INHOUDSTABEL
1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)............................... 3 2a. TEKENREGELS (fiche 2a) .................................................................................... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)................................................................. 6 2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c) .................... 7 2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN • (fiche 2d)................................................................................... 8 3. VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3) ....................................................................................................................................... 9 4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4)........................................ 10 5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5) ...................... 11 6a. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) ........................................................................................ 12 6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN............................................................... 13 7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7)....................................................................................... 14 8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8)....................................................... 15 9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9)............................................................. 16 10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) .................................... 17 11. SYMBOLENLIJST............................................................................................... 18
Fiche 1a
1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1) G= {
a a ∈ P en b ∈ P 0 ` b
A) BREUKEN VEREENVOUDIGEN Teller en noemer delen door hun grootste gemene deler. B) BREUKEN GELIJKNAMIG MAKEN 1° Breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen.(zie A) 2° Alle noemers gelijk stellen aan hun kleinste gemeen veelvoud. 3° Tellers aanpassen. C) BREUKEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 1° Alle breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen. (zie A) 2° Noemers gelijknamig maken.(zie B) 3° Tellers optellen / aftrekken . 4° Noemers behouden. 5° Resultaat zover mogelijk vereenvoudigen. a c ad + cb + = b d bd D) BREUKEN VERMENIGVULDIGEN 1° Alle breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen. (Zie A) 2° Breuken kruislings vereenvoudigen. 3° Tellers met elkaar vermenigvuldigen. 4° Noemers met elkaar vermenigvuldigen. a c ac ⋅ = b d bd E) BREUKEN DELEN DOOR ELKAAR Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk. (Zie D) a c a d : = ⋅ b d b c
© G.Guetens
3
Getallenleer in een notendop
Fiche 1b F) BREUKEN VERHEFFEN TOT EEN MACHT 1° Breuk zover mogelijk vereenvoudigen.(zie A) 2° Teller verheffen tot die macht. 3° Noemer verheffen tot die macht. n
an a = n b b
Opmerkingen 1° ELK GEHEEL GETAL kan geschreven worden onder de vorm van EEN BREUK, met als NOEMER 1. a=
a 1
2° NOOIT WERKEN MET NEGATIEVE NOEMERS. NOEMERS STEEDS POSITIEF MAKEN. a −a = −b b 3° Om het TEGENGESTELDE van een BREUK te nemen, neem je het TEGENGESTELDE van de TELLER OF TEGENGESTELDE van de NOEMER a a −a − = = −b b b 4° Om het OMGEKEERDE van een BREUK te nemen, TELLER EN NOEMER VAN PLAATS VERWISSELLEN. −1
b a = a b G) VOLGORDE VAN DE BEWERKINGEN BIJ DE BREUKEN 1° In een vorm zonder haakjes 1° De machtsverheffingen en worteltrekkingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 2° De vermenigvuldigingen en de delingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 3° De optellingen en de aftrekkingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 2° In een vorm met haakjes. Eerst de bewerkingen binnen de haakjes in de
© G.Guetens
4
Getallenleer in een notendop
Fiche 2a
2a. TEKENREGELS (fiche 2a)
SOM
Bewerking
Absolute waarden
Teken
zelfde tekens
Optellen met elkaar.
Behouden
verschillende tekens
Aftrekken van elkaar.
Grootste absolute waarde
Vermenigvuldigen met elkaar.
Positief
PRODUCT zelfde tekens
verschillende tekens
Vermenigvuldigen met elkaar.
Negatief
QUOTIËNT zelfde tekens
Delen door elkaar.
verschillende tekens
Delen door elkaar.
© G.Guetens
Positief Negatief
5
(+) . (+) = + (-) . (-) = + (+) . (-) = (-) . (+) = -
(+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = (-) : (+) = -
Getallenleer in een notendop
Fiche 2b
2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b) Tegengestelde van
GETAL
tegengesteld TEKEN nemen
SOM
tegengestelde nemen van
- (a) = - a
ALLE TERMEN
Het tegengestelde van een som is gelijk aan de som van de tegengestelden.
-(a+b)=-a-b
PRODUCT
tegengestelde nemen van EEN FACTOR
. Het tegengestelde van een product is gelijk aan het product van het tegengestelde van één factor met de andere factoren.
- (ab) = - ab = a(- b)
© G.Guetens
6
Getallenleer in een notendop
Fiche 2c
2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c) Omgekeerde van
RATIONAAL GETAL
TELLER en NOEMER van PLAATS VERWISSELEN −1
b a = a b
PRODUCT van de OMGEKEERDEN van ALLE FACTOREN
PRODUCT
(a .b ) −1 = a −1 . b −1
© G.Guetens
7
Getallenleer in een notendop
Fiche 2d
2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN G G (fiche 2d)
GETAL vermenigvuldigen met een SOM Som vermenigvuldigen met een GETAL
ELKE TERM SOM GETAL
vermenigvuldigen met dit
a . ( b + c ) = a.b + a.c ( b + c ) . a = a.b + a.c Som vermenigvuldigen met een SOM
ELKE TERM EERSTE SOM vermenigvuldigen met
ELKE TERM TWEEDE SOM ( a + b ) . ( c + d ) = a.c + a.d + b.c +b.d
© G.Guetens
8
Getallenleer in een notendop
Fiche 3
3.VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3)
A. Term van lid veranderen Tegengestelde van de term nemen. B. Factor van lid veranderen Omgekeerde van de factor nemen. C. Soorten vergelijkingen Vergelijking Echte vergelijking a∈G0, ∀ b,c∈G:ax+b = c
Aantal oplossingen één
Oplossingenverzameling
x=
c −b a
Valse vergelijking 0x = c c ≠ 0
geen
{ }= φ
Onbepaalde vergelijking 0x = 0
oneindig veel
G
D. Vergelijkingen oplossen Werkwijze 1°) Haakjes verdrijven (gebruik distributieve eigenschap van . t.o.v. +). 2°) Noemers verdrijven (Al de termen op gelijke noemers brengen - Al de tellers aanpassen). 3°) Al de termen die een onbekende bevatten in éénzelfde lid brengen. 4°) Al de termen die geen onbekende bevatten in het andere lid brengen. 5°) Beide leden zover mogelijk uitwerken. 6°) Factor bij de onbekende naar het andere lid brengen. 7°) Zover mogelijk uitwerken. 8°) Oplossingenverzameling bepalen. 9°) Soort vergelijking bepalen.
© G.Guetens
9
Getallenleer in een notendop
Fiche 4
4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4) Vraagstukken oplossen Werkwijze
1°) Keuze van de onbekende x is het gevraagde element. Een gevraagd element uit de opgave stel je voor door x. 2°) De vergelijking opstellen. De tekst van het vraagstuk zet je om in een vergelijking. 3°) De vergelijking oplossen. 4°) Antwoord. Geef het antwoord op de gestelde vraag. 5°) Proef. Toets de oplossing aan de werkelijkheid.
© G.Guetens
10
Getallenleer in een notendop
Fiche 5
5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5) Definitie Macht Regels
a n = a.a.a. ... .a (n − factoren a )
∀a ∈ G , ∀n ∈ | N \ {0,1}
Product verheffen tot een macht
Eke factor verheffen tot die macht.
(a .b )x = a x . b x
Breuk verheffen tot een macht
Teller verheffen tot die macht. Noemer verheffen tot die macht.
Macht verheffen tot een macht
Grondtal
ax a = bx b
Behouden.
Exponenten
x
(a ) = a x
y
x. y
Vermenigvuldigen.
Gelijksoortige machten: machten met zelfde grondtal Eigenschappen bij gelijksoortige machten
Bewerking Gelijksoortige machten vermenigvuldigen Gelijksoortige machten delen
Grondtal
Exponenten
Behouden
Optellen
a x . a y = a x+ y
Behouden
Aftrekken
a x : a y = a x− y
Gelijknamige machten: machten met zelfde exponent Eigenschappen bij gelijknamige machten
Bewerking Gelijknamige machten vermenigvuldigen Gelijknamige machten delen
Grondtallen
Exponent
Vermenigvuldigen Behouden
an ⋅ bn = ( a ⋅ b
Delen
a n : b n = ( a : b)
Behouden
)n n
Te onthouden
∀a ∈ G
a1 = a a =1
∀a ∈ G 0
1 a
∀a ∈ G 0
0
a −1 = a
© G.Guetens
−n
1 = a
n
∀a ∈ G 0 , ∀n ∈ | N
11
Getallenleer in een notendop
Fiche 6a
6a. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) EENTERM: Product van getallen en letters. GELIJKSOORTIGE EENTERMEN: Eentermen met hetzelfde lettergedeelte.
BEWERKING
COËFFICIËNTEN
LETTERGEDEELTE
SOM(verschil)
OPTELLEN
BEHOUDEN
PRODUCT
VERMENIGVULDIGEN
BEHOUDEN
(getallengedeelte)
(alleen gelijksoortige eentermen)
(product van alle letterfactoren)
en de EXPONENTEN gelijksoortige machten
OPTELLEN
© G.Guetens
12
Getallenleer in een notendop
Fiche 6b
6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN
BEWERKING
COËFFICIËNTEN
LETTERGEDEELTE
MACHTSVERHEFFING
VERHEFFEN TOT DIE MACHT
BEHOUDEN
QUOTIËNT
(getallengedeelte)
DELEN DOOR ELKAAR
(product van alle letterfactoren)
en de
EXPONENTEN VERMENIGVULDIGEN MET DIE MACHT BEHOUDEN
en de EXPONENTEN gelijksoortige machten
AFTREKKEN
© G.Guetens
13
Getallenleer in een notendop
Fiche 7
7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7) VEELTERM: Som van (ongelijksoortige) eentermen.
BEWERKING
WERKWIJZE Haakjes verdrijven
SOM
(verschil)
PRODUCT: EENTERM met VEELTERM (veelterm met eenterm)
PRODUCT:VEELTERM met VEELTERM
GELIJKSOORTIGE EENTERMEN HERLEIDEN (optellen). ELKE TERM VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET EENTERM (distributieve eigenschap . t.o.v. + toepassen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen).
ELKE TERM EERSTE VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET ELKE TERM TWEEDE VEELTERM (distributieve eigenschap . t.o.v. + toepassen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen).
QUOTIËNT:VEELTERM door EENTERM
© G.Guetens
ELKE TERM VEELTERM DELEN DOOR EENTERM.
14
Getallenleer in een notendop
Fiche 8
8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8) TOEGEVOEGDE TWEETERMEN toegevoegde tweetermen zijn: twee tweetermen die slechts van elkaar verschillen in het teken van één term. PRODUCT TOEGEVOEGDE TWEETERMEN Het product van toegevoegde tweetermen is gelijk aan: kwadraat gelijke term min kwadraat van tegengestelde term.
( a + b ) . ( a - b ) = a² - b ² KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan : een drieterm bestaande uit: het kwadraat van de eerste term het dubbelproduct van beide termen het kwadraat van de tweede term.
( a + b ) ² = a ² + 2ab + b²
© G.Guetens
15
Getallenleer in een notendop
Fiche 9
9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9) Ontbinden in factoren betekent een veelterm schrijven als een product. WERKWIJZE
1°) GEMEENSCHAPPELIJKE FACTOREN AFZONDEREN
Distributieve eigenschap toepassen. ( vóór de haakjes: de factoren die in elke term van de veelterm voorkomen d.w.z. de g.g.d. van de coëfficiënten alle gemeenschappelijke letters ,met hun kleinste exponent. tussen de haakjes: het quotiënt van de veelterm en de afgezonderde eenterm.)
a.b+a.c=a.(b+c) a . ( c + d) + b . ( c + d )= ( a + b ) . ( c + d ) 2°) TWEETERM: VERSCHIL VAN TWEE KWADRATEN Formule merkwaardig product toepassen. (Verschil van twee kwadraten is gelijk aan het product van toegevoegde tweetermen.)
a² - b ² = ( a + b ) . ( a - b ) 3°) DRIETERM: KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Formule merkwaardig product toepassen.
a² + 2ab + b² = ( a + b ) ² 4°) VIERTERM
Samennemen van termen met gemeenschappelijke factoren.
a.c + a.d + b.c + b.d = a.( c + d ) + b.( c + d ) =(a+b).(c+d)
© G.Guetens
16
Getallenleer in een notendop
Fiche 10
10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) 1°) VERHOUDING De verhouding van twee rationale getallen, waarbij het tweede getal veschillend is van nul, is het nauwkeurig quotiënt van deze getallen. ∀ a ∈G en ∀ b ∈G 0 is de verhouding van a tot b gelijk aan
a b
2°) EVENREDIGHEDEN Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen. ∀ a, c ∈G en ∀ b, d ∈G 0 is
a c = een evenredigheid b d
we lezen: a staat tot b zoals c staat tot d waarbij a en d de uitersten b en c de middelsten a en c de voorgaanden en b en d de volgenden zijn. Recht evenredige grootheden (R) Twee grootheden zijn recht evenredig als de verhouding van de waarden van de eerste grootheid gelijk is aan de verhouding van de waarden van de tweede grootheid. Omgekeerd evenredige grootheden (O.R.) Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als de verhouding van de waarden van de eerste grootheid gelijk is aan het omgekeerde van de verhouding van de waarden van de tweede grootheid. HOOFDEIGENSCHAP In een evenredigheid is het product van de uitersten gelijk aan het product van de middelsten. ∀ a, c ∈Gen ∀ b, d ∈G 0 :
© G.Guetens
17
a c = ⇔ ad = bc b d
Getallenleer in een notendop
Symbolenlijst
11. SYMBOLENLIJST
Betekenis
Symbool B
Verzameling van al de natuurlijke getallen
B0
Verzameling van al de natuurlijke getallen uitgezonderd nul
P
Verzameling van al de gehele getallen
P0
Verzameling van al de gehele getallen uitgezonderd nul
P
Verzameling van al de positieve gehele getallen
P
Verzameling van al de negatieve gehele getallen
P 0+
Verzameling van al de positieve gehele getallen uitgezonderd nul
P 0−
Verzameling van al de negatieve gehele getallen uitgezonderd nul
G
Verzameling van al de rationale getallen
G0
Verzameling van al de rationale getallen uitgezonderd nul
G
Verzameling van al de positieve rationale getallen
G
© G.Guetens
Verzameling van al de negatieve rationale getallen
18
Getallenleer in een notendop
Symbolenlijst
G 0+
Verzameling van al de positieve rationale getallen uitgezonderd nul
G 0−
Verzameling van al de negatieve rationale getallen uitgezonderd nul
| :
waarvoor geldt
...∈...
… is element van …
...∉...
… is geen element van …
k.g.v.
kleinste gemeen veelvoud
g.g.d.
grootste gemene deler
- (a)
tegengestelde van a
a-b
a min b
-a
negatief toestandsteken
a-1
omgekeerde van a
∀
voor alle
…=…
… is gelijk aan …
… ≠…
… is niet gelijk aan…
φ …\…
© G.Guetens
fie: de lege verzameling … min …
19
Getallenleer in een notendop
