DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár web-lap : www.hild.gyor.hu
e-mail :
[email protected]
STATIKA 30.
IGÉNYBEVÉTELEK A terhelő erők és az általuk ébresztett támaszerők a tartókat kívülről támadják, ezért ezeket az erőket külső erőknek nevezzük. A külső erők hatására a tartók belsejében belső erők is ébrednek. Ha ezek nem léteznének, akkor egy félbevágott gerenda a terhei alatt nem szakadna le. De mindenki tudja, hogy ha például egy terhelt fa anyagú gerendát ketté fűrészelnénk, az leszakadna. Tehát a fűrészelés előtt, amikor még nem szakadt le a terhelt tartó, abban a keresztmetszetében amelyben később elfűrészeltük, valamilyen belső erőknek kellett a nyugalmat, az egyensúlyi állapotot biztosítani. Ezek a belső erők. A belső erők természetesen nem csupán a fűrészelésre véletlenszerűen kiválasztott keresztmetszetben működtek, hanem az összes keresztmetszetben.
A külső erők nyomán a tartó belsejében ébredő belső erők hatását a tartó valamely keresztmetszetére, igénybevételnek nevezzük.
Az igénybevételeknek három nagy csoportját különböztetjük meg: - NORMÁL IGÉNYBEVÉTEL (normálerő) - NYÍRÓ IGÉNYBEVÉTEL (nyíróerő) - HAJLÍTÓ IGÉNYBEVÉTEL (hajlítónyomaték)
NORMÁL IGÉNYBEVÉTEL A keresztmetszet síkjára merőleges, annak súlypontjában működő erő a NORMÁLERŐ. A normálerőnek a keresztmetszetre gyakorolt hatása a normál igénybevétel. Ha a normálerő a keresztmetszetet húzza, akkor az előjele (+) pozitív, ha nyomja, akkor az előjele (-) negatív. A tartó bármely keresztmetszetében a normálerőt úgy számítjuk ki, hogy a balra álló normálerőket előjelhelyesen összeadjuk. A normál igénybevétel jele: N betű.
NYÍRÓ IGÉNYBEVÉTEL A keresztmetszet síkjában, annak súlypontján átmenő erő a NYÍRÓERŐ. A nyíróerőnek a keresztmetszetre gyakorolt hatása a nyíró igénybevétel. A pozitív nyíróerő nyilát úgy kapjuk, hogy a keresztmetszetben működő húzó normálerő nyilát az óramutató járásának megfelelően, 90 fokban elforgatjuk. NEM SZABAD ÖSSZEKEVERNI A KÜLSŐ ERŐK ELŐJELSZABÁLYÁVAL!!! A tartó bármely keresztmetszetében a nyíróerőt úgy számítjuk ki, hogy a balra álló nyíróerőket előjelhelyesen összeadjuk. A nyíró igénybevétel jele: V betű. (Korábban a T betű volt a jel.)
HAJLÍTÓ IGÉNYBEVÉTEL A hajlítás síkjában a keresztmetszet egyik szélét nyomó, a másik szélét húzó erők veszik igénybe. Ezek az erők párhuzamosak, egyenlők és ellentétes irányúak, tehát erőpárt alkotnak. Az erőpárról pedig tudjuk, hogy valójában NYOMATÉK. Ezeknek a BELSŐ NYOMATÉKOKNAK (ERŐPÁROKNAK) a keresztmetszetre gyakorolt hatása a hajlító igénybevétel. A hajlító nyomaték előjele akkor (+) pozitív, ha az óramutató járásával megegyezően forgat, ellenkező értelemben (-) negatív. A tartó bármely keresztmetszetében a nyomatékot úgy számítjuk ki, hogy a tőle balra álló erők előjelhelyes nyomatékösszegét felírjuk a keresztmetszet súlypontjára. A hajlító igénybevétel jele: M betű.
+M +N +V
IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁK A tartók méretezésénél gyakran nem csupán egy-egy keresztmetszetben kell ismernünk az igénybevételt, hanem látnunk kell az igénybevételek alakulását az egész tartó mentén. Erre a célra a legalkalmasabbak az igénybevételi ábrák. Az igénybevételi ábrákon láthatjuk például, hogy hol keletkezik a tartón a legnagyobb nyomaték (Mmax) vagy hol éppen nulla az igénybevétel. Igénybevételi ábrát úgy rajzolunk, hogy először húzunk a tartó tengelyével párhuzamosan egy egyenest. Ez lesz az ábra tengelye. A tengely fölötti rész a (-) negatív, a tengely alatti rész a (+) pozitív igénybevételeket fogja ábrázolni. Minden olyan keresztmetszetben ki kell számolni az igénybevételt, ahol a terhelés változik. Ez, ahogy azt már az egyes igénybevételek kiszámítása kapcsán is olvashatták, a balra álló erők, illetve nyomatékok előjelhelyes összegzésével történik. Az így kapott értékeket a tengelyre merőlegesen, a vektorábra léptékének megfelelő léptékben, a tengelynek arra az oldalára mérjük, amilyen előjelűre adódtak. A pozitívokat lefelé, a negatívokat felfelé. A szomszédos értékek végpontjait összekötjük. Az összekötés legtöbbször egyenesekkel történik, kivétel a nyomatéki ábra (M ábra) esetében az a helyzet, amikor megoszló teher alatti ábrarészt rajzolunk. Itt ugyanis az összekötés másodfokú parabolával történik. Az igénybevételi ábrákat a tengelyre merőleges vonalkázással szokták besraffozni, aminek nem esztétikai célja van, hanem az, hogy minden egyes kis sraffozó vonalka megmutatja a fölötte levő tartó keresztmetszetben ébredő igénybevételt. Az előjel például az „N ábra” esetében megmutatja, hogy a keresztmetszet húzott, vagy nyomott. A sraffozó vonalka hossza az ábra léptékében az erő nagyságát, illetve az „M ábra” esetében a nyomaték nagyságát is szemlélteti. A nyomatéki ábra esetében az is egy lényeges információ, hogy az „M ábra” területe a tengelynek mindig azon az oldalán van, amelyik oldalon a tartó HÚZOTT! Ezért ha a nem túlnyúló kéttámaszú tartóra csak lefelé hatnak a terhek, akkor csak az alsó széle lesz húzva, tehát ezt mutatja a csak (+) pozitív „M ábra” terület. Konzol tartóra lefelé ható erők esetén (-) negatív területű „M ábra” adódik, tehát a tartónak a felső széle lesz húzva. Ezek azért fontos információk, mert például a hajlított vasbetongerendákba az úgynevezett fő vasakat a gerenda húzott szélére kell elhelyezni!
Egyszerű tartók igénybevételi ábráinak igénybevételek kapcsán eddig tanultakat.
F=50 kN
Fy
Ax
Ay
600
2m
B
6m
-25
-25
+
N -28,87
-28,87
+ +14,43
foglaljuk
össze
A ferde erő felbontása összetevőire: Fx = cos 600 × F = 0,5 ×50 = 25 kN Fy = sin 600 × F = 0,866 × 50 = 43,3 kN
Fx 4m
megrajzolásával
V
Fix = 0 Ax – 25 = 0 MiB = 0 Ay × 6 – 43,3 × 2 = 0 Fiy = 0 -14,43 + 43,3 – B = 0
Ax = 25 kN Ay = 14,43 kN B = 28,87 kN
Az „A” keresztmetszetében az Ax=25 kN a normálerő. Mivel nyomja a keresztmetszetet, az előjele (-) negatív. Tehát a tengelytől felfelé kell mérni. Az „F” erőtől végtelen közel balra levő keresztmetszettől is csak az Ax van balra, ezért a normálerő itt is -25 kN. Az „F” erőtől végtelen közel jobbra levő keresztmetszettől az Ax= - 25 kN és az Fx= + 25 kN van balra, ezért a normálerő itt - 25 + 25 = 0 kN. Az „A” keresztmetszetében az Ay = + 14,43 kN a nyíróerő. Mivel az előjele (+) pozitív, a tengelytől lefelé kell mérni. Az „F” erőtől végtelen közel balra levő keresztmetszettől is csak az Ay van balra, ezért a nyíróerő itt is + 14,43 kN. Az „F” erőtől végtelen közel jobbra levő keresztmetszettől az Ay és az Fy van balra, ezért itt a nyíróerő +14,43 – 43,3 =
- 28,87 kN . Az „B” erőtől végtelen közel balra levő keresztmetszettől is az Ay és az Fy van balra, ezért a nyíróerő itt is – 28,87 kN. Ehhez adódik hozzá a „B” keresztmetszetében a B = +28,87 kN, így az összegük -28,87 + 28,87 = 0 kN.
+14,43
Az ábrának mindig NULLÁRA kell záródni!!!
+
M +57,72
A tartón mindig ott van a legnagyobb nyomaték, ahol a nyíróerő ábra előjelet vált. Itt Mmax= + 57,72 kNm
Az „A” keresztmetszetben azért NULLA a nyomaték, mert az A reakcióerő a saját hatásvonalára nem forgat. Az „F” erő alatti keresztmetszettől balra csak az Ay forgat. Forgatóértelme az óramutatóéval megegyezik, tehát a nyomatéka + 14,43 × 4 = + 57,72 kNm. A „B” keresztmetszettől az összes erő balra van, az egyensúly miatt is NULLA a nyomatékösszegük: +Ay × 6 – Fy × 2 = + 14,43 × 6 – 43,3 × 2 = 0
Az „N”, „V”, „M” ábrák nem erő, illetve nyomaték léptékben készültek, csupán arányosak!
az
A tartó reakcióit korábban a „Támaszerők” részben meghatároztuk. Ezek eredményei:
FA = 20 kN
F = 20 kN
MA = 50 kNm
A
MA
l = 2,5 m
FA -20
-20
+
V
-50
+
M
Mivel a vízszintes tartón csak függőleges erők működnek, nem keletkezik normál erő, ezért nincs „N” ábra. Ez a következő tartókra is vonatkozik!
A bal oldali végső keresztmetszetben álló „F” erő a keresztmetszet nyíróereje. Mivel lefelé mutat az igénybevételi előjelszabály értelmében az előjele (-) mínusz: -20 kN. A befogási keresztmetszettől végtelen közeli bal oldali keresztmetszetben is ekkora a nyíróerő: - 20 kN. Ehhez adódik hozzá a felfelé mutató és ezért (+) pozitív előjelű FA= +20 kN. Így a tartó jobb oldali végén záródik a nyíróerő ábra: - 20 + 20 = 0 kN
Mivel minden erőnek a saját hatásvonalán levő pontjaira a nyomatéka nulla, a bal oldali végső keresztmetszetre nem hat nyomaték. Ezért ott a nyomaték értéke NULLA. A befogási keresztmetszettől balra csak az „F” erő áll, így a befogási keresztmetszettől végtelen közeli bal oldali keresztmetszetre az „F” erő nyomatéka: - F × l = - 20 × 2.5 = - 50 kNm Ez a nyomaték megegyezik az ellenkező forgatóértelmű reakció nyomatékkal MA –val, ami magában a befogási keresztmetszetben működik. Ha ezeket is összeadnánk, ez az ábra is záródna.
A „V” és „M” ábrák nem erő, illetve nyomaték léptékben készültek, csupán arányosak!
A tartó reakcióit korábban a „Támaszerők” részben meghatároztuk. Ezek eredményei:
q = 40 kN/m
FA = 100 kN MA
l = 2,5 m
Q
A
FA
l / 2 = 1,25 m
MA = 125 kNm FONTOS MEGJEGYZÉS: A”Q” erő csak a számítás segédereje, ezért is van szaggatott vonallal jelölve. Tehát a hatásvonalában nincs a terhelésben változás!!!
Q = q × l = 40 × 2,5 = 100 kN
-100
+
V
A parabola lelógása: q×l2 /8 = 40 × 2,52/8= = 31,25 kNm
-125
31,25
+
M
Miután felmérjük a -125-öt, szaggatottan összekötjük a bal oldali NULLA ponttal. A szaggatott közepétől függőlegesen ql2/8 értékben parabolát lógatunk le. Az ez alatti terület az „M” ábra.
A bal oldali végső keresztmetszetben nem áll erő, ezért itt a nyíróerő NULLA. Fenti fontos megjegyzésben olvasható, hogy a „Q” tulajdonképpen nincs a tartón, csak a számítás segédereje. Ezért a terhelésben változás a befogás előtti, attól végtelen közeli keresztmetszetben van. Mivel ettől balra csak a Q= 100 kN működik, ez lesz itt a nyíróerő értéke, tehát -100 kN mivel lefelé mutat. Ehhez adódik hozzá a felfelé mutató és ezért (+) pozitív előjelű FA= +100 kN. Így a tartó jobb oldali végén záródik a nyíróerő ábra: - 100 + 100 = 0 kN
A bal oldali végső keresztmetszetre nem hat nyomaték. Ezért ott a nyomaték értéke NULLA. A befogási keresztmetszettől balra csak a „Q” erő ( az egész megoszló teher eredője) áll, így a befogási keresztmetszettől végtelen közeli bal oldali keresztmetszetre a „Q” erő nyomatéka: - Q × l/2 = - 100 × 1,25 = - 125 kNm Ez a nyomaték megegyezik az ellenkező forgatóértelmű reakció (befogási) nyomatékkal MA – val, ami magában a befogási keresztmetszetben működik. Ha ezeket is összeadnánk, ez az ábra is záródna.
F = 85 kN A
FA
A tartó reakcióit korábban a „Támaszerők” részben meghatároztuk. Ezek eredményei:
FA = 42,5 kN
B
FB
FB = 42,5 kN
l/2 = 3,0 m l/2 = 3,0 m l = 6,0 m
- 42,5
-42,5
+ + 42,5
V + 42,5
+
M
+ 127,5 A tartón mindig ott van a legnagyobb nyomaték, ahol a nyíróerő ábra előjelet vált. Itt Mmax= + 127,5 kNm
A tartó bal végén az FA = 42,5 kN támaszerő a nyíróerő. Felfelé mutat, ezért (+) pozitív. Az „F” erőtől balra végtelen közel levő keresztmetszettől csak az FA van balra, tehát itt is + 42,5 kN a nyíróerő. Az „F” erőtől jobbra végtelen közel levő keresztmetszettől balra van az FA és az „F”. Itt tehát a nyíróerő: + FA – F = + 42,5 – 85 = - 42,5 kN A tartó jobb végétől balra végtelen közel levő keresztmetszettől is az FA és az „F” áll balra, így a nyíróerő ott is - 42,5 kN. Ha ehhez a végső keresztmetszetben hozzáadnánk a +FB –t záródna az ábra. Az „A” keresztmetszetben azért NULLA a nyomaték, mert az A reakcióerő a saját hatásvonalán levő pontokra nem forgat. Az „F” erő alatti keresztmetszettől balra csak az A forgat. Forgatóértelme az óramutatóéval megegyezik, tehát a nyomatéka + 42,5 × 3 = + 127,5 kNm. A „B” keresztmetszettől az összes erő balra van, az egyensúly miatt is NULLA a nyomatékösszegük: +A × 6 – F × 3 = + 42,5 × 6 – 85 × 3 = 0
A „V” és „M” ábrák nem erő, illetve nyomaték léptékben készültek, csupán arányosak!
A tartó reakcióit korábban a „Támaszerők” részben meghatároztuk. Ezek eredményei:
q = 60 kN/m
FA = 240 kN FB = 240 kN
B
A
FB
FA l = 8,0 m
Mivel a két tartóvégen a nyíróerők értéke egyenlő, az őket összekötő egyenes pontosan a tartó felében metszi a tengelyt, tehát itt van az előjelváltás, itt keletkezik az Mmaximum.
-240
+
V
+ 240 l/2 = 4,0 m l/2 = 4,0 m
+
M M + 480
A „V” ábra előjelváltása a tartó felező pontjában jelöli ki a legnagyobb nyomaték helyét. Írjuk ezt fel a balra álló erők nyomatékösszegeként: Mmax= + FA × l/2 – Q/2 × l/4 = = + 240 ×8/2 – 480/2 × 8/4 = + 480 kNm
Ha az olvasó nem akar visszalapozni, vegye észre, hogy a tartó szimmetrikus, tehát a támaszerők a teher felével egyenlők: FA = FB = q × l / 2 = 60 × 8 / 2 = 240 kN A tartó bal végén az FA = 240 kN támaszerő a nyíróerő. Felfelé mutat, ezért (+) pozitív. Ahogy korábban is volt róla szó, a „Q” csak a számítás segédereje „nincs a tartón”. Úgy ahogy az itteni nézetrajzon sem jelenik meg. Ezért a terhelésbeli legközelebbi változás a „B” támasz előtt végtelen közeli keresztmetszetben van. A tartó jobb végétől balra végtelen közel levő keresztmetszettől az FA és az egész megoszló teher,(Q) áll balra, így a nyíróerő ott + FA – Q = + 240 – 480 = - 240 kN. Ha ehhez a végső keresztmetszetben hozzáadnánk a +FB –t záródna az ábra. Az „A”keresztmetszetében azért NULLA a nyomaték, mert az „A” reakció erő a saját hatásvonalán levő pontokra nem forgat. A „B” keresztmetszetében azért NULLA a nyomaték, mert az összes erő balra van, és az egyensúly miatt az összes erő nyomatékának minden pontra NULLA a nyomatéka. Így a nulla értékű pontokat a tengely köti össze, ezért ennek a közepétől kell a tengelyre merőlegesen lemérni a q×l2/8 = 60 × 82/ 8 = 480 kNm értékű nyomatékot, és ezzel a lelógással kell megrajzolni a parabolát.
