De Waarde van Toekomstige Kasstromen De kosten van onderpandminimalisering Jeroen Kerkhof, VAR Strategies BVBA
Introductie Voor de financiële crisis hadden financiële ingenieurs op basis van een aantal redelijke assumpties een wiskundig zeer geavanceerd framework opgebouwd om de wereld van financiële instrumenten in kaart te brengen (zie bijvoorbeeld werken als Hull[2008], Shreve[2004] en vele andere referentieboeken). Sinds de financiële crisis zijn een aantal van deze voorheen redelijke assumpties zeer discutabel geworden en zijn een aantal afgeleide theorieen en modellen niet meer toepasbaar of beduidend gecompliceerder geworden. In veel gevallen moeten we helemaal terug naar de basis om te begrijpen waarom deze modellen niet meer toepasbaar zijn. Vooral in de wereld van gestructureerde hypotheken van lage kwaliteit en gestructureerde kredietproducten zijn veel modellen door de mand gevallen. De financiële crisis heeft echter ook een substantiele doch minder dramatische invloed gehad op rijpere markten zoals de rente-swap markt. Deze laatste speelt een fundamentele rol bij het waarderen en analyseren van nominale verplichtingen in de Nederlandse pensioen- en verzekeringsindustrie. In dit artikel ga ik in op het meest fundamentele waarderingsvraagstuk binnen de financiële wiskunde en de financiële praktijk: Het bepalen van de huidige waarde van een nominale kasstroom in de toekomst. Uiteraard is dit vraagstuk al duizenden malen uitgebreid beschreven in financiële cursussen en standaardwerken op het gebied van de financiële economie (zie, naargelang uw voorkeur voor mathematische diepgang, boeken zoals Hull[2008], Shreve[2004], Delbaen – Schachermayer[2006] of een van de vele andere werken op dit gebied.). In het kort komt het er op neer dat als er een risico-vrije rentevoet bestaat men deze rentevoet kan gebruiken om de verdisconteringsfactor te berekenen en daarmee de huidige waarde van een risicovrije kasstroom in de toekomst bepalen. Uiteraard is er niets mis met deze redenering. Het probleem is echter dat in de praktijk geen risicovrije kasstromen en geen risicovrije rentevoet bestaan. Ook dit behoeft niet direct een probleem te zijn en in de meerderheid van de standaardwerken wordt gemeld dat in de praktijk Libor / Euribor een goede benadering zijn voor de risicovrije rentevoet.1 Het is deze benadering die sinds de financiële crisis op zijn zachtst gezegd enigszins onder druk is komen te staan. De impact hiervan op over-the-counter derivaten zal ik in dit artikel toelichten.
OTC derivaten en CSA’s Eind 2008 was het volume van derivaten die over-the-counter (OTC) verhandeld worden om en nabij de $592.0 trillion (zie bijv. BIS[2009]) aan uitstaande hoofdsommen. Aangezien deze markt bestaat uit bilaterale contracten waarvan de kasstromen vaak pas over aanzienbare tijd worden uitgekeerd is tegenpartijrisico een potentieel probleem. Om het tegenpartijrisico in te dammen gaan partijen vaak een bilateraal kredietverminderingscontract aan, de zogeheten Credit-Support-Annex 1
In dit artikel focus ik op de Europese markt en zal ik Euribor verder gebruiken en Eonia voor de overnight index. Uiteraard kunnen dezelfde argumenten gebruikt worden in andere markten.
(vaak afgekort als CSA).2 De CSA specificeert de rechten en plichten van beide partijen wanneer er sprake is van een tegoed voor één der beide partijen. In de meeste CSA’s betekent een tegoed (in de toekomst) voor de ene partij dat de andere partij de contante waarde hiervan als onderpand moet betalen. Op deze manier is het tegenpartijrisico aanzienlijk verminderd. CSA’s zijn over het algemeen behoorlijk complexe documenten, waarin voorwaarden staan met betrekking tot de betaling van het onderpand zoals 1) in welke valuta er betaald kan worden, 2) welke instrumenten er gebruikt mogen worden (cash, obligaties, etc.) 3) wat de vergoeding is aan de betalende partij op het onderpand enzovoort. In dit artikel zal ik mij beperken tot een eenvoudige CSA waar men louter cash als onderpand kan inbrengen in de valuta van de onderliggende transactie. In het bijzonder zal ik de invloed van de te betalen interest op het cash onderpand toelichten.
Lening Stel een pensioenfonds leent €100mln aan een andere financiële instelling die over 1 jaar terug moet worden betaald met 12maands-Euribor rente. Om te concentreren op de invloed van de CSA veronderstel ik dat het tegenpartijrisico verwaarloosbaar is. Laten we daarom het Abu Dhabi Sovereign Wealth Fund (A) en het Noorse Petroleumpensioenfonds (N) als tegenpartijen nemen.3 Momenteel hebben A en N een bijzonder eenvoudige CSA afgesloten tegen 12 maands-Euribor rente waarbij de posities worden afgedekt met onderpand die op jaarlijkse basis wordt vereffend.4
A
L: €100m
N
O: €100m
Vandaag:
A 1) Over 1 jaar: A 2) Dagelijks:
L: €100m×(1+R12m(0))
N
O: €100m×(1+R12m(0))
(1j) L: €100m×(1+R12m(0))
N
(1d) O: O(ti)×(1+R1d(ti))
Figuur 1: Kasstromen van een lening met onderpand. L geeft leningkasstromen weer en O geeft onderpandkasstromen weer.
2
Zie www.isda.org voor een standaard CSA en ISDA[2005]. Nog niet zolang geleden zou men hier zonder problemen de US Treasury en GM als voorbeeld gebruikt hebben. 4 In de praktijk is het gebruikelijker om 1m-Euribor CSA’s te hebben, maar ik heb een 12m-Euribor contract gebruikt om de illustratie te vereenvoudigen. 3
Als partij N €100mln heeft geleend van partij A, hoeveel onderpand moet N dan storten bij A? Over een jaar zal N de €100mln met rente, 12 maands-Euribor, moeten terug betalen. De waarde van de lening over een jaar is dan gegeven
L(1) = 100 × (1 + R12 m (0)), waar R12m(0) de 12 maands-Euribor rente vandaag (tijdstip 0) weergeeft. De CSA stipuleert dat de netto contante waarde van de lening vandaag als onderpand dient te worden overgemaakt. De CSA bepaalt ook dat de rente op het onderpand, de 12 maands-Euribor rente, R12m(0), is. Dit geeft dat de waarde van het onderpand vandaag gelijk is aan L(1) O12 m (0) = ≡ L(1) × D12 m (0,1) = 100 1 + R12 m (0) waar D12m(0,1) de verdisconteringsfactor voor 1 jaar weergeeft met 12 maandsEuribor. Kortom, de netto-kasstromen vandaag en over één jaar zijn 0 in het geval van een 12 maands-Euribor CSA. Laten we nu de CSA veranderen van een jaarlijkse 12 maands-Euribor CSA naar een 1 daags-Eonia5 CSA. Heeft de aanpassing van de CSA gevolgen voor de kasstromen? Zo ja, welke? N leent nog altijd €100mln met 12 maands-Euribor rente van A. De leningkasstromen zijn daarom identiek. Voor het onderpand is dit echter niet het geval. In tegenstelling tot 1 jaarlijkse kastroom zullen er nu dagelijkse kastromen zijn. Verder zal de contante waarde van de kasstromen in het algemeen verschillen van de 12 maandsEuribor situatie. Om deze contante waarde te bepalen, laten we eerst eens kijken wat de waarde van de lening zou zijn op de voorlaatste handelsdag (of 1 dag voor de lening moet worden terugbetaald). In dit geval hebben we na 261 handelsdagen (op t261) 6
O1d (t261 ) × (1 + R1d (t261 )) = L(1) O1d (t261 ) = 100 ×
1 + R12m (0) 1 + R1d (t261 )
waarbij R1d(t) de 1 daags-Eonia rente op tijdstip t weergeeft. Door middel van iteratie vinden we dat vandaag de waarde gelijk is aan 261
O1d (0) = L(1) × ∏ i =0
1 1 + F1d (0; ti )
261
= 100 × (1 + R12 m (0)) × ∏ i =0
1 1 + F1d (0; ti )
≡ D1d (0,1) × L(1) ≥ 100 waar F1d(t;ti) de 1 daags-forward Eonia rente op tijdstip t voor [ti, ti+1] weergeeft en D1d(0,1) de verdisconteringsfactor voor 1 jaar weergeeft met 1 daags-Eonia rente. Tenzij Eonia en Euribor risicovrije rentes zijn zal O(0) gelijk zijn aan 100 (zie Appendix), maar normaliter zal O(0) groter zijn dan 100. De reden is de rentes gebaseerd zijn op quotes van niet-risicovrije banken. De vergoeding die verlangt wordt voor het lopen van het kredietrisico op die banken neemt toe naarmate de looptijd langer is. Daarom zien we in de markt van de zogenaamde tenor basisswaps 5 6
Euro OverNight Index Average. Ik veronderstel 262 handelsdagen per jaar.
positieve spreads op de kortst lopende rente versus een langer lopende rente (bijv. 10jaarsswap met 3M Libor + positieve spread versus 6M Libor). Dit leidt in bovenstaand voorbeeld tot de bizarre situatie dat de partij die €100mln leent meer dan €100mln aan onderpand moet storten. Contante waarden berekenen met Euribor rentes was jarenlang (en voor sommige partijen nog altijd) de marktstandaard (ondanks vele Eonia-gebaseerde CSA’s). Aangezien de spread tussen Euribor and Eonia tot Augustus 2007 zeer gering was, gaven de verschillende waarderingsmethodes zeer gelijkaardige resultaten. Sinds die tijd is de spread economisch significant geworden en erg volatiel geweest (zie Figuur 2). 250
3M
6M
200 12M
150
100
50
0 10/10/2005
10/04/2006
10/10/2006
10/04/2007
10/10/2007
10/04/2008
10/10/2008
10/04/2009
10/10/2009
Figuur 2: Historische spread tussen Euribor en Eonia-swap rente voor 3M, 6M en 12M.
Op 9 November 2009 zou het verschil tussen de waardering van het contract met Euribor versus Eonia €494,532 (ong. 50 basispunten van de hoofdsom) zijn: O1d (0) − O12 m (0) = (D1d (0,1) − D1m (0,1) ) × 100m = (0.99291 − 0.987965) × 100m = 494,532 In het recente verleden zijn de verschillen echter veel groter geweest als valt af te leiden uit Figuur 3. 2.5 "Eonia - Euribor P&L"
million
2.0
1.5
1.0
0.5
10/10/05 10/04/06 10/10/06 10/04/07 10/10/07 10/04/08 10/10/08 10/04/09 10/10/09
Figuur 3: Waardeverschil tussen 100m verdisconteerd tegen Eonia vs Euribor 12M.
Rente-Swaps Het bovenstaande voorbeeld is uiteraard erg artificieel, maar verschilt in principe weinig van een rente-swap die ver in of out-of-the money is waardoor de ene partij een grote som onderpand van de ander krijgt. Stel dat A en N een renteswap hadden afgesloten die momenteel €100mln in-the-money is voor A uitgaande van een verdiscontering met 12 maands-Euribor. Zoals in het geval van de bovenstaande lening zal N onderpand moeten storten. Afhankelijk van de CSA zal de waarde van dat onderpand fluctueren. In het geval van een jaarlijkse 12 maands-Euribor CSA zal dat exact €100mln zijn. In het geval van een dagelijkse 1 daags-Eonia CSA zal dat meer dan €100mln zijn.
Swaps herstructurering Zoals reeds een aantal keer vermeld, is het cruciaal om bij het waarderen van uitstaand onderpand de rente te gebruiken die gespecificeerd is in de CSA. Marktpartijen die zich te weinig bewust zijn van de impact hiervan op de waardering kunnen zich blootstellen aan, voor hen, zeer ongunstige transacties. Een populaire strategie is de volgende: Stel een partij X heeft een rente-swap die sterk in-the-money is en daar momenteel een onderpand voor heeft ontvangen. Theoretisch gezien, dwz volgens de risicovrije theorie in de tekstboeken, is partij X indifferent tussen 1) het aanhouden van de oorspronkelijke swap of 2) de oude swap ontbinden, de winst uitgekeerd krijgen en een nieuwe swap at-market aangaan. Optie 2) heeft het voordeel dat er minder onderpand uitstaat. Dit argument geldt uiteraard enkel en alleen als het onderpand correct gewaardeerd is. Als partij X zijn onderpand nog aan Euribor waardeerde terwijl de CSA Eonia specificeerde dan is strategie 2) voor deze partij ongunstig en kan een geïnformeerde partij profiteren van het verschil tussen verdisconteren aan Euribor en Eonia. Op het oog lijkt dit een gering bedrag, maar als u de hoofdsommen van pensioenfondsen in rente-swaps meeneemt dan kan het gaan om serieuze bedragen. Laten we een voorbeeld nemen van een 30-jaars swap (hoofdsom van 1 miljard) die op 9 November 2007 is afgesloten tegen een dan geldende markt rente van 4.72%. Op 9 November 2009 is de 28-jaars swap rate 4.05% waardoor de ontvanger van de vaste rente een winst heeft geboekt van 67 basispunten per jaar voor de komende 28 jaar. De contante waarde hiervan is ong. 109,2 miljoen als de PV01 op basis Euribor wordt berekend. [S 30 (9 / 11 / 07) − S 28 (9 / 11 / 09)]× PV 01Euribor = 67bp × 16.55 = 109,2m Aangezien de markt ongeveer 23bp spread vraagt voor een 30-jaars Euribor-3M vs. Eonia swap zal de daadwerkelijke PV01 beduidend hoger liggen waardoor de werkelijke contante waarde ongeveer 3 mln hoger ligt.7
[S 30 (9 / 11 / 07) − S 28 (9 / 11 / 09)]× PV 01Eonia
= 67bp × 16.99 = 112,2m
In dit geval kost het onderpand sluiten 30bp van de hoofdsom. Uiteraard zal dat lager zijn in geval de swap minder in-the-money is, maar het gekozen voorbeeld is verre 7
Ik voor het gemak een gelijke swap rate genomen onafhankelijke van de discount aanname. Deze aanname geldt enkel in het geval van een vlakke termijn structuur exact. Anders is het slechts een redelijke benadering. Ons conclusie zijn echter niet afhankelijk van deze aanname.
van extreem gezien de marktontwikkeling de afgelopen jaren (de max – min van de 30jaars swaprente bedraagt 239 basispunten over de afgelopen 2 jaar wat beduidend meer is dan de 67bp die ik genomen heb voor het voorbeeld). Wees dus op uw hoede als men u een op het eerste zicht eenvoudige transactie voorstelt om het uitstaande onderpand te verminderen.
Conclusies In de sterk vereenvoudigde bovenstaande voorbeelden heb ik aangetoond dat de impact van de gespecificeerde rente op cash onderpand een substantiele impact kan hebben op de waardering van kasstromen van afgeleide producten. Daadwerkelijke CSA's zijn echter veel complexer. Naast cash in één valuta hebben tegenpartijen vaak de optie 1) om cash in verschillende valuta in te brengen of 2) vervangende instrumenten zoals obligaties als onderpand in te brengen, etc. Alle condities in een CSA kunnen van invloed zijn op de waardering van de derivaten onder de desbetreffende CSA.
Appendix In het geval van een daadwerkelijke risicovrije rentevoet geldt 261 261 1 1 O1d (0) = L(1) × ∏ = L(1) × ∏ 1 D(0, ti ) i = 0 1 + δ i F1d (0; ti ) i =0 − 1 1 + δ i × δ i D(0, ti +1 ) 261 D(0, ti +1 ) 1 = L(1) × ∏ = L(1) × D(0,1) = L(1) × 1 D(0,0) i = 0 D (0, ti ) − 1 1 + ∆ 0 × ∆ 0 D(0,1) = L(1) ×
1 = O12 m (0) 1 + ∆ 0 × F12 m (0)
en zien we dat het onderpand gelijk is voor 1 daags-Eonia en 12 maands-Euribor.
Referenties BIS[2009], International banking and financial market developments, BIS Quarterly Review September 2009. Delbaen, F en W. Schayermayer [2006], “The Mathematics of Arbitrage”, Springer. Hull, J. [2008] “Options, Futures, and Other Derivatives”, 7th ed. Prentice Hall. ISDA[2005] ,“2005 ISDA Collateral Guidelines”, ISDA. Shreve, S. [2004], “Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models”, Springer.
