De toestandsvergelijking van neutronenmaterie via de viriaal expansie

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Subatomaire en Stralingsfysica Voorzitter: Prof. Dr. Dirk Ryckbosch

De toestandsvergelijking van neutronenmaterie via de viriaal expansie door

Brecht Verstichel

Promotor: prof. dr. Jan Ryckebusch Begeleider: ir. Klaas Vantournhout

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad Licentiaat in de Natuurkunde

Academiejaar 2006-2007

Inhoudsopgave 1 Compacte Stellaire Objecten

4

1.1

Ontstaan van compacte stellaire objecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Structuur van een neutronenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 De kwantummechanica van Gaussische golfpakketten

13

2.1

Een gaussisch golfpakket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Onderscheidbare deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.1

Verwachtingswaarde van de afstand

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.2

Kinetische energie voor onderscheidbare gaussische golfpakketten . . . . .

17

2.2.3

Interactie tussen onderscheidbare gaussische golfpakketten . . . . . . . . .

17

Fermionische deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.1

Berekening van matrixelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.2


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.3

De kinetische energie van fermionische golfpakketten . . . . . . . . . . . .

25

2.3.4

Interactie tussen fermionische golfpakketten . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Een realistische nucleon-nucleon interactie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3

2.4

3 Partitiefuncties in de statistische fysica

36

3.1

Microcanonisch ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2

Canonisch ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3

Groot-Canonisch ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4

Onderscheidbaarheid en Boltzmannstatistiek

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.5

De partitiefunctie in de kwantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.6

Overcompleetheid van gaussische golfpakketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.7

De partitiefunctie met antisymmetrische golfpakketten

. . . . . . . . . . . . . .

4 Van klassieke gassen naar kwantumvloeistoffen 4.1

44 46

Toestandsvergelijkingen voor ideale gassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.1.1

Klassieke ideale gassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.1.2

Ideale Fermi gassen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.1.3

De toestandsvergelijking van een neutronenster in een eenvoudig model .

51

2

4.2

4.3

4.4

4.5

Toestandsvergelijkingen voor reële gassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2.1

Toestandsvergelijking voor reële gassen via de viriaalontwikkeling . . . . .

57

4.2.2

B2 voor reële kwantumgassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.2.3

Neutronenmaterie als een reëel gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2.4

De viriaalontwikkeling met gaussische golfpakketten . . . . . . . . . . . .

68

Voorbeelden van viriaalcoëfficiënten berekend met gaussische golfpakketten . . .

70

4.3.1

B2 voor niet interagerende fermionische golfpakketten . . . . . . . . . . .

70

4.3.2

B2 voor de Malfliet-Tjon potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Toestandsvergelijkingen voor vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.4.1

De correlatiefunctie van een klassieke vloeistof . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.4.2

De drukvergelijking voor klassieke vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.4.3

De Kirkwood vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.4.4

De veralgemeende drukvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Leveren fermionische golfpakketten additiviteit in de energie? . . . . . . . . . . .

83

A Gaussische Integralen

88

A.1 Oplossing van In . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

A.2 Belangrijke oplossing van In . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

B Berekening van matrixelementen in FMD B.1 De norm hΨ|Ψi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 De eendeeltjes-operator

B [1]

B.3 De twee-deeltjesoperator

B [2]

90 90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Hoofdstuk 1

Compacte Stellaire Objecten Het heelal is zo onvoorstelbaar groot dat alles wat ook maar fysisch mogelijk is er wel ergens in zal voorkomen. De meest exotische materievormen, die hier op aarde nooit zouden kunnen nagebootst worden, worden daar gevormd. Zo kunnen we onze theorieën toetsen in de meest extreme omstandigheden door simpelweg naar boven te kijken.

1.1

Ontstaan van compacte stellaire objecten

Sterren vinden hun oorsprong in grote moleculaire wolken van interstellair gas. In deze wolken, die voornamelijk bestaan uit moleculair waterstof, wisselen de gebieden met hoge en lage dichtheid elkaar af. De stabiliteit van deze wolken met hun fluctuaties wordt geregeerd door het samenspel tussen gas en gravitatiedruk. Echter deze kunnen door verscheidene omgevingsfactoren (stellaire winden, UV-licht afkomstig van pasgeboren sterren,. . . ) onstabiel worden en dus samengetrokken worden door de zwaartekracht. De kritische massa waarbij dit optreedt wordt de Jeans massa genoemd [13]. De wolk zal dan contraheren en haar gravitationele potentiële energie omzetten in bewegingsenergie van de deeltjes. Dit zal leiden tot een stijging van de temperatuur en, wegens de ideale gaswet, ook tot een stijging van de druk in de ster. Hierdoor wordt een nieuw evenwicht bereikt. De pas gevormde protoster zal energie verliezen omdat er thermische straling uitgezonden wordt en zal dus steeds meer samengedrukt worden, met een verdere omzetting van gravitationele potentiële energie naar thermische energie. Op een gegeven moment zal de temperatuur in de kern van de wolk zo hoog oplopen dat thermonucleaire fusie van waterstof tot helium mogelijk wordt: 4p → 4 He + 2e+ + 2νe Dit kan enkel bij hoge temperaturen omdat de coulombbarrière tussen de protonen moet overwonnen worden. Thermonucleaire fusie zal de energie produceren die de ster nodig heeft om de gravitationele druk te compenseren. De ster is geboren, gedurende haar leven zal ze langzaam haar brandstof opgebruiken in een uitgestelde instorting onder haar eigen zwaartekracht. Bij lichte sterren zal deze verbranding heel traag gaan, bij zwaardere sterren is er een veel hogere centrale druk, dus zal de temperatuur hoger zijn en dus ook het verbrandingstempo.

4

1.1. Ontstaan van compacte stellaire objecten

5

Figuur 1.1: De bindingsenergie per nucleon voor stijgend baryongetal A.

Het reactieproduct van waterstoffusie, 4 He, is zwaarder dan waterstof en zal zich opstapelen in het centrum van de ster. Na verloop van tijd zal er zich een inerte sterkern van helium gevormd hebben die geen energiebron heeft om zich te verzetten tegen de gravitationele druk van de hoger gelegen lagen. Die heliumkern zal samengedrukt worden en opwarmen tot de temperatuur hoog genoeg wordt om de coulombbarrière tussen heliumkernen te overwinnen. Op dat moment zullen drie heliumkernen combineren tot koolstof, terwijl in de schillen errond nog steeds waterstof verbrand wordt. Dit proces herhaalt zich voor elk reactieproduct uit voorgaande fusiereacties zolang de bindingsenergie per nucleon na de reactie groter is dan voor de reactie. Dit is enkel zo voor kernen lichter dan

56 Fe,

zoals te zien op figuur 1.1.

Lichte sterren (M < 8 M⊙ ) Om zwaardere elementen te fusiëren zijn steeds hogere drukken en temperaturen vereist omdat de coulomb repulsie steeds groter wordt. Bij sterren lichter dan acht zonsmassa’s zal de gravitationele druk in de kern niet groot genoeg zijn om de ganse cyclus tot ijzer te doorlopen. In de kern verzamelen zich dan grote hoeveelheden C, O of He, afhankelijk van hoe zwaar de ster is. De harde UV straling, afkomstig van de hete kern, zal de omringende lagen van de ster opwarmen en zo de waterstoffusie versnellen. De ster zal hierdoor uitzetten tot een grote (relatief ijle) gasbol met een vrij lage oppervlaktetemperatuur, zo’n ster wordt een rode reus genoemd. Uiteindelijk zal de immense gaswolk rond de kern instabiel worden en uit elkaar vallen


6

Figuur 1.2: Een artist impression van het dubbelstersysteem Sirius.

als planetaire nevel. De overblijvende hete kern wordt een witte dwerg, een klein heet object zonder interne energiebron om de zwaartekracht op een thermische wijze tegen te gaan. Toen men rond de jaren 1900 begon sterren te classificeren volgens het Herzsprung-Russel diagram wist men niet wat te doen met witte dwergen. Hun oppervlaktetemperatuur was bijzonder hoog maar ze hadden een heel lage luminositeit, dus het moesten relatief kleine objecten zijn. Sirius B werd ge¨ıdentificeerd als een witte dwerg in een dubbelstersysteem met Sirius A (zie figuur 1.2). Door het bestuderen van de beweging van de twee sterren kon men afleiden dat Sirius B een massadichtheid moest hebben die ongeveer één miljoen maal zo groot was als die van de aarde. Aangezien de dwerg blijft stralen zal hij energie verliezen en verder samengedrukt worden. Astronomen uit die tijd konden niet verklaren hoe zo een ster ooit in evenwicht kon komen met de zwaartekracht. In 1926 verklaarde R.H. Fowler de stabiliteit van witte dwergen met de toen pas ontdekte theorie van Fermi-Dirac. Elektronen zijn fermionen en kunnen zich niet in dezelfde kwantumtoestand bevinden, dus zullen ze in steeds hogere energieniveau’s opgestapeld worden tot een bepaalde energie, de Fermi energie. Deze Fermi energie zal groter worden als de dichtheid toeneemt, wat dus zal zorgen voor de druk die de ster in evenwicht houdt. Dit wordt de gedegenereerde elektronendruk genoemd1 . De dwerg mag echter niet te zwaar worden, want dan wordt de dichtheid zo groot dat de energie van de elektronen zo hoog oploopt dat 1

In hoofdstuk 2 wordt hier verder op ingegaan


7

Figuur 1.3: De verschillende lagen met verbrandingsprocessen in een zware ster.

elektronenvangst aan protonen energetisch voordelig wordt en de elektronendruk wegvalt. De dwergmassa waarbij dit gebeurt wordt de Chandrasekhar-limiet genoemd. Zwaardere sterren Bij zwaardere sterren (M > 8M⊙ ) zal telkens uit de as van vorige reacties nieuwe brandstof gehaald worden om de kern te ondersteunen. Naar het einde van zijn leven toe bestaat de ster uit concentrische schillen waar de verschillende kernen fusie ondergaan om de ster van energie te voorzien (zie figuur 1.3). Bij het laatste exotherme verbrandingsproces wordt Si omgezet in

56 Fe.

Aangezien de kern geen energie meer kan halen uit kernfusie zal hij samentrekken tot

de gravitationele druk gecompenseerd wordt door gedegenereerde elektronendruk. In de schil errond blijft echter ijzer geproduceerd worden. De kern zal dus steeds zwaarder worden en de gedegenereerde elektronen in de kern krijgen een steeds hogere energie, tot de Chandrasekhar limiet bereikt wordt. Op dat moment zal de elektronendruk de massa van de kern niet meer kunnen dragen en zal de implosie beginnen. Als de kern samentrekt zou men verwachten dat de temperatuur zal stijgen en dus ook de druk en dat deze druk de implosie zal tegenwerken. Dit is echter niet het geval omdat de elektronen invers beta verval ondergaan waardoor de elektronendruk wegvalt: e− + p → n + ν. De neutrino’s zullen ontsnappen en de kern zal afkoelen. De kern is zo heet dat de ijzerkernen zullen opgebroken worden in kleinere stukken, waarbij de bindingsenergie per nucleon vermindert (zie figuur 1.1) en er dus energie opgeslokt wordt. Het eerste deel van de implosie wordt be¨ındigd

1.1. Ontstaan van compacte stellaire objecten bij een druk van ongeveer 101 4

kg , m3

8

bij deze dichtheid zal de materie zo dicht op elkaar gestapeld

zitten dat zelfs neutrino’s de kern niet meer kunnen verlaten. Dit heeft tot gevolg dat de kern niet meer kan afkoelen. De implosie gaat echter ongeremd blijven doorgaan en zal pas weerstand ondervinden als de materie dichtheden bereikt rond 2, 77 · 101 7

kg . m3

Dit is dezelfde dichtheid als

die in atoomkernen. Hierna wordt het heel moeilijk om materie nog verder samen te drukken: boven de saturatiedichtheid van nucleaire materie bevinden de kernen zich gemiddeld in het repulsieve gebied van de sterke wisselwerking. Uit simulaties [16, 15] blijkt dat de kern zijn vorm behoudt als hij implodeert. Dit heeft tot gevolg dat materiaal in de buitenste lagen van de kern sneller zal vallen dan materiaal in de binnenste lagen. De dichtheid is groter in de binnenste lagen van de kern dan in de buitenste, dus zal de geluidssnelheid kleiner worden op grotere afstand van middenpunt van de ster. Het punt waarin de geluidssnelheid en de invalsnelheid van de materie even groot worden wordt het sonic point genoemd. Als de dichtheid in het binnenste van de sterkern de saturatiedichtheid bereikt zal de materie plots stoppen met imploderen. Dit zal aanleiding geven tot geluidsgolven, die tot stiltstand komen in het sonic point. De materie errond blijft echter invallen op de harde kern en er zullen steeds meer geluidsgolven gevormd worden die allemaal tot stilstand komen in het sonic point. Op een bepaald moment zal de energie opgestapeld in het sonic point zo groot worden dat er een schokgolf gevormd wordt die door materie kan bewegen en de energie kan overdragen op de materie. De schokgolf breekt waar hij passeert de resterende kernen op, de vrijgekomen protonen worden omgezet in neutronen en er komen neutrino’s vrij, dit proces zorgt ervoor dat de schokgolf heel wat energie verliest. Simulaties [15] voorspellen dat de schokgolf zoveel energie verliest dat hij zal stilvallen ergens tussen 100 en 200 km van het centrum. De schokgolf zou echter terug op gang gebracht kunnen worden door neutrino’s die langzaam uit de dichtere delen van de kern diffunderen en hun energie overdragen aan de schokgolf [15, 16]. Om de werkzame doorsnede van neutrino’s met nucleaire materie in dergelijke omstandigheden goed te kunnen inschatten is het belangrijk een goede toestandsvergelijking te hebben. Zo kan men verbeterde simulaties uitvoeren en een correcter beeld ontwikkelen van hoe een supernova verloopt. Na de supernova explosie is de neutronenrijke kern het enige dat overblijft van de ster. Baade en Zwicky [27] zochten, bij het bestuderen van supernova’s, naar een verklaring van de gigantische hoeveelheid energie die vrijkomt bij zo’n explosie. Ze kwamen tot de conclusie dat deze enkel afkomstig kon zijn van gravitationele bindingsenergie die vrijkomt bij de transitie van de sterkern naar een neutronenster. We have tentatively suggested that the super-nova process respresents the transition of an ordinatry star into a neutron star. Dit argument kan geverifiëerd worden door de volgende eenvoudige berekening. Volgens de algemene relativiteitstheorie staat een ster op de rand van gravitationele instorting onder zijn

1.2. Structuur van een neutronenster

9

eigen gewicht als R = 2GM/c2 . Neem een neutronenster die net op deze limiet zit, wat is dan de gravitationele bindingsenergie van deze ster? Stel dat er A baryonen in de neutronenster zitten met massa m, allemaal op elkaar gestapeld bij de saturatiedichtheid waarbij de sterke wisselwerking repulsief wordt. De straal en de massa van de ster zijn dan bij benadering: R ≈ r0 A1/3

en

M ≈ Am

(1.1)

Vult men hierbij R = 2GM/c2 in dan verkrijgt men: A ≈ 1057 Waaruit dan weer met gebruik van dezelfde formule en vergelijking (1.1) volgt: R ≈ 7 km

en

M ≈ 2.3 M⊙

Deze waarden zijn een overschatting van de echte waarden voor een neutronenster, omdat deze niet op gravitationele instorting staat. Correctere schattingen zijn waarschijnlijk: R ≈ 10 km

en

M ≈ 2 M⊙

De massadichtheid die hiermee overeenkomt is dan ≈ 1018 kg/m3 , wat ongeveer de dichtheid is in een atoomkern. Dit geeft aan dat dit wel een redelijke schatting is. De bindingsenergie van een sferisch symmetrische ster met straal R en massa M is: EB =

3 GM 2 = 7, 046833 · 1029 kg · c2 5 R

wat ongeveer 1/10 is van de totale massa van de neutronenster. Dus bij instorting geeft de ster tien keer meer energie vrij dan ze tijdens haar hele leven door fusie heeft gedaan! Baade en Zwicky deden hun voorstel in 1934, maar het duurde nog 34 jaar voor de eerste waarneming van een neutronenster gedaan werd. In 1968 namen Hewish, Bell, Pilkington, Scott en Collins [1] een periodiek radiosignaal waar met een periode van ongeveer een seconde. Als een gigantische ster instort zal, doordat de straal vele malen kleiner wordt, de rotatie van de overblijvende kern enorm toenemen. Door behoud van lading zal de aanwezige lading ook veel sneller roteren, een neutronenster zal dus een heel sterk magneetveld hebben. In dat magneetveld worden e− e+ paren gevormd die rond de veldlijnen zullen versneld worden en bijgevolg straling uitzenden in een ruim frequentiegebied (maar het meest intensief in het radiofrequentiegebied). Als de rotatieas en de magneetas niet samenvallen zal de straling uitgezonden worden zoals het licht bij een vuurtoren op zee (zie figuur 1.4), als de aarde zich toevallig in de lichtkegel bevindt zal die periodiek bestraald worden door de neutronenster. Dit signaal werd ge¨ıdentificeerd als uitgezonden door een neutronenster omdat dit het enige astronomische object is dat zo snel rond kan draaien zonder dat de centripetale kracht zo groot wordt dat de ster uit elkaar valt.


10

Figuur 1.4: Artist impression van een pulsar.

1.2

Structuur van een neutronenster

Lange tijd (van 1934 tot 1968) waren neutronensterren slechts een hypothese en werd er weinig aandacht aan besteed. Na de ontdekking van pulsars was er echter plots een grote interesse voor neutronenmaterie. De rijkheid aan fascinerende fenomenen die kunnen optreden in neutronensterren spreekt tot de verbeelding van vele fysici. Hier zal geprobeerd worden om op een bondige wijze het beeld dat men nu heeft van het inwendige van neutronensterren te schetsen (zie ook figuur 1.5). In de korst van een neutronenster zijn de temperatuur en de dichtheid relatief laag. De neutronproton-elektron materie zit grotendeels in zijn vaste grondtoestand: een coulombrooster gevormd door

56 Fe

kernen in een zee van vrije elektronen. Dit is dus vergelijkbaar met een metaal in

aardse omstandigheden met dat verschil dat door de veel grotere dichtheden alle elektronen quasi vrij door het materiaal zwemmen. Naarmate men dieper in de korst doordringt zullen de elektronen steeds hogere energieën krijgen, de kernen op het coulombrooster zullen dus steeds neutronenrijker zijn. De bindingsenergie voor het gebonden neutron met de hoogste energie (dus het neutron op het Fermi-niveau in die specifieke kern) zal dus steeds afnemen naarmate men dieper in de korst doordringt. Bij een dichtheid van ≈ 4.3 · 1014 kg/m3 wordt het voordelig

voor de buitenste neutronen uit de kern te druppelen, dit wordt de neutron drip genoemd[7, 19].

De materie bestaat nu uit zware neutronenrijke kernen op een coulombrooster met daartussen een gas van vrije elektronen en superflu¨ıde neutronen. Bij toenemende dichtheid zal de roosterconstante die de kernen onderling van elkaar scheidt kleiner worden (zie [7]), en doordat er


Figuur 1.5: Doorsnede van een neutronenster volgens de huidige theorieën.

11


12

neutronen aanwezig zijn als medium tussen de kernen zal de oppervlaktespanning in de kernen (die voor de sferische vorm van kernen zorgt) afnemen. Bij een dichtheid van 4 · 1015 kg/m3

worden de sterkte van de oppervlaktespanning van de kern en de coulombafstoting door de protonen in de kern vergelijkbaar. De materie wordt dan gefrustreerd[19] genoemd, ze is een speelbal van twee elkaar tegenwerkende even grote effecten en zal allerlei exotische geometriën aannemen. Deze vreemde fase van materie in neutronensterren werd eerst besproken door D.G. Ravenhall in 1983 [6] en wordt de pasta fase genoemd [8, 9, 5, 4]. Bij nog hogere dichtheden bestaat de materie uit een homogene vloeistof van superflu¨ıde neutronen, supergeleidende protonen en vrije elektronen. Naar de kern van de neutronenster toe, bij supernucleaire dichtheden, zouden allerlei vreemde materievormen kunnen optreden. Bij deze dichtheden zal het Ferminiveau van neutronen heel hoog worden en zal het voordelig worden om neutronen om te zetten in hyperonen. Hyperonen zijn zwaarder dan nucleonen, maar omdat neutronen dicht bij het Fermi-niveau zo’n hoge energieën halen is het voordelig om de hyperonen hun eigen Fermi-zee te laten opvullen, totdat de verschillende baryonsoorten in chemisch evenwicht zijn met elkaar2 . Sommige modellen voorspellen fasen bestaande uit pion- en kaoncondensaten. De kern van de neutronenster zou kunnen bestaan uit vrije quark materie (deconfined quarks). Ook zouden er neutronenster-achtige objecten kunnen bestaan, opgebouwd uit strange matter, de grondtoestand van QCD waarin materie is opgebouwd uit evenveel up, down en strange quarks en die volgens berekening een lagere energie heeft dan nucleonmaterie. Dit zijn allemaal fascinerende mogelijkheden maar er zal nog veel waargenomen moeten worden om deze te verifiëren.

2

Dat hun Fermi-energieën even groot zijn.

Hoofdstuk 2

De kwantummechanica van Gaussische golfpakketten Bij de beschrijving van neutronenmaterie is het belangrijk om kwantummechanische effecten in rekening te brengen. Door het invoeren van gaussische golfpakketten kan men stap voor stap de overgang maken van een klassieke naar een kwantummechanische beschrijving. In dit hoofdstuk zal eerst besproken worden wat gaussische golfpakketten zijn en waarom ze gebruikt worden. Daarna zullen de veranderingen in de kinetische en de potentiële energie bij overgang van klassieke deeltjes op onderscheidbare golfpakketten onderzocht worden. Vervolgens zal bekeken worden wat de veranderingen zijn als spinstatistiek in rekening gebracht wordt. Tot slot onderzoeken we hoe een realistische nucleon-nucleon potentiaal verandert bij overgang op gaussische golfpakketten. Gedurende het ganse hoofdstuk wordt ~ = c = 1 ondersteld.

2.1

Een gaussisch golfpakket

Een klassieke beschrijving van neutronenmaterie zou uitgaan van puntdeeltjes met een positie x en impuls k die op elk moment bepaald zijn. Het probleem hierbij is dat het Heisenberg onzekerheidsprincipe geschonden wordt. Een gaussisch golfpakket wordt in de configuratieruimte geschreven als: " # (x − r)2 ψ(x) = exp − + ip · x , 2a

(2.1)

met a = aR + iaI een complexe parameter. De norm van deze golffunctie berekent men met behulp van vergelijking A.7:

Z

aR hψ|ψi = dx exp − 2 (x − r)2 |a| 3 π|a|2 2 = . aR

(2.2)

De kans om een deeltje beschreven door (2.1) aan te treffen op een bepaalde positie x wordt

13

2.1. Een gaussisch golfpakket

14

1.2

|a|2/aR = 1 |a|2/aR = 0.5 2 |a| /aR = 0.25

1

P(x)

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -3

-2

-1

0 x-r

1

2

3

Figuur 2.1: De kansverdeling van de positie voor gaussische golfpakketten bij verschillende waarden van |a|2 /aR .

gegeven door: 1 ψ ∗ (x)ψ(x) = P (x) = hψ|ψi

π|a|2 aR

− 32

aR exp − 2 (x − r)2 |a|

en is voor het 1-dimensionele geval grafisch weergegeven in figuur 2.1. Op deze figuur is te zien dat aan de verhouding |a|2 /aR de interpretatie van configurationele breedte gegeven kan worden. Hoe groter deze verhouding, hoe groter de fluctuaties van de positie van het deeltje rond zijn gemiddelde waarde r zullen zijn. In de impulsruimte is de golffunctie de fourriergetransformeerde van (2.1): # " Z dx (x − r)2 φ(k) = + i (p − k) ·x 3 exp − 2a (2π) 2 i h a 3 = a 2 exp − (k − p)2 − i (k − p) ·r . 2

(2.3)

De kans om een deeltje beschreven door (2.3) aan te treffen met een impuls k wordt gegeven door: 1 P (k) = φ∗ (k)φ(k) = hφ|φi

π aR

− 3

2

i h exp −aR (k − p)2 .

De breedte van het golfpakket in de impulsruimte is dus 1/aR . Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg kan dan geschreven worden als1 : s s r a2 1 |a|2 1 1 + 2I · = ∆x · ∆k = 2aR 2aR 2 aR 1

σ van een gewone gauss is hier genomen als ∆x

(2.4)

2.2. Onderscheidbare deeltjes

15

Er is altijd aan het onzekerheidsprincipe voldaan en er is een minimale onzekerheid als de imaginaire component van de complexe breedte a nul is. Gaussische golfpakketten worden gebruikt omdat ze door hun minimale onzekerheid de dichtste benadering van puntdeeltjes zijn. Bij alle berekeningen in dit hoofdstuk zal verondersteld worden dat alle golfpakketten dezelfde breedte a hebben.

2.2

Onderscheidbare deeltjes

Eerst zal een algemene formule afgeleid worden voor de berekening van matrixelementen van operatoren die enkel afhankelijk zijn van de relatieve afstand |x2 − x1 tussen de deeltjes. Stel dat Aˆ zo’n operator is, het matrixelement van deze operatoren tussen twee onderscheidbare deeltjes is dan, met |Ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i: Z aR 2 2 ˆ hΨ|A|Ψi = dx1 dx2 A(|x1 − x2 |) exp − 2 (x1 − r1 ) + (x2 − r2 ) . |a| Deze integraal kan vereenvoudigd worden door over te gaan op relatieve coördinaten: r1 + r2 , 2

x1 + x2 2

en

R=

x = x1 − x2

en

r = r1 − r2 ,

(2.5b)

K = k1 + k2

en

P = p1 + p2 ,

(2.5c)

k1 − k2 2

en

p=

p1 − p2 . 2

(2.5d)

X=

(2.5a)

en hun canonisch toegevoegde coördinaten:

k=

Het matrixelement wordt dan: Z 2 a (x − r) R 2 ˆ hΨ|A|Ψi = dxdX A(x) exp − 2 2(X − R) + |a| 2 Integratie over X en de ruimtehoek van r levert tenslotte de eenvoudige formule: ˆ hΨ|A|Ψi = =

2.2.1

3 Z π|a|2 2 aR (x − r)2 dx A(x) exp − 2 2aR |a| 2 5 a Z ∞ aR 2 a a R rx π|a|2 2 − 2|a| 1 − R2 x2 − R2 rx 2r 2 2|a| |a| |a| √ e dx xA(x)e −e e . aR 2r 0

(2.6)


Neem twee gaussische golfpakketten met afstandsparameter r1 en r2 , naief zou men verwachten dat de gemiddelde afstand tussen de twee deeltjes beschreven door de respectievelijke golfpakketten hxi =

q

(r2 − r1 )2


16

2

x (fm)

1.5

1

0.5

onderscheidbaar klassiek 0 0

0.5

1 r (fm)

1.5

2

Figuur 2.2: De verwachtingswaarde van de afstand in functie van de afstandsparameter r.

is. Dit kan uitgerekend worden door x in te vullen in vergelijkingen (2.6). Uit vergelijking (A.3) haalt men: Idist =

Z∞

2 −αx2

dx x e

0

h

2βx

e

−2βx

−e

i

=2

1 2α

3

2

e

β2 2α

"

D−3

−

r

2 β α

!

− D−3

r

2 β α

!#

(2.7)

Uit eigenschappen van de parabolische cilinderfuncties [18] kan men deze uitdrukking vereenvoudigen tot: Idist

1 = 2α

r

β π β2 2β 2 β eα 1+ Φ √ + 2, α α α α

(2.8)

met Φ de errorfunctie. Met (2.8) wordt het oplossen van (2.6) een simpele invuloefening. De verwachtingswaarde van de positie is: hxiond = =

ˆ hΨ|A|Ψi hψ|ψi2 s r aR 2 a 2|a|2 − 2|a| 1 |a|2 r R 2r . + r2 Φ e + r aR 2 |a| πaR

Deze formule is grafisch weergegeven in figuur 2.2. Hierop ziet men dat voor kleine waarden van r de verwachtingswaarde van de afstand hxi > r. De verklaring voor dit verschijnsel is de overlap

van de golffunctie. De verwachtingswaarde van de afstand is het gewogen gemiddelde van alle mogelijke afstanden tussen de twee deeltjes. Neem twee gaussische golfpakketten die zo ver van elkaar staan dat de overlap verwaarloosbaar wordt. Als tussen alle mogelijke posities die de twee deeltjes kunnen innemen de afstand genomen wordt zal de kans op die afstand ook gaussisch verdeeld zijn rond x = r en zal hxi = r. De afstand tussen twee punten kan echter nooit negatief


17

worden en daarom zal, als de golfpakketten dichter naar elkaar toekomen en de overlap groter wordt, de gewichtsfunctie asymmetrisch worden rond r en zal de verwachtingswaarde hxi > r.

2.2.2

Kinetische energie voor onderscheidbare gaussische golfpakketten

De kinetische energie van een deeltje wordt in het klassieke beeld gegeven door: Ek =

p2 . 2m

met p de impuls en m de massa van het deeltje. Voor onderscheidbare gaussische golfpakketten zal dit niet het geval zijn: Z 1 dk k2 exp −aR (k − p)2 2m 3 3 1 π|a|2 2 2 +p . 2m aR 2aR

ˆ hψ|T|ψi = |a|3 =

Dit levert voor de kinetische energie: Ek =

p2 3 + . 4maR 2m

(2.9)

Er is duidelijk te zien dat de extra term in de kinetische energie een nulpuntsenergie is afkomstig van de localisatie van het deeltje. Uit (2.4) haalt men: ∆k = (∆k)2 2m

=

r

1 2aR 1 . 4maR

Omdat er in 3 dimensies gewerkt wordt zal er een extra factor 3 bijkomen, wat het gewenste resultaat oplevert.

2.2.3

Interactie tussen onderscheidbare gaussische golfpakketten

Wat zal er veranderen aan de klassieke uitdrukking voor de potentiële energie als men overgaat op onderscheidbare gaussische golfpakketten? Om dit uit te rekenen voor een centrale potentiaal kan ook (2.6) gebruikt worden. De Yukawa-potentiaal Als eerste voorbeeld zal de Yukawa-potentiaal: 1 x UY = − e− λ , x

(2.10)


18

met dracht λ onderzocht worden. Invullen van (2.10) in (2.6) levert: ˆY |Ψi = − √1 hΨ|U 2r

25

π|a|2 2aR

−

e

aR 2 r 2|a|2

Z∞

−

dx e

aR x2 2|a|2

0

“

e

aR 1 r− λ |a|2

” x

−

−e

“

aR 1 r+ λ |a|2

” x

.

Met behulp van (A.3) wordt dit: ˆY |Ψi = − √ 1 hΨ|U 2πr

π|a|2 2aR

3

e

|a|2 4aR λ2

r − 2λ

e

√ √ aR aR r |a| |a| 2λ D−1 − r+ √ r+ √ − e D−1 . |a| aR λ |a| aR λ

Met behulp van eigenschappen van de parabolische cilinderfuncties [18] wordt de genormeerde potentiële energie uiteindelijk: hUY iond =

r 2 r aR r 1 2a|a|λ2 |a| eλ 1 − Φ e R +√ 2r 2 |a| 2aR λ r r aR r |a| . −e− λ 1 − Φ − +√ 2 |a| 2aR λ

(2.11)

Om bovenstaande uitdrukking beter te begrijpen bekijken we de grafische voorstelling van deze potentiaal in figuur 2.3. Hierin ziet men dat voor grote waarden van r de kwantummechanische en de klassieke potentiaal goed overeenkomen. Voor kleinere waarden van r zijn er echter verschillen tussen deze twee potentialen. De verklaring hiervoor is gemakkelijk in te zien als men zich de verwachtingswaarde van de afstand uit een vorige paragraaf herinnert. Als de golfpakketten op elkaar liggen zal de gemiddelde waarde van de afstand toch een eindige waarde aannemen en zal de energie bijgevolg ook niet naar min oneindig gaan maar naar een eindige waarde voor r = 0. Op deze figuur valt ook nog op te merken dat voor iets grotere afstanden de potentiaal tussen golfpakketten lager is dan de klassieke, dit effect neemt toe als de breedte van het golfpakket toeneemt. Dit komt omdat het golfpakket de potentiaal uitmiddelt over q 2 q zijn |a| |a|2 breedte, en dat het gemiddelde van de yukawapotentiaal in het interval [r − 5 2aR , r + 5 2a ] R

niet hetzelfde is als de waarde van de yukawapotentiaal in r, maar lager zal zijn.

Een ander

voorbeeld dat bekeken wordt is een afstotende gaussische potentiaal, die heeft als voordeel dat hij gemakkelijk uit te rekenen is: x2

U (x) = be− Λ .

(2.12)

Na enkele elementaire berekeningen bekomt men: 2|a|2 , aR Λ 3 1 2 − r2 = e αΛ α

α = 1+ U

(2.13)

In figuur 2.4 is de klassieke potentiaal weergegeven naast de kwantummechanische voor onderscheidbare deeltjes bij verschillende waarden van de breedte a van het golfpakket.


19

0

-20

E (MeV)

-40

-60

-80 klassiek aR = 0.1 fm2 aR = 0.5 fm2 aR = 1 fm2 aR = 5 fm2

-100 0

1

2

3

4

5

r (fm)

Figuur 2.3: De yukawa-potentiaal tussen twee onderscheidbare gaussische golfpakketten voor verschillende waarden van de breedte a en λ = 1 fm

100

a=0.03fm2 a=0.1fm2 a=0.3fm2 a=0.5fm2 klassiek

90 80 70

E (MeV)

60 50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Figuur 2.4: De gaussische potentiaal (b = 100 Mev en Λ = 1 fm2 zie vergelijking (2.12) ) in relatieve r tussen twee gaussische golfpakketten bij verschillende waarden van de breedte a.

2.3. Fermionische deeltjes

2.3

20

Fermionische deeltjes

Veronderstel dat de deeltjes niet-onderscheidbaar zijn en halftallige spin hebben. De golffunctie zal dan geantisymmetriseerd moeten worden. Elk deeltje zit dan in een superpositie van de twee ééndeeltjes gaussische golffuncties. Schematisch kan dit geschreven worden als: 1 h1, 2|Ψi = √ (h1|ψ1 ih2|ψ2 i − h1|ψ2 ih2|ψ1 i) . 2 De norm van deze golffunctie is: hΨ|Ψi =

1 2

Z

2

1

}| { z }| { z d|1id|2i[hψ1 |1ihψ2 |2ih1|ψ1 ih2|ψ2 i + hψ1 |2ihψ2 |1ih2|ψ1 ih1|ψ2 i 3

4

z }| { z }| { − hψ1 |1ihψ2 |2ih2|ψ1 ih1|ψ2 i + hψ1 |2ihψ2 |1ih2|ψ2 ih1|ψ1 i].

(2.14)

De termen 1 en 2 zijn gelijk aan elkaar, zoals makkelijk ingezien kan worden als de dummy variabelen |1i en |2i omgewisseld worden. Ze zijn tevens gelijk aan de norm van de tweedeel-

tjesgolffunctie voor onderscheidbare deeltjes. Termen 3 en 4 zijn elkaars toegevoegde en zijn de

termen die er expliciet bijkomen door de antisymmetrisatie. Zo zal van alle verwachtingswaarden die men probeert te berekenen, een deel hetzelfde zijn als bij onderscheidbare deeltjes maar ook zal er een deel bijkomen door antisymmetrisatie. Zo ziet men in dat er een extra ”Paulienergie”zal optreden, zowel in de kinetische als in de potentiële energie. Vergelijking (2.14) kan herschreven worden als hΨ|Ψi = hψ1 |ψ1 ihψ2 |ψ2 i − hψ1 |ψ2 ihψ2 |ψ1 i = n11 n22 − n12 n21 = det n. De overlapmatrix n kan berekend worden met de formules uit appendix A: n11 = n22 = n12

π|a|2 aR

23

,

(2.15a)

3 π|a|2 2 = = × (2.15b) aR i |a|2 1 2 ∗ 2 (r1 − r2 ) + (ar1 + a r2 )·(p2 − p1 ) − (p2 − p1 ) . (2.15c) exp − 4aR 2aR 4aR n∗21

De norm wordt dan uiteindelijk: det n =

π|a|2 aR

3

aI 1 |a|2 (p1 − p2 )2 + (r2 − r1 )·(p2 − p1 ) − (r1 − r2 )2 . 1 − exp − 2aR aR 2aR

In deze vergelijking is mooi te zien dat de norm van de anti-symmetrische twee deeltjes golffunctie, bestaat uit de norm van de onderscheidbare twee deeltjes golffunctie, maal een antisymmetrie


21

term die verwaarloosbaar klein wordt als de parameters van de twee golffuncties te dicht bij elkaar komen. Dit is niets anders dan het Pauli-verbod, de norm evolueert naar nul als de twee toestanden te dicht bij elkaar komen in de parameterruimte! Dat de norm op continue wijze naar nul gaat als de ééndeeltjestoestanden dichter bij elkaar komen is een gevolg van de niet-orthogonaliteit van gaussische golfpakketten. Voor orthogonale ééndeeltjesgolffuncties zal de norm van de geantisymmetriseerde tweedeeltjesgolffunctie hΨab |Ψab i = hψa |ψa ihψb |ψb i − hψa |ψb ihψb |ψa i

(2.16)

= hψa |ψa ihψb |ψb i = 1, voor alle a 6= b omdat de tweede term in vergelijking (2.16) altijd nul zal zijn door orthogonaliteit.

Als a = b zal de norm plots verdwijnen en krijgen we een discontinu¨ıteit die voor oneindigheden

zal zorgen in observabelen. Bij gaussische golfpakketten zal de tweede term in vergelijking (2.16) verschillend zijn van nul en zullen er bijgevolg geen discontinu¨ıteiten optreden bij observabelen omdat deze op elk moment opgeheven worden door de norm. Het is interessant om eens te kijken naar het verschil tussen de twee ééndeeltjesverwachtingswaarden van de positie en de verwachtingswaarde van de geantisymmetriseerde golffunctie. Daartoe zijn een aantal figuren gemaakt. In figuur 2.5 (a) zijn twee gaussische golfpakketten op respectievelijk 2 fm en −2 fm gezet met relatieve impuls p = 0 MeV. In figuur 2.5 (b) zijn ze op 1 fm en −1 fm gezet, men kan mooi het verschil zien. In figuren 2.5 (c) en (d) worden de golfpakketten

nog dichter bij elkaar gebracht, er verandert echter weinig aan de gemiddelde positie, de enige wijziging is dat de piek steeds scherper wordt. Als de relatieve p groter gemaakt wordt ziet men interferentie optreden (figuur 2.5 (d) en 2.5 (e)). Hoe groter p wordt hoe meer de tweedeeltjesgolffunctie naar de som van twee onderscheidbare ééndeeltjesgolffuncties zal gaan (zie figuur 2.5 (f)).

2.3.1

Berekening van matrixelementen

´ e´ endeeltjesoperatoren Voor de berekening van matrixelementen tussen geantisymmetriseerde gaussische golfpakketten kan gebruik gemaakt worden van formule (B.5) uit appendix B. Voor tweedeeltjesgolffuncties herleidt deze formule zich tot: ˆ ˆ 1 io11 + hψ1 |A|ψ ˆ 2 io21 + hψ2 |A|ψ ˆ 1 io12 + hψ2 |A|ψ ˆ 2 io22 . hΨ|A|Ψi = hψ1 |A|ψ

(2.17)

Hierin zijn de oij de elementen van de inverse overlapmatrix o: 1 n22 det n 1 n12 =− det n

o11 = o22 =

(2.18a)

o12 = o21 ∗

(2.18b)


22

1

1 r=2,p=0 r = -2 , p = 0 antisymmetrisch (a)

r=1,p=0 r = -1 , p = 0 antisymmetrisch (b) 0.8

0.6

0.6 P(x)

P(x)

0.8

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 -4

-2

0 x (in standaardafwijkingen)

2

4

-4

1

-2


2

4

1 r = 0.5 , p = 0 r = -0.5 , p = 0 antisymmetrisch (c)

r = 0.1 , p = 0 r = -0.1 , p = 0 antisymmetrisch (d)

0.6

0.6 P(x)

0.8

P(x)

0.8

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 -4

-2


2

4

-4

-2


2

4

2.5 r = 0.1 , p = -5 r = -0.1 , p = 5 antisymmetrisch (e)

r = 0.1 , p = -10 r = -0.1 , p = 10 antisymmetrisch (f)

2.5

2 2

1.5 P(x)

P(x)

1.5

1 1

0.5

0.5

0

0 -4

-2


2

4

-4

-2


2

Figuur 2.5: De verwachtingswaarde van de positie voor de antisymmetrische golfpakketten met σ = 1 fm, als de ééndeeltjes golffuncties op afstand r van elkaar staan met relatieve impuls p. (a) r = 4 fm, p = 0 MeV (b) r = 2 fm, p = 0 MeV (c) r = 1 fm, p = 0 MeV (d) r = 0.2 fm, p = 0 MeV (e) r = 0.2 fm, p = 1000 MeV (f) r = 0.2 fm, p = 2000 MeV

4


23

tweedeeltjesoperatoren Voor tweedeeltjesoperatoren kan formule (B.8) gebruikt worden. Voor tweedeeltjesgolffuncties wordt dit:

ˆ 1 hΨ|O|Ψi = hΨ|Ψi 2

2 X

hψk , ψl |O|ψm , ψn i (om,k on,l − on,k om,l ) .

(2.19)

k,l,m,n=1

De term: om,k on,l − on,k om,l , wordt nul als m = n of l = k, en aangezien ˆ m , ψn i ≡ hψn , ψm |O|ψ ˆ n , ψm i, hψm , ψn |O|ψ vereenvoudigt vergelijking (2.19) zich tot: ˆ hΨ|O|Ψi hΨ|Ψi

=

i 1 h ˆ 1 , ψ2 i − hψ1 , ψ2 |O|ψ ˆ 2 , ψ1 i . hψ1 , ψ2 |O|ψ det n

(2.20)

De eerste term tussen haakjexs, de directe term, is het matrixelement zoals we het al kennen voor onderscheidbare deeltjes. Zoals verwacht komt er echter na antisymmetrisatie een exchange term bij. Voor operatoren die enkel afhankelijk zijn van de afstand |x2 − x1 | tussen de deeltjes is voor de directe term reeds een eenvoudige formule afgeleid (vergelijking (2.6)). Voor de exchange term kan een soortgelijke vereenvoudiging doorgevoerd worden. In de configuratierepresentatie kan dit matrixelement geschreven worden als: Z 1 2 2 ˆ hψ1 , ψ2 |O|ψ2 , ψ1 i = dx1 dx2 O(x1 , x2 ) exp − ∗ (x1 − r1 ) + (x2 − r2 ) 2a 1 2 2 × exp − (x1 − r2 ) + (x2 − r1 ) 2a × exp [i (−p1 ·x1 − p2 ·x2 + p1 ·x2 + p1 ·x2 )]. Via overgang op relatieve co¨ ordinaten (zoals in (2.5)) herleidt deze formule zich tot: Z 1 1 2aR 2 2 2 ˆ (X − R) + ∗ (x − r) + (x + r) − 2ip · x hψ1 , ψ2 |O|ψ2 , ψ1 i = dxdX O(x) exp − |a|2 4a 4a a 3 − R2 r 2 e 2|a| π|a|2 2 × = π r 2 aR aI i 2 |a|2 r + 2p r“ " r“ ”2 ”2 # Z ∞

−

dx xO(x)e

aR x2 2|a|2

ix

e

0

2.3.2

aI r+2p |a|2

−ix

−e

aI r+2p |a|2

.

(2.21)


De verwachtingswaarde van de afstand tussen twee onderscheidbare deeltjes beschreven door gaussische golfpakketten, bleek voor kleine waarden van de afstandsparameter r groter te zijn


24

2

x (fm)

1.5

1

0.5

onderscheidbaar fermionisch klassiek 0 0

0.5

1 r (fm)

1.5

2

Figuur 2.6: De verwachtingswaarde van de afstand hxi t.o.v. r voor p = 0 MeV, aR = aI = 0.03 fm2 en met cos θrp = 0.

dan r. Voor fermionische deeltjes verwachten we dat dit effect versterkt zal worden omdat er een verlaagde kans is om de deeltjes dicht bij elkaar aan te treffen door de antisymmetrisatie van de golffunctie. De berekening van de fermionische verwachtingswaarde kan uitgevoerd worden met behulp van vergelijking (2.20). De directe term XD is reeds bekend uit paragraaf 2.2.1:

XD =

3 π|a|2 aR



1 r

|a|2 aR

+ r2 Φ

r

aR r 2 |a|

+

s

2|a|2 − πaR

e

aR 2 r 2|a|2



.

De exchange term XE kan berekend worden door x in te vullen in vergelijking (2.21) en daar formule 2.8 op toe te passen:

XE

=

2 ! r2 aI aI |a|2 2 exp − r + 2p −2 r·p−2 p |a|2 2aR aR aR   r  s 2 aR 2  aI 1  + 2 √|a| e− 2|a|2 r  . i √|a| × r Φ r + 2p  2 |a|2 π aR 2aR aI r + 2p i 2 |a|

π|a|2 aR

3 "

|a|2 1− aR

De uiteindelijke verwachtingswaarde van de afstand is dan: hxi =

1 [XD − XE ] . det n

Deze vergelijking is te zien in figuur 2.6 en ligt in de lijn van de verwachtingen.


2.3.3

25

De kinetische energie van fermionische golfpakketten

Om de kinetische energie van de twee identieke fermionen uit te rekenen kan gebruik worden gemaakt van formule (2.17). Er zijn vier matrixelementen die uitgerekend moeten worden: 3 π|a|2 2 kˆ2 |ψ1 i = hψ1 | 2m aR 3 π|a|2 2 kˆ2 |ψ2 i = hψ2 | 2m aR

p21 3 + , 4maR 2m p22 3 + , 4maR 2m 3 π|a|2 2 kˆ2 kˆ2 ∗ |ψ2 i = hψ2 | |ψ1 i = hψ1 | 2m 2m aR 1 ∗ 1 2 2 ∗ (a p1 + ap2 ) − (r1 − r2 ) + 2i(a p1 + ap2 )·(r1 − r2 ) 3+ × 4maR a + a∗ |a|2 1 i ∗ × exp − (p1 − p2 )2 − (r1 − r2 )2 + (p − p )·(ar + a r ) . 1 2 1 2 4aR 4aR a + a∗

Worden deze matrixelementen ingevuld in vergelijking (2.17) dan bekomt men met behulp van vergelijkingen (2.18): Ek =

p2 p2 3 + 1 + 2 2maR 2m 2m 3 1 aI 1 |a|2 π|a|2 2 2 (p1 − p2 ) + (r1 − r2 ) + (r1 − r2 )·(p2 − p1 ) + det n aR 4ma2R 4ma2R 2ma2R |a|2 aI 1 2 2 exp − (p1 − p2 ) + (r2 − r1 )·(p2 − p1 ) − (r1 − r2 ) . (2.22) 2aR aR 2aR

De extra energieterm ge¨ınduceerd door de antisymmetrisatie van de totale golffunctie is 3 1 aI 1 |a|2 π|a|2 2 2 (p1 − p2 ) + (r1 − r2 ) + (r1 − r2 )·(p2 − p1 ) ξAS = det n aR 4ma2R 4ma2R 2ma2R |a|2 aI 1 2 2 × exp − (p1 − p2 ) + (r2 − r1 )·(p2 − p1 ) − (r1 − r2 ) . 2aR aR 2aR Deze term werd grafisch weergegeven in figuur 2.7 in functie van relatieve r en in figuur 2.8 in functie van relatieve p. Daarop is te zien dat 2 deeltjes, beschreven door geantisymmetriseerde gaussische golfpakketten, toch in dezelfde kwantumtoestand kunnen geplaatst worden. Er is wel een repulsie-energie, maar die gaat niet naar oneindig. Dit is een mooi voorbeeld van het reeds eerder vermelde probleem met de norm van de fermionische golffunctie. Omdat de norm op continue wijze naar nul toegaat als de golffuncties meer en meer beginnen te overlappen zal de energie in de limiet dat de twee golffuncties samenvallen een eindige waarde aannemen. Het is ook interessant om eens te kijken naar wat precies de invloed is van de grootte van aR en aI op de Pauli-afstotingsenergie. In figuur 2.9 ziet men dat de imaginaire component van de breedte aI totaal geen invloed heeft op de afstotingsenergie in de configuratieruimte op voorwaarde dat


26

0.35 p = 0 MeV p = 100 MeV p = 200 MeV p = 300 MeV p = 400 MeV p = 1000 MeV

0.3

E (MeV)

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Figuur 2.7: De Pauli repulsie-energie tussen twee golfpakketten op afstand r, bij verschillende waarden van de relatieve impuls p en cos θrp = 0 waarbij beide golfpakketten een breedte hebben van aR = 0.5 fm2 en aI = 0 fm2

r=0 fm r=0.25 fm r=0.5 fm r=0.75 fm r=1 fm

0.2

E (MeV)

0.15

0.1

0.05

0 0

100

200

300

400

500

p (MeV)

Figuur 2.8: De Pauli repulsie-energie tussen twee golfpakketten met relatieve impuls p, bij verschillende waarden van de afstandsparameter r en met cos θrp = 0, waarbij beide golfpakketten een breedte hebben van aR = 0.5 fm2 en aI = 0 fm2


27

1.2

aR=0.1 fm2 , aI=0.3 fm2 aR=0.1 fm2 , aI=0.5 fm2 aR=0.2 fm2 , aI=0.3 fm2 aR=0.2 fm2 , aI=0.5 fm2 aR=0.3 fm2 , aI=0.3 fm2 aR=0.3 fm2 , aI=0.5 fm2

1

E (MeV)

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Figuur 2.9: De invloed van aI en aR op de Pauli repulsie in de configuratieruimte voor p = 0 MeV en cos θrp = 0.

de relatieve impuls identisch nul is. Als de grootte van de reële component van de breedte aR afneemt zal de Pauli repulsie energie (in de configuratieruimte) sterker worden, maar zal de dracht korter worden (zie figuur 2.9). In de impulsruimte (zie figuur 2.10) heeft de aI wel een invloed, hoe groter aI , hoe kleiner de dracht zal zijn. aR heeft enkel een invloed op de sterkte van de afstoting, op voorwaarde dat de golfpakketten op elkaar liggen (r = 0 fm).

2.3.4

Interactie tussen fermionische golfpakketten

Yukawa-potentiaal De invloed van antisymmetrisatie van de golfpakketten op de interactie zal geduid worden aan de hand van de Yukawa potentiaal. De verwachtingswaarde van de Yukawa-potentiaal kan gevonden worden door de Yukawapotentiaal in te vullen in vergelijking (2.19). De directe term is al berekend in het deel over onderscheidbare deeltjes (zie vergelijking (2.11)). De exchange term kan op exact dezelfde wijze uitgerekend worden. Men vult de Yukawa potentiaal in vergelijking (2.21) in, het matrixelement wordt dan: −

met IE =

aR

r2

2|a|2 ˆY |ψ2 , ψ1 i = UE = −π r e hψ1 , ψ2 |U 2 aI i 2 |a|2 r + 2p

Z∞ 0

a − R2 x2 2|a|

dx e

 

π|a|2 aR

32

IE ,

    s s 2 2  1 1 a a I I  − exp −x i  . − + r + 2p r + 2p exp x i   |a|2 λ |a|2 λ


28

1.2

aR = 0.1 fm2 aI = 0.3 fm2 aR = 0.1 fm2 aI = 0.5 fm2 aR = 0.3 fm2 aI = 0.3 fm2 aR = 0.3 fm2 aI = 0.5 fm2 aR = 0.2 fm2 aI = 0.3 fm2 aR = 0.2 fm2 aI = 0.5 fm2

1

E (MeV)

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

200 p (MeV)

250

300

350

400

Figuur 2.10: De invloed van aI en aR op de Pauli repulsie in de impulsruimte voor r = 0 fm en cos θrp = 0.

Vergelijking (A.3) kan gebruikt worden om dit om te vormen tot: a2I aI |a|2 2 |a|2 |a| 2 r − r·p− p + IE = − √ exp − aR 4aR |a|2 aR aR 4aR λ2    s r“ ”2 2 aI i|a|2 − r+2p |a|  aI |a| × e 2aR λ |a|2 r + 2p + √ D−1 −i √ aR |a|2 aR λ   s r“ ”2 2 aI i|a|2 r+2p |a|  |a| aI . r + 2p + √ D−1 i √ −e 2aR λ |a|2 aR aR λ |a|2

Men kan opnieuw gebruik maken van de eigenschappen van de parabolische cilinderfuncties [18] om de uiteindelijke uitdrukking voor de exchange term van de Yukawapotentiaal te bekomen: UE

2

aI |a|2 2 |a|2 r2 r = 2 exp − 2aR − 2 aR r · p − 2 aR p + 2aR λ2 aI r + 2p 2i |a|2     s r 2  i|a|2 “ aI r+2p”2 aI |a|  1 − Φ i √|a| × e aR λ |a|2 r + 2p + √ 2  |a| 2aR 2aR λ    s r“ ”2 2 aI −i|a|2 r+2p aI |a|  |a| aR λ |a|2   √ √ r + 2p + 1 − Φ −i −e . (2.23)  |a|2 2aR 2aR λ π|a|2 aR

π

De totale potentiële energie ziet er uit zoals in figuur 2.11. De antisymmetrisatie zorgt ervoor dat de interactie nog meer afgezwakt wordt. Als de relatieve impuls p toeneemt zal de potentiaal steeds meer naar het onderscheidbare geval toegaan, dit was te verwachten aangezien de


29

0

E (MeV)

-50

-100

-150 klassiek onderscheidbaar niet onderscheidbaar p = 0 MeV niet onderscheidbaar p = 200 MeV niet onderscheidbaar p = 500 MeV niet onderscheidbaar p = 1000 MeV -200 0

1

2

3

4

5

r (fm)

Figuur 2.11: Vergelijking tussen de yukawa potentiaal in het klassieke geval, en de yukawa potentiaal inwerkend op onderscheidbare, en geantisymmetriseerde (niet-onderscheidbare) gaussische golfpakketten. Bij breedte aR = 0.5 fm2 en aI = 0 fm2 , voor verschillende waarden van de relatieve impuls p en met cos θrp = 0.

0 r = 0 fm r = 0.25 fm r = 0.5 fm r = 0.75 fm r = 1 fm

-10

-20

E (MeV)

-30

-40

-50

-60

-70

-80 0

200

400

600

800

1000

p (MeV)

Figuur 2.12: De Yukawapotentiaal bij een geantisymmetriseerd tweedeeltjesgolfpakket, bekeken in de p-ruimte voor aR = 0.3536 fm2 en aI = 0.3536 fm2 , grafisch weergegeven voor verschillende waarden van de afstand r en met cos θrp = 0.


30

100 klassiek onderscheidbaar aR = 0.35 fm2 , aI = 0.35 fm2 niet-onderscheidbaar aR = 0.35 fm2 , aI = 0.35 fm2 onderscheidbaar aR = 0.10 fm2 , aI = 0.10 fm2 niet-onderscheidbaar aR = 0.10 fm2 , aI = 0.10 fm2

90 80 70

E (MeV)

60 50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 r (fm)

3

3.5

4

4.5

5

Figuur 2.13: De vergelijking voor een afstotende gaussische potentiaal met b = 100 MeV en Λ = 1 fm2 tussen de klassieke potentiaal, de potentiaal tussen onderscheidbare deeltjes, en de potentiaal bij een geantisymmetriseerd gaussisch golfpakket voor verschillende waarden van de breedte a en met cos θrp = 0.

antisymmetrie dan wegvalt. In figuur 2.12 is geschetst hoe de interactie zich gedraagt in de impulsruimte. Dit is een effect dat enkel optreedt bij antisymmetrisatie, voor onderscheidbare deeltjes is er geen interactie in de impulsruimte. Op deze figuur is weer te zien dat voor p gaande naar oneindig de potentiaal zich herleidt tot de waarde van de yukawa voor onderscheidbare deeltjes op die afstand en bij die breedte. Ook zien we dat er een aantrekking is voor kleine p, die sterker wordt naarmate r kleiner wordt. Als tweede voorbeeld wordt berekend hoe de gaussische potentiaal, uit vergelijking (2.12), zich gedraagt onder antisymmetrisatie. De directe en exchange term zijn:

UD =

π|a|2 aR

3

UE

π|a|2 aR

3

=

!3

# 1 r2 , exp − 2 Λ 1 + 2|a|2 1 + 2|a| aR Λ aR Λ !3 " # 2 2 2 a a 1 a 2|a| 1 − R2 r 2 I I r2 + 2 r · p + p2 . e 2|a| exp − 2 2|a|2 2aR |a|2 aR aR 1 + 2|a| 1 + aR Λ aR Λ 1

2

"

De totale antisymmetrische gaussische potentiële energie wordt dan berekend door bovenstaande matrixelemten in te vullen in (2.19). Deze fornule wordt grafisch voorgesteld in figuur 2.13. Het effect van de antisymmetrisatie is weer dat de interactie afgezwakt wordt.

2.4. Een realistische nucleon-nucleon interactie

2.4

31

Een realistische nucleon-nucleon interactie

Een realistische NN interactie bestaat uit een korte dracht repulsieterm, afkomstig van de spinspin interactie tussen de quarks als de nucleonen te dicht bij elkaar komen, en een middellange dracht aantrekkende interactie. Voor de eenvoud zal hier gewerkt worden met de spin en isospin onafhankelijke Malfliet-Tjon V potentiaal [22]. Malfliet en Tjon gebruikten deze potentiaal om de bindingsenergie van triton te berekenen: V (r) =

h ri C h ri A − exp − . exp − r B r D

(2.24)

Deze parameters, gefit aan experimentele data, zijn: A = 1458, 047 MeV fm, B = 0, 32154341 fm, C = 578, 089 MeV fm, D = 0, 64516129 fm.

Als deze interactie, zoals in eerdere paragrafen, aangepast wordt voor gaussische golfpakketten moet er onderscheid gemaakt worden tussen de interactie tussen twee onderscheidbare deeltjes, een neutron en een proton, en twee niet-onderscheidbare deeltjes, neutron-neutron of protonproton.

neutron-neutron interactie.

Voor neutron-neutron interactie moet de verwachtingswaarde

van de potentiaal genomen worden tussen een geantisymmetriseerd golfpakket. Hiervoor kan gebruik gemaakt worden van vergelijkingen (2.11) en (2.23): Vnn =

1 [UD (C, D) − UE (C, D) − UD (A, B) + UE (A, B)] . det n

(2.25)

Deze vergelijking word grafisch weergegeven in figuur 2.14 voor relatieve impuls p = 0 en met breedte aR = aI = 0.03 fm2 . De breedte van het golfpakket kan geschat worden door gebruik te maken van de de Broglie relatie: λ=

~ 197.3 ≈ ≈ 0.21 fm, p 939

en aangezien |a| =

q

volgt hieruit dat aR = aI = 0.03 fm2 .

a2R + a2I = σ 2 = 0.044 fm2 ,


32

250 klassiek aR = aI = 0.03 fm2 200

Vnn (MeV)

150

100

50

0

-50

0

1

2

3

4

5

r (fm)

Figuur 2.14:

De neutron-neutron potentiaal voor een geantisymmetriseerd gaussische golfpakket i.v.m. de klassieke potentiaal uit vergelijking (2.24). De relatieve impuls p = 0 en aR = aI = 0.03 fm2

proton-proton interactie. Voor de proton-proton interactie kan grotendeels dezelfde formule als voor neutron-neutron interactie gebruikt worden, grotendeels want er is nog de coulomb repulsie tussen 2 protonen. VC =

αC , r

met

1 e2 ≈ . 4πǫ0 ~c 137 Deze potentiaal kan op de gebruikelijke manier getransformeerd worden voor gaussische golfα=

pakketten: UD = UE

π|a|2 aR π|a|2 aR

3 2

Φ

r

aR r 2 |a|

·

α , r

(2.26)

r2 aI |a|2 2 r = exp − − 2 r · p − 2 p 2 2aR aR aR aI i |a|2 r + 2p   s 2 |a| aI r + 2p  . ×Φ i √ |a|2 2aR απ

(2.27)

De coulomb repulsieterm tussen protonen kan dan berekend worden door de matrixelementen in te vullen in vergelijking (2.19). De grafische weergave hiervan is getoond in figuur 2.15. Daarop is te zien dat door over te gaan op onderscheidbare golfpakketten, de interactie als het ware


33

10 klassiek onderscheidbaar niet-onderscheidbaar

Ecoulomb (MeV)

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

r (fm)

Figuur 2.15: De coulombafstoting tussen 2 protonen, in het klassieke, onderscheidbare en ononderscheidbare regime voor p = 0 MeV en aR = aI = 0, 03 fm2

uitgesmeerd wordt over de breedte van dat golfpakket. Voor niet onderscheidbare golfpakketten zal de interactie weer wat meer afgeplat worden. De volledig geantisymmetriseerde interactie tussen twee protonen is te zien in figuur 2.16. In figuur 2.17 wordt de proton-proton interactie grafisch weergegeven naast de coulomb repulsie term (1/r gedrag) bij iets grotere afstanden (van 4 tot 7 fm). Op deze afstanden overheerst de afstotende coulombterm, deze afstanden zijn ook typische internucleaire afstanden bij subnucleaire dichtheden in de korst van neutronensterren. Dit is de oorzaak van het gefrustreerde gedrag van materie in de pastafasen. proton-neutron interactie Om de proton-neutron interactie uit te rekenen hoeft enkel UD van de Malfliet-Tjon potentiaal uitgerekend te worden. De drie interacties zijn tesamen grafisch weergegeven in figuur 2.18. Er is een grotere repulsie bij proton-neutron omdat, bij deze golfpakketten die niet geantisymmetriseerd zijn, x kleiner kan worden en er dus meer afstoting mogelijk is. Bij grotere afstanden, dus als de overlap verwaarloosbaar is, zien we dat de interacties samenkomen, op de coulomb afstoting bij proton-proton na.


34

250 klassiek niet-onderscheidbaar 200

Vpp (MeV)

150

100

50

0

-50 0

1

2

3

4

5

r (fm)

Figuur 2.16:

De Malfliet-Tjon interactie tussen twee protonen met coulomb repulsie in rekening gebracht voor klassieke deeltjes en identieke fermionen: p = 0 MeV en aR = aI = 0, 03 fm2 .

0.4 proton-proton coulomb 0.35

0.3

E (MeV)

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 4

4.5

5

5.5 r (fm)

6

6.5

7

Figuur 2.17: De proton-proton interactie op grote afstanden vergeleken met een zuivere coulombpotentiaal voor p = 0 MeV en aR = aI = 0, 03 fm2


35

proton-neutron proton-proton neutron-neutron

800

E (MeV)

600

400

200

0

0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Figuur 2.18: De verschillende nucleon-nucleon interacties vergeleken met elkaar bij p = 0 MeV en aI = aR = 0.03 fm2 .

Hoofdstuk 3

Partitiefuncties in de statistische fysica De klassieke statistische fysica1 werd door Ludwig Boltzmann aan het einde van de 19e eeuw uit de grond gestampt. Hij probeerde de wetten van de thermodynamica een fundamentele basis te geven door uit te gaan van het idee dat macroscopische materie een atomaire, microscopische substructuur heeft. Het is de dynamica van die substructuur die de macroscopische eigenschappen bepaalt. Partitiefuncties zijn de sleutel tot de oplossing van een probleem in de statistische fysica. Eenmaal deze gekend is kunnen alle fysische observabelen van een systeem berekend worden. Het probleem is verschoven naar het evalueren van de partiefunctie, iets dat zelden exact mogelijk is. In dit hoofdstuk zal eerst bondig de klassieke statistische fysica, en de rol van partitiefuncties hierin, besproken worden. Tot slot wordt bekeken hoe de partitiefunctie berekend kan worden met gaussische golfpakketten en wat de problemen zijn die hierbij optreden.

3.1

Microcanonisch ensemble

De macroscopische evenwichtstoestand van een ge¨ısoleerd systeem is simpelweg de macrotoestand waar de meeste microtoestanden mee overeenkomen. In de thermodynamica zag men dat een ge¨ısoleerd systeem evenwicht bereikt als de entropie S (een toen fysisch niet goed begrepen grootheid) gemaximaliseerd werd. Boltzmann legde de link tussen macroscopische grootheden en microscopische dynamica door te stellen dat: S(E, V, N ) = k ln Ω(E, V, N ).

(3.1)

Hierin stelt Ω het aantal equivalente microtoestanden overeenkomstig met een macrotoestand, gekarakteriseerd door de grootheden (E, V, N ) voor en is k = 1, 3806505(24)×10−23 JK−1 de constante van Boltzmann. In vergelijking (3.1) zit de impliciete veronderstelling dat elke microtoe1

Het grootste deel van de informatie hier werd samengevat uit [23, 17, 21]

36

3.2. Canonisch ensemble

37

stand die aanleiding geeft tot dezelfde macrotoestand (E, V, N ) met dezelfde waarschijnlijkheid zal voorkomen. Dit wordt het ergodisch principe genoemd.

3.2

Canonisch ensemble

Stel dat er een ensemble is van allemaal systemen die warmtedoorlaatbare wanden hebben, en dat dit ensemble nog eens in een warmtebad zit. Alle systemen hebben dan dezelfde constante temperatuur T opgelegd door het warmtebad. Wat is dan de kans om een systeem aan te treffen met energie Ej en wat is de verwachtingswaarde van de thermodynamische grootheden? Aangezien dit geen ge¨ısoleerd systeem is kan niet uitgegaan worden van het ergodisch principe in één enkel systeem, dus kan niet zomaar de som over alle microtoestanden genomen worden. Er moet een bepaalde waarschijnlijkheid aan de microtoestanden gegeveb worden. Het canonisch ensemble is het raamwerk waarin deze systemen (T, V, N ) beschreven kunnen worden. Neem een systeem met warmtedoorlaatbare wanden geplaatst in evenwicht met een heel groot warmtebad. Het systeem en het warmtebad vormen samen een ge¨ısoleerd systeem waarop het microcanonisch (E, V, N ) formalisme van toepassing is. De kans dat het systeem zich in een toestand met energie Ei bevindt is gelijk aan de kans dat het warmtebad zich in een toestand E0 − Ei bevindt:

ΩW B (E0 − Ei , V, N ) psys (Ei ) = P , ΩW B (E0 − Ej , V, N )

(3.2)

j

waarin de som loopt over alle mogelijk energie-eigenwaarden van het systeem. Uit vergelijking (3.1) volgt: 1 ΩW B (E0 − Ei , V, N ) = exp S(E0 − Ei , V, N ) . k

(3.3)

Aangezien energie een extensieve grootheid is zal E0 ≫ Ei en kan vergelijking (3.3) in eerste

orde Taylorontwikkeling geschreven worden als:

S(E0 − Ei , V, N ) ≈ S(E0 , V, N ) − Ei

∂S ∂E

.

(3.4)

V,N

Uit de thermodynamica weet men dat:

∂S ∂E

= V,N

1 . T

Vergelijking (3.3) levert ons dan onmiddelijk: 1 1 Ei exp S(E0 − Ei , V, N ) ≈ exp S(E0 , V, N ) − . k k T Daar de totale kans op 1 genormeerd is wordt vergelijking (3.2) gegeven door (met β = psys (Ei ) =

e−βEi , Q(T, V, N )

1 kT ):

(3.5)

3.3. Groot-Canonisch ensemble

38

waarin Q=

X

e−βEj ,

(3.6)

j

de partitiefunctie is. De partitiefunctie is voor het canonisch systeem wat het aantal microtoestanden voor het microcanonisch systeem is. Het is handig om de vrije energie F in te voeren: F (T, V, N ) = −kT ln Q(T, V, N ).

(3.7)

Alle toestandsgrootheden kunnen dan eenvoudig uitgerekend worden door de vrije energie af te leiden naar een goed gekozen variabele.

3.3

Groot-Canonisch ensemble

Naast de energie kan men ook het aantal deeltjes in een systeem laten fluctueren zodat een compleet analoge redenering gemaakt kan worden als hierboven. Een systeem dat deeltjes en warmte kan uitwisselen met zijn omgeving wordt gekenmerkt door de 3 toestandsgrootheden (T, V, µ). De chemische potentiaal µ vervult hierin een analoge rol als de temperatuur. Als twee systemen in thermisch contact staan met elkaar zal de entropie (van de twee systemen beschouwd als ge¨ısoleerd systeem) maximaal zijn als ze dezelfde temperatuur hebben. Met andere woorden: twee systemen in thermisch evenwicht hebben dezelfde temperatuur. Op exact dezelfde wijze zal de chemische potentiaal gelijk worden als twee systemen die deeltjes kunnen uitwisselen in chemisch evenwicht komen. De afleiding van de vergelijkingen voor het grootcanonisch ensemble verloopt perfect analoog. In vergelijking (3.4) komt een extra term bij die geassocieerd wordt met de chemische potentiaal: ∂S µ =− . ∂N V,E T De kans pN j dat een systeem, gekarakteriseerd door de grootheden (T, V, µ), zich in een microtoestand met N deeltjes en energie-eigenwaarde EjN bevindt2 , is N

pN i =

e−β(Ei −N µ) , Q(T, V, µ)

waarin Q de grootcanonische partitiefunctie is: X X −β(E N −N µ) j Q(T, V, µ) = e . N

(3.8)

(3.9)

j

De grootpotentiaal Φ(T, V, µ) neemt hier de rol over als handige functie om verwachtingswaarden te berekenen door af te leiden naar een goed gekozen variabele. De grootpotentiaal wordt gedefinieerd als Φ = −kT ln Q(T, V, µ). 2

In de dubbele som

P P N

j

loopt de eerste term over alle deeltjesaantallen in het systeem en de tweede term

over energie-eigenwaarden die in het systeem met N deeltjes voorkomen.

3.4. Onderscheidbaarheid en Boltzmannstatistiek

3.4

39

Onderscheidbaarheid en Boltzmannstatistiek

In de voorgaande paragrafen werden formalismen afgeleid die kunnen toegepast worden op alle macroscopische systemen.Om deze formalismen toe te passen moet men weten wat de verschillende energieniveau’s zijn van het syteem dat bestudeerd wordt. Hiertoe moet de N -deeltjes Schrödinger vergelijking opgelost worden, wat een zo goed als onmogelijke taak is. Dit kan enkel als de deeltjes niet interageren of de interactie tussen de deeltjes benaderd kan worden als een gemiddeld veld. In deze gevallen kan de N -deeltjes Hamiltoniaan opgesplitst worden in N ééndeeltjeshamiltonianen zodat de energie kan geschreven worden als de som van alle ééndeeltjesenergieën. De partitiefunctie wordt dan: Q(T, V, N ) =

X

e−βEj =

j

=

N X i=1

X

e−β(ǫi +ǫj +ǫk +ǫl +ǫm +...)

i,j,k,l,m,...

e−βǫi ×

N X j=1

e−βǫj × . . .

N

= [Q(T, V, 1)] . Hierin zijn de ǫn ’s ééndeeltjes energietoestanden. Het probleem hierbij is dat deze formule enkel geldig is voor onderscheidbare deeltjes, en dat in de kwantummechanica identieke deeltjes altijd ononderscheidbaar zijn, tenzij ze in een rooster zitten. Voor ononderscheidbare deeltjes zullen de eigentoestanden in bovenstaande som verkeerd gewogen worden. De benadering die hier gemaakt wordt is: Q(T, V, N ) =

X

e−βEj =

j

≈ =

X

e−β(ǫi +ǫj +ǫk +ǫl +ǫm +...)

(3.10)

ǫi ≤ǫj ≤... N

N

1 X −βǫi X −βǫj e × ... e × N! i=1

(3.11)

j=1

1 [Q(T, V, 1)]N . N!

De voorwaarde waar een systeem van ononderscheidbare deeltjes aan moet voldoen opdat de bovenstaande benadering mag toegepast worden is [21] 3 π N (12mkT ) 2 ≫ . 6 V

(3.12)

Zoals te zien is in vergelijking (3.11), geeft deze benadering aan elke molecule een kans p(ǫi ) ∼ e−βǫi ,

(3.13)

om zich in het ééndeeltjes energieniveau ǫi te bevinden. Dit wordt Boltzmannstatistiek genoemd. Dit lijkt erg goed op vergelijking (3.2), maar heeft een andere interpretatie. In vergelijking (3.2) gaat het om energieniveau’s van macroscopische systemen (N -deeltjes energieniveau’s). In een ensemble van macroscopische (T, V, N ) systemen is elk systeem altijd onderscheidbaar en

3.5. De partitiefunctie in de kwantummechanica

40

dus mag vergelijking (3.2) altijd toegepast worden. Dit in tegenstelling tot de formule voor ééndeeltjes energietoestanden (3.13) waarvoor twee benaderingen gemaakt zijn, namelijk 1. dat de N -deeltjeshamiltoniaan opgesplitst kan worden in N ééndeeltjeshamiltonianen en de deeltjes dus als niet interagerend kunnen beschouwd worden. 2. dat de temperatuur voldoende hoog is en de dichtheid voloende laag, omdat er dan veel meer toestanden beschikbaar zijn voor de deeltjes dan dat er deeltjes zelf zijn. Dan hebben de verkeerd gewogen eigentoestanden (de toestanden waar meerdere deeltjes in dezelfde ééndeeltjestoestand zitten) een bijzonder kleine kans om voor te komen. Met Boltzmannstatistiek kan veel beschreven worden, maar niet alles. Uit vergelijking (3.12) volgt dat voor lichte deeltjes, bij lage temperaturen of hoge dichtheden, de Boltzmannbenadering niet meer correct is. Voor problemen waar de hamiltoniaan opgesplitst kan worden, en men dus kan spreken over individuele (quasi-)deeltjes, kan men nog steeds vergelijking (3.10) opschrijven, maar is de daarna gemaakte benadering niet meer geldig. Dit is het gebied waar kwantummechanica een rol begint te spelen en het Pauli-verbod zich zal laten gelden.

3.5

De partitiefunctie in de kwantummechanica

Om de partitiefunctie van een kwantumsysteem uit te rekenen, is het niet altijd noodzakelijk om de veeldeeltjes-Schr¨ odingervergelijking op te lossen. Een benadering kan gemaakt worden door gebruik van gemiddeld veld potentialen, zoals we verder nog zullen zien. Indien dit niet mogelijk is moeten er algemenere methodes gebruikt worden. De algemeen geldige vergelijkingen voor het canonisch ensemble zijn: Q(T, V, N ) =

X

e−βEj ,

(3.14)

j

hAi =

X 1 Aj e−βEj . Q(T, V, N )

(3.15)

j

De energietoestanden van het systeem Ej worden bekomen door de veeldeeltjes-Schrödingervergelijking op te lossen. Men bekomt dan de golffuncties die het systeem beschrijven: ˆ N i = Ej |ΨN i. H|Ψ j j Aangezien de |ΨN i i’s eigentoestanden zijn van het systeem kan dit geschreven worden als: ˆ

−βEi e−β H |ΨN |ΨN i i. i i=e

Daaruit volgt dat ˆ

−β H −βEi |ΨN . hΨN i |e i i=e

3.6. Overcompleetheid van gaussische golfpakketten

41

De partiefunctie (3.14) kan dus geschreven worden als Q(T, V, N ) =

X ˆ −β H hΨN |ΨN j |e j i. j

Dit is niets anders dan ˆN , = Tr Q waarin ˆN Q

(3.16)

 ˆ ˆ ˆ N −β H N −β H −β H |ΨN |ΨN |ΨN hΨN 3 i 2 i hΨ1 |e 1 i hΨ1 |e 1 |e  ˆ ˆ ˆ N −β H N N −β H N N −β H hΨ |e |Ψ1 i hΨ2 |e |Ψ2 i hΨ2 |e |ΨN 3 i  2 =  N −β Hˆ N ˆ ˆ −β H |ΨN i hΨN |e−β H |ΨN i hΨ3 |e |Ψ1 i hΨN 3 |e 2 3 3  .. .. .. . . .

...



 . . .  . . . .  .. .

Aangezien het spoor invariant is onder gelijkvormigheidstransformaties, volstaat het om het spoor te nemen met een lineair onafhankelijke set die de oplossingsruimte opspant. Vergelijking (3.15) kan dan als volgt omgevormd worden: X 1 ˆ −β H Aj hΨN |ΨN j |e j i Q(T, V, N ) j X 1 ˆ −β Hˆ |ΨN i, = hΨN j |Ae j Q(T, V, N )

hAi =

j

wat geschreven kan worden als ˆρN = Tr Aˆ

met

ρˆN =

1 ˆN . Q Q(T, V, N )

(3.17)

Als ρˆN gekend is, dan is het veeldeeltjesprobleem opgelost. ρˆN wordt de dichtheidsmatrix genoemd.

3.6

Overcompleetheid van gaussische golfpakketten

In de vorige paragraaf is een algemene methode besproken om de kwantummechanische partitiefunctie van een systeem te berekenen. Om de partitiefunctie van fermionische golfpakketten te berekenen zouden we dus het spoor kunnen nemen van de dichtheidsmatrix. Het probleem hierbij is dat gaussische golfpakketten een overcomplete set niet-orthogonale golffuncties vormen. Als het spoor genomen wordt van de dichtheidsmatrix in een basis van gaussische golfpakketten, verwacht men te veel toestanden te tellen door de overcompleetheid van de golfpakketten. Er kan echter bewezen worden dat er een compleetheidsrelatie voor gaussische golfpakketten in de hilbertruimte bestaat [20]:

1ˆN

1 = (2π)3N

Z

dr1 . . . drN dp1 . . . dpN

|ΨN ihΨN | hΨN |ΨN i


42

waarin ˆ |ΨN i = A|ψ(r 1 , p1 )i ⊗ . . . ⊗ |ψ(rN , pN )i, en ψ(r, p) een gewoon gaussisch golfpakket is. Als dit geldig is kan geschreven worden dat: Z 1 ˆ ˆN = 1 QN = Tr Q dr1 . . . drN dp1 . . . dpN hΨN |e−β H |ΨN i. (3.18) N ! (2π)3N Om meer voeling te krijgen met dit vreemde resultaat zullen als voorbeeld de één- en tweedeeltjespartitiefunctie uitgerekend worden voor vrije deeltjes. Voor vlakke golven, die een complete set vormen voor deze hamiltoniaan, geldt dat: Z βk2 Q1 = dxhψk |e− 2m |ψk i Z Z 2 1 − βk 2m dx dke = (2π)3 3 mkT 2 , = V 2π

(3.19)

en Q2 =

1 2

Z

=

V2 2

=

V2 2

=

V2 2

=

−

dx1 dx2 hψk1 ,k2 |e

mkT 2π mkT 2π

3 3

1 − 2(2π)6 V − 2(2π)3

3

2 +k2 βk1 2 2m

Z Z

−

|ψk1 ,k2 i − hψk1 ,k2 |e

dxdX

Z

2 +k2 βk1 2 2m

dk1 dk2 eix·(k2 −k1 ) e−

dk1 dk2 δ(k2 − k2 )e−

|ψk1 ,k1 i

2 +k2 βk1 2 2m

2 +k2 βk1 2 2m

Z βk2 V − m2 − dk e 2 2(2π)3 3 V 2 mkT 3 V mkT 2 . − 5 2 2π 2π 22 mkT 2π

(3.20)

Gaussische golfpakketten vormen een overcomplete set voor deze ruimte, de berekening van Q1 met golfpakketten kan nog analytisch uitgevoerd worden: Z 2 1 1 − βk 2m |ψ Q1 = drdphψ |e rp rp i hψrp |ψrp i (2π)3 Z Z β |a|3 1 −(aR + 2m −aR p2 )k2 e2aR k·p . drdpe dke = hψrp |ψrp i (2π)3 De integratie over r en k kan al uitgevoerd worden, zo bekomt men:

Q1

V 1 = (2π)3 1 + β 2maR 3 mkT 2 , = V 2π

!3 Z 2

"

βp2 dp exp − 2m

1 1+

β 2maR

!#


43

wat exact hetzelfde resultaat is als voor vlakke golven. De tweedeeltjespartitiefunctie kan berekend worden als het volgende matrixelement gekend is: " # β k12 + k22 1 |Ψr1 p1 ,r2 p2 i hΨr1 p1 ,r2 p2 | exp − M = hΨ|Ψi 2m =

1 [MD − ME ] . det n

Hierin is MD gewoon het eendeeltjesmatrixelement dat we net berekend hebben in het kwadraat. ME kan iets eenvoudiger geschreven worden door over te gaan op relatieve coördinaten zoals in vergelijking (2.5): 2 Z K β aR 6 2 ∗ 2 2 2 ME = |a| + 2k + 2ik · r dkdK exp − (K − P) − a (k − p) − a(k + p) − 2 2m 2 " !3 !# 3 2 2 2 2π|a| 1 1 βP 2 3 = |a| exp − β aR 4m 1 + β 1 + 2ma 2maR R Z 2 βk ∗ 2 2 + 2ik · r × dk exp −a (k − p) − a(k + p) − m !3 !# " 3 βP 2 βp2 π|a|2 1 1 exp − = + β β aR 4m m 1 + 2ma 1 + 2ma R R " !# 2 2 2|a| 2 aI r 1 × exp − p +2 r·p− . β aR aR 2aR 1 + 2ma R Als dit samengevoegd wordt met het MD dan kan het matrixelement geschreven worden als: " !3 !# βP 2 βp2 1 1 exp − M = + β β 4m m 1 + 2ma 1 + 2ma R R   2 2 2|a| 2 aI 1 r     β  1 − exp − aR p + 2 aR r · p − 2aR  1+ 2ma R h i . × 2   2 + 2 aI r · p − r 2   1 − exp − 2|a| p   aR aR 2aR De partitiefunctie wordt dan, als de integraal over P en R al uitgevoerd wordt, " !3 !# 3 Z 2 1 βp2 1 mkT 2 V Q2 = dpdr exp − × β β π 2(2π)3 m 1 + 2ma 1 + 2ma R R   2 2 2|a| aI 1 r   2   β   1 − exp − aR p + 2 aR r · p − 2aR 1+ 2ma R i h . × 2 aI  r2  2   1 − exp − 2|a|   aR p + 2 aR r · p − 2aR

(3.21)

De integraal in vergelijking (3.21) is niet analytisch uitrekenbaar. Er zijn echter een aantal punten numeriek uitgerekend en deze zijn samen met Q2 /V 2 berekend met vlakke golven weergegeven in figuur 3.1. Hierop is te zien dat de punten exact samenvallen. Dit is een mooi voorbeeld van hoe het spoor genomen in een overcomplete set van gaussische golfpakketten toch hetzelfde resultaat oplevert als het spoor genomen met een complete set.

3.7. De partitiefunctie met antisymmetrische golfpakketten

44

0.004

0.0035

0.003

Q2/V2 (MeV6)

0.0025

0.002

0.0015

0.001

0.0005 partitiefunctie met golfpakketten exacte uitdrukking voor vlakke golven 0 0

10

20

30

40

50

kT (MeV)

Figuur 3.1: Q2 /V 2 voor vrije deeltjes, berekend met vlakke golven en in enkele punten voor gaussische golfpakketten.

3.7

De partitiefunctie met antisymmetrische golfpakketten

In de vorige paragraaf is aangetoond dat de partitiefunctie exact gevonden kan worden door het spoor te nemen van de dichtheidsmatrix in een basis van gaussische golfpakketten. In de praktijk is het echter bijna onmogelijk om dit uit te rekenen als er interactie is. De oorzaak ˆ

hiervan is dat in de operator e−β H een deel zit dat niet eenvoudig geschreven kan worden in de configuratieruimte, maar ook een deel dat niet eenvoudig geschreven kan worden in de impulsruimte. Om dit probleem op te lossen kan de volgende benadering gemaakt worden: Z 1 1 ˆ QN ≈ dr1 . . . drN dp1 . . . dpN e−βhΨN |H|ΨN i . (3.22) N ! (2π)3N Vergelijking (3.18) zou hetzelfde zijn als (3.22) indien de ΨN eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan. Dit is helaas niet het geval. De fout die gemaakt wordt kan makkelijk ingezien worden ˆ

door de operator e−β H in een reeks te ontwikkelen: 2 ˆ ˆ N i + β hΨN |H ˆ 2 |ΨN i + . . . . hΨN |e−β H |ΨN i = 1 − βhΨN |H|Ψ 2!

Voor niet-eigenfuncties is meestal: n ˆ n |ΨN i = ˆ Ni , hΨN |H 6 hΨN |H|Ψ

dus zullen er voor gaussische golfpakketten fouten gemaakt worden. Als beide exponentiëlen van elkaar afgetrokken worden dan is de eerste verschilterm: ˆ 2 |ΨN i − hΨN |H|Ψ ˆ N i2 6= 0. hΨN |H

3.7. De partitiefunctie met antisymmetrische golfpakketten

45

Dit is niets anders dan de statistische term voor de fluctuatie van de energie rond zijn verwachtingswaarde! Deze benadering wordt ook wel eens een mean field benadering genoemd omdat fluctuaties verwaarloosd worden.

Hoofdstuk 4

Van klassieke gassen naar kwantumvloeistoffen Het doel van deze thesis is het opstellen van een toestandsvergelijking voor nucleaire materie. Toestandsvergelijkingen kunnen ontwikkeld worden binnen het raamwerk van de statistische fysica zoals besproken in voorgaand hoofdstuk. In dit hoofdstuk zal bestudeerd worden hoe deze technieken gebruikt worden bij het opstellen van een toestandsvergelijking voor ideale en reële gassen, en vloeistoffen. Ook zal besproken worden hoe deze aangepast kunnen worden voor gaussische golfpakketten en op die manier gebruikt kunnen worden om een toestandsvergelijking op te stellen voor nucleaire materie. Een toestandsvergelijking legt verbanden tussen macroscopisch meetbare grootheden van een systeem in evenwicht. Als een systeem gekarakteriseerd wordt door verschillende toestandsgrootheden (X, Y, Z, . . .) kan een ruimte opgespannen worden, zijnde de faseruimte, met op de assen die grootheden die de toestand karakteriseren. Elk punt in deze ruimte stelt een mogelijke toestand voor. Een toestandsvergelijking bepaalt een oppervlak in de faseruimte waar systemen die in evenwicht zijn zich op bevinden. Een voorbeeld van een toestandsvergelijking is de ideale gaswet: P V = N kT. Deze legt een verband tussen de druk, de temperatuur en het volume van een ideaal gas, dit is een sterk verdund gas waar intermoleculaire interacties verwaarloosd kunnen worden. Toestandsvergelijkingen zijn van groot belang in de fysica en de sterrenkunde. Door toestandsvergelijkingen op te stellen van stellaire materie kan men door de oppervlaktetemperatuur van een ster te meten een idee krijgen van druk en temperatuur binnenin. Op die manier kan men via modellen uit de kernfysica kijken wat precies de processen zijn die de ster in evenwicht houden. Zoals reeds vermeld in vorig hoofdstuk zou een goede toestandsvergelijking kunnen helpen om supernovaexplosies beter te verstaan. Kortom, toestandsvergelijkingen zijn een krachtig hulpmiddel voor fysici om een beter inzicht te krijgen in de natuur.

46

4.1. Toestandsvergelijkingen voor ideale gassen

4.1 4.1.1

47

Toestandsvergelijkingen voor ideale gassen Klassieke ideale gassen

Het voorbeeld bij uitstek waar door middel van Boltzmannstatistiek een toestandsvergelijking kan afgeleid worden zijn klassieke ideale gassen. De partitiefunctie voor dit N -deeltjes systeem is: QN

=

Q1 =

1 [Q1 ]N N! 3 Z 2 V mkT 2 − βp dpe 2m = V . (2π)3 2π

De toestandsvergelijking kan dan op de volgende manier afgeleid worden: ∂F P =− . ∂V T,N Met vergelijking 3.7 wordt dit:

N kT , V wat niets anders is dan de welgekende ideale gaswet. P =

4.1.2

Ideale Fermi gassen

De Fermi-Dirac distributie Er zijn slechts 2 soorten deeltjes gekend in de wereld: bosonen (heeltallige spin) en fermionen (halftallige spin). Experimenteel ziet men dat bosonen altijd een volledig symmetrische veeldeeltjesgolffunctie hebben en fermionen een volledig antisymmetrische. Een gevolg hiervan is dat bosonen liefst met zoveel mogelijk deeltjes in hetzelfde niveau zitten, terwijl geen 2 fermionen in hetzelfde (niet ontaard) niveau mogen zitten (het Pauli-verbod). Aan de hand van deze vaststellingen is het mogelijk om een uitbreiding te maken van de in paragraaf 3.4 afgeleide techniek voor systemen waar kwantummechanica een rol begint te spelen. De voorwaarde van de opsplitsing van de N -deeltjeshamiltoniaan in N ééndeeltjeshamiltonianen blijft echter noodzakelijk. Stel, een systeem bevindt zich in een toestand Ej , dan geven alle verzamelingen van bezettingen van ééndeeltjestoestanden {nk } die voldoen aan: ∞ X

nk ǫk = Ej ,

k=0

∞ X

nk = N,

(4.1)

k=0

aanleiding tot dezelfde toestand. De partitiefunctie kan dan geschreven worden als: P X −β nj ǫj X −βEj Q(N, T, V ) = , e = e j j

{nk

}′

(4.2)


48

waarbij de som loopt over alle verdelingen {nk }′ die voldoen aan vergelijking (4.1). Deze par-

titiefunctie is bijzonder moeilijk uit te werken en door over te gaan op het groot canonisch ensemble kan dit probleem enorm vereenvoudigd worden: Q(T, V, µ) =

∞ X

eβµN Q(N, T, V ).

N =0

Met vergelijking (4.2) kan dit geschreven worden als Q(T, V, µ) = =

∞ X

e

N =0 ∞ X

X

e

P

nj ǫ j

j

{nk }′ P P nj ǫ j βµ nj −β

e

j

e

j

}′

N =0 {nk

=

−β

X

βµN

∞ X Y nj X . eβ(µ−ǫj )

N =0 {nk }′ j

Uit bovenstaande sommen valt in te zien dat elke waarde van nj wel zal voorkomen als N → ∞,

dus kunnen de sommen vervangen worden door nmax nmax 2 1

Q(T, V, µ) =

X X

n1 =0 n2 =0



=  =

...

j

nmax 1

X

nj Y eβ(µ−ǫj )

eβ(µ−ǫ1 )

n1 =0

nmax j

n1





×

nmax 2

X

eβ(µ−ǫ2 )

n2 =0

nj YX eβ(µ−ǫj ) .

n2



 × ...

j nj =0

Aangezien bij fermionen de enige mogelijke bezettingsgetallen 0 en 1 zijn wordt dit Q(T, V, µ) =

Y j

1 + eβ(µ−ǫj ) .

(4.3)

Het totaal aantal deeltjes ligt vast en is N . In het groot canonisch formalisme bestaat er echter een formule voor het gemiddeld aantal deeltjes [21] ∂ ln Q hN i = kT . ∂µ V,T Als dit nu toegepast wordt op vergelijking (4.3) dan bekomt men   ∂ X ln 1 + eβ(µ−ǫj )  hN i = ∂µ j

=

X j

eβ(µ−ǫj ) . 1 + eβ(µ−ǫj )

(4.4)


49

T=1EF T=2EF T=3EF T=4EF T=5EF T=0.1EF

1

0.8

f(E)

0.6

0.4

0.2

0 0

2

4

6

8

10

E (EF)

Figuur 4.1: De Fermi-Dirac distributie bij verschillende temperaturen voor µ = EF .

Zo krijgt men de equivalente distributie van vergelijking (3.13) uit de Boltzmannstatistiek maar met kwantumeffecten die optreden voor fermionen op een correcte manier in rekening gebracht: n¯j =

1 eβ(µ−ǫj ) = . β(µ−ǫ ) −β(µ−ǫ j j) 1+e 1+e

(4.5)

Dit is evenredig met de kans dat een deeltje zich in een ééndeeltjestoestand met energie ǫj zal bevinden bij temperatuur T . Als T groot wordt t.o.v. µ gaat deze distributie zich herleiden tot de gewone Boltzmanndistributie. Dit is logisch want als je bedenkt dat T een maat is voor de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes, en dus een maat voor hoeveel toestanden er beschikbaar zijn voor de deeltjes, en µ een maat is voor de dichtheid van de deeltjes volgt dit effect rechtstreeks uit vergelijking (3.12). In figuur 4.1 is de Fermi-Dirac distributie grafisch weergegeven bij verschillende temperaturen. De toestandsvergelijking van een ideaal Fermi gas Uit algemene thermodynamische betrekkingen [23, 17, 21] is bekend dat: PV = ln Q(T, V, µ). kT Vult men hierin de Fermi-Dirac partitiefunctie in dan wordt dit: (waarin terug z = eβµ ) X PV = ln 1 + ze−βǫj . kT j


50

Als de spin niet meegerekend wordt is de impuls p het enige kwantumgetal dat de ééndeeltjestoestanden in een ideaal Fermi-gas karakteriseert. Bovenstaande vergelijking wordt dan: 1 P = 2 kT 2π

Z∞

2

2

− βp 2m

dp p ln 1 + ze

0

.

(4.6)

Vergelijking (4.4) wordt op dezelfde manier omgevormd tot 1 N = 2 V 2π

Z∞

dp p2

0

1 βp2

1 + z1 e 2m

.

(4.7)

Als z uit vergelijkingen (4.6) en (4.7) geëlimineerd wordt bekomt men de toestandsvergelijking voor een ideaal Fermi gas. Dit stelsel van vergelijkingen kan herschreven worden als: P kT

=

ρ =

mkT 2π mkT 2π

3

2

3

2

f 5 (z),

(4.8)

f 3 (z),

(4.9)

2

2

met de volgende functiedefinities [17, 23] f 5 (z) = 2

4 √ π

Z∞ 0

∞ X (−1)l+1 z l 2 dx x2 ln 1 + ze−x = , 5 2 l l=1

(4.10)

∞

f 3 (z) = z 2

X (−1)l+1 z l ∂ f 5 (z) = . 3 ∂z 2 l2

(4.11)

l=1

Voor hoge temperaturen en lage dichtheden kan hier een soort viriaalontwikkeling gehaald worden. Het verschil met de echte viriaalontwikkeling is dat hier de correctietermen veroorzaakt zullen worden door het Pauli-verbod. Er mag verwacht worden dat voor hoge temperaturen en lage dichtheden de kwantumeffecten zullen verdwijnen. In een klassiek en ideaal gas is Q(T, V, N ) = V

N

mkT 2π

3N 2

,

waaruit volgt dat µ = kT

∂ ln Q(T, V, N ) ∂N

T,V

" 3 # mkT 2 . = kT ln V 2π

Dus is voor een klassiek ideaal gas de fugaciteit z niets anders dan: z=V

mkT 2π

3 2

.

Vult men in vergelijking (4.9) vergelijking (4.11) in dan bekomt men ρ

3 = z − mkT 2 2π

z2 3

22

+ ... .

(4.12)

4.1. Toestandsvergelijkingen voor ideale gassen Stel

51

3

mkT 2π

2

= q,

en neem aan dat z geschreven kan worden als een reeks op de volgende manier: z = a(ρq) + b(ρq)2 + . . . . Als hierin vergelijking (4.12) gesubstitueerd wordt en gelijke machten van z gelijkgesteld worden dan bekomt men: a = 1, 1 b = 3 . 22 Zo kan mooi ingezien worden dat bij hoge temperaturen en lage dichtheden Fermi-Dirac overgaat in Boltzmannstatistiek: z = ρq +

1 2

3 2

(ρq)2 + . . . .

(4.13)

Als dit nu ingevuld wordt in vergelijking (4.8) dan kan de toestandsvergelijking geschreven worden als een reeksontwikkeling in de dichtheid, verder zullen we zien dat dit een viriaalontwikkeling genoemd wordt: P 1 π 32 2 =ρ+ ρ + ... . kT 2 mkT

(4.14)

De coëfficiënt voor ρ2 wordt de tweede viriaalcoëfficiënt genoemd en is voor een ideaal Fermi gas: (0)

B2 (T ) =

1 π 32 . 2 mkT

(4.15)

De toestandsvergelijking en de temperatuursafhankelijkheid van de viraalcoëfficiënt worden getoond in respectievelijk figuur 4.2 en 4.3.

4.1.3

De toestandsvergelijking van een neutronenster in een eenvoudig model

Gedegenereerde fermionendruk Hoe dieper je in de ster binnendringt, hoe groter de druk wordt. Wat zorgt ervoor dat de ster niet helemaal in elkaar stort om zijn gravitationele energie te minimaliseren? In evenwicht moet er dus iets zijn dat ervoor zorgt dat, als het volume van de ster nog kleiner wordt, de energie van de materie binnenin zoveel stijgt dat het de gravitationele energie compenseert. Aangezien dE/dV niets anders is dan de druk wil dat eigenlijk zeggen dat de druk binnenin, uitgeoefend door de materie, even groot is als de gravitationele druk veroorzaakt door de hoger gelegen lagen. In de vorige paragraaf is de Fermi-Dirac distributie afgeleid. In de limiet voor T → 0 zullen

de deeltjes één voor één in een hoger ééndeeltjes energieniveau gestapeld worden tot aan de


0.12

52

ideaal fermi gas n = 0.001 fm-3 klassiek n = 0.001 fm-3 ideaal fermi gas n = 0.005 fm-3 klassiek n = 0.005 fm-3

0.1

P (MeV/fm3)

0.08

0.06

0.04

0.02

0 0

5

10 kT (MeV)

15

20

Figuur 4.2: De toestandsvergelijking voor een ideaal Fermi gas bij twee waarden van de dichtheid.

5000

B2(T)

4000

B2 (fm)

3000

2000

1000

0 0

2

4

6

8

kT (MeV)

Figuur 4.3: De tweede viriaalcoëfficiënt voor een ideaal Fermi gas.

10


53

chemische potentiaal, die voor T = 0 de Fermi-energie ǫF genoemd wordt. Wat is nu de Fermienergie voor neutronen in een neutronenster? Het aantal toestanden (relativistisch) in een intervalletje [ǫ, ǫ + dǫ], beschikbaar voor de neutronen is (zie [23]): V p2 ǫ ǫ − m2n dǫ. π2

f (ǫ)dǫ =

Als over alle energietoestanden ge¨ıntegreerd wordt, gewogen door de Fermi-Dirac distributie, moet het aantal deeltjes in het systeem bekomen worden: Z ∞ p 2 ǫ ǫ − m2n V dǫ. N= 2 π mn eβ(ǫ−µ(T )) + 1 Bij T = 0 vereenvoudigt deze uitdrukking omdat alle toestanden onder de Fermi-energie bezet zijn en daarboven niet: V N= 2 π

Z

ǫF mn

p 3 V ǫ ǫ2 − m2n dǫ = 2 (ǫ2F − m2n ) 2 . 3π

Waaruit de Fermi-energie en het Fermi - momentum afgeleid kan worden, in functie van de fermionendichtheid: ǫF

=

pF

=

q

Uit hoofdstuk 1 weten we nog dat: ρn ≈

2

(3π 2 ρn ) 3 + m2n , 1 3π 2 ρn 3 .

(4.16) (4.17)

1056 = 2.39 · 1044 m−3 = 0.239 fm−3 . 4 3 π(10000) 3

Dit komt overeen met een Fermi-momentum van: pF ≈ 817 MeV. De energie van een ontaard neutronengas in zijn grondtoestand wordt gegeven door V E0 = 2 π

ZpF

dp p2

0

p

p2 + m2n .

(4.18)

Het probleem kan eenvoudiger opgelost worden door over te gaan op een nieuwe integratievariabele x = p/mn . Zo wordt vergelijking (4.18) V m4n E0 = π2

ZxF 0

waarin xF =

dx x2

p

1 + x2 ,

1 1 3π 2 ρ 3 . mn

(4.19)


54

Figuur 4.4: De druk veroorzaakt door de Pauli repulsie van neutronen in een neutronenster in functie van de dichtheid.

De energie per deeltje is dan ǫ0 = waarin f (xF ) =

m4n f (xF ), ρπ 2

ZxF

dx x2

0

p

1 + x2 .

(4.20)

(4.21)

Bij T = 0 is de druk niets anders dan P0 = −

dE0 , dV

dit is, met vergelijking (4.19), P0 = −

m4n df (xF ) dxF m4n . f (x ) − V F π2 π 2 dxF dV

Zo wordt de druk uiteindelijk q 1 3 m4n 2 P0 = − 2 f (xF ) + xF 1 + xF . π 3

(4.22)

Een grafische weergave van deze formule is te zien in figuur 4.4. De gedegenereerde neutronendruk biedt gedeeltelijk weerstand tegen gravitationele druk, maar dit eenvoudig model biedt natuurlijk geen exacte beschrijving van een complex object zoals een neutronenster. Er zijn nog andere factoren die de druk binnenin een ster zullen bepalen zoals de afstotende component van de kernkracht. Deze druk kan dan gesubstitueerd worden in de Oppenheimer-Volkov vergelijkingen om de structuurvergelijking van neutronensterren te bekomen [13, 24].


55

β equilibrium Als we aannemen dat een neutronenster is opgebouwd uit ontaarde protonen, neutronen en elektronen (T = 0) kan de evenwichtssamenstelling gevonden worden door de voorwaarde op te leggen dat de reacties e− + p → n + ν

en

n → p + e− + ν,

elkaar in evenwicht houden. Bij hoge dichtheden in de ster zullen de elektronen heel erg hoge energiën krijgen, als deze groter worden dan het massaverschil tussen een neutron en een proton wordt het energetisch voordelig om invers β verval te ondergaan. De evenwichtstoestand bij T = 0 is deze die de energie in de ster minimaliseert, waarbij natuurlijk moet voldaan zijn aan het behoud van baryongetal: ρ = ρn + ρp = cte,

(4.23)

ρp = ρe .

(4.24)

en aan behoud van lading:

Binnen het model van een ideaal ontaard Fermi gas is de energiedichtheid van elke fermionsoort (met f = e, n of p): Z pf p F 1 f ǫ = p2 p2 + m2 dp π2 0 q 2   q f 3 f 2 + pf p + m 2 2 1 1 1  f 2 2 4 2 2 F F  − mf pfF pfF + mf − mf ln  p p f + mf . = 4π 2 F F 2 2 mf

Dit kanqherschrevenworden in functie van de Fermi - energie van de verschillende fermionen 2 2 ǫfF = mf + pfF : " 1 1 f4 f f f2 ǫ = 2 ǫF p F ǫF − m ln 4π 2 f

De evenwichtsconditie is:

ǫfF + pfF mf

!#

.

(4.25)

d (ǫe + ǫn + ǫp ) = 0. dρf

Nu zijn de ρf ’s allemaal met elkaar verbonden door de vergelijkingen (4.23) en (4.24), dus als er afgeleid wordt naar ρp , wordt er terzelfdertijd afgeleid naar −ρn en ρe . De afgeleide van de

energie naar de dichtheid halen we uit vergelijking (4.25) [13]: q f 2 dǫf dǫf dkF 2 = f = kFf + mf = ǫfF . f f dρ dρ dkF

Hiervan gebruik makend vindt men door minimalisatie van de totale energie de uitdrukking voor chemisch evenwicht. Er vervallen evenveel neutronen naar protonen en elektronen, als er protonen en elektronen combineren tot een neutron: ǫeF + ǫpF = ǫnF .

(4.26)


56

0.008 protonfractie 0.007

0.006

nn/np

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

nn (fm-3)

Figuur 4.5: De protonfractie in functie van de neutronendichtheid in neutronensterren.

Met gebruik van vergelijking (4.17) kan men bovenstaande vergelijking omvormen tot een vergelijking die bij gegeven ρ, ρp teruggeeft. Vergelijking (4.26) kan herschreven worden als: q

peF 2 + me2 +

q

2

ppF + mp2 =

q

pnF 2 + mn2 .

(4.27)

Herschrijft men nu: peF

= ppF ,

pnF

= (3π 2 ρ − ppF ) 3 ,

ppF

1

3

1

= (3π 2 ρp ) 3 ,

en vult men dit in vergelijking (4.27) in dan verkrijgt men: q

2

(3π 2 ρp ) 3

+

me2

+

q

2

(3π 2 ρp ) 3

+

mp2

=

q

2

(3π 2 (ρ − ρp )) 3 + mn2 .

(4.28)

De oplossing van deze vergelijking [24] geeft de protonendichtheid terug in functie van de neutronendichtheid:

met:

 nn  1 + np = 8

4Q mn x2n

Q = mn − mp Deze vergelijking is weergegeven in figuur 4.5.

2

2

e + 4 Qm−m 2 x4

1+

en

n n

1 x2n

xn =

3 2

 , pnF . mn

(4.29)

4.2. Toestandsvergelijkingen voor reële gassen

4.2 4.2.1

57

Toestandsvergelijkingen voor re¨ ele gassen Toestandsvergelijking voor re¨ ele gassen via de viriaalontwikkeling

Wanneer de dichtheid van een gas stijgt, komen de deeltjes dichter bij elkaar en zullen dus steeds meer in interactie treden met elkaar. Het ideale beeld valt weg, en we hebben te maken met reële gassen. Neutronenmaterie bij hoge temperaturen en lage dichtheden is hier een voorbeeld van. Het is algemeen gekend dat reële gassen afwijkingen vertonen van de ideale gaswet als de dichtheid stijgt. Om deze afwijking te beschrijven zijn er een groot aantal empirische en semi-empirische toestandsvergelijkingen opgesteld. De meest fundamentele hiervan, deze die theoretisch het sterkst onderbouwd is, is de viriaal expansie. Deze expansie drukt de afwijking van de ideale gaswet uit als een machtreeks in de dichtheid: ∞

X P = kT j=0

N V

j

Bj (T ).

(4.30)

De viriaal coëfficiënten Bj (T ) worden hier afgeleid uit ensemble theorie. De Groot-Canonische partitiefunctie kan als volgt herschreven worden: Q(T, V, µ) =

∞ X

z N Q(T, V, N ),

(4.31)

N =0

met z = eβµ de fugaciteit. Uit algemene thermodynamische betrekkingen [17, 23, 21] volgt dat Φ = −kT ln Q = −P V

en

N =−

∂Φ ∂µ

.

(4.32)

T,V

Hieruit volgt dat: PV

e kT

=

∞ X

z N Q(N, T, V ),

N =0

N V

=

z V

∂ PV ∂z kT

.

(4.33) (4.34)

T,V

Uitgaande van deze algemene resultaten uit de statistische fysica kan men de toestandsvergelijking van een reëel gas afleiden. Als in een gas de dichtheid toeneemt zal de chemische potentiaal ook toenemen en bij constante temperatuur ook de fugaciteit. Het is dus redelijk te veronderstellen dat we ook een ontwikkeling van de druk in machten van de fugaciteit kunnen schrijven: ∞

X P ai z i . = kT

(4.35)

i=1

De exponentiële in vergelijking (4.33) kunnen we ook ontwikkelen en gebruik makend van vergelijking (4.35) kunnen we elke macht in P/kT vervangen door een oneindige reeks in de fuga-


58

citeiten: PV

e kT

V2 P 2 V3 P 3 V4 P 4 + + + ... + 2 kT 6 kT 24 kT V2 2 2 V3 3 3 2 = 1 + V a1 z + V a2 + a z + V a3 + V a1 a2 + a z 2 1 6 1 V4 4 4 V2 2 V3 2 2 a + a a2 + a z + ... . + V a4 + V a1 a3 + 2 2 2 1 24 1

= 1+V

P kT

(4.36)

Stelt men de termen bij gelijke machten van fugaciteiten in vergelijking (4.36) gelijk aan het rechterlid van vergelijking (4.33) en lossen we dit stelsel dan op naar de ai ’s dan bekomt men: a1 = a2 = a3 = a4 =

Q1 , V Q21 1 Q2 − , V 2 1 Q3 − Q1 Q2 + V 1 Q4 − Q1 Q3 − V

Q31 , 3 Q4 Q22 + Q21 Q2 − 1 . 2 4

Indien de fugaciteit geschreven kan worden als een reeksontwikkeling in de dichtheid en we dit invullen in vergelijking (4.35) dan kan de link gelegd worden met de viriaalcoëfficiënten Bi (T ). Door de dichtheid te schrijven als een reeks in de fugaciteit verkrijgen we door vergelijking (4.35) in te vullen in vergelijking (4.34): ρ=

∞ X

nan z n .

(4.37)

n=1

Stellen we dat de inverse bestaat: z=

∞ X

bn ρn .

(4.38)

n=1

Substitutie van vergelijking (4.38) in vergelijking (4.37) levert voldoende voorwaarden op om de bi ’s te bepalen in functie van de ai ’s: 1 , a1 2a2 = − 3 , a1 a3 a2 = 8 52 − 3 4 , a1 a1 3 a a2 a3 a4 = −40 27 + 30 6 − 4 5 . a1 a1 a1

b1 = b2 b3 b4


59

Dit in combinatie met vergelijking (4.35) levert tenslotte de viriaalcoëfficiënten op: B1 = 1,

1 Q2 , − 2 Q21 2Q2 2Q3 4Q22 2 1 = V − 2 − 3 + 4 , 3 Q1 Q1 Q1 2 3 Q2 27 Q2 Q2 Q2 Q3 Q3 Q4 19 3 . = V −20 6 + − 3 2 + 18 −6 3 −3 4 − 2 Q41 4 Q1 Q1 Q51 Q1 Q1

B2 = V B3 B4

(4.39a)

(4.39b) (4.39c) (4.39d)

Dit wil eigenlijk zeggen dat we de toestandsvergelijking van een interagerend veeldeeltjessysteem (orde 1023 deeltjes) bij hoge T en lage ρ nauwkeurig kunnen benaderen door de partitiefunctie van een twee of drie deeltjessysteem te kennen. Klassiek voorbeeld van B2 (T ). Klassiek kunnen we de kinetische energie van de potentiële energie scheiden in de integraal over de faseruimte bij de berekening van Q2 . Energie wordt uitgedruk in

1 fm

centrale potentiaal zijn de partitiefuncties: Q1 Q2

≈ 197.3 M eV . Voor een

3 kT m 2 = V , 2π Z 2π 2 R Q dr r 2 exp [−βV (r)], = V 1 0

waarin R de straal van het totale systeem is (dat bolvormig ondersteld wordt). De bovenstaande integraal is moeilijk analytisch te evalueren. Met numerieke integratie kan je het probleem makkelijk oplossen als je het opsplitst. Het deel waar de potentiaal verschillend van nul is, is bijzonder klein (atomaire, nucleaire schaal) t.o.v. het totaal volume van het systeem. Daarom zullen we de integraal als volgt opsplitsen: Z Z l Z R 2 2 dr r exp [−βV (r)] + dr r exp (−βV (r)) ≈ 0

0

R

dr r 2 ,

l

met l een maat voor de dracht van de interactie. De tweede term in het rechterlid is dezelfde voor welke korte dracht interactie je ook kan bedenken, namelijk: 2π 2 IV 1 Q2 = Q Iint + − , V 1 2 2V waar Iint de interactieintegraal is Z

l

dr r 2 exp (−βV (r)),

0

en IV = 4/3πl3 het interactievolume. De tweede viriaalcoëfficiënt wordt dan: B2 =

1 (IV − 4πIint ) . 2

(4.40)


60

50

B2(T)

45 40 35

B2 (fm3)

30 25 20 15 10 5 0 0

100

200

300

400

500

kT (MeV)

Figuur 4.6: B2 in functie van de temperatuur voor een repulsieve gaussiche potentiaal Λ = 1 fm2 en b = 100 MeV met (zie vergelijking (4.41)).

Hieruit blijkt waarom de ideale gaswet gewijzigd wordt. Voor een harde bollen potentiaal is B2 het grootst. Voor een afstotende, maar niet oneindig harde potentiaal wordt B2 kleiner. Naarmate de afstoting kleiner wordt zal B2 naar nul toegaan. Is er geen interactie, dan valt B2 helemaal weg want dan is de interactieintegraal identiek aan het interactievolume. Wordt de interactie aantrekkend dan zal B2 negatief worden. Dit kan ook gezien worden als het effectief volume van de deeltjes, die eerst starre harde bollen zijn, dat steeds kleiner wordt en perfecte puntdeeltjes zijn voor niet-interagerende deeltjes. Wordt de interactie tussen de deeltjes aantrekkend dan is het alsof het volume waar het gas zich in bevindt groter wordt. Nu zullen we eens de interactie-integraal numeriek uitrekenen voor een gaussische potentiaal: r2

V (r) = be− Λ .

(4.41)

In figuur 4.6 zien we de tweede viriaalcoëfficiënt voor een afstotende gaussische potentiaal met Λ = 1 fm2 en b = 100 MeV, in functie van de temperatuur. In figuur 4.7 zijn de verschillen tussen de ideale gaswet en de eerste orde correctie met behulp van B2 met elkaar vergeleken.

4.2.2

B2 voor re¨ ele kwantumgassen

De toestandsvergelijking voor een reëel kwantumgas kan opgesteld worden gebruik makende van het formalisme opgesteld in paragraaf 3.5. Dit werd in de jaren ’30 ontwikkeld en beschreven in een aantal publicaties over reële kwantumgassen [11, 12, 10].


61

Figuur 4.7: Vergelijking tussen de toestandvergelijking van een klassiek gas met B2 in rekening gebracht en zonder B2 , voor een afstotende potentiaal Λ = 1 fm2 en b = 100 MeV met (zie vergelijking (4.41)) bij verschillende dichteden

Met vergelijking (3.16) kunnen we schrijven: ˆ

Q(T, V, N ) = Tr e−β H X ˆ −β H = hΨN |ΨN j |e j i j

=

XZ

ˆ

dr1 . . . drN Ψ∗j (r1 , . . . , rN )e−β H Ψj (r1 , . . . , rN ).

j

Als WN gedefinieerd wordt als: WN (r1 , . . . , rN ) = N !

mkT 2π

− 3N X 2

ˆ

Ψ∗j (r1 , . . . , rN )e−β H Ψj (r1 , . . . , rN ),

(4.42)

j

dan kan de partitiefunctie geschreven worden als: 1 Q(T, V, N ) = N!

mkT 2π

3N Z 2

dr1 . . . drN WN (r1 , . . . , rN ).

(4.43)

Dit is perfect analoog aan het klassieke geval, waar de partitiefunctie kan opgesplitst worden in een deel in de impulsruimte en een deel in de configuratieruimte:

Q(T, V, N ) = = =

1 1 N ! (2π)3N

Z

β

dp1 . . . dpN dr1 . . . drN e

"

N P

i=1

#

p2 i +U (r ,...,r ) 1 N 2m

N p2 Z P Z i −β 1 1 2m i=1 dp . . . dp e dr1 . . . drN e−βU (r1 ,...,rN ) 1 N N ! (2π)3N 3N Z 1 mkT 2 dr1 . . . drN e−βU (r1 ,...,rN ) . N! 2π


62

In vergelijking (4.43) neemt de integraal over WN de rol van de configurationele partitiefunctie over. De tweede viriaalcoëfficiënt B2 kan dan geschyreven worden als: 1 Q2 − B2 (T ) = V 2 Q21 ! R 1 1 dr1 dr2 W2 (r1 , r2 ) = V − R 2 2 2 dr1 W1 (r1 ) Z 1 = dr1 dr2 [1 − W2 (r1 , r2 )] , 2V

(4.44)

omdat volgens de definitie in vergelijking (4.42) W1 (r1 ) =

mkT 2π

− 3 X 2

Ψ∗j (r1 )e

β∇2 2m

Ψ∗j (r1 ).

j

Aangezien de eigenfuncties van de ééndeeltjeshamiltoniaan gewone vlakke golven zijn, genormeerd in een volume V, wordt dit 3 1 mkT − 2 X −ipr1 β∇2 ipr1 e e 2m e W1 (r1 ) = V 2π p 3Z dp − βp2 mkT − 2 e 2m = 1. = 2π (2π)3 Uit vergelijking (4.44) blijkt dat de tweede viriaalcoëfficiënt gevonden kan worden uit W2 . Het probleem is nu dat, om W2 te bepalen, de exacte eigenfuncties van het interagerende tweedeeltjessysteem moeten gevonden worden. De Schrödingervergelijking is: ˆ j (r1 , r2 ) = Ej Ψj (r1 , r2 ), HΨ

(4.45)

met

ˆ = − 1 ∇21 + ∇22 + V (|r1 − r2 |). H 2m Vergelijking (4.45) kan opgesplitst worden door gebruik te maken van massamiddelpuntsco¨ ordinaten en relatieve co¨ ordinaten, gedefinieerd zoals in vergelijking (2.5). Aangezien de interactie tussen 2 deeltjes enkel afhankelijk is van de relatieve posities van de deeltjes is de massamiddelpuntsgolffunctie gewoon een vlakke golf: 1 Ψj (r1 , r2 ) = √ eiP·R ψj (r). V

De vergelijking voor de relatieve coördinaten wordt dan: 1 2 − ∇ + V (r) ψj (r) = ǫj ψj (r), m met ∇ de gradiënt naar de relatieve coördinaten en Ej =

P2 + ǫj . 4m


63

Uit vergelijking (4.42) volgt voor W2 :

mkT −3 X ∗ ˆ Ψj (r1 , r2 )e−β H Ψj (r1 , r2 ) W2 (r1 , r2 ) = 2 2π j −3 X X βP 2 2 mkT |ψj (r)|2 e− 4m −βǫj . = V 2π P

j

De som over P kan voor V → ∞ herschreven worden als integraal:   Z X βP 2 1 mkT −3 ∞ |ψj (r)|2 e−βǫj  . W2 (r1 , r2 ) = dP P 2 e− 4m ×  π2 2π 0 j

Dit wordt met behulp van vergelijking (A.8) uit appendix A W2 (r1 , r2 ) = 2

5 2

mkT 2π

− 3 X 2 j

|ψj (r)|2 e−βǫj .

(4.46)

De voorgaande redenering is ook geldig voor twee niet interagerende deeltjes. Er kan dus geschreven worden: (0) W2 (r1 , r2 )

=2

5 2

mkT 2π

− 3 X 2 j

(0)

(0)

|ψj (r)|2 e−βǫj .

(4.47)

(0)

Er zal blijken dat door B2 (T )−B2 (T ) te beschouwen, de viriaalcoëfficiënt van het interagerende systeem veel makkelijker bekomen kan worden: Z h i 1 (0) (0) dr1 dr2 W2 (r1 , r2 ) − W2 (r1 , r2 ) . B2 (T ) − B2 (T ) = 2V Als hier vergelijkingen (4.46) en (4.47) ingevuld worden dan wordt dit 3

B2 (T ) −

(0) B2 (T )

22 = V

mkT 2π

− 3 X Z 2

drdR

j

(0) (0) |ψj (r)|2 e−βǫj

2 −βǫj

− |ψj (r)| e

,

aangezien de golffuncties op 1 genormeerd zijn wordt dit: B2 (T ) −

(0) B2 (T )

=2

3 2

mkT 2π

− 3 X 2 (0) −βǫj −βǫj e −e .

(4.48)

j

Voor het niet interagerend systeem kan geschreven worden dat: (0)

ǫj

=

p2 . m

Bij het interagerende systeem zullen er twee soorten energieniveau’s zijn: discrete gebonden toestanden ǫB en een continu¨ um aan niet-gebonden toestanden. Om deze toestanden te labelen definiëren we p′ als: ǫj =

p′ 2 . m


64

Definieer nu twee functies: g(p′ ) en g(0) (p), die het aantal toestanden geven in het gebied [p, p + dp] respectievelijk voor de interagerende en de niet interagerende deeltjes. Vergelijking (4.48) kan dan geschreven worden als: (0)

B2 (T ) − B2 (T ) = 2

3 2

mkT 2π

  − 3 Z∞ Z∞ 2 X 2 −βp2 −βp′  dp g(0) (p)e m − dp′ g(p′ )e m − e−βǫB  , 0

B

0

p en p′ zijn hier gewoon dummy variabelen, de twee integralen kunnen dus samengenomen worden en bovenstaande vergelijking wordt (0)

B2 (T ) − B2 (T ) = 2

3 2

  − 3 Z∞ 2 X 2 βp mkT  dp g(0) (p) − g(p) e− m − e−βǫB  . 2π

(4.49)

B

0

g(0) (p) − g(p) kan op de volgende manier uitgerekend worden. Aangezien de interactie centraal is kunnen de golffuncties geschreven worden als [26]:

ψplm (r) = Cplm Ylm (θ, φ) (0)

(0)

ψplm (r) = Cplm Ylm (θ, φ)

upl (r) , r (0) upl (r) r

.

Aangezien de golffunctie van fermionen antisymmetrisch moet zijn in de verwisseling van de deeltjes is Ψ(−r) = −Ψ(r), en aangezien de pariteit van de sferische harmonieken (−1)l is kunnen er voor de relatieve golffunctie enkel oneven waarden van l voorkomen. De deeltjes

zitten opgesloten in een bepaald kwantisatievolume (4/3πR3 ) dat uiteindelijk naar oneindig zal naderen. De randvoorwaarden die opgelegd moeten worden aan de golffunctie zijn dus: (0)

upl (R) = upl (R) = 0. Voor Besselse functies weet men dat [26]: (0) lim u (r) r→∞ pl

lπ . ∼ sin pr + 2

Voor heel grote r zal de golffunctie van het interagerend systeem ook naar een vlakke golf gaan, maar met een faseverschil ge¨ınduceerd door de interactie, hiervoor geldt dus : lπ lim upl (r) ∼ sin pr + + ηl (p) . r→∞ 2 De randvoorwaarden kunnen nu opgelegd worden aan de golffunctie: pr + pr +

lπ 2

= nπ

lπ + ηl (p) = nπ 2

zonder interactie, met interactie.


65

De eigenwaarden zijn onafhankelijk van m en elk niveau is dus (2l + 1)-voudig ontaard. De afstand in de p-ruimte tussen 2 opeenvolgende toestanden met zelfde l is: ∆p(0) = ∆p =

π , R R+

π ∂ηl (p) ∂p

.

Het aantal toestanden in een interval [p, p + ∆p] met draaiimpulsmoment l is dus: (0)

gl (p) = gl (p) =

2l + 1 R, π ∂ηl (p) 2l + 1 R+ , π ∂p

waaruit volgt dat: gl (p) − gl (p) = −

2l + 1 ∂ηl (p) , π ∂p

g(0) (p) − g(p) = −

∂ηl (p) 1 X′ , (2l + 1) π ∂p

(0)

en dus

l

waarbij de Σl ′ loopt over alle oneven waarden van l. Als dit ingevuld wordt in vergelijking (4.49) dan bekomt men: (0)

3

B2 (T ) − B2 (T ) = −2 2

mkT 2π

− 3 2

 Z∞ ′ 2 X X ∂ηl (p) − βp 1 e m + (2l + 1) dp e−βǫB  . π ∂p 

l

0

(4.50)

B

B (0) (T ) kan analytisch uitgewerkt worden door formules (3.19) en (3.20) te substitueren in vergelijking (4.39b), op die manier wordt: B (0) (T ) =

1 π 32 , 2 mkT

wat hetzelfde resultaat is als dat gevonden bij de toestandsvergelijking van een ideaal Fermi-gas.

4.2.3

Neutronenmaterie als een re¨ eel gas

In paragraaf 4.1.3 werd een model uiteengezet dat een neutronenster beschrijft als bestaande uit niet interagerende protonen en neutronen. Uit de voorwaarde voor chemisch evenwicht tussen deze twee wordt dan een schatting gemaakt van de protonen - en neutronendichtheid in de ster. Dit model kan uitgebreid worden voor de beschrijving van nucleaire materie bij lage dichtheden en hoge temperaturen door gebruik te maken van de viriaalontwikkeling. Men kan interacties tussen de nucleonen in rekening brengen door gebruik te maken van de viriaalontwikkeling, dus door de experimentele bindingsenergiën en faseverschuivingen in te vullen in vergelijking (4.50)


66

[2]. Een heel erg stabiele configuratie is de vierdeeltjestoestand (twee protonen en twee neutronen) α. Omdat vierdeeltjes energieniveau’s slechts in rekening gebracht worden in B4 , zouden we om deze in rekening te brengen de viriaalontwikkeling tot in vierde orde moeten uitvoeren. Dit is heel complex en om dit te vermijden kunnen de α-configuraties gewoon beschouwd worden als op zichzelf bestaande deeltjes die ook in chemisch evenwicht zijn met de protonen en de neutronen: 2µn + 2µp = µα .

(4.51)

De groot-canonische partitiefunctie kan geschreven worden als: Q=

∞ X X

eβ(N µ−Ej ) .

N =0 j

Als we nu deze som uitvoeren en de afzonderlijke deeltjes beschouwen als andere energietoestanden dan levert dit (met Eα de bindingsenergie van het α-deeltje): Q = 1+ +

X

eβ(µp −ǫj ) +

e

+

p

j

X

X j

β(2µn −ǫnn j )

+

X

α

eβ(µα −[ǫj −Eα ]) +

j

X

β(µp +µα −ǫαp j )

e

+

j

X

pp

eβ(2µp −ǫj

)

j

β(2µα −[ǫαα −2Eα ])

e

+

X

β(µp +µn −ǫnp j )

e

j

j

j

X

n

eβ(µn −ǫj ) +

X

β(µn +µα −ǫαn j )

e

+ ... .

(4.52)

j

Schrijft men de fugaciteiten als zp = eβµp

zn = eβµn ,

en

dan wordt zα door vergelijking (4.51) en de lagere energietoestand van α-deeltjes: zα = zn2 zp2 eβEα . Met deze betrekkingen kan vergelijking (4.52) geschreven worden als: Q = 1 + zp +zn2

X

p

e−βǫj + zn

−βǫnn j

e

+

zα2

= 1+

X

j zp Qp1

X

−βǫαp j

e

e

+ zn Qn1

+ zα zn

X

α

e−βǫj + zp2

+ zn zp

X

pp

e−βǫj

j

j

−βǫαα

X

−βǫnp j

e

j

j

j

+zα zp

n

e−βǫj + zα

j

j

X

X

X

−ǫαn j

e

j

+

zα Qα1

np 2 nn 2 αα + zp2 Qpp 2 + zn Q2 + zα Q2 + zn zp Q2

αn +zα zp Qαp 2 + zα zn Q2 .

(4.53)

Om een toestandsvergelijking af te leiden vertrekken we net zoals in paragraaf 4.2.1 van vergelijkingen (4.33) en (4.34). Stel dat de volgende reeksontwikkeling bestaat: P np pα pp 2 2 αα 2 nα 3 = an1 zn +ap1 zp +aα1 zα +ann 2 zn +a2 zp +a2 zα +a2 zn zp +a2 zn zα +a2 zp zα +O(zf ). (4.54) kT


67

Gebruik makend van vergelijking (4.33) bekomt men: PV P V2 P 2 V3 P 3 V4 P 4 kT + + + ... + = 1+V e kT 2 kT 6 kT 24 kT

pp 2 np pα 2 αα 2 nα = 1 + V an1 zn + ap1 zp + aα1 zα + ann 2 zn + a2 zp + a2 zα + a2 zn zp + a2 zn zα + a2 zp zα V 2 n2 2 2 a1 zn + ap1 zp2 + aα1 2 zα2 + 2an1 ap1 zn zp + 2an1 aα1 zn zα + 2aα1 ap1 zα zp + . . . . (4.55) + 2

Als nu de termen bij gelijke machten van zfj uit vergelijkingen (4.53) en (4.55) gelijkgesteld worden dan bekomt men voor de ai ’s (waar f, g = n, p of α en f 6= g): Qf1 1 1 fg 1 f2 f ff ff a1 = Q2 − Qf1 Qg1 . , a2 = af2 g = Q2 − Q1 , V V 2 V

De veralgemening van vergelijking (4.34) voor systemen met meerdere deeltjessoorten is [17, 23, 21, 2]: zf ρf = V

∂ ln Q . ∂zf

(4.56)

Met behulp van vergelijking (4.54) en (4.33) kan (4.56) dan geschreven worden als (f 6= g 6= h): ρf = af1 zf + af2 g zf zg + af2 h zf zh + 2af2 f zf2 + O(z 3 ).

(4.57)

Stel dat deze reeks een inverse heeft: zf = bf1 ρf + bf2 g ρf ρg + bf2 h ρf ρh + bf2 f ρ2f + O(ρ3 ),

(4.58)

dan wordt bij substitutie van (4.58) in (4.57): ρn + ρp + ρα = f (ρn , ρp , ρα ), met f (ρn , ρp , ρα ) een veelterm. Als de termen bij gelijke ρf ρg in beide leden gelijkgesteld worden aan elkaar dan krijgt men: bf1

=

1 af1

bf2 g = − bf2 h

= −

bf2 f

= −

,

(4.59)

2af2 g 2

af1 ag1 2af2 h 2

af1 ah1 2af2 f af1

3

,

(4.60)

,

(4.61)

.

(4.62)

Met deze coëfficiënten kan vergelijking (4.58) ingevuld worden in vergelijking (4.54), zo bekomt men een toestandsvergelijking: P kT

= ρn + ρp + ρα + B2nn (T )ρ2n + B2pp (T )ρ2p + B2αα (T )ρ2α +B2np (T )ρn ρp + B2nα (T )ρn ρα + B2pα(T )ρp ρα ,

(4.63)


68

met 1 Qnn − 2n 2 , 2 Q1 ! pp Q app 1 − 2 − p22 = V , 2 Qp1 2 a1 aαα 1 Qαα − 2α 2 = V − 2α 2 , 2 Q1 a1 np a2 Qnp 2 − n p =V 1− n p , a1 a1 Q1 Q1 nα Qnα a2 2 − n α =V 1− n α , a1 a1 Q1 Q1 pα a2 Qpα 2 − p α =V 1− p α . a1 a1 Q1 Q1

B2nn (T ) = − B2pp (T ) = B2αα (T ) = B2np (T ) = B2nα (T ) = B2pα (T ) =

ann 2 =V an1 2

(4.64a) (4.64b) (4.64c) (4.64d) (4.64e) (4.64f)

Met deze vergelijkingen is het bepalen van de toestandsvergelijking van een interagerend gas met verschillende componenten herleid tot het berekenen van de interacties tussen de elementaire constituenten. Horowitz [2] gebruikte deze techniek om een schatting te maken van de toestandsvergelijking van nucleaire materie bij de neutrinosfeer1 van een supernova (door metingen op SN1987 had men een schatting kunnen maken van de T aan de neutrinosfeer). Later gebruikte hij die toestandsvergelijking om neutrino werkzame doorsnede’s te berekenen in een supernova [3].

4.2.4

De viriaalontwikkeling met gaussische golfpakketten

Hoe kan B2 uitgerekend worden voor een gas bestaande uit gaussische golfpakketten? De algemeen geldige formule voor deze coëfficiënt is: B2 = V

1 Q2 , − 2 Q21

waarin bij overgang op relatieve coördinaten 3 mkT 2 Q1 = V , 2π Z 1 1 ˆ anti |Ψi drdpdRdP exp −βhΨ| H Q2 = 2 (2π)6 Z V 1 ˆ anti |Ψi . = drdpdP exp −βhψ| H 2 (2π)6 βP 2

De enige term afhankelijk van P onder de integraal is e− 4m . De integraal over P kan dus al uitgevoerd worden en is met behulp van (A.8): V Q2 = 2 1

mkT π

3

2

1 (2π)3

Z

ˆ drdp exp −βhΨ|Hanti (P = 0)|Ψi .

De plaats waar de neutrino’s ontsnapten uit de dichte materie


69

Aangezien de Hamiltoniaan enkel afhankelijk is van de hoek tussen r en p, is dit de enige hoek waarover niet analytisch ge¨ıntegreerd kan worden. Als de substitutie cos θrp = trp doorgevoerd wordt, dan herleidt de integraal zich tot: Q2 = 4V π

2

mkT π

3

2

1 (2π)3

+∞ +∞ Z Z Z1 2 2 ˆ anti (P = 0)|Ψi . dtrp exp −βhΨ|H dr r dp p 0

0

−1

De integraal kan opgesplitst worden in twee delen. Een deel van r = 0 tot rs waar de antisymˆ anti zich tot metrie voelbaar is of de potentiaal niet verwaarloosbaar is. Na r = rs herleidt de H de gewone hamiltoniaan voor onderscheidbare deeltjes zonder interactie. Die term kan volledig analytisch uitgewerkt worden:  +∞ 3 Zrs Z Z1 h i 2 mkT 1 2 2 2 ˆ anti (P = 0)|Ψi  Q2 = 4V π dr r dp p dt exp −βhΨ| H rp π (2π)3 0 0 −1  +∞ +∞ 1 Z Z Z h i 1 ˆ ond |Ψi  dr r 2 + dp p2 dtrp exp −βhΨ|H (2π)3 rs 0 −1  r +∞ 3 Z1 Z Zs h i 2 1 2 2 2 mkT ˆ anti (P = 0)|Ψi  dt exp −βhΨ| H dp p dr r = 4V π rp π (2π)3 −1 0 0  +∞ Z 2 V r3 1 2 −β pm  +2 dp p e − s 4π 3 (2π)3 0  r +∞ s 3 Z Z Z1 h i mkT 2  1 2 2 ˆ anti (P = 0)|Ψi dr r dp p dtrp exp −βhΨ|H = V π 2π 0 0 −1 3# mkT 2 1 4πrs3 + V − . 16 3 π Vullen we bovenstaande zaken in, in de vergelijking voor B2 , dan bekomen we 3" 3 mkT 2 8 mkT − 2 1 4πrs3 1 − V − B2 = V 2 V π 16 3 π 1 + 2π

Zrs 0

zodat uiteindelijk 4 2πrs3 B2 = − 3 π

mkT π

 +∞ Z Z1 h i ˆ anti (P = 0)|Ψi  , dr r 2 dp p2 dtrp exp −βhΨ|H 0

− 3 Zrs 2 0

−1

+∞ Z Z1 h i ˆ anti (P = 0)|Ψi . dr r 2 dp p2 dtrp exp −βhΨ|H 0

(4.65)

−1

De viriaalcoëfficiënt kan dus benaderd gevonden worden voor willekeurige potentiaal door de integraal in het rechterlid numeriek te integreren. De resultaten van deze methode worden later besproken.

4.3. Voorbeelden van viriaalcoëfficiënten berekend met gaussische golfpakketten

4.3

70

Voorbeelden van viriaalco¨ effici¨ enten berekend met gaussische golfpakketten

In deze paragraaf zullen enkele voorbeelden gegeven worden van toestandsvergelijkingen opgesteld voor nucleaire materie bekomen met de viriaalontwikkeling. Om de B2 ’s te berekenen is gebruik gemaakt van de methode uiteengezet in paragraaf 4.2.4.

4.3.1

B2 voor niet interagerende fermionische golfpakketten

De uitdrukking voor de kinetische energie van twee fermionische golfpakketten (2.22) werd ingevuld in de exponentiële in vergelijking (4.65), waarna de integraal numeriek berekend werd d.m.v. het Romberg-algoritme. Hierbij dient opgemerkt te worden dat de nulpuntsenergie in vergelijking (2.22) is weggelaten uit de integraal omdat deze term de exponentiële opblaast. De nulpuntsenergie voor een golfpakket is: Enul =

3 = 5.21 fm−1 ≈ 1 GeV. 4maR

Bij temperaturen van de orde 5 MeV zal de exponentiële dus al snel naar nul gaan en zullen numerieke fouten zo groot worden dat er niets bruikbaars aan te vangen is met deze resultaten. Dat dit is toegestaan komt omdat de nulpuntsenergie voor alle golfpakketten dezelfde is en dus geschrapt kan worden in de breuk Q2 /Q21 . Moesten we echter de complexe breedte a van het golfpakket als een variabele beschouwd hebben, dan zou deze benadering niet gerechtvaardigd zijn en zou de computationele evaluatie van de viriaalcoëfficiënt heel wat omslachtiger worden. In figuur 4.8 is de tweede viriaalcoëfficiënt grafisch weergegeven voor fermionische golfpakketten met de realistische breedte aR = aI = 0.03 fm2 , als massa van de deeltjes werd de neutronmassa mn ≈ 939 MeV genomen. De vorm van deze curve is te verstaan aan de hand van figuur 2.9.

Daarop zien we dat, naarmate de breedte kleiner wordt, de dracht van de repulsie steeds kleiner

wordt, maar de sterkte van de afstoting in (r = 0, p = 0) steeds hoger. Bij een kleine breedte als aR = aI = 0.03 fm2 zal de Pauli repulsie zich in de configuratieruimte uitstrekken over een gebied van ongeveer:

s

5·σ =5

|a|2 = 0.87 fm, 2aR

en is de afstoting in (r = 0, p = 0) rond de 700 MeV. Het is dus logisch dat in het temperatuursgebied [0 MeV, 100 MeV] er slechts een licht dalende trend zal zijn. De toestandsvergelijking is weergegeven in figuur 4.9, hierop is te zien dat de toestandsvergelijking slechts bij heel hoge dichtheden merkbaar zal afwijken van de ideale gaswet. Als bij golfpakketten de breedte naar oneindig gaat zouden alle formules zich moeten herleiden tot die voor vlakke golven. Na¨ıef zou men dus verwachten dat voor heel grote a de net besproken viriaalcoëfficiënt voor niet interagerende fermionen zich herleidt tot formule (4.15). In figuur 4.10 zijn enkele viriaalcoëfficiënten bij verschillende waarden van a weergegeven samen met B2 voor vlakke golven. Wat opvalt is


1

aR = aI = 0.03 fm2

0.8

B2 (fm3)

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100

kT (MeV)

Figuur 4.8: De tweede viriaalcoëficiënt voor een niet interagerend gas van fermionen.

12

reeel gas n = 0.01 fm-3 ideaal gas n = 0.01 fm-3 reeel gas n = 0.05 fm-3 ideaal gas n = 0.05 fm-3 reeel gas n = 0.1 fm-3 ideaal gas n = 0.1 fm-3

10

P (MeV/fm3)

8

6

4

2

0 0

10

20

30

40

50 kT (MeV)

60

70

80

90

100

Figuur 4.9: Toestandsvergelijking voor een niet interagerend gas van fermionen.

71


72

Figuur 4.10: Toestandsvergelijking voor een niet interagerend gas van fermionen.

dat, hoe groter de breedte wordt, hoe sneller de viriaalcoëfficiënt naar nul gaat, en dat hij niet nadert naar het resultaat voor vlakke golven. Dit is een gevolg van de benadering die gemaakt is bij het evalueren van de partitiefunctie: ˆ

ˆ

hΨ|e−β H |Ψi = 6 e−βhΨ|H|Ψi .

4.3.2

B2 voor de Malfliet-Tjon potentiaal

Om nucleaire materie te beschrijven zal een vereenvoudigde versie van het model besproken in paragraaf 4.2.3 gebruikt worden. De toestandsvergelijking die hier gebruikt zal worden is: P = ρn + ρp + B2nn (T )ρ2n + B2pp (T )ρ2p + B2np (T )ρn ρp . kT

(4.66)

Met dezelfde methode als voor niet interagerende fermionen kunnen de verschillende partitiefuncties uitgerekend worden. De verwachtingswaarde van de kinetische energie wordt dan samen met de verwachtingswaarde van de Malfliet-Tjon potentiaal voor de verschillende nucleonsoorten gesubstitueerd in vergelijking (4.65). Daarna kunnen de viriaalcoëfficiënten berekend worden door de partitiefuncties te substitueren in vergelijkingen (4.64a), (4.64b) en (4.64d). De resultaten zijn weergegeven in figuur 4.11. De viriaalcoëfficiënten kennen alledrie ongeveer hetzelfde verloop. Dit gedrag is te verstaan aan de hand van figuur 2.18. Hierop ziet men dat voor hele korte afstanden er een repulsie is van ongeveer 200 MeV en er bij middelgrote afstanden een aantrekking is van 50 MeV. De afstoting zal ervoor zorgen dat bij realistische temperaturen de


0

B2(T) (fm3)

-50

-100

-150

neutron-neutron proton-proton neutron-proton -200 0

20

40

60

80

100

kT (MeV)

Figuur 4.11: B2 voor neutron-neutron, neutron-proton en proton-proton interactie bij golfpakketten met breedte aR = aI = 0.03 fm2 .

25

20

e-H/kT

15

10

5 kT = 5 MeV kT = 10 MeV kT = 20 MeV kT = 50 MeV B2 = 0 lijn

0 0

1

2

3

4

5

r (fm)

Figuur 4.12: De exponentiële factor e−βH getoond bij verschillende waarden van de temperatuur voor een Malfliet-Tjon potentiaal.

73

4.4. Toestandsvergelijkingen voor vloeistoffen

74

exponentiële zo goed als nul is in gebieden tot 0.8 fm, dit is goed te zien op figuur 4.12 waar de exponentiële van de hamiltoniaan is weergegeven. Het verschil tussen de B2 = 0 lijn en een lijn bij een zekere kT geeft aan wat de waarde van de viriaalcoëfficiënt zal zijn. Voor lage temperaturen zal de aantrekkende component van de potentiaal overheersen en zal de viriaalcoëfficiënt dus sterk negatief worden. Naarmate de temperatuur stijgt zal deze term steeds minder sterk worden en bij temperaturen rond de 200 MeV zal de viriaalcoëfficiënt positief worden omdat dan enkel nog de korte dracht repulsie zal bijdragen. Het verschil tussen de neutron-neutron en de proton-proton viriaalcoëfficiënt is te wijten aan de extra energie die optreedt door coulombrepulsie tussen de protonen. Dat de neutron-proton viriaalcoëfficiënt ongeveer twee keer zo groot is als de neutron-neutron viriaalcoëfficiënt volgt uit formule (4.64d). Waarin Qnp 2 =1 Qn1 Qp1

i.p.v.

Qnn Qp2 1 2 = = , 2 p2 n 2 Q1 Q1

als er geen interactie is tussen de deeltjes. Dit ligt aan het feit dat een neutron en een proton onderscheidbare deeltjes zijn. De fermionische tweeneutronentoestand |Ψrp,r′ p′ i zal, in de inte-

graal over alle toestanden bij het uitrekenen van de partitiefunctie, twee keer geteld worden. Er wordt immers ge¨ıntegreerd over zowel r1 en r2 als p1 en p2 , de toestanden |Ψrp,r′ p′ i en |Ψr′ p′ ,rp i zullen dus als aparte toestand geteld worden, maar zijn exact dezelfde toestand. Aangezien een proton en een neutron onderscheidbaar zijn maakt het daar wel uit welk deeltje zich in welke toestand bevindt, en wordt in de integraal over alle toestanden op de correcte manier geteld. De toestandsvergelijking kan nu bepaald worden door de viriaalcoëfficienten in te vullen in vergelijking (4.66). In paragraaf 4.1.3 is gezien dat de proton-neutron verhouding afhankelijk is van de totale baryondichtheid van de ster. De exacte uitdrukking voor de protonenconcentratie in de ster bij een gegeven neutrondichtheid is gegeven in formule 4.29 en werd gebruikt in de toestandsvergelijking.In figuren (4.13), (4.14) en (4.15) zijn de toestandsvergelijkingen weergegeven bij respectievelijke neutronendichtheden 0.001, 0.005 en 0.01 fm−3 . Bij relatief lage temperaturen (T < 15 MeV) zal de druk negatief zijn. Dit resultaat geeft aan dat we de viriaalontwikkeling proberen toe te passen in een gebied waar ze helemaal niet geldig is. De viriaalontwikkeling zal maar realistische resultaten geven als kT > 15 MeV en bij dichtheden die minstens tien keer lager zijn dan de nucleaire saturatiedichtheid. Onder deze omstandigheden zal nucleaire materie zich gedragen als een reëel gas en zal de viriaalontwikkeling tot in de tweede orde uitgevoerd goede resultaten leveren.

4.4

Toestandsvergelijkingen voor vloeistoffen

Een vloeistof verschilt van een reëel gas in die zin dat in een vloeistof een deeltje in constante interactie is met een groot aantal van zijn naburen. Dit in tegenstelling tot een reëel gas waar de deeltjes zo goed als vrij rondbewegen en af en toe interageren met één, en sporadisch met meer deeltjes. Het is dus niet zo vreemd dat een toestandsvergelijking opgesteld met de viriaalontwik-


75

0.1

P (MeV/fm3)

0.08

0.06

0.04

0.02

ideaal gas nneut = 0.001 fm-3 reeel gas nneut = 0.001 fm-3

0 0

20

40

60

80

100

kT (MeV)

Figuur 4.13:

De toestandsvergelijking voor neutronenmaterie bij een neutrondichtheid van ρn = 0.001 fm−3 .

0.5

P (MeV/fm3)

0.4

0.3

0.2

0.1

-3 ideaal gas nneut = 0.005 fm-3 reeel gas nneut = 0.005 fm

0 0

20

40

60

80

100

kT (MeV)

Figuur 4.14:



Figuur 4.15:

76


keling geen goede beschrijving zal geven van een vloeistof aangezien daar het N-deeltjes probleem wordt opgesplitst in de som van een één-, twee- of meerdeeltjes probleem. Er zal dus moeten gezocht worden naar een totaal andere aanpak om een toestandsvergelijking te bekomen. Een belangrijke functie bij de beschrijving van vloeistoffen is de tweedeeltjescorrelatiefunctie g(r), waaruit alle thermodynamische grootheden bij een vloeistof afgeleid kunnen worden.

4.4.1

De correlatiefunctie van een klassieke vloeistof

Voor een klassiek systeem kan de partitiefunctie Q(T, V, N ) opgesplitst worden in een deel in de impulsruimte en een deel in de configuratieruimte: Z 1 Q(T, V, N ) = dp1 . . . dpN dr1 . . . drN exp [−βH(p1 , . . . , pN , r1 , . . . , rN )] N! !# " Z N X 1 p2i + U (r1 , . . . , rN ) = dp1 . . . dpN dr1 . . . drN exp −β N! 2m i=1 3N Z 1 mkT 2 = dr1 . . . drN exp [−βU (r1 , . . . , rN )] N! 2π 1 3N = λ Z(T, V, N ), (4.67) N! waarin Z(T, V, N ) (afgekort ZN ) gedefinieerd wordt als de configurationele partitiefunctie. De kans om een systeem aan te treffen in een bepaalde configuratie (deeltje 1 op r1 , . . . ,deeltje N op rN ) is dus onafhankelijk van de momenta van de respectievelijke deeltjes en kan geschreven worden als: P (N ) (r1 , . . . , rN ) =

e−βU (r1 ,...,rN ) . ZN


77

Om de kans te berekenen dat deeltjes 1 tot n zich in een infinitesimaal volume-elementje rond de respectievelijke posities (r1 , . . . , rn ) bevinden moet ge¨ıntegreerd worden over alle mogelijke posities van de andere deeltjes: P

(n)

(r1 , . . . , rn ) =

R

drn+1 . . . drN e−βU (r1 ,...,rN ) . ZN

De kwantumtoestand van een systeem is natuurlijk onafhankelijk van welke deeltjes precies de energietoestand van het systeem bepalen. De kans dat n deeltjes zich in een infinitesimaal volume-elementje rond de posities (r1 . . . rn ) bevinden is: R drn+1 . . . drN e−βU (r1 ,...,rN ) N! (n) . ρ (r1 , . . . , rn ) = (N − n)! ZN Om de kans te normeren op 1 defineert men de n - deeltjes correlatie functie g(n) (r1 , . . . , rn ) als ρ(n) (r1 , . . . , rn ) = ρn g(n) (r1 , . . . , rn ), waarin ρ = N/V de homogene dichtheid is van de vloeistof. Een heel belangrijke correlatiefunctie is de tweedeeltjescorrelatiefunctie g(2) (r1 , r2 ) omdat ze in verband gebracht kan worden met de experimenteel meetbare structuurfactor S(k) (zie [21, 23]), maar ook omdat men uit de tweedeeltjescorrelatiefunctie thermodynamische grootheden kan afleiden. De fysische interpretatie van g(r1 , r2 ) is vrij simpel. Stel dat er zich een deeltje bevindt op plaats r1 , dan geeft de tweedeeltjescorrelatiefunctie de kans dat een tweede deeltje zich op plaats r2 bevindt. Als de deeltjes niet met elkaar interageren dan is deze functie identisch 1. Men kan, uit de verschillende pieken in de functie voor een vloeistof, een idee krijgen van hoe gecorreleerd de deeltjes zijn, en van de intermoleculaire afstanden.

4.4.2

De drukvergelijking voor klassieke vloeistoffen

Nu komt het erop aan een toestandsvergelijking op te stellen voor een vloeistof. Om dit doel te bereiken kan vertrokken worden van de thermodynamische betrekking voor druk in het canonisch systeem [17, 21, 23]. P = kT

∂ ln QN ∂V

. N,T

Er kan gebruik gemaakt worden van het feit dat in een klassieke vloeistof de partitiefunctie opgesplitst kan worden in een deel dat afhankelijk is van het volume, en een stuk onafhankelijk ervan (zie vergelijking (4.67) ), P

∂QN ∂V N,T 3N N! 1 λ ∂ZN = kT 3N λ ZN N ! ∂V N,T ∂ ln ZN . = kT ∂V T,N

1 = kT QN

(4.68)


78

De volume-afhankelijkheid van ZN zit in het feit dat er ge¨ıntegreerd wordt over het volume. Om vergelijking (4.68) op een goede manier toe te passen zal een coördinatentransformatie doorgevoerd worden, zodanig dat de grenzen onafhankelijk van het volume worden en het integrandum er expliciet afhankelijk van wordt. Stel 1

ri = V 3 r′i , dan wordt 1

1

ZN

=

ZV 3

...

0

= V

N

ZV 3

dx1 . . . dxN exp [−βU (x1 , . . . , zN )]

...

Z1

0

Z1 0

0

′ ′ dx′1 . . . dzN exp −βU ′ (x′1 , . . . , zN ,V ) ,

met U (r1 , . . . , rN ) = U ′ (r′1 , . . . , r′N , V ). Als dit nu toegepast wordt op vergelijking (4.68) dan krijgt men:

kT

∂ ln ZN ∂V

T,N

kT = ZN

∂ZN ∂V

, T,N

waarin

∂ZN ∂V

= NV

N −1

T,N

Z1

...

0

−

VN kT

Z1 0

Z1 0

...

Z1

′ ′ dx′1 . . . dzN exp −βU ′ (x′1 , . . . , zN ,V )

′ dx′1 . . . dzN

0

∂U ′ ∂V

T,N

′ exp −βU ′ (x′1 , . . . , zN , V ) . (4.69)

Stel nu dat de benadering gemaakt wordt dat de totale potentiaal geschreven kan worden als de som van 2 deeltjes-interacties die enkel afhankelijk zijn van de onderlinge afstand rij = p (rj − ri )2 tussen de deeltjes: U ′ (r1 , . . . , rN , V ) =

N X i<j

′ u′ (rij ,V ) =

N X

′ u(rij (rij , V )),

i<j

dan is met

∂U ′ ∂V

T,N

=

N N ′ ,V ) X ∂u(rij ) ∂rij (rij ∂ X ′ u(rij (rij , V )) = , ∂V ∂rij ∂V i<j

i<j

′ ,V ) ∂rij (rij 1 ′ 1 = rij . 2 rij = ∂V 3V 3V 3

(4.70)


79

Als dit nu allemaal ingevuld wordt in vergelijking (4.69) dan wordt deze

∂ZN ∂V

= NV

N −1

T,N

V N −1 − 3kT

Z1 0

Z1

Z1

Z1

...

0

...

0

′ ′ dx′1 . . . dzN exp −βU ′ (x′1 , . . . , zN ,V ) N X

′ dx′1 . . . dzN

rij

i<j

0

∂u(rij ) ′ exp −βU ′ (x′1 , . . . , zN ,V ) . ∂rij

Substitueert men hierin terug de normale coördinaten ri dan wordt dit 1

1

∂ZN ∂V

= T,N

N V

ZV 3

...

0

ZV 3

dx1 . . . dxN exp [−βU (x1 , . . . , zN )]

0

1

1 − 3V kT

ZV 3 0

1

...

ZV 3

dx1 . . . dxN

N X i<j

0

rij

∂u(rij ) exp [−βU (x1 , . . . , zN )]. ∂rij

Dit kan herschreven worden als Z ∂ZN N (N − 1) N ∂u(r12 ) exp [−βU (r1 , . . . , rN )]. = ZN − dr1 . . . drN r12 ∂V T,N V 6V kT ∂r12 De toestandsvergelijking wordt dan ∂ ln ZN P = kT ∂V T,N Z Z N 1 ∂u(r12 ) N (N − 1) = − dr3 . . . drN exp [−βU (r1 , . . . , rN )] dr1 dr2 r12 V 6V kT ∂r12 ZN Z N 1 ∂u(r12 ) (2) = − ρ (r1 , r2 ) dr1 dr2 r12 V 6V kT ∂r12 Z N 1 du(r) (2) = − ρ (r) dRdrr V 6V kT dr Z∞ du(r) 2πρ2 dr r 3 g(r). (4.71) = ρ− 3kT dr 0

Dit wordt de drukvergelijking genoemd. Zo kan een toestandsvergelijking voor vloeistoffen opgesteld worden als de correlatiefunctie van de vloeistof gekend is en als de potentiaal kan opgesplitst worden in de som van twee deeltjes potentialen. Deze vergelijking zou echter ook moeten opgaan voor reële gassen. Stel dat de correlatiefunctie geschreven kan worden als: g(r, ρ, T ) = g0 (r, T ) + ρg1 (r, T ) + ρ2 g2 (r, T ) + . . . . Als dit gesubstitueerd wordt in vergelijking (4.71) dan bekomt men een ontwikkeling van de druk in een machtreeks van de dichtheid: ∞

Z ∞ P 2π X n+2 du(r) =ρ− ρ gn (r, T ). dr r 3 kT 3kT n=0 dr 0

(4.72)


80

Wanneer dit vergeleken wordt met vergelijking (4.30) dan kan volgend verband gelegd worden met de viriaalcoëfficiënten Bn+2

4.4.3

2π =− 3kT

Z∞

dr r 3

du(r) gn (r, T ). dr

0

De Kirkwood vergelijking

In de vorige paragraaf is aangetoond dat, met behulp van de correlatiefunctie, een toestandsvergelijking voor vloeistoffen opgesteld kan worden. Het probleem is dus herleid tot het vinden van de correlatiefunctie. Een mogelijke manier om g(r) te bekomen is via moleculaire dynamica simulaties [25]. Er bestaat echter ook een integraalvergelijking voor g(r) die de Kirkwood vergelijking genoemd wordt. Stel dat de N -deeltjespotentiaal op de volgende manier geschreven kan worden: U (r1 , . . . , rN ) =

N X

ξu(r1i ) +

N X

u(rij ).

(4.73)

1
i=1

Hierin is ξ de effectieve koppeling van deeltje 1 met de rest van het systeem. Uit deze veronderstelling van paarsgewijze additiviteit volgt voor de distributiefunctie: ρ(3) (1, 2, 3) = ρ(2) (2, 3) × ρ(2) (1, 3) × ρ(2) (1, 2). Dit is logisch want in vergelijking (4.73) wordt verondersteld dat het voor de interactie tussen deeltjes niets uitmaakt of er een derde deeltje in de buurt is of niet.2 Deze benadering wordt de superpositie approximatie genoemd. Als deze benaderingen in acht worden genomen kan de volgende integraalvergelijking afgeleid worden [21]: − kT ln g(r12 , ξ) = ξu(r12 ) + ρ

Zξ 0

dξ

′

Z

dr3 u(r12 )g(r13 , ξ ′ ) [g(r23 ) − 1] ,

(4.74)

V

die de Kirkwood vergelijking genoemd wordt.

4.4.4

De veralgemeende drukvergelijking

In paragraaf 4.4 is een toestandsvergelijking voor vloeistoffen afgeleid, zijnde de drukvergelijking. Deze afleiding kan niet volledig overgenomen worden voor gaussische golfpakketten omdat hiervoor de partitiefunctie niet opsplitsbaar is in een configurationeel deel en een deel enkel afhankelijk van de impuls van de deeltjes. Hierna volgt een afleiding die de drukvergelijking veralgemeent voor gaussische golfpakketten. Men start opnieuw van de drukvergelijking voor een canonisch ensemble: P = kT 2

∂ ln QN ∂V

, N,T

Net zoals, wanneer er enkel ééndeeltje interacties zijn (gemiddeld veld dus), de 3 deeltjesdistributiefunctie

kan ontbonden worden als ρ(3) (1, 2, 3) = ρ(1) (1) × ρ(1) (2) × ρ(1) (3)


81

en definieert: ˆ N (r1 , . . . , rN , p1 , . . . , pN )i. HN (r1 , . . . , rN , p1 , . . . , pN ) = hΨN (r1 , . . . , rN , p1 , . . . , pN )|H|Ψ Nu kan, zoals voorheen, de partitiefunctie benaderd worden als: Z 1 1 QN = dr1 . . . drN dp1 . . . dpN exp [βHN (r1 , . . . , rN , p1 , . . . , pN )]. N ! (2π)3N Stel QÑ = N !(2π)3N QN , en voer de volgende substitutie door: 1

ri = V 3 r′i , dan wordt de partitiefunctie: QÑ = V

N

Z

Z1

dp1 . . . dpN

...

0

Z1 0

′ ′ ′ dx′1 . . . dzN exp βHN (r1 , . . . , r′N , p1 , . . . , pN , V ) ,

met ′ HN (r′1 , . . . , r′N , p1 , . . . , pN , V ) = HN (r1 , . . . , rN , p1 , . . . , pN ).

Dankzij deze substitutie kan geschreven worden dat: ! Z Z1 Z1 ∂ QÑ N −1 ′ −βH′N = NV dp1 . . . dpN . . . dx′1 . . . dzN e ∂V T,N

−βV

N

Z

dp1 . . . dpN

0

0

Z1

Z1

0

...

′ dx′1 . . . dzN

0

′ ∂HN ∂V

′

e−βHN . T,N

Nu zal een belangrijke benadering gemaakt worden, die veronderstelt dat de hamiltoniaan additief is: HN (r1 , . . . , rN , p1 , . . . , pN ) =

N N X X ˆ 2 |Ψ2 (ri , rj , pi , pj )i = H2 (ri , rj , pi , pj ). hΨ2 (ri , rj , pi , pj )|H i<j

i<j

Met die enkel afhankelijk is van de afstand rij = q deze benadering wordt, voor een hamiltoniaan q ij 2 2 (ri − rj ) , de relatieve impuls pij = (pi − pj ) en de hoek θrp tussen deze twee

′ ∂HN ∂V

= T,N

N ∂ X ′ ′ ij H2 (rij , pij , θrp ,V ) ∂V i<j

=

N ∂ X ′ ij H2 (rij (rij , V ), pij , θrp ) ∂V i<j

=

N X i<j

=

∂H2 ∂rij ∂rij ∂V

N 1 X ∂H2 rij . 3V ∂rij i<j


82

De toestandsvergelijking wordt dan: 1 ∂ QÑ P = . kT QÑ ∂V Dit wordt met behulp van bovenstaande vergelijkingen Z −βH P N 1 N (N − 1) ∂H2 12 N = − r12 , p12 , θrp . e dr1 . . . drN dp1 . . . dpN r12 kT V ∂r12 QÑ 6kT V

Definiëert men nu, in analogie met klassieke systemen, de semi-klassieke correlatiefunctie voor gaussische golfpakketten als: N (N − 1) g(r1 , r2 , p1 , p2 ) = ρ2 QÑ

Z

h i ˆ N |ΨN i , dr3 . . . drN dp3 . . . dpN exp −βhΨN |H

(4.75)

dan kan de toestandsvergelijking herschreven worden als: Z P ρ2 ∂H2 12 =ρ− r12 , p12 , θrp g(r1 , r2 , p1 , p2 ). dr1 dr2 dp1 dp2 r12 kT 6kT V ∂r12

Het is duidelijk dat de correlatiefunctie onmogelijk afhankelijk kan zijn van de absolute plaats van de twee deeltjes. Als overgegaan wordt op massamiddelpunts en relatieve coördinaten dan wordt de vorige vergelijking: P kT

Z ρ2 ∂H2 12 = ρ− r12 , p12 , θrp g(r12 , p12 , P12 ) dr12 dR12 dp12 dP12 r12 6kT V ∂r12 Z ∂H2 ρ2 12 r12 , p12 , θrp g(r12 , p12 , P12 ). dr12 dp12 dP12 r12 = ρ− 6kT ∂r12

Aangezien de overige (N − 2) - deeltjes homogeen verdeeld zijn over de faseruimte omdat er

ge¨ıntegreerd is over hun co¨ ordinaten, zal de enige P12 afhankelijke term in g(r12 , p12 , P12 ) van P2

de vorm e−β 4m zijn. De integraal is Z dPg(r, p, P) = λ3P g(r, p, θrp ), met λP =

√

4πmkT

Zo bekomt men het semi-kwanteuse analogon van de drukvergelijking: 4π 2 ρ2 λ3P P =ρ− kT 3kT

Z∞ 0

dr12 r12

3

Z∞ 0

dp12 p12

2

Zπ 0

12 12 sin θrp dθrp

∂H2 12 12 r12 , p12 , θrp g(r12 , p12 , θrp ). ∂r12

Deze toestandsvergeijking zou kwantumvloeistoffen moeten beschrijven bestaande uit gaussische golfpakketten. Via fermionische moleculaire dynamica [14] kan de correlatiefunctie gevonden worden en kan op die manier een toestandsvergelijking bepaald worden voor de dichte pastafasen in de binnenste korst van een neutronenster. Zo zou men een veel betere werkzame doorsnede kunnen berekenen van neutrino’s met deze materie om supernovamodellen te verbeteren.

4.5. Leveren fermionische golfpakketten additiviteit in de energie?

83

Figuur 4.16: Bovenaanzicht van de opstelling voor de berekening van de drieneutroneninteractie.

4.5

Leveren fermionische golfpakketten additiviteit in de energie?

Bij vele technieken in de statistische fysica wordt de benadering gemaakt dat de veeldeeltjeshamiltoniaan opgesplitst kan worden in een som van N (N − 1)/2 tweedeeltjeshamiltonianen.

In de vorige paragraaf is deze benadering toegepast bij het afleiden van de drukvergelijking. Door bijvoorbeeld een driedeeltjeshamiltoniaan voor gaussische golfpakketten te benaderen als de som van de drie tweedeeltjeshamiltonianen zal de overlap tussen de drie golffuncties samen verwaarloosd worden. Dit zal zorgen voor een extra Pauli repulsie in de kinetische energie die in deze benadering niet meegerekend wordt. Hoe zal de aanwezigheid van een derde deeltje de interactie tussen 2 deeltjes be¨ınvloeden? Dit kan ge¨ıllustreerd worden aan de hand van een eenvoudig voorbeeld. Neem drie neutronen die interageren volgens een afstotende Yukawa interactie met λ = 1 fm. Als de benadering exact is moet voldaan zijn aan de volgende vergelijking: hΨ3 (1, 2, 3)|Vˆ |Ψ3 (1, 2, 3)i = hΨ2 (1, 2)|Vˆ |Ψ2 (1, 2)i + hΨ2 (1, 3)|Vˆ |Ψ2 (1, 3)i + hΨ2 (2, 3)|Vˆ |Ψ2 (2, 3)i. Dit wordt berekend voor neutronen, geplaatst in een configuratie weergegeven in figuur 4.16. Hierin is Ψn een totaal antisymmetrische n-deeltjesgolffunctie. Het rechterlid is al bekend uit eerdere berekeningen, het linkerlid zal echter enkele termen bevatten die nog niet berekend zijn, waar drie verschillende ééndeeltjes golffuncties in voorkomen. Om het totale driedeeltjesmatrixelement te bepalen, moet het volgende matrixelement gekend zijn: U1234 = hψ1 (1) ⊗ ψ2 (2)|Vˆ |ψ3 (3) ⊗ ψ4 (4)i,


84

In integraalvorm kan dit geschreven worden als Z (x1 − r1 )2 (x2 − r2 )2 (x1 − r3 )2 (x2 − r4 )2 − − − U1234 = dx1 dx2 U (x1 , x2 ) exp − 2a∗ 2a∗ 2a 2a × exp [i (p3 ·x1 + p4 ·x2 − p1 ·x1 − p2 ·x2 )]. Deze integraal kan aanzienlijk vereenvoudigd worden door over te gaan op goed gekozen massamiddelpunts en relatieve co¨ ordinaten, de impulsen gelijk te stellen aan nul en de breedte zuiver reëel te nemen: U1234 =

Z

(X − R12 )2 (X − R34 )2 (x − r12 )2 (x − r34 )2 − − − . dxdXU (x) exp − a a 4a 4a

Zo kan de integraal opgesplitst worden in twee aparte delen: Z R2 R2 2 2 2 − a12 − a34 U1234 = e dX exp − X + (R12 + R34 ) ·X e a a Z 2 (x − r12 ) (x − r34 )2 × dxU (x) exp − − . 4a 4a

Met behulp van de formules uit Appendix A kan deze vergelijking herleid worden tot: Z πa 3 (x − r12 )2 (x − r34 )2 2 − 1 (r13 +r24 )2 8a U1234 = e − , dxU (x) exp − 2 4a 4a πa 3 2 − 1 (r13 +r24 )2 e 8a Ix . (4.76) = 2 De integraal in het rechterlid herleidt zich tot de vorm (voor de Yukawapotentiaal met dracht λ): 2 r12

2 r34

e− 4a e− 4a Ix = 4πa q (r12 + r34 )2

Z∞

2

− x2a

dxe

0

“ √ “ √ ” ” 1 1 1 1 (r12 +r34 )2 − λ (r12 +r34 )2 + λ −x 2a x 2a −e . e

Deze integraal kan opgelost worden met behulp van vergelijking (A.3) en de parabolische cilinderfuncties uit [18]: 1

3 2

Ix = (2πa) e

a 2λ2

2

e− 8a (r13 −r24 ) q × Θ. (r12 + r34 )2

Als dit ingevuld wordt in (4.76) dan wordt uiteindelijk:

met

1 2 2 a 3 e− 4a (r13 +r24 ) U1234 = (πa) 2 e 2λ2 q × Θ, 2 (r12 + r34 )

√

r q a1 1 2 (r12 + r34 ) 1−Φ − √ Θ = e 2 λ 2 2a r q √ 2 1 a1 1 2 (r +r ) 12 34 (r12 + r34 ) −e 2λ . + √ 1−Φ 2 λ 2 2a 1 − 2λ

(r12 +r34 )2

Het is nu mogelijk om, gebruik makend van vergelijking (B.8), de term hΨ3 |Vˆ |Ψ3 i te bepalen. In figuur 4.17 is mooi te zien dat de additiviteitsbenadering slechts opgaat als de deeltjes gemiddeld op een afstand van 3 fm van elkaar zitten, kleinere afstanden leveren duidelijk verschillen op.


800

85

r12 = 0.5 fm 3 deeltjes r12 = 1 fm 3 deeltjes r12 = 2 fm 3 deeltjes r12 = 0.5 fm 3 maal 2 deeltjes r12 = 1 fm 3 maal 2 deeltjes r12 = 2 fm 3 maal 2 deeltjes

700

600

E (MeV)

500

400

300

200

100

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 rl (fm)

3

3.5

4

4.5

5

Figuur 4.17: De volledige driedeeltjes yukawa-potentiaal in vergelijking met de benadering als som van tweedeeltjes interacties. (voor de notatieconventies: zie figuur 4.16)

Conclusies In het kader van deze thesis is onderzocht wat de eigenschappen zijn van geantisymmetriseerde gaussische golfpakketten, en hoe men deze golfpakketten kan gebruiken om nucleaire materie te beschrijven. De conclusies uit dit onderzoek zijn: • Als er overlap is tussen de golfpakketten treedt er een extra energieterm op, ook al is er geen interactie. Dit is een gevolg van de antisymmetrisatie van de golffunctie die een Pauli repulsie induceert. Deze repulsie gaat echter niet naar oneindig dus de golfpakketten kunnen op elkaar gezet worden met een eindige energie. • Als de relatieve afstandsparameter r tussen twee golfpakketten ongeveer anderhalve keer

de standaardafwijking van de golfpakketten wordt, dan zal de verwachtingswaarde van de afstand niet meer wijzigen als r nog kleiner wordt.

• Het verschil tussen klassieke potentialen en deze tussen fermionische golfpakketten wordt veroorzaakt door twee factoren.

1. Als r te klein wordt zal de gemiddelde afstand niet meer wijzigen, en dus zal de potentiaal in functie van r plat zijn voor r < 1.5 σ. 2. Golfpakketten nemen een gewogen gemiddelde van de interactie-energie over hun volledige breedte. Hierdoor zullen de maxima en de minima voor potentialen tussen gaussische golfpakketten respectievelijk lager en hoger liggen dan hun klassieke tegenhanger. • Ook al vormen gaussische golfpakketten een overcomplete basis voor de oplossingsruimte, toch zal het spoor van de dichtheidsmatrix genomen met gaussische golfpakketten exacte resultaten leveren. • De viriaalcoëfficiënt voor niet interagerende fermionische golfpakketten berekend met de

gemiddeld veld benadering bij de evaluatie van de partitiefunctie is gelijkaardig aan de

exact uitgerekende viriaalcoëfficiënt, hij is echter niet dezelfde. • De toestandsvergelijking opgesteld met de viraalontwikkeling voor neutronen en protonen interagerend volgens de Malfliet-Tjon potentiaal voor fermionische golfpakketten levert slechts betrouwbare resultaten bij heel hoge temperaturen en lage dichtheden.

86


87

• De tweede viriaalcoëfficiënt B2 wordt gedomineerd door de temperatuur omwille van de 1

factor e− kT in de partitiefunctie. Hierdoor is het formalisme zo robuust dat het verschil

tussen de viriaalcoëfficiënt berekend met en zonder antisymmetrisatie wellicht heel klein is. Een betere toestandsvergelijking voor nucleaire materie kan misschien opgesteld worden: • als men hogere orde viriaalco¨fficiënten gebruikt: deze zullen betere resultaten leveren voor

bij lagere temperaturen en hogere dichtheden. Het probleem is dat dit numeriek heel

complex wordt. • indien men in staat zou zijn de semi-klassieke correlatiefunctie (4.75) te bekomen via

fermionische moleculaire dynamica. Men zou dan via de veralgemeende drukvergelijking een toestandsvergelijking kunnen bekomen die geldig is voor vloeistoffen. Bij de afleiding van deze drukvergelijking zijn echter twee beperkingen opgelegd: 1. De gemiddeld veld benadering bij de evaluatie van de partitiefunctie is gebruikt. 2. Er is aangenomen dat de verwachtingswaarde van de hamiltoniaan addititief is, wat slechts beperkt geldig is, en steeds slechter zal gelden bij hogere dichtheden, net waar we deze vergelijking nodig hebben.

Bijlage A

Gaussische Integralen Bij het berekenen van matrixelementen in FMD heeft men vaak gaussische integralen nodig. In het bijzonder: +∞ Z In = xn exp −αx2 − 2βx dx.

(A.1)

−∞

Hierna volgt een afleiding voor de oplossing van In gebruik makend van Parabolisch Cylindrische Functies Dp (z).

A.1

Oplossing van In +∞ +∞ Z Z n 2 n In = x exp −αx − 2βx dx. + (−1) xn exp −αx2 + 2βx dx. 0

(A.2)

0

uit [18] haalt men:

+∞ 2 Z β n 2 − n+1 2 x exp −αx − 2βx dx = (2α) D−(n+1) Γ(n + 1) exp 2α 0

r

2 β α

!

(A.3)

ℜα > 0, n ≥ 0 Waarin Dp (z) de parabolisch cilindrische functie is. Hieruit volgt: r ! 2" β 2 − n+1 In = (2α) 2 Γ(n + 1) exp β + (−1)n D−(n+1) D−(n+1) 2α α

−

r

2 β α

!#

(A.4)

uit [18] kan de volgende recursiebetrekking gehaald worden: √ 2π nπi (n+1)πi D−(n+1) (z) = e D−(n+1) (−z) + e 2 Dn (iz) n! waaruit: n

D−(n+1) (z) + (−1) D−(n+1) (−z) =

√

2π nπi e 2 Dn (iz). n!

Zo bekomt men uiteindelijk: − n+1 2

In = (2α)

exp

β2 2α

√

2π exp

88

nπi 2

Dn

r

i

2 β α

!

(A.5)

A.2. Belangrijke oplossing van In

A.2

89

Belangrijke oplossing van In

Uit de volgende functionele betrekkingen [18] n

Dn (z) = (−1) e

z2 4

dn dz n

2

− z2

e

,

n∈N

Dp+1 (z) = zDp (z) − p]Dp−1 (z) haalt men: z2 D0 (z) = exp − 4 2 z D1 (z) = z exp − 4 2 z 2 D2 (z) = (z − 1) exp − 4 2 z D3 (z) = (z 3 − 3z) exp − 4 2 z D4 (z) = (z 4 − 6z 2 + 3) exp − 4

Als dit alles gesubstitueerd wordt in vergelijking (A.5) bekomt men de volgende simpele formules voor het berekenen van Gaussische Integralen: r 2 β π exp I0 = α α r 2 β β π exp I1 = − α α α 2 r 2 β 1 2β π exp I2 = 1+ 2α α α α 2 r 2 β 2β 1 π exp I3 = − 2 3 + β 2α α α α r 2 β 4β 4 12β 2 1 π + exp 3 + I4 = 4α2 α α2 α α

(A.6) (A.7) (A.8) (A.9) (A.10)

Bijlage B

Berekening van matrixelementen in FMD In FMD is het belangrijk om verwachtingswaarden te berekenen van variabelen. Deze variabelen zijn N-deeltjes operatoren die inwerken op de N-deeltjes geantisymmetriseerde golffuncties die opgebouwd zijn uit niet-orthonormale één-deeltjes golffuncties.

B.1

De norm hΨ|Ψi

Wat is de norm van |Ψi opgebouwd uit de niet-orthonormale één-deeltjes golffuncties |ψi i: |Ψi = A|ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ . . . ⊗ |ψN i? Zij F (x1 , . . . , xN ) de totaal anti-symmetrische functie: f (x ) f (x ) . . . f (x ) 1 1 1 2 1 N 1 f2 (x1 ) f2 (x2 ) . . . f2 (xN ) F (x1 , . . . , xN ) = √ . , .. .. .. N ! .. . . . fN (x1 ) fN (x2 ) . . . fN (xN ) dan kan de volgende stelling bewezen worden.

Stelling 1 Zijn F (x1 , . . . , xN ) en G(x1 , . . . , xN ) beide antisymmetrische functies zoals hierboven gedef inieerd, dan: hF |Gi =

Z

Z

· · · F (x1 , . . . , xN )G(x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN R f (x)g (x)dx . . . R f (x)g (x)dx 1 1 1 N .. .. . . = . . . R R fN (x)g1 (x)dx . . . fN (x)gN (x)dx

(B.1)

Dit is gemakkelijk te bewijzen via inductie. Voor n = 1 is deze eigenschap triviaal, stel dat ze geldig is voor n − 1, dan krijgt men: Z Z · · · F (x1 , . . . , xN )G(x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN Z Z 1 = · · · det(fp (xq )) det(gp (xq ))dx1 . . . dxN N! 90

B.2. De eendeeltjes-operator B [1]

91

ontwikkelt men de determinanten naar kolom i dan krijgt men =

Z Z N 1 X (−1)2i+k+l · · · fk (xi )gl (xi ) det(fp (xq ))[k,i] det(gp (xq ))[l,i] dx1 . . . dxN N! k,l=1

waar det fp (xq )[k,i] staat voor de determinant zonder kolom i en rij k in vergelijking met de

oorspronkelijke determinant (de minor dus). Maakt men nu gebruik van de inductiehypothese dan wordt Z Z N (N − 1)! X k+l = (−1) fk (x)gl (x)dx det fp (x)gq (x)dx N! [k,l] k,l=1

dit is niets anders dan de ontwikkeling van van de determinant det kolom

R

fp (x)gq (x)dx naar de ke

Z N (N − 1)! X = fp (x)gq (x)dx det N! k=1 Z fp (x)gq (x)dx . = det 2

In om het even welke representatie kan de antisymmetrische veeldeeltjestoestand geschreven worden als een totaal antisymmetrische functie, dus geldt: hΨ|Ψi = dethψi |ψj i = det n,

(B.2)

waarin n de overlap matrix hψi |ψj i voorstelt.

B.2

De eendeeltjes-operator B [1]

Nu zal een algemene formule afgeleid worden van de verwachtingswaarde van een een-deeltjesoperator [1]

B [1] voor een N-deeltjestoestand |Ψi. Stel dat Bi enkel inwerkt op de i’e coördinaat, dan kan de volgende stelling neergeschreven worden.

Stelling 2 Zij F (x1 , . . . , xN ) en G(x1 , . . . , xN ) 2 totaal antisymmetrische functies, dan kan de [1]

verwachtingswaarde van Bi geschreven worden als: Z Z [1] [1] hF |Bi |Gi = · · · F (x1 , . . . , xN )Bi G(x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN =

N Z hF |Gi X [1] fk (xi )Bi gl (xi )dxi FG−1 l,k (B.3) N k,l=1

waarin

R

 R f1 (x)g1 (x)dx . . . f1 (x)gN (x)dx   .. .. ..  FG =  . . .   R R fN (x)g1 (x)dx . . . fn (x)gN (x)dx

(B.4)

B.3. De twee-deeltjesoperator B [2]

92

Net als in Stelling 1 geldt er: Z Z [1] [1] hF |Bi |Gi = · · · F (x1 , . . . , xN )Bi G(x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN Z Z 1 [1] · · · det(fp (xq ))Bi det(gp (xq ))dx1 . . . dxN = N! ontwikkelt men de determinanten naar kolom i horende bij de coördinaat xi dan krijgt men Z Z N 1 X [1] 2i+k+l = (−1) · · · fk (xi )Bi gl (xi ) det(fp (xq ))[k,i] det(gp (xq ))[l,i] dx1 . . . dxN N! k,l=1

gebruik makend van Stelling 1 krijgt men =

Z N (N − 1)! X [1] (−1)k+l fk (x)Bi gl (x)dx det FG[k,l] N! k,l=1

k+l det FG daar det (FG) × FG−1 [k,l] wordt dit l,k = (−1)

=

N Z det FG X [1] fk (x)Bi gl (x)dxFG−1 l,k N k,l=1

=

N Z hF |Gi X [1] fk (x)Bi gl (x)dxFG−1 l,k N k,l=1

2 Gebruik makend van bovenstaande stelling is het makkelijk aan te tonen dat voor een operator P [1] van de vorm B [1] = N i=1 Bi , de verwachtingswaarde gegeven wordt door N X hΨ|B [1] |Ψi = hψk |B [1] |ψl iol,k hΨ|Ψi

(B.5)

k,l=1

waarin o =

n−1 .

De twee-deeltjesoperator B [2]

B.3 [2]

Zij Bi,j een twee-deeltjesoperator die inwerkt op de coördinaten xi en xj , dan kan de volgende stelling bewezen worden. Stelling 3 Zij F (x1 , . . . , xN ) en G(x1 , . . . , xN ) beiden antisymmetrische functies, dan kan de [2]

verwachtingswaarde van Bi,j geschreven worden als Z Z [2] [2] hF |Bi,j |Gi = · · · F (x1 , . . . , xN )Bi,j G(x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN hF |Gi = 2N (N − 1)

N X

k,l,m,n=1

x

[2]

−1 −1 −1 fk (xi )fl (xj )Bi,j gm (xi )gn (xj )dxi dxj (FG−1 m,k FGn,l − FGn,k FGm,l )

(B.6)


93

De verwachtingswaarde kan als volgt geschreven worden: Z Z [2] [2] hF |Bi,j |Gi = · · · F (x1 , . . . , xN )Bi,j G(x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN ontwikkel de determinanten naar de coördinaten xi en xj =

1 N!

N X

(−1)2i+2j+k+l+m+n s [k,l] [m,n]

k,l,m,n=1 k6=l,m6=n

Z

···

Z

[2]

fk (xi )fl (xj )Bi,j gm (xi )gn (xj )

× det(fp (xq ))[k,i] det(gp (xq ))[m,i] dx1 . . . dxN [n,j]

[l,j]

Waarin er een extra term s optreedt omdat in de tweede ontwikkeling de indices niet altijd de echte rij- en kolomnummers tellen: ( s [k,l] = [m,n]

1

k > l, m > n or

k < l, m < n

−1 k > l, m < n or

k < l, m > n

Toepassing van Stelling 1 levert (N − 2)! = N! ×

N X

(−1)k+l+m+n s [k,l] det FG[k,m]

x

[l,n]

[m,n]

k,l,m,n=1 k6=l,m6=n [2]

fk (xi )fl (xj )Bi,j gm (xi )gn (xj )dxi dxj

(B.7)

Om de rest van het bewijs te voltooien zal eerst wat algemene matrixalgebra afgeleid worden. Zij A een n × n matrix dan geldt δki det A =

n X

(−1)k+j Ai,j det A[k,j]

j=1

diezelfde eigenschap nog eens toepassen levert δki δli′ det A =

n X

′

(−1)k+j+l+j s [k,l] Ai,j Ai′ ,j ′ det A[k,j] [j,j ′]

j6=j ′ =1

[l,j ′]

als de indices omgewisseld worden krijgt men δ δli det A = ki′

n X

′

(−1)k+j+l+j s [k,l] Ai′ ,j Ai,j ′ det A[k,j] [j,j ′]

j6=j ′ =1

[l,j ′]

als beide vergelijkingen nu van elkaar afgetrokken worden bekomt men (δki δli′ − δki′ δli ) det A =

n X

j,j ′=1

′ (−1)k+j+l+j s [k,l] Ai,j Ai′ ,j ′ − Ai′ ,j Ai,j ′ det A [k,j]

[l,j ′ ]

[j,j ′]

−1 ′ Vermenigvuldigen met A−1 m,i An,i′ en sommeren over i en i geeft

−1 A−1 m,k An,l

−

−1 A−1 n,k Am,l

det A =

n X

′ (−1)k+j+l+j s [k,l] δmj δnj ′ − δnj δm,j ′ det A[k,j]

j,j ′ =1

[j,j ′]

[l,j ′ ]


94

Wat ons hetvolgde oplevert −1 −1 −1 k+l+m+n A−1 A − A A s [k,l] det A[k,m] m,k n,l n,k m,l det A = 2(−1) [m,n]

[l,n]

Deze eigenschap toepassen op B.7 levert [2] hF |Bi,j |Gi

det FG = 2N (N − 1) ×

x

N X

k,l,m,n=1 k6=l,m6=n

−1 −1 −1 FG−1 m,k FGn,l − FGn,k FGm,l

[2]

fk (xi )fl (xj )Bi,j gm (xi )gn (xj )dxi dxj

de beperking over de som mag weggelaten worden doordat het verschil genomen wordt van de inverse matrices [2]

hF |Bi,j |Gi =

N X hF |Gi −1 −1 −1 FG−1 FG − FG FG m,k n,l n,k m,l 2N (N − 1) k,l,m,n=1 x [2] × fk (xi )fl (xj )Bi,j gm (xi )gn (xj )dxi dxj

Met deze eigenschap kan de verwachtingswaarde van B [2] = worden: hΨ|B [2] |Ψi 1 = hΨ|Ψi 2

N X

PN

[2] i,j=1 Bi,j i6=j

als volgt geschreven

hψk , ψl |B [2] |ψm , ψn i (om,k on,l − on,k om,l )

k,l,m,n=1

2

(B.8)

Bibliografie [1] J.D.H. Pilkington-P.F. Scott R.A. Collins A. Hewish, S.J. Bell. Observation of a rapidly pulsating radio source. Nature, 217, 1968. [2] A. Schwenk C. J. Horowitz. Cluster formation and the virial equation of state of low-density nuclear matter. Nuclear Physics A, 776, 2006. [3] A. Schwenk C. J. Horowitz. The neutrino response of low-density neutron matter from the virial expansion. Physics Letters B, 642, 2006. [4] D. K. Berry J. Piekarewicz C. J. Horowitz, M. A. Pérez-Garc´ıa. Neutrino-pasta scattering: The opacity of nonuniform neutron-rich matter. Physical Review C, 69, 2004. [5] D. K. Berry J. Piekarewicz C. J. Horowitz, M. A. Pérez-Garc´ıa. Dynamical response of the nuclear pasta in neutron star crusts. Physical Review C, 72, 2005. [6] C.J. Pethick D.G. Ravenhall. Structure of matter below nuclear saturation density. Physical Review Letters, 50(26), 1983. [7] C.J. Pethick G. Baym, H.A. Bethe. Neutron star matter. Nuclear Physics A, 175, 1971. [8] K.Sato K.Yasuoka-T. Ebisuzaki G. Watanabe, T. Maruyama. Simulation of transitions between pasta phases in dense matter. Physical Review Letters, 94, 2005. [9] K.Yasuoka T. Ebisuzaki G. Watanabe, K.Sato. Structure of cold nuclear matter at subnuclear densities by quantum molecular dynamics. Physical Review C, 68, 2003. [10] B. Kahn G.E. Uhlenbeck. On the theory of condensation. Physica V, 1938. [11] E. Beth G.E. Uhlenbeck. The quantum theory of the non-ideal gas i. deviations from the classical theory. Physica III, 1936. [12] E. Beth G.E. Uhlenbeck. The quantum theory of the non-ideal gas ii. behaviour at low temperatures. Physica IV, 1937. [13] Norman K. Glendenning. Compact Stars: nuclear physics, particle physics and general relativity. Springer, 1996.

95

BIBLIOGRAFIE

96

[14] J. Schnack H. Feldmeier. Molecular dynamics for fermions. Review of Modern Physics, 72(3), 2000. [15] Ewald Muller H.-Thomas Janka. Neutrino heating, convection, and the mechanism of typeiisupernova explosions. Astronomy and Astrophysics, 306, 1996. [16] Gerald Brown H.A. Bethe. How a supernova explodes. Scientific American, 252, 1985. [17] K. Huang. Statistical Mechanics. John Wiley and Sons, 1987. [18] I.M. Ryzhik I.S. Gradshteyn. Table of Integrals, Series and Products. Academic Press, 1973. [19] D. Vautherin J.W. Negele. Neutron star matter at sub-nuclear densities. Nuclear Physics A, 207, 1973. [20] Skagerstam B.S. Klauder J.R. Coherent States. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, 1985. [21] D.A. McQuarrie. Statistical Mechanics. Harper and Row, 1976. [22] J.A. Tjon R.A. Malfliet. Solution of the faddeev equations for the triton problem using local two-particle interactions. [23] Prof. Dr. J. Ryckebusch. Statistische Fysica 1. [24] Saul A. Teulonsky Stuart L. Shapiro. Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars. WileyInterscience, 1983. [25] J.M. Thijssen. Computational Physics. Cambridge University Press, 1999. [26] Prof. Dr. H. Verschelde. Niet-Relativistische Quantummechanica en Beginselen van de Relativistische Quantummechanica. [27] F. Zwicky W. Baade. On super-novae. Proc. Nat. Acad. Sci., 20, 1934.

De toestandsvergelijking van neutronenmaterie via de viriaal expansie

Recommend Documents