DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN

Pagina 1 van 8

DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN 1 Redeneren – bewijzen – lokaal deductief werken Van leerlingen in een sterk wiskundige richting mag men verwachten dat ze geleidelijk aan overtuigd worden van de noodzaak en het belang van een heldere redenering, dat ze een duidelijk beeld opbouwen van de zin en betekenis van bewijzen in wiskunde en dat ze meerdere bewijsmethoden leren kennen en leren gebruiken. Hierin ligt de meerwaarde van een meer doorgedreven wiskundevorming. Het verwerven van denk- en redeneervaardigheden verloopt niet geïsoleerd maar is onder meer verweven met het verwerven van wiskundige taalvaardigheden en probleemoplossende vaardigheden. Ook de ontwikkeling van vakgebonden attitudes zoals zin voor nauwkeurigheid, zin voor helderheid, bondigheid en eenvoud van taalgebruik, zelfvertrouwen, doorzetting, waardering voor de wiskunde … spoort mee met het verwerven van denk- en redeneervaardigheden.

Redeneren ‘Redeneren’ kan omschreven worden als ’vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische/deductieve weg een bewering onderbouwen’. Merk op dat een aantal van de gebruikte termen zowel ‘breed’ als ‘eng’ kunnen ingevuld worden. Enge interpretatie Eng zou kunnen betekenen dat ‘bewering’ staat voor aangeboden stelling, ‘onderbouwen’ alleen voor bewijsvoering, ‘basisbron’ alleen voor axiomastelsel. Deze interpretatie hoeft niet noodzakelijk als zinloos aangezien te worden. Ook op deze wijze hebben generaties leerlingen leren redeneren. En ook vandaag nog kan men binnen bepaalde delen van wiskunde best het geheel zo rigoureus mogelijk ordenen en onderbouwen. Brede interpretatie Anderzijds kan bij ‘bewering’ gedacht worden aan het stellen van een hypothese. En dat houdt dan weer in dat situaties eerst onderzocht worden, bv. met voorbeelden en tegenvoorbeelden. Leerlingen kunnen dan actiever betrokken worden. En ze ondervinden dat wiskunde niet een afgewerkt geheel is, dat door de leraar wordt overgedragen, maar een systeem is dat ze kunnen onderbouwen door zelf beweringen te onderzoeken. Zo leren ze dat ze zeker niet alles zonder meer moeten proberen te ‘bewijzen’, maar dat ze eerst argumenten moeten verzamelen om na te gaan of een bewering wel plausibel is. Redeneren houdt in dat men werkt op basis van eigenschappen. Dat is moeilijk voor de leerlingen. Het vergt dat kennis vlot en op het gepaste ogenblik geactiveerd kan worden. Het is meer dan een berekening maken of een formule toepassen. Het is meer dan een toepassing maken op een eigenschap die net voorheen werd behandeld. Eigenschappen gebruiken houdt ook in dat men ze vlot kan formuleren. De capaciteit van verwoorden is vaak niet toereikend en vraagt dan ook extra aandacht in het leerproces.

DPB wiskunde – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2014-2015

DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN

Derde graad aso/kso/tso leerplannen a

Pagina 2 van 8

Bewijzen Bij ‘bewijzen’ kunnen we ons nogal wat vragen stellen: - Is een deductieve aanpak nodig ? - Overtuigen we leerlingen door het ‘bewijzen’ van een exactheid? Stellen leerlingen zich wel de vraag naar een bewijs? - Ondersteunt een bewijs het inzicht? - Werken ‘bewijzen’ motiverend voor leerlingen? - Dragen gememoriseerde bewijzen bij tot het begrijpen van wiskunde en het beter kunnen toepassen van wiskundekennis? - Welke doelen streven we na met ‘bewijzen’? Bewijzen hebben drie functies: verificatie, verheldering en systematisering. Het bewijzen van eigenschappen moet ook open getrokken worden naar wiskundig redeneren zoals ook wordt weergegeven in de leerplandoelstellingen.

Lokaal deductief werken Bewijzen speelt zich af binnen de wiskundewereld. Eén van de functies van een bewijs is systematisering, ordening van (een gebied van) de wiskunde. Strikt genomen is een bewijs van een stelling een afleiding vanuit axioma’s, definities en postulaten. In de praktijk maken we bij het redeneren of bewijzen vaak gebruik van eigenschappen die slechts aannemelijk werden gemaakt maar die in feite voorafgaand niet werden bewezen. We spreken dan van ‘lokaal deductief werken’ of ‘eilanden van deductie’. Dit redeneren op basis van lokale ordening doet geen afbreuk aan de wiskundevorming bij leerlingen. Ook bij een lokaal bewijs kunnen leerlingen nagaan of de redenering correct is of niet, moeten leerlingen onderscheid leren maken tussen ‘nodig’ en ‘voldoende’, moeten leerlingen ervoor zorgen niet in een ‘cirkelredenering’ verzeild te raken, kunnen leerlingen existentiestellingen en universeel gekwantificeerde uitspraken leren onderscheiden.




Pagina 3 van 8

2 Vaktaal In het kader van ‘leren bewijzen’ is het noodzakelijk dat aan leerlingen in de loop van het secundair onderwijs de betekenis van volgende begrippen wordt verduidelijkt: vermoeden, hypothese, definitie, eigenschap, kenmerk of criterium, stelling; een vermoeden plausibel maken door het geven van voorbeelden; een bewering weerleggen met één tegenvoorbeeld; een stap in een redenering weerleggen met één ‘lokaal’ tegenvoorbeeld; een stelling bewijzen; cirkelredenering; Vanuit passende voorbeelden en situaties moeten leerlingen ook vertrouwd worden met: het verschil tussen ‘nodig’ en ‘voldoende’; het correct gebruiken van: ‘als’ … ‘dan’ …; het correct hanteren van het implicatieteken in een schriftelijke neerslag; het onderscheid tussen gegeven en gevraagde; het omzetten van een bewering in een implicatie- of equivalentievorm; het verband tussen ‘niet voor alle’ en ‘er is een’; de samenhang van ‘er is geen’ en ‘niet voor alle’ het formuleren van de ontkenning van een bewering; het begrijpen wat een bewijs is en waarin het verschilt van alledaags redeneren. Verder moeten leerlingen ook het verschil ervaren tussen het opbouwen van een bewijs (meestal niet top-down, soms door te proberen gegevens en té bewijzen aan elkaar te koppelen – ‘kladwerk’ van het zoekproces aan bord en in een werkschrift van de leerlingen) en het neerschrijven van een bewijs (topdown - zoals bijvoorbeeld in het leerboek voor een aantal bewijzen). Bij het noteren van een bewijs moeten we leerlingen ook leren om volledige, nauwkeurige en grammaticaal correcte zinnen te gebruiken. Voorbeelden: - Omdat …… weten we dat …..; - Veronderstel dat ….., dan mogen we besluiten dat ….; - We onderscheiden volgende gevallen …...; - Om dit te bewijzen volstaat het dat …... want ……; Uiteraard moet ook een nauwkeurig gebruik van wiskundesymbolen de nodige aandacht krijgen (gelijkheidsteken, implicatieteken, equivalentieteken, de universele kwantor, sommatieteken, symbolen voor congruente figuren …).




Pagina 4 van 8

3 Bewijsmethoden Doorheen de eerste en vooral in de tweede graad worden de leerlingen (in sterk wiskundige richtingen) met verschillende soorten bewijzen geconfronteerd, zoals: -

direct of rechtstreeks bewijs, bv. bewijzen van eigenschappen van vierhoeken, bewijzen van eigenschappen i.v.m. de cirkel, bewijzen met gebruik van de stelling van Pythagoras; bewijs door contrapositie, idem; bewijs uit het ongerijmde, bv. het bewijs dat 2 geen kwadraat is van een rationaal getal; bewijs van een existentiestelling (uniciteitsstelling) door het geven van een voorbeeld (voorbeeld geven en bewijzen dat er slechts één is), bv. de uniciteit van een cirkel door drie niet-collineaire punten; bewijs door opsplitsing of door gevalonderscheiding, bv. het bewijs van de eigenschap over het verband tussen omtrekshoek en middelpuntshoek op eenzelfde koorde in een cirkel.

We moeten voorkomen dat leerlingen bewijsmethoden als een ‘truc’ ervaren. In het bewijs van de formule voor het algebraïsch oplossen van een tweedegraadsvergelijking is het belangrijk dat het herschrijven van de gegeven uitdrukking met de toevoeging van bepaalde termen niet als een ‘truc’ wordt ervaren maar een weg is om te komen tot het kwadraat van een tweeterm. De uitdrukking wordt dus herwerkt in functie van het te bereiken eindresultaat. Dit is voor leerlingen niet altijd helder en dan zijn ze ook geneigd om bewijzen betekenisloos te memoriseren. Het zoeken naar een bewijs is vaak een vorm van probleemoplossen. Heuristische methoden kunnen leerlingen helpen als er geen specifieke bewijsmethode voorhanden is. Denk aan het specifiek karakter van bewijzen van bepaalde meetkundige stellingen of eigenschappen: schets maken, situatie analyseren, vermoeden formuleren, gegeven, te bewijzen, bewijs … In de derde graad kunnen de soorten bewijsmethoden verder aangevuld en gekaderd worden. Zo kunnen de leerlingen ook ervaren dat bepaalde bewijsmethoden een eerder afgebakend domein van toepasbaarheid hebben, bv. bewijs door inductie.




Pagina 5 van 8

4 Suggesties om het verwerven van denk- en redeneervaardigheden te bevorderen -

Een duidelijk onderscheid maken tussen intuïtieve en gedefinieerde begrippen, tussen vermoedens en stellingen, tussen een toelichting om een vermoeden aannemelijk te maken en een bewijs.

-

Leerlingen laten ervaren dat er een verschil kan zijn tussen ‘spreektaal’ en ‘wiskundetaal’.

-

De ‘waarom-vraag’ en de ‘hoe-vraag’ als rode draad opnemen in elk leerproces en in de evaluatie.

-

Redeneringen en bewijzen aanbrengen vanuit een actief leerproces (vanuit ‘gissen en missen’ naar een gestructureerde aanpak): welke voorbeelden heb je onderzocht? Zijn ze voldoende algemeen? Is een voorwaarde essentieel? Welke eigenschap(pen) wil je gebruiken? Zijn alle voorwaarden vervuld?

-

Waar mogelijk werken vanuit verschillende invalshoeken bij het bewijzen van bepaalde eigenschappen en stellingen en zo leerlingen confronteren met verschillende bewijzen voor dezelfde eigenschap of stelling.

-

Leerlingen voldoende kansen bieden om hun argumentatie of redenering ook mondeling toe te lichten aan elkaar in de klas.

-

Leerlingen confronteren met redeneringen waarin fouten voorkomen die ze moeten opsporen.

-

Leerlingen confronteren met een summiere vorm van een bewijs dat ze zelf moeten aanvullen en vervolledigen.

-

Veel belang hechten aan de schriftelijke neerslag van een redenering of bewijs en daarbij de nodige aandacht besteden aan het verklaren van tussenstappen.

-

Leerlingen laten beseffen dat een bewijs nooit opgeschreven is op de manier waarop het tot stand is gekomen. Denk aan het gebruik van een ‘kladblad’ of werkschrift om het zoekproces te ondersteunen. Leerlingen leren beseffen dat het neerschrijven van een gevonden bewijs ook gericht is naar degene die het zal lezen en dat de tekst niet enkel voor henzelf begrijpbaar moet zijn.

-

Parate kennis onderhouden. Parate kennis is kennis die zodanig actief aanwezig is in de hersenen dat de leerlingen zelf de link kunnen leggen. De ervaring leert hoe dit niet moet gebeuren: wie telkens net voor een bewijs de nodige kennis gaat opfrissen maakt de leerlingen lui. Alleen indien het noodzakelijk is, kan op die manier de leerstof geactiveerd worden. Het is beter om leerlingen op geregelde tijdstippen bewijsopgaven voor te leggen die niet specifiek op de pas geziene leerstof betrekking hebben.

-

Leerlingen op bepaalde momenten gebruik laten maken van ‘een gereedschapskist’ of een vademecum dat ze kunnen aanwenden bij het zoeken naar een verklaring of bewijs.

-

Leerlingen geregeld zelf vermoedens laten formuleren.

-

Bewust zijn van het belang van de interactie leerkracht-leerling tijdens het leerproces en zoeken naar een goed evenwicht tussen lesfasen met meer individuele begeleiding en lesfasen met een strak klassikale aanpak.

-

Voorkomen dat leerlingen ‘bewijzen’ associëren met ‘iets om van buiten te leren voor de toets’.

-

Voorkomen dat leerlingen ‘het aannemelijk maken van een eigenschap’ verwarren met een ‘bewijs’.

-

Met de leerlingen af en toe eens ‘terugblikken’ op geziene bewijsmethoden.

-

Met de vakgroep een ‘leerlijn’ denk- en redeneervaardigheden uitwerken.




Pagina 6 van 8

5 Verschillende soorten bewijzen: voorbeelden Hieronder bespreken we enkele soorten bewijzen en bij elke soort geven we een of meerdere voorbeelden. De gegeven voorbeelden behoren niet noodzakelijk tot de basisleerstof; ze zijn enkel bedoeld ter illustratie.

Bewijs uit het ongerijmde -

Een veeltermfunctie van de n-de graad heeft hoogstens n nulpunten in het veld van de reële getallen (en dan later de confrontatie met de ‘verandering’ van deze stelling in het veld van de complexe getallen).

-

Als de vierkante matrix A een inverse matrix heeft, dan is die inverse matrix uniek.

-

Als AB en CD kruisende rechten zijn, dan zijn AC en BD ook kruisende rechten.

-

…

Bewijs door volledige inductie -

Het binomium van Newton.

-

De afgeleide van

sin nx

als de kettingregel nog niet is gezien: uit

d sin x   cos x en dx

d sin 2 x   2 cos 2 x vragen we ons af of dit ‘patroon’ verder loopt, met andere woorden of dx d sin nx  n cos nx met n een natuurlijk getal verschillend van nul. dx

 f   n. f n '

n 1

.f' .

-

Bewijzen dat

-

Bewijzen dat het minimaal aantal verplaatsingen dat nodig is om het probleem van de torens van Hanoi op te lossen met n schijven, gelijk is aan 2 n-1.

-

…

Rechtstreeks bewijs -

Als een functie f stijgend is in [a,b] en afleidbaar is in [a,b], dan geldt: ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0. Bewijs: Kies 𝑥1 ≠ 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 en 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏]. Vermits f stijgend is in [a,b], geldt voor elke 𝑥1 ∈ [𝑎, 𝑏] dat

𝑓(𝑥2 )−𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 −𝑥1

=

𝑓(𝑥1 +∆𝑥)−𝑓(𝑥1 ) ∆𝑥

> 0. Hieruit volgt dat lim

𝑓(𝑥1 +∆𝑥)−𝑓(𝑥1 )

∆𝑥→0

∆𝑥

≥ 0 en bijgevolg geldt

dat 𝑓 ′ (𝑥1 ) ≥ 0. (analoog voor dalend) -

…




Pagina 7 van 8

Bewijzen van een eigenschap op verschillende manieren -

lim

 0

sin 



1

a. ‘klassiek’ bewijs; b. door

de

cirkel

uit lim 2n r sin n  

c.



n

te

beschouwen

 2 r volgt dat lim  0 

als

sin 



een

‘oneindige

regelmatige

n-hoek’:

 1 enzovoort …;

door de regel van de l’Hospital toe te passen op

lim

 0

sin 



.

-

Het is zeker nuttig om stellingen of eigenschappen uit de meetkunde zowel analytisch als synthetisch te bewijzen. Voorbeeld: de snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn evenwijdig. Ook bij oefeningen kunnen beide methodes aan bod komen. Voorbeeld: de hoek bepalen tussen twee lichaamsdiagonalen in een kubus (cosinusregel of werken met coördinaten).

-

…

Bewijs door ‘gevalsonderscheiding’ of door ‘opsplitsing’ 1

-

Bewijzen dat 𝑒 = lim (1 + ∆𝑥)∆𝑥 . ∆𝑥→0 1

1

Stellen we dat ∆𝑥 = , dan moeten we bewijzen dat 𝑒 = lim (1 + )𝑥 𝑥

− Eerste geval: 𝑥 ∈ ℝ+ 0 . Tweede geval: 𝑥 ∈ ℝ0 .

-

De middelwaardestelling van Rolle.

-

…

𝑥→±∞

𝑥

Bewijs door uitputting of exhaustie -

Twee rechten evenwijdig met eenzelfde derde rechte, zijn onderling evenwijdig. 1) Als twee of meer van de drie rechten samenvallen, dan is de stelling meteen bewezen. 2) - Stel dat de twee rechten elkaar snijden … Dan bekomen we een contradictie. - Stel dat ze elkaar kruisen … Dan bekomen ook een contradictie. - Blijft dus over: de twee rechten zijn evenwijdig.

-

De snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak, zijn evenwijdig.

-

Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn deze vlakken evenwijdig.

-

Als een rechte evenwijdig is met een vlak en men trekt door een punt van het vlak een rechte evenwijdig met de gegeven rechte, dan ligt deze tweede rechte in het vlak.

-

…




Pagina 8 van 8

Bewijs van uniciteit -

Elke rij kan hoogstens één limiet hebben. Bewijs: 1) Als de rij (un) geen limiet heeft, dan is de stelling waar. 2) Als de rij een limiet heeft, dan moeten we bewijzen dat er slechts één getal b als de limiet van un in aanmerking komt. Veronderstel lim 𝑢𝑛 = 𝑏 en lim 𝑢𝑛 = 𝑏 ′ … 𝑛→+∞

-

𝑛→+∞

…

Bewijs van existentie -

De middelwaardestelling van Lagrange.

-

…

Geert Delaleeuw Lies Van de Wege Vakbegeleiders wiskunde DPB Brugge DPB wiskunde – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2014-2015



DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN

Recommend Documents