STRATEGI BONUS OPTIMAL DALAM ASURANSI JIWA

STRATEGI BONUS OPTIMAL DALAM ASURANSI JIWA

TESIS

Oleh ROSIMANIDAR 077021009/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

STRATEGI BONUS OPTIMAL DALAM ASURANSI JIWA

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh ROSIMANIDAR 077021009/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


Judul Tesis

: STRATEGI BONUS OPTIMAL DALAM ASURANSI JIWA Nama Mahasiswa : Rosimanidar Nomor Pokok : 077021009 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Tulus, MSi) Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Tanggal lulus: 2 Juni 2009


(Dr. Marwan Ramli, MSi) Anggota

Direktur

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,MSc)

Telah diuji pada Tanggal 2 Juni 2009

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua

: Dr. Tulus, MSi

Anggota

: 1. Dr. Marwan Ramli, MSi 2. Prof. Dr. Opim Salim S, MSc 3. Dra. Mardiningsih, MSi


ABSTRAK Kontrak keikutsertaan dalam asuransi jiwa pada saat penandatanganan, menspesifikasi rancangan premi dan jaminan benefit. Hak penambahan benefit bonus diberikan kepada pihak tertanggung, ditentukan oleh perusahaan asuransi melalui polis secara sistematis terhadap surplusnya surat-surat berharga (portofolio). Model strategi bonus diperoleh dengan menjabarkan dasar dari model rantai Markov untuk asuransi jiwa multistate, menentukan basis orde pertama dan kedua, teknik surplus, cadangan dividen dan model suku bunga dengan teknik suku bunga. Teknik stokastik kontrol digunakan dalam pencarian keoptimalan dari strategi bonus, yang dibuktikan dengan menggunakan prinsip program dinamik. Kemudian solusi eksplisit terbaik yang dipilih dari strategi bonus optimal dibuktikan dengan menggunakan teorema verifikasi. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa strategi umum dividen-dividen yang dikeluarkan keseluruh tertanggung di segala masa adalah suboptimal. Kata kunci: Asuransi Jiwa, Bonus, Dividen, Teori stokastik kontrol optimal Program dinamik, Teori utiliti.

i Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

ABSTRACT The Contract participating in life insurance at the signing, specification of premuim and guarantee benefit. The insured is entitled to additional bonus benefits, which on the contrary are determined by the company currently during the policy term as the systematic (portfolio) surplus emerges. The model of bonus strategies allows to know a basic Markov chain model with the multistate life insurance policy, first and second order bases, technical surplus, dividend reserve and interest rate model below the technical interest rate. The stochastic control techniques in search for optimal strategies, and it proves the dynamic programming principle. Futhermore, the explicit solution of optimal bonus strategies to prove a verification theorem. The obtained results indicate that the prevailing strategies, by which dividends are credited to the insured throughout the entire term are suboptimal. Keyword: Life insurance, Bonus, Dividends, Optimal stochastic control theory Dynamic programming, Utility theory

ii Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

KATA PENGANTAR Dengan rendah hati penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa”. Tesis ini merupakan salah satu persyaratan tugas akhir pada Program Studi Magister Matematika Sumatera Utara Medan. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara dan Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa. B,M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberi kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara, yang meluangkan waktu dan penuh kesabaran untuk memberikan motivasi kepada penulis, sehingga penulisan tesis ini dapat selesai. Dr. Saib Suwilo, MSc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara, yang telah meluangkan waktu dan memberi motivasi dalam penulisan tesis ini. Dr. Tulus, MSi selaku pembimbing I, yang telah meluangkan waktu dan penuh kesabaran memberikan motivasi kepada penulis, sehingga penulisan tesis ini dapat selesai. iii Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

Dr. Marwan Ramli, MSi selaku pembimbing II, yang telah meluangkan waktu dan penuh kesabaran memberikan motivasi kepada penulis, sehingga penulisan tesis ini dapat selesai. Prof. Dr. Opim Salim S, MSc dan Dra. Mardiningsih, MSi selaku pembanding, yang telah memberikan saran dan petunjuk selama perkuliahan dan penulisan tesis ini. Seluruh staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika yang telah memberikan ilmunya melalui perkuliahan, sehingga penulis mendapat tambahan ilmu pengetahuan, sekaligus memperlancar penulisan tesis ini. Ketua STAIN Malikussaleh Lhokseumawe, Bapak Drs. H. Hafifuddin, M.Ag dan seluruh civitas akademisi, yang telah memberikan izin dan dorongan kepada penulis untuk mengkuti perkuliahan di SPs Universitas Sumatera Utara. Semua teman-teman angkatan VI Reguler Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberi bantuan moril dan materil serta dorongan kepada penulis dalam penulisn tesis ini dan tidak lupa kepada saudari Misiani, S.Si selaku staf Administrasi Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memeberikan pelayanan baik kepada penulis. Kepada orang tua tersayang Rustam dan Nurmala, atas dorongan dan doanya, semoga Allah SWT memberikan kesehatan dan kebahagiaan kepada Ayahanda dan Ibunda, dan penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada kedua mertua Ayahanda H. Arius dan Ibunda Hj. Hafsah atas dorongan dan doanya

iv Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

dalam perkuliahan dan penulisan tesis ini. Penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada suami tercinta Shabrun Jamil yang telah memberikan perhatian, dukungan moril dan motivasi dalam proses perkuliahan dan penulisan tesis ini, juga kepada ananda tersayang Ziyad Al Insan, Afifah Thahirah yang memberikan inspirasi dan kesabaran kepada penulis selama perkuliahan dan penulisan tesis ini, semoga menjadi generasi Ulul Albab dan lebih berprestasi dari orang tua. Ibu Ummi Habibah dan keluarga, atas perhatian dan doanya untuk penulis, sekali lagi penulis ucapkan terima kasih. Serta semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan selama penulisan tesis ini, semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca, dan tentunya tesis ini masih banyak kekurangan, semoga kekurangan yang ada didalam tesis ini dapat disempurnakan bagi pihakpihak yang memerlukan, karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna dan memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini.

Medan, 2 Juni 2009 Penulis,

Rosimanidar

v Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

RIWAYAT HIDUP Rosimanidar dilahirkan pada tanggal 24 Juli 1979 dan merupakan anak tunggal dari Ayah Rustam dan Ibu Nurmala. Menamatkan Sekolah Dasar di Lhokseumawe pada tahun 1991, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di Lhokseumawe pada tahun 1994 dan Sekolah Menengah Umum di Lhokseumawe Jurusan IPA pada tahun 1997. Pada tahun 1997 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Syiah Kuala Banda Aceh Jurusan Matematika dan memperoleh gelar sarjana Matematika (S1) tahun 2002. Dari tahun 2004 dan sampai sekarang mengajar di Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri (STAIN) Malikussaleh Lhokseumawe Jurusan Tarbiyah Program Studi Tadris Matematika. Dan Pada tahun 2007 mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Sumatera Utara.

vi Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Rumusan Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 BEBERAPA PENGERTIAN TENTANG ASURANSI . . . . . . . .

11

3.1 Dasar Model Rantai Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.1.1 Rantai Markov Waktu Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1.2 Polis Asuransi Jiwa Multistate . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1.3 Deskripsi Polis Rantai Markov . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2 Surplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2.1 Basis Orde Pertama dan Kedua . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2.2 Proses Surplus Individu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

vii Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

3.2.3 Mean Surplus Portofolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.3 Bonus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.3.1 Cadangan Dividen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

BAB 4 PROSES STRATEGI BONUS OPTIMAL . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.1 Model Suku Bunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.2 Proses Markov di bawah Kontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.3 Fungsi Objektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.4 Teori kontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.4.1 Ruang Lingkup Program Dinamik . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.4.2 Sifat Dasar dari Fungsi Nilai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4.4.3 Prinsip Program Dinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4.4.4 Variasi Pertidaksamaan (inequalities) dan Heuristik Optimal Kontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.4.5 Teorema Verifikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.4.6 Bentuk Solusi Tertutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.5 Strategi Bonus Optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.5.1 Fungsi Objektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.5.2 Prinsip Menentukan Dividen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

viii Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Kehadiran perusahaan asuransi diperlukan untuk mengurangi risiko, karena usaha apapun yang dilakukan pasti mengandung unsur risiko. Apalagi yang namanya perusahaan selalu berhadapan dengan ketidakpastian yang membawa suatu risiko. Risiko yang dihadapi oleh perseorangan maupun perusahaan bermacammacam, seperti risiko kecelakaan, kematian, kerugian, kebakaran, kegagalan suatu kegiatan, dll. Karena itu terdapat berbagai jenis asuransi, yaitu (1) asuransi kerugian; (2) asuransi jiwa; (3) asuransi sosial; dan reasuransi. Asuransi menurut Crane (1984) adalah suatu sistem perlakuan risiko dengan mengkombinasikan kerugian-kerugian kecil yang pasti sebagai pengganti kerugiankerugian besar yang belum pasti. Black dan Skipper (1987) menyatakan bahwa asuransi jiwa adalah instrumen sektor keuangan swasta yang di dalamnya khusus berfungsi pada penanggulangan risiko yang dikaitkan dengan jiwa atau meninggalnya seseorang yang dipertanggungkan. Asuransi jiwa ini akan diberikan oleh perusahaan asuransi berupa santunan dengan jumlah tertentu kepada ahli waris dari nasabah tersebut. Dengan mengambil asuransi jiwa, diharapkan bahwa pihak yang ditinggalkan tidak mengalami kesulitan dalam membiayai hidupnya.

1 Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

2 Partisipasi asuransi jiwa mempunyai keuntungan (benefit) yang dijamin, dikarenakan pada asuransi jiwa mempunyai fokus utama dalam hal jenis-jenis kontrak yang memuat syarat-syarat, hak dan kewajiban masing-masing pihak (polis), jangka waktu, perencanaan pembayaran (premi) dan iuran tetap. Mengingat masa depan seseorang tidak menentu atau tidak ada sebuah kepastian, sehingga topik ini perlu diteliti. Bonus berhak diberikan kepada pihak tertanggung, yang ditentukan oleh perusahaan asuransi melalui kebijakan secara sistematis terhadap surplusnya surat-surat berharga (portofolio), dilakukan dengan proses aman dan tepat. Bonus adalah pembayaran kembali dari surplus perusahaan asuransi kepada pemegang polis asuransi (policyholders), yang diperoleh dari asuransi portofolio, sub portofolio atau polis individu, Norberg (2002). Konstribusi tipe pemberian bonus sangat penting terhadap total benefit, karena perusahaan berhak menentukan rencana untuk memberikan keuntungan saham (dividen) atau bonus. Dividen menurut Sharpe (1995) adalah pembayaran tunai yang diberikan kepada pemegang saham. Pembayaran ini biasanya diumumkan setiap kuartal oleh dewan komisaris dan dibayarkan ke pemegang saham pada tanggal yang telah ditentukan. Perbedaan antara dividen dan bonus bukan merupakan hal yang penting, Nielsen (2003). Perusahaan asuransi jiwa menghadapi permasalahan bahwa dividen tidak diberikan kepada pemilik saham, melainkan hanya untuk tertanggung. Dalam hal ini satu pihak perusahaan mempunyai keinginan untuk membagikan dividen kepada tertanggung secara teratur, memperoleh keuntungan bisnis pasar asuransi yang kompetitif, dan memenuhi sebagian permintaan tingkat legislatif. Di


3 sisi lain, perusahaan harus melihat bahwa mereka tidak dapat memberikan lebih banyak dari yang mereka hasilkan, mereka selalu harus mampu mempertemukan masa depan semua obligasi. Dalam hal ini dapat digaris bawahi bahwa dividen dan bonus diperoleh dari polis yang dibayar satu tahap, tidak dapat diklaim kedepannya. Berdasarkan permasalahan di atas penelitian ini perlu diteliti. Model matematika pada penelitian ini, ditentukan dengan menggunakan proses rantai Markov waktu kontinu dengan ruang state berhingga, pada pendekatan suku bunga, Karena pada pembuatan model adanya asumsi Markov. Suku bunga menurut Sharpe (1995) adalah besarnya bunga yang dibayarkan secara teratur, yang dinyatakan dalam persentase terhadap nilai nominal obligasi. Sedangkan bunga adalah imbal jasa atas pinjaman uang, imbal jasa ini merupakan suatu kompensasi kepada pemberi pinjaman atas manfaat kedepan dari uang pinjaman tersebut apabila diinvestasikan. Surat menyurat lokal aset bebas risiko dipertimbangkan sebagai satu-satunya kesempatan investasi, yang dihadapkan dengan aspek konsumsi dan dividen. Artinya proses dengan adanya kontrol bukan sebuah penyebaran (difusi), tetapi PDP (piecewise deterministic process). Lagi pula agen asuransi pasti berhadapan dengan iuran pembayaran melindungi harga (non-hedgeable) positif dan negatif. Seperti yang diteliti oleh Nielsen (2003). Penelitian tentang bonus dalam asuransi jiwa juga pernah dilakukan oleh Norberg (1999), memperlihatkan tentang isu bonus dalam asuransi jiwa yang dipertimbangkan dalam kerangka model, secara tradisional ditunjukkan berdasarkan pengalaman tertentu (kematian, suku bunga, dll) menjadi stokastik. Norberg (1999) dan Norberg (2001), menentukan bonus dalam ruang lingkup model


4 rantai Markov waktu kontinu untuk multistate polis asuransi. Norberg (2003), mempertimbangkan pasar keuangan melalui rantai Markov homogen pada waktu kontinu.

1.2 Rumusan Permasalahan Rumusan permasalahan dalam penelitian ini adalah menentukan model suku bunga untuk masalah strategi bonus optimal dalam asuransi jiwa, dengan proses rantai Markov waktu kontinu dan ruang state berhingga.

1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah membuat model matematika, dengan merancang bonus optimal sebagai permasalahan kontrol, suku bunga bersifat stokastik.

1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan kepada perusahaan asuransi jiwa dalam hal pentingnya pemberian bonus tingkat polis, adanya keseimbangan benefit yang bisa pihak tertanggung dan perusahaan terima, sehingga masyarakat bertambah untuk mengikuti asuransi jiwa.

1.5 Metodologi Penelitian Model matematika pada penelitian ini, ditentukan dengan menggunakan proses rantai Markov waktu kontinu dengan ruang state berhingga, pada pendekatan suku bunga. Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:


5 a. Menjabarkan dasar dari model rantai Markov. Dalam hal ini dijabarkan juga tentang rantai markov waktu kontinu, polis asuransi jiwa multistate, deskripsi polis rantai Markov. b. Menjabarkan tentang surplus. Dalam hal ini ditentukan basis orde pertama dan kedua, proses surplus individu dan mean surplus portofolio. c. Menjabarkan tentang bonus dan menentukan cadangan dividen, dilakukan dengan proses stokastik. d. Membuat model berdasarkan model suku bunga, dilakukan proses Markov dengan adanya kontrol. e. Mendapatkan model strategi bonus dari tahapan a sampai d. f. Menentukan strategi bonus yang optimal dengan memaksimumkan fungsi objektif, dengan teknik stokastik kontrol, sebagai solusi optimal menggunakan prinsip program dinamik dan teorema verifikasi.


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Permasalahan optimisasi dari berbagai variasi asuransi jiwa dan dana pensiun telah banyak diteliti oleh peneliti lain, diantaranya dalam mendesain perencanaan dividen optimal. Permasalahan kontrol juga terdapat pada penelitian yang berhubungan dengan investasi (investment) dan pemakaian (consumption) optimal dalam model waktu kontinu, seperti yang diteliti oleh Merton (1969), dalam model dengan adanya ketidakpastian menggunakan persamaan budget sebagai persamaan differensial. Sebagaimana masa ketidakpastian dinyatakan dengan variabel acak, persamaan budget digeneralisasikan menjadi persamaan differensial stokastik. Berikut ini merupakan persamaan budget. # " m X Xi (t) . [W (t0) − C (t0) h] wi (t0) W (t) = Xi (t0) i=1 Keterangan : W (t) = total kekayaan di waktu t Xi (t) = harga dari aset ke i di waktu t, (i = 1, . . . , m) C(t) = pemakaian (consumption) per unit waktu di waktu t

Dimana :

wi (t) = proporsi total kekayaaan aset ke i di waktu t, (i = 1, . . . , m) m P wi (t) = 1 I=1

t ≡ t0 + h (interval waktu antara periode h) m P wi (t0) = 1 i=1

Penelitian ini berhubungan dengan literatur optimal investment dan consumption in continous time models, yang memprakarsai tulisan-tulisan Merton 6 Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

7 (1971), menyatakan efek atas konsumsi dan surat berharga mempunyai teori aset harga dinamik, itu semua diuji dengan tingkat upah, kehidupan yang tidak pasti, dan kemungkinan aset bebas risiko. Jones (1993), menyatakan bahwa area kerja aktuarial meliputi masa proses multistate, penelitian tersebut menunjukkan bagaimana probabiliti dan nilai aktuarial harus dikalkulasikan menggunakan model Markov waktu homogen. Konstanta piecewise (potongan) suku bunga transisi diperluas dari pendekatan kasus non homogen. Dalam kejadian ini asumsi Markov tidak tepat, ruang state dimodifikasikan sebagai alternatif untuk asumsi proses stokastik lebih umum. Ramlau (1995), menyatakan distribusi dari suplus dalam asuransi jiwa secara umum dalam kerangka rantai Markov, dimana sebuah polis asuransi dimodelkan dengan waktu non homogen rantai Markov dengan ruang state berhingga. Suku bunga dan himpunan konservatif dari suku bunga transisi digunakan untuk kegunaan distribusi surplus, menguji berbagai aspek aktuarial dari distribusi surplus cash bonus (bonus tunai), terminal bonus (bonus akhir) atau increased benefit (benefit meningkat ). Cash bonus adalah pemberian bayaran dividen dengan segera, menurut dasar orde kedua ke pemegang polis asuransi. Terminal bonus adalah pemberian dengan memisalkan orde kedua bertepatan dengan dasar orde pertama untuk seluruh masa kontrak, di akhir waktu dikeluarkan dengan pembayaran bonus. Pada increased benefit surplus digunakan untuk polis benefit dengan cara mendistribusikan surplus secara praktis. Bentuk bonus disini menggambarkan pembayaran dividen ditambah ke teknik cadangan dan pembayaran asuransi jiwa dijamin meningkat.


8 Referensi dasar untuk surplus, bonus dan dividen modelnya secara umum terdapat pada tulisan Norberg (1999), menyatakan konsep suplai dengan sketsa pendekatan tradisional untuk bonus dalam kerangka waktu kontinu model rantai Markov untuk polis asuransi multistate. Teknik surplus digunakan untuk pembayaran bonus kepada tertanggung. Untuk skema konstribusi terdefinisi strategi investasi optimal telah diteliti oleh Bouiler, Huang dan Tailard (2000), penelitiannya menyatakan model dana pensiun konstribusi terdefinisi dalam pasar uang dengan tipe tiga aset yaitu cash (tunai), stock (saham), dan bond (surat berharga). Pemecahan permasalahan dalam penjelasan keuangan terdapat empat tahap yaitu borrowing the contributions, replicating the guarantee, optimasi dana hedge dan solusi global. Cairns (2000) memodelkan dana pensiun, dengan model stokastik waktu kontinu digunakan dimana ada n aset berisiko ditambah dengan aset risiko bebas dan juga random dalam tingkatan pengeluaran keuntungan. Mempertimbangkan strategi kontrol Markov berakhir optimisasi kontribusi bunga dan strategi alokasi aset yang mungkin, secara umum fungsi kerugian menunjukkan proporsi optimal dari dana investasi masing-masing sisa aset berisiko relatif konstan satu yang lainnya. Lagi pula strategi alokasi aset selalu diletakkan perusahaan dengan teori portofolio modern. Norberg (2001), menulis bahwa surplus dari polis asuransi jiwa telah didefinisikan dibeberapa waktu sejak masa kontrak, dibedakan antara cadangan retrospektip orde kedua dan cadangan calon orde pertama. Prinsip umum untuk redistribusi bagian surplus bonus sistematik telah diformulasikan dan berbagai macam skema khusus yang telah didiskusikan. Teknik untuk peramalan (fore-


9 casting) bonus kedepan telah dikerjakan dalam memperpanjang sebuah model dengan stokastik basis experince. Pada penelitian tersebut disediakan ilustrasi numerik. Norberg (2002), menyatakan kondisi nilai ekspektasi dalam rantai Markov adalah solusi dari himpunan gabungan persamaan differensial backward, yang biasanya tergantung parsial diatas jumlah variabel state relevan. Penelitian tersebut juga menyelidiki validiti dari persamaan differensial yang ditempatkan dititik non smoothness dari kondisi statewise nilai ekspektasi, diuraikan metode numerik untuk komputasi. Tiga kasus terkemuka orde pertama persamaan differensial parsial (Partial Differential Equations/PDE) dalam pertimbangan dua variabel, semua dari keuangan dan asuransi;pemilihan harga dalam rantai Markov menggerakkan pasar uang; distribusi probabiliti dari cash flow dibangkitkan dengan multistate kontrak asuransi jiwa; cadangan dalam asuransi jiwa ketika pembayaran atau suku bunga adalah path dependen. Skema konstribusi terdefinisi strategi investasi optimal juga telah diteliti oleh Devolder (2003). Penelitian tersebut menunjukkan bagaimana teori stokastik kontrol optimal dapat dipakai untuk dana sebuah polis investasi optimal sebelum dan sesudah retirement (pengunduran diri) dalam definisi konstribusi perencanaan pensiun, dimana benefit adalah dibayar berada dibawah annuitas. Dalam hal ini menggunakan macam fungsi utiliti yang berbeda (daya rendah dan fungsi utiliti eksponensial). Perbedaan strategi dari tangan pertama dalam bagian investasi sebelum retiremen dan tangan lainnya dalam bagan pembayaran setelah retiremen. Perubahan strategi setelah retiremen dapat diinterpretasikan dalam model tipe konstrain ALM (Asset Liability Management) yang diambil sampai menghitung


10 jaminan teknik suku bunga digunakan oleh perusahaan asuransi Kraft dan Mogens (2006), menyatakan bahwa personal keuangan mengambil keputusan sangat penting dalam keuangan modern. Permasalahan keputusan tentang pemakaian (consumption) dan asuransi telah dimodelkan dalam model Markov state berhingga dan proses pembayaran asuransi. Model, permasalahan dan solusinya adalah diberikan dengan contoh dua kasus khusus: pertama model individu mengambil solusi optimal berlawanan dengan risiko kematian, model yang lain individu mengambil posisi optimal berlawanan dengan risiko kerugian pendapatan sebagai konsekuensi disability (cacat) atau unemployment (mengganggur).


BAB 3 BEBERAPA PENGERTIAN TENTANG ASURANSI

Black dan Skipper (1987) menuliskan dalam bukunya tentang jenis-jenis polis pada asuransi jiwa dikelompokkan menjadi empat jenis yaitu :

1. Asuransi jiwa jangka warsa (term life Insurance), yaitu suatu jenis asuransi jiwa dimana jumlah uang pertanggungan (JUP) hanya akan dibayarkan jika tertanggung meninggal pada masa pertanggungan (kontrak). Namun jika masa pertanggungan berakhir pemegang polis masih hidup, maka dia tidak akan menerima pembayaran apapun dari penanggung. 2. Asuransi jiwa dwi guna (endowment life Insurance), jenis asuransi jiwa yang memberikan jaminan ganda yaitu : membayar santunan sebesar nilai pertanggungan kepada tertanggung, jika ia masih hidup sampai akhir masa kontrak asuransinya. Jika tertanggung meninggal sebelum berakhir masa kontrak asuransinya, akan dibayarkan santunan kepada termaslahat atau penerima manfaat yang ditunjuk sebesar nilai pertanggungan. 3. Asuransi jiwa permanen (whole life insurance) dengan kata lain disebut asuransi jiwa seumur hidup, dalam hal ini tertanggung akan membayar premi asuransi seumur hidupnya tanpa mengharapkan bahwa suatu kelak akan menerima manfaat atau santunan asuransi. Santunan asuransi hanya akan dibayarkan kepada ”termaslahat atau penerima manfaat” atau seseorang yang ditunjuk jika tertanggung meninggal dunia.


12 4. Asuransi jiwa annuitas (annuity), sesuai dengan namanya maka polis jenis asuransi jiwa ini biasanya dibeli secara tahunan dan dapat diperpanjang kembali sesuai kebutuhan. Biasanya digunakan dalam kaitan kredit kepada Bank. Jenis asuransi jiwa ini tidak mempunyai unsur tabungan, dan premi yang dibayar lebih murah dari jenis asuransi jiwa lainnya.

Strategi bonus dalam asuransi jiwa dan pensiun yang pernah dilakukan oleh Nielsen (2003), meneliti tentang permasalahan redistribusi optimal dari surplus dalam asuransi jiwa dengan model rantai Markov waktu kontinu ruang state berhingga. Awalnya dibuat pengertian dari surplus, bonus dan dividen, menjabarkan dasar dari polis asuransi dan pembayaran kontrak. Dalam hal ini akan ditentukan dasar dari model rantai Markov untuk polis asuransi jiwa multistate. Kemudian akan ditentukan mean surplus portofolio.

Dilakukan dengan

mengasumsikan bunga investasi portofolio perusahaan pada suku bunga, dan melakukan proses stokastik, selanjutnya mean surplus portofolio ditentukan sesuai dengan definisi. Akhir dari bab ini yaitu menentukan cadangan dividen dengan proses stokastik. Pada dasarnya model yang diajukan didasarkan pada model rantai Markov untuk polis asuransi jiwa multistate dan dasar dari surplus, bonus dan dividen yang diperkenalkan oleh Norberg (1999).

3.1 Dasar Model Rantai Markov Pada bagian ini akan diuraikan tentang proses rantai Markov waktu kontinu untuk asuransi jiwa multistate, yang digunakan dalam pembuatan model suku bunga.


13 3.1.1 Rantai Markov Waktu Kontinu Dasar yang digunakan pada rantai markov dengan ruang probabiliti (Ω, F , P). Misalkan {Yt }t≥0 adalah sebuah rantai Markov waktu kontinu dengan ruang state berhingga Y = {1, . . . , k}. Diambil path Y kontinu kanan dan Y0 deterministik. Diasumsikan Y sebagai waktu homogen dengan peluang transisi pef t = P [Yτ +t = f | Yτ = e ] pef t t→0 t

dengan transisi suku bunga λef = lim dimana : e 6= f , ada dan konstan

e, f ∈ Y indeks e dan f untuk state-state seluruhnya di Y

Perbedaan antara kontinu kanan dan kontinu kiri hanya dititik waktu, dimana jumlah yang harus dibayar pada tanggal pembayaran non-null (tidak ada) dengan probabiliti positif, Norberg (2002).

3.1.2 Polis Asuransi Jiwa Multistate Sebuah polis dimulai di waktu 0 dan berakhir berhingga di waktu T , himpunan berhingga saling terpisah satu sama lain antar state polis dengan Z = {1, . . . , k}. Dalam hal ini 1 adalah inisial state di waktu 0. Misalkan Z(t) adalah state polis di waktu t ∈ [0, T ], Z adalah sebuah proses stokastik dengan path kontinu kanan dan jump (lonjakan) dari bilangan berhingga, juga pedoman yang Z didefinisikan, berturutsama proses indikator IZT dan proses menghitung Njk

turut dengan IjZ (t) = 1 [Z(t) = j], (1 atau 0 sesuai polis di state j atau tidak Z Z (t) = # {τ ; Z(τ −) = j, Z(τ ) = k, τ ∈ (0, t]}, ( Njk (t) adalah di waktu t) dan Njk


14 bilangan transisi dari state j ke state k dengan k 6= j) selama interval waktu (0, t]). Dalam sejarah polis sampai dengan waktu t diuraikan dengan aljabar sigma Gt = G≤t = σ {rτ , τ ∈ [0, t]}. Pengembangan polis akan diberikan dengan filtrasi (peningkatan dari kelompok aljabar sigma) G = {Gt }t∈[0,T ]. Polis akan diasumsikan ke bentuk standar, berarti jumlah total B(t) dari perjanjian benefit yang kurang dari premi dapat dibayar selama interval waktu [0, t], yang memenuhi persamaan (3.1). dB(t) =

X

IjZ (t) dBj (t) +

j

X

Z bjk (t) dNjk (t)

(3.1)

j6=k

Dimana setiap Bj adalah fungsi pembayaran deterministik secara khusus berhak dibayar selama tinggal di state j, secara umum berlaku pada jenis asuransi jiwa annuitas. Demikian juga halnya untuk setiap bjk (t) adalah fungsi deterministik yang khusus berhak dibayar di atas transisi dari state j ke state k, secara umum untuk jenis asuransi jiwa. Setiap Bj diasumsikan sebagai nilai berhingga, kontinu kanan dan dekomposisi sampai mutlak bagian kontinu dan diskret dengan bilangan jump berhingga di [0, T ], maka dBj (t) = bj (t) dt + ∆Bj (t)

Dimana 4Bj (t) = Bj (t)−Bj (t−), ketika perbedaan dari 0 adalah jump yang mewakili lump sum (pembayaran angsuran) yang di bayar jika polis di waktu t, maka berada di state j. Fungsi bj dan bjk diasumsikan dengan nilai berhingga dan piecewise kontinu.


15 3.1.3 Deskripsi Polis Rantai Markov Proses Z diasumsikan untuk rantai Markov waktu kontinu di ruang state Z, berikut ini definisi dari peluang transisi polis yaitu pjk (t, u) = P [Z(u) = k|Z(t) = j]. Dimana t ≤ u dan suku bunga transisi adalah µjk (t) = lim pjk (t, t + h)/h, j 6= h↓0

k, ada untuk semua t ∈ [0, T ). Selain itu, diasumsikan juga bahwa suku bunga adalah piecewise kontinu. Total untuk suku bunga transisi adalah µj = P k;k6=j µjk .

3.2 Surplus Definisi umum surplus atau disebut juga teknik surplus untuk sebuah kontrak adalah pembayaran sejumlah bonus kepada tertanggung. Surplus akan diberikan dengan harapan bahwa nilai saat ini ke total premi lebih sedikit dari benefit. Kondisi ini terjadi pada masa yang lalu. Pada permulaan kontrak, benefit dan premi telah ditaksir sesuai dengan basis orde pertama. Basis orde pertama adalah sebuah himpunan asumsi hipotesis yang diantaranya tentang bunga, suku bunga transisi antara state polis dan biaya. Model orde pertama adalah sebuah cara untuk menghitung premi dan cadangan yang ditempatkan secara aman. Sedangkan basis orde kedua himpunan lengkap yang di skenario secara realistik untuk segala masa polis.

3.2.1 Basis Orde Pertama dan Kedua Notasi untuk suku bunga adalah r dan suku bunga transisi adalah µjk .r dan µjk merupakan basis experience atau disebut juga dengan basis orde kedua, basis orde kedua memberikan gambaran tentang mekanisme yang benar dalam


16 memerintah bisnis asuransi. Ukuran peluang suku bunga dan operator ekspektasi dari suku bunga transisi dinotasikan dengan P dan E. Sedangkan untuk basis orde pertama suku bunga dan suku bunga transisi dinotasikan dengan r∗ dan µ∗jk , ukuran peluang suku bunga dan operator ekspektasi dinotasikan dengan P∗ dan E∗ . Peraturan untuk menetapkan premi dan cadangan dilakukan berdasarkan basis orde pertama. Cadangan orde pertama di waktu t dan polis di state j dapat dilihat pada persamaan (3.2) berikut ini, maka  T  Z Rτ ∗ − r Vt∗G = E∗  e t dBτ |Gt t

Dengan menggunakan asumsi Markov Vt∗G = Vt∗Zt =

P

IjZ (t) Vt∗j , diperoleh

j

Vt∗G =

=E

∗

Z

T −

e

Rτ t

r∗

dBτ | Zt = j

t

Z

T −

e t

Rτ t

r∗

X

p∗jg

(t, τ )

X

dBg (τ ) +

g

Rt

Untuk V , j ∈ Z, t ∈ [0, T ], j ∈ Z, notasi es notasi es

rτ dτ

(τ ) dτ

(3.2)

h ; h6= g

∗j

Rt

bgh (τ )

µ∗gh

!

r

digunakan untuk singkatan dari

. Vt∗j adalah cadangan dari statewise orde pertama di waktu t dan

polis di state j. Kontrak pembayaran atau premi cukup diberikan untuk benefit, sebagai konstrain (kendala) menggunakan prinsip ekuivalen dari penaksiran basis orde pertama, seperti terdapat pada persamaan berikut ini. ∗

E =

Z

T −

e

0

Atau ekuivalen V0∗1 = −B0


Rτ 0

r∗

dBτ = 0

(3.3)

17 3.2.2 Proses Surplus Individu Premi dihitung dengan menggunakan prinsip ekuivalen seperti pada persamaan (3.3). Berdasarkan pada asumsi orde pertama, portofolio akan dibuat dengan teknik surplus sistematis. Teknik surplus akan diketahui dengan mean surplus portofolio, awalnya dimulai pada tahap polis individu yang disebut juga surplus individu. Definisi surplus individu yang didasarkan pada G di waktu terdapat pada persamaan (3.4) berikut ini. StG

=

Z

t

Rt

e

τ

r

d (−Bτ ) − Vt∗G

(3.4)

0

Dengan menggunakan asumsi Markov, persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi persamaan berikut ini. StG

Rt

= −e

0

r

Z

t

Rτ

e

0

r

d (Bτ ) − Vt∗Zt

(3.5)

0

Dalam hal ini notasi StG ditulis dengan notasi Stind. Stind singkatan dari surplus individu, hal ini tepat dikarenakan sedang dalam pembahasan surplus indiRt R Rτ t vidu. Persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi Stind = − e 0 r 0 e 0 r d (Bτ ) − Vt∗Zt

3.2.3 Mean Surplus Portofolio Rata-rata polis individu dihasilkan dalam portofolio yang dipandang sanggup dalam hal pembayaran, oleh karena itu dipandang layak untuk dimulai dari mean surplus di t. Persamaan berikut ini adalah definisi dari mean surplus portofolio. Mean surplus portofolio mengasumsikan bunga portofolio investasi perusahaan dengan suku bunga r = (rt )t∈[0,T ], dimana proses stokastik didefinisikan (Ω, F )), Z independen dengan adanya P. Mean surplus portfolio pada waktu


18 t ∈ [0, T ] didefinisikan seperti persamaan berikut ini. X p1j (0, t) Vt∗j St = E Stind |Gt − =

j

Z

t

Rt

e

τ

r

d (−Bτ ) − Vt∗G −

r

Z

0

= −e

Rt 0

X

p1j (0, t) Vt∗j

j t

e−

Rτ 0

r

dBτ − Vt∗Zt −

0

= −e

Rt 0

r

Z

−

p1j (0, t) Vt∗j

j t

e−

Rτ 0

0

X

X

r

X

p1j (0, τ )

dBj (τ ) +

j

X

bjk (τ ) µjk (τ ) dτ

(3.6) !

k; k6=j

p1j (0, t) Vt∗j

j

Surplus secara faktual sebagai cadangan penetapan pendapatan di masa lalu, dan sebagai aturan penetapan pengeluaran dimasa akan datang. Untuk setiap t ∈ [0, T ] mempunyai

St =

Zt

Rt

r

eT cT dT

(3.7)

P (Zt = j) (rt − rt∗ ) Vt∗j = (rt − rt∗ ) Vt∗

(3.8)

0

dimana untuk t ∈ [0, T ] ct =

X j∈Z

dengan Vt∗ =

X

P (Zt = j) Vt∗j

(3.9)

j∈Z

Menandakan mean orde pertama di waktu t. Bentuk ini menunjukkan bagaimana surplus itu muncul yang diinterpretasi secara langsung dari konstribusi suku c.


19 3.3 Bonus Bonus berasal dari bahasa latin berarti baik (good). Dalam istilah terminologi asuransi, bonus adalah bentuk variasi dari pembayaran kembali surplus perusahaan asuransi kepada pemegang polis asuransi (policyholders), berasal dari performansi baik dari asuransi portofolio, sub portofolio atau polis individu. Dalam hal ini akan dihitung jumlah yang belum terselesaikan untuk tertanggung oleh penjamin asuransi, yang disebut cadangan dividen di waktu t.

3.3.1 Cadangan Dividen Surplus di bayar kembali kepada tertanggung yang dihitung dari dividen kredit. Iuran dividen digambarkan sebagai proses stokastik D = (Dt )t∈[0,T ], dan untuk proses pembayaran B, Dt dinotasikan sebagai kumpulan dividen selama [0, t], t ∈ [0, T ]. Dividen dikredit atas dasar informasi yang sekarang ini dikenal, oleh karena itu D harus dirubah menjadi G. Dividen harus menjadi non-negatif, dan dividen kredit yang dikeluarkan pada masa lalu tidak dapat diklaim kembali, D harus non-negatif dan non-decresing. Lagi pula D merupakan kontinu kanan. Cadangan dividen Ut di waktu t ∈ [0, T ] didefinisikan sebagai nilai waktu t dari konstribusi dividen yang lebih sedikit di masa lalu, digabungkan dengan bunga sehingga diperoleh cadangan dividen seperti pada persamaan (3.10) Z Rt e T r (cT dT − dDT ) Ut = −

(3.10)

[0,t]

Dividen kredit digunakan dalam berbagai cara dan tidak perlu dikeluarkan dengan seketika. Pengeluaran nyata dari dividen disebut bonus. Dalam beberapa kasus sederhana jika dividen yang dikeluarkan sekarang ini seperti dividen kredit, maka perbedaan antara dividen dan pembayaran bonus adalah tidak penting.


20 Dalam banyak kasus, bagaimanapun distribusi dan pembayaran kembali dari surplus mempunyai prosedur dividen yang ditentukan dan didistribusikan dalam persetujuan polis ke beberapa skema dividen, kemudian akan disetujui skema sebuah bonus. Penelitian ini menggunakan mean surplus portofolio, D menggambarkan mean dividen setiap pemegang polis asuransi dalam keseluruhan surplus portofolio termasuk yang sudah meninggal. Polis yang dipertimbangkan harus seluruhnya benar-benar umum ”mean” polis yang digambarkan dalam portofolio bukan suatu polis spesifik. Persamaan (3.10) dengan mudah dapat dilihat bahwa U dikembangkan menjadi persamaan di bawah ini. U0 = −D0

(3.11)

dUt = rt Ut dt + ct dt − dDt

(3.12)

untuk t ∈ (0, T ]. Kemudian untuk sebarang 0 ≤ s ≤ t ≤ T terdapat persamaan (3.13). Persamaan ini merupakan strategi dividen yang akan diperiksa keoptimalannya. Rt

Ut = Us es

r

Z

+

Rt

r

eτ (cτ dτ − dDτ )

(3.13)

(s,t]

Orde ekuivalen di waktu T , dalam hal ini dibutuhkan syarat UT = 0

(3.14)

Bagaimanapun persamaan (3.14) adalah tidak mungkin, kecuali UT − ≥ 0. Penelitian ini menggunakan model suku bunga di bawah kejadian UT − < 0 terdapat probabiliti positif, yang dibantah dalam kasus dunia nyata. Syarat pada


21 persamaan (3.14) akan diabaikan, karena tidak sesuai dengan permasalahan yang ada dalam penelitian ini.


BAB 4 PROSES STRATEGI BONUS OPTIMAL

Model pada penelitian ini, untuk strategi bonus ditentukan dengan menggunakan teknik suku bunga. Teknik stokastik kontrol digunakan dalam pencarian keoptimalan dari strategi bonus, yang dibuktikan dengan menggunakan prinsip program dinamik. Kemudian untuk memilih solusi eksplisit terbaik dari strategi bonus optimal dibuktikan dengan menggunakan teorema verifikasi.

4.1 Model Suku Bunga Model yang dibuat dalam penelitian ini didasarkan pada model suku bunga rantai Markov, telah diperkenalkan oleh Norberg (2003). Tahapan suku bunga hanya untuk bilangan berhingga, lebih spesifik proses suku bunga didefinisikan dengan persamaan 4.1 berikut ini. rt = rYt =

X

I(Yt =e) re , t ∈ [0, T ]

(4.1)

e∈Y

Dimana I(Yt=e) = 1[Yt = e] adalah indikator dari kejadian Y dalam state e di waktu t. Dalam hal ini menggunakan asumsi, bahwa Y = (Yt )t∈[0,T ] adalah proses Markov kontinu kanan, ruang state berhingga Y = {1, . . . , q}, dengan ruang probabiliti (Ω, F, P). Semua jump (lonjakan) suku bunga λf , e, f ∈ Y, e 6= f P ada dan konstan. Diletakkan Y e = Y\{e} dan λe = f ∈Y e λef , e ∈ Y, dinotasikan dengan N ef , e, f ∈ Y, e 6= f, proses perhitungan jump dihitung dari state e ke f . Diasumsikan bahwa re ≥ 0, e ∈ Y dan diletakkan r¯ = maxe∈Y re dan r = mine∈Y re . 22 Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

23 4.2 Proses Markov di bawah Kontrol Proses yang tidak kontrol (Y, U ) = {(Yt , Ut )}t∈[0,T ] diambil dari nilai ruang state Y × R. Selanjutnya dilakukan proses Markov dengan piecewise deterministic process (PDP). Y sebuah teori proses jump dan U sebagai cadangan dividen, menggunakan persamaan dUt = Ut rYi dt + cYt t dt. Dimana cet = (re − rt∗ )Vt∗ , t ∈ [0, T ], e ∈ Y Kontrol proses cadangan dividen dilakukan sampai proses dividen D, hasilnya diperoleh dalam stokastik dinamik seperti terdapat pada persamaan (3.12). Didefinisikan E ruang state untuk proses tripel {(t, Yt , Ut )}t∈[0,T ], dimana E = [0, T ]×Y ×R. Notasi yang mudah juga terdapat pada definisi E 0 = [0, T ]×Y ×R. Proses polis Z tidak lama dibahas, karena penelitian ini dilakukan dengan menggunakan mean surplus portofolio.

4.3 Fungsi Objektif Pada bagian ini akan dirancang strategi kontrol optimal dengan memaksimumkan fungsi objektif yaitu: E

Z

−

e

Rs 0

r

−

dDs + e

RT 0

r

ψ(UT −)

(4.2)

(0,T )

Jumlah dari ekspektasi dividen dan ekspektasi utiliti tidak dihitung dari cadangan dividen, sebelumnya T diukur dengan beberapa konkaf (mencekung) dan ditambah fungsi ψ : R → R. Penggabungan akhir [0, T ], dikarenakan beberapa akhir lump sum (pembayaran angsuran) dividen dinotasikan dengan 4DT yang diberikan langsung dari UT − dan diukur dengan ψ. Semua aksi kontrol diambil dari tempat [0, T ].


24 4.4 Teori kontrol

4.4.1 Ruang Lingkup Program Dinamik Program dinamik diperlukan untuk mendapatkan solusi yang optimal, dalam hal ini akan dilihat apakah model strategi bonus yang diperoleh merupakan solusi yang optimal. Mempertimbangkan masing-masing titik (t, e, u) ∈ E 0 adalah sebuah titik untuk proses kontrol, sebagai pertimbangan teknis dapat dilihat pada prinsip program dinamik teorema 4.4. Sebarang (t, e) ∈ [0, T ) × Y × R didefinisikan D(t, e) sebagai himpunan semua 5-tuples (Ω, F, P, Y, D), dimana (Ω, F, P) adalah ruang probabiliti komplet, Y = (Ys )s∈[t,T ] adalah rantai Markov waktu kontinu yang telah didefinisikan di (Ω, F , P) dengan ruang state Y suku bunga transisi λef , e, f ∈ Y, e 6= f dan dengan Yt = e(P − a.s, ), D = (Ds )s∈[t,T ] : Ω × [t, T ] → [0, ∞) adalah sebuah ukuran, G dirubah, kontinu kanan dan ditambah proses E(DT ) < ∞. Notasi sederhana D ∈ D(t, e) merupakan notasi singkatan untuk (Ω, F, P, Y, D) ∈ D(t, e). Sebarang (t, e, u) ∈ E 0 dan sebarang D ∈ D(t, e) didefinisikan (t,e,u,D) Ut0

R t0

= ue

t

r

+

Z

R t0

e

τ

r

(cτ dτ − dDτ ) , t0 ∈ [t, T ]

(4.3)

[t,t0 ]

Persamaan (4.3) identik dengan cadangan dividen di waktu t0, bersesuaian dengan titik awal (t, e, u) dan strategi dividen D (persamaan 3.13), diperoleh persamaan 4.4. D

Φ (t, e, u) = E

Z

−

e

Rs

[t,T )


t

r

dDs + e

−

RT t

r

ψ

(t,e,u,D) UT −

(4.4)

25 ΦD (T, e, u) = ψ (u) , (e, u) ∈ Y × R diletakkan sebagai tambahan, mempunyai fungsi performansi ΦD : E → R. Definisi yang berhubungan dengan fungsi sup ΦD (t, e, u), (t, e, u) ∈ E 0

nilai Φ : E → R adalah Φ(t, e, u) =

D∈D(t,e)

Menggunakan asumsi 4.1 di bawah ini, dan ΦD (T, e, u) = ψ(u), (e, u) ∈ Y × R. Diberikan Titik awal (t, e, u)E 0 objektif, untuk mendapatkan sebuah ˆ ∈ D(t, e) memenuhi Φ(t, e, u) = ΦDˆ (t, e, u) kontrol optimal. Sebuah kontrol D dan untuk permasalahan asli objektif dinyatakan dengan pemisalan t = 0, e = Y0 dan u = 0. Diasumsikan seluruhnya

(i) ψ ∈ C 1(R) (ii) Ada u0 ∈ R sehingga ψ 0 (u0) > 1 (iii) L :≡ limu→−∞ ψ(u) < ∞

Kondisi (i) dapat menjadi lemah, tetapi ini dipakai karena hasilnya sederhana. Kondisi (ii) menjamin masalah kontrol, dengan kondisi ini mudah untuk menunjukkan bahwa fungsi nilai berhingga. Sebaliknya jika tidak memenuhi kontrol D0 ∈ D(t, e) dapat didominasi dengan lebih besar 1, sehingga jika mendefinisikan D” := D0 +K untuk beberapa konstan K > 0 maka ΦD (t, e, u) ≥ φD (t, e, u). Hal ini sangat penting dalam menghitung strategi dividen. Kondisi (iii) menjamin ψ adalah Lipschitz kontinu dengan Lipschitz L konstan, bagaimanapun ditambah tidak berefek pada strategi optimal.


26 4.4.2 Sifat Dasar dari Fungsi Nilai Berikut ini ada dua proposisi tentang fungsi nilai. Proposisi 4.2 Untuk sebarang (t, e) ∈ [0, T ] × Y, Φ(t, e, ·) adalah meningkat (increasing) dan konkaf (mencekung) sebagai sebuah fungsi dari u ∈ R. Proposisi 4.3 Untuk sebarang (t, e) ∈ [0, T ]×Y dan sebarang D ∈ D(t, e), Φ(t, e, ·) dan ΦD (t, e, ·) adalah Lipschitz kontinu sebagai sebuah fungsi dari u ∈ R. Ukuran dari Φ dari Φ(·, e, u) adalah kontinu di [0, T ) untuk sebarang (e, u) ∈ Y × R.

4.4.3 Prinsip Program Dinamik Berikut ini merupakan teorema prinsip program dinamik (dynamic programming principle/DPP) untuk permasalahan kontrol. Teorema 4.4 Untuk sebarang (t, e, u) ∈ E 0 , hR Rs R t0 Φ (t, e, u) = sup E [t,t0) e− t r dDs + e− t

r

Φ

t

D∈D(t,e)

t ≤ t0 ≤ T

0

(t,e,u,D) , Yt0 , Ut0−

i

;

Young (1999)

Bukti : Misalkan (t, e, u) ∈ E 0 dan t0 ∈ [t, T ]. Untuk sebarang D ∈ D(t, e),

ΦD (t, e, u) = E

hR

[t,t0 )

e−

Rs t

h Rs +E e− t r E

r

dDs R

i

[t0 ,T )

e−


Rs t0

r

dDs + e−

RT t0

r

i (D,t,e,u |Gtt0 ψ UT −

27 Akan diklaim bahwa Z Rs RT (D,t,e,u (D,t,e,u) − t0 r − t0 r t 0 Gt0 6 Φ t , Yt0 , Ut0 e dDs + e ψ UT − E [t0 ,T )

(4.5) Dengan kata lain i hR R R 0 (D,t,e,u) D − ts r − tt r 0 , akan ditunjukkan dDs + e Φ t , Yt0 , Ut0 − Φ (t, e, u) 6 E [t,t0 ) e pertidaksamaan ≤ . Y dan D adalah kontinu kanan, ada sebuah himpunan Ω0 ∈ F dengan P(Ω0 ) = 1 adalah benar.

Untuk sebarang ω0 ∈ Ω0 telah

ditetapkan, Y dan D adalah deterministik di [t, t0] dengan adanya P (|Gtt0 ) (ω0 ) · P (· |Gtt0 ) dinotasikan secara teratur dengan kondisi peluang P diberikan Gtt0 . Jadi, Ω, P (·, |Gtt0 ) (ω0 ), F , Y [t0 ,T ], D ∈ D (t Yt0 (ω0 )). Selanjutnya dipunyai (D,t,e,u) UT −

(D,t,e,µ)

Yt0 dan Ut0 −

(D,t,e,u)

D,t0 ,Yt0 ,Ut0 −

= UT −

(4.6)

deterministik dengan adanya (Ω, P (· |Gtt0 ) (ω0 ), F ). Sub-

stitusikan (4.6) ke (4.5), dan gunakan E (· |Gtt0 ) (ω0 ) = EP(·|Gt0 )(w0 )(·) hasil yang t

diminta tidaklah sama. Sebaliknya, untuk sebarang ε > 0 dengan menggunakan proposisi 4.3 ada δ > 0, maka untuk sebarang e ∈ Y dan u1, u2 ∈ R dengan |u1 − u2| < δ, akan dipunyai D 0 Φ t , e, u1 − ΦD t0, e, u2 + Φ t0, e, u1 − Φ t0, e, u2 6 ε , ∀ D ∈ D (t0, e) Misalkan (I n )n≥1 menjadi partisi R dengan setiap I n panjang interval m(I n ) ≤ δ. Akan dipilih untuk setiap n ≥ 1, un ∈ I n . Untuk sebarang e ∈ Y dan n ≥ 1 ada De,n ∈ D(t0 , e), maka ΦD

e,n

(t0, e, un ) > Φ (t0, e, un) − ε

Jadi, untuk sebarang u ∈ I n dipunyai ΦD

e,n

(t0, e, u) > ΦD

e,n

(t0 , e, un) − ε > Φ (t0, e, un ) − 2ε > Φ (t0, e, u) − 3ε


28 Untuk setiap e ∈ Y dan n ≥ 1 ada ukuran pemetaan η e,n : [t0T ] × A[t0, T ] → [0, ∞), maka Dse,n = η e,n (s, Y·∧s ). Ambil sebarang kontrol D ∈ D(t, e), dide˜s = ˜ ∈ D(t, e) dengan D ˜ s = Ds untuk s < t0 dan D finisikan kontrol baru D P P (D,t,e,u) Dt0 − + η e,n s, (Yτ ∧s )t06τ 6T , t0 6 s 6 T 1{(e,I n )} Yt0 , Ut0 f ∈Υ n>1

Kontrol baru dapat diterima dan didapatkan ˜

Φ(t, e, u) ≥ ΦD (t, e, u) Rs RT ˜ R ) (D,t,e,u − t r ˜ − t r dDs + e ψ UT − = E [t,T ) e i hR Rs ˜s = E [t,t0) e− t r dD R t0 Rs RT ˜ R ) (D,t,e,u − t r − t0 r ˜ − t0 r t |Gt0 E [t0 ,T ) e dDs + e ψ UT − +E e

Menggunakan alasan dari (4.6), akan dipilih Φ (t, e, u) > E

Z

−

e

Rs t

r

˜s + e dD

[t,t0 )

−

R t0 t

r

0

˜ ) (D,t,e,u

Φ t , Yt0 , Ut0 −

Y, dimana

Pertidaksamaan ≥ terbukti, karena D ∈ D(t, e) adalah arbitrase

4.4.4

Variasi Pertidaksamaan (inequalities) dan Heuristik Optimal Kontrol Fungsi nilai diperlihatkan dengan sebuah fungsi komponen q, dengan na-

ma statewise fungsi nilai Φe (·, ·) = Φ (·, e, ·) : [0, T ] × R → R, e ∈ Y, secara bersamaan berbeda state di Y. Persamaan HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman) program dinamik digunakan dalam sistem variasi pertidaksamaan fungsi ini dinyatakan dalam persamaan (4.7). Notasi φ digunakan untuk argumen fungsi umum. Persamaan (4.7) dan Persamaan (4.8) berikut ini adalah model strategi bonus


29 yang menghasilkan kondisi cukup optimal. X ∂ e e ∂ e ∂ e φ − φe r e + φ (r u + cet ) + φ λef φf − φe , 1 − ∂t ∂u ∂u e

0 = max

!

f ∈Y

e∈Y (4.7) Dengan syarat batas φe (T, u) = ψ (u) , (e, u) ∈ Y × R

(4.8)

Argumen heuristik untuk persamaan sistem ini adalah : asumsi untuk proses dividen absolut kontinu adalah dipenuhi, seperti sebarang kontrol dDt = δt untuk beberapa proses suku dividen δ, maka asumsi selanjutnya adalah Φ ∈ C 1(E 0 ). Prinsip program dinamik yang dikenal dengan persamaan HJB adalah 0=

∂ e ∂ e Φ (t, u) − Φe (t, u) re + Φ (t, u) (re u + cet ) ∂t ∂u X ∂ e ef f e Φ (t, u) δ + λ Φ (t, u) − Φ (t, u) + sup δ − ∂u δ>0 e

(4.9)

f ∈Y

Dapat dilihat bahwa jika bil δt = 0. Bagaimana jika

∂ ΦYt ∂u

∂ ΦYt ∂u

(t, Ut ) > 1, optimum dipilih dengan mengam-

(t, Ut) < 1, maka tidak ada optimum, tetapi de-

ngan jelas δ kemungkinan dipilih sama besar. Sekarang strategi dividen dipenuhi tidak absolut kontinu, strategi optimal dicapai sampai dengan jump sum dividen tepat yaitu ketika

∂ ΦYt ∂u

(t, Ut ) < 1. Karena jump sum berefek sama nilai ke uku-

ran jump (lonjakan), secara aktual tidak dapat dipunyai harus mempunyai

∂ ΦYt ∂u

(t, Ut) < 1, tetapi

(t, Ut) = 1 untuk u cukup besar. Demikian juga untuk

sebarang (t, e, u) ∈ E 0 dipunyai

0 > 1 −

∂ ΦYt ∂u

∂ Φe ∂u


,

30

0 =

∂ e Φ ∂t

− Φe re +

∂ Φe ∂u

(re u + cet ) +

P

λef Φf − Φe

f ∈Y e

Paling sedikit satu pertidaksamaan menjadi sama, dan variasi ini telah dikombinasikan di persamaan (4.7)

4.4.5 Teorema Verifikasi Teorema verifikasi dilakukan untuk mengidentifikasi persamaan (4.7). Solusi umum persamaan (4.7) sampai dengan persamaan (4.8), fungsi utama φ = (φe )e∈Y : E → R dipenuhi dengan syarat-syarat berikut ini. (i) Disini ada berhingga partisi 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , maka setiap φe adalah differensiabel kontinu dan memenuhi persamaan (4.7) di (ti−1 , ti )×R untuk i = 1, . . . , n. (ii) Masing-masing φe memenuhi persamaan (4.8) dan kontinu di [0, T ] × R, kecuali untuk subset {(T, u) : ψ 0(u) < 1}.

Sebuah solusi khusus diperlukan, dalam hal ini menggunakan teorema 4.5 Nielsen (2003). Teorema 4.5 Jika φ sebuah solusi umum untuk persamaan (4.7) sampai dengan persamaan (4.8), dimana konkaf di u, maka φ ≥ Φ. Lagi pula, untuk sebarang (t, e, u) ∈ E 0 , jika D ∈ D(t, e) dan bersamaan proses cadangan dividen U D ≡ U (t,e,u,D) terpenuhi persamaan berikut lim φYt t, UtD = φYT T, UTD− = ψ UTD− t/T


(4.10)

31 dan

Z

e−

Rs t

r

[t,T )

X

I(Ys− = e) (dAes + dJse ) = 0

(4.11)

e∈Y

Dimana e D ∂ e ∂ e e D e e D D e φ s, Us − r φ s, Us + φ s, Us dAs = r Us + cs ds ∂t ∂u X ef ∂ e D D D φ s, Us− + φf s, Us− − φe s, Us− λ ds + 1 − dDs ∂u f ∈Y e ∂ e φ (s, Us− ) ∆Us ∂u ∂ e φ (s, Us + ∆Ds ) ∆Ds = φe (s, Us ) − φe (s, Us + ∆Ds ) + ∂u Maka ΦD (t, e, u) = φ (t, e, u) = Φ (t, e, u), D adalah optimal. dJse = φe (s, Us ) − φe (s, Us− ) −

Bukti: Misalkan φ berada dalam teorema 4.5. Misalkan (t, e, u) ∈ E 0 dan D ∈ D(t, e) adalah arbitrase. Proses X = (Xs )s∈[t,T ] di definisikan pada persamaan berikut ini. Xs = e−

Rs t

r

φYs s, UsD , s ∈ [t, T ]

Xt = φe (t, u + Dt ), menggunakan formula Ito’s pada setiap partisi (ti−1 , ti]) Z Rs X e XT − − φ (t, u) = e− t r I(Ys− =e) (dAes + dJse + dMse − dDs ) [t,T )

Dimana dMse =

P

f ∈Y e

e∈Y

D D φf s, Us− − φe s, Us− dNsef − I(Ys− =e) λef ds , Φ

memenuhi persamaan (4.7) sehingga dipunyai dAes ≤ 0 dan dJse ≤ 0, karena φe ∂ e φ ∂u

(t, u) > 1 di

Jadi dengan ekspektasi akan dipilih Z Rs RT e − t r − t r D φ (t, u) > E e dDs + e ψ UT − = ΦD (t, e, u)

(4.12)

konkaf di u. Selanjutnya φ derivatif parsial kontinu di E 0 dan E 0 , sehingga diperoleh XT − = e−

RT t

r

RT lim φYt t, UtD > e− t r ψ UTD− t↑T

[t,T )


32 Karena D ∈ D adalah arbitrase, disimpulkan bahwa Φ ≤ φ. Diasumsikan D ∈ D memenuhi persamaan (4.10) dan (4.11), maka pertidaksamaan (4.12) menjadi persamaan. Hal ini identik dengan φe (t, u) = ΦD (t, e, u).

4.4.6 Bentuk Solusi Tertutup Misalkan u ˜ = inf { u ∈ R : ψ 0 (u) 6 1}, dengan inf φ = ∞ dan didefiniu∈R

sikan bahwa ψ˜ : R → R adalah    ψ (u) , ˜ ψ (u) =   ψ (˜ u) + u − u ˜,

if u 6 u ˜ lainnya

ψ˜0 (u) ≥ 1 untuk setiap u ∈ R. Proposisi 4.6 Misalkan φ = (φe )e∈Y : E → R diberikan R R Z T e − tT r ˜ r ψ ue t + φ (t, u) = E e

T

RT

e

τ

r

cτ dτ

, (t, e, u) ∈ E 0

t

dan φe (T, u) = ψ (u) , (e, u) ∈ Y × R, maka φ adalah solusi umum untuk persamaan (4.7) sampai dengan persamaan (4.8). Secara mudah dapat dilihat bahwa φ konkaf di u, demikianlah dengan teorema 4.5 jika dibangun strategi dividen D ∈ D(t, e) (bersamaan dengan inisial titik (t, e, u) ∈ E 0 ) sehingga persamaan (4.10) dan (4.11) terpenuhi, maka D adalah optimal dan Φ = φ. Dengan jelas persamaan (4.11) dipenuhi jika dAes ≡ 0 dan dJse ≡ 0. Kemudian dengan meletakkan K =

(t, e, u) ∈ E :

∂ e φ ∂u

(t, u) 6 1 , di-

pisahkan ruang state ke daerah disjoin E = K 0 ∪ ∂K ∪ (E\K). Dari propo (t,e,u,D) ∈ sisi 4.6, diperoleh dAes ≡ 0, dibutuhkan dJse ≡ 0 jika s, Ys− , Us−


33 E \ K. Lagi pula dJse ≡ 0 jika jump sum dividen 4s > 0 adalah hanya dikre (t,e,u,D) (t,e,u,D) ∈ K o dan dengan cara itu s, Ys , Us = dit, ketika s, Ys− , Us− (t,e,u,D) s, Ys , Us− − ∆Ds ∈ K o ∪ ∂K, maka hasil state dilarang masuk dari E\K. Interpretasi K 0 sebagai daerah jump, E\K sebagai daerah bukan aksi, dan (t,e,u,D) ∈ K o dibuat lonjakan ke ∂K, ∂K sebagai batas optimal:jika s, Ys , Us (t,e,u,D) (t,e,u,D) ∈ E\ K diletakkan dDt = 0 dan jika s, Ys , Us ∈ jika s, Ys , Us ∂K dipilih dDt dengan cara proses tinggal di ∂K jika memungkinkan. (t, e) ∈ [0, T ) × Y dapat dipertimbangkan pada bagian (t, e), (Ko )

(t,e) , (∂K) (t,e)

dan (E \ K)(t,e)

tetap (consisting), berturut-turut, dari u ∈ R dengan demikian (t, e, u) di K o , ∂K dan E \ K. Sejak φ konkaf di u, dengan bentuk (˜ u (t, e) , ∞) , {˜ u (t, e)} dan (−∞, u ˜ (t, e)) berturut-turut untuk beberapa u ˜ (t, e) ∈ R ∪ {∞}. Jadi untuk masing-masing e ∈ Y, bagian e(K 0)e (jika tidak kosong) berada diatas (E\K)e , ˜ (t, e) , t ∈ [0, T ]} merupakan terbatas. dengan (∂K)e = { u Ketika ψ˜0 (u) > 1 dilihat bahwa R T ∂ e φ (t, u) = E ψ˜0 ue t ∂u Jika dan hanya jika RT

ue

t

r

+

Z

T

r

+

Z

T

RT

e

τ

cτ dτ

=1

t

RT

e

τ

r

cτ dτ > u ˜

t

Tetapi ini dipenuhi jika hanya Z T r (T −t) r (T −t) ∗ r −r Vτ∗ dτ > u ue− + e− ˜. t

−

Jadi dividen hanya dikredit jika seseorang dapat meyakinkan bahwa akhir cadangan dividen akan di atas u ˜. Terutama batas optimal adalah sama untuk seti R T −r(t−T ) −r(T −t) ∗ r − r Vτ∗ dτ , t ∈ [0, T ] . . + t e− ap e ∈ Y diberikan u ˜ (t) = u ˜e − −


34 Persamaan ini dapat dilihat bahwa notasi untuk u ˜ (T ) = u ˜. Kemudian dipunyai u ˜ (t) < ∞, ∀t ∈ [0, T ], jika dan hanya jika u ˜ < ∞. Jika cadangan dividen menjangkau batas optimal yang dinyatakan berhingga haruslah dipenuhi. Ini dapat dicapai dengan meyakinkan hasil cadangan dividen sesuai dengan u ˜, mempunyai (t,e,u,D) ˜ (t) + r − r∗ Vt∗ dt. Sehingga jika Ut = u ˜ (t), dilihat d˜ u (t) = r u −

−

(t,e,u,D)

dari cadangan dividen dinamik persamaan (3.12) maka akan berlaku Us u ˜ (s) , t 6 s 6 T . Jika diletakkan pada persamaan (4.13) Ys (t,e,u,D) Ys t,e,u,D ∗ ∗ + cs − r Us + r − r Vs ds dDs = r Us − − = r Υs − r Us(t,e,u,D) + Vs∗ ds

=

(4.13)

−

untuk s ∈ (t, T ), jika cadangan dividen terbatas, letakkan dDs = 0, maka D memenuhi persamaan (4.10) dan persamaan (4.11), sehingga D optimal. Kemudian dari teorema 4.5 disimpulkan bahwa Φ = φ. Batasan u ˜(t) diinterpretasikan sebagai nilai saat ini dari konstribusi surplus di masa depan dan kasus skenario yang paling buruk (dimana rs = r untuk t < s ≤ T ). Jika cadangan dividen menjangkau batas, total kekayaan (wealth) V ∗ + U (t,e,u,D) cukup menjamin bahwa pembayaran sesuai kontrak dapat dijumpai dan dicapai pada waktu T di kasus skenario terburuk. Persamaan (4.13) dapat dilihat bahwa semua bunga diperoleh dari skenario kasus terburuk harus dikredit dengan dividen. Cadangan dividen tidak pernah diperoleh di atas batas optimal dengan adanya strategi optimal D (kecuali (˜ u(0) < 0). Bagaimanapun, diakui bahwa pilihan fungsi objektif mempertimbangkan tak berhingga banyaknya strategi optimal jika batas menjangkau waktu t, karena nilai optimal masih dipakai jika dividen


35 tidak dimasukkan dan dikredit dengan suku bunga di belakang titik s ∈ (t, T ). Tetapi persamaan (4.10) telah terpenuhi. Ini berarti bahwa jangkauan akhir waktu T cadangan dividen harus tidak melebihi batas. Semua situasi realistik batas yang optimal akan berkurang di t, dan mempertimbangkan sejumlah waktu akan lewat sebelum melewati batas. Sebagai gantinya dividen dapat dikredit untuk akhir masa polis. Ini adalah bertentangan dengan praktik tradisional biasanya yakni dividen dikredit seluruh masa polis.

4.5 Strategi Bonus Optimal

4.5.1 Fungsi Objektif Permasalahan kontrol dalam penelitian ini diformulasikan dengan dua basis objektif. Pertama dividen dikredit bersamaan, dengan realisasi surplus selama masa polis. Kedua, perusahaan selalu meyakinkan bahwa obligasi masa depan dapat dipertemukan, bahkan diskenario dengan performansi investasi sangat rendah. Kedua objektif tersebut jelas, seseorang tidak mungkin tergantung pada jenis asuransi apa seseorang bermaksud, dan juga bagaimana dividen diubah menjadi pembayaran bonus. Seorang tertanggung mengatakan asuransi jiwa annuitas bertindak sebagai benefit untuk pengunduran dirinya. Pembayaran angsuran besaran bonus akhir dilakukan diakhir kontrak, ketika meninggal mendapat sedikit manfaat. Pada asuransi jiwa jenis asuransi endowment, benefit terdiri dari pembayaran angsuran tunggal akhir kontrak pada saat tertanggung meninggal atau berakhirnya polis, akhir pembayaran bonus sungguh-sungguh akan tepat.


36 Bagaimanapun, permasalahan dalam penelitian ini jauh lebih relevan untuk jenis asuransi diamana cadangan besar adalah penuh, dan secara khusus mendapat benefit yang besar di saat pengunduran dirinya, misalnya asurasi jiwa annuitas. Oleh karena itu, objektif pertama tentu saja layak. Seseorang bekerja dengan suku bunga tetap atau deterministik sebagai pengganti faktor r tidak dihitung. Walaupun ada banyak skema bonus yang muncul, bonus tidak dikeluarkan sebelum periode benefit. Disini tidak ada yang istimewa, karena semua kredit dividen sebelum periode benefit memperoleh bunga dengan suku r sampai bonus dikeluarkan. Maka tertanggung memandang r adalah suku bunga yang relefan seperti skema bonus, sedikitnya sampai permulaan periode benefit. Kasus untuk suku bunga tetap β > 0, dipertimbangkan lebih relefan untuk jenis asuransi khusus atau jika semua dividen segera dikeluarkan untuk pemberian bonus tunai. Kekurangan utama yang penting dihitung dari skema dividen optimal: jika suku r menurun di level rendah, dimana ekspektasi faktor bunga sampai waktu T lebih rendah, maka faktor bunga sesuai dengan suku bunga β. RT < eβ(T − t), maka suku bunga benar-benar Oleh karena itu, jika Et e t r optimal dihitung dengan fungsi objektif untuk meningkatkan suku dividen. Dalam beberapa kasus, kegunaan konkaf fungsi utiliti (ψ) untuk menganalisis sebuah solusi dari permasalahan. Bagaimanapun, pengukur dividen menggunakan konkaf fungsi utiliti. Sebagian besar polis asuransi jiwa secara khusus dikumpulkan dan tidak dikeluarkan dengan segera. Oleh karena itu, asumsi tentang waktu tambahan (aditif) sulit dibenarkan.


37 4.5.2 Prinsip Menentukan Dividen Penaksiran prinsip aktuarial dalam dividen secara umum telah diterima di waktu T . Ketika pengembangan ekonomi-demograpi selama masa polis adalah diketahui. Dinyatakan dengan syarat UT = 0, dengan asumsi ST − selalu non negatif. Seseorang memenuhi kemungkinan UT > 0, sehingga perusahaan membuat positif harapan profit. Penelitian ini mengambil ψ yang diberi pada fungsi (tergantung pada akhir fungsi keluaran) yang mengukur utiliti dari cadangan dividen yang tepat sebelum T , sebagai alternatif profit menutupi biaya. Retribusi surplus untuk polis asuransi jiwa mempertimbangkan masa kontrak, sehingga polis secara keseluruhan tergantung klaim di pasar uang. Dengan tepat polis tidak hanya diletakkan pada orde pertama isu iuran pembayaran, tetapi iuran dividen juga. Kedua pembayaran tersebut merupakan fugsi waktu dan arah state random yang mendasari indeks S, dimana tidak dapat dikendalikan proses vektor Markov secara pasti. Sebagian proses komponen dari S diandalkan di pasar uang Z, sedangkan yang lainnya proses non pasar mewakili riwayat hidup pemegang polis, diasumsikan pasar ini bebas arbitrase, dan model disediakan untuk menetapkan kontrak yang adil untuk perusahaan asuransi seperti halnya pemegang polis, mereka konsisten dengan harga pasar dari macam perbedaan resiko di indeks S. Model juga menghasilkan cadangan pada harga pasar. Arbitrase adalah tindakan membeli sesuatu di satu pasar dan menjualnya pada harga yang lebih tinggi di pasar lain untuk mendapatkan laba dari perbedaaan harga. Pada asuransi jiwa, secara khusus jangka waktu perjanjian melebihi batas terpanjang dari batas masa yang tersedia di pasar dengan cara mempertimbangkan iuran pembayaran tingkat pertama non-hedgeable. Karena alasan ini


38 tidak ada atbirase unik nilai bebas seperti dalam perjanjian, lagi pula dividen untuk perjanjian asuransi jiwa tidak tegas dihubungkan ke beberapa dasar indeks, tetapi lebih ditentukan seluruhnya masa polis oleh perusahaan. Ukuran Q yang spesifik berjumlah sebuah ekuivalen himpunan transisi suku bunga dari Y , maka semua strategi dividen akan dipenuhi dengan syarat RT EQ e− 0

r

UT

= 0

(4.14)

Nilai-nilai surplus UT telah dipenuhi, dan persamaan (4.14) secara tidak langsung menyatakan bahwa UT = 0. Seperti itu orang-orang bisa mencoba mendapatkan iuran dividen optimal yang terpenuhi pada persamaan (4.14).


BAB 5 KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan Tesis ini menyajikan suatu model strategi bonus/dividen untuk solusi optimal. Perusahaan ingin membagikan sebanyak mungkin dividen, tetapi tidak ingin kehilangan uang secara sistematis. Perusahaan besar secara fakta menghadapi suatu peningkatan resiko mengenai kegagalan uang diakhir tahun. Situasi tersebut telah dicetuskan dengan penurunan suku bunga, tetapi dapat dibantah disebabkan strategi dividen yang terlalu agresif. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa strategi umum dividen-dividen yang dikeluarkan ke seluruh tertanggung di segala masa adalah suboptimal. Ini hampir tidak menjadi kejutan, dividen-dividen dibagikan sejak dini di dalam masa polis, hal tersebut tentu saja meningkatkan risiko kerugian, meskipun benefit untuk tertanggung relatif kecil.

5.2 Saran Penelitian ini hanya sampai menemukan model dari strategi bonus yang optimal, tidak sampai pada penentuan nilai bonus. Perlu penelitian lebih lanjut untuk mendapatkan bentuk eksplisit strategi bonus optimal khususnya pada asuransi jiwa.


DAFTAR PUSTAKA

Black, K and Harold S. (1987). Life Insurance, Eleventh edition, New Jersey, Prentice-Hall. Bouiler, J.-F., S.J. Huang and G. Taillard. (2000). Optimal management under stochastic interest rates: the case of a protected defined contribution pension fund. Working paper version october, Universite Paris VI and Ecole Polytechnique, Paris, France. Cairns, A. (2000). Some Notes on the Dynamics and optimal control of stochastic pension fund models in continuous time. ASTIN Bulletin, 30: 19-55. Crane, Frederick G. (1984). Insurance: Principles and Practices, Canada, John Wiley & Sons, Inc. Devolder, P., M.B. Princep and I.D. Fabian .(2003). Stochastic optimal control of annuity contracts. Insurance: Mathematics and Economics, 33: 227-238. Jones, Bruce L. (1993). Modelling Multi-State Processes Using a Markov Assumption. Actuarial Research Clearing House, vol.1, Lowa City, University of Lowa. Kraft, H and Mogens S. (2006). Optimal Consumption and Insurance: A Continuous-Time Markov Chain Approach. This REVIEW, 15 september. Merton, R.C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. Review of Economics and Statistics, 51: 247-257. Merton, R.C. (1971). Optimum Consumption and Portfolio Rules in a ContinuousTime Model. Journal of Economic Theory, 3: 373-413. Moller, T and Mogens S. (2006). Market-Valuation Methods in Life and Pension Insurance. Version March 2 Nielsen, P.H. (2003). Optimal Bonus Strategies in Life Insurance: The Markov Chain Interest Rate Case. Working Paper no.191, Laboratory of Actuarial Mathematics, University of Copenhagen. To appear in Scandinavian Actuarial Journal. Norberg, R. (1999). A theory of bonus in life insurance. Finance and Stochastics, 3: 373-390. Norberg, R. (2001). On bonus and bonus prognoses in life insurance. Scandinavian Actuarial Journal, 2: 126-147. Norberg, R. (2002). Anomalous PDEs in Markov Chains: Domains of Validity and Numerical Solutions. Research Report, Department of Statistics, London School of Economics and Political Science, Houghton. Norberg, R. (2003). The Markov Chain Market. ASTIN Bulletin, 33: 265-287. 40 Rosimanidar : Strategi Bonus Optimal Dalam Asuransi Jiwa, 2010.

41 Ramlau-Hansen, H. (1995). Distribution of Surplus in Life Insurance. ASTIN Bulletin, 21, 57-71. Sharpe, F, W. et. Al. (1995). Investment. Prentice Hall, Inc. A Simon & Schuster Company Upper Saddle River, New Jersey. Yong, J. and X. Y. Zhou (1999). Stochastic Controls. Springer.


STRATEGI BONUS OPTIMAL DALAM ASURANSI JIWA

Recommend Documents