Komma getallen. Toen je net op school leerde rekenen, wist je niet beter dan dat getallen ‘heel’ waren. Dus een taart was een taart, een appel een appel en een peer een peer. Langzaam maar zeker werd dit eten gedeeld in halve peren, stukken taart en appelmoes. Eerst konden we iets in twee stukken delen en later in allerlei stukken. Nu weten we dat getallen ‘gebroken’ kunnen worden. We spreken dan van breuken. Dus als we een taart in 8 stukken willen delen, dan heeft ieder 1/8 (zeg: een achtste) deel. Dat is dus hetzelfde als “1” (taart) delen door “8” (mensen). Er is nog een andere manier om gebroken getallen aan te geven. Je kunt een gedeelte van het getal achter de komma plaatsen. Bijvoorbeeld 0,5 betekent de helft, 0,25 een kwart en 0,1 een tiende deel. Er is wel een verschil met breuken. Bij breuken geeft de noemer (onder de streep) aan in hoeveel we de teller (boven de streep) gaan verdelen. Dat mag elk getal zijn. Je mag dus delen door 4, of 8 of zelfs 123. Bij Komma getallen werken we altijd in ‘tiende’, ‘honderdste’, ‘duizendste’ enzovoort. Dus bij breuken zou de noemer in dit geval /10, /100 of /1000 zijn. Een komma getal is dus een speciale breuk. Kijk maar eens: 0,5 betekent eigenlijk 5/10. Als we teller een noemer door 5 delen, zien we: 1/2 ! 0,5 betekent dus een half. Wat betekent dan 0,05 ? Omdat we nu twee cijfers achter de komma hebben, spreken we niet van ‘tiende’ maar van ‘honderdste’. 0,05 betekent dus 5/100 oftewel 1/20 deel. Spreek de volgende getallen eens uit: 0,3
0,03 1,5
1,05 3,75 3,85 14,60 20,23 105,85
Weet je nu ook al hoe je 0,003 of zelfs 0,0003 zou moeten uitspreken ? De waarde van een plaats in een getal. Als je het getal “5” ziet, dan zeg je niet meteen dat dat eigenlijk 1 keer 5 betekent. Toch betekent dat het wel. Je hebt namelijk alleen de 5. Wat zou dan 25 betekenen ? 25 is eigenlijk 2 keer 10 plus 1 keer 5 = 20 + 5 = 25. De waarde van de ‘2’ is dus 2x10 (=20). Wat is de waarde van de “4” in 425 ? Wat is de waarde van “3” in 3425 ? We kunnen 3425 ook schrijven als 3425,00 of zelfs 3425,00000000. (snap je dat?) Wat is nu de waarde van de eerste “0”, dus direct naast de komma? Nul ? Niet helemaal. De waarde van de plaats naast de komma is keer 1/10 of gedeeld door 10. Dus de ‘0’ is eigenlijk ‘0 x 1/10’ of ‘0/10’. De waarde van de tweede ‘0’ is ‘0’ keer 1/100 of gedeeld door 100. Kijk maar naar onderstaand plaatje:
X 1
|
X 10
|
X 100
|
X 1000
|
3425,678
|
X 0,001 (of gedeeld door 1000)
|
X 0,01 (of gedeeld door 100)
|
X 0,1 (of gedeeld door 10)
Reken uit :
3x1000 + 4x100 + 2 x 10 + 1x5 + 6/10 + 7/100 + 8/1000 ( )
Wat is de nu waarde van de ‘2’ in 0,25 ? Juist het is 2/10 (zeg twee-‐tiende), dus 2 gedeeld door 10 of 2 keer een-‐tiende. De waarde van de ‘5’ hier is dus 5/100 (zeg: vijf honderdste), dus 5 keer een honderdste of 5 gedeeld door honderd. Wat is nu de waarde van de 3 in 0,253 ? Verschuiven van de komma. Hoe kunnen we van 25 nu 2,5 maken ? ja, delen door 10 natuurlijk. De komma schuift dus van achter de 25 (25 = 25,0 = 25,00 toch ?) naar links. Zo kunnen we van 25 ook 250 maken door ‘keer 10’ te doen. De komma schuift nu naar rechts. (25,0 x 10 = 250,0). Let op, er komt dus een ‘nul’ bij ! Leer uit je hoofd: Bij delen door 10 schuift de komma een plaats naar links. Bij keer 10 naar rechts. Hoeveel plaatsen zou de komma nu verschuiven bij x 100 of bij x 1000. Is dat ook zo bij gedeeld door 100 en gedeeld door 1000 ?
Dat is makkelijk. Als we de komma dus weg willen hebben in een getal dan kan dat ! Stel dat we 25 en 35 willen optellen. Dat is dan 25+35 = 60. Makkie. Maar hoeveel is dan 2,5 + 3,5 ? Als er geen komma’s staan is het makkelijk. Optellen en aftrekken van komma getallen. Als we alles keer 10 doen, dan is het makkelijk, dan staat er 25 + 35 (toch ?) en dan is het antwoord 60. Als we dat antwoord delen door 10, zou dat dan de uitkomst zijn ? Dus 6,0 ? Jawel, het is zo makkelijk. Maar je moet wel onthouden dat als je eerst keer 10 of keer 100 doet om de komma weg te werken, dat je later bij het antwoord weer moet delen door 10 of door 100 !!! Voorbeeld: 0,24 + 0,4 = (keer 10) 2,4 + 4 = (keer 10) = 24 + 40 = 64 (we hadden ook meteen x 100 kunnen doen, toch ? Want X 10X10 = X 100 ) We moeten nu du delen door 100 (of twee keer door 10), dus 64 / 100 = 0,64. 0,24 + 0,4 = 0,64 dus. Probeer het eens bij 0,25 + 0,45 =
0,22 + 0,3 =
1,40 + 2,3 =
12,234 + 5,7 =
Je kunt de komma dus ‘wegdenken’ als je hem maar terugzet op de zelfde aantal cijfers van achter gerekend als dat ie stond. Dus als je met ‘2 cijfers achter de komma’ rekent, zet je bij de 64 de komma weer twee plaatsen naar links en krijg je 0,64 (omdat bij de 0,24 en 0,40 ook twee plaatsen achterde komma stonden). Dit is een manier om te rekenen met komma getallen. Eigenlijk niet, want je zorgt ervoor dat de komma weg is. Maar moet ie eigenlijk weg ? Nee. Als je begrijpt dat een komma getal eigenlijk hetzelfde werkt als een gewoon getal, dan kun je er ook gewoon mee rekenen. Dus : 0,24 + 0,5 = 0,24 + 0,50 = (we beginnen achteraan en met een extra ‘nul’) 24 + 50 = 74, dus 0,74. Maar wat als cijfers achter de komma meer dan ‘1’ zijn ? Bij 0,80 +0,35 = doe 35 + 80 = 125, dus de ‘1’ moet naar de andere kant van de komma, het is de ‘rest’ die je bij een gewone optelsom ook doorschuift. Dus : 0,80 + 0,35 = 1,25
maar ook:
1,80 + 0,35 = 2,25
2,80 + 3,35 = 6,25 en 12,80 + 3,35 = 16,25
Zie je ?
Zet de getallen maar eens onder elkaar: 180
1,80
280
2,80
1280
12,80
35 +
0,35 +
335 +
3,35 +
335 +
3,35 +
..........
...........
..........
..........
...........
..........
Moeilijk ? Dacht het niet. Komma getallen zijn gewoon getallen die je kunt optellen en aftrekken zoals andere getallen. Je mag de komma weglaten als je hem ook maar weer terugzet (dus x 10 of x 100 en later weer /10 of /100) Onthoud dat je altijd werkt in twee cijfers achter de komma. (behalve als de som er meer aangeeft natuurlijk). Zet desnoods een extra nul neer. Dan kun je bijna geen fouten maken. Oefening. Maak de volgende sommen: 1,2 + 0,34 =
3,45 + 1,23 =
2,3 + 12,4 =
2,34 – 1,76 =
15,3 – 8,34=
5,2 – 2,30 = Vermenigvuldigen en delen van kommagetallen. Komma getallen zijn dus gewone getallen met een komma erin. Zou het vermenigvuldigen (keer) van komma getallen dan net zo gaan als bij gewone getallen ? jawel. Kijk maar: 2 x 12 = 24
en
2 x 0,12 = 0,24
3 x 123 = 369
en
3 x 1,23 = 3,69
net als bij optellen en aftrekken kun je bij delen en vermenigvuldigen ‘gewoon’ rekenen als bij gewone getallen. Zorg dat je de komma altijd weer plaatst waar ie hoort (dus zodat er bijvoorbeeld 2 cijfers achter de komma staan. ) Probeer nu: 0,125 : 5 =
2,10 :7 =
2,5 X 3,6 =
1,70 X 3,62 =
Speciale getallen om mee te rekenen. Als je snel wilt kunnen rekenen, dan is het handig om ‘inzicht’ te hebben. Dat betekent dat je snel kunt zien hoe je een som makkelijker kunt maken. Bij breuken gebruiken we de breukenspiegel om een sommetje makkelijker te maken. Bij komma getallen (maar eigenlijk overal) kunnen we gebruik maken van een paar handige ‘weetjes’ over speciale getallen. Deze getallen zijn: (leer uit je hoofd). 2
4
5
10
20
25
50
Wat is er zo speciaal aan deze getallen ? Wat is de overeenkomst ? Denk er eens even over na voor je verder leest. . . . . . . . . . Voor al deze getallen geldt dat je er heel snel en makkelijk 10 of 100 mee kunt maken. Of anders gezegd, het zijn ‘delers’ van 100. Kijk maar: 5 x 2
25 x 4
2 x 5 10x10
2 x 50
4 x 25
5 x 20
Zo heb je ook delers van 1000: 50 x 20
20 x 50
10 x 100
8 x 125
4 x 250
2 x 500
Waarom is dat zo speciaal ? Komma getallen zijn eigenlijk breuken waarbij de noemer 10 of 100 is (of nog groter). Weet je nog ? Als we dus willen rekenen met een 10 -‐ getal of een 100 – getal, dan is het handig de speciale getallen te herkennen. Een voorbeeld: 25 x 16 = We herkennen ‘25’ als speciaal getal. We kunnen van 25 makkelijk 100 maken, door ‘keer 4’ te doen. Dat mag natuurlijk alleen als we dan 16 delen door 4 (snap je dat?) . In feite splitsen we dan 16 in (4 x 4) omdat we de ‘4’ nodig hebben om van 25 weer 100 te maken. Dus: 25 x 16 = 25 x (4x4) = (25 x 4) x 4 = 100 x 4 = 400. Andersom werkt het ook: 300 :20 = We herkennen ‘20’ als speciaal getal. We kunnen van ‘20’ 100 maken door ‘keer 5’ te doen. Dan moet natuurlijk 300 ook ‘keer 5’ 1500:100 = 15, makkie toch ? Probeer nu zelf: 18 X 50 =
15 X 20 =
32 X 0,5 =
12 X 0,25 =
200 : 25 =
120:10 =
400:20 =
150 : 5 =
Omzetten van breuken in een kommagetal. Kijk nu eens naar de volgende som (let op de speciale getallen). 1/5 + 1/2 = 1/5 kan gemakkelijk naar ‘tiende’ worden omgezet door zowel de teller als de noemer keer 2 te doen. Je krijgt dan 2/10 oftewel 0,2. Bij 1/2 moet je teller en noemer keer 5 doen en je krijgt dan 5/10 oftewel 0,5. Zie je dat we een breuk zo kunnen omzetten in een kommagetal ? Dus: (1/5 X 2/2 ) + (1/2 X 5/5) = 2/10 + 5/10 = 0,2 + 0,5 = 0,7
(zeg zeven tiende)
Probeer nu zelf de volgende breuken om te zetten naar een komma getal: 1/25
3/4
13/20
33/50
6/125
Begrijp je dat je hier weer geholpen wordt door de speciale getallen, waar je makkelijk 10, 100, 1000 enz. Kunt maken ? Maar als de noemer niet zo mooi is, kan het dan ook ? Ja, je gaat dan eigenlijk gewoon een staartdeling doen. Omdat het getal dat je deelt, kleiner is dan het getal waar je door deelt, begin je dan met “0,” want het gaat de ‘0’ keer om te beginnen. Als je de “0,” hebt neergezet, ga je door als een normale staartdelng. Probeer eens om te oefenen met 5/10een staartdeling. De uitkomst moet dan 0,5 zijn. Of met 7/21. Dit wordt 0,33 (en een rest). Als je dit moeilijk vindt kun je de komma ook weglaten, de startdeling uitvoeren en dan weer neerzetten (eerst keer 10 of keer 100 en bij het antwoord omgekeerd). Omzetten van een kommagetal in een breuk. Andersom is eigenlijk nog makkelijker. Door gewoon het komma-‐getal uit te spreken weten we al welke breuk we moeten schrijven. Kijk maar: 0,4 spreken we uit als ‘vier-‐tiende’ en is dus als breuk 4/10. Probeer zelf maar eens
0,08
0,23
1,34
2,07
Gemengde sommetjes met komma getallen en breuken. Bij de volgende sommetjes moet je zelf beslissen wat je omzet en hoe je het uitrekent. Zet het antwoord zoveel mogelijk in zowel een breuk als in een komma getal: 1/2 + 1/5 + 0,2 = 0,3 + 3/4 -‐ 1/8 = 0,08 + 0,5 + 5/20 = 1,12 + 3/50 – 1/10 = 6/4 + 0,25 + 3/10 =
