Asuransi Jiwa

611.23.052 Asuransi Jiwa Bab 4: Anuitas Hidup

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

611.23.052 Asuransi Jiwa

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 28

Anuitas Hidup

Pendahuluan

Pendahuluan

Anuitas tentu yang sudah dibahas sebelumnya tidak dikaitkan dengan hidup matinya seseorang Pembayaran pensiun, pembayaran premi asuransi, harga berlangsung selama orang yang pensiun atau pemegang polis asuransi tersebut masih hidup Pembayaran akan dihentikan jika orang yang bersangkutan telah meninggal Anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup (life annuity )




Anuitas Hidup

Macam-macam Anuitas

Macam-macam Anuitas Hidup Ada bermacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran berlangsung, apakah pembayaran dilakukan di permulaan atau akhir tahun, ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu. 1. Anuitas akhir seumur hidup, yaitu serangkaian pembayaran sebesar 1 yang dilakukan tiap akhir tahun, pembayaran hanya berlangsung selama seseorang masih hidup waktu jatuhnya pembayaran tersebut. Nilai tunai anuitas ini ditulis dengan simbol ax , huruf x menyatakan usia sekarang orang yang bersangkutan. 2. Anuitas awal seumur hidup, yaitu serangkaian pembayaran sebesar 1 yang dilakukan tiap awal tahun, pembayaran berlangsung seumur hidup seseorang tertentu. Nilai tunai anuitas ini ditulis dengan simbol äx . Jelas bahwa anuitas awal dan anuitas akhir seumur hidup hanya berselisih 1, yaitu pembayaran pertama pada awal tahun pertama. Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()



Anuitas Hidup

Macam-macam Anuitas

(x) menyatakan orang yang berusia x. Pembayaran terakhir terjadi ketika (x) berumur x + n − 1. Karena nilai tunai pembayaran pertama pada permulaan tahun pertama adalah 1, maka äx = 1 + ax



(1)


Anuitas Hidup

Macam-macam Anuitas

3. Anuitas sementara, yaitu bila pembayaran tidak dilakukan sepanjang umur (x), tapi misalnya hanya berlangsung selama paling lama n tahun asal dia masih hidup. Nilai tunai suatu anuitas akhir selama n tahun ditulis dengan simbol ax:nq sedangkan untuk anuitas awal ditulis dengan simbol äx:nq . Jika (x) meninggal sebelum mencapai n kali pembayaran, maka pembayaran tidak diteruskan.

Dari gambar terlihat jelas bahwa äx:nq = 1 + ax:n−1q



(2)


Anuitas Hidup

Macam-macam Anuitas

4. Anuitas Ditunda, yaitu serangkaian pembayaran yang pembayarannya ditunda selama beberapa tahun, misalnya m tahun, dan pembayaran dapat berlangsung seumur hidup atau selama jangka waktu tertentu (sementara). Nilai tunai suatu anuitas akhir bagi seseorang berusia x, ditunda selama m tahun, pembayaran paling banyak selama jangka waktu n tahun ditulis dengan simbol m|n ax . Anuitas awalnya ditulis dengan simbol m|n äx . Bila anuitas tersebut seumur hidup, maka simbolnya menjadi m| ax untuk anuitas akhir dan m| äx untuk anuitas awal. Mudah terlihat bahwa


ax m+1| ¨

=

m| ax

ax m+1|n ¨

=

m|n ax


(3)


Anuitas Hidup

ax:nq +

Macam-macam Anuitas

n| ax

= ax

(4)

Hubungan tersebut dapat dilihat dari gambar berikut:




Anuitas Hidup

Anuitas Seumur Hidup


Pandang sekelompok orang yang tepat berusia x yaitu lx . Misalkan tiap orang dari sebanyak lx tersebut menyetor sekarang sejumlah A rupiah ke dalam suatu dana sedemikian rupa besarnya sehingga tiap orang yang mencapai usia x + 1 menerima 1 dari dana tersebut, tiap orang yang mencapai usia x + 2 menerima 1 dari dana tersebut, dan seterusnya. Pembayaran dilakukan sampai semua orang dari sebanyak lx tadi meninggal semuanya. Masalahnya ialah, berapakah besarnya A?




Anuitas Hidup


Jadi, A · lx = lx+1 · v + lx+2 · v 2 + . . . + lw −1 · v w −1−x + lw · v w −x = lx+1 · v + lx+2 · v 2 + . . . + lw · v w −x Maka A=

lx+1 · v + lx+2 · v 2 + . . . + lw · v w −x lx

Pada pembahasan sebelumnya, simbol untuk A adalah ax dan disebut premi tunggal bersih atau nilai tunai anuitas akhir (hidup). Cara penurunan rumus ini disebut ”cara dana bersama”, mirip gotong royong. Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()



Anuitas Hidup


Contoh 1: Bila tingkat bunga 2.5% setahun, hitunglah a50 dengan menggunakan tabel mortalitas 1941 bila tiap tahunnya, setiap orang yang bertahan hidup mendapatkan uang sebesar Rp 1 juta.




Anuitas Hidup


Contoh 1: Bila tingkat bunga 2.5% setahun, hitunglah a50 dengan menggunakan tabel mortalitas 1941 bila tiap tahunnya, setiap orang yang bertahan hidup mendapatkan uang sebesar Rp 1 juta. Penyelesaian: Diketahui i = 2.5%, maka diperoleh v =

1 1.025

= 1.025−1 . Jadi,

l51 · v + l52 · v 2 + . . . + lw · v w −x l50 = 15.316571

a50 =




Anuitas Hidup


Perhitungannya tidak sulit, tapi membosankan. Untuk menyederhanakan perhitungan, maka dibuatlah simbol kumutasi atau simbol perantara, sebagai berikut Dx = v x · lx X Nx = Dx+i = Dx + Dx+1 + . . . + Dw i=0

Sx =

X

Nx+i = Nx + Nx+1 + . . . + Nw

i=0

=

X (i + 1)Dx+i = Dx + 2Dx+1 + 3Dx+2 + . . . + Dw i=0

Cx = v x+1 dx X Mx = Cx+i = Cx + Cx+1 + . . . + Cw i=0

Rx =

X

Mx+i = Mx + Mx+1 + . . . + Mw

i=0

=

X (i + 1)Cx+i = Cx + 2Cx+1 + 3Cx+2 + . . . + Cw

i=0() Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Anuitas Hidup


Dengan menggunakan simbol kumutasi, maka rumus ax dapat disederhanakan menjadi (kalikan pembanding dan penyebutnya dengan v x ) lx+1 · v x+1 + lx+2 · v x+2 + . . . + lw · v w lx · v x Dx+1 + Dx+2 + . . . Dw = Dx Nx+1 = Dx

ax =



(5)


Anuitas Hidup


Contoh 2: Hitunglah a50 dengan menggunakan simbol kumutasi (untuk seterusnya akan digunakan tabel CSO dengan tingkat bunga 2.5%).




Anuitas Hidup


Contoh 2: Hitunglah a50 dengan menggunakan simbol kumutasi (untuk seterusnya akan digunakan tabel CSO dengan tingkat bunga 2.5%). Penyelesaian: a50 =


N51 3613562.55 = = 15.316571 D50 235925.04



Anuitas Hidup


Dari rumus sebelumnya, kita peroleh Nx+1 Dx Nx = Dx

äx = 1 + ax = 1 + =


Dx + Nx+1 Dx


(6)


Anuitas Hidup

Contoh 3: Buktikan bahwa äx+1 =



(1 + i)ax px



Anuitas Hidup

Contoh 3: Buktikan bahwa äx+1 = Penyelesaian: Kita tahu bahwa (1 + i) =

1 v


(1 + i)ax px

dan px =

lx+1 lx ,

maka

ax lx ax (1 + i)ax = = · px v · px lx+1 v v x · lx ax Dx = x · = · ax v · lx+1 v Dx+1 Dx Nx+1 Nx+1 = · = Dx+1 Dx Dx+1 = äx+1




Anuitas Hidup


Contoh 4: Hitunglah nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu anuitas awal (hidup) dengan pembayaran Rp 1500 setahun untuk seseorang berusia 20 tahun dan 60 tahun.




Anuitas Hidup


Contoh 4: Hitunglah nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu anuitas awal (hidup) dengan pembayaran Rp 1500 setahun untuk seseorang berusia 20 tahun dan 60 tahun. Penyelesaian: a. Premi tunggal bersih: ä20 N20 15744215.69 = 1500 · D20 580662.42 = 40671.35 rupiah

ä20 = P ·

b. Premi tunggal bersih: ä60 N60 1865613.58 = 1500 · D60 154046.23 = 18166.11 rupiah

ä60 = P ·




Anuitas Hidup


Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang lebih muda lebih tinggi daripada untuk orang yang lebih tua karena orang yang lebih muda lebih lama, jadi lebih banyak, menerima anuitas sebab dia masih akan lebih lama hidup.




Anuitas Hidup


Endowment Murni

Endowment murni ialah suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang tertentu bila dia hidup mencapai akhir jangka waktu tersebut. Bila orang tersebut meninggal sebelum akhir jangka waktu tersebut maka tidak ada pembayaran sama sekali. Simbol n Ex menyatakan tunai suatu endowment murni yang dikeluarkan bagi seseorang berusia x selama jangka waktu n tahun. Bila (x) meninggal sebelum berusia x + n maka tidak ada pembayaran, tapi bila dia mencapai usia x + n maka kepadanya akan dibayarkan sebesar 1 pada akhir tahun ke x + n.




Anuitas Hidup


Nilai tunai dari 1 adalah 1 · v n , peluang dibayarkan adalah n px yaitu peluang (x) mencapai usia x + n, jadi n Ex


= 1 · v n n px lx+n = vn lx lx+n x+n =v v x · lx Dx+n = Dx


(7)


Anuitas Hidup


Anuitas Sementara ax:nq dapat dipandang sebagai gabungan dari serangkaian endowment murni ax:nq =1 Ex + 2 Ex + . . . + n Ex




Anuitas Hidup


atau Dx+1 Dx+2 Dx+n + + ... + Dx Dx Dx Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dx+n = Dx Nx+1 − Nx+n+1 = Dx

ax:nq =



(8)


Anuitas Hidup


Dari rumus (2) dan (8) diperoleh: äx:nq = 1 + ax:n−1q Nx+1 − Nx+n =1+ Dx Dx + Nx+1 − Nx+n = Dx Nx − Nx+n = Dx



(9)


Anuitas Hidup


Anuitas Ditunda Dari rumus (4), (5), dan (8) diperoleh: n| ax

= ax − ax:nq Nx+1 Nx+1 − Nx+n+1 = − Dx Dx Nx+n+1 = Dx

(10)

Dengan cara yang sama ax n| ¨


= äx − äx:nq Nx Nx − Nx+n = − Dx Dx Nx+n = Dx 611.23.052 Asuransi Jiwa

(11)


Anuitas Hidup


Untuk menurunkan rumus m|n ax dan m|n äx kita akan menggunakan endowment murni. Pembayaran untuk m|n ax dapat digambarkan sebagai

Nilai tunai pembayaran tersebut adalah m|n ax

=

m+1 Ex

+

m+2 Ex

+ ... +

m+n Ex

Dx+m+1 Dx+m+2 Dx+m+n + + ... + Dx Dx Dx Nx+m+1 − Nx+m+n+1 = Dx

=



(12)


Anuitas Hidup


Dari rumus (3) dan (12) diperoleh ax m|n ¨


=

m−1|n ax

=

Nx+m − Nx+m+n Dx


(13)


Anuitas Hidup


Contoh 5: Hitunglah nilai tunai endowment murni sebesar Rp 1000000 yang dikeluarkan bagi seseorang berusia 25 tahun selama 40 tahun.




Anuitas Hidup


Contoh 5: Hitunglah nilai tunai endowment murni sebesar Rp 1000000 yang dikeluarkan bagi seseorang berusia 25 tahun selama 40 tahun. Penyelesaian: D65 D25 = 1000000(116088.15)/506594.02

1000000 40 E25 = 1000000

= 229154.21 atau dengan cara lain l65 l25 577882 = 1000000(1.025)−40 937197 = 229154.22

1000000 40 E25 = 1000000(1 + i)−40




Anuitas Hidup


Latihan

1. Pada hari ulang tahunnya yang ke-30 si Ali membeli endowment murni sebesar Rp 5000 untuk selama 35 tahun (yaitu sampai usia 65 tahun). Bila dia mencapai usia 65 tahun, berapa besarkah yang akan ia terima? 2. Si Ali, yang sekarang berusia 25 tahun, ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia 55 tahun dengan penerimaan 3 juta rupiah setahun, pembayaran pertama pada hari ulang tahunnya yang ke 55. Untuk itu dia akan melakukan pembayaran tahunan, pada permulaan tiap tahun, mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke 54. Berapa besarkah pembayaran tahunan tersebut?




Anuitas Hidup


3. Pada usia 65 si Ali mempunyai dua pilihan (a) menerima 25 juta rupiah dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya dengan tingkat bunga 2.5 % setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap permulaan tahun selama 20 tahun (anuitas tentu selama 20 tahun) sejumlah uang yang sama besarnya dan sesudah 20 kali pembayaran dana tadi habis, atau (b) membiarkan uangnya pada perusahaan tadi dan menerima sejumlah uang yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 20 tahun bila dia hidup (anuitas hidup). Hitunglah besarnya penerimaan si Ali tiap tahun dalam kedua hal tersebut. Bila si Ali meninggal tepat sebelum mencapai usia 80 tahun, berapa besarkah yang akan diterima oleh ahli warisnya?




Asuransi Jiwa

Recommend Documents