ Dfδ (ε(uδ )) ≤ c D2 fδ (ε(uδ )) 2 D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) 2 .
(4.60)
Jelikož je D2 fδ (ε(uδ )) pozitivně definitní, to plyne z formule pro D2 fδ v Lemmatu 4.1 a růstové podmínky (1.3), a symetrická bilineární forma na Sd × Sd , můžeme
36
v následujícím použít Cauchy-Schwarzovu nerovnost. 2 ∂k Dfδ (ε(uδ )) = D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k Dfδ (ε(uδ )) ) 21 2 ≤ D fδ (ε(uδ ))((∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ ))) 1 D2 fδ (ε(uδ ))(∂k Dfδ (ε(uδ )) , ∂k Dfδ (ε(uδ )) ) 2 1 1 ≤ D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) 2 |D2 fδ (ε(uδ ))| 2 ∂k Dfδ (ε(uδ )) a odtud vychází (4.60). Nyní ukážeme, že stejnoměrně vzhledem k δ platí 1,
q
Dfδ (ε(uδ )) ∈ Wlocq−1 (Ω; Sd ).
(4.61)
Zvolme B(x0 , R) ⊂ Ω a nechť r, r0 jsou takové, že 0 < r < r0 < R. Potom integrováním (4.60) přes B(x0 , r) a použitím Hölderovy nerovnosti dostaneme Z
q ∇ Dfδ (ε(uδ )) q−1 dx ≤ c
Z
2
|D fδ (ε(uδ ))|
q q−2
q−2 2(q−1)
dx
B(x0 ,r)
B(x0 ,r)
Z
2
q 2(q−1)
D fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) dx B(x0 ,r) q−2
q
= cI12(q−1) · I22(q−1) . Pro I2 máme odhad z Lemmatu 4.7 Z q−2 0 −2 I2 ≤ c1 (r − r) Γδ 2 |∇uδ − Q|2 dx + c2 (r0 )γ . B(x0 ,r0 )
Obdobně jako v důkazu nerovnosti (4.52) obdržíme Z q 0 γ 2 I2 ≤ c Γδ dx + (r ) , B(x0 ,r0 )
kde konstanta c nezávisí na δ a stejnoměrná omezenost integrálu na pravé straně vzhledem k δ vyplývá z Věty 4.8. Omezenost I1 plyne z odhadu (4.7) a Věty 4.8. Tím je ukázáno (4.61).
37
Teď se zaměříme na limitní přechod δn → 0 v eliptickém členu rovnice (4.4). Položme Wδn := Dfδn (ε(uδn )) = δn q(1 + |ε(uδn )|2 ) 1,
q−2 2
ε(uδn ) + Df (ε(uδn ))
q
Odhad (4.61) implikuje existenci W ∈ Wlocq−1 (Ω; Sd ) a vybrané posloupnosti 0 značené stejně {Wδn }∞ n=1 tak, že pro δn → 0 a každou Ω ⊂⊂ Ω q 1, q−1 0 d Wδn * W ve W (Ω ; S ) (4.62) q 0 Wδn → W v L q−1 (Ω ; Sd ) Navíc podle Věty 4.8 je ε(uδ ) ∈ Lqloc (Ω; Sd ) stejnoměrně vzhledem k δ, proto pro δn → 0 a pro každou Ω0 ⊂⊂ Ω δn q(1 + |ε(uδn )|2 )
q−2 2
q
δ→0
ε(uδn ) → 0 v L q−1 (Ω0 ; Sd )
a to implikuje q
Df (ε(uδn )) → W v L q−1 (Ω0 ; Sd ) a s.v. v Ω.
(4.63)
Z (4.63) a spojitosti (Df )−1 pak vyplývá pro δn → 0 ε(uδn ) → (Df )−1 W s.v. v Ω.
(4.64)
˜ Z (4.59) dostáváme omezenost ε(uδn ) v Lqloc (Ω; Sd ), což spolu s konvergencí dα δ →0 ¯ ve W 1, d−α (Ω0 ; Rd ) pro každou Ω0 ⊂⊂ Ω, plynoucí z (4.58), dává uδn n→ u
ε(uδn ) → (Df )−1 W v Ltloc (Ω0 ; Sd ) ∀t < q˜. Z (4.59) navíc plyne ε(¯ u) = (Df )−1 W neboli Df (ε(¯ u)) = W. Potom můžeme (4.62) přepsat pro δn → 0 a každou Ω0 ⊂⊂ Ω Wδn * Df (ε(¯ u)) ve W Wδn → Df (ε(¯ u)) v L
q 1, q−1
q q−1
0
d
(Ω ; S )
(Ω0 ; Sd ) a s.v. v Ω.
∞ Nyní zvolme ϕ ∈ C0,div (Ω; Rd ). Připomeňme rovnici (4.4) pro uδ Z Z Z Dfδ (ε(uδ )) : ε(ϕ) dx − uδ ⊗ uδ : ε(ϕ) dx = g · ϕ dx. Ω
Ω
Ω
38
(4.65)
Proveďme limitní přechod v členech na levé straně. Z (Dfδn (ε(uδn )) − Df (ε(¯ u))) : ε(ϕ) dx Ω
Z ≤
|Dfδn (ε(uδn ) − Df (ε(¯ u))| Ω
q q−1
q−1 Z q
q
1q
|ε(ϕ)| dx
dx Ω
a podle (4.65) jde první integrál na pravé straně poslední nerovnosti k nule. Nakonec provedeme limitní přechod v konvektivním členu. S využitím stejnoměrné omezenosti uδ pak Z Z (uδn ⊗ uδn − u ¯ ⊗u ¯ ) : ε(ϕ) dx ≤ (|uδn | + |¯ ¯ ||ε(ϕ)| dx u|)|uδn − u Ω Ω 1q Z q−1 Z q q q ¯ | q−1 dx |uδn − u |ε(ϕ)| dx , ≤M spt ϕ
Ω
z (4.58) vyplývá, že první integrál na pravé straně poslední nerovnosti jde k nule, q ¯ je ≤ q. Máme tedy ověřeno, že u vzhledem k námi uvažovanému q totiž je q−1 řešení (4.1). Poznámka 3. Ukázali jsme, že existuje řešení, které má jistou regularitu. Z informací, které máme k dispozici, neplyne jeho jednoznačnost.
39
Kapitola 5 Hölderovská spojitost gradientů řešení 5.1
Částečná regularita pro d = 3, q0 = 2
V této sekci ukážeme, že slabé řešení systému (4.1) zkonstruované ve Větě 4.11 má hölderovsky spojité první derivace na otevřené množině, jejíž doplněk do Ω má nulovou míru. Poznámka 4. Prostorem C 0,µ (Ω; Rd ), kde µ ∈ (0, 1) a Ω ⊂ Rd je otevřená, budeme rozumět prostor funkcí {v; ∀K ⊂ Ω kompaktní v ∈ C 0,µ (K; Rd )}. Pro účely této kapitoly zaveďme funkci Z E(x, r) := E(¯ u, B(x, r)) := −
|ε(¯ u) − (ε(¯ u))x,r |2 dy,
B(x,r)
R kde (..)x,r a −B(x,r) značí integrální průměr přes B(x, r). Několikrát se odvoláme na větu o charakterizaci hölderovsky spojitých funkcí [12, Theorem 1.3]: Věta 5.1. Nechť existuje R0 > 0 a c > 0 takové, že pro všechna x ∈ Ω a všechna ρ < min{R0 , dist(x, ∂Ω)} platí Z |u − ux,ρ |p dx ≤ cρd+pα , α ∈ (0, 1] B(x,ρ)
potom u ∈ C 0,α (Ω; Rd ). 40
Pro specifikaci konstanty C ∗ , která se vyskytuje v Lemmatu 5.3, uveďme [2, Lemma 5.1]. 1,2 (B(0, 1); R3 ) Lemma 5.2. Nechť A ∈ S3 je taková, že |A| ≤ L. Nechť w ∈ Wdiv splňuje Z 1,2 (B(0, 1); R3 ). D2 f (A)(ε(w), ε(ϕ) dy = 0 ∀ϕ ∈ W0,div B(0,1)
Pak existuje konstanta C ∗ = C ∗ (p, L) tak, že Z Z 2 ∗ 2 − |ε(w) − (ε(w))τ | dy ≤ C τ − B(0,τ )
|ε(w) − (ε(w))1 |2 dy
B(0,1)
platí pro každé τ ∈ (0, 1). Nyní uvedeme tvrzení [2, Lemma 5.2], na jehož použití je založen důkaz lemmatu o existenci otevřené podmnožiny Ω, na níž je symetrický gradient řešení ¯ hölderovsky spojitý. u Lemma 5.3. Nechť L > 0 a µ ∈ (0, µ0 ), kde µ0 := 23 − p2 . Nechť C∗ := 2C ∗ , kde C ∗ (p, L) je zvolena jako v Lemmatu 5.2. Potom pro každé τ ∈ (0, 41 ) existuje λ = λ(L, τ ) s vlastností: pokud existuje koule B(x, r) ⊂⊂ Ω, pro kterou platí |ε(¯ u)x,r | ≤ L a E(x, r) + r2µ < λ2 , potom E(x, τ r) ≤ C∗ τ 2 E(x, r) + r2µ . Lemma 5.4. Existuje otevřená množina Ω0 ⊂ Ω tak, že |Ω\Ω0 | = 0 a ε(¯ u) ∈ C 0,α (Ω0 , Sd ) pro jisté α ∈ (0, 1). Navíc množinu Ω0 můžeme popsat jako Ω0 = {x ∈ Ω :
sup
|(ε(¯ u))x,r | < ∞; lim inf E(x, r) = 0}. r→0
1 dist(x,∂Ω)>r>0 2
(5.1)
Důkaz. V důkazu využijeme techniku použitou v důkazu [9, Theorem 1.1]. Ukážeme, ¯ ∈ C 0,α (B(x0 , s)) pro jisté že pro každé x0 ∈ Ω0 existuje B(x0 , s) taková, že u α ∈ (0, 1). Ze Sobolev-Poincarého nerovnosti dostaneme Z β2 Z 2 β β − |ε(¯ u) − (ε(¯ u))x,r | dy ≤ r − |∇ε(¯ u)| , (5.2) B(x,r)
B(x,r)
41
2,α 3p 3β ¯ ∈ Wloc (Ω; R3 ), kde α ∈ [1, p+1 kde 2 < 3−β t.j. β > 56 . Protože je u ), podle 3p 6 Lemmatu 4.9 a protože 5 < p+1 pro námi uvažované p, plyne z Lebesgueovy věty o hustotě a (5.2) plyne pro skoro všechna x0 ∈ Ω r→0
E(x0 , r) → 0,
sup 1 {dist(x,∂Ω)>r>0 2
3 2
Zvolme takové x0 a zvolme L > zvolme τ ∈ (0, 41 ), aby platilo
|(ε(¯ u))x0 ,r |} < ∞.
(5.3)
supr>0 {|(ε(¯ u))x0 ,r |}. Zvolme µ ∈ (0, µ0 ) a
C∗ τ 2 ≤
1 1 a τ 2µ < , 2 2
(5.4)
C∗ (p, L) je jako v Lemmatu 5.3. Díky (5.3) existuje B(x0 , r) ⊂⊂ Ω taková, že 2 |(ε(¯ u))x0 ,r | < L 3 (5.5) E(x0 , r) + r2µ < λ20 , kde číslo λ0 je voleno tak, aby platilo L λ0 τ −3 (1 − 2τ 2µ ) 2 < 3 i=0 1 1 λ20 ≤ min{ , 1 − 2τ 2µ }λ2 , 2 2 − 21
∞ X
− 2i
(5.6)
λ(L, τ ) je z Lemmatu 5.3. Díky spojitosti funkcí x 7→ E(x, r)+r2µ a x 7→ (ε(¯ u))x,r existuje koule B(x0 , s) taková, že pro každé x ∈ B(x0 , s) E(x, r) + r2µ < λ20 (5.7) 2 |(ε(¯ u))x,r | < L < L. 3 Ukažme ∀x ∈ B(x0 , s) odhady |(ε(¯ u))x,τ n r | ≤ L E(x, τ r) + (τ n r)2µ ≤ λ2 . n
(5.8) (5.9)
Nejdříve indukcí dokažme, že ∀x ∈ B(x0 , s) platí k
−k
E(x, τ r) ≤ 2 E(x, r) +
k X
2−j τ 2µ(k−j) r2µ , k = 1, 2, . . . .
j=1
42
(5.10)
Nechť je tedy x ∈ B(x0 , s). Z (5.7) vyplývá podle Lemmatu 5.3 platnost (5.10) pro k = 1. Nechť (5.10) platí pro k = 1, . . . , n. Potom E(x, τ n r) ≤ 2−n E(x, r) + τ 2µn
n X
2−j τ −2µj r2µ = 2−n E(x, r) +
j=1
≤ 2−n E(x, r) +
2−n − τ 2µn 2µ r 1 − 2τ 2µ
1 1 −n 2µ 2µ . (5.11) ≤ 2 E(x, r) + r r 1 − 2τ 2µ 1 − 2τ 2µ
Odtud dostaneme díky (5.9), (5.7) a protože je τ 2µ < 21 ∞
n
n
E(x, τ r) + (τ r)
2µ
X 2−n 2−n 2 2µn 2µ ≤ λ + τ r ≤ λ20 + τ 2µn r2µ 0 2µ 2µ 1 − 2τ 1 − 2τ n=1 ≤
2 λ20 < λ2 , 2µ 1 − 2τ
a tudíž (5.9) platí. Ukažme odhad (5.8). n−1 X |(ε(¯ u))x,τ n r | = (ε(¯ u))x,r + (ε(¯ u))x,τ k+1 r − (ε(¯ u))x,τ k r
≤|(ε(¯ u))x,r | + ≤|(ε(¯ u))x,r | +
k=0 n−1 X
|(ε(¯ u))x,τ k+1 r − (ε(¯ u))x,τ k r |
k=0 n−1 XZ
−
|ε(¯ u)(y) − (ε(¯ u))x,τ k r | dy
k+1 r) k=0 B(x,τ 1 n−1 X |B(x, τ k r)| 2 ≤|(ε(¯ u))x,r | + |B(x, τ k+1 r)| k=0
=|(ε(¯ u))x,r | + τ −3
! 12 |ε(¯ u)(y) − (ε(¯ u))x,τ k r |2 dy
B(x,τ k r)
! 21
n−1 Z X −3 =|(ε(¯ u))x,r | + τ − k=0 n−1 X
Z
|ε(¯ u)(y) − (ε(¯ u))x,τ k r |2 dy
B(x,τ k r)
1 E(x, τ k r) 2 .
k=0
Z platnosti (5.10) pro k = 1, . . . , n vychází |(ε(¯ u))x,τ n r | ≤ |(ε(¯ u))x,r | + τ
−3
n−1 X 2−k E(x, r) + k=0
43
1 2 1 2µ r 1 − 2τ 2µ
jako důsledek (5.11). Odhadujme dále |(ε(¯ u))
x,τ n r
| ≤ |(ε(¯ u))x,r | + τ
−3
∞ X
k
1
2− 2 (1 − 2τ 2µ )− 2 E(x, r) + r2µ
12
k=0
≤ |(ε(¯ u))x,r | + τ −3
∞ X
k 1 2 1 2− 2 (1 − 2τ 2µ )− 2 λ0 < L + L = L, 3 3 k=0
a máme dokázán odhad (5.8). Použijeme Lemma 5.3 s odhady (5.8) a (5.9), dostaneme E(x, τ
n+1
n X 1 −n 1 n n 2µ ≤ 2 E(x, r) + r) ≤ E(x, τ r) + (τ r) 2−j τ 2µ(n−j) r2µ 2 2 j=1 X n 1 2µn 2µ 1 2µn 2µ −n−1 −j−1 2µ (n+1)−(j+1) + τ r =2 + τ E(x, r) + 2 τ r 2 2 j=1 X n+1 −(n+1) −j 2µ(n+1−j) =2 E(x, r) + 2 τ r2µ , j=1
čímž je dokázáno (5.10). Pro libovolně zvolené ρ ∈ (0, r) existuje k ∈ N tak, že τ k+1 r < ρ ≤ τ k r.
(5.12)
Využijeme-li nerovnosti Z Z p |ε(¯ u) − ε(¯ u)x,r | dy ≤ c inf λ∈Rd×d
B(x, r)
|ε(¯ u) − λ|p dy,
B(x,r)
platné pro p ≥ 1, máme pro ρ odhad d d Z ρ ρ E(x, ρ) ≤ c − |ε(¯ u) − (ε(¯ u)x,τ k r )|2 dy E(x, ρ) ≤ τ k+1 r τ k+1 r B(x,ρ) ≤ cτ −3 E(x, τ k r). Odtud s využitím (5.11) dostaneme E(x, ρ) ≤ cτ −3 2−k (1 − 2τ 2µ )−1 (E(x, r) + r2µ ) ≤ c2−k . Dále máme
ρ ≥ τ k+1 > τ 2k = (2−M )k r 44
(5.13)
pro M zvolené tak, aby τ 2 = 2−M . Z (5.13) proto dostaneme M1 ρ E(x, ρ) ≤ c . r
(5.14)
Pro všechna x ∈ B(x0 , s) potom z (5.14) vyplývá pro α = M −1 Z |ε(¯ u)(y) − (ε(¯ u))x,ρ |2 dy ≤ cρα ∀ρ ≤ r − B(x,ρ)
a podle Věty 5.1 je ε(¯ u) ∈ C 0,α (B(x0 , s); S3 ). Ukázali jsme, že pro každý bod x0 ∈ Ω0 existuje okolí B(x0 , s) tak, že ε(¯ u) ∈ C 0,α (B(x0 , s); S3 ). Potom zřejmě B(x0 , s) ⊂ Ω0 , tudíž je Ω0 otevřená. Navíc ε(¯ u) ∈ C 0,α (Ω; S3 ) a |Ω \ Ω0 |. Věta 5.5. Za předpokladů Věty 4.11 existuje množina Ω0 tak, že |Ω \ Ω0 | = ¯ ∈ C 1,ν (Ω0 ; R3 ) pro každé ν ∈ (0, 1). 0 a u Důkaz. V důkazu věty jsou použity hlavní kroky z důkazu [2, Theorem 1.4]. Z minulého lemmatu máme existenci množiny Ω0 takové, že ε(¯ u) ∈ C 0,α (Ω0 , R3 ) ¯ ∈ C 1,ν (Ω0 ; R3 ) pro každé ν ∈ (0, 1). Zvolme pro jisté α ∈ (0, 1). Ukážeme, že u ∞ 3 funkci ψ ∈ C0,div (Ω0 ; R ). V (4.1) použijeme testovací funkci ϕ = ∂k ψ pro pevné k ∈ {1, . . . , d}. Potom integrací per partes, tu můžeme provést, neboť podle Věty 1,
q
4.11 máme Df (ε(¯ u)) ∈ Wlocq−1 (Ω; Rd ), dostaneme Z Z Z 2 ¯ ) : ε(ψ) dx − D f (ε(¯ u))(ε(v), ε(ψ)) dx = ∂k (¯ u⊗u Ω0
Ω0
g · ∂k ψ dx (5.15)
Ω0 ∞ ∀ψ ∈ C0,div (Ω0 ; R3 )
¯ . Pro x0 ∈ Ω0 označme ε0 := ε(¯ kde v := ∂k u u)(x0 ). Nechť B(x0 , R) ⊂⊂ Ω0 a 1,2 3 v0 ∈ W (B(x0 , R), R ) je řešení rovnice Z D2 f (ε0 )(ε(v0 ), ε(ϕ)) dx = 0 B(x0 ,R) (5.16) v0 = v na ∂B(x0 , R), div v0 = 0 v B(x0 , R) ∞ ∀ϕ ∈ C0,div (B(x0 , R), R3 ). Potom pro r ∈ (0, R] dostaneme podle [12, Theorem 2.1] využitím Kornovy nerovnosti (3.1) a vlastností systému v (5.16) 3 Z 3 Z Z r r 2 2 |∇v0 | dx ≤ c |∇v0 | dx ≤ c |∇v|2 dx. R R B(x0 ,R) B(x0 ,R) B(x0 ,r) (5.17) 45
Odtud okamžitě vyplývá "Z Z |∇v|2 dx ≤ c
B(x0 ,r)
|∇v0 |2 dx +
B(x0 ,r)
#
Z
|∇v − ∇v0 |2 dx
B(x0 ,R)
" Z # Z 3 r ≤c |∇v|2 dx + |∇v − ∇v0 |2 dx . R B(x0 ,R) B(x0 ,R) (5.18) Nyní odhadneme poslední integrál na pravé straně. Po použití růstové podmínky (1.3) a Kornovy nerovnosti (3.1) dostaneme Z D2 f (ε0 )(ε(v) − ε(v0 ), ε(v) − ε(v0 )) dx B(x0 ,R) Z 2 p−2 |ε(v) − ε(v0 )|2 dx ≥ λ(1 + |ε0 | ) 2 Z B(x0 ,R) |∇(v) − ∇(v0 )|2 dx. ≥ c(p, d, λ, ε0 ) B(x0 ,R)
Odtud díky rovnici v (5.16) vyplývá Z Z 2 D2 f (ε0 )(ε(v) − ε(v0 ), ε(v) − ε(v0 )) dx |∇v − ∇v0 | dx ≤ c B(x0 ,R) B(x0 ,R) Z =c D2 f (ε0 )(ε(v), ε(v) − ε(v0 )) dx B(x ,R) Z 0 D2 f (ε(¯ u))(ε(v), ε(v) − ε(v0 )) dx =c B(x0 ,R) Z 2 2 + D f (ε0 ) − D f (ε(¯ u)) (ε(v), ε(v) − ε(v0 )) dx B(x0 ,R)
=c(I1 + I2 )
(5.19)
Použijeme-li nyní rovnici (5.15) a Youngovu nerovnost s γ > 0 dostaneme Z Z ¯ ) : ε(v − v 0 )| dx + c I1 ≤ c |∂k (¯ u⊗u |g · ∂k (v − v 0 )| dx B(x0 ,R) B(x0 ,R) Z Z 2 2 ≤ 2γ |∇(v − v 0 )| dx + c(γ)||¯ u||∞ |∇¯ u|2 dx + c(γ)||g||2∞ R3 . B(x0 ,R)
B(x0 ,R)
46
Dále 2
Z
|∇v||∇(v − v0 )| dx I2 ≤ c oscB(x0 ,R) D f (ε(¯ u)) B(x0 ,R) Z Z 2 2 2 |∇(v − v0 )| dx + c(γ) oscB(x0 ,R) D f (ε(¯ u)) ≤γ B(x0 ,R)
|∇v|2 dx.
B(x0 ,R)
Pokud zvolíme γ dost malé, můžeme členy s γ zahrnout do výrazu na levé straně (5.19). Díky spojitosti ε(¯ u) a D2 f můžeme při pevném γ ke zvolenému α > 0 najít takové R0 , že platí 2 2 c(γ) oscB(x0 ,R) D f (ε(¯ u)) < α pro každé R ≤ R0 . Jelikož víme, že ∇¯ u ∈ L3p loc (Ω), je Z 3p−2 |∇¯ u|2 dx ≤ cR p = cR1+2µ
(5.20)
B(x0 ,R)
pro µ := 1 − p1 . Z (5.18) a (5.19) vyplývá " #Z 3 r +α |∇v|2 dx + c2 R1+2µ |∇v|2 dx < c1 R B(x0 ,R) B(x0 ,r)
Z
pro všechna r ≤ R ≤ R0 . Podobně dostaneme existenci B(x0 , s), s < R0 , takové, že pro každé x ∈ B(x0 , s) a pro všechna r ≤ R ≤ R0 platí " #Z Z 3 r |∇v|2 dx < c1 +α |∇v|2 dx + c2 R1+2µ (5.21) R B(x,r) B(x,R) Nyní volbou α dostatečně malého obdržíme podle Lemmatu 3.6 pro každé x ∈ B(x0 , s) odhad růstu Z |∇v|2 dx ≤ cr1+2µ . B(x,r)
Poincarého nerovnost dává Z Z 2 2 |v − vx,r | dx ≤ r B(x,r)
B(x,r)
47
|∇v|2 dx ≤ cr3+2µ ,
¯ ∈ C 1,µ (Ω0 ; R3 ). Tudíž je odtud je podle Věty 5.1 v ∈ C 0,µ (B(x0 , s)) a proto u zřejmě ∇¯ u ∈ L∞ loc (Ω0 ), což implikuje Z |∇¯ u|2 dx ≤ cR3 . B(x,R)
Díky předchozímu odhadu můžeme (5.21) nahradit 3 Z r |∇v| dx < c1 +α |∇v|2 dx + c2 R3 R B(x,r) B(x,R) 3 Z r 2(1−ν) < c1 +α |∇v|2 dx + c2 R1+2ν R0 , R B(x,R)
Z
2
kde ν ∈ (0, 1) je libovolné. Opět použijeme Lemma 3.6, Poincarého nerovnost a dostáváme Z Z 2 2 ∀ν ∈ (0, 1) |v − vx,r | dx ≤ r |∇v|2 dx ≤ cr3+2ν . B(x,r)
B(x,r)
¯ ∈ C 1,ν (Ω0 ; R3 ). Podle Věty 5.1 potom máme ∀ν ∈ (0, 1) v ∈ C 0,ν (B(x0 , s)) a proto u
48
5.2
Úplná regularita ve 2D, q0 = 2
¯ z Věty 4.11 má lokálně hölderovsky Ve dvou dimenzích ukážeme, že řešení u spojité první derivace na Ω. Uveďme [8, Lemma 4.1], na jehož použití je založen důkaz hlavní věty této sekce. Lemma 5.6. Nechť Ω0 ⊂ R2 . Nechť existují β > α > 0, c1 , c2 > 0, R0 > 0 tak, že funkce H ∈ L2 (Ω0 ), h ∈ W 1,2 (Ω0 ) splňují pro každé x0 ∈ Ω0 a R ∈ (0, R0 ) takové, že B(x0 , 2R0 ) ⊂ Ω0 , T (x0 , R) = B(x0 , 2R) − B(x0 , R) Z
c1 H 2 dx ≤ R B(x0 ,R)
Z
H 2 + Rα dx
T (x0 ,R)
! 21 Z
|hH| dx + c2 rβ .
(5.22)
T (x0 ,R)
Potom pro každé t ≥ 1 existuje c = c(c1 , c2 , t, khk1,2;Ω0 , kHk2,Ω0 , α, R0 ) takové, že pro každou kouli B(x0 , R) platí Z H 2 dx ≤ c| ln R|−t . B(x0 ,R)
Důkaz. Důkaz tohoto tvrzení získáme modifikací důkazu [8, Lemma 4.1]. Provedeme pouze náznak důkazu. Je třeba odvodit nerovnost r 21 Z 2 21 Z Z 2R0 2 |∇h| dx , ≤ c1 log2 h dx dy − h−− R B(x0 ,2R0 ) T (x0 ,R) T (x0 ,R0 ) (5.23) která je následně použita pro odhad Z Z Z Z − |hH| dx ≤ − h − − h dy + − |h| dy |H| dx T
T
T0
T0
2 1 Z 12 21 Z Z Z 2 2 2 + − |h| dy − |H| dx ≤ − h − − h dy dx T
T0
T0
Z 12 2R0 2 log2 − H dx . R T
T
r ≤ c2 (R0 , khkW 1,2 (Ω0 ) )
(5.24)
Po použití odhadu (5.24) v (5.22) dostaneme pro R ∈ (0, R0 ] a B(x0 , 2R0 ) ⊂ Ω0 r Z Z 2R0 2 2 α H dx ≤ c3 (c1 , R0 , khkW 1,2 (Ω0 ) ) log2 H dx+R +c4 Rβ . R T (x0 ,R) B(x0 ,R) (5.25) 49
Nyní využijeme β > α a získáme r
Z
2
H dx ≤ c3 (c1 , R0 , khkW 1,2 (Ω0 ) ) B(x0 ,R)
Z 2R0 2 α H dx + R . (5.26) R T (x0 ,R)
A dále je odtud třeba odvodit √
Z
+1 − 2 c N+1
2
H dx ≤ e
3
√ Z 2 3 e c3 +1
B(x0 ,R)
kde N = log2
2
H dx +
B(x0 ,2R0 )
R0 R
R0α
∞ X
−iα
2
e
√ 2 i+2 c3 +1
, (5.27)
i=0
. Jelikož pro každé t > 1 existuje c(t) tak, že ∀s > 0 e−s ≤
c(t) st
a řada v (5.27) konverguje, dostaneme z (5.27) Z 2R0 −t H 2 dx ≤ c(c1 , R0 , khkW 1,2 (B(x0 ,2R0 )) , t)(log2 . R B(x0 ,R)
(5.28)
Nakonec poznamenejme, že ke každému t existuje konstanta K = K(t) taková, že −t 2R0 ≤ K(− log2 R)−t . log2 R
Dále uveďme [7, Lemma p. 287]. Lemma 5.7. Nechť Ω0 ⊂ R2 je oblast. Nechť pro u ∈ W 1,2 (Ω0 ; R2 ) existuje t > 2 tak, že pro každou podoblast Ω00 ⊂⊂ Ω0 a každou B(x0 , R) ⊂ Ω00 u splňuje Z |∇u|2 dx ≤ K| ln R|−t , B(x0 ,R)
kde K závisí na Ω00 . Pak u je spojitá na Ω0 , existuje K 0 > 0 a pro každou B(x0 , R) ⊂ Ω00 platí t oscB(x0 ,R) u ≤ K 0 | ln R|1− 2 Věta 5.8. Nechť d = 2, q0 = 2 a jsou splněny předpoklady Věty 4.11. Pak ¯ ∈ C 1,ν (Ω; R2 ). s použitím značení téže věty je pro každé ν ∈ (0, 1) u 50
Důkaz. Důkaz této věty je proveden kombinací technik obsažených v důkazech [2, Theorem 1.5.], [4, Theorem 2.1. b)]. Zvolme pevně B(¯ x, 2r) ⊂⊂ B(x0 , 2R) ⊂⊂ Ω. Uvažujme funkci η ∈ C ∞ (B(¯ x, 2r)) s kompaktním nosičem v B(¯ x, 2r), η ≡ 1 na −1 B(¯ x, r) a |∇η| ≤ cr . Označme σ ¯ = Df (ε(¯ u)). KROK 1 Proveďme limitní přechod δ → 0 v odhadu (4.42). Z (iii) Lemmatu 4.5 plyne, že rovnice (4.31) je splněna bodově s.v. na Ω. Odtud máme |∇pδ | ≤ c(1 + |ε(uδ )|2 )
q−2 2
|ε(∂k uδ )| + |∇uδ ||uδ | + g.
S využitím Hölderovy nerovnosti obdržíme pro každé s < 2 a každou Ω0 ⊂⊂ Ω kompaktní q−2 (1 + |ε(uδ )2 | 2 )|ε(∂k uδ )| ∈ Ls (Ω0 ; R2 ). Navíc z Věty 4.8 plyne |∇uδ ||uδ | ∈ Lrloc (Ω) pro každé r ∈ (1, ∞) stejnoměrně vzhledem k δ a podle předpokladu je g ∈ L∞ (Ω; R2 ). Můžeme proto vybrat δk → 0 tak, že ∀t < 2, ∀Ω0 ⊂⊂ Ω pδk * p¯ ve W 1,t (Ω0 ).
(5.29)
Pro limitní přechod v členu na levé straně (4.42) definujme funkci F předpisem F (x, ρ, σ) := η 2 (x)D2 f (ρ)(σ, σ). Zřejmě je F spojitá v x, ρ, nezáporná a konvexní v σ. Z konvergence posloupnosti {uδn }∞ n=1 popsané ve Větě 4.11 potom plyne podle [13, Theorem 1, p. 132] Z Z F (x, ε(¯ u), ∂k ε(¯ u)) dx ≤ lim inf F (x, ε(uδn ), ∂k ε(uδn )) dx δn →0 B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z ≤ lim inf D2 fδ (ε(uδn ))(∂k ε(uδn ), ∂k ε(uδn )) dx, δn →0
B(¯ x,2r)
jelikož D2 fδ (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) ≤ D2 f (ε(uδ ))(∂k ε(uδ ), ∂k ε(uδ )) + δc(1 + |ε(uδ )|2 )
51
q−2 2
|∇ε(uδ )|2
Proveďme limitní přechod v prvním členu pravé strany (4.42). Odhadněme Z ¯ : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx η∂k σδn : ∇η ∂k (uδn − Qx) − η∂k σ B(¯ x,2r) Z η(∂k σδn − ∂k σ ¯ ) : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx ≤ B(¯ x,2r)
+ cr
−1
Z |∂k σδn |
q q−1
q−1 Z q
¯ )| dx |∂k (uδn − u
dx
B(¯ x,2r) q−1
1q
q
B(¯ x,2r) 1
= |I1 | + cr−1 I2 q I3q . q ¯) ∈ Ze slabé konvergence {σδn } ve W 1, q−1 (B(¯ x, 2r)) a faktu ∇η ∂k (uδn − u q
δ →0
Lq (B(¯ x, 2r)) máme I1 n→ 0. Slabá konvergence σδn ve W 1, q−1 (B(¯ x, 2r)) naδ →0 ¯ v víc implikuje omezenost I2 vzhledem k δn . Ze silné konvergence uδn n→ u δn →0 q L (B(¯ x, 2r)) plyne I3 → 0. Proveďme limitní přechod ve druhém členu pravé strany (4.42). Nejdříve odhadujme Z ∂k (uδn ⊗uδn ) : ε η 2 ∂k (uδn − Qx) − ∂k (¯ ¯ ) : ε η 2 ∂k (¯ u⊗u u − Qx) dx = B(¯ x,2r) Z ¯ )| ¯ )| ε η 2 ∂k (uδn − Qx) +|∂k (¯ u⊗u |∂k (uδn ⊗uδn ) − ∂k (¯ u⊗u B(¯ x,2r) 2 ε η ∂k (uδn − Qx) − ε η 2 ∂k (¯ u − Qx) dx Z α−1 α α ¯ )| α−1 dx |∂k (uδn ⊗uδn ) − ∂k (¯ u⊗u ≤ B(¯ x,2r)
Z
2 ε η ∂k (uδn − Qx) α dx
α1
Z
Z
¯ )| |∂k (¯ u⊗u
+
B(¯ x,2r)
α α−1
α−1 α dx
B(¯ x,2r)
2 α ε η ∂k (uδn − Qx) − ε η 2 ∂k (¯ u − Qx) dx
α1
α−1
1
α−1
1
=: I1 α I2α + I3 α I4α .
B(¯ x,2r)
Konvergence posloupnosti {uδn }∞ n=1 popsané ve Větě 4.11 implikují stejnoměrnou δ →0 δ →0 omezenost I2 vzhledem k δn , I1 n→ 0 a I4 n→ 0. Ve třetím členu pravé strany (4.42) provedeme limitní přechod snadno. Slabá
52
konvergence uδn ve W 2,α (B(¯ x, 2r); R2 ), pro libovolné α ∈ (1, 2) totiž implikuje Z Z 2 g · ∂k η ∂k (uδn − Qx) dx = g · ∂k (η 2 )∂k (uδn − Qx) dx B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z Z δ→0 2 g · ∂k (η 2 )∂k (¯ u − Qx) dx g · η ∂k ∂k uδn dx → + B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z Z 2 ¯ dx = g · η ∂k ∂k u g · ∂k η 2 ∂k (¯ u − Qx) dx. + B(¯ x,2r)
B(¯ x,2r)
Použijeme-li (5.29), limitní přechod ve čtvrtém členu (4.42) se provede analogicky k limitnímu přechodu v prvním členu. Dostáváme tedy nerovnost Z Z 2 ¯ ) dx ≤ − 2 η ∂k σ ¯ : ε(∂k u η∂k σ ¯ : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z ¯ ) : ε(η 2 ∂k (¯ + ∂k (¯ u⊗u u − Qx)) dx B(¯ x,2r) Z − g · ∂k η 2 ∂k (¯ u − Qx) dx B(¯ x,2r) Z −2 η∂k p¯1 : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx, (5.30) B(¯ x,2r)
kde Q ∈ R2×2 je libovolná matice. KROK 2 Označme 1 H := D2 f (ε(¯ u))(∂k ε(¯ u), ∂k ε(¯ u)) 2 p
h := (1 + |ε(¯ u)|2 ) 4 . Ukážeme, že funkce h a H splňují předpoklady Lemmatu 5.6. Zřejmě je ∂k σ ¯: 2 ¯ ) = H . Odvoďme ε(∂k u |∇¯ σ |2 ≤ cH 2 . (5.31) |∇¯ σ |2 = ∂k σ ¯ : ∂k σ ¯ = D2 f (ε(¯ u))(∂k ε(¯ u), ∂k σ ¯) 1 1 ≤ D2 f (ε(¯ u))(∂k ε(¯ u), ∂k ε(¯ u)) 2 D2 f (ε(¯ u))(∂k σ ¯ , ∂k σ ¯) 2 1 1 q0 −2 ≤ c Γ 2 |∇¯ σ |2 2 D2 f (ε(¯ u))(∂k ε(¯ u), ∂k ε(¯ u)) 2 Odtud plyne Γ
2−q0 4
|∇¯ σ | ≤ cH a protože uvažujeme q0 = 2 je H 2 ≥ c|∇¯ σ |2 . 53
(5.32)
Odhadněme první člen na pravé straně (5.30) T (¯ x, 2r) = B(¯ x, 2r) \ B(¯ x, r) : Z Z −1 η∂k σ ¯ : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx ≤ cr |∇¯ σ ||∇¯ u − Q| dx B(¯ x,2r) T (¯ x,2r) Z 12 Z 21 −1 2 2 ≤ cr H dx |∇¯ u − Q| dx T (¯ x,2r)
T (¯ x,2r)
R ˜ := u ¯ −Bx. Dále zvolíme vektoroUrčeme matici Q. Položme B := −T (¯x,2r) ε(¯ u), u vou funkci γ := Sx+apodle Lemmatu 3.3, kde S ∈ R2×2 je antisymetrická matice a a ∈ R2 tak, aby k˜ u − γkL2 (T (¯x,2r)) ≤ ckε(˜ u)kL2 (T (¯x,2r)) . Z Kornovy nerovnosti (3.2) dostaneme k∇(˜ u − γ)kL2 (T (¯x,2r)) ≤ ckε(˜ u)kL2 (T (¯x,2r)) . Odtud vyplývá k∇¯ u − B − ∇γkL2 (T (¯x,2r)) ≤ ckε(¯ u) − BkL2 (T (¯x,2r)) . Volbou Q = B + ∇γ dostáváme k∇¯ u − QkL2 (T (¯x,2r)) ≤ ckε(¯ u) − BkL2 (T (¯x,2r)) . 2,α 2 ¯ ∈ Wloc (Ω; R ) pro každé α ∈ [1, 2), použijeme Sobolev-Poincarého Jelikož je u nerovnost a obdržíme kε(¯ u) − BkL2 (T (¯x,2r)) ≤ ck∇ε(¯ u)kL1 (T (¯x,2r)) . Díky odhadu p 1,2 2 (4.10) je zřejmě h := (1 + |ε(¯ u)| ) 4 ∈ W (B x¯, 2r)) a z elipticity D2 fδ dostáváme H ≥ c(1 + |ε(¯ u)|2 )
p−2 4
a odtud |∇ε(¯ u)| ≤ c(1 + |ε(¯ u)|2 ) jelikož pro p ∈ (1, 2] je Z
2−p 4
|∇ε(¯ u)|
2−p 4
H ≤ chH,
≤! p4 . Odvodili jsme tedy odhad Z 2 |∇¯ u − Q| dx ≤ c hH dx.
T (¯ x,2r)
(5.33)
T (¯ x,2r)
Pro první člen na pravé straně (5.30) proto máme odhad Z
η∂k σ ¯ : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx ≤ cr B(¯ x,2r)
−1
Z
12 Z
H dx T (¯ x,2r)
54
2
hH dx. T (¯ x,2r)
Z (5.30) a předcházejícího odhadu máme Z Z Z 2 2 −1 2 η H dx ≤cr H dx hH dx B(¯ x,2r) T (¯ x,2r) T (¯ x,2r) Z ¯ ) : ε η 2 ∂k (¯ ∂k (¯ u⊗u u − Qx) dx + B(¯ x,2r) Z g · η 2 ∂k (¯ u − Qx) dx − B(¯ x,2r) Z η∂k p¯1 : ∇η ∂k (¯ u − Qx) dx. −2
(5.34)
(¯ x,2r)
Postupně odhadneme zbývající členy na pravé straně (5.34). Začněme s druhým. Z Z 2 ¯ )η : ε ∂k (¯ ¯ ) : ε(η 2 ∂k u ¯ ) dx ∂k (¯ u⊗u u − Qx) dx = ∂k (¯ u⊗u B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z ¯ ) : ∇η ∂k (¯ +2 ∂k (¯ u⊗u u − Qx) dx =: I1 + I2 , B(¯ x,2r)
(5.35) kde Z
p−2
2−p
¯ |Γ 4 Γ 4 |ε(∂k u ¯ )| dx I1 ≤ ck¯ uk∞ η 2 |∂k u B(¯ x,2r) Z Z 2−p 2 p−2 2 ¯ )| dx + c(α) ≤α η Γ 2 |ε(∂k u η 2 |∇¯ u|2 Γ 2 dx B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z Z 4−p ≤ cα η 2 H 2 dx + c(α) (1 + |∇¯ u|2 ) 2 dx. B(¯ x,2r)
B(¯ x,2r)
Na odhad posledního integrálu použijeme Hölderovu nerovnost s s > 1 Z
2
(1 + |∇¯ u| )
4−p 2
Z
2
dx ≤ c
B(¯ x,2r)
(1 + |∇¯ u| )
4−p s 2
1s dx
1
r2(1− s ) .
B(¯ x,2r)
Díky stejnoměrnému odhadu z Věty 4.8 dostáváme pro jisté α1 ∈ (0, 2) Z 4−p (1 + |∇¯ u|2 ) 2 dx ≤ crα1 . B(¯ x,2r)
55
Dále odhadneme Z I2 ≤ ck¯ uk∞
|∇¯ u|η|∇η||∇¯ u − Q| dx T (¯ x,2r)
≤ cr
−1
Z
21 Z
2
2
12
|∇¯ u − Q| dx
|∇¯ u| dx
.
T (¯ x,2r)
T (¯ x,2r)
Na odhad prvního integrálu na pravé straně předchozí nerovnosti použijeme Hölderovu nerovnost s s > 1 a stejnoměrný odhad z Věty 4.8, a už jsme odvodili odhad druhého integrálu v (5.34), proto vychází I2 ≤ cr
−1
Z
2s
2s1
|∇¯ u| dx
r
2(1− 1 s) 2
Z hH dx ≤ cr
T (¯ x,2r)
α2 −1
B(¯ x,2r)
Z hH dx, B(¯ x,2r)
kde α2 ∈ (0, 1). Odhadněme ještě člen s vnější silou. Z Z 2 g · ∂k (η ∂k [¯ u − Qx]) dx ≤ c |∇η||∇¯ u − Q| dx B(¯x,2r) B(¯ x,2r) ! Z + η 2 |∇ε(¯ u)| dx =: c(I1 + I2 ), (5.36) B(¯ x,2r)
¯ | ≤ c|∇ε(¯ neboť |∇2 u u)|. Pro I1 máme podle (5.33) I1 ≤ cr
−1
Z
! 12 2
|∇¯ u − Q| dx T (¯ x,2r)
1 2
Z
|B(¯ x, 2r)| ≤ c
hH dx T (¯ x,2r)
a pro I2 dostaneme použitím Youngovy nerovnosti odhad Z Z p−2 2−p p−2 2 η 2 Γ 2 |∇ε(¯ u)|2 dx I2 = η |∇ε(¯ u)|Γ 4 Γ 4 dx ≤ γ B(¯ x,2r) B(¯ x,2r) Z 2−p + c(γ) η 2 Γ 2 dx B(¯ x,2r)
Nakonec odhadneme ještě člen s tlakem v (5.30). Použijeme rovnici ∇¯ p = g+
56
¯ ⊗u ¯ ). div(¯ σ−u Z η∂k p¯1 :[∇η ⊗ ∂k (¯ u − Qx)] dx B(¯ x,2r) Z ≤c η|∇¯ σ ||∇η||∇¯ u − Q| dx B(¯ x,2r) Z ¯ )|∇η||∇¯ η|∇(¯ u⊗u u − Q| dx + B(¯ x,2r) Z + η|g||∇η||∇¯ u − Q| dx =: I1 + I2 + I3 B(¯ x,2r)
Odhadněme I1 I1 ≤ cr
−1
Z
12 Z
2
≤ cr
12
|∇¯ u − Q| dx
H dx T (¯ x,2r)
−1
2
T (¯ x,2r)
Z
2
21 Z
H dx
hH dx
T (¯ x,2r)
T (¯ x,2r)
¯ můžeme I2 odhadnout stejně jako v (5.35) a I3 stejně jako Díky omezenosti u v (5.36). Celkem dostaneme Z 21 Z Z 2 −1 2 α hH dx + c2 rβ , (5.37) H dx ≤ c1 r H dx + r B(¯ x,r)
T (¯ x,2r)
T (¯ x,2r)
kde α, β ∈ (0, 2). Můžeme zvolit β > α a se znalostí (5.22) použijeme Lemma 5.6, podle kterého dostaneme ∀t > 1 ∃K ∀¯ x ∈ B(x0 , 2R) takové, že B(¯ x, 2r) ⊂⊂ B(x0 , 2R) : Z H 2 dx ≤ K| log r|−t . B(¯ x,r)
Odtud máme díky (5.32) Z ∀t > 1
|∇¯ σ |2 dx ≤ K| log r|−t .
B(¯ x,r)
Zvolíme t > 2 a minulý odhad použijeme v Lemmatu 5.7. Odtud dostaneme spojitost σ ¯ v Ω. Ze spojitosti Df (ε(¯ u)) vyplývá spojitost ε(¯ u), jelikož Df je 57
homeomorfismus Sd na Sd . KROK 3 Nyní zbývá modifikovat důkaz Věty 5.5, ve kterém se využívá spojitost ε(¯ u) na množině Ω0 , pro případ d = 2. Odhad (5.17) nahradíme následujícím 2 Z 2 Z r r 2 |∇v0 | dx ≤ c |∇v0 | dx ≤ c |∇v|2 dx. R R B(x0 ,r) B(x0 ,R) B(x0 ,R)
Z
2
a (5.20) nahradíme Z
1
|∇¯ u|2 dx ≤ cR2(1− s ) ,
B(x0 ,R)
kde s > 1 zvolíme tak, aby 2(1 − 1s ) = 2µ. To je možné udělat, neboť pro d = 2 je ∇¯ u ∈ Lr , r ∈ (1, ∞). Nakonec obdržíme nerovnost " #Z Z 2 r |∇v|2 dx ≤ c1 +α |∇v|2 dx + c2 R2ν , R B(x0 ,R) B(x0 ,R) ¯ ∈ C 1,ν (Ω; R2 ). z které po stejných krocích jako v důkazu Věty 5.5 dostaneme, že u
58
Literatura [1] Alt H.W.:Lineare Funktionalanalysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006) [2] Apushkinskaya D., Bildhauer F., Fuchs M.:Steady states of anisotropic genralized Newtonian fluids, J. of Math. Fluid Mech. 2 (2005), 261-297 [3] Bildhauer F., Fuchs M.:A regularity result for stationary electrorheological fluids in two dimensions, Math. Meth. Appl. Sci. 27 (2004), 1607–1617 [4] Bildhauer F., Fuchs M.:Variants of the Stokes Problem: the Case of Anisotropic Potentials, J. Math. Fluid Mech. 5 (2003), 364-402 [5] Bildhauer F., Fuchs M.:Twodimensional anisotropic variational problems, Calc. Var. 16 (2003), 177–186 [6] Evans L.:Partial differential equations, American mathematical society, Providence, (1998) [7] Frehse J.:Two-dimensional variational problems with thin obstacles, Math. Z. 143 (1975), 279–288. [8] Frehse J., Seregin G.A.:Regularity for solutions of variational problems in the deformation theory of plasticity with logarithmic hardening, Transl. Amer. Math. Soc. II 193 (1999), 127-152 [9] Fuchs M., Gongbao L.:Variational inequalities for energy functionals with nonstandard growth conditions, Abstract Appl. Anal. 3 (1998), 41–64 [10] Fuchs M., Repin S.:Estimates of the deviations from the exact solutions for variational inequalities describing the stationary flow of certain viscous incompressible fluids, Math. Meth. Appl. Sci. 33 (2010), 1136-1147
59
[11] Galdi G.P.: An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations, Volume I Linearized steady problems, Spinger-Verlag, New York, (1994). [12] Giaquinta M.:Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems, Princeton University Press, Princeton (1983) [13] Giaquinta M., Modica G., Souček J.:Cartesian currents in the calculus of variations II, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1998) [14] Hlaváček I., Nečas J.:Mathematical theory of elastic and elasto-plastic bodies: an introduction, Elsevier scientific publishing company, Amsterdam (1998) [15] Málek J.: Poznámky: Navier-Stokesovy rovnice, stacionární případ [16] Málek J., Nečas J., Rokyta M., Růžička M.:Weak and measure valued solutions to evolution partial differential equations, Appl. Math. and Math. Compl., 13, Chapman and Hall, London (1996) [17] Morrey Ch.B.: Multiple integrals in the calculus of variation, SpringerVerlag, Berlin (2008), reprint of the 1966 edition [18] Renardy M., Rogers R.C.: An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York (2004)
60
