DEPENDENSI DALAM MODEL RESIKO INDIVIDUAL UNTUK ASURANSI JIWA KELOMPOK

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

DEPENDENSI DALAM MODEL RESIKO INDIVIDUAL UNTUK ASURANSI JIWA KELOMPOK DEPENDENCE IN THE INDIVIDUAL RISK MODEL FOR GROUP LIFE INSURANCE Getut Pramesti1 dan Sri Haryatmi Kartiko2 1 Program Studi Pendidikan Matematika, F PMIPA UNS, 2 Program Studi Matematika, F MIPA UGM ABSTRAK

Dependensi resiko dalam suatu portofolio asuransi untuk jenis asuransi jiwa kelompok dapat digambarkan sebagai model resiko individual. Dari model inilah dapat diketahui distribusi klaim dari suatu kontrak asuransi yang terjadi selama periode tertentu. Penghitungan distribusi dilakukan dengan menggunakan metode direct calculation melalui n konvolusi distribusi klaim individual. Dibahas pula pengaruh dependensi resiko terhadap batas stop-loss premium dan dependensi resiko dengan tiga faktor resiko. Kata-kata kunci : Dependensi resiko, asuransi jiwa kelompok, model resiko individual, klaim, batas stop-loss premium. ABSTRACT

The risk dependence of an insurance portfolio in a group life insurance can be described as the individual risk model. It is used in modeling the claim distribution of insurance contracts over a fixed period of time. The distribution computation is conducted with direct calculation throught n convolution of individual claim distribution. We discuss the impact of the risk dependence on the net value of the stop–loss premium. A third risk factor in the dependence risk model is also introduced. Key words : The risk dependence, group life insurance, individual risk model, claim, the net value of the stop-loss premium. distribusi

PENDAHULUAN Perusahaan asuransi sebagai penanggung

klaim

dan

batas

stop-loss

premiumnya.

resiko dituntut untuk dapat menganalisa resiko

Pada makalah ini dikaji dependensi dalam

yang meliputi identifikasi dan kalkulasi faktor-

model resiko individual menggunakan metode

faktor yang mempengaruhinya. Perilaku resiko

direct calculation dan hubungannya dengan

yang dihasilkan oleh n polis digambarkan

independensi

dengan distribusi klaim agregasi dalam suatu

kelompok serta pengaruhnya terhadap batas

model resiko individual. Umumnya dalam

stop-loss premium.

model

diasumsikan

resikonya

resiko dalam asuransi jiwa

saling

independen. Masalah yang kemudian muncul

DASAR TEORI

adalah apakah asumsi independensi resiko

Dalam sistem asuransi ketidaktentuan yang

dalam model selalu sesuai dalam semua jenis

melahirkan kerugian (loss) dari tertanggung

asuransi.

kelmpok

(nasabah perusahaan asuransi) menimbulkan

misalnya, muncul masalah keterkaitan antar

klaim yang diajukan dari tertanggung kepada

faktor resiko

penanggung (perusahaan asuransi). Namun

Dalam

asuransi

jiwa

yang sangat mempengaruhi

sebelumnya tertanggung dikenakan biaya premi 19


  FX ( s  y ) dFY ( y )

agar mendapat santunan dari penanggung.

ys

Adapun jumlahan klaim dalam suatu kontrak

 FX  FY ( s)

asuransi disebut dengan klaim agregasi dan digambarkan

dalam

suatu

model

Untuk X dan Y variabel random kontinu, fungsi

resiko

distribusi kumulatif S adalah:

individual. Distribusi klaim agregasi dapat

s

FS ( s )   P X  Y  s PY  y dy

dihitung melalui n konvolusi klaim individual,

0

yaitu dengan menggunakan lemma 2.1.

s

  FX ( s  y ) f Y ( y )dy 0

Lemma 2.1

 FX  FY ( s )

Jika X, Y variabel random independen dan

S  X Y fungsi

Jadi

maka konvolusi dari pasangan

distribusi

FX

dan

FY

FS (s)  FX  FY (s)

untuk

independen

adalah

fungsi

dengan

X

dan

Y

diperoleh

distribusi

FX

variabel

konvolusi dan

random pasangan adalah

FY

FS (s)  FX  FY (s)

FS ( s)   FX ( s  y) dFY ( y) .

Dalam asuransi dikenal istilah stop-loss

ys

asuransi yaitu pembayaran atau penggantian semua kerugian tertanggung apabila kerugian

Bukti :

yang terjadi melebihi suatu batas moneter

Diketahui S  X  Y maka ruang sampel S

tertentu

dapat ditunjukkan dalam Gambar 1.

disepakati

(disebut oleh

deductible) pihak

yang

telah

tertanggung

dan

penanggung (L. Xu dan D.L Bricker, 2000). Penetapan premi dari sistem asuransi ini disebut dengan stop-loss premium. Harga batas stop-loss

premium

dinotasikan

dengan

ES  d   (Klugman et al, 1990) dengan S Gambar 1. Ruang sampel S, S  X  Y

adalah besar klaim agregasi dan d adalah deductible (d  0) yaitu:

X  Y  s dan daerah yang diarsir

Garis

menyatakan

kejadian

    1  FS ( x) dx, x kontinu. ES  d     d  1  FS ( x), x diskrit.   xd

S  X  Y  s,

sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari S adalah : Untuk X dan Y variabel random diskrit berlaku : FS ( s)  PS  s 

  PX  Y  s Y  y PY  y  ys

20


DEPENDENSI DALAM MODEL RESIKO

klaim agregasi S yang merupakan jumlahan

INDIVIDUAL UNTUK ASURANSI JIWA

X i i  1,, n didefinisikan :

KELOMPOK

n

S   Xi

Konsep Dasar Model Resiko Individual

(3.2.1)

i 1

Apabila dalam suatu periode asuransi yang

X i i  1,, n merupakan variabel

dengan

berlaku selama 1 tahun penanggung akan

random bernilai non negatif.

membayar santunan sebesar b jika tertanggung

Apabila probabilitas variabel random Bernoulli

mengalami kerugian dalam periode tersebut

I i i  1,, n :

dengan probabilitas terjadi q maka variabel random klaim yang dinyatakan dengan X

P( I i  1)  qi

(3.2.2)

dapat digambarkan baik dengan f X (x) maupun

P( I i  0)  1  qi  pi

(3.2.3)

X i i  1,, n

FX (x) yaitu:

Maka

1  q, x  0.  f X ( x )  P  X  x    q, x  b. 0, x lain. 

sebagai :

Jika

 0, x  0.  FX ( x)  P X  x   1  q, 0  x  b.  1, x  b.  rata-rata

dan

variansinya

I

(3.2.4)

X i i  1,, n

calculation yaitu:

    E e

adalah

M X i (t )  E I i E e tX i I i

adalah variabel random

Ii

klaim dan 0 jika tidak terjadi klaim maka X

Dari hubungan :

b, I  1. dapat dinyatakan X   0, I  0.

M X i (t )  PIi M Bi (t )



(3.2.5)



(3.2.6)

Diperoleh M S (t ) yaitu sebagai berikut :

PI  0  1  q , PI  1  q dan

n





M S (t )   pi  q i M Bi (t )

memiliki harga rata-rata serta variansi :

(3.2.7)

i 1

EI   q dan Var I   qp .

Dari (3.2.2), (3.2.3) dan (3.2.4) diketahui distribusi klaim X i i  1,2,, n yaitu

Independensi dalam model resiko individual menyatakan



I i P I i 

 

M X i (t)  pi  qi M Bi (t )

Xi

tX i



 E e tBi qi  pi

kejadian tunggal yang bernilai 1 jika terjadi

Jika

saling

S dapat ditentukan dengan metode direct

Bernoulli atau variabel random Binomial untuk

dengan

diasumsikan

independen maka distribusi dari klaim agregasi

EX   bq dan Var  X   b 2 qp .

Apabila

didefinisikan

B , I i  1. Xi   i  0, I i  0.

dan,

dengan

dapat

klaim

FX i ( x)  pi  0 ( x)  qi FBi ( x)

yang

dihasilkan oleh polis ke- i (i  1,, n) , maka 21

(3.2.8)


1, dengan  0 ( x)   0,

x  0. x  0.

n

Var S    bi2 q i 1  q i 

Dependensi dalam Model Resiko Individual

Sedangkan fungsi distribusi dan fungsi densitas

Dependensi resiko digambarkan melalui

probabilitas klaim agregasi S :

FS ( x)  FX1  FX 2  FX n ( x) f S ( x)  f X 1  f X 2    f X n ( x)

(3.2.9)

kejadian variabel random I i i  1,, n yang

(3.2.10)

menyatakan terjadinya klaim pada polis ke-i.

I i i  1,, n tergantung pada dua variabel

Untuk dua variabel random diskrit non

random independen

negatif, misalkan X 1 dan X 2 dengan fungsi distribusi kumulatif ditentukan

distribusi

FX 1

(3.2.15)

i 1

dan

FX 2

kumulatif

J ii i  1,, n

dapat

berdistribusi Bernoulli

J0 .

dan

J ii i  1,, n

menyatakan klaim terjadi karena faktor resiko

klaim

risk factor) ke- i

individual (individual

agregasinya dengan menggunakan lemma 2.3.1 yaitu sebagai berikut :

sedangkan J 0 menyatakan terjadinya klaim

FS ( s)   PX 1  X 2  s X 2  x 2  P X 2  x 2 

karena faktor resiko serentak (common

risk

factor). Probabilitas J ii i  1,, n dan J 0

x2

 F X 1  FX 2 ( s ) Dari (3.2.2), (3.2.3) dan (3.2.4) diketahui

adalah PJ ii  1  qii , PJ ii  0  1  qii  pii

bahwa :

dan

x  bi . q , f X i ( x)   i  pi  1  qi , x  0.

Dari

pengertian

Dari

hasil

I1 , I 2 ,, I n  (3.2.11)

definisi

saling

(3.3.1)

(3.3.1) merupakan

dependen,

hal

vektor

random

komponen ini

yang

berakibat

 X 1 , X 2 ,, X n  juga saling dependen.

Dengan metode konvolusi persamaan (3.2.11) dapat ditentukan yaitu sebagai berikut :

Parameter q i pada persamaan (3.2.2)

x  bi .  pi f S i 1 ( x),   (3.2.12) f S i ( x)   pi f S i 1 ( x)  qi f S i 1 ( x  bi ), x  bi .   (3.2.13)

dapat dinyatakan sebagai fungsi q ii dan q0 , hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :

 

PI i (t )  E j0 E t I i J 0



 p0  pii  qii t   t q0

Adapun rata-rata dan variansi dari klaim

Sehingga

agregasi S yaitu

PIi (t )  p0 pii  1  p0 pii t .

n

ES    bi q i

atas, I i i  1,, n

I i  min J ii  J 0 ,1

dengan nilai awal S1  X1 . Sehingga diperoleh

f Si ( x)  f Si 1  f X i ( x)

di

PJ 0  1  q0 .

didefinisikan sebagai:

S i  S i 1  X i , i  2,, n

Dan

PJ 0  0  1  q0  p0

(3.2.14)

(3.3.2)

Jadi diperoleh hubungan

i 1

pi  p0 pii . 22

(3.3.3)


qi  1  1  q0 1  qii .) )

Diperoleh distribusi klaim agregasi S :

(3.3.4)

FS ( x)  p0 FV ( x)  q0 ( x) FU ( x), x  0

Dari (3.3.3) dan (3.3.4) dapat diketahui jika

q0  0 maka diperoleh model resiko individual

(3.3.10) Bentuk (3.3.10) dapat dinyatakan sebagai:

dengan resiko independen dimana qi  qii . Bila

fungsi

pembangkit

 X 1 , X 2 ,, X n 





M X1 ,, X n t1 ,, tn   E e

PI1 ,, I n t1 ,, t n   p0

(3.3.11)



dan

fungsi

I1 , I 2 ,, I n 

pembangkit probabilitas

 E ti i 1

Dengan

FDi ( x)  p ii  0 ( x)  q ii FBi ( x),

adalah

   q t

n

i  1,2,  , n.

n

J ii

0

i

Fungsi distribusi FV

i 1

maka :

(3.3.10)

M X 1 , X 2 ,, X n t1 ,  , t n  

 P M n

p0

i 1

J ii

Bi

Selanjutnya,

2.3.1,



(3.3.5)

n

(t i )  q 0  M Bi (t i ).

ditentukan persamaan

kumulatif

menggunakan

dan FU

menggunakan (3.2.12)

pada

Lemma

dan

(3.2.13).

Selanjutnya dari bentuk (3.3.10) distribusi

i 1

dengan





 q0 FB1    FBn ( x) , x  0

adalah t1 x1 t n xn



FS ( x)  1  q0  FD1    FDn ( x)

momen

lemma

klaim

agregasi

dibentuk

dari

kombinasi antara distribusi kumulatif resiko

3.3.1.

individual dan resiko serentak.

Lemma 3.3.1 Apabila M Y1 ,,Yn (t1 ,, t n )

Adapun harga rata-rata dan variansi dari klaim adalah

fungsi

agregasi S adalah :

pembangkit momen multivariat dari vektor

Y1 ,, Yn 

maka fungsi pembangkit momen

dari

Z  Y1  Y2    Yn

n

ES    EX i  , n

adalah

M Z (t )  M Y1 ,,Yn (t ,, t )

(3.3.12)

i 1

Var ( S )   Var  X i   i 1

(3.3.6)

2

dapat diperoleh fungsi pembangkit momen dari

q0 1  q0

n 1

n

  E B  E B (1  q )(1  q i 1 k i 1

i

k

i

S yaitu :

k

)

(3.3.13)



n



M S (t )  p0  PJ ii M Bi (t )  q0 i 1

n

M i 1

Bi

Dari (3.3.13), apabila kemungkinan terjadinya

(t ) .

klaim karena faktor resiko serentak (common (3.3.7)

risk factor) membesar maka variansi klaim

Jika dimisalkan V dan U adalah variabel

agregasi semakin besar.

random dengan fungsi pembangkit momen:

Stop-loss Premium

n





M V (t )   PJ ii M Bi (t ) ,

Dari definisi (2.3.4.1),(2.3.4.2) dan

(3.3.8)

i 1

persamaan (3.3.10) dapat diperoleh harga batas

n

M U (t )   M Bi (t ) .

stop-loss

(3.3.9)

i 1

dependensi 23

premium

dengan

resiko

dua adalah

faktor :


    1   1  q0  FV ( x)  q0 FU ( x) dx, x kontinu ES  d     d  1   1  q0  FV ( x)  q0 FU ( x) , x diskrit   xd

dengan d (deductible)  0 .

q0

(3.4.2)

setiap kelas j terdiri dari n j resiko, X jk

Dari (3.4.1) dan (3.4.2) nampak bahwa jika nilai

(3.4.1)

menyatakan klaim dalam polis ke-k dalam kelas

semakin besar, yang juga

mengakibatkan semakin kecilnya nilai

j dengan

p0

k  1,2,, n j

dan S dinyatakan

dengan :

maka batas stop-loss premiumnya akan semakin

m

nj

S   X jk .

besar. Selain itu untuk q0  0 diperoleh harga

(3.5.1)

j 1 k 1

batas stop-loss premium untuk model resiko

Terjadinya klaim tiga dependensi faktor resiko

individual dengan resiko saling independen.

digambarkan

Beberapa sifat yang berkaitan dengan batas

I jk ( j  1,, m; k  1,2,, n j )

stop-loss premium dijelaskan Teorema 3.4.1

terjadinya klaim kelas j, polis ke-k. Apabila

dan 3.4.2.

I jk ( j  1,, m; k  1,2,, n j ) variabel random

Teorema 3.4.1 Jika

Pa  S  b  0

maka

untuk

variabel

random menyatakan

Bernoulli maka I jk ( j  1,, m; k  1,2,, n j )

suatu

dinyatakan sebagai fungsi 3 faktor resiko saling

a  d  b berlaku :

independen yaitu J jk ( j  1,, m; k  1,, n j ) ,

bd ES  d    ES  a   ba d a  E S  b  . ba

faktor resiko kelas J j ( j  1,, m) dan faktor resiko

Teorema 3.4.2

PS  kh  f k  0, h  0 , k  0,1,

dan PS  x   0 untuk setiap x

maka

serentak

J0

dengan

I jk ( j  1,, m; k  1,2,, n j ) :

(3.4.3)

Jika

oleh

untuk

PI jk  1  q jk ,

(3.5.2)

PI jk  0  p jk  1  q jk .

(3.5.3)

Dari

suatu d  jh berlaku :

deskripsi

di

atas

I jk ( j  1,, m; k  1,2,, n j ) dapat



ES  d    h  1  FS m  j h . )

didefinisikan :

m 0

I jk  min J jk  J j  J 0 , 1.

(3.4.4)

(3.5.4)

dimana J jk , J j , J 0 adalah variabel random Dependensi Resiko dalam m kelas Portofolio

berdistribusi Bernoulli dengan probabilitas:

Asuransi Apabila dalam

portofolio

asuransi

terbagi

m kategori kelas dengan j  1,, m , 24


PJ jk  1  q jk , PJ jk  0  p jk  1  q jk , PJ j  1  q j , PJ j  0  p j  1  q j ,

Jadi

PJ 0  1  q0 , PJ 0  0  p0  1  q0 .

M X jk (t )  p0 p j p jk  1  p0 p j p jk M B jk (t ) .





Variabel random X jk dalam (3.5.1) dapat

(3.5.9)

dinyatakan:

Selanjutnya diturunkan fungsi pembangkit

B jk , I jk  1. X jk   (3.5.5)  0, I jk  0. Jika B jk merupakan variabel random

momen

X

j

  m  p 0     j 1 (3.5.10)

adalah sebagai berikut :



PI jk (t )  p jk p j p0  q j p0  q jk p j p0  q0 t .







q jk  1  1  q0 1  q jk 1  q j Dengan



, I 22 ,, I1n1 ,, I m1 ,, I mnm



(3.5.6)

M S (t ) 

(3.5.7)

 m p 0    j 1

(3.5.8)

q

 0

m

nj   nj   p j  PJ M B (t )  q j  M B (t )  jk jk  k 1 jk  k 1  





nj

 M j 1 k 1

menggunakan (3.5.7) dan (3.5.8)

B jk

(t ) (3.5.11)

diperoleh fungsi pembangkit momen dari X jk

Adapun rata-rata dan variansi S dengan tiga

adalah sebagai berikut:

dependensi faktor resiko adalah seperti pada



M X jk (t )  E I jk E e

 

t X jk





I jk 

persamaan 3.5.12 dan 3.5.13.





M B jk (t ) 1  1  q 0 1  q j 1  q jk  p jk p j p 0

ES 

m

 

nj

  E X jk .

(3.5.12)

j 1 k 1

 

nj

m

Var S    Var X jk j 1 k 1 m

nj

 

 EB EB q nj

jk

j 1 k 1 k ' 1, k  k '

m



jk '

 0

 p 0 q j  p 0 p j q jk q jk '  q jk q jk '

  EB  EB q m

nj

n j'

j 1 j ' 1, j '  j k 1 k ' 1

jk

j 'k '

 0



 p 0 (q j  p j q jk )(q j '  p j ' q j 'k ' )  q jk q j 'k '

 (3.5.13)

25



nj m nj   nj    p j  PJ t jk   q j  t jk   q 0  t jk  k 1 jk   k  1 j 1 k 1  

Dari (3.5.10) diperoleh :

Dapat diketahui pula bahwa :

p jk  p p p ,

11

momen



probabilitas dari I jk ( j  1,, m; k  1,2,, n j )

 0

I

pembangkit

yang

PI11, I 22 ,, I1n1 ,, I m1 ,, I mnm t11 , t 22 ,  , t1n1 ,  , t m1 ,  , t mnm

dari B jk adalah FB jk maka fungsi pembangkit

 j

fungsi



dari

yaitu sebagai berikut :

terjadi klaim dan fungsi distribusi kumulatif

 jk

dari

multivariat

k  1,2,, n  dalam kelas-j  j  1,, m



, X 22 ,, X1n1 ,, X m1 ,, X mnm

11

didapat

yang menyatakan besar klaim jika polis ke-k

multivariat


Dari Tabel 2, distribusi klaim agregasi

Contoh Aplikasi Suatu kontrak asuransi jiwa kelompok

semakin besar apabila nilai q 0 semakin kecil,

berlaku dengan jangka waktu 1 tahun untuk 3

jadi klaim terbesar kemungkinan muncul

orang pekerja. Misalkan variabel tejadinya

karena faktor resiko individunya. Sedangkan

klaim I1 , I 2 , I 3 berdistribusi Bernoulli dengan

batas stop-loss premium akan semakin kecil

qi  0.05 i  1,2,3,

probabilitas

sedangkan

apabila nilai

q0

semakin kecil. Hal ini

B1 , B2 , B3

mengakibatkan harga premi dari asuransi jiwa

berdistribusi Cauchy dengan   1 dan   0 .

kelompok akan lebih mahal dibanding dengan

variabel

random

besar

klaim

asuransi jiwa perseorangan.

Diketahui probabilitas pekerja pertama, kedua

Adapun plot dari distribusi kumulatif

dan ketiga akan mendapat santunan masing-

klaim agregasi dan harga

masing 1, 2 dan 3 unit (unit dalam satuan Rp.

batas stop-loss

premium dapat di lihat pada Plot 1 dan 2.

10 7 ,-) adalah 0.159155, 0.063662, 0.031831

dan data seperti Tabel 1. Tabel 1. Data (x dalam satuan Rp. 10 7 ,-) Klaim (x)

f 1 ( x)

f 2 ( x)

f 3 ( x)

0

0.31831

0.31831

0.31831

1

0.159155

0.159155

0.159155

2

0.063662

0.063662

0.063662

3

0.031831

0.031831

0.031831

0.018724

0.018724

4 5

Plot 1. Fungsi distribusi kumulatif klaim agregasi

0.012243

Dipilih

tiga

alternatif

probabilitas

terjadinya klaim karena faktor resiko serentak

q 0 adalah 0.00625, 0.003125 dan 0, aktuaris perusahaan asuransi tersebut ingin memprediksi distribusi kumulatif klaim agregasi dan harga minimum premi selama jangka waktu 1 tahun

Plot 2. Batas stop-loss premium

tersebut. Nilai distribusi kumulatif klaim agregasi

Dari plot 1 dan 2 nampak bahwa distribusi

dan harga batas stop-loss premium untuk nilai

kumulatif klaim agregasi dan harga batas stop-

klaim x  0,1,,12 (x dalam satuan Rp 10 7 ,-)

loss premium dengan dua faktor resiko saling

dapat dilihat pada Tabel 2.

dependen

dipengaruhi

oleh

faktor

serentak dan faktor resiko individual. 26

resiko


Tabel 2. Distribusi klaim

q 0 =0.00625

q 0 =0.003125

q 0 =0

q 0 =0.00625

q 0 =0.003125

q 0 =0

x

FS1 ( x)

FS2 ( x)

FS3 ( x)

SL1

SL2

SL3

0

0.757691

0.759973

0.762254

0.242309

0.240027

0.237746

1

0.901371

0.903952

0.906533

0.098629

0.096048

0.093467

2

0.949867

0.952463

0.95506

0.050133

0.047537

0.04494

3

0.983312

0.98591

0.988508

0.016688

0.01409

0.011492

4

0.991085

0.993638

0.99619

0.008915

0.006362

0.00381

5

0.993285

0.995802

0.99832

0.006715

0.004198

0.00168

6

0.994581

0.997081

0.999581

0.005419

0.002919

0.000419

7

0.994881

0.997372

0.999863

0.005119

0.002628

0.000137

8

0.994969

0.997456

0.999943

0.005031

0.002544

5.7E-05

9

0.995014

0.9975

0.999986

0.004986

0.0025

1.4E-05

10

0.995024

0.99751

0.999995

0.004976

0.00249

5E-06

11

0.995028

0.997513

0.999998

0.004972

0.002487

2E-06

12

0.99503

0.997515

1

0.00497

0.002485

0

KESIMPULAN DAN SARAN

Jadi harga batas stop-loss premium dengan

Kesimpulan

dua faktor resiko yang saling dependen

Dari sebelumnya,

pembahasan dapat

pada

diambil

bab-bab

dipengaruhi oleh faktor resiko individual dan

beberapa

faktor resiko serentak.

kesimpulan yaitu sebagai berikut : 1. Model resiko individual dengan dependensi dua

faktor

resiko

:

Penulisan tesis ini dapat dikembangkan

x0 .

Dari

lebih lanjut dengan menggunakan metode fast

diketahui bahwa

fourier transform (FFT) atau metode lain untuk

FS ( x)  p0 FV ( x)  q0 FU ( x),

model tersebut dapat

Saran

kasus jumlah klaim n yang besar.

distribusi klaim agregasi tergantung dari distribusi

klaim

karena

faktor

resiko

individual dan distribusi klaim karena faktor

DAFTAR PUSTAKA

resiko serentak

Bain, L. J., and Engelhard, M. (1992).

2. Harga batas batas stop-loss premium sebagai

Introduction

berikut :

Mathematical

to

Probability

Statistics.

2n

and ed.

California : Duxbury Press.

  1   p 0 FV ( x)  q 0 FU ( x) dx ES  d     d   1 - p 0 FV ( x)  q 0 FU ( x)   x d

Bauerle, N., and Muller. A. (1998). Modelling and

27

comparing

dependencies

in


multivariate risk portofolios. ASTIN

Morton, R., G. (1995). Dasar-Dasar Asuransi

Bulletin 28, 59-76.

Jiwa dan Asuransi Kesehatan. Jakarta :

Bowers, N., Gerber, H., Hickman, J., Jones, D., and

Nesbitt,

C.

(1997).

Yayasan Dharma Bumiputera- AJB

Actuarial

Bumiputera 1912.

Mathematics. Schaumburg, IL: Society

Rolski, T., Schmidli, H., Scmidt, V., and

of Actuaries.

Teugels,

Casella, G and Berger, R. L. (1990).

Processes for Insurance and Finance.

Statistical

New York : John Wiley and Sons.

Inference.

California

:

Wadsworth.

J.

(1999).

Waldmann, K. H. (1994).

Stochastic

On the exact

De Pril, N. (1986). On the exact computation of

calculation of the aggregate claims

the aggregate claims distribution in the

distribution in the individual life model.

individual life model. ASTIN Bulletin

ASTIN Bulletin 24, 89-96.

16, 109-112. Denuit, M., Genest, C., and Marceau, E. (1999). Stochastic bounds on dependent risks. Insurance : Mathematics and Economics, to appear. Dhaene, J., and Goovaerts, M. J. (1996). Dependency of risks and stop-loss order. ASTIN Bulletin 26, 201-212. Djojosoedarso,

S.

Manajemen

(1999). risiko

Prinsip-prinsip dan

Asuransi.

Cetakan pertama. Jakarta : Salemba Empat. Giordano, R., F., and Weir, D., M. (1991). Differential

equation

a

modeling

approach. Addison Wesley , Canada. Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G., E. (1990). Loss Models : from data to decisions. New York : John Wiley and Sons. L. Xu, D.L. Bricker. (2000). Bound for stoploss premium under restrictions on the Chi-Square

Statistic.

Insurance:

Mathematics and Economics. 28

DEPENDENSI DALAM MODEL RESIKO INDIVIDUAL UNTUK ASURANSI JIWA KELOMPOK

Recommend Documents