6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
6.2.
V´ azan´ e extr´ emy
V´ yklad Dalˇs´ım typem extr´em˚ u, kter´ ym se budeme zab´ yvat jsou tzv. v´azan´e extr´emy. Hled´ame extr´emy nˇejak´e funkce vzhledem k pˇredem zadan´ ym podm´ınk´am. Definice 6.2.1. ˇ Rekneme, ˇze funkce f : Rn ⊇ Df → R m´a v bodˇe A ∈ Df lok´ aln´ı extr´ em v´ azan´ y m podm´ınkami, m < n, g1 (x1 , x2 , . . . xn ) = 0, g2 (x1 , x2 , . . . xn ) = 0, . . . , gm (x1 , x2 , . . . xn ) = 0, jestliˇze pro vˇsechny body X ∈ O(A) ⊂ Df , kter´e vyhovuj´ı uveden´ ym podm´ınk´am, plat´ı jeden ze vztah˚ u: 1. f (X) ≥ f (A), pak m´a funkce f v bodˇe A v´ azan´ e lok´ aln´ı minimum, 2. f (X) ≤ f (A), pak m´a funkce f v bodˇe A v´ azan´ e lok´ aln´ı maximum. Geometrick´ y v´ yznam v´ azan´ ych extr´ em˚ u. Necht’ z = f (x, y), n = 2. Bud’ d´ana podm´ınka g(x, y) = 0. Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f vzhledem k podm´ınce g(x, y) = 0. Extr´em m˚ uˇze nastat pouze v bodech z definiˇcn´ıho oboru funkce f , kter´e leˇz´ı na kˇrivce o rovnici g(x, y) = 0. Tˇemto bod˚ um odpov´ıdaj´ı body na ploˇse z = f (x, y), kter´e tvoˇr´ı prostorovou kˇrivku k (pr˚ useˇcnice plochy z = f (x, y) s pˇr´ımou v´alcovou plochou g(x, y) = 0). Lok´aln´ı extr´emy funkce z = f (x, y) v´azan´e podm´ınkou g(x, y) = 0 jsou z geometrick´eho hlediska lok´aln´ımi extr´emy prostorov´e kˇrivky k, Obr. 6.2.1. z
A k
x
A0 y g(x,y) = 0 Obr. 6.2.1
- 308 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
Vˇ eta 6.2.1. Bud’ d´ana funkce f : Rn ⊇ Df → R a necht’ je d´ano m, m < n, podm´ınek gj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0. Jestliˇze m´a funkce Φ m X λj gj (x1 , x2 , . . . , xn ), Φ(x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , λ2 , . . . , λm )=f (x1 , x2 , . . . , xn )+ j=1
kde λj ∈ R, j = 1, 2, . . . , m, ve sv´em stacion´arn´ım bodˇe lok´aln´ı extr´em, m´a i funkce f v tomto bodˇe lok´aln´ı extr´em v´azan´ y podm´ınkami gj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0.
Pozn´ amka Pˇredchoz´ı vˇeta reprezentuje tzv. Lagrangeovu metodu hled´an´ı v´azan´eho extr´emu. Funkce Φ se naz´yv´a Lagrangeova funkce. Re´aln´ a ˇc´ısla λj se naz´yvaj´ı Lagrangeovy multiplik´ atory. Stacion´arn´ı body Lagrangeovy funkce Φ urˇc´ıme jako ˇreˇsen´ı soustavy rovnic ∂Φ = 0 i = 1, 2, . . . , n, ∂xi gj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 j = 1, 2, . . . , m.
Omezme se nyn´ı na funkci dvou promˇenn´ ych z = f (x, y). V urˇcit´ ych pˇr´ıpadech pˇri hled´an´ı v´azan´eho extr´emu nemus´ıme Lagrangeovu metodu pouˇz´ıt.
Pozn´ amka Jestliˇze lze z rovnice g(x, y) = 0 jednoznaˇcnˇe vyj´adˇrit y = ϕ(x) resp. x = ψ(y), pak lok´aln´ı extr´emy funkce z = f (x, y) v´azan´e podm´ınkou g(x, y) = 0 m˚ uˇzeme urˇcit jako lok´aln´ı extr´emy funkce jedn´e promˇenn´e z = f (x, ϕ(x)) resp. z = f (ψ(y), y).
- 309 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad 6.2.1. Naleznˇete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = x + y, vzhledem k podm´ınce
1 1 + = 1. x2 y 2
ˇ sen´ı: Definiˇcn´ı obor funkce f je Df = R2 , g(x, y) = 1 + 1 − 1 = 0. Reˇ x2 y 2 1. Sestav´ıme Lagrangeovu funkci, 1 1 Φ(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) = x + y + λ + −1 . x2 y 2 2. Hled´ame lok´aln´ı extr´emy Lagrangeovy funkce Φ. Nejdˇr´ıve urˇc´ıme parci´aln´ı derivace funkce Φ podle promˇenn´ ych x, y, 2λ ∂Φ 2λ ∂Φ = 1− 3, =1− 3. ∂x x ∂y y 3. Sestav´ıme soustavu rovnic pro stacion´arn´ı body funkce Φ, 2λ ∂Φ = 0, 1 − 3 = 0, x3 − 2λ = 0, ∂x x 2λ ∂Φ = 0, ⇒ 1 − 3 = 0, ⇒ y 3 − 2λ = 0, ∂y y 1 1 g(x, y) = 0, + 2 − 1 = 0, x2 + y 2 − x2 y 2 = 0, 2 x y pro x 6= 0, y 6= 0. √ 4. Soustavu vyˇreˇs´ıme. Z prvn´ı rovnice pˇr´ımo plyne x = 3 2λ. Ze druh´e rovnice √ dost´av´ame y = 3 2λ. Dosad´ıme do tˇret´ı rovnice za x a za y, dostaneme rovnici o jedn´e nezn´am´e λ, p p p p 3 (2λ)2 + 3 (2λ)2 − 3 (2λ)2 3 (2λ)2 √ √ 3 3 2 4λ2 − 4λ2 4λ2 √ √ 3 3 2 4λ2 − 2 2λ4 √ 3 2λ4
= 0, = 0, = 0, √ 3 = 4λ2
2λ4 = 4λ2 , λ4 − 2λ2 = 0, λ2 (λ2 − 2) = 0.
- 310 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
Dost´av´ame ˇreˇsen´ı ve tvaru: λ1 =
√
2,
√ λ2 = − 2,
λ3 = λ4 = 0.
Hodnoty λi , i = 1, 2, 3, 4 dosad´ıme do prvn´ıch dvou rovnic a vypoˇc´ıt´ame x a y. Tedy λ1 =
√
2 √ λ2 = − 2
⇒
λ3 = λ4 = 0
⇒
⇒
q q q √ √ √ 3 3 √ 3 x= 2 2= 8= 8 = 2 = y, q q q √ √ √ 3 3 √ 3 x = −2 2 = − 8=− 8 = − 2 = y, x = 0 = y.
Cel´a soustava byla ˇreˇsena za podm´ınky, ˇze x 6= 0 a y 6= 0. Pro hodnotu λ3 = λ4 = 0 se x = 0 a y = 0, to je ovˇsem ve sporu s podm´ınkou a tedy λ3 , λ4 nen´ı ˇreˇsen´ı ˇ sen´ım soustavy jsou tedy pouze dva stacion´arn´ı body, a naˇs´ı soustavy rovnic. Reˇ √ √ √ √ √ √ to A1 = [ 2, 2] pro λ1 = 2 a A2 = [− 2, − 2] pro λ2 = − 2. 5. Sestav´ıme matici druh´ ych parci´aln´ıch derivac´ı funkce Φ, 2 ∂ Φ ∂ 2Φ 6λ ∂x2 ∂x∂y 4 0 = x Q= 6λ . ∂2Φ ∂ 2Φ 0 y4 ∂y∂x ∂y 2 6. Dosad´ıme do Q jednotliv´e stacion´arn´ı body a odpov´ıdaj´ıc´ı hodnoty λ, √ 3 √ 2 0 λ1 = 2 : Q(A1 ) = 2 √ , 3 0 2 2 √ 3 √ (− 2) λ2 = − 2 : Q(A2 ) = 2 0
0 √ . 3 (− 2) 2
7. Podle determinant˚ u D1 a D2 rozhodneme o charakteru v´azan´ ych extr´em˚ u. Stac. bod Ai D1 √ √ √ 3 A1 = [ 2, 2] 2>0 2 √ √ √ A2 = [− 2, − 2] − 32 2 < 0
D2 9 2 9 2
v´azan´ y extr´em z = Φ(Ai )
√ > 0 v´azan´e lok´aln´ı minimum z = 2 2 √ > 0 v´azan´e lok´aln´ı maximum z = −2 2
- 311 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
Pozn´ amka Pokud Lagrangeova funkce Φ nem´ a v nˇekter´em sv´em stacion´arn´ım bodˇe extr´em, pak to jeˇstˇe neznamen´ a, ˇze i funkce f nem´ a v tomto bodˇe lok´aln´ı extr´em, viz. pˇr´ıklad 6.2.2. Pˇ r´ıklad 6.2.2. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = 27(x + y − 1) vzhledem k podm´ınce 9(x2 + y 2 ) = 2x2 y 2 . ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem funkce f je mnoˇzina Df = R2 , g(x, y) = 9(x2 + Reˇ y 2 ) − 2x2 y 2 = 0. 1. Sestav´ıme Lagrangeovu funkci, Φ(x, y, λ) = 27(x + y − 1) + λ(9(x2 + y 2 ) − 2x2 y 2 ). 2. Urˇc´ıme parci´aln´ı derivace Lagrangeovy funkce Φ podle x, y, ∂Φ = 27 + 18λx − 4λxy 2 , ∂x
∂Φ = 27 + 18λy − 4λx2 y. ∂y
3. Sestav´ıme soustavu rovnic pro stacion´arn´ı body funkce Φ, 27 + 18λx − 4λxy 2 = 0, 27 + 18λy − 4λx2 y = 0, 9(x2 + y 2 ) − 2x2 y 2 = 0. 4. Soustavu vyˇreˇs´ıme. Odeˇcteme od sebe prvn´ı dvˇe rovnice, tj.
∂Φ ∂Φ − , ∂y ∂x
dost´av´ame 2λ(y − x)(9 + 2xy) = 0 ⇒ λ = 0 ∨ y = x ∨ y = −
9 . 2x
Jestliˇze λ = 0, pak prvn´ı dvˇe rovnice nejsou splnˇeny. Proto se v tomto pˇr´ıpadˇe nejedn´a o ˇreˇsen´ı soustavy. Dalˇs´ı dva meziv´ ysledky postupnˇe dosad´ıme do tˇret´ı
- 312 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
rovnice. Uvaˇzujme nejdˇr´ıve y = − 9x2 + 9
81 81 − 2x2 2 = 0, 2 4x 4x
9 , 2x x 6= 0,
4x4 − 18x2 + 81 = 0. Pouˇzijeme substituci x2 = t, dost´av´ame kvadratickou rovnici 4t2 − 18t + 81 = 0. Diskriminant t´eto rovnice D = (−18)2 − 16 · 81 < 0, tzn. rovnice nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı. Dosad’me nyn´ı y = x do tˇret´ı rovnice, 9x2 + 9x2 − 2x2 x2 = 0, 18x2 + 2x4 = 0, 2x2 (9 − x2 ) = 0. Dost´av´ame ˇreˇsen´ı ve tvaru x1 = 3,
x2 = −3,
x3 = x4 = 0.
Hodnoty yi , i = 1, 2, 3, 4 z´ısk´ame z podm´ınky y = x, λi vypoˇc´ıt´ame z libovoln´e z prvn´ıch dvou rovnic soustavy. Tedy x1 = 3
⇒
y1 = 3
⇒
λ1 = 21 ,
x2 = −3
⇒
y2 = −3
⇒
λ2 = − 12 ,
x3 = x4 = 0
⇒
y3 = y4 = 0
⇒
ˇreˇsen´ı neexistuje.
Z´ıskali jsme dva stacion´arn´ı body funkce Φ, A1 = [3, 3] pro λ1 = 21 , A2 = [−3, −3] pro λ2 = − 12 . 5. Sestav´ıme matici druh´ ych parci´aln´ıch derivac´ı funkce Φ, 2 ∂ Φ ∂ 2Φ ∂x2 ∂x∂y 18λ − 4λy 2 −8λxy = . Q= ∂2Φ 2 ∂ 2Φ −8λxy 18λ − 4λx ∂y∂x ∂y 2
- 313 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
6. Dosad´ıme do Q jednotliv´e stacion´arn´ı body a odpov´ıdaj´ıc´ı hodnoty λ, −9 −36 , λ1 = 21 : Q(A1 ) = −36 −9
λ2 = − 12 : Q(A2 ) =
9
36
36
9
.
7. Podle determinant˚ u D1 a D2 rozhodneme o charakteru v´azan´ ych extr´em˚ u. Stac. bod Ai
D1
v´azan´ y extr´em z = Φ(Ai )
D2
−9 < 0 81 − 362 < 0 extr´em neexistuje
A1 = [3, 3] A2 = [−3, −3]
9>0
81 − 362 < 0 extr´em neexistuje
Lagrangeova funkce Φ v bodech A1 , A2 nem´a extr´em, ovˇsem to jeˇstˇe neznamen´a, ˇze i funkce f v tˇechto bodech nem´a extr´em. 8. Vyuˇzijeme vˇetu ?? Urˇc´ıme d2 Φ, d2 Φ =
∂2Φ 2 ∂2Φ 2 ∂2Φ dxdy + dx + 2 dy , ∂x2 ∂x∂y ∂y 2
a tedy d2 Φ = (18λ − 4λy 2 )dx2 − 16λxydxdy + (18λ − 4λx2 )dy 2 . 9. Hodnota d2 Φ ve stacion´arn´ıch bodech funkce Φ rozhodne o v´azan´ ych extr´emech funkce f . Dosad´ıme postupnˇe do d2 Φ bod A1 a bod A2 , d2 Φ(A1 ) = −9dx2 − 72dxdy − 9dy 2 ,
d2 Φ(A2 ) = 9dx2 + 72dxdy + 9dy 2 .
10. Diferencujeme podm´ınku g(x, y) = 0, 18xdx + 18ydy + 4xy 2 dx + 4x2 ydy = 0 ⇒(18x + 4xy 2 )dx + (18x + 4x2 y)dy = 0. Dosad´ıme za x a y souˇradnice stacion´arn´ıch bod˚ u, A1 : (18 · 3 + 12 · 9)dx + (18 · 3 + 12 · 9)dy = 0 ⇒ dy = −dx, A2 : (18 · (−3) − 12 · 9)dx + (18 · (−3) − 12 · 9)dy = 0 ⇒ dy = −dx.
- 314 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
V jist´em okol´ı jak bodu A1 , tak bodu A2 plat´ı dy = −dx. Tento vztah vyuˇzijeme v bodˇe 9. a dost´av´ame A1 : d2 Φ(A1 ) = 54dx2 > 0 ⇒ v´az´an´e lok´aln´ı minimum z = f (A1 ) = 135, A2 : d2 Φ(A2 ) = −54dx2 < 0 ⇒ v´az´an´e lok´aln´ı maximum z = f (A2 ) = −189.
Pˇ r´ıklad 6.2.3. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = xy − x + y − 1, vzhledem k podm´ınce x + y = 1. ˇ sen´ı: Definiˇcn´ı obor funkce Df = R2 . Reˇ 1. Z podm´ınky x + y = 1 m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jak x, tak i y. Z podm´ınky vyj´adˇr´ıme napˇr. y, y = 1 − x. 2. Dosad´ıme y = 1 − x do funkce z = f (x, y) = xy − x + y − 1 a dostaneme funkci jedn´e promˇenn´e x, z = x(1 − x) − x + 1 − x − 1 = −x2 − x. 3. Hled´ame extr´emy funkce jedn´e promˇenn´e. z ′ = −2x − 1 = 0 ⇒ x = − 12 , z ′′ = −2 < 0. Druh´a derivace je z´aporn´a pro vˇsechny body definiˇcn´ıho oboru funkce jedn´e promˇenn´e z, a tedy i v bodˇe x = − 21 je druh´a derivace z´aporn´a, z ′′ (− 12 ) = −2 < 0. Funkce z m´a v bodˇe x = − 21 ostr´e lok´aln´ı maximum. Dopoˇc´ıt´ame hodnotu y, y = 1 − (− 21 ) = 32 . Funkce f (x, y) = xy − x + y − 1 m´a v bodˇe A = [− 12 , 23 ] v´azan´e lok´aln´ı maximum z = 41 .
- 315 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = 4x + 2y + 1 vzhledem k podm´ınce y = x2 + x + 14 . 2. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = 12x + y − 3 vzhledem k podm´ınce y = −x3 + 3. 3. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = 3y + 2x4 + 9x2 + 6 vzhledem k podm´ınce y = −x4 + 3x2 − 2. 4. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = ex
2 +y
vzhledem k podm´ınce
y = −x3 . 5. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) vzhledem k podm´ınce y = x + 3. 6. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = ce y = 2x − 3.
p 4x + y 2 + 5 vzhledem k podm´ın-
7. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = x3 + y 3 vzhledem k podm´ınce 2x + 2y = 1. 8. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = −8x+6y −5 vzhledem k podm´ınce x2 + y 2 = 100. 9. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = 4x + 3y − 4 vzhledem k podm´ınce (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1. 10. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = −3x − 9 vzhledem k podm´ınce 3y − y 3 = x2 . V´ ysledky u ´lohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. [− 32 , 1] - v´azan´e lok´aln´ı minimum. 2. [−2, 11] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [2, −5] - v´azan´e lok´aln´ı maximum. 3. [0, −2] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [3, −56] - v´azan´e lok´aln´ı maximum, [−3, −56] - v´azan´e lok´aln´ı maximum.
- 316 -
6.2. V´azan´e extr´emy
Matematika II
8 ] - v´azan´e lok´aln´ı maximum. 4. [0, 0] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [ 23 , − 27
5. [− 23 , 23 ] - v´azan´e lok´aln´ı minimum. 6. [1, −1] - v´azan´e lok´aln´ı minimum. 7. [ 14 , 41 ] - v´azan´e lok´aln´ı minimum. 8. [8, −6] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [−8, 6] - v´azan´e lok´aln´ı maximum. 9. [ 15 , 57 ] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [ 59 , 13 ] - v´azan´e lok´aln´ı maximum. 5 √ √ 10. [ 2, 1] - v´azan´e lok´aln´ı minimum, [− 2, 1] - v´azan´e lok´aln´ı maximum.
- 317 -
