DETERMINAN
Fungsi determinan dari suatu matriks persegi A (dinotasikan dengan det(A) atau |A| ) didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda dari A. Sementara, angka atau bilangan dari det(A) disebut determinan dari A. Sebagai contoh: a11 a12 a13 a11 a12 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 det a 11 a 22 a 12 a 21 a21 a 22 a11 a12 a13 det a 21 a 22 a 23 a11a 22 a 33 a12 a 23a 31 a 13a 21a 32 a 13a 22a 31 a 11a 23a 32 a 12a 21a 33 a 31 a 32 a 33 Namun, cara praktis untuk penghitungan determinan matriks persegi berordo lebih dari 3 × 3 belum ditenukan. Oleh sebab itu, teorema-teorema berikut akan membantu dalam penghitungan determinan. TEOREMA 1 Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(A) = 0. b) det( A) det( A T ) TEOREMA 2 Jika A adalah matriks segitiga (atas atau bawah) atau matriks diagonal 𝑛 × 𝑛, maka det(A) adalah hasil kali dari entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut; yaitu det( A) a11a 22 ... a nn Contoh:
3 2 6 Hitunglah determinan dari matriks A jika A 0 1 8 ! 0 0 4 Karena matriks A merupakan martriks segitiga atas, maka berdasarkan Teorema 2, didapatlah: det( A) 3 1 4 12 TEOREMA 3 Jika A adalah suatu matriks persegi dengan dua baris atau dua kolom yang proporsional, maka det(A) = 0.
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
1
Contoh:
1 3 2 4 2 6 4 8 ! Hitunglah det(B) jika B 3 9 1 5 1 1 4 8 Perhatikan bahwa baris kedua matriks B merupakan 2 kali baris pertama, sehingga matriks B memiliki dua baris yang proporsional. Jadi, berdasarkan Teorema 3, didapatlah det(B) = 0. Teorema 4 berikut menunjukkan bagaimana operasi baris elementer terhadap suatu matriks mempengaruhi nilai determinannya. TEOREMA 4 Misalkan A adalah suatu matriks persegi 𝑛 × 𝑛. a) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan skalar k, maka det(B) = 1/k ∙ det(A). b) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom pada A dipertukarkan, maka det(B) = – det(A). c) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris lainnya, atau ketika kelipatan dari satu kolom A ditambahkan ke kolom yang lain, maka det(B) = det(A). Contoh:
0 1 5 Hitunglah det(A) jika A 3 6 9 ! 2 6 1 Langkah yang akan dituju adalah mereduksi matriks A menjadi matriks segitiga (atau diagonal). 0 1 5 0 1 5 b1 b2
det( A) 3 6 9 2
6
→
3 6 9 2
1
6
1 [Teorema 4(b)]
3 6 9 →
0
1
5
2
6
1
1 3 1
b
[Teorema 4(a)]
1 2 3 →
3 0
1
5
2
6
1 b3 2b1 [Teorema 4(c)]
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
2
1 2 3 0 1
→
0 10
3 5 5 b3 10b2 [Teorema 4(c)]
→
1 2 3 0 1
3 5
0
55
0
[Teorema 2] 3 11 (55) 165
→
0 1 5 Jadi, det( A) 3 6 9 165 . 2 6 1 Selanjutnya, Teorema 5 berikut memperlihatkan cara lain dalam penghitungan determinan. TEOREMA 5 Teorema Ekspansi Laplace (Teorema Ekspansi Kofaktor) Determinan matriks A yang berordo 𝑛 × 𝑛 dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasilkalihasilkali yang diperoleh; dengan untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, det( A) a1 j C1 j a 2 j C 2 j ... a nj C nj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j) dan det( A) a i1C i1 a i 2C i 2 ... a inC in (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) Contoh:
0 1 5 Hitunglah det(A) jika A 3 6 9 dengan menggunakan Teorema Ekspansi Laplace ! 2 6 1 det(A) pada kasus ini akan diselesaikan dengan menggunakan Teorema Ekspansi Laplace sepanjang baris pertama dari kolom A.
C11
6 9 6 1
; C12
3 9 2 1
; C13
3 6 2 6
det( A) a11C 11 a12C 12 a13C 13 0
6 9 3 9 3 6 1 5 6 1 2 1 2 6
0 1 (15) 5 30 0 15 150 165
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
3
Ekspansi Laplace dan operasi baris elementer juga dapat digunakan secara bersama-sama untuk mendapatkan suatu metode penghitungan determinan yang efektif. Perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh:
3 1 Hitunglah det(A) jika A 2 3
det( A)
3 5 2 6 1 2 1 1 2 4 3 7
1 5
5 2 6 2 1 1 ! 4 1 5 7 5 3
→
5 3
3 5 2 6 b1 3b2 1 2 1 1 2 4 1 5 b3 2b2 3 7
5
3 b4 3b2 [Teorema 4(c)]
→
0 1 1 3 1 2 1 1 0 0
0 1
3 8
3 0 [ekspansi Laplace sepanjang kolom pertama]
1 1 3 →
0 1
3 3 8 0 b3 b1 [Teorema 4(c)]
1 1 3 →
0
3 3
0
9 3 [ekspansi Laplace sepanjang kolom pertama]
Jadi, det( A)
3 5 2 6 1 2 1 1 2 4 3 7
1 5
5 3
3 3 9 3
→
(1)
→
(1) (18) 18
18 .
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
4
>>
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
Berikut ini merupakan sifat-sifat dari determinan. a) Suatu matriks persegi A dikatakan nonsingular jika dan hanya jika det( A) 0 . b) Jika A adalah matriks nonsingular berordo 𝑛 × 𝑛 dan k merupakan suatu skalar, maka det(kA) k n det( A) c) Jika A dan B adalah matriks nonsingular dengan ordo yang sama, maka det( AB) det( A) det( B) 1 d) Jika A adalah suatu matriks nonsingular, maka: det( A1 ) det( A) Teorema 6 berikut merupakan rumus untuk mencari invers dari suatu matriks persegi nonsingular dengan memanfaatkan matriks adjoinnya. TEOREMA 6 Jika A merupakan suatu matriks persegi nonsingular, maka: A1
>>
1 adj( A) det( A)
ATURAN CRAMER
Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linier dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian rupa sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem ini memiliki solusi yang tunggal. Solusinya adalah det( A1 ) det( A2 ) det( An ) x1 ; x2 ; ... ; xn det( A) det( A) det( A) dimana A j adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks b1 b 2 b= bn Contoh: Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan x1 2 x3 6 3x1 4 x2 6 x3 30 x1 2 x2 3x3 8 Matriks yang diperbesar dari sistem di atas adalah:
1 0 2 6 3 4 6 30 1 2 3 8
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
5
Berdasarkan matriks di atas, diperoleh:
1 0 2 A 3 4 6 1 2 3
;
6 b = 30 8
Karena dari Aturan Cramer A j merupakan matriks yang diperoleh dengan mengganti entrientri pada kolom ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks b, maka didapatlah: 6 0 2 1 6 2 1 0 6 A 3 4 30 A1 30 4 6 A2 3 30 6 ; ; 1 2 8 8 2 3 1 8 3 Oleh karena itu,
x1
det( A1 ) det( A)
x2
det( A2 )
x3
det( A3 )
det( A)
det( A)
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
40 10 44 11
72 18 44 11
152 38 44 11
6
LATIHAN SOAL
1.
1 p2 Diberikan A . p 4 5 Tentukanlah nilai p sedemikian sehingga det(A) = 0 !
2.
Hitunglah det(M) jika: 2 1 3 1 1 0 1 1 a. M 0 2 1 0 0 1 2 3 2 8 1 4 3 2 5 1 b. M 1 10 6 5 4 6 4 3
3.
Misalkan
a b P d e g h
c f i
Dengan mengasumsikan bahwa det( P) 7 , tentukan: a. b.
det(3P) det( (2 P) 1 )
(Petunjuk: 4.
c. d.
1
det( P )
e.
a det b c
d e f
g h i
det(2 P 1 )
Gunakanlah sifat-sifat determinan)
Tentukanlah A 1 dengan menggunakan Teorema 6 jika
2 0 3 A 0 3 2 2 0 4 5.
Tentukanlah solusi dari sistem persamaan berikut dengan menggunakan Aturan Cramer. 3x1 x2 2 x3 4 x1 2 x2 x3 6 7 x1 6 x2 x3 10
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 - Srava Chrisdes
7
