Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta
Návrh polarizujících filtrů, McNeillův hranol Jaromír Křepelka
Olomouc 2014
´ vod 1 U V te´to cˇa´sti se podı´va´me na vlastnosti polarizujı´cı´ho MacNeillova filtru, jehozˇ princip ukazuje obr. 1. Tento filtr tvorˇ´ı zatmelena´ soustava cˇtvrtvlnovy´ch tenky´ch vrstev s indexy lomu n1 , n2 , tzn., zˇe zmeˇna fa´ze elektromagneticke´ vlny prˇi jednom pru˚chodu vrstvou v sˇikme´m dopadu je π/2. Vrstvy jsou umı´steˇny v hranolu tak, zˇe vnitrˇnı´ u´hel dopadu na jejich rozhranı´ je pra´veˇ roven Brewsteroveˇ u´hlu. V takove´m prˇ´ıpadeˇ je totizˇ odraznost p polarizovane´ vlny na kazˇde´m rozhranı´ nulova´ a odraznosti s polarizovane´ vlny na jednotlivy´ch rozhranı´ch se nascˇ´ıtajı´ na hodnotu prˇiblizˇujı´cı´ se s rostoucı´m pocˇtem vrstev jedne´.
Obr. 1 Sche´ma funkce MacNeillova polariza´toru
2 Analy´za Oznacˇ´ıme-li index lomu materia´lu hranolu ng a u´hel dopadu θg vlny na soustavu vrstev naneseny´ch na vnitrˇnı´m rˇezu hranolu (u´hel je meˇrˇeny´ ve skle), odvodı´me nutne´ podmı´nky pro indexy lomu vrstev ni a jejich tlousˇt’ky hi , i = 1, 2, symbolem λc je oznacˇena centra´lnı´ vlnova´ de´lka. Nejdrˇ´ıve podmı´nka pro fa´zove´ tlousˇt’ky vrstev: v u u t
2π π ng sin θg = ϕi = ni h i 1 − 2 λc ni
3
!2
, i = 1, 2.
(1)
K nı´ prˇida´me podmı´nku pro Brewsteru˚v u´hel dopadu a za´kon lomu: tan θB =
n2 , ng sin θg = n1 sin θB . n1
(2)
Z teˇchto podmı´nek pak dostaneme potrˇebne´ vztahy pouzˇitelne´ pro konstrukcˇnı´ na´vrh: 4ni hi , ci = = ng sin θg = q λc n21 + n22 n1 n2
q
n21 + n22 , i = 1, 2. ni
(3)
Jak je z teˇchto vztahu˚ videˇt, relativnı´ opticke´ tlousˇt’ky ci a skutecˇne´ fyzika´lnı´ tlousˇt’ky hi vrstev MacNeillova polariza´toru neza´visejı´ na u´hlu dopadu.
3 Na´vrh Pro na´vrh potrˇebujeme vybrat cˇtyrˇi parametry (θg , n1 , n2 a ng ), zatı´mco stacˇ´ı splnit pouze dveˇ podmı´nky. Proto lze vzˇdy neˇktere´ parametry polariza´toru zvolit a ostatnı´ dopocˇ´ıtat. Navı´c lze prˇedpokla´dat, zˇe bychom jesˇteˇ mohli mı´t k dispozici na´hradu neexistujı´cı´ho indexu lomu trˇ´ıvrstvou symetrickou strukturou, ktera´ se efektivneˇ chova´ jako jedna vrstva s urcˇity´m ekvivalentnı´m indexem lomu a fa´zovou tlousˇt’kou. Pro vy´konovou propustnost τ (p) p polarizovane´ a vy´konovou odraznost ρ(s) s polarizovane´ vlny takove´ soustavy N vrstev na centra´lnı´ vlnove´ de´lce λc odvodı´me vy´razy τ
(p)
= 1, ρ
(s)
=
(n2 /n1 )2N − (n1 /n2 )2N (n2 /n1 )2N + (n1 /n2 )2N
!2
,
(4)
takzˇe se opravdu odraznost s polarizovane´ vlny s rostoucı´m pocˇtem vrstev blı´zˇ´ı 100 %, zatı´mco propustnost p polarizovane´ vlny je prˇesneˇ rovna 100 % (avsˇak bez zapocˇtenı´ vlivu prˇednı´ a zadnı´ cˇi bocˇnı´ strany hranolu, pokud tyto plochy nejsou antireflektova´ny dalsˇ´ımi tenky´mi vrstvami). V na´sledujı´cı´m prˇ´ıkladu se pokusı´me navrhnout MacNeillu˚v polariza´tor pracujı´cı´ prˇednostneˇ s u´hlem dopadu θg = 45◦ . Prˇitom vyuzˇijeme materia´lu˚ s indexy lomu nL = 1, 49 a nH = 2, 22 a zkusı´me najı´t pro hranol vhodny´ skleneˇny´ materia´l, prˇ´ıpadneˇ navrhnout parametry tak, aby bylo mozˇno hranol vyrobit ze skla BK7 s indexem lomu ng = 1, 52. 4
Z podmı´nky, v nı´zˇ vystupuje index lomu hranolu, zjistı´me ze vztahu ng =
n1 n2 q
sin θg n21 + n22
(5)
jeho potrˇebnou velikost ng = 1, 7496. Prˇestozˇe sklo s tı´mto indexem lomu se beˇzˇneˇ nevyra´bı´, mu˚zˇeme namı´sto neˇj pouzˇ´ıt sklo SF14 s indexem lomu nSF14 = 1, 756 blı´zky´m pozˇadovane´ hodnoteˇ. Z druhe´ podmı´nky pak spocˇteme relativnı´ opticke´ tlousˇt’ky periodicke´ soustavy vrstev c1 =
n1 h 1 n2 h 2 = 1, 794, c2 = = 1, 204, λc /4 λc /4
cozˇ prˇi prˇepocˇtu na u´hel dopadu 45◦ , volbeˇ osmi vrstev a po mı´rne´m rozladeˇnı´ tlousˇteˇk pocˇ´ıtacˇovy´m optimalizacˇnı´m algoritmem vede k na´sledujı´cı´ soustaveˇ vrstev (za´pis platı´ pro libovolnou pracovnı´ vlnovou de´lku λc ). 1, 756/1.802L 1, 210H 1, 804L 1, 207H 1, 804L 1, 207H 1, 804L 1, 208H/1, 756, λc λc , hi = , i = 1, 2. 4 4ni Graficky je tento vy´sledek zna´zorneˇn na obr. 2 pro λc = 550 nm. ∆=
Obr. 2 Propustnost s a odraznost p polarizovane´ vlny MacNeillova polariza´toru Vysˇsˇ´ıho stupneˇ polarizace MacNeillovy´m hranolem bychom dosa´hli zveˇtsˇenı´m pocˇtu tenky´ch vrstev. 5
Vyjdeme-li z pozˇadavku na materia´l hranolu, to je zvolı´me-li sklo BK7, pak musı´me najı´t vhodny´ u´hel dopadu, ktery´ se jizˇ bude lisˇit od 45◦ . Ze zadany´ch indexu˚ lomu n1 = 1, 49, n2 = 2, 22, ng = 1, 52 spocˇteme potrˇebny´ u´hel dopadu θg a relativnı´ opticke´ tlousˇt’ky θg = 54, 48◦ , c1 = 1, 794, c2 = 1, 204. Vy´slednou sestavu pak mu˚zˇeme zapsat symbolicky 1, 52/(1, 794L 1, 204H)4 /1, 52, ∆ =
λc . 4
Vy´sledek v graficke´ podobeˇ je demonstrova´n na obr. 3 pro centra´lnı´ (pracovnı´) vlnovou de´lku λc = 550 nm.
Obr. 3 Propustnost s a odraznost p polarizovane´ vlny MacNeillova polariza´toru Mu˚zˇeme se take´ pokusit zachovat u´hel dopadu 45◦ a materia´l hranolu BK7, cozˇ se ale neobejde bez zmeˇny indexu lomu alesponˇ jednoho materia´lu periodicke´ soustavy vrstev. Ma´me-li k dispozici jen materia´ly s indexy lomu nL = 1, 49, nH = 2, 22, ng = 1, 52 a navı´c pozˇadujeme, aby hranol byl zkonstruova´n s vnitrˇnı´m u´hlem θg = 45◦ , mu˚zˇeme prˇesto zvolit jeden materia´lu˚ s indexem lomu n1 = 1, 49 (druha´ mozˇnost s hodnotou 2,22 je take´ prˇ´ıpustna´ a hodna´ prozkouma´nı´). Spocˇteme pak n2 = q
n1 ng sin θg n21 − n2g sin2 θg
= 1, 552,
c1 = 1, 4439, c2 = 1, 3863. 6
Pozˇadovany´ index lomu n2 = 1, 552 vrstvy s relativnı´ optickou tlousˇt’kou c2 = 1, 3863 nahradı´me ekvivalentnı´ symetrickou trˇ´ıvrstvou strukturou 0, 4093H 0, 5246L 0, 4093H, (rovneˇzˇ varianta LHL stojı´ za prozkouma´nı´, ta by dokonce mohla ve´st k nizˇsˇ´ımu pocˇtu vrstev vy´chozı´ sestavy prˇed pocˇ´ıtacˇovou optimalizacı´), takzˇe dostaneme vy´slednou sestavu naprˇ´ıklad s 24 vrstvami 1, 52/(1, 4439L 0, 4093H 0, 5246L 0, 4093H)6 /1, 52, θg = 45◦ . Takovou sestavu lze povazˇovat za vy´chozı´ cˇi nultou iteraci pocˇ´ıtacˇove´ optimalizace, ktera´ po neˇkolika pru˚chodech zpu˚sobı´, zˇe tlousˇt’ky neˇktery´ch vrstev se nastavı´ na sve´ minima´lnı´ (nulove´) hodnoty a pocˇet vrstev cele´ho syste´mu se tak snı´zˇ´ı dokonce na 12: 1, 52/1, 496L 1, 013H 1, 334L 0, 889H 1, 238L 0, 884H 1, 218L 0, 894H1, 245L 0, 899H 1, 334L 1, 000H/1, 52, λc . 4 Graficky je tento vy´sledek zna´zorneˇn na obr. 4 pro λc = 550 nm. Jak je θg = 45◦ , ∆ =
Obr. 4 Propustnost s a odraznost p polarizovane´ vlny MacNeillova polariza´toru videˇt z pomeˇrneˇ ostry´ch pru˚beˇhu˚ v okolı´ centra´lnı´ vlnove´ de´lky, nezda´ se by´t tento prˇ´ıstup, vyuzˇ´ıvajı´cı´ pojmu ekvivalentnı´ho indexu lomu symetricke´ trojvrstvy, prˇ´ılisˇ vhodny´. Du˚vodem je, zˇe vztahy, jezˇ majı´ platit mezi indexy 7
lomu, byly odvozeny jizˇ za prˇedpokladu sˇikme´ho dopadu, kdezˇto ekvivalentnı´ trˇ´ıvrstva´ symetricka´ struktura byla pouzˇita pro na´vrh indexu lomu v kolme´m dopadu. Proto by bylo potrˇeba proba´dat rozsˇ´ırˇenı´ pojmu trˇ´ıvrstve´ symetricke´ struktury v sˇikme´m dopadu a rozlisˇit oba polarizacˇnı´ stavy.
4 Za´veˇr V tomto modulu jsme prozkoumali mozˇnosti na´vrhu polarizujı´cı´ho filtru MacNeillova typu, jehozˇ princip spocˇ´ıva´ ve vı´cena´sobne´m pouzˇitı´ rozhranı´ pracujı´cı´ho pod Brewsterovy´m u´hlem dopadu. Ukazuje se, filtry tohoto typu jako levneˇjsˇ´ı varianta mohou cˇasto nahradit polarizacˇnı´ hranoly konstruovane´ z anizotropnı´ch materia´lu˚.
Literatura [1] Vasˇ´ıcˇek, A. Optics of thin films. North Holland, Amsterdam, 1960. [2] Holland, L. Vacuum deposition of thin films. Chapman & Hall, London, 1969. [3] Eckertova´, L. Fyzika tenky´ch vrstev. SNTL, Praha, 1974. [4] Knittl, Z. Optics of thin films. John Wiley & Sons, London - New York - Sydney - Toronto, 1976. [5] Krˇepelka, J. Optika tenky´ch vrstev. Vydavatelstvı´ Univerzity Palacke´ho v Olomouci, ISBN-80-7067-319-2, 1993. [6] Bach, H., Krause, D. (Eds.). Thin films on glass. 1997. ISBN 978-3540-58597-8. [7] Pulker H. K.: Coatings on glass, Elsevier Science B.V., second revised edition 1999. [8] Willey, R. R., Dekker, M. Practical design and production of optical thin films. 2002. ISBN 0-8247-0849-0. [9] Weber, J. M. Handbook of optical materials. CRC, 2003. ISBN 08493-3512-4. 8
[10] Kochergin,V. Omnidirectional optical filters. Kluwers, 2003. ISBN 1-4020-7386-0. [11] Kaiser, N., Pulker, H. K. (Eds.). Optical interference coatings. Springer Series in Optical Sciences 88, 2003. ISBN 3-5400-0364-9. [12] Baumeister, W. P. Optical coating technology. SPIE, 2004. ISBN 08194-5313-7. [13] Willey, R. R. Field guide to optical thin films. SPIE, 2006. ISBN 0-8194-6218-7. [14] MacLeod, H. A. Thin-film optical filters. Taylor and Francis Group, LLC, 2010. ISBN 978-1-4200-7302-7. [15] Piegari A., Flory F. (Eds.), Optical thin films and coatings - From materials to applications, Woodhead Publishing Series in Electronic and Optical Materials: Number 49, 2013. ISBN 978-0-85709-594-7.
9
