Determin´ ansok A determin´ ans fogalma olyan algebrai seg´ edeszk¨ oz, amellyel j´ ol jellemezhet˝ o a m´ atrixok invert´ alhat´ os´ aga, a m´ atrix rangja. Seg´ıts´ eg´ evel line´ aris egyenletrendszerek megoldhat´ os´ aga d¨ onthet˝ o el, s˝ ot konkr´ et kisz´ am´ıt´ asi m´ odszereket is szolg´ altat az el˝ obbi k´ erd´ esekre, b´ ar ez nem mindig hat´ ekony. •
Defini´ al´ o tulajdons´ agok
•
Klasszikus kisz´ am´ıt´ asi szab´ aly
•
Gyakorlati kisz´ am´ıt´ asi szab´ aly
•
Invert´ alhat´ o m´ atrixok determin´ ansa
•
Kifejt´ esi t´ etel
•
M´ atrix rangj´ anak meghat´ aroz´ asa
Jel¨ ol´ eseket vezet¨ unk be: tekints¨ unk egy A ∈ Mn n-edrend˝ u kvadratikus m´ atrixot:
A=
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... an1 an2 . . . ann
oszlopvektorait jel¨ olje a1, a2, . . . , an:
a1 =
a11 a21 ... an1
, a2 =
a12 a22 ... an2
, . . . an =
a1n a2n ... ann
Ezek a vektorok most a skal´ ar-n-esek Rn vektorter´ eben l´ ev˝ o vektorok. Ilyenkor azt is ´ırjuk, hogy A = (a1, a2, . . . , an).
Defin´ıci´ o. Determin´ ansf¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk azt a det : Mn → R lek´ epez´ est, amely teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agokat: • oszlopvektoraiban addit´ıv: det (a1+a′1, a2, . . . , an) = det (a1, a2, . . . , an)+det (a′1, a2, . . . , an) • skal´ arszorz´ o kiemelhet˝ o: det (λa1, a2, . . . , an) = λdet (a1, a2, . . . , an) • b´ armely k´ et oszlop felcser´ el´ esekor el˝ ojelet v´ alt: det (a1, . . . , aj , . . . , ai, . . . , an) = −det (a1, . . . , ai, . . . , aj . . . , an) • az egys´ egm´ atrix determin´ ansa 1: det E = det (e1, e2, . . . , en) = 1
A determin´ ans fogalma bizonyos ´ ertelemben ´ altal´ anos´ıt´ asa a ter¨ ulet, illetve t´ erfogat fogalm´ anak. Ugyanis, a s´ıkban k´ et vektor, a ´ es b — k¨ oz¨ os pontb´ ol ind´ıtott reprezent´ ansaikkal — egy paralelogramm´ at hat´ aroz meg. Ennek t(a, b) ter¨ ulet´ et poz´ıt´ıvnak tekintve, ha a paralelogramma poz´ıt´ıv k¨ or¨ ulj´ ar´ as´ u, m´ıg negat´ıvnak, ha negat´ıv k¨ or¨ ulj´ ar´ as´ u, k¨ onnyen l´ athat´ o, hogy teljes´ıti a a determin´ ans defin´ıci´ oj´ aban megk´ıv´ ant els˝ o 3 tulajdons´ agot. A negyedik pedig azt fejezi ki, hogy az egys´ egn´ egyzet ter¨ ulete 1. Hasonl´ oan megfigyelhetj¨ uk, hogy a t´ er 3 szabadvektor´ ab´ ol reprezent´ ansaikkal k´ epezhet˝ o paralelepipedon t´ erfogata is ezen tulajdons´ agokkal rendelkezik. E t´ erfogat pontosan akkor nulla, ha a h´ arom vektor line´ arisan f¨ ugg˝ o.
A 4 kiindul´ o tulajdons´ agb´ ol vezetj¨ uk le a determin´ ansok tov´ abbi tulajdons´ agait, illetve konkr´ et kisz´ am´ıt´ asi lehet˝ os´ egeit. Ha az egyik oszlopvektor a z´ erusvektor, akkor a determin´ ans ´ ert´ eke 0, hiszen det (0, a2, . . . , an) = det (0·0, a2, . . . , an) = 0·det (0, a2, . . . , an) = 0 Ha k´ et oszlop egyenl˝ o, akkor a determin´ ans ´ ert´ eke 0, hiszen az altern´ al´ o tulajdons´ agot kihaszn´ alva: det (a1, . . . , a, . . . , a, . . . , an) = −det (a1, . . . , a, . . . , a . . . , an), s ez csak ´ ugy lehet, ha det (a1, . . . , an) = 0. ´ ll´ıt´ A as. Az A m´ atrix determin´ ansa a k¨ ovetkez˝ ok´ epp sz´ am´ıthat´ o ki: |A| =
X
(−1)I ai11 . . . ainn,
i1,...,in
ahol az ¨ osszegz´ es kiterjed az 1, 2 . . . , n sz´ amok ¨ osszes permut´ aci´ oj´ ara, teh´ at ez az ¨ osszeg n! tag´ u.
• A sz´ armaztatott k´ eplet azonban csak korl´ atozottan hat´ ekony a determin´ ans ´ ert´ ek´ enek kisz´ am´ıt´ as´ ara, mivel nagyobb n eset´ en ´ altal´ aban az ¨ osszes n! szorzat megkeres´ ese hosszadalmas. Ha azonban a m´ atrix speci´ alis alak´ u, pl. fels˝ o vagy als´ o h´ aromsz¨ og alak´ u, akkor e kisz´ am´ıt´ asi k´ epletb˝ ol azonnal ad´ odik, hogy egyetlen olyan szorzat van, amely nem biztosan z´ erus: a f˝ o´ atl´ oban ´ all´ o elemek szorzata: ¯ ¯ ¯ ¯ a ¯ 11 a12 . . . a1n ¯ ¯ 0 a22 . . . a2n ¯¯ ¯ ¯ .. ... ... ¯¯ = a11a22 . . . ann ¯ . ¯ ¯ ¯ 0 0 . . . ann ¯
• A determin´ ans fenti kisz´ am´ıt´ asi m´ odj´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy a transzpon´ alt m´ atrix determin´ ansa ugyanannyi, mint az eredeti´ e: det AT = det A
m´ as jel¨ ol´ essel:
|AT | = |A|
A determin´ ansok gyakorlati kisz´ am´ıt´ asa szempontj´ ab´ ol jelent˝ os a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as. ´ ll´ıt´ A as. Ha egy m´ atrix egy oszlop´ at (vagy sor´ at) ´ ugy v´ altoztatjuk meg, hogy hozz´ adjuk m´ asik oszlop´ anak (vagy sor´ anak) skal´ arszoros´ at, akkor az ´ uj m´ atrix determin´ ansa megegyezik az eredeti´ evel. Bizony´ıt´ as. Ha pl. az els˝ oh¨ oz adjuk a m´ asodik oszlopvektort, akkor: det (a1+a2, a2, . . . , an) = det (a1, a2, . . . , an)+det (a2, a2, . . . , an) A m´ asodik ¨ osszeadand´ o nulla, hiszen k´ et oszlopa azonos.
2
Most k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asunk azt jelenti, hogy a determin´ ans elt˝ un´ ese (nulla volta) csak att´ ol f¨ ugg, hogy az oszlopvektorok line´ arisan f¨ ugg˝ ok, vagy f¨ uggetlenek. ´ ll´ıt´ A as. Egy A m´ atrix determin´ ansa pontosan akkor nulla, ha az oszlopvektorai line´ arisan f¨ ugg˝ ok. Bizony´ıt´ as. Ha az oszlopvektorok line´ arisan f¨ ugg˝ ok, pl. az els˝ o line´ arisan kifejezhet˝ o a t¨ obbivel: a1 = λ2a2 + . . . + λnan, akkor det (a1, a2, . . . , an) = det (λ2a2 + . . . + λnan, a2, . . . , an) = = λ2det (a2, a2, . . . , an) + . . . + λndet (an, a2, . . . , an) Az ut´ obbi determin´ ansok mindegyik´ eben k´ et oszlop azonos, ez´ ert a determin´ ansok null´ ak.
Amennyiben az oszlopvektorok line´ arisan f¨ uggetlenek, akkor b´ azist alkotnak Rn-ben, ez´ ert a term´ eszetes b´ azis tagjai is el˝ o´ all´ıthat´ ok vel¨ uk:
ej =
n X
βij ai j = 1, 2, . . . , n
i=1
Ugyanazon ´ ervel´ essel, mint a determin´ ans hagyom´ anyos k´ eplet´ enek levezet´ es´ en´ el alkalmaztunk, azt kapjuk, hogy
1 = det (e1, . . . , en) =
X
i1 ,...,in
(−1)I βi11 . . . βinn det (a1, . . . , an)
Emiatt det A = det (a1, . . . , an) nem lehet nulla.
2
´ ll´ıt´ A as. Szorz´ ast´ etel: det (A · B) = det A · det B
m´ as jel¨ ol´ essel:
|A · B| = |A| · |B|
Bizony´ıt´ as. Legyen C = A · B, ´ es jel¨ olje c1, . . . , cn a C m´ atrix oszlopvektorait. Ekkor cj =
n X
bij ai j = 1, 2, . . . , n
i=1
teljes¨ ul. Ez´ ert az im´ enti elj´ ar´ assal ´ ujra azt kapjuk, hogy det C = det (c1, . . . , cn) = (
X
(−1)I bi11 . . . binn)det (a1, . . . , an) =
i1 ,...,in
= det B · det A 2
Az eddigiekb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ´ ll´ıt´ A as. Egy kvadratikus m´ atrix pontosan akkor invert´ alhat´ o, ha determin´ ansa nem nulla. Bizony´ıt´ as. Ha invert´ alhat´ o, akkor van olyan B, hogy A·B = E, ez´ ert a szorz´ ast´ etel alapj´ an 1 = det E = det (A · B) = det A · det B teh´ at det A nem lehet nulla. Ford´ıtva, ha det A nem nulla, akkor az oszlopvektorai line´ arisan f¨ uggetlenek, teh´ at b´ azist alkotnak, bel˝ ol¨ uk a term´ eszetes b´ azis vektorai el˝ o´ all´ıthat´ ok: ej =
n X
βij ai j = 1, 2, . . . , n
i=1
L´ athatjuk, hogy az itt fell´ ep˝ o βij egy¨ utthat´ okb´ ol k´ epzett B m´ atrixszal A · B = E teljes¨ ul, teh´ at B lesz A-nak inverze. 2
Kifejt´ esi t´ etel Tekints¨ uk az n-edrend˝ u A kvadratikus m´ atrixot, s t¨ or¨ olj¨ uk bel˝ ole a kiv´ alasztott i-dik sort ´ es j-dik oszlopot. A visszamarad´ o (n − 1)-edrend˝ u m´ atrix determin´ ans´ at az A m´ atrix (i, j)dik aldetermin´ ans´ anak mondjuk, jele: Dij . Az (i, j)-dik algebrai aldetermin´ ansnak nevezz¨ uk az (−1)i+j Dij ´ ert´ eket, jele: Aij . Ezen aldetermin´ ansok seg´ıts´ eg´ evel is kisz´ am´ıthat´ o A determin´ ans´ anak ´ ert´ eke: ´ ll´ıt´ A as. Oszlop szerinti kifejt´ es: oszlopindex. Ekkor
Legyen j egy r¨ ogz´ıtett
|A| = a1j A1j + . . . + anj Anj =
n X
aij Aij
i=1
Sor szerinti kifejt´ es: Legyen i egy r¨ ogz´ıtett sorindex. Ekkor |A| = ai1Ai1 + . . . + ainAin =
n X
j=1
aij Aij
• A kifejt´ esi t´ etel alkalmaz´ asa akkor c´ elszer˝ u, ha egy sorban vagy oszlopban relat´ıve sok nulla elem van. Ekkor esetleg kev´ es aldetermin´ ans kisz´ am´ıt´ asa m´ ar az eg´ esz detemin´ ans meghat´ aroz´ as´ ahoz vezet. • Ha egy kiv´ alasztott sor (vagy oszlop) elemeit egy m´ asik kiv´ alasztott sor (vagy oszlop) megfelel˝ o elemeihez tartoz´ o algebrai aldetermin´ ansokkal szorozzuk, s e szorzatok ¨ osszeg´ et k´ epezz¨ uk, 0-´ at kapunk: (Ferde kifejt´ esi t´ etel) Ha j 6= k 0 = a1j A1k + . . . + anj Ank =
n X
aij Aik
n X
aij Akj
i=1
Ha i 6= k 0 = ai1Ak1 + . . . + ainAkn =
j=1
Az els˝ o igazol´ as´ ahoz fejts¨ uk a det (a1, . . . , aj , . . . , aj , . . . , an) = 0 determin´ anst a k-dik oszlopa szerint!
• Az algebrai aldetermin´ ansok seg´ıts´ eg´ evel kifejezhetj¨ uk az inverz m´ atrix elemeit: A−1 = (bij );
Aji bij = |A|
Ugyanis, az ´ıgy megadott m´ atrixszal kisz´ am´ıtva a A · A−1 szorzatm´ atrix (i, j)-dik elem´ et: n X
n 1 X aik bkj = aik Ajk = δij |A| k=1 k=1
ahol δij az egys´ egm´ atrix elemeit jel¨ oli.
Rangsz´ amt´ etel Legyen most A egy k × n-es m´ atrix. A m´ atrix rangj´ an oszlopvektorainak a rangj´ at ´ ertj¨ uk. Mindj´ art l´ atni fogjuk, hogy ez megegyezik a sorvektorainak rangj´ aval. Tetsz˝ oleges A ∈ Mk×n m´ atrix l-edrend˝ u aldetermin´ ans´ at ´ ugy ´ ertelmezz¨ uk, hogy kiv´ alasztunk l darab sort ´ es l darab oszlopot, s ezek metszet´ eben szerepl˝ o elemek alkotta l-edrend˝ u determin´ anst k´ epezz¨ uk. Ilyen ³l-edrend˝ ansa a ´³ ´ u aldetermin´ m´ atrixnak sok van, pontosan kl nl darab. Most bebizony´ıtjuk, hogy tetsz˝ oleges m´ atrix rangja meghat´ arozhat´ o ezen aldetermin´ ansokkal, nevezetesen: ´ ll´ıt´ A as. Az A m´ atrix rangja megegyezik maxim´ alis rend˝ u null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o aldetermin´ ans´ anak rendj´ evel.
• A rangsz´ amt´ etel alapj´ an l´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges m´ atrix sorvektorainak rangja oszlopvektorainak rangj´ aval egyenl˝ o, hiszen a determin´ ansok ´ ert´ eke transzpon´ al´ askor nem v´ altozik.
• A rangsz´ amt´ etelb˝ ol az is ad´ odik, hogy ha egy kvadratikus m´ atrix determin´ ansa nulla, akkor oszlopvektorai line´ arisan f¨ ugg˝ ok. Ugyanis, ha |A| = 0, akkor A rangja kisebb, mint n, teh´ at oszlopvektorainak rangja a vektorok tagsz´ am´ an´ al kisebb, ez´ ert line´ arisan f¨ uggetlen nem lehet.
