Deel I Getrapte verwerking van de tekenregels bij het rekenen met getallen
Tekst syllabus Bijlage 1: Diagnostische toets Bijlage 2: Memoryspel 1 & 2 Bijlage 3:Reeksen oefeningen Bijlage 4: Zelfstandig werk volgorde van de bewerkingen
Deel I – 1.1
SITUERING IN HET LEERPLAN De doelstellingen uit het leerplan ONDERDEEL Bewerkingen met getallen vlot en correct uitvoeren. HOOFDDOELSTELLING G10
De tekenregels bij gehele en rationale getallen toepassen.
2
VERWANTE DOELSTELLINGEN G8
Bewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) uitvoeren met getallen (natuurlijke, gehele en rationale getallen).
7
G9
Afspraken in verband met de volgorde van bewerkingen toepassen.
6
G18
Machten met een natuurlijke exponent van een getal berekenen.
11
SITUERING IN HET SCHOOLJAAR We voorzien ongeveer een zestiental lestijden om deze doelstellingen te behandelen. Uiteraard kunnen de doelstellingen niet afgelijnd aangepakt worden, maar ze kunnen verspreid aangepakt worden doorheen het schooljaar of ze zitten verweven in andere onderdelen van getallenleer. Zie voorstel voor jaarplanning (cf. toelichtingsessie).
Deel I – 1.2
LEERPROCES BIJ DE LEERLINGEN 1
Beginsituatie
1.1
VOORKENNIS
In het basisonderwijs vanaf het 4de leerjaar leerden de leerlingen reeds: -
optellen en aftrekken van eenvoudige gelijknamige en ongelijknamige breuken;
-
vermenigvuldigen van een eenvoudige breuk met een natuurlijk getal en met een breuk;
-
delen van een eenvoudige breuk door een natuurlijk getal en van een natuurlijk getal door een stambreuk;
-
optellen van eenvoudige kommagetallen;
-
aftrekken van eenvoudige kommagetallen;
-
vermenigvuldigen en delen van een eenvoudig kommagetal met een natuurlijk getal, met een kommagetal (alleen in de 6 leerjaar aangezet);
-
delen van natuurlijke getallen door een natuurlijk getal waarbij het quotiënt een kommagetal wordt en door een eenvoudige kommagetal (en voor delingen naar analogie met de deeltafels);
-
vermenigvuldigen en delen van een kommagetal met hoogstens drie cijfers na de komma met een kommagetal met hoogstens drie cijfers na de komma;
-
delen van een natuurlijk getal door een kommagetal met hoogstens drie cijfers;
-
bij een niet-opgaande staartdeling (de deler is een natuurlijk getal) de juiste waarde van de rest bepalen.
-
in concrete situaties gehele negatieve getallen lezen, schrijven en vergelijken
1.2
DIAGNOSTISCHE TOETS
In bijlage 1 is een diagnostische toets toegevoegd. Deze toets is gebaseerd op de kennis vanuit het basisonderwijs. We geven telkens delen uit de diagnostische toets aan, die kunnen gebruikt worden vooraleer de leraar start met een nieuw onderdeel. De diagnostische toets geeft slechts een voorbeeld weer van mogelijke oefeningen die zouden kunnen getoetst worden. Wil een leraar deze voorbeeldtoets gebruiken, dan zouden best analoge oefeningen toegevoegd worden. Daarenboven is het dan beter om deze toets op te splitsen in deeltoetsen.
Deel I – 1.3
2
Tekenregels
Dit document is geen uitgewerkte lessenreeks waarin alle aspecten van de aanpak aan bod komen. Zo wordt maar kort ingegaan op de al meer vertrouwde aanbreng en op de aanpak vanuit betekenisvolle probleemstellingen. We willen in dit document dat vooral de rekenvaardigheid beoogt, de nadruk leggen op de verschillende stappen in een trapsgewijze aanpak, op actieve werkvormen, op diagnostisch toetsen en op beheersingsniveaus in de oefeningen.
2.1
GEHELE GETALLEN
2.1.1
Optellen en aftrekken
1
DIAGNOSTISCHE TOETS
Rekenen met positieve getallen en wiskundetaal begrijpen (gedeelte van optellen en aftrekken): bijlage 1. Wiskundetaal begrijpen: zie bijlage 1, p. 6 & afbeelding p.7. oefeningen zoals de oefening van de koelkamer van de slager; de verdiepingen in een appartementsgebouw; 2
DE REGEL OM GEHELE GETALLEN OP TE TELLEN AFLEIDEN VAN DE REGEL
Voorbeeld 1(vanuit een spel) Een instap met een (kaart)spel waarbij winst en verlies worden genoteerd: Deelnemers
Gerd
Sabine
Björn
Daisy
Spel 1
+8
−6
+ 10
− 12
Spel 2
+5
−9
−4
+8
(+8) + (+5) =
(−6) + (−9) =
(+10) + (−4) =
(−12) + (+8) =
Resultaat
Voorbeeld 2 (d.m.v. de getallenlijn) * +3 optellen is op de getallenlijn 3 naar rechts gaan.
(-8) + (+3) = -5 * -7 optellen is op de getallenlijn 7 naar links gaan.
(+2) + (-7) = -5
Deel I – 1.4
Andere mogelijke contexten
Coördinaten in een rooster
Temperaturen boven en onder 0° C
Bankuittreksels met debet en credit
Hoogte boven en diepte onder de zeespiegel
Verdiepingen in een flatgebouw (lift) met kelder(s)
Jaartallen vóór en na Christus
Tijdszones
FORMULEREN VAN DE REGEL
De twee termen hebben
hetzelfde teken:
een verschillend teken:
→ het teken behouden
→ het teken van het getal met grootste absolute waarde → de absolute waarden aftrekken
→ de absolute waarden optellen KLASSIKALE OEFENINGEN -
gevarieerde vormen van oefeningen
-
verschillende niveaus
3
GEDIFFERENTIEERDE OEFENINGEN
A
Elementaire oefeningen
VOORBEELDEN
(+2) + (−7) = (−8) + (−3) =.
Bereken d.m.v. een getallenlijn: a (-9) + (+7)
b (-3) + (-5)
c (+11) + (-6)
Schrijf de som op die hoort bij de volgende plaatjes.
Deel I – 1.5
BIJ ONVOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Tweede reeks maken (eventueel met de regel bij de hand en de stappen overlopen zodat je het probleem kan opsporen en gericht kan bijsturen). Een onvoldoende kan bepaald worden door een foutenanalyse. Een onvoldoende is ook afhankelijk van de beginsituatie en het niveau van de leerlingen. Welke oefeningen? -
uit het leerboek
-
internet: wiskundehoekje, starttips, eigen schoolsite…
-
zelfgemaakte oefeningen
met verbetersleutel werken en fouten bespreken met de leerkracht. BIJ VOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Over naar basisoefeningen (punt b) OPMERKING Dit soort oefeningen moet doorheen het hele schooljaar frequent (met korte toetsen) getoetst worden tot de leerlingen 10/10 scoren. Zie bijlage 3, reeks 1. B
Basisoefeningen
Voorbeelden 1)
Schrijf als een bewerking en werk uit: Het vriest 5 graden en het wordt nog 2 graden kouder, wat is de nieuwe temperatuur?
2)
(−23) + (+18) =
3)
Memoryspel deel 1 (zie bijlage 2a)
4)
Vul in: (−7) + ……. = 13 …… + (+ 9) = −45
5) Vul aan:
-11
-8
-5
…
…
…
6 ) Schrijf de som die hoort bij de volgende plaatjes.
7) Bereken het nieuw saldo van het volgende bankuittreksel Vorig saldo 3 140 Geldopneming 10.01.09 om 15.06 uur, Belsele
- 210
Overschrijving van Jansen en Jansens
+ 175
Overschrijving naar Telenet N.V.
-
Nieuw saldo
89 ?
Deel I – 1.6
8)
Vul de volgende optellingstabel in +
-3
-2
-1
0
1
2
3
3 2 1 0 -1 -2 -3
Wat stel je vast als je door een vierkant venstertje kijkt met vier vakjes om het even waar je het venstertje plaatst? Verklaar.
Wat stel je vast als je door een kruisvormig venstertje kijkt met vijf vakjes, om het even waar je het venstertje plaatst? Verklaar.
9) In een tovervierkant is de som van de getallen op een horizontale, een verticale of een diagonale lijn steeds dezelfde 8
1
6
3
5
7
4
9
2
Vul het volgende tovervierkant aan. -6
-13 -9 -5
Deel I – 1.7
SUGGESTIES VOOR AANPAK -
Met verbetersleutel werken (ev. verbeterhoek) en na individuele verbetering komen leerlingen bij de leerkracht.
-
Duowerk waarbij leerlingen onderling hun oplossingen bespreken
-
In groepjes van 3 à 4 leerlingen: de leerlingen maken de oefeningen in hun groepje en één leerling per groepje laat de resultaten controleren door de leerkracht. Deze leerling moet de eventuele opmerkingen van de leerkracht doorgeven aan de groep. De groep moet ernaar streven dat elk groepslid hetzelfde antwoord heeft. Door deze werkwijze te hanteren moet je niet meer klassikaal verbeteren.
-
Als leerlingen met een aantal oefeningen klaar zijn gaan ze voor controle bij de leerkracht
-
… (idem bij verdiepingsoefeningen)
C
Verdiepingsoefeningen
VOORBEELDEN 1)
Zoek een voorbeeld uit het dagelijks leven dat deze opgave zou kunnen opleveren en bereken: (−63) + (−45) =
2)
Welk getal hoort op de plaats van het vraagteken?
3 ) Vul aan: 4)
-25
-23
-20
-16
…
…
…
Toon op een getallenlijn aan dat a (-7) + (+3) = (+3) + (-7) b (-5) + (+5) = 0 c (-4) + 0 = +4
5)
Zoek het getal dat hoort bij het midden van het lijnstuk [AB ] .
Deel I – 1.8
6)
In de figuur hiernaast zijn drie treden van een lange trap getekend. A, B en C zijn de middens van die treden. a Ga vanuit C de trap drie treden op. Welk punt is het midden van de derde trede? b Ga vanuit A de trap drie treden af. Welk punt is het midden van de derde trede? c Is het punt (-15, -5) het midden van een trede?
4
DE AFTREKKING EN HET VEREENVOUDIGEN VAN SCHRIJFWIJZE
A
Afleiden van de regel Methode 1 : Aftrekken is de tegengestelde bewerking van optellen Om 17 - 8 te berekenen zoeken we een getal dat opgeteld bij 8 als som 17 oplevert. Vermits 9 + 8 = 17, is dit getal gelijk aan 9 dus 17 - 8 = 9. Ook 17 + (-8) = 9 . → 17 – 8 = 17 + (-8) Naar analogie: om (-20) - (-5) te berekenen zoeken we een getal dat opteld bij (-5) als som -20 oplevert. Vermits (-15) + (-5) = -20, is dit getal gelijk aan -15, dus (-20) - (-5) = - 15. Ook (-20) + 5 = - 15. → (-20) - (-5) = (-20) + 5 Methode 2 om de regel aannemelijk te maken (op basis van regelmaat en patronen): rijtjes van verschillen 7-4=3
4-3=1
4 - (-6) = 10
6-4=2
4-2=2
3 - (-6) = 9
5-4=1
4-1=3
2 - (-6) = 8
4-4=0
4-0=4
1 - (-6) = 7
3 - 4 = -1
4 - (-1) = 5
0 - (-6) = 6
2 - 4 = -2
4 - (-2) = 6
(-1) - (-6) = 5
1-4=3
4 - (-3) = 7
(-2) - (-6) = 4
0 - 4 = -4
4 - (-4) = 8
(-3) - (-6) = 9
(-1) - 4 = -5
4 - (-5) = 9
(-4) - (-6) = 10
(-2) - 4 = -6
4 - (-6) = 10
(-5) - (-6) = 11
...
...
...
Deel I – 1.9
Methode 3 om de regel aannemelijk te maken: werken met contexten vb. context “bezit”
Je bezit 20 EUR. Je koopt iets van 6 EUR. Hoeveel heb je nu?
20 - 6 = 14
Je hebt een schuld van 20 EUR. Je leent er nog 6 EUR bij. Hoeveel heb je nu?
(-20) - 6 = -26
Je hebt een schuld van 20 EUR. Men scheldt je 6 EUR schuld kwijt? Hoeveel heb je nu?
(-20) - (-6) = -14
vb. context “temperatuur”
B
‘s Middags is het 14°C. ‘s Avonds daalt de temperatuur 6 graden.
14 - 6 = 8
Tijdens de dag is het 5° C onder nul. ‘s Nachts daalt de temperatuur 4 graden.
(-5) - 4 = -9
Het verschil tussen een dagtemperatuur van -2° C en een nachttemperatuur van -7°C
(-2) - (-7) = 9
Regel (+8) + (+5)
= 8+5
(−6) + (−9)
= −6−9
(+10) + (−4) = 10 − 4 (−12) + (−8) = −12 − 8
+ (+ ….) = + + (− ....) = − − (+ ….) = − − (− ….) = + Bij de eerste term: + mag weggelaten worden, haakje rond negatief getal ook. C
Klassikale oefeningen
Gevarieerde vormen van oefeningen 5
GEDIFFERENTIEERDE OEFENINGEN
A
Elementaire oefeningen
VOORBEELDEN (−4) − (−3) = (+12) − 7 = BIJ ONVOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Tweede reeks maken (eventueel met de regel bij de hand en de stappen overlopen zodat je het probleem, zoals de regel niet kennen of rekenfouten maken, kunt opsporen en gericht kunt bijsturen). Welke oefeningen? •
uit leerboek
•
internet
•
zelf gemaakte oefeningen
Deel I – 1.10
met verbetersleutel werken en fouten bespreken met de leerkracht. BIJ VOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Over naar basisoefeningen (punt b) B
Basisoefeningen
VOORBEELDEN 1) Oefeningen zoals onder punt 4 maar nu ook met aftrekkingen 2)
Memoryspel deel 2 (zie bijlage 2b)
3)
Hoeveel moet ik van −20 aftrekken om 100 te bekomen?
4)
Vraagstukken met optellingen en aftrekkingen (temperatuur, diepte, verlies …) Bijv. De dieptemeter van een duiker duidt –7 meter aan. Hij daalt verder met 6 m per minuut. Wat is de aanduiding van de meter 5 minuten later?
5)
Bepaal het 4de punt en de oppervlakte van de rechthoek ABCD met A(-1, 4), B(4, 4) en C(4, 1).
6)
Bepaal de oppervlakte van de volgende driehoeken
Deel I – 1.11
C
Verdiepingsoefeningen
VOORBEELDEN: 1) −35 + 7 = …. – 14 2) −32 + (… − 45) = - 38 3) Het verschil is −8, de aftrekker is −5, waaraan is het aftrektal gelijk ? 4) Bepaal telkens de coördinaatgetallen van het spiegelbeeld van het punt A t.o.v. de rechte a.
5)
Bepaal de oppervlakte van de volgende driehoeken
6) In de volgende driehoek zijn noch de basis, noch de hoogte horizontaal of verticaal. Bereken de oppervlakte van de driehoek, vertrekkend van de oppervlakte van de rechthoek ABCD.
Deel I – 1.12
2.1.2 1
Vermenigvuldigen en delen
DIAGNOSTISCHE TOETS Rekenen met positieve getallen en wiskundetaal begrijpen (gedeelte met vermenigvuldigingen): bijlage 1.
2
REGEL OM NEGATIEVE GETALLEN TE VERMENIGVULDIGEN AFLEIDEN VAN DE REGEL
+ · +
+ · –
2·3 =3+3=6
2 · (−3) = (−3) + (−3) = − 6
− · +
− · −
2·3 =6
2 · (−3) = − 6 −3
1·3 =3
+3 1 · (−3) = − 3
−3
+3
0·3 =0
0 · (−3) = 0
−1 · 3 =
− 1 · (−3) =
−2 · 3 =
− 2 · (−3) =
KLASSIKALE OEFENINGEN
Deel I – 1.13
3
GEDIFFERENTIEERDE OEFENINGEN
A
Elementaire oefeningen
VOORBEELDEN 1) 8.(-3) = 2) -5.(-7) = 3) Voer de volgende vermenigvuldigingen uit:
4)
20 . (-4)
8 . (-10)
15 . (-4)
6 . (-10)
10 . (-4)
4 . (-10)
5 . (-4)
2 . (-10)
0 . (-4)
0 . (-10)
(-5) . (-4)
(-2) . (-10)
(-10) . (-4)
(-4) . (-10)
Vul de volgende vermenigvuldigingstabel aan.
BIJ ONVOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Tweede reeks maken (eventueel met de regel bij de hand en de stappen overlopen). Welke oefeningen? •
uit leerboek
•
internet
•
zelf gemaakte oefeningen
met verbetersleutel werken en fouten bespreken met de leerkracht. BIJ VOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT over naar basisoefeningen (punt b).
Deel I – 1.14
B
Basisoefeningen
Gemengde oefeningen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen door elkaar. Vraagstukken met deze gemengde oefeningen. VOORBEELDEN 1) Bepaal elke keer de waarde van de letter. 3 . a = 12
7 . y = −14
( −3) . c = −18
( −2 ) . b = 6
2) Op zoek naar aardgas wordt een proefboring verricht. In één uur zakt de kop van de boor van 0 meter naar -12 meter. a Waar is de kop van de boor na één dag (24 uur)? b Men verwacht op ongeveer -2400 meter aardgas aan te treffen. Na hoeveel uren boren is men op die diepte? 3)
Bij het sjoelen komt het erop aan om platte schijven over een houten plank in vakjes te schuiven. Mona, Vic en Gust hebben het reglement als volgt opgesteld. Voor elke schijf die niet in een vakje terechtkomt, krijg je 2 minpunten. Als een schijf in het linker vakje komt, krijg je één minpunt. Komt de schijf in het 2de, 3de of 4de vakje terecht, dan krijg je resp. 3, 4 en 2 pluspunten. Mona, Vic en Gust halen het volgende resultaat.
Aantal schijven Speler
niet in een vakje
in vak 1
in vak 2
in vak 3
in vak 4
Mona
8
2
9
7
4
Vic
10
2
3
9
6
Gust
9
3
7
6
5
Bereken het puntenaantal van elke speler.
Deel I – 1.15
C
Verdiepingsoefeningen
Gemengde oefeningen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen door elkaar Vraagstukken met deze gemengde oefeningen. VOORBEELDEN 1) Vermenigvuldig bij onderstaande figuur de 1ste coördinaatgetallen van elk punt met -2 en teken het resultaat. A' is het beeld van A, B' het beeld van B,...
b Vermenigvuldig nu de 1ste coördinaatgetallen van de nieuwe figuur met -2 en teken opnieuw het resultaat. A" is het beeld van A', B" het beeld van B',... c Hoe zouden we onmiddellijk van de eerste figuur naar de derde figuur kunnen gaan? 2)
Beschrijf wat er met de eerste coördinaatgetallen moet gebeuren - om driehoek 1 om te zetten in driehoek 2, - om driehoek 2 om te zetten in driehoek 3, - om driehoek 3 om te zetten in driehoek 4, - om driehoek 1 om te zetten in driehoek 3, - om driehoek 1 om te zetten in driehoek 4?
Deel I – 1.16
3) a Teken in het volgende rooster alle roosterpunten (x, y) waarvoor geldt dat y = 2 . x . Wat merk je op?
b Zelfde vraag voor de roosterpunten waarvoor geldt dat y = −2 . x
4
GEDURIGE PRODUCTEN
De leerlingen kunnen de regel (tel aantal mintekens) zelf ontdekken als je hen voorbeeldoefeningen geeft: 1·2·3·4·5 = (−1) · 2 · 3 · 4 · 5 = (−1) · (−2) · 3 · 4 · 5 = (−1) · (−2) · (−3) · 4 · 5 = (−1) · (−2) · (−3) · (−4) · 5 = (−1) · (−2) · (−3) · (−4) · (−5) = 5
DIAGNOSTISCHE TOETS
Rekenen met positieve getallen en wiskundetaal begrijpen (gedeelte met delingen): bijlage 1. 6
DE DELING
Methode : de regel ontdekken door de deling in te voeren als de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. VOORBEELD 12: 4 = 3 omdat
4 · 3 = 12
Zo ook dus - 12 : 4 = -3 want en
4 . (-3) = 12
12 : (-4) = -3 want
(-4).(-3) = 12
Leerlingen kunnen ook al vergelijkende oefeningen maken: - 12 : 4 en 12 : (-4) leveren hetzelfde resultaat op.
Deel I – 1.17
OPMERKING Indien je hier de werkwijze om de deling anders te schrijven terug herhaalt of indien je de deling als volgt aanbrengt: 12 , dan is het probleem van de negatieve noemers, later gemakkelijker te behandelen. (Zie verder bij ‘Aanpak 3 van rationale getallen’.)
12: 3 =
2.1.3
Machtsverheffing
Het grondtal is een geheel getal, de exponent is een natuurlijk getal. Indien de leerlingen machten, waarbij het grondtal een natuurlijk getal is al besproken hebben, is de uitbreiding naar een grondtal dat negatief is vlug gemaakt. 1
VOORBEELDEN
(−8)·(−8)·(−8) = (−8)3 9
(-5) (-5)·(-5) (-5)·(-5) (-5)·(-5) (-5)·(-5) = (-5)
(−3)5 = (−3)·(−3)·(−3)·(−3)·(−3) =
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
4
4
3 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
(−3) = (−3)·(−3)·(−3)·(−3) =
3³ = 3 · 3 · 3 = 27
(−3)³ = (−3)·(−3)·(−3) = : (-3)
:3 3² = 3 · 3 = 9
(−3)² = (−3)·(−3) =
31 = 3
(-3)1 =
0
0
3 = 1
(−3) =
TEKENREGEL
grondtal negatief en
macht is negatief
exponent oneven alle andere gevallen 2
macht is positief
OPMERKING
Schrijf als een product: 4
2
=
4
(−2) =
4
−2
=
Deel I – 1.18
2.1.4
Volgorde van bewerkingen
Je kunt dit onderwerp best spreiden in de tijd. Tijdens de weken dat je meetkunde behandelt, kun je telkens (gedurende een vijf-/tiental minuten) een aantal oefeningen op de volgorde maken in de vorm van begeleid zelfstandig werken. Indien je 5 lestijden hebt, kun je een extra uur oefenen op bewerkingen. Je doet best eerst een diagnostische toets i.v.m. volgorde van bewerkingen bij de natuurlijke getallen zodat je de leerlingen in niveaugroepen kunt verdelen. (Bijv. niveau A kun je volledig zelfstandig laten werken – niveau B met meer coaching - niveau C met eenvoudigere oefeningen en klassikaal.) Een luxe is wanneer je dit in duo-uren kunt doen of in kleinere groepen. De leraar kan zich dan op de wiskundig zwakkere leerlingen concentreren. Voorzie tussendoor toetsen om de leervorderingen van de leerlingen bij te houden. Leerlingen die behoorlijk beter scoren dan voordien, kunnen mogelijk overschakelen naar een hoger niveau. Voorzie oefeningen voor deze verschillende niveaus. Door deze manier van aanpak blijf je ook de rekenvaardigheden onderhouden. Zie bijlage 4. VOORBEELD Hieronder zie je de grafiek van de gemiddelde dagtemperatuur gedurende de maand december 2008 in het weerstation van De Bilt (Nederland). Bereken de gemiddelde maandtemperatuur door het gemiddelde te nemen van de 31 dagtemperaturen.
Deel I – 1.19
2.2
RATIONALE GETALLEN
2.2.1
Aanpak van rationale getallen
Afspraak: we werken niet met negatieve noemers, dus we werken die altijd eerst weg.
Werkwijze 1 Indien het begrip breuk voldoende geassocieerd is met de deling (zie opmerking bij 2.1.2.6), kun je vanuit deze weg het wegwerken van het teken verklaren. Leerlingen hebben bijvoorbeeld 12 : (-4) en -12 : 4 leren associëren aan elkaar. Ze zijn beide gelijk aan –3. En dus
12 : (-4) = -12 : 4
Geschreven als breuk:
12 = −4
−12 4
Op dezelfde wijze zien leerlingen in dat een breuk met een negatieve teller en een negatieve noemer gelijk is aan een positieve breuk (negatief gedeeld door negatief is positief). Bijvoorbeeld: -12 : (-4) = 3 = 12 : 4
−12 = −4
wordt
12 4
Een ander gevolg dat hieruit kan afgeleid worden, is een uitbreiding van het vereenvoudigen. Leerlingen weten al dat je een gelijkwaardige breuk bekomt als je teller en noemer met eenzelfde (van nul verschillend) natuurlijk getal vermenigvuldigt of door eenzelfde natuurlijk getal deelt. Vorig voorbeeld wordt dan:
−12 ( −1) ⋅ 12 12 = = −4 4 ( −1) ⋅ 4 Hieruit is dus af te leiden dat door (-1) en door elk geheel getal kan vereenvoudigd worden (let wel, een voorbeeld volstaat niet om een regel te veralgemenen). Op deze manier kun je de regel ook formuleren als ‘de negatieve noemer kan weggewerkt worden door teller en noemer te vermenigvuldigen met (−1)’.
Werkwijze 2 Je kunt negatieve breuken ook aanbrengen door eerst over negatieve decimale getallen te spreken (negatieve decimale getallen komen in het dagelijks leven wel voor, denk maar aan het geldgebruik). DIAGNOSTISCHE TOETS
Rekenen met positieve getallen (gedeelte met bewerkingen met breuken): bijlage 1.
2.2.2
Negatieve rationale getallen optellen en aftrekken
De leerlingen kennen de werkwijze om positieve breuken op te tellen. Werkwijze 1: Je kunt de werkwijze (met negatieve breuken) aanbrengen met enkele voorbeelden. Werkwijze 2: Je geeft de instructies op een blad en de leerlingen volgen de stappen.
Deel I – 1.20
1
BREUKEN
Regel
a)
Breuken vereenvoudigen (zowel in absolute waarden als in tekens).
+ =+ +
+
+ =+ +
+ =− −
+
− =− +
− =− +
−
− =+ +
b)
Breuken gelijknamig maken (k.g.v. van de noemers).
c)
Tellers optellen, noemer behouden.
d)
Resultaat vereenvoudigen.
− =+ −
−
− =− −
Je kunt de leerlingen zelf laten kiezen: ofwel werken ze zelfstandig volgens werkwijze 2; ofwel kunnen de leerlingen die onzeker of zwakker zijn samen met de leerkracht werken via werkwijze 1. 2
DECIMALE GETALLEN
Hier wordt dezelfde regel gehandhaafd als bij “gehele getallen optellen en aftrekken”. De beheersingsniveaus worden ondermeer bepaald door het aantal decimalen dat voorkomt, de “grootte” van de gebruikte getallen …. Op de vier hoofdbewerkingen met negatieve breuken kun je telkens elementaire, basis- en verdiepingsoefeningen aanbieden: de moeilijkheidsgraad zal zitten in het aantal mintekens. 3
GEDIFFERENTIEERDE OEFENINGEN
A
Elementaire oefeningen
VOORBEELDEN 1)
2 −1 + = 3 3
2)
−3 −1 + = 5 5
3)
2−
4)
2,3 + (−1,2) =
−1 = 3
Deel I – 1.21
5)
Bereken volgende sommen: +
−1 10
3 5
1 5 −3 10
2
6)
Bereken volgende verschillen (vereenvoudig eerst te tekens !): −
−1 10
3 5
1 5 −3 10
2
BIJ ONVOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Tweede reeks maken (eventueel met de regel bij de hand en de stappen overlopen). Het is hier van belang dat onderzocht wordt waar het fout loopt, bij welke stap, zodat de remediëring gericht kan verlopen. Welke oefeningen? -
uit leerboek
-
internet
-
zelf gemaakte oefeningen
met verbetersleutel werken en fouten bespreken met de leerkracht. BIJ VOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Over naar basisoefeningen (punt b). B
Basisoefeningen
VOORBEELDEN 1)
−3 −3 + = 4 5
2)
10 −5 − = 15 6
Deel I – 1.22
3)
Vul de som in: +
−4 8
5 15
−2 −12 −3 18
−2
4) Vraagstukken met breuken en decimale getallen. Bijv. Een krantenhandelaar moet op de verkoop van een pakket strips een verlies toestaan van een kwart van de inkoopprijs van € 540. Hij wint echter bij de lotto met een formulier van € 5 toch een derde van dat verlies terug. Wat was zijn lottowinst? 5) Bepaal de oppervlakte van de volgende driehoek en ruit.
C
Verdiepingsoefeningen
VOORBEELDEN 1)
33 −24 − = 143 −32
2) −24,5 − …….. = 48,3 3) Vul de ontbrekende getallen in bij volgende bewerkingstabel:
Deel I – 1.23
− 2 3
−2 −12 −3 18
−22 7
−2
2.2.3
Negatieve rationale getallen vermenigvuldigen
De leerlingen kunnen positieve breuken vermenigvuldigen en negatieve gehele getallen vermenigvuldigen. Met deze achtergrond is de tekenregel vlug afgeleid. 1
BREUKEN
Regel a)
teller x teller noemer x noemer
b)
dadelijk vereenvoudigen in tekens en absolute waarden
OPMERKING Het is nutteloos vooraf te vereenvoudigen of gelijknamig te maken 2
DECIMALE GETALLEN
Hier wordt dezelfde regel gehandhaafd als bij “gehele getallen vermenigvuldigen” wat het teken betreft. Maar er moet wel een regel opgesteld of zeker herhaald worden om het aantal decimalen te bepalen. De beheersingsniveaus worden ondermeer bepaald door het aantal factoren, het aantal negatieve tekens en het aantal decimalen. 3
GEDIFFERENTIEERDE OEFENINGEN
A
Elementaire oefeningen
VOORBEELDEN 1) 8 ... 2)
−5 = 16
4 ... ( −7) = −35
3)
3 · (−0,5) =
(cf. betekenis: ik heb reeds 3 maal een halve euro schuld)
Deel I – 1.24
BIJ ONVOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Tweede reeks maken (eventueel met de regel bij de hand en de stappen overlopen). Welke oefeningen? -
uit leerboek
-
internet
-
zelf gemaakte oefeningen
met verbetersleutel werken en fouten bespreken met de leerkracht. BIJ VOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Over naar basisoefeningen (punt b). B
Basisoefeningen
VOORBEELDEN 1)
−25 −24 ⋅ = 24 −45
2) Gemengde oefeningen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen door elkaar. 3) 3,4 · (−3) = C
Verdiepingsoefeningen
VOORBEELD −32 45 −72 ⋅ ⋅ ⋅ (−1) = −63 12 15
Deel I – 1.25
*
Als je op aarde op grotere hoogte komt, wordt het kouder: per 1000 m stijging neemt de temperatuur met 6°C af. Op de kaart hiernaast vind je het plaatsje Arolla in Wallis (Zwitserland) en vijf berghutten in de omgeving. Hieronder vind je een lijst van de hoogtes van Arolla en van de hutten in meter boven de zeespiegel.
Arolla
1998
Cabane des Aiguilles Rouges
2810
Cabane de Berthol
3311
Cabane des Dix
2928
Cabane de la Tsa
2607
Cabane des Vignettes
3160
In Arolla is het op een nacht -2° C.
a Hoeveel neemt de temperatuur af per 100 m? per 10 m? per m? b Hoeveel meter ligt de Cabane des Aiguilles Rouges hoger dan Arolla? c Wat is het temperatuurverschil tussen Arolla en de Cabane des Aiguilles Rouges? d Wat is de nachttemperatuur aan de Cabane des Aiguilles Rouges? e Maak een tabel op van de nachttemperatuur aan elke hut. Rond af tot op 0,5° C.
2.2.4
Negatieve rationale getallen delen
De leerlingen kunnen positieve breuken delen en negatieve gehele getallen delen. Met deze achtergrond is de tekenregel vlug afgeleid. Let wel dat de leerlingen in het eerste leerjaar ook nog moeten aangeleerd krijgen hoe ze een breuk met positieve teller en noemer delen door een breuk met positieve teller en noemer. Die regel zou dus eerder aan bod moeten gekomen zijn. 1
BREUKEN
Regel -
De eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk.
-
De regel voor de vermenigvuldiging toepassen.
Deze regel is dus dezelfde voor breuken met positieve teller en noemer.
Deel I – 1.26
Dit kan ook leiden tot volgende werkwijze: -
Bepaal het teken a.d.h.v. de tekenregel (zie de vermenigvuldiging bij de rationale getallen).
-
Voer dan de deling uit met telkens de absolute waarden in teller en noemer. (Ook hier de eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk.)
Het eerste deel van deze werkwijze kan ook gebruikt worden als controle op het teken van het resultaat. 2
DECIMALE GETALLEN
Regel -
Bepaal het teken a.d.h.v. de tekenregel (zie de vermenigvuldiging bij de rationale getallen).
-
Voer dan de deling uit van de absolute waarden van de gegeven getallen.
OPMERKING We werken steeds de komma weg uit de deler. Vergelijk met
12 : 6 = 24 : …. = 6 : …
Deze werkwijze is uit te breiden naar rationale getallen: het quotiënt verandert niet als we deeltal en deler met eenzelfde rationaal getal vermenigvuldigen of door eenzelfde rationaal getal delen (uitgezonderd nul). Bijv.:
0,24 : 0,008 = 2,4 : 0,08 = 240 : 8 = 2, 458 : (-0,06) = - 2,458 : 0,06 = - 245,8 : 6
3
GEDIFFERENTIEERDE OEFENINGEN
A
Elementaire oefeningen
VOORBEELDEN 1)
3 2 : = 4 5
2)
−3 1 : = 5 2
3) 4)
−1 :3 = 2 −20,2 : 2 =
(cf. betekenis: schuld die gehalveerd wordt)
BIJ ONVOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Tweede reeks maken (eventueel met de regel bij de hand en de stappen overlopen). Welke oefeningen? -
uit leerboek
-
internet
-
zelf gemaakte oefeningen
met verbetersleutel werken en fouten bespreken met de leerkracht. BIJ VOLDOENDE NA CONTROLE DOOR DE LEERKRACHT Over naar basisoefeningen (punt b).
Deel I – 1.27
B
Basisoefeningen
VOORBEELDEN 1)
7 21 : = 81 36
2)
−5 −2 : = 6 10
3) Gemengde oefeningen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen door elkaar. 4) 3,69 : (−3) = C
Verdiepingsoefeningen
VOORBEELDEN 1)
−30 ..... 1 : = 72 −12 9
2) Na een strooptocht om kerstcadeaus te kopen sta ik € 204,45 in het rood op mijn bankrekening. Een derde van dit bedrag kan ik onmiddellijk storten. Wat is mijn nieuw saldo na deze storting? 3) Als we het lijnstuk [AB ] verdelen in 5 gelijke delen, wat zijn dan de coördinaatgetallen van elk deelpunt?
2.2.5 1
Machten waarvan het grondtal een (negatieve) rationaal getal is
VOORBEELDEN 3
2 2 2 2 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = −4 3
5
−4 −4 − 4 −4 −4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 3 3 ( −4) ⋅ ( −4) ⋅ ( −4) ⋅ ( −4) ⋅ ( −4) = 3⋅3⋅3⋅3⋅3 =
Deel I – 1.28
( −4)5 35 −45 = 35 45 = − 5 3
=
( 0,1)
6
=
Het is zinvol om een tijd alleen met de definitie van macht te werken (product van gelijke factoren) en het geheel uit te rekenen.
Regel Macht met een even exponent
-
Teken: positief teken Absolute waarde: het quotiënt van de gelijknamige machten van de absolute waarden van teller en noemer. Macht met een oneven exponent
-
Teken: negatief teken Absolute waarde: het quotiënt van de gelijknamige machten van de absolute waarden van teller en noemer. 2
OPMERKING
Men zal best een aantal oefeningen laten maken waarin de leerlingen heel attent moeten zijn op de plaats van de exponent, het teken, de haakjes. VOORBEELDEN 22 = 3
2 = 32 3
3 − = 4
3
−3 = 4
2 3 3
3 − = 4
2
= 3
3 = −4
( −3 ) 3 = 4
33 = −4
Deel I – 1.29
