det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular

DETERMINAN

DEFINISI • Untuk setiap matriks persegi (bujur sangkar), ada satu bilangan tertentu yang disebut determinan • Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks bujur sangkar. Disimbolkan dengan:

detA  A Jika |A|  0 disebut matriks non singular

• Metode untuk menghitung determinan matriks: 1. Metode Sarrus 2. Ekspansi Kofaktor (Teorema Laplace) 3. Eliminasi Gauss

METODE SARRUS Determinan Orde Dua

Determinan Orde Tiga

Contoh:

MINOR & KOFAKTOR

Minor  Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.  Dinotasikan dengan Mij  Contoh Minor dari elemen a₁₁  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32  a11 a12  a22 a A   21 a a32  31 a  41 a42

a13   a23  a33  a13 a23 a33 a43

a22 a32

a23 a33

a22 M 11  a32 a42

a23 a33 a43

M 11 

a14   a24  a34   a44 

a24 a34 a44

Minor  Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

Kofaktor Matriks  Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan  Contoh : Kofaktor dari elemen a11 c11  (1)11 M11  M11

Kofaktor dari elemen a23 c23  (1) 23 M 23  M 23

Kofaktor Matrik • Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :      ..      ..        ..        ..        .. .  .. .. .. .. ..   ..  Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor • Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dari jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

 Determinan Matriks A kofaktor baris pertama |A|  a11c11  a12c12  a13c13

dengan

metode

ekspansi

 a11 M 11  a12 M 12  a13 M 13 a22  a11 a32

a23 a21 a23 a21 a22  a12  a13 a33 a31 a33 a31 a32

 a11(a22a33  a23a32 )  a12 (a21a33  a23a31)  a13 (a21a32  a22a31)

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua  a21c21  a22 c22  a23c23

|A|

  a21 M 21  a22 M 22  a23 M 23   a21

a12 a32

a13 a  a22 11 a33 a31

a13 a  a23 11 a33 a31

a12 a32

  a21 (a12 a33  a13 a32 )  a22 (a11a33  a13 a31 )  a13 (a11a32  a12 a31 )

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga |A|  a31c31  a32c32  a33c33  a31 M 31  a32 M 32  a33 M 33  a31

a12 a22

a13 a  a32 11 a23 a21

a13 a  a33 11 a23 a21

a12 a22

 a31(a12a23  a13a22 )  a32 (a11a23  a13a21)  a33 (a11a22  a12a21)

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A|  a11c11  a21c21  a31c31  a11 M 11  a21 M 21  a31 M 31 a22  a11 a32

a23 a12  a21 a33 a32

a13 a12  a31 a33 a22

a13 a23

 a11(a22a33  a23a32 )  a21(a12a33  a13a32 )  a31(a12a23  a12a22 )

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A|  a12c12  a22c22  a32c32  a12 M 12  a22 M 22  a32 M 32 a21   a12 a31

a23 a11  a22 a33 a31

a13 a11  a32 a33 a21

a13 a23

  a12 (a21a33  a23 a31 )  a22 (a11a33  a13 a31 )  a32 (a11a13  a13 a21 )

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga |A|  a13c13  a23c23  a33c33  a13 M 13  a23 M 23  a33 M 33  a13

a21 a31

a22 a  a23 11 a32 a31

a12 a  a33 11 a32 a21

a12 a22

 a13 (a21a32  a22a31)  a23 (a11a32  a12a31)  a33 (a11a22  a12a21)

Contoh 1 • Misalkan kita punya matriks A =

 3 1  4   2 5 6  1 4 8   

– Tentukan minor entri a11, a12, dan a13 – Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !

• Penyelesaian : – minor entri a11 adalah M11 

– kofaktor a11 adalah C11

5 6  5 * 8  4 * 6  16 4 8

 (1)11

5 6  1*16  16 4 8

Contoh 1 • A=

 3 1  4   2 5 6  1 4 8   

– minor entri a12 adalah M12

– kofaktor a12 adalah C12

2 6  2 * 8  6 *1  10 1 8

 (1)1 2

– minor entri a13 adalah M13 – kofaktor a13 adalah C13



2 6  (1) *10  10 1 8



 (1)13

2 5  2 * 4  5 *1  3 1 4 2 5  1* 3  3 1 4

Contoh 2 Contoh: Hitung Det(A) bila A =

1 0 3  2  4 3     5 4  2

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

4 3 2 3 2 4 =3 -1 +0 4 2 5 2 5 4 = (3)(-4) – (1)(-11) = -12 + 11 = -1

Eliminasi Gauss Matriks dijadikan segitiga atas atau segitiga bawah

Solusi

Det A= -1/5

SOAL LATIHAN

 1 2 10    A  2 3 9   4 5 11    Hitung determinan matriks diatas dengan metoda Sarrus Minor & Kofactor dan eliminasi gauss

SIFAT-SIFAT DETERMINAN • Apabila semua unsur dalam 1 baris atau 1 kolom = 0, maka harga determinan matriks = 0

• Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.

A A

T

Contoh:

1 2 3   B  2 3 7 3 5 9  

1 2 3 det B  2 3 7  1 3 5 9

SIFAT-SIFAT DETERMINAN • Nilai determinan tidak berubah jika dilakukan operasi elementer matriks

D2=A2-( 2x A1)

Jadi, determinan D = determinan A

SIFAT-SIFAT DETERMINAN • Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya atau kolomnya, maka:

C A Contoh:

Baris 1 ditukar dengan baris 3

SIFAT-SIFAT DETERMINAN • Jika dua baris atau kolomya dari A adalah identik, maka :

A 0 • Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan nol), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut. Contoh: B2=3 x A2

A 1

B 3

Jadi, determinan B = 3 x determinan A • Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah, maka determinan dari matriks A adalah hasil kali dari elemen–elemen diagonalnya. Contoh:

• Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar, maka:

AB  A B Contoh: 8

• Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka:

• Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di salah satu baris atau kolomnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan penjumlahan dari matriks A dan B maka: Contoh:

Adjoint • Definisi: – Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks  C11 C12 ... C1n     C21 C22 ... C2 n   ... ... ... ...    C  C ... C n2 nn   n1

dinamakan matriks kofaktor A – Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint (sering ditulis adj(nama_matriks) – Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))

Adjoint  3 2  1 • Matriks Kofaktor A    16  12 6 A  1 6 3   2 16  2  4 0  4   12  10 16  – Cari nilai kofaktor   • C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12 • Transpose matriks • C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6 kofaktor A adalah Adjoint • C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16 A (adj(A)) • C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4

• Contoh:

• • • • •

C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2 C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16 C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12 C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10 C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16

 12 4 12    Adj ( A)   6 2  10    16 16 16   