DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár web-lap : www.hild.gyor.hu
e-mail :
[email protected]
STATIKA 47.
RÁCSOS TARTÓK A rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekből állnak. Az így kialakított tartót az őt alátámasztó szerkezetekkel a már tanult kényszerek, támaszok kötik össze. A rácsos tartókat az esetek többségében a rudak végpontjaiban, a csuklókon terhelik a külső erők, tehát egy rudat csak a két végén levő csuklókban ébredő erők terhelnek. A két erő egyensúlyából következik, hogy ezeknek közös hatásvonalon kell működni, tehát ez az egyenes a rúd két végén levő csuklót összekötő egyenes. Amennyiben a rácsos tartót csak a csomópontjaiban ható erők terhelnek, a tartó rúdjai részben csak nyomottak, illetve részben csak húzottak. Tehát nem hajlítottak. Összetett tartók esetében akkor mondhatjuk, hogy a tartó merev, ha bármilyen teher esetében nyugalomban marad. Ez a merevség a statikailag határozott tartóknál akkor valósul meg, ha a kapcsolatot a legkevesebb kapcsolórúddal biztosítják. A szükségesnél több kapcsolórúd esetében a tartó határozatlan, ha a szükségesnél kevesebb a kapcsolórúd, akkor a tartó labilis. A statikai határozottság és merevség általában akkor igaz, ha
2c = r + 3 c : a csuklók száma r: a rudak száma 3: a külső támaszerők, illetve azok komponensei Hangsúlyozni kell, hogy ez az egyenlet a határozottság és a merevség szükséges, de nem elégséges feltétele, függ a rácsos tartó felépítésétől is. A statikai vázrajzon nem a rudakat, hanem csak a tengelyeiket rajzoljuk meg, és a végeikre sem rajzoljuk be a csuklók nullköreit. Helyettük csak a sorszámaikat írjuk be a rúdtengelyek metszéspontjaiba. A rúderőket majd „S” betűvel fogjuk jelölni, és alsó indexbe odaírjuk a két végén levő csuklók sorszámát. Az indexben annak a csuklónak a sorszáma áll az első helyen, amelyik csuklóra az a rúderő hat.
1
2
FELSŐ ÖVRÚD
3
FERDE RÁCSRÚD
0
4 7
6
OSZLOP
5 ALSÓ ÖVRÚD
A RÚDERŐK MEGHATÁROZÁSA MIELŐTT A RÚDERŐK MEGHATÁROZÁSÁNAK KÉT MÓDSZERÉVEL FOGLALKOZNÁNK, ISMERKEDJÜNK MEG A VAKRUDAKKAL. Vakrúd: olyan rúd, amelyben nem ébred rúderő. A KÖVETKEZŐK ALAPJÁN SZEMREVÉTELEZÉSSEL IS MEG TUDJUK ÁLLÍPÍTANI, HA EGY RÚD VAK. A HÁLÓZATBAN A RÚDRA RAJZOLT KÖRREL JELÖLJÜK A VAKRUDAT. 2
3
4
14
13
5
6
7
8
1
2
9 12
11 10
S2-3 S2-1 = 0 kN S2-3 = 0 kN
S2-1
AZ EGÉSZ TARTÓ NYUGALOMBAN VAN, ÍGY A RÉSZEI, TEHÁT A CSUKLÓK IS NYUGALOMBAN VANNAK. HA KIRAGADJUK A „2”-ES CSUKLÓT, ÚGY TŰNIK, HOGY AZ ODAKAPCSOLÓDÓ KÉT RÚDBAN MŰKÖDŐ ERŐK, A S2-1 ÉS AZ S2-3 EGYENSÚLYOZZÁK. AZ ELSŐ ALAPTÉTEL SZERINT KÉT ERŐ EGYENSÚLYÁNAK AZ EGYIK FELTÉTELE, HOGY A HATÁSVONALAIK LEGYENEK KÖZÖSEK. ITT EZ A FELTÉTEL NEM TELJESÜL, VISZONT A „2”-ES CSUKLÓ NYUGALOMBAN VAN, AMI CSAK ÚGY LEHETSÉGES, HOGY A RUDAKBAN NEM MŰKÖDNEK ERŐK. TERMÉSZETESEN PONTOSAN EZ A HELYZET A „8” JELŐ CSUKLÓVAL IS, EZÉRT AZ S8-7 ÉS S8-9 RÚDERŐ IS NULLA.
S14-3 S14-1
14
S14-3 = 0 kN
S14-13
HA KIRAGADJUK A „14”-ES CSUKLÓT, ÚGY TŰNIK, HOGY AZ ODAKAPCSOLÓDÓ HÁROM RÚDBAN MŰKÖDŐ ERŐK, AZ S14-1 AZ S14-13 ÉS AZ S14-3 EGYENSÚLYOZZÁK. A MÁSODIK ALAPTÉTEL SZERINT HÁROM ERŐ EGYENSÚLYÁNAK AZ EGYIK FELTÉTELE, HOGY A HATÁSVONALAIKBÓL HÁROMSZÖGET LEHESSEN SZERKESZTENI. ITT EZ A FELTÉTEL NEM TELJESÜL, VISZONT A „14”-ES CSUKLÓ NYUGALOMBAN VAN, AMI CSAK ÚGY LEHETSÉGES, HOGY A KÖZÖS HATÁSVONALON MÚKÖDŐ ERŐK (S14-1 ÉS S14-13) TARTJÁK NYUGALOMBAN, A HARMADIK RÚDBAN PEDIG NEM MŰKÖDIK ERŐ. TERMÉSZETESEN PONTOSAN EZ A HELYZET A „4” ÉS „12” JELŐ CSUKLÓVAL IS, EZÉRT AZ S4-13 ÉS S12-5 RÚDERŐ IS NULLA. A „VAKSÁGNAK” NEM FELTÉTELE, HOGY A KAPCSOLAT DERÉKSZÖGŰ LEGYEN. HA CSUPÁN HÁROM RÚD (KÜLSŐ ERŐ NÉLKÜL!!!) KAPCSOLÓDIK A CSOMÓPONTBA ÉS EZEKBŐL KETTŐNEK EGYBEESIK A TENGELYE, AKKOR A HARMADIK BIZTOSAN VAKRÚD.
1. CSOMÓPONTI MÓDSZER EZ A MÓDSZER TELJESEN MEGEGYEZIK AZZAL A KORÁBBAN TANULT MÓDSZERREL, MELYNEK SORÁN A KÖZÖS METSZÉSPONTÚ ERŐK EGYENSÚLYOZÁSÁT TANULTUK KÉT ERŐVEL!!! A LÉNYEG: CSAK OLYAN CSOMÓMÓPONTBAN HASZNÁLHATJUK, AMELYBEN LEGFELJEBB 2 ISMERETLEN ERŐ VAN!!! ENNEK AZ A MAGYARÁZATA, HOGY A KÖZÖS METSZÉSPONTÚ ERŐK EGYENSÚLYÁNAK KÉT FELTÉTELI EGYENLETE VAN, A KÉT VETÜLETI NULLÉRTÉKŰSÉG. ÁLTALÁBAN A TARTÓ EGYIK VÉGÉRŐL A TÁMASZERŐ IMERETÉBEN EL TUDUNK INDULNI ÉS AZ ÍGY MEGHATÁROZOTT RÚDERŐK A SZOMSZÉDOS CSOMÓPONTBAN MÁR ISMERT ERŐKKÉNT SZEREPELNEK, EZÉRT AZOKBAN CSÖKKEN AZ ISMERETLENEK SZÁMA. ÍGY A TARTÓN BEFELÉ HALADVA, CSOMÓPONTRÓL CSOMÓPONTRA , VALAMENNYI ISMERETLEN RÚDERŐ MEGHATÁROZHATÓ. A SZÁMÍTÁS VÉGÉN MEG KELL VIZSGÁLNI, HOGY AZ EGYENSÚLY MEGOLDÁSAKÉNT KAPOTT NYÍL NYOMJA VAGY HÚZZA A RÚD VÉGÉN A CSOMÓPONTOT! Ugyanis ennek megfelelően lesz a rúd nyomott vagy húzott!!! Ha az egyensúlyozó erő nyomja a csomópontot, akkor a rúd nyomott, ha az egyensúlyozó erő húzza a csomópontot, akkor a rúd húzott!
3 F1
b
2
4
1
b
5 8
A a
a
F2 7
a
6
a
B a
a
AZ 1. JELŰ CSOMÓPONT VIZSGÁLATA
S1-2 1 S1-8 A
HA CSUPÁN HÁROM ERŐ HAT A CSOMÓPONTRA, AKKOR A VEKTORHÁROMSZÖGHÖZ HASONLÓ HÁROMSZÖGET KERESÜNK A HÁLÓZATI RAJZBAN ÉS A MEGFELELŐ OLDALAK ARÁNYÁNAK AZ EGYENLŐSÉGÉBŐL KIFEJEZZÜK AZ ISMERETLEN RÚDERŐT. AZ ISMERT ERŐ (A) NYILA KIJELÖLI A NYÍLFOLYAMATOT, ÍGY ADÓDNAK AZ ISMERETLEN RÚDERŐK NYILAI. EZEKET RÁTÉVE A TENGELYEIKRE, LÁTHATÓ, HOGY HÚZOTT VAGY NYOMOTT A RÚD. S1-2 / A = c / b S1-2 = A × c / b S1-2 A c b NYOMOTT
S1-8
a
S1-8 / A = a / b S1-8 = A × a / b HÚZOTT
A 2. JELŰ CSOMÓPONT VIZSGÁLATA
F1 2
S2-3
α β S2-8
S2-1 = = A×c / b
HA HÁROMNÁL TÖBB ERŐ HAT A CSOMÓPONTRA, AKKOR A VETÜLETI EGYENLETEK SZOLGÁLTATJÁK AZ ISMERETLEN RÚDERŐKET. HA AZ EGYIK ISMERETLEN RÚDERŐ VÍZSZINTES VAGY FÜGGŐLEGES, AKKOR EGYISMERETLENES, HA EGYIK SEM, AKKOR KÉTISMERETLENES EGYENLETEKET KELL MEGOLDANUNK. AZ ÖSSZES FERDE ERŐT FEL KELL BONTANI VÍZSZINTES ÉS FÜGGŐLEGES KOMPENENSEIRE.
S2-1
S(2-1)y
S(2-1)x = S1-8 S(2-1)y = A
S(2-1)x KÉTISMERETLENES EGYENLET ESETÉBEN AZ ISMERETLEN ERŐK NYILAIT HÚZOTTNAK TÉTELEZZÜK FEL! HA AZ EGYENLET MEGOLDÁSÁNAK AZ EREDMÉNYE POZITÍV LESZ, AKKOR A RÚD HÚZOTT, HA NEGATÍV LESZ, A RÚD NYOMOTT.
S2-3 α
F1
S(2-3)y
S(2-3)x = cos α × S2-3 S(2-3)y = sin α × S2-3
S(2-3)X
S(2-3)y = = sin α × S2-3
S(2-8)x S2-8
β
tg α = b / 2a Ebből az α adottá válik, α ismeretében felírható, hogy
S(2-8)y
tg β = b / a Ebből a β adottá válik, β ismeretében felírható, hogy
S(2-8)x = cos β × S2-8 S(2-8)y = sin β × S2-8
S(2-3)x = = cos α × S2-3 F = 0 = ix S(2-1)x
S(2-1)y
S(2-8)x = = cos β × S2-8
S(2-8)y = = sin β × S2-8
+ S(2-1)x + cos α × S2-3 + cos β × S2-8 Fiy = 0 = + F1 – S(2-1)y – sin α × S2-3 + sin β × S2-8 A FENTI KÉTISMERETLENES EGYENLET MEGOLDÁSÁVAL A „2”-ES CSOMÓPONTBAN MŰKÖDŐ ÖSSZES RÚDERŐ ISMERTTÉ VÁLT, ÍGY TOVÁBB LEHET LÉPNI A „8”-AS CSOMÓPONTBA.
2. A HÁRMAS ÁTMETSZÉS MÓDSZERE EZ A MÓDSZER TELJESEN MEGEGYEZIK AZZAL A KORÁBBAN TANULT MÓDSZERREL, MELYNEK SORÁN HÁROM ADOTT HATÁSVONALÚ ERŐVEL EGYENSÚLYOZTUNK EGY ERŐRENDSZERT. A SZÁMÍTÁSOS MÓDSZER NEVE RITTER MÓDSZER VOLT!!!!! A LÉNYEG: HÁROM RÚD ELVÁGÁSÁVAL KÉT DARABRA BONTJUK A TARTÓT. EZT KÖVETŐEN CSAK AZ EGYIK DARAB, MINDEGY, HOGY MELYIK DARAB ( a bal oldali vagy a jobb oldali darab) EGYENSÚLYÁT FOGJUK VIZSGÁLNI. A VIZSGÁLT DARABRA HATÓ ERŐKET (támaszerő + akció erők) KELL EGYENSÚLYOZNI A HÁROM ELVÁGOTT RÚD TENGELYÉBE ESŐ ERŐVEL. AHOGY AZT A RITTER-MÓDSZER ELŐÍRJA, KÉT ISMERETLEN ERŐ HATÁSVONALAINAK A METSZÉSPONTJÁRA FELÍRT NYOMATÉKI NULLÉRTÉKŰSÉG ADJA A HARMADIK ISMERETLEN ERŐT. A SZÁMÍTÁS VÉGÉN MEG KELL VIZSGÁLNI, HOGY AZ EGYENSÚLY MEGOLDÁSAKÉNT KAPOTT NYÍL NYOMJA VAGY HÚZZA A RÚD VÉGÉN A CSOMÓPONTOT! Ugyanis ennek megfelelően lesz a rúd nyomott vagy húzott!!! Ha az egyensúlyozó erő nyomja a csomópontot, akkor a rúd nyomott, ha az egyensúlyozó erő húzza a csomópontot, akkor a rúd húzott! 3 S2-3 3
F1
b
2 Ω
k2-3
4
k8-7
S8-3
1 8
A a
b
5 k8-3 a
a
F2 7 S8-7
6
B
a
Mi8 = 0 + A × 2a – F1 × a + S2-3 × k2-3 = 0 S2-3 = (-A × 2a + F1 × a) / k2-3 MiΩ = 0 -A × a + F1 × 2a + S8-3 × k8-3 = 0 S8-3 = (+A × a – F1 × 2a) / k8-3 Mi3 = 0 + A × 3a – F1 × 2a + S8-7 × k8-7 = 0 S8-7 = (-A × 3a + F1 × 2a) / k8-7 Ha az eredmény előjele pozitív lenne, akkor a rúderő azt a pontot, amire felírtuk a nyomatékot, az óramutató forgásával egyezően forgatná. Az ennek megfelelő nyilat rátesszük az elvágott csonkra és ha ez a nyíl a csonkot húzza, akkor a rúd HÚZOTT, ha nyomja, akkor a rúd NYOMOTT. Ha az eredmény előjele negatív lenne, akkor a rúderő azt a pontot, amire felírtuk a nyomatékot, az óramutató forgásával ellentétesen forgatná. Az ennek megfelelő nyilat rátesszük az elvágott csonkra és ha ez a nyíl a csonkot húzza, akkor a rúd HÚZOTT, ha nyomja, akkor a rúd NYOMOTT.
