DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --PŘÍKLAD 1: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (2; ∞; 1,5) a určete velikost řezu. PŘÍKLAD 2: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (2; ∞; 3) a určete velikost řezu. PŘÍKLAD 3: A4 na výšku, O [10,5; 10,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (4,5; 5,5; 2,5) a určete velikost řezu. PŘÍKLAD 4: A4 na výšku, O [11; 8] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (∞; 6; 7) a určete velikost řezu. PŘÍKLAD 5: A4 na výšku, O [17; 13] Kosý hranol s pravidelnou pětiúhelníkovou podstavou ABCDE v půdorysně (střed podstavy S [-4; 5; 0], A[-2; 2; 0], A[4; 8; 8]) protněte rovinou ρ (8; 9,5; ∞) a určete velikost řezu. PŘÍKLAD 6: A4 na výšku, O [11; 10,5] Zobrazte řez roviny ρ (5,5; 6,5; 6) kosým hranolem o čtvercové podstavě ABCD v půdorysně (A [-5; 1,5; 0], C[-1; 1,5; 0], A [1; 3,5; 6,5]). PŘÍKLAD 7: A4 na výšku, O [15,5; 11,5] Kosý hranol s pravidelnou pětiúhelníkovou podstavou ABCDE v půdorysně (střed podstavy S [-4; 5; 0], A[-2; 2; 0], A[4; 8; 8]) protněte rovinou ρ (2; -3,5; 1,5) a určete velikost řezu. PŘÍKLAD 8: A4 na výšku, O [13,5; 10] Je dán pravidelný šestiboký jehlan s vrcholem V[0; 4; 6,5] a podstavou ABCDEF v půdorysně (A[-2,5; 6; 0]). Zobrazte řez jehlanu rovinou ρ (4,5; 90°; 150°) a určete jeho skutečnou velikost. PŘÍKLAD 9: A4 na výšku, O [11; 11] Pravidelný pětiboký jehlan s vrcholem V[-2,5; 4; 6,5] a podstavou ABCDE v půdorysně (A[-4; 7; 0]) protněte rovinou ρ (0; 60°; 150°). Zobrazte řez a určete jeho skutečnou velikost. PŘÍKLAD 10: A4 na výšku, O [10; 10] Pravidelný pětiboký jehlan s vrcholem V[-2,5; 4; 6,5] a podstavou ABCDE v půdorysně (A[-4; 7; 0]) protněte rovinou ρ (3; 4; 3). Zobrazte řez a určete jeho skutečnou velikost. PŘÍKLAD 11: A4 na výšku, O [10; 12] Pětiboký jehlan s vrcholem V[2,5; 7; 6] a podstavou ABCDE v půdorysně (A[-4; 7; 0], S[-2,5; 4; 0]) protněte rovinou ρ (3; 7; 2). Zobrazte řez a určete jeho skutečnou velikost.
1
PŘÍKLAD 1: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (2; ∞; 1,5) a určete velikost řezu. Předtisk na další straně.
nρ2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1
pρ1 2
x1,2
nρ2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1
pρ1 3
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina ρ je kolmá k nárysně a protína všechny pobočné hrany hranolu. Řezem je šestiúhleník A’B’C’D’E’F’, jehož vrcholy jsou průsečíky pobočných hran s rovinou řezu. Půdorysný obraz řezu je totožný s půdorysným obrazem hranolu, nárysným obrazem řezu je úsečka E’2B’2.
nρ2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
C’2
B’2
A’2 D’2 E’2
F’2
E2
F2
D2
A2
D1=D1=D’1
C2 B2
C1=C1=C’1
E1=E1=E’1 B1=B1=B’1 F1=F1=F’1 A1=A1=A’1
pρ1 4
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina ρ je kolmá k nárysně a protína všechny pobočné hrany hranolu. Řezem je šestiúhleník A’B’C’D’E’F’, jehož vrcholy jsou průsečíky pobočných hran s rovinou řezu. Půdorysný obraz řezu je totožný s půdorysným obrazem hranolu, nárysným obrazem řezu je úsečka E’2B’2. 2.Velikost řezu sestrojíme sklopením roviny ρ např. do druhé průmětny.
(A)
(B)
E2
(F)
F2
nρ2
D2
A2
C2 B2
(C) C’2
(D)
(E)
B’2
A’2
D’2 E’2
F’2
E2
F2
D2
A2
D1=D1=D’1
C2 B2
C1=C1=C’1
E1=E1=E’1 B1=B1=B’1 F1=F1=F’1 A1=A1=A’1
pρ1 5
x1,2
PŘÍKLAD 2: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (2; ∞; 3) a určete velikost řezu. Předtisk na další straně.
nρ2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1
pρ1 6
x1,2
nρ2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1
pρ1 7
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina ρ je kolmá k nárysně, ale neprotína všechny pobočné hrany hranolu. Řezem je pětiúhelník K’L’D’E’F’, jehož vrcholy D’, E’, F’ jsou průsečíky pobočných hran s rovinou řezu a vrcholy K’, L’ jsou průsečíky hran horní podstavy s rovinou řezu. Nárysný obraz řezu je úsečka E’2K’2(L’2). K sestrojení půdorysu řezu potřebujeme získat půdorysy bodů K’ a L’. Jelikož máme jejich nárysné obrazy, po ordinále přeneseme tyto do půdorysu, kde na průsečících ordinály s hranami horní podstavy hranolu nalezneme body K’1 a L’1.
nρ2
K’2= L’2 F2 D2 A2
E2
C2 B2
D’2 F’2 E’2
E2
F2
D2
D1=D1=D’1
A2
L’1
C2 B2
C1=C1
E1=E1=E’1 B1=B1 F1=F1=F’1
K’1 A1=A1
pρ1 8
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina ρ je kolmá k nárysně, ale neprotína všechny pobočné hrany hranolu. Řezem je pětiúhelník K’L’D’E’F’, jehož vrcholy D’, E’, F’ jsou průsečíky pobočných hran s rovinou řezu a vrcholy K’, L’ jsou průsečíky hran horní podstavy s rovinou řezu. Nárysný obraz řezu je úsečka E’2K’2(L’2). K sestrojení půdorysu řezu potřebujeme získat půdorysy bodů K’ a L’. Jelikož máme jejich nárysné obrazy, po ordinále přeneseme tyto do půdorysu, kde na průsečících ordinály s hranami horní podstavy hranolu nalezneme body K’1 a L’1. 2. Velikost řezu sestrojíme sklopením roviny ρ např. do nárysny.
nρ2 (K)
(L) (F)v
E2
(E)
(D)
K’2= L’2 F2 D2 A2
C2 B2
D’2
F’2 E’2
E2
F2
D2
D1=D1=D’1
A2
L’1
C2 B2
C1=C1
E1=E1=E’1 B1=B1 F1=F1=F’1
K’1 A1=A1
pρ1 9
x1,2
PŘÍKLAD 3: A4 na výšku, O [10,5; 10,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (4,5; 5,5; 2,5) a určete velikost řezu. Předtisk na další straně.
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1 C1=C1 E1=E1 B1=B1 F1=F1
A1=A1
pρ1 10
nρ2
x1,2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1 C1=C1 E1=E1 B1=B1 F1=F1
A1=A1
pρ1 11
nρ2
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jelikož je rovina ρ je zadána obecně, musíme nejsprve určit, zda protíná podstavy hranolu. Je zřejmé, že půdorysná stopa roviny řezu neprotíná dolní podstavu. Sestrojíme průsečnici p roviny horní podstavy a roviny ρ. Z této konstrukce je patrné, že rovina ρ neprotíná ani horní podstavu. 2. Řezem hranolu je šestiúhelník A’B’C’D’E’F’. Půdorysný průmět řezu je totožný s půdorysem hranolu. Pomocí hlavních přímek roviny ρ získáme nárysný průmět řezu a dourčíme jeho viditelnost.
p2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
nρ2
C’2 B’2
D’2
E’2 E2
A’2 F’ F2 2
D2
A2
C2 B2
x1,2
D1=D1=D’1 C1=C1=C’1 E1=E1=E’1
p1 B1=B1=B’1 F1=F1=F’1
A1=A1=A’1
pρ1 12
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jelikož je rovina ρ je zadána obecně, musíme nejsprve určit, zda protíná podstavy hranolu. Je zřejmé, že půdorysná stopa roviny řezu neprotíná dolní podstavu. Sestrojíme průsečnici p roviny horní podstavy a roviny ρ. Z této konstrukce je patrné, že rovina ρ neprotíná ani horní podstavu. 2. Řezem hranolu je šestiúhelník A’B’C’D’E’F’. Půdorysný průmět řezu je totožný s půdorysem hranolu. Pomocí hlavních přímek roviny ρ získáme nárysný průmět řezu a dourčíme jeho viditelnost. 3. Velikost řezu získáme otočením roviny řezu např. do půdorysny.
E2
p2
F2
D2
A2
C2 B2
nρ2
C’2 B’2
D’2
E’2 E2
A’2 F’ F2 2
D2
A2
C2 B2
x1,2
D1=D1=D’1 C1=C1=C’1 E1=E1=E’1
p1 B1=B1=B’1
E0
F1=F1=F’1 F0
A1=A1=A’1
D0 A0 13
C0
B0
pρ1
PŘÍKLAD 4: A4 na výšku, O [11; 8] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně (střed S [-2; 3,5; 0], vrchol A [-2,5; 5,5; 0] a výška v=6). Zobrazte řez hranolu rovinou ρ (∞; 6; 7) a určete velikost řezu. Předtisk na další straně.
nρ2 E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1
x1,2
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1 pρ1 14
nρ2 E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
D1=D1
x1,2
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1 pρ1 15
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina řezu je rovnoběžná s osou x, proto lze pro konstrukci řezu využít třetího průmětu. konstrukce viz obrázek
nρ2 A3
F3
B3
E3
C3 D3
E2
F2
D2
A2
C2 B2
E2
F2
D2
A2
C2 B2
ρ3
A3
F3
B3
E3
C3 D3
D1=D1
x1,2
C1=C1
E1=E1 B1=B1 F1=F1 A1=A1 pρ1 16
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina řezu je rovnoběžná s osou x, proto lze pro konstrukci řezu využít třetího průmětu. konstrukce viz obrázek 2. Řez se ve třetím průmětu zobrazí jako úsečka A’3D’3. Získané body přeneseme z bokorysu do nárysu a získáme druhý průmět řezu. V půdoryse splyne řez s průmětem tělesa. Řezem je šestiúhelník A’B’C’D’E’F’. Dourčíme viditelnost ve druhém průmětu.
nρ2 A3
F3
B3
E3
C3 D3
E2
F2
D’3 ρ3
D2
A2
C2 B2
D’2
C’3
C’2
E’3
E’2
B’3
A’3 A3
B’2 F’2
F’3 F3
B3
E3
C3 D3
E2
F2
A’2 D2
A2
D1=D1=D’1
C2 B2
x1,2
C1=C1=C’1
E1=E1=E’1 B1=B1=B’1 F1=F1=F’1 A1=A1=A’1 pρ1 17
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina řezu je rovnoběžná s osou x, proto lze pro konstrukci řezu využít třetího průmětu. konstrukce viz obrázek 2. Řez se ve třetím průmětu zobrazí jako úsečka A’3D’3. Získané body přeneseme z bokorysu do nárysu a získáme druhý průmět řezu. V půdoryse splyne řez s průmětem tělesa. Řezem je šestiúhelník A’B’C’D’E’F’. Dourčíme viditelnost ve druhém průmětu. 3. Skutečnou velikost řezu můžeme pro zjednodušení určit sklopením řezu ve třetí průmětně.
nρ2
(C) A3
F3
B3
E3
(D) C3 D3
E2
F2
D’3 ρ3
(B)
D2
A2
D’2
C’3
C’2
(E) E’3
(A) A’3 A3
(F) F’3 F3
C2 B2
E’2
B’3
B’2 F’2
B3
E3
C3 D3
E2
F2
A’2 D2
A2
D1=D1=D’1
C2 B2
x1,2
C1=C1=C’1
E1=E1=E’1 B1=B1=B’1 F1=F1=F’1 A1=A1=A’1 pρ1 18
PŘÍKLAD 5: A4 na výšku, O [17; 13] Kosý hranol s pravidelnou pětiúhelníkovou podstavou ABCDE v půdorysně (střed podstavy S [-4; 5; 0], A[-2; 2; 0], A[4; 8; 8]) protněte rovinou ρ (8; 9,5; ∞) a určete velikost řezu. Předtisk na další straně. E2
A2
D2
B2
C2
nρ2
x1,2
E2
A2
B2
D2
A1
B1
E1
A1
D1
C1
D1 19
C1
B1
E1
C2
pρ1
E2
A2
D2
B2
C2
nρ2
x1,2
E2
A2
B2
D2
A1
B1
E1
A1
D1
C1
D1 20
C1
B1
E1
C2
pρ1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina ρ je kolmá k nárysně a protíná horní podstavu hranolu. Řezem je šestiúhleník A’K’L’C’D’E’, jehož vrcholy jsou průsečíky pobočných hran s rovinou řezu a průsečíky roviny řezu s hranami horní podstavy. Půdorysný obraz je úsečka A’1C’1, nárysný obraz získáme přenesením průsečíků po ordinále do nárysného obrazu hranolu a dourčíme jeho viditelnost. E2
A2
K’2
D2
B2
L’2 C2 C’2
nρ2
A’2
D’2 E’2
x1,2
E2
A2
B2
D2
A1
B1
E1
C1
A’1
A1
E’1
K’1
B1
D1
L’1 D’1 C’1
E1
C1
D1 21
C2
pρ1
POSTUP KONSTRUKCE 2. Velikost řezu sestrojíme sklopením roviny ρ např. do půdorysny.
E2
A2
K’2
D2
B2
L’2 C2 C’2
nρ2
A’2
D’2 E’2
x1,2
E2
A2
B2
D2
A1
B1
E1
C1
A’1
A1
E’1
K’1
B1
D1
(E) (A)
L’1 D’1 C’1
E1
C1 (D)
(K)
D1 22
(L)
(C)
C2
pρ1
PŘÍKLAD 6: A4 na výšku, O [11; 10,5] Zobrazte řez roviny ρ (5,5; 6,5; 6) kosým hranolem o čtvercové podstavě ABCD v půdorysně (A [-5; 1,5; 0], C[-1; 1,5; 0], A [1; 3,5; 6,5]). Předtisk na další straně.
nρ2
D2
C2
B2
A2
C2
D2
A2
B2
D1 A1 D1
A1 C1 B1
C1 B1
23
pρ1
x1,2
nρ2
D2
C2
B2
A2
C2
D2
A2
B2
D1 A1 D1
A1 C1 B1
C1 B1
24
pρ1
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (C’) sestrojíme jako průsečík hrany CC s rovinou řezu. Zvolíme nárysně krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany CC a přímky k je bod C’.
nρ2
B2
D2
C2
A2
k2
C2
D2
A2
B2
D1
k1
A1 D1
A1
C’1
C1 B1
C1 B1
25
pρ1
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (C’) sestrojíme jako průsečík hrany CC s rovinou řezu. Zvolíme nárysně krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany CC a přímky k je bod C’. 2. Mezi podstavou hranolu a řezem existuje vztah osové afinity. Osa afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, tedy půdorysná stopa pρ. Dvojice odpovídajících si bodů je C a C’. Za pomoci osové afinity dourčíme body A’1, B’1, D’1. Po ordinálách dourčíme obraz řezu v nárysně a dourčíme jeho viditelnost.
nρ2
B2
D2
C2
A2
k2
A’2 D’2
B’2
C’2 C2
D2
A2
B2
D1
k1
A1
D’1 A’1
D1
A1
C’1
C1 B1 B’1
C1 B1
26
pρ1
x1,2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (C’) sestrojíme jako průsečík hrany CC s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany CC a přímky k je bod C’. 2. Mezi podstavou hranolu a řezem existuje vztah osové afinity. Osa afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, tedy půdorysná stopa pρ. Dvojice odpovídajících si bodů je C a C’. Za pomoci osové afinity dourčíme body A’1, B’1, D’1. Po ordinálách dourčíme obraz řezu v nárysně a dourčíme jeho viditelnost. 3. Skutečnou velikost řezu sestrojíme otočením roviny ρ do půdorysny či nárysny.
nρ2
B2
D2
C2
A2
k2
A’2 D’2
B’2
C’2 C2
D2
A2
B2
D1
k1
A1
D’1 A’1
D1
A1
C’1
C1 B1
D0 C1
B’1
A0 B1
C0 27
B0
pρ1
x1,2
PŘÍKLAD 7: A4 na výšku, O [15,5; 11,5] Kosý hranol s pravidelnou pětiúhelníkovou podstavou ABCDE v půdorysně (střed podstavy S [-4; 5; 0], A[-2; 2; 0], A[4; 8; 8]) protněte rovinou ρ (2; -3,5; 1,5) a určete velikost řezu. Předtisk na další straně.
E2
A2
D2
B2
C2
nρ2
E2
x1,2
A2
D2
A1
D1
C1
pρ1
28
C1
B1
E1
D1
C2
B1
E1
A1
B2
E2
A2
D2
B2
C2
nρ2
E2
x1,2
A2
D2
A1
D1
C1
pρ1
29
C1
B1
E1
D1
C2
B1
E1
A1
B2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (E’) sestrojíme jako průsečík hrany EE s rovinou řezu. Zvolíme nárysně krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany EE a přímky k je bod E’. Je nutné uvědomit si, že půdorysný stopník krycí přímky k má zápornou y-souřadnici.
E2
A2
D2
B2
C2
nρ2 k2
E2
x1,2
A2
D2
A1
E1
D1
C1
pρ1 k1 30
C1
B1
E’1
D1
C2
B1
E1
A1
B2
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (E’) sestrojíme jako průsečík hrany EE s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany EE a přímky k je bod E’. Je nutné uvědomit si, že půdorysný stopník krycí přímky k má zápornou y-souřadnici. 2. Mezi podstavou hranolu a řezem existuje vztah osové afinity. Osa afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, tedy půdorysná stopa pρ. Dvojice odpovídajících si bodů je E a E’. Za pomoci osové afinity dourčíme body A’1, B’1, C’1, D’1. Po ordinálách dourčíme obraz řezu v nárysně a dourčíme jeho viditelnost. E2
A2
D2
B2
C2 C’2
D’2
nρ2
B’2 k2
A’2
E’2
E2
x1,2
A2
D2
A1
B2
C2
B1
A’1 E1
C1
B’1
A1
B1
E’1
C’1 C1
E1 pρ1
D’1 k1
31
D1
D1
POSTUP KONSTRUKCE 2. Mezi podstavou hranolu a řezem existuje vztah osové afinity. Osa afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, tedy půdorysná stopa pρ. Dvojice odpovídajících si bodů je E a E’. Za pomoci osové afinity dourčíme body A’1, B’1, C’1, D’1. Po ordinálách dourčíme obraz řezu v nárysně a dourčíme jeho viditelnost. 3. Skutečnou velikost řezu sestrojíme otočením roviny ρ do půdorysny či nárysny.
E2
A2
D2
B2
C2 C’2
D’2
nρ2
B’2 k2
A’2
E’2
E2
x1,2
A2
D2
A1
A’1
A0 C1
B’1 B0 B1
E’1
D1
E0
C’1 C1
E1 pρ1
D’1 k1
32
D1
C2
B1
E1
A1
B2
C0 D0
PŘÍKLAD 8: A4 na výšku, O [13,5; 10] Je dán pravidelný šestiboký jehlan s vrcholem V[0; 4; 6,5] a podstavou ABCDEF v půdorysně (A[-2,5; 6; 0]). Zobrazte řez jehlanu rovinou ρ (4,5; 90°; 150°) a určete jeho skutečnou velikost. Předtisk na další straně.
V2
E2
x1,2
D2
nρ2
F2
C2
A2
B2
C1 D1 B1 V1 E1 A1 F1 pρ1
33
V2
E2
x1,2
D2
nρ2
F2
C2
A2
B2
C1 D1 B1 V1 E1 A1 F1 pρ1
34
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina řezu je kolmá k nárysně a protíná všechny pobočné hrany jehlanu. Řezem je šestiúhelník A’B’C’D’E’F’, jehož nárysným obrazem je úsečka B’2E’2. Půdorysy vrcholů leží na ordinálách a na půdorysu příslušných pobočných hran.
V2
nρ2
A’2 F’2 E’2 E2
x1,2
C’2
D’2 D2
F2
C2
A2
B2
C1 D1
D’1
C’1
V1 E1
F1 pρ1
B1 B’1 A’1
E’1 F’1
35
B’2
A1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Rovina řezu je kolmá k nárysně a protíná všechny pobočné hrany jehlanu. Řezem je šestiúhelník A’B’C’D’E’F’, jehož nárysným obrazem je úsečka B’2E’2. Půdorysy vrcholů leží na ordinálách a na půdorysu příslušných pobočných hran. 2. Skutečnou velikost řezu získáme např. otočením roviny řezu do půdorysny.
V2
nρ2
A’2 F’2 E’2 E2
x1,2
C’2
D’2 D2
F2
C2
A2
B2
C1 D1
C0
D’1
D0
C’1
B0
V1
A0
E1
E0
F’1 F1 pρ1
B1 B’1 A’1
E’1
F0
36
B’2
A1
PŘÍKLAD 9: A4 na výšku, O [11; 11] Pravidelný pětiboký jehlan s vrcholem V[-2,5; 4; 6,5] a podstavou ABCDE v půdorysně (A[-4; 7; 0]) protněte rovinou ρ (0; 60°; 150°). Zobrazte řez a určete jeho skutečnou velikost. Předtisk na další straně.
V2
nρ2
D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1
D1 B1
V1
pρ1
37
E1 A1
V2
nρ2
D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1
D1 B1
V1
pρ1
38
E1 A1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (A’) sestrojíme jako průsečík hrany AV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany AV a přímky k je bod A’. Je nutné uvědomit si, že půdorysný stopník krycí přímky k má zápornou y-souřadnici.
V2
nρ2
k2
D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1
D1 B1
V1
A’1 pρ1
E1 A1 k1
39
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (A’) sestrojíme jako průsečík hrany AV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany AV a přímky k je bod A’. Je nutné uvědomit si, že půdorysný stopník krycí přímky k má zápornou y-souřadnici. 2. Půdorysy dalších vrcholů řezu sestrojíme užitím středové kolineace mezi půdorysem podstavy a řezu. Osou středové kolineace je půdorys stopy pρ1, středem kolineace je bod V1 a párem kolineárně sdružených bodů je A1, A’1. Řezem je pětiúhelník A’B’C’D’E’. Nárysy vrcholů řezu získáme přenesením po ordinále na příslušnou hranu tělesa. Dourčíme viditelnost řezu v druhé průmětně.
V2
k2 A’ 2
E’2
nρ2 B’2
C’2
D’2 D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1 C’1 D1
D’1 V1
pρ1
E1
E’1
B’1 A’1
A1 k1
40
B1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (A’) sestrojíme jako průsečík hrany AV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany AV a přímky k je bod A’. Je nutné uvědomit si, že půdorysný stopník krycí přímky k má zápornou y-souřadnici. 2. Půdorysy dalších vrcholů řezu sestrojíme užitím středové kolineace mezi půdorysem podstavy a řezu. Osou středové kolineace je půdorys stopy pρ1, středem kolineace je bod V1 a párem kolineárně sdružených bodů je A1, A’1. Řezem je pětiúhelník A’B’C’D’E’. Nárysy vrcholů řezu získáme přenesením po ordinále na příslušnou hranu tělesa. Dourčíme viditelnost řezu v druhé průmětně. 3. Skutečnou velikost řezu získáme otočením roviny ρ např. do půdorysny.
V2
k2 A’ 2 B0
E’2
C0
B’2
C’2
D’2
A0
D2 E2
x1,2
C2
B2
C’1 D1
D’1 V1
pρ1
A2
C1
D0
E0
E1
E’1
B’1 A’1
A1 k1
41
nρ2
B1
PŘÍKLAD 10: A4 na výšku, O [10; 10] Pravidelný pětiboký jehlan s vrcholem V[-2,5; 4; 6,5] a podstavou ABCDE v půdorysně (A[-4; 7; 0]) protněte rovinou ρ (3; 4; 3). Zobrazte řez a určete jeho skutečnou velikost. Předtisk na další straně.
nρ2
V2
x1,2
D2 E2
C2
A2
B2
C1
D1 B1
V1
E1 A1 pρ1 42
nρ2
V2
x1,2
D2 E2
C2
A2
B2
C1
D1 B1
V1
E1 A1 pρ1 43
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (A’) sestrojíme jako průsečík hrany AV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany AV a přímky k je bod A’. Pro usnadnění dalšího postupu využijeme také krycí přímky l pro zjištění bodu D’.
nρ2
V2
k2 l2
x1,2
D2 E2
C2
D’1 B1
V1
E1
A’1
k1
pρ1 44
B2
C1
l1 D1
A2
A1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (A’) sestrojíme jako průsečík hrany AV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany AV a přímky k je bod A’. Pro usnadnění dalšího postupu využijeme také krycí přímky l pro zjištění bodu D’. 2. Půdorysy dalších vrcholů řezu sestrojíme užitím středové kolineace mezi půdorysem podstavy a řezu. Osou středové kolineace je půdorys stopy pρ1, středem kolineace je bod V1 a párem kolineárně sdružených bodů je A1, A’1. Jelikož rovina řezu protíná podstavu tělesa, součástí řezu je úsečka K’L’. Řezem je šestiúhelník A’B’C’D’K’L’. Nárysy vrcholů řezu získáme přenesením po ordinále na příslušnou hranu tělesa. Dourčíme viditelnost v obou průmětech.
nρ2
V2
B’2
C’2 k2 l2
A’2
D’2 L’2
D2 E2 K’2
x1,2
C2
D’1
C’1
K’1
E1 E’1
45
B2
C1
l1 D1
A2
V1
L’1
B’1
A’1
k1
pρ1
A1
B1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (A’) sestrojíme jako průsečík hrany AV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany AV a přímky k je bod A’. Pro usnadnění dalšího postupu využijeme také krycí přímky l pro zjištění bodu D’. 2. Půdorysy dalších vrcholů řezu sestrojíme užitím středové kolineace mezi půdorysem podstavy a řezu. Osou středové kolineace je půdorys stopy pρ1, středem kolineace je bod V1 a párem kolineárně sdružených bodů je A1, A’1. Jelikož rovina řezu protíná podstavu tělesa, součástí řezu je úsečka K’L’. Řezem je šestiúhelník A’B’C’D’K’L’. Nárysy vrcholů řezu získáme přenesením po ordinále na příslušnou hranu tělesa. Dourčíme viditelnost v obou průmětech. 3. Skutečnou velikost řezu získáme otočením roviny řezu např. do půdorysny.
nρ2
V2
B’2
C’2 k2 l2
A’2
D’2 L’2
D2 E2 K’2
x1,2
C2
D’1
D0
K’1=L0
E1 C0
46
B0
C’1 V1
L’1=L0
B’1
A’1
k1
E’1 A0
B2
C1
l1 D1
A2
pρ1
A1
B1
PŘÍKLAD 11: A4 na výšku, O [10; 12] Pětiboký jehlan s vrcholem V[2,5; 7; 6] a podstavou ABCDE v půdorysně (A[-4; 7; 0], S[-2,5; 4; 0]) protněte rovinou ρ (3; 7; 2). Zobrazte řez a určete jeho skutečnou velikost. Předtisk na další straně.
nρ2 V2
D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1
D1 B1 S1
E1 V1
A1
pρ1 47
nρ2 V2
D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1
D1 B1 S1
E1 V1
A1
pρ1 48
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (D’) sestrojíme jako průsečík hrany DV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany DV a přímky k je bod D’.
nρ2 V2
k2
D2 E2
x1,2
C2
A2
B2
C1
D1 D’1
B1 S1
E1 V1
A1 k1
pρ1 49
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (D’) sestrojíme jako průsečík hrany DV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany DV a přímky k je bod D’. 2. Půdorysy dalších vrcholů řezu sestrojíme užitím středové kolineace mezi půdorysem podstavy a řezu. Osou středové kolineace je půdorys stopy pρ1, středem kolineace je bod V1 a párem kolineárně sdružených bodů je D1, D’1. Řezem je pětiúhelník A’B’C’D’E’. Nárysy vrcholů řezu získáme přenesením po ordinále na příslušnou hranu tělesa. Dourčíme viditelnost v obou průmětech.
nρ2 V2
k2
B’2
C’2
A’2
D’2 E’ D2 E2 2
x1,2
C2
A2
C1
D1
C’1
D’1
B1 S1 B’1
V1
E’1
E1 A’1
k1
pρ1 50
B2
A1
POSTUP KONSTRUKCE 1. Jeden vrchol řezu (D’) sestrojíme jako průsečík hrany DV s rovinou řezu. Zvolíme krycí přímku k a nalezneme její průsečík s příslušnou hranou tělesa. Průsečíkem hrany DV a přímky k je bod D’. 2. Půdorysy dalších vrcholů řezu sestrojíme užitím středové kolineace mezi půdorysem podstavy a řezu. Osou středové kolineace je půdorys stopy pρ1, středem kolineace je bod V1 a párem kolineárně sdružených bodů je D1, D’1. Řezem je pětiúhelník A’B’C’D’E’. Nárysy vrcholů řezu získáme přenesením po ordinále na příslušnou hranu tělesa. Dourčíme viditelnost v obou průmětech. 3. Skutečnou velikost řezu získáme otočením roviny řezu např. do půdorysny.
nρ2 V2
k2
B’2
C’2
A’2
D’2 E’ D2 E2 2
x1,2
C2
A2
C1
D1
C’1
D’1
D0
B1 S1 B’1
C0 E0 E’1
V1 B0
E1 A’1
k1 A0 pρ1
51
B2
A1
